结构力学第九章薄壁杆件扭转
工程与材料力学第9章-扭转
r 扭转实例
F F
M
r 扭转及其特点
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为
直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转
以扭转为主要变形的杆件－轴 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
τ
1,max
=
16M A πd 3
=
16×100 3.14× 0.023
= 63.7MPa
τ
2,max
=
16 M C πd03 (1−α
4
)
= =
16×100 3.14× 0.0253 ×（1− 74.9MPa
0.64）
§6 圆轴扭转强度与合理设计
r 扭转失效与扭转极限应力 r 圆轴扭转强度条件 r 圆轴合理强度设计 r 例题
mI
I
m
M
扭
x
M x
矩
符 号
I
M x (+)
II
m
规 定
mI
M x
：
M
x
I
I
M x (−)
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向 表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定 扭矩为正，反之为负。
扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化 的坐标图（与轴力图作法完全相同）。
引入比例常数G
τ =Gγ τp－剪切比例极限
在剪切比例极限内，切应力与 切应变成正比－剪切胡克定律
G－切变模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa
钢与合金钢：E =75~80 GPa
薄壁杆件的弯曲扭转作用
薄壁杆件的弯曲扭转作用摘要薄壁杆件在竖向荷载作用下将受弯和受扭，产生自由扭转应力和约束扭转应力,截面上的总应力等于平面弯曲正应力加约束扭转正应力。
运用实验力学的应变片理论测量出结构在荷载作用下的应变，进而求出应力大小与方向。
并且运用理论计算进行核对。
之后进行误差理论的分析，进而了解薄壁杆件的受力情况。
关键词薄壁杆件自由扭转约束扭转应力Abstract:Under the vertical load ,the torsion stress and restraining twist rotation stress will be made in thin-wall element,the bend and torsion will occur.Plane bending stress plus restraining twist rotation stress are equal to total stress on the whole section. And measure the stress by Electrical method, get the accurate strain and stress, the exact direction of them. Meanwhile, checking in by analyzing of theory.Besides,through the error analyses, have a profound understanding about the thin-wall element.Key words:thin-wall element; torsion; restraining twist rotation; stress一.引言：钢结构薄壁杆件在实际工程中的应用,引起了工程设计的重视,如型钢或由几个狭长矩形钢板组合的截面等都是薄壁杆件。
薄壁杆件力学
薄壁杆件力学一、引言薄壁杆件力学是结构力学的一个重要分支，主要研究薄壁杆件的受力和变形规律。
薄壁杆件广泛应用于航空、航天、汽车、机械等领域，因此对其力学性能的研究具有重要意义。
二、薄壁杆件的基本概念1. 薄壁杆件的定义薄壁杆件是指截面尺寸相对较小，且轴向载荷较大的结构元件。
在实际工程中常见的薄壁杆件有圆管、方管、角钢等。
2. 薄壁杆件的特点（1）强度高：由于其截面尺寸相对较小，因此强度相对较高。
（2）重量轻：由于其截面尺寸相对较小，因此重量相对较轻。
（3）易于加工：由于其截面尺寸相对较小，因此易于加工成各种形状。
三、薄壁杆件受力分析1. 轴向载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到轴向载荷作用时，其受力分析可以采用杆件理论进行计算。
根据杆件理论，薄壁杆件的应力为：σ= F/A其中，σ为应力，F为轴向载荷，A为截面积。
2. 弯曲载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到弯曲载荷作用时，其受力分析可以采用梁理论进行计算。
根据梁理论，薄壁杆件的弯矩为：M= EI/ρ其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为曲率半径。
3. 剪切载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到剪切载荷作用时，其受力分析可以采用剪切变形理论进行计算。
根据剪切变形理论，薄壁杆件的剪应力为：τ= F/As其中，τ为剪应力，F为剪切载荷，As为截面面积。
四、薄壁杆件的变形规律1. 轴向变形规律当薄壁杆件受到轴向载荷作用时，其轴向变形规律可以采用杆件理论进行计算。
根据杆件理论，薄壁杆件的轴向变形为：δ= FL/EA其中，δ为轴向变形，F为轴向载荷，L为杆件长度，E为弹性模量，A为截面积。
2. 弯曲变形规律当薄壁杆件受到弯曲载荷作用时，其弯曲变形规律可以采用梁理论进行计算。
根据梁理论，薄壁杆件的弯曲变形为：δ= M L/ EI其中，δ为弯曲变形，M为弯矩，L为跨度长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
3. 剪切变形规律当薄壁杆件受到剪切载荷作用时，其剪切变形规律可以采用剪切变形理论进行计算。
工程力学第九章扭转PPT课件
.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
理论力学第09章扭转
S y = ∫ AzdA
对ｙ轴静矩 对ｚ轴静矩
z
dA
C
z
z
O
S z = ∫A ydA
y
y
y
静矩可正、可负或为零。
Sz y= A
S y z= A
形心
若把所讨论的截面看作等 厚度的均质薄板，形心和 重心重合。
19
扭转
当截面的形心位置已知时，可由形心坐标与面积相乘 得到静矩。
dυ
γρ = ρ
dυ dx
横截面上切应变随半径按线性规律变化。
相距单位长度两个横截面间的相对扭转角，同一横截 面上为常量
dx
14
扭转
物理方面
根据剪切胡克定律
dυ
γρ = ρ
τ ρ = Gγ ρ
dυ τ ρ = Gρ dx
dx
ρ
τ
横截面上任一点的切应变随半径按线性变化， 且垂直于半径
15
扭转
力学方面
S y = zA
S z = yA
在图形平面内过形心的轴线称为形心轴。截面图形对 形心轴的静矩必为零。与此相反，若截面图形对某一坐标 轴的静矩为零，则该坐标轴必为形心轴。 对于由简单图形组成的截面图形，进行静矩计算时， 可分别计算各简单图形对所选坐标轴的静矩，然后求代数 和。
20
扭转
例：Ｔ字形截面。
=( GI P
ο
}
≤ [ϕ ] 精密机器的轴 [ϕ ] = (0.25 − 0.50)ο / m 圆轴扭转时的刚度条件
) × [ϕ ] 可查相关手册
max
π
一般传动轴
[ϕ ] = (0.5 − /m
ο
GI P
精度要求不高的轴 [ϕ ] = (1 − 2.5) / m
静力学和材料力学课件第九章 扭转(H)
B
C
C'
d dx
第九章 扭
转
1.变形几何关系
d γ dx
2.物理关系
G
d G dx
max
O
d ? dx
第九章 扭
转
3.静力学关系
d 2 T dA G dA A A dx d G 2 dA dx A
第九章 扭
转
M1
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
A
75
M 2 50 M 3
C
500
B
750
A B
T1l1 2.5 103 750 103 7.55 103 rad GI P1 80 109 754 1012 32
T2l2 1.5 103 500 103 15.28 103 rad GI P 2 80 109 504 1012 32
1、实验
D
t
D / t 20
第九章 扭
转
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕
圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭
转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
a d
b c
B、正应力不存在性
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
2n P M M 60
扭矩和扭矩图
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
P P M 9 549 ( N m) 9.55 (kN m) n n
工程力学扭转详解
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
船舶结构力学名词解释
弹性固定端：它受梁端力矩M作用后产生一个等于力矩M的转角Ɵ即存在如下关系Q0=A0M。
几何不变体系：是指如果不考虑材料应变所产生的变形，体系在受到任何载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系。
不可动节点简单刚架：在实际结构中，大多数刚架受力变形后节点线位移可以不计，于是计算强度时在节点处可加上固定铰支座，故称为不可动节点刚架。
位移法：以杆系结构节点处的位移作为基本未知量的方法。
翘曲：非圆截面杆件扭转变形后，杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现象称为翘曲。
用李兹法求结构问题是，要求所选挠度曲线必须满足位移边界线。
（错，还含有其他）薄壁杆件约束扭转时，杆件各横截面上没有正应力，只有扭转引起的剪应力。
（对，杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线）简述复杂弯曲梁的叠加原理：当梁上同时受到几个不同的横向荷重及一定的轴向力作用时，分别求出在该轴向力作用下的各个横向荷重单独作用于梁时的弯曲要素，然后进行叠加，即得到在该轴向力作用下几个不同的横向荷重同时作用于梁时的弯曲要素。
矩阵位移法中，为什么要进行坐标转移？对哪些量要进行坐标转换？答：建立节点静力平衡方程是在总坐标系中进行的，因此，一般来说在矩阵位移法中有一个坐标转换问题。
要把各杆元在其局部坐标系中的节点位移向量，杆端力向量以及刚度矩阵，转换成坐标系中的节点位移向量，杆端力向量以及刚度矩阵。
杆元固端力向量也要换成坐标系中的杆元固端力向量。
简述薄板弯曲理论中的三条基本假定。
1板变形前垂直于中面的法线在板变形后仍为直线，且是变形后中面的法线，这一假定称为直法线假定。
2垂直于板面的应力分量与其他应力分量相比可以忽略不计，即假定其=0。
3薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即假定不计因板发生弯曲而产生的中面的变形，从而不计板弯曲产生的中面力。
简述欧拉力计算公式的的适用范围，为什么要研究非弹性稳定性问题？只有当压杆的柔度大于极限值时才能使用欧拉公式若压杆的柔度X<Xp，则欧拉应力大于材料比例，这属于超比例极限的压杆稳定性问题，即非弹性稳定性问题，这时欧拉公式不能使用。
最新工程力学9-扭转讲课讲稿
工程16力学
功率P每分钟作功,功率的单位是千瓦（kW）
W P10 0 60 0
（1）
转矩（外力偶矩） m 所作的功
W ＝ m2n
（2）
（1）＝（2），有
P 10 6 0 m 0 0 2 n
工程17力学
于是得
PkW（千瓦） m9549Pn，其中 mnrNpmm（ （转 牛 /分 米） ）
工程36力学
根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应 力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。
工程37力学
将dx段取出并放大
m
m
a' b'
ro
c'
x
d'
t
dx
工程38力学
Mn
a'
b'
d' c'
dx
Mn ro
d x
t
相对扭角(扭转角)： 两横截面相对转动的 角度，用表示。
工程21力学
例题
某转动轴，转速n = 200 rpm,
主动轮输入功率为PA = 200 kW,三个从动轮输出 功率分别为PB = 90 kW, PC = 50kW, PD = 60 kW
1、计算1-1 2-2 3-3截面的扭矩；2、画出扭矩图
工程22力学
解 首先计算各个外力矩的大小
M A9 5 4 9P n9 5 4 92 2 0 0 0 09 5 4 9 N m
t t
t
பைடு நூலகம்dx
y
dx
t
dx
mz 0
(τ tdx)dy (τ tdy)dx 0 (t tdy)dx (t tdx)dy t t
杆的扭转定理和公式
圆截面杆的扭转外力与内力 || 圆杆扭转切应力与强度条件 || 圆杆扭转变形与刚度条件 || 圆杆的非弹性扭转1.外力与内力杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2·2-1a），其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。
轴类构件常有扭转变形发生。
作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算。
当N的单位为千瓦（kW）时当N的单位为马力（HP）时扭转时的内力为扭矩T，用截面法求得。
画出的内力图称为扭矩图（或T图），如图2·2-1b所示图2·2-1 圆杆的扭转2.圆杆扭转切应力与强度条件当应力不超过材料的剪切比例极限r p时，某横截面上任意C点（图2·2-2）的切应力公式为式中T——C 点所在横截面上的扭矩p——C点至圆心的距离L p——横截面对圆心的极惯性矩，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。
图2·2-2 切应力分布圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布，其方向垂直于半径（图2·3-2）。
模截面上的最大切应力在圆周各点上，其计算公式为等截面杆的最大切应力发生在T max截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。
其强度条件为式中，[τ]为许用扭转切应力，与许用拉应力[σ]的关系为：[τ]=（0.5～0.6）[σ] (塑性材料)或[τ]=（0.5～0.6）[σ]（脆性材料）3.圆杆扭转变形与刚度条件在比弹性范围内，圆杆在扭矩T作用下，相中为L的两截面间相对扭转角为或式中G——材料的切变模量单位扭转角公式为或式中GL p——抗扭刚度圆杆上与杆轴距离为p外（图2·2-2）的切应变r为圆杆表面处的最大切应变为式中,r——圆杆的半径等截面圆杆的最大单位扭转角，发生在T max一段内，其刚度条件为式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角（°）/m4.圆杆的非弹性扭转讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。
结构力学薄壁杆件扭转
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
t
Ms
2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件
中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭
角为dφ,则扭矩所做的功为：
dW
1 2
M s d
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他 约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束扭 转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不 相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变， 于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外，还有 因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截面上 分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴随产 生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截面上 就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一 个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭 矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见， 薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
Ms
GI t
（9-2）
式中，—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转
常数）。
I t
1 3
i
hi
t
3 i
（9-3）
式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长边）
和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
工程力学第9章(扭转)
解：⑴ 计算外力偶矩 PA 4 M A 9549 9549 76.4N m n 500 PB 10 M B 9549 9549 191N m n 500 PC 6 M C 9549 9549 114.6N m n 500 ⑵ 计算轴各段的扭矩 1-1：
所以BD的直径
d 4.47 102 m
AC AB BC 1.50 102 (1.17 102 ) 0.33 102 rad
⑵ 校核轴的刚度 T T 180 180 max max AB 0.43o /m GI P GI P 80 109 3.0 105 1012 所以轴的刚度满足要求
TBA 468N m TAC 700N m TCD 350N m Tmax 700N m
⑶ 计算BD的直径 按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
M
x
(F ) 0 : (F ) 0 :
T1 M A 0 T2 MC 0
解得： T1 76.4N m 2-2：
M
x
解得： T2 114.6N m
⑶ 绘制扭矩图
§9-3
切应力互等定理与剪 切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不 变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩 形变为平行四边形。
圆轴扭转横截面上的应力
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变； 各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平 行四边形。
· 平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的 横截面，变形后仍为平面，形状、 大小不变，半径仍为直线，两相 邻截面间的距离不变。 ·切应变在横截面上的分布
结构力学第九章薄壁杆件扭转 28页
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
作业2、3、5
考试
考试题型： （1）选择填空 （2）判断题（不要解释理由，只要判断对错）
以上两项共54分，可能会增加题量，减小每题的分值 （3）计算题（基本运算）46分 计算题比作业题目简单，运算量小 重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节 试验报告＋作业＝平时分 考试时计算题先把关键公式写下
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其 他约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束 扭转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是 不相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改 变，于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外， 还有因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截 面上分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴 随产生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截 面上就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形 成一个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上 的扭矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可 见，薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
壁截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f）
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。 材料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后， 杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种 现象称为翘曲。
qds dA o
x tb b
a ta
b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
btb atad x 0
或
qbtbata （9-7）
船舶结构力学
第一章：绪论1由于船舶经常在航行状态下工作，它所受到的外力是相当复杂的。
这些外力包括船的各种载重（静载荷）、水压力、冲击力、以及运动所产生的惯性力（动载荷)等。
为了保证船舶在各种受力下都能正常工作，船舶具有一定的强度。
所谓具有一定的强度是指船体结构在正常使用的过程中和一定的年限内具有不破坏或不发生过大变形的能力。
2船体强度包括中拱状态、总纵强度、局部强度、扭转强度问题、应力集中问题、低周期疲劳。
3把船舶整体当做空心薄壁梁计算出来的强度就成为船体的总纵强度。
局部强度是指船体的横向构件（如横梁、肋骨、及肋板等）一集船体的局部构建（如船底板、底纵衍等）在局部载荷作用下的强度。
4船体强度所研究的问题通常包括外力，结构在外力作用下的响应，及内力与变形，以及许用应力的确定等一系列问题。
船舶结构力学只研究船体结构的静力响应，及内力与变形，以及受压结构的稳定性问题，因此，船舶结构力学的首要任务是阐明结构力学的基本原理与方法，即阐明经典的方法、位移法及能量原理。
5船舶设计与制造是一个综合性很强的行业。
学习本课程不要仅仅满足于会计算船体结构中一些典型构件（如连续梁、钢架、板架、板）还应学会解决一般工程结构的计算问题。
6船体结构是由板和骨架等构件组成的空间复杂结构，在进行结构计算之前需要对实际的船体结构加以简化。
简化后的结构图形称为实际结构的理想化图形或计算图形（又称计算模型或力学模型等）7结构的计算图形是根据实际结构的受力特征，构建之间的相互影响，计算精度的要求以及所采用的计算方法，计算工具等因素确定的。
因此，对于同一个实际结构，基于不同的考虑就会得出不同的计算图形，对于同一个实际结构，其计算图形不是唯一的，一成不变的。
8首先是船体结构中的板，板是船体的纵、横骨架相连接的，且通常被纵、横骨架划分成许多矩形的板格。
9其次是船体结构中的骨架，船体结构中的骨架无外乎是横向构件—横梁、肋骨、肋板和纵向构件—纵桁、纵骨等，它们大都是细长的型钢或组合型材，故称为“杆件”或简称为“杆”。
工程力学第九章扭转ppt课件
T2-M C-上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为
TmaxT2 141.6m N
T
76.4N·m
x
114.6N·m
例题 一传动轴如图，转速 n300rmin ； 主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
4.78
6.37
15.9
4.78
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均一样。
例2 以下图所示阶梯形圆截面轴，在横截面A、B与C处承受 扭力偶作用，试校核轴的强度。MA=150N.m，MB=50N.m， MC=100N.m，许用切应力［τ］＝90MPa。
解：〔1〕问题分析 绘制扭矩图，由图知AB与BC 段的扭矩分别为
T1=150N.m T2=100N.m
〔2〕强度校核
m1a xD ,1 3 1 1 T 1 D 6 d 1 1 4 0 .0 1(3 2 1 6 1 N 4 5 0 0 m ..0 0 0 ) 2 1 4 4 8 8 .0 8 17 8 P 0 a 8.8 0 M 8 P m2 a x,D 2 3 1 1 T 2 6 D d 2 2 4 0 .0 1(3 2 1 6 1 2 0 N 0 0 m ..0 0 0 )1 2 4 8 2 8 .6 7 17P 0 a 8.7 6 MPa
那么其内径为: di=0.9do=0.9 0.0763=0.0687m 取 do=76mm，di=68mm〔注意〕
船舶结构力学-第九章薄壁杆件扭转
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q2a bd t sq2q 3b cd t sq2q4d cd t sq2q 1d ad t s2 G2 A
或写成
q22dt sq121dt sq323dt sq424dts2G2A
上式写成通用形式为：
沿第i与第k 室的公共
绕第i室的 周线积分
qi
i
ds tk
qkikdt s壁2积G分2A
（9-13）
式中，i=1,2,3,…,n；
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi Gqi
再将上式代入（9-14），最终得出各室剪流的计
算公式：
qi
qi
Ms It
（9-18）
式中，i=1,2,3,…,n。
10
三闭室截面如图 所示，两端受扭 矩Ms40k0N m
8 12 300
16
10 600
10
800
400
(图9-5)
求扭转惯性矩及 剪流
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程 和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶 结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体 梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面 所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算 公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算 公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
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截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f）
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。材 料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后，杆 件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现 象称为翘曲。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
t
Ms
2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件
中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭
角为dφ,则扭矩所做的功为：
dW
1 2
M s d
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程 和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶 结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体 梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面 所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算 公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算 公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
则
It
1 3
s1 t 3ds
0
式中，si—壁厚中心线的总长
（9-4）
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
s
Mst It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁 厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚 最大处的表面上。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三 个尺度通常满足如下关系：
式中，t—壁厚；b—bl 截tt 面11的00最 大宽度（；9l-—1）杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁
刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于 图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例 如对于第2室，有
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他 约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束扭 转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不 相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变， 于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外，还有 因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截面上 分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴随产 生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截面上 就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一 个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭 矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见， 薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
btb ata dx 0
或
q btb ata （9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。
下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
dMs hqds
ds所对的扇形面积为：
dA 1 hds 2
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
Ms
GI t
（9Байду номын сангаас2）
式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）；
Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转
常数）。
I t
1 3
i
hi
t
3 i
（9-3）
式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长边）
和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
dV
dx
2
2G
tds
dx
1 2G
Ms 2 At
2 tds
dx
Ms 8GA2
ds t
由dW=dV，可得扭率：
d
dx
Ms 4GA2
ds t
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭转 常数计算公式：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
It
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q4
qn
d
c
q1
q2
q3
a
b(图9-4)
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：
M s 2 Aiqi
（9-12）
式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
n
Ms 2Aiqi
i 1
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。仅 由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还必 须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。
4 A2 ds
t
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
（9-10）
q
ds t
2GA
上式称为环流方程式。
（9-11）
3.多闭室薄壁杆件的自有扭转
对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭矩 Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并规 定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室公 共壁上的剪流为该两室剪流之差。
薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。
如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并不 受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就称 为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横截 面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横截 面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的直 线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上没 有正应力而只有扭转引起的剪应力。
可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应
力τ沿壁厚是均匀分布的。记
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图9-
3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上
无正应力，即轴向力为零，所以有：
y
ads b h qds dA o
(图9-3) a
x tb
b
a
ta
b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转