结构力学第九章薄壁杆件扭转
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刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于 图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例 如对于第2室，有
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三 个尺度通常满足如下关系：
式中，t—壁厚；b—bl 截tt 面11的00最 大宽度（；9l-—1）杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他 约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束扭 转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不 相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变， 于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外，还有 因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截面上 分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴随产 生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截面上 就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一 个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭 矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见， 薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应
力τ沿壁厚是均匀分布的。记
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图9-
3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上
无正应力，即轴向力为零，所以有：
y
ads b h qds dA o
(图9-3) a
x tb
b
a
ta
b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
Ms
GI t
（9-2）
式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）；
Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转
常数）。
I t
1 3
i
hi
t
3 i
（9-3）
式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长边）
和厚度（ห้องสมุดไป่ตู้边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q4
qn
d
c
q1
q2
q3
a
b(图9-4)
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：
M s 2 Aiqi
（9-12）
式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
n
Ms 2Aiqi
i 1
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。仅 由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还必 须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程 和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶 结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体 梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面 所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算 公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算 公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
4 A2 ds
t
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
（9-10）
q
ds t
2GA
上式称为环流方程式。
（9-11）
3.多闭室薄壁杆件的自有扭转
对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭矩 Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并规 定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室公 共壁上的剪流为该两室剪流之差。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
t
Ms
2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件
中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭
角为dφ,则扭矩所做的功为：
dW
1 2
M s d
截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f）
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。材 料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后，杆 件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现 象称为翘曲。
则
It
1 3
s1 t 3ds
0
式中，si—壁厚中心线的总长
（9-4）
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
s
Mst It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁 厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚 最大处的表面上。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转
薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。
如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并不 受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就称 为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横截 面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横截 面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的直 线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上没 有正应力而只有扭转引起的剪应力。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
dV
dx
2
2G
tds
dx
1 2G
Ms 2 At
2 tds
dx
Ms 8GA2
ds t
由dW=dV，可得扭率：
d
dx
Ms 4GA2
ds t
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭转 常数计算公式：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
It
btb ata dx 0
或
q btb ata （9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。
下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
dMs hqds
ds所对的扇形面积为：
dA 1 hds 2
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三 个尺度通常满足如下关系：
式中，t—壁厚；b—bl 截tt 面11的00最 大宽度（；9l-—1）杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他 约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束扭 转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不 相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变， 于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外，还有 因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截面上 分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴随产 生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截面上 就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一 个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭 矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见， 薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应
力τ沿壁厚是均匀分布的。记
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图9-
3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上
无正应力，即轴向力为零，所以有：
y
ads b h qds dA o
(图9-3) a
x tb
b
a
ta
b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
Ms
GI t
（9-2）
式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）；
Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转
常数）。
I t
1 3
i
hi
t
3 i
（9-3）
式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长边）
和厚度（ห้องสมุดไป่ตู้边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q4
qn
d
c
q1
q2
q3
a
b(图9-4)
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：
M s 2 Aiqi
（9-12）
式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
n
Ms 2Aiqi
i 1
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。仅 由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还必 须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程 和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶 结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体 梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面 所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算 公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算 公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
4 A2 ds
t
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
（9-10）
q
ds t
2GA
上式称为环流方程式。
（9-11）
3.多闭室薄壁杆件的自有扭转
对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭矩 Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并规 定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室公 共壁上的剪流为该两室剪流之差。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
t
Ms
2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件
中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭
角为dφ,则扭矩所做的功为：
dW
1 2
M s d
截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f）
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。材 料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后，杆 件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现 象称为翘曲。
则
It
1 3
s1 t 3ds
0
式中，si—壁厚中心线的总长
（9-4）
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
s
Mst It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁 厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚 最大处的表面上。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转
薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。
如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并不 受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就称 为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横截 面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横截 面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的直 线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上没 有正应力而只有扭转引起的剪应力。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
dV
dx
2
2G
tds
dx
1 2G
Ms 2 At
2 tds
dx
Ms 8GA2
ds t
由dW=dV，可得扭率：
d
dx
Ms 4GA2
ds t
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭转 常数计算公式：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
It
btb ata dx 0
或
q btb ata （9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。
下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
dMs hqds
ds所对的扇形面积为：
dA 1 hds 2