第9章扭转

T 华东交通大学土建学院 2 2 R0
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二、切应力互等定理
'
切应力互等定理：
在相互垂直的两个 平面上，切应力必然 成对存在，且数值相 等；两者都垂直于两 个平面的交线，方向 则共同指向或共同背 离这一交线。
各个截面上只有切应 力没有正应力的情况称 为纯剪切
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首先观察受扭时，圆杆表面的变 形情况，据此作出涉及杆件内部 变形情况的假设，最后还要利用 应力和应变之间的物理关系。
(1) 几何方面
(2) 物理方面
(3) 静力学方面
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1、几何方面
如右图： (1) 画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形 状都不改变；且在变形较小的情况时，圆周线间的相 对纵向距离也不变。
d T dx GI p T 180 GI p
rad/m
⁰/m
扭转刚度条件
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max [ ]
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[ ] 许用单位扭转角
32
扭转强度条件
T max [ ] Wp 1 Wp D3 16
扭转刚度条件
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
T1 Wp [ ]

D13 [ ]
D 89 (1 0.945 )
3 1 3 4
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D1 53.1mm 0.0531m
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实心轴和空心轴横截面面积为
A1
D12
4
2

(0.0531) 2
4
22.2 104 m2
满足强度要求
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例：如把上例中的传动轴改为实心轴，要 求它与原来的空心轴强度相同，试确定其 直径。并比较实心轴和空心轴的重量。 解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
16 3 4 T2 D (1 )[ ] 893 (1 0.9454 )[ ] 16 16
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§9-7 圆轴扭转变形与刚度条 件
1.单位长度dx的扭转角度
2.相距l 两截面的相对扭转角
抗扭刚度 比较：
Δl FN l EA
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Ti li 华东交通大学土建学院 i 1 GI Pi
n
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相距l 两截面的相对扭转角
单位长度扭转角
§9-1
一、外力偶矩
扭矩与扭矩图
直接计算
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按输入功率和转速计算
外力偶矩与功率、转速关系
P M e 9.55 (kN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
二、扭矩与扭矩图
1.截面法与扭矩
M
x
( F ) 0 : T Me 0
A2

4
(D d )
2

4
[(90 103 ) 2 (85 10 3 ) 2 ] 6.87 10 4 m2
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截 面面积之比。
A2 6.87 104 0.31 4 A1 22.2 10
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
利用静力学关系：
T d A
A
—切向力相对圆心的力臂, 可用平均半径R0代替
则
T R0 d A R0 A
从而有
T /( R0 A)
A
T /( R0 2 π R0 ) T /( 2 π R0 )
2
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纯剪切
实验后：
①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
结论： 1）各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；
2）各纵向线倾斜相同的角度 ，仍为直线； 3）表面矩形变为平行四边形。
结果说明横截面上没有正应力
采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的 切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。
3.
静力学方面

d T GI p dx
d T dx GI P
d G dx
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p
抗扭刚度：截面抵抗扭 转变形的能力
T IP
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横截面上任一点切应力计算公式：
T Ip
最大扭转切应力 T max TR T max Ip Ip Ip R IP 令 WP R dA
32
则：
32 D 3 (1 4 ) WP 16

D4 (1 4 )
d D
3、薄壁圆截面
3 2 I P 2dA R0 dA 2 R0
A A
2 WP 2 R0
§9-6 受扭圆杆的强度条件
强度条件
max
T ( )max WP
d 距圆心为处的切应变： dx d —扭转角 沿x轴的变化率。
dx
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也发生在垂直于
半径的平面内。
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2.
物理方面
由剪切胡克定律： = G , 又

d
dx
d G G dx

M
x
(F ) 0 : (F ) 0 :
T1 M A 0 T2 MC 0
解得： T1 76.4N m 2-2：
M
x
解得： T2 114.6N m
⑶ 绘制扭矩图
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§9-2
一、薄壁圆管的扭转应力
实验前：
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
max
T [ ] GI p
•已知T 、D 和[θ]，校核刚度 •已知T 和[θ],设计截面 •已知D 和[θ],确定许可载荷
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Ip
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1 4 D 32
例 某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm，材 料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转 角[φ']=1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚度。
扭矩图

解：⑴ 计算外力偶矩 PA 4 M A 9549 9549 76.4N m n 500 PB 10 M B 9549 9549 191N m n 500 PC 6 M C 9549 9549 114.6N m n 500 ⑵ 计算轴各段的扭矩 1-1：
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E G 2(1 )
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§9-4
等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩；
圆轴扭转时的应力
3. 纵向线变形后仍为平行。
· 平面假设 圆轴扭转变形前原为平 面的横截面，变形后仍为平 面，形状、大小不变，半径 仍为直线，两相邻截面间的 距离不变。
此轴的强度。 解：（1）计算抗扭截面模量
d 0.945 D Wp 0.2 D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29cm3
（2） 强度校核
max
T 1930 6 66.7 10 Pa 6 Wp 29 10 66.7MPa [ ] 70MPa
max
T WP
τp

O
抗扭截面系数（mm3或m3）
在圆截面边缘上，有最大切应力
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应力分布
（实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
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§9-5
1、实心圆截面
aa Rd dx
'
d
O
边缘上a点的切应变：
R
a' b
b′
q
d R dx
发生在垂直于半径的平面内。
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dx
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d
p d c p a e
q
R



d
d
a ' e′ O
b
b′ q
R
dx
dx
距圆心为的圆周上e点的错动距离：
ee' d dx
三、切应变 剪切胡克定律
在切应力的作用下，单元 体的直角将发生微小的改变， 这个改变量 称为切应变。 当切应力不超过材料的剪 切比例极限时，切应变与切 应力τ成正比，这个关系称为 剪切胡克定律。

l
各向同性材料， 三个弹性常数之间的 关系：
τ
G
G — 切变模量(GN/m2) 钢的切变模量G=80GPa
T Me
· 扭矩正负规定 由右手螺旋法则确定，右手拇指指向与截面外法 线一致，扭矩为正；反之为负。
2.扭矩图 扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的 位置，纵坐标表示扭矩的大小。
例：图所示传动轴，主动轮B 输入的功率PB=10kW，若不 计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为 PA=4kW ，PC=6kW，轴的转速n = 500r/min，试作轴的扭矩图。
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小
结
• 2、圆轴扭转时，横截面上的内力 • （1）功率、转速与扭力偶矩之间的关系 • （2）扭矩： 构件受扭时，横截面上的内力偶矩，以T表示。 • （3）T的正负号规定： 右手螺旋法则，扭矩矢量与截面外法线一致，扭 矩为正；反之为负。
抗扭截面系数
强度条件的应用：
· 强度校核
x a mx

· 截面尺寸设计
T ) a m( WP T WP

（由Wp计算D）
· 许用载荷确定
T WP
例 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径 D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使 用时的最大扭矩T=1930N· m,[]=70MPa.校核
工程力学
Engineering Mechanics
华东交通大学
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of East China Jiaotong University
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(2) 平面假设：等直圆杆受扭时，其横截面上任一根半径其 直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。 该假设适用于等直圆杆。
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Me
p q
Me
_扭转角（rad）

p
p d c p

x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
q q a
垂直于半径
与该点到圆心的距离
成正比。
横截面上任意点的切应力
同一横截面上ห้องสมุดไป่ตู้最大切应力在圆周边缘上， 方向垂直于各自的半径。
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d T d A , G G A dx 2 d 2 I dA T G dA 得 p A dx A 4） 横截面对形心的极惯性矩（ mm I
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第九章
扭转
概念和实例
汽车传动轴
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汽车方向盘
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· 扭转受力特点
杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。
· 扭转变形特点 两力偶作用面之间的各横截面绕轴线 相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都 是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
极惯性矩与抗扭截面系数
dA 2 d
I P dA (2 d )
2
2
A
d 2 0
d4
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则： WP
Ip R

d
3
16
2、空心圆截面
dA 2 d
I P 2dA 2 (2 d ) A
D 2 d 2

( D4 d 4 )
max
T Wp
T 180 32T 180 = 4 GI p G d =0.57
0
m
[ ]
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小
结
• 1、扭转的受力和变形特点 • （1）构件为等圆截面直杆 • （2）受力特征： 外力偶矩的作用面与杆件轴线垂直。 • （3）变性特征： 杆件各横截面绕杆轴作相对转动。