弹塑性力学-第7章柱体的弹塑性扭转

第七章 等截面柱体的弹塑性扭转

在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线z 的方向相重合。

扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。

7.1 弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解

在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为z y x ,,，且柱体的轴线为z 方向，z 方向的位移为w ，即0),,(=z y x w 。这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。

非圆形截面柱体的情况要复杂得多。由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即0),,(≠z y x w 。函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数。下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。 设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩T M 作用，如图7.1所示。

1. 边界条件

对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为

⎪⎭

⎪⎬⎫=+=+=+000m l m l m l zy zx y xy xy x ττσττσ (7.1-1)

式中),cos(),,cos(n y m x n l ==。

图7.1 棱柱体的扭转

在端部边界条件为

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰00,0)(0,0ydA xdA dA M dA y x dA dA z z

z T zx zy zy zx σσσττττ (7.1-2) 2.柱体扭转时的位移与应变

对于柱体扭转问题，圣维南半逆解法假设：(1)认为截面的翘曲变形与z 轴无关，即各截面们翘曲程度相同。(2)柱体发生扭转变形时，截面仅仅产生绕z 轴的刚体转动，且间矩为单位长度的两截面的相对扭转角(扭率)θ为常数。因此，由假设(1)可知，翘曲函数w 仅为y x ,的函数；又由假设(2) 可知，翘曲函数必与祟函数戏正比，即

),(y x w θψ= (7.1-3) 再由假设(2)，如果令距坐标原点为z 处截面相对0=z 截面的扭转角为z θ，则该截面上距扭转中心A 为r 的任一点扭转后移

至),,('z v y u x P +-(图7.2)，由于0=z 处截

面没有转动，只有翘曲，因此P 点在y x ,方向

的),,.(z y x P 位移分量为

⎭

⎬⎫==-=-=z x z r v z y z r u θαθθαθcos )(sin )( (7.1-4) 式中α为AP 与x 轴之间的夹角。由于截面总扭转角 图7.2扭转变形的位移 与该截面至坐标原点的距离成正比，故AP 的转角为z θ。将式(7.1-3)和式(7.1-4)代入应变位移关系，可得一点的应变为

⎪⎭⎪⎬⎫+∂∂=-∂∂=====)()(00x y ，y x ，

zy

zx xy z y x ψθγψθγγεεε (7.1-5) 3.广义虎克定律

对于柱体的弹性扭转，根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为 ⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂==-∂∂======)()(0x y G G y x G G zy zy zx zx xy z y x ψθγτψθγττσσσ (7.1-6) 由式(7.1-5)和(7.1-6)可见，根据圣维南原理得到：截面上任诃一点都没有正应力，因此各纵向纤维之间和沿各纵向纤维方向均无压了应力；在各截面内(xoy 平面)没有应变，即截面在xoy 坐标面上的投影形状不变。此外，在截面每一点只有由zx τ和zy τ所确定的纯剪切。

4.平衡方程

当不计体力时，平衡方程可由(2.2-2)式化为 ⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂000y x z z zy zx zy zx ττττ (7.1-7) 5.应变协调方程

将式(7.1-6)中的第二式对y 微分，第三式对x 微分，然后相减，可得用应力表示的两种不同形式的应变协调方程为 ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫-=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂θττψψG x y y x zy zx 202222 (7.1-8) 由上式可知，翘曲函数ψ是调和函数，通常称ψ为圣维南调和函数。于是，任意截面形状的柱体扭转时的应力，归结为根据边界条件求解(7.1-7)，(7.1-8)两式。

6.柱体扭转的应力函数法

由于从(7.1-8)式求解翘曲函数ψ通常比较困难，为此，借助应力函数法。当不计体力时，设应力函数ϕ与应力分量zx τ和zy τ之间的关系为 x y zy zx ∂∂-

=∂∂=ϕτϕτ, (7.1-9) 称ϕ为普朗特应力函数。将式(7.1-9)代入平衡方程式(7.1-7)，显然满足。将它代入应变协调方程(7.1-8)第二式后，得 θϕϕϕG y x 222222

-=∂∂+∂∂=∇ (7.1-10) 由此可知，应力函数ϕ应满足上述偏微分方程式(7.1-10)。这种类型的方程称为泊松方程。

当柱体侧面无面力作用时，则边界条件式(7.1-1)简化为

0=+m l zy zx ττ (a)

注意到在边界上，)(),(s y y s x x ==，由图7.1可知，当s 增加时，y 增加，而x 减少。因此，其方向余弦为 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-====ds dx y n m ds

dy x n l ),cos(),cos( (b) 将式(7.1- 9)和式(b)代入式(a)后，有

0=∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂s

s x x s y y ϕϕϕ (c) 由式(c)可知 =ϕ常数

上式说明，沿柱体任意截面的边界曲线，应力函数),(y x ϕ为一任意常数。对于实心柱体，也即截面为单连通域，由式(7.1-9)知，因剪应力是应力函数的一阶偏导数，所以将常数取为零并不失一般性，即

0),(=y x ϕ (沿柱体周边0C ) (7.1-11) 而截面上任一点的合剪应力的为 n

grad x y zy zx ∂∂==∂∂+∂∂=+=ϕϕϕϕτττ2222)()( (7.1-12) 式中n 为沿ϕ等值线的法线方向，τ的方向为沿ϕ等值线的切线方向，因此称ϕ等