材料力学 第五章 剪切和扭转

1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：
螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。
螺栓 P
特点：可传递一般 力，
可拆卸。
P
P 铆钉
P
无间隙
特点：可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。 齿轮
m
键
轴
特点：传递扭矩。
F m m F
剪切变形（shearing deformation）:如图所示作用在联 接件两侧面上的一对外力的合力大小相等，方向相反，作用 线相距很近；并使各自作用的部分沿着与合力作用线平行的 截面m-m（称为剪切面（shear surface））发生相对错动。
三、外力偶矩换算 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可 通过传递功率和转数来换算。 若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟 功率作功： W 60 P 力偶作功：
W m 2n
60 P m 2n
P m 9550 (N m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（r/min）
δ
σ
FN = F F
F
b
F
１. 剪切强度计算 F Q =F

FQ AQ
F
δ
F
d
δ b FQ = F FQ = F
F
F
AQ为剪切面面积。
剪切强度条件

FQ AQ [
F
]
[τ]为铆钉的容许切应力。
F
２.挤压强度计算
F bs =F
F
F
F
bs Fbs
δ
d
δ F F
Abs
b
A bs为计算挤压面面积
§5–2 连接接头的强度计算
（合力） P 1、连接处破坏三种形式： ①剪切破坏
n
n
P （合力） 剪切面 n
沿铆钉的剪切面剪断，如
沿n– n面剪断 。 ②挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接松动，
FS n
P
发生破坏。
③拉伸破坏
钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。
三种破坏形式
FN 2 3P / 4 75 103 110MPa A2 (b 2d )t 68 10 FN 3 P 100 103 119MPa A3 (b d )t 84 10
max 33 [ ] Nhomakorabea板也满足拉压强度条件，铆接件安全。
[例5]已知图示圆梯形杆D=32mm，d=20mm，h=12mm，材 料的[]=100MPa，[bs]=200MPa。受拉力P=50kN 作用，试 校核此杆的强度 。 D 剪切面
剪切面和剪力为∶
P b
c
As
Abs
P P
FS P 40 107 0.952MPa AS bh 12 35
Pbs P 40 bs 107 7.4MPa Abs cb 4.5 12
例2 齿轮与轴由平键（b×h×L=20 ×12 ×100）连接，它传递的
扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为[]= 60M
例1 画图示杆的扭矩图 3kN.m 1 5kN.m 2 2kN.m
解： AC段：
A C 1 3kN.m 2 B 2kN.m T2 扭矩图 3kN.m ⊕ 2kN.m
○ -
m 0 m 0
T1 3 0; T1 3kN.m
BC段：
T1
T2 2 0; T2 2kN.m
3、设计外载： FS AS [ ]；P bs A bs [ bs ]
例1 木榫接头如图所示，a = b =12cm，h=35cm，c=4.5cm,
P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。 h P a 解：：受力分析如图∶ P
FS Fbs P 挤压面和挤压力为：
P ：剪应力和挤压应力
铆钉挤压应力
bs
Fbs F / 4 100 103 156MPa [ bs ] Abs dt 4 16 10
铆钉满足强度条件，安全。
1 上板受力图 1
F/4
2
F/4 F/4
3
F/4
2—2截面
F
3—3截面
2
3F/4
3
F
上板轴力图
F/4
⊕ ⊕
⊕ t
2 2
33
此杆安全。
[例6]木榫接头如图所示，宽b=20cm，材料[]=1MPa， [bs]=10MPa。受拉力P=40kN作用，试设计尺寸a 、h 。 F F
a
h
剪切面
Fbs
挤压面
F
解： 剪切面面积：As
ab bh
Abs 挤压面面积：
a
h
剪切面
Fbs
挤压面
F
取接头右边，受力如图。
Fs Fbs F
④剪切面上的内力： 内力 -剪力FS ，其作用线与剪
FS
剪切面 切面平行。
n
P
n
⑤ 剪切面上的切应力： 与剪力FS 对应的应力称为切 应力
，产生剪切变形。
3、剪切虎克定律：
单元体ab 的倾角 称为切应变， 切应变是单元体直角的改变量。实 a dy

´
b
验表明，在弹性范围内，切应力与
切应变成正比，即
F
[σt ]为板的容许拉断应力。
3、挤压的实用计算 挤压：构件局部面积的承压现象。
挤压力：在接触面上的压力，记Fbs 。
1、挤压力―Fbs接触面上的合力。
计算挤压面 实际挤压面
F
Pbs=F
2、挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积。
挤压面积 Abs dt
挤压应力
bs
面的面积。
2、受力特点和变形特点： 以铆钉为例： （合力） P ①受力特点： 构件受两组大小相等、方向相 反、作用线相互很近（差一个几
n
n
P （合力）
何平面）的平行力系作用。
②变形特点： 构件沿两组平行力系的交界面 发生相对错动。
（合力） P
③剪切面： 构件将发生相互的错动面，如
n
n
P （合力）
n– n 。
例2 已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率 P2=150kW，P3=150kW，
P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1 n
m4
P 500 1 9.55 n 300 A B C 15.9(kN m) P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300 m1 9.55
h 2
2m 2 1600 P FS Pbs 64 kN d 0.05 m P h
AQ
L
b
d
剪应力和挤压应力的强度条件
FS FS 64 [ ] [ L1 ] 103 (m) 50mm Lb b[ ] 16 80
2 Pbs 2Pbs 2 64 [ bs ] [ L2 ] 103 (m) 53.3mm Lh h[ bs ] 10 240
Abs = dδ
挤压强度条件
bs
]
Fbs
bs Fbs
Abs
[ bs
[σbs ]为容许挤压应力。
３. 拉伸强度计算 F N =F
t FN
At δ F F
d
δ b
F
F
A t为拉断面面积
At =（b- d )δ 拉断强度条件 FN = F
σ
t F N [ t
At
]
（１）铆钉沿横截面剪断，称为剪切破坏。
F FQ = F FQ = F
F
F
F
δ
d
δ
F
F
b
（２）铆钉与板孔相互挤压而在铆钉表面和孔壁面的局部范围 内发生显著的塑性变形，称为挤压（bearing）破坏。
F δ
F
d
bs
Fbs
F
F
δ F
b
（３）板在钉孔位置由于截面削弱而被拉断，称为拉断破坏。
F δ
F
d
Fs F [ ], As ab
F 40 103 a 200m m [ ] b 1 200
40 103 h 20mm [ bs ] b 10 200 F
bs
Fbs F [ bs ], Abs bh
§5–3 扭转的概念
扭转： 直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线
d
挤压面
P
P
解：Fs F jy F
剪切面
dh 2 2 挤压面面积： Abs ( D d ) 4 Fs P 挤压面 As dh
剪切面面积： As
d
50 103 66.3MPa [ ] 20 12
P
bs
Pbs 4P 4 50 103 102MPa [ bs ] 2 2 2 2 Abs ( D d ) (32 20 )
Ⅰ
m
卷曲四指表示扭矩的转向，若拇
指沿截面外法线指向，扭矩为正， 反之为负。 m
T
x
m
T
x
扭矩的大小由平衡方程求得。
m
二、扭矩图
x
0; T m 0,
T m
各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示 各截面扭矩的图象称为扭矩图。 扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：