《工程力学》教学课件第九章剪切和扭转

1. 几何方面
G1G′ ρ ⋅ dϕ γ ρ ≈ tanγ ρ = = EG1 dx
dϕ γρ = ρ dx
DD' R × d ϕ = γ ≈ tan γ = AD dx
距圆心为 ρ 任一点处的γρ 成正比。 与到圆心的距离ρ成正比。
dϕ 为扭转角沿长度方向变化率。 dx
2. 物理方面 由胡克定律
剪切和挤压的计算
实用计算假设：假设切应力在整个剪切面上均匀分布， 实用计算假设：假设切应力在整个剪切面上均匀分布，等 于剪切面上的平均应力。 于剪切面上的平均应力。 剪切面 n P
Q n
Q τ = A
A为剪切面 的面积，错动面； 为 的面积，错动面； Q为剪切面上的剪力。 为剪切面上的剪力。 为剪切面上的剪力
I p = ∫ A ρ dA
2
dρ
= ∫ ρ 2 ⋅ 2 ρ ⋅ π ⋅ dρ =
D 2 0
ρ
O
D
πD4
32
≈ 0.1D4
对于空心圆截面
dρ
I p = ∫ A ρ 2dA = ∫ ρ ⋅ 2 ρ ⋅ π ⋅ dρ
2 D 2 d 2
ρ
d O D
π ( D4 − d 4 ) (α = d ) = D32来自τ max ≤ [τ ]
([τ] 称为许用剪应力)
对于塑性材料 对于脆性材料
[τ ] = (0.5 − 0.577)[σ ]
[τ ] = ( 0 .8 − 1 .0 )[σ ]
对于等截面圆杆， 对于等截面圆杆，其最大切应力存在于最大扭矩所在横 截面(危险截面 的周边上任一点，这些点即为危险点 危险截面)的周边上任一点 危险点。 截面 危险截面 的周边上任一点，这些点即为危险点。 对于等截面圆杆， 对于等截面圆杆，上式也 可表示为
2
dϕ =G ∫ A ρ 2dA dx
dϕ T = GI p dx
令
I p = ∫ A ρ 2dA
dϕ T = dx GIp
dϕ 得 代入物理关系式 τρ = ρ G dx
T⋅ρ τρ = Ip
I p = ∫ A ρ dA
2
横截面的极惯性矩，单位为 横截面的极惯性矩，单位为mm4，m4。
尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是I 值不同。 只是 p值不同。 对于实心圆截面
钢板的2--2和3--3面为危险面 3P 3 ×110 σ2 = = ×107 = 155.7MPa ≤ [σ ] 4t(b − 2d ) 4 × (8.5 − 2 ×1.6) P 110 σ3 = = ×107 = 1594MPa≤ [σ ] 综上，接头安全。 . t(b − d ) 1× (8.5 −1.6) 1 2 3
挤压——构件局部面积的承压现象。 构件局部面积的承压现象。 挤压 构件局部面积的承压现象 挤压力——挤压面上所受的压力， 挤压面上所受的压力， 挤压力 挤压面上所受的压力 记为F 记为 jy 。 挤压应力——因挤压而产生的应力。 因挤压而产生的应力。 挤压应力 因挤压而产生的应力
第二节
一、剪切的实用计算
t
P
P
P
d
t
P/4
1 2 3
第三节
扭转的概念
汽车方向盘
汽车传动轴
构件特征：等圆截面直杆即圆轴。 构件特征：等圆截面直杆即圆轴。 圆轴 受力特征：构件两端受到大小相等、 受力特征：构件两端受到大小相等、方向相反的力偶矩的 作用，外力偶矩的作用面与杆件的轴线互相垂直。 作用，外力偶矩的作用面与杆件的轴线互相垂直。 变形特征： 称为剪切角 剪切角( 变形特征：纵向线倾斜一个角度γ ，称为剪切角(或 称剪应变) 称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线产生相对角位 称为扭转角 扭转角。 移ϕ，称为扭转角。
M
γ
ϕ
M
第四节
一、外力偶矩计算
扭转时的内力
外力偶矩与功率和转速的关系为
Me = 60 P 2πn
= 9 . 549
P n
式中，P 为输入功率（kW）；n 为轴转 速（r/min）。
二、扭矩和扭矩图 扭矩——构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作T。 构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作 。 扭矩 构件受扭时 截面法求扭矩， 截面法求扭矩，有
Wp 为 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位为mm3或m3。
对于实心圆截面
W p = I p R = πD 3 16 ≈ 0.2 D 3
对于空心圆截面 W p = I p R = πD 3 (1 − α 4 ) 16 ≈ 0.2 D 3 (1 - α 4 )
二、圆轴扭转变形计算公式 由公式
第九章 剪切和扭转
第一节 剪切和挤压的概念 第二节 剪切和挤压的计算 第三节 扭转的概念 第四节 扭转时的内力 第五节 圆轴扭转时的应力和变形 第六节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
教学目的和要求
本章主要介绍了剪切、挤压和扭转变形， 本章主要介绍了剪切、挤压和扭转变形，要了解每 种变形方式的特点。 种变形方式的特点。对于剪切和挤压要掌握其名义 应力的计算方法和强度校核条件。 应力的计算方法和强度校核条件。对于扭转要掌握 扭矩的求法，会画扭矩图， 扭矩的求法，会画扭矩图，掌握圆轴扭转的应力和 变形公式，并能进行强度和刚度的校核。 变形公式，并能进行强度和刚度的校核。
ΣMx = 0 T − Me = 0 T = Me
Me
Me
x
Me
T
受扭圆轴任一截面上的扭矩， 受扭圆轴任一截面上的扭矩，等于该截面一侧所有外力偶 矩的代数和。 矩的代数和。
扭矩符号的判断 按右手螺旋法则判断， 按右手螺旋法则判断，扭矩矢量的指向与截面 外法线的指向一致，为正；反之为负。 外法线的指向一致，为正；反之为负。
T3 − M 4 = 0 , e T3 = M 4 = 6.37kN⋅ m e
（3）绘制扭矩图 ）
T max = 9.56 kN ⋅ m BC段为危险截面。 段为危险截面。 段为危险截面
m2 m3 m1 m4
n A T
⊕ – 4.78N·m – 9.56N·m
B
C
D
6.37 N·m
x
第五节
圆轴扭转时的应力和变形
πD (1 − α 4 ) ≈ 0.1D 4(1 − α 4 ) =
4
32
确定最大剪应力 由
T⋅ρ τρ = Ip
可知当
d ρ = R = , τ ρ → τ max 时 2
有
τ max
d T⋅ 2 = T = T (令 W p = I = p d Wp Ip Ip 2
d ) 2
τmax
T max = Wp
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
解 （1）计算外力偶矩 ）
m3
m1
m4
P 500 1 M1 = 9.55 = 9.55⋅ e n 300 A =15.9(kN⋅ m )
n B C D
P 150 2 M 2 = M 3 = 9.55 = 9.55⋅ e e = 4.78 (kN⋅ m ) n 300 P 200 4 m = 9.55 = 9.55⋅ = 6.37 (kN⋅ m ) 4 n 300
一、圆轴扭转时的应力 扭转实验的变形特点 各圆周线绕轴线发生了相对旋转， 各圆周线绕轴线发生了相对旋转， 但形状、大小及相互之间的距离 但形状、 均无变化， 均无变化，所有的纵向线倾斜了 同一微小角度γ。 同一微小角度 。 圆轴扭转时， 圆轴扭转时，各横截面如同 刚性圆片， 刚性圆片，仅绕轴线作相对 旋转。 旋转。此假设称为圆轴扭转 时的平面假设 时的平面假设 。
（2）求扭矩（扭矩按正方向设） ）求扭矩（扭矩按正方向设）
∑Mec = 0 , T1 + Me2 = 0
T = −M 2 = −4.78kN⋅ m e 1
m2
1
m3
2
m1
3
m4
T2 + M 2 + M 3 = 0 , e e
A
1
B
2
C
n 3 D
T2 = −M 2 − M 3 = −(4.78+ 4.78) = −9.56kN⋅ m e e
在一些连接件的剪切面上， 在一些连接件的剪切面上，应力的实际分布情况比较复 切应力并非均匀分布，且还可能有正应力。 杂，切应力并非均匀分布，且还可能有正应力。所以由 上式算出的只是剪切面上的“平均切应力，是一个名义 上式算出的只是剪切面上的“平均切应力，是一个名义 切应力。 切应力。 剪切强度条件
T
⊕
x
例9-2 如图所示圆截面杆各截面处的外力偶矩大小分别为 Me1=6M，Me2= M，Me3=2 M，Me4=3 M，求杆在横截面11、2-2、3-3处的扭矩。
按照截面法， 解 按照截面法，∑Mx=0 有
扭矩图如下
例9-3
如图为一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
σ jy =
Fjy Ajy
挤压面积 A jy = dt
挤压强度条件
σ jy =
F jy A jy
≤ σ jy
[ ]
例9-1 一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为 t=1cm，宽度 b=8.5cm ，许用应力为[σ ]= 160M Pa ；铆钉的直径 d=1.6cm，许用剪应力为[τ]= 140M Pa ，许用挤压应力为[σjy]= 320M Pa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。） P b P 解： 受力分析如图
τ = G ⋅γ
dx dx
代入上式得 τ ρ = G ⋅ γ ρ = G ⋅ ρ dϕ = ρ ⋅ G dϕ