第九章 扭转详解
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第9章 扭转 优质课件
m
m
T
T
m
负
10
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化
规律的图线。 目 ①扭矩变化规律；
的 ② |T|max 值及其位置 面）。
强度计算（危险截
m
m
T
x
11
MB
MC
MA MD
BI C Ⅱ
MB
TI
MB
MC TⅡ
AⅢ D
TⅢ MD
468
T
(N·m) 351 702
已知 MA= 1170 N·m MB = MC = 351 N·m MD = 468 N·m
dy
由上述分析可得如下结论： ①横截面上无正应力。 ②横截面上各点处，只产生 垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，方向与该截面的扭
矩方向一致。
´
a
b
´
c
d
dx
T
18
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
横截面上的分布内力系的合力为扭矩T， 于是由静力等效关系有：
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
d
dx
其中d
dx
为单位长度扭转角（即：扭
转角沿长度方向变化率）
代入剪切虎克定律： G
G G
计算过程见下页的动画
26
27
T A dA
dA
A G dA
G A 2dA
8
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时横截面上的内力偶矩，记作T。 2 截面法求扭矩
第九章-扭转
楔形体
γ
ρ
≈ tan γ
ρ
dd ′ ρ dφ = = dx ad
切应变
dφ γρ = ρ dx
飞机系统教研室
2.物理关系
变形规律 横截面任意 一点上 胡克定律
dϕ =ρ dx
应力分布
CAFUC
dϕ dx
γ xθ
τ xθ = Gγ xθ
xθ
τ xθ = G ρ
) 横截面上任意一点的切应力 τ
与该点到其中心的距离或半径 ρ 成正比。中心处为零，圆轴 表面处最大。沿垂直于半径方 向作用。
CAFUC
r/h太大轴易失稳
飞机系统教研室
截面急剧变化处应 设计圆角
例
CAFUC
飞机系统教研室
W = M
e
⋅ 2π ⋅
{ M } Nm = 9549 ⋅
{ P } kW { n } r / min
n 60
飞机系统教研室
9-2动力传递与扭矩
CAFUC
如： 某轮传递功率P=30kW , 转数 n = 300 rpm, 则它对轴作用的外扭转力偶矩为
P 30 M e = 9549 = 9549 n 300
32
3 0
,
= WP P
4 3 4 － πD 3 1 α ( )
α =d/D
16
2 0
I p = 2π R δ , WP = 2π R δ
飞机系统教研室
9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
CAFUC
一、扭转失效与扭转极限应力 —圆截面试样在扭转试验机
扭转屈服应力：试样 扭转屈服时横截面上的 最大切应力。
CAFUC 薄壁圆筒的扭转 (Torsion of thin —walled cylindrical Vessels) thin—walled
第9章扭转
第九章 扭转
第九章
§9–1 扭转的概念
扭 转
§9–2 外力偶矩的计算 · 扭矩与扭矩图 §9–3 薄壁圆筒的扭转 §9–4 圆轴扭转时的应力与 强度计算 §9–5 圆轴扭转时的变形与 刚度计算
第九章 扭转
第一节
扭转的概念
扭转的概念
M e外扭矩
剪切角
Me
相对扭转角
横截面绕轴线发生转动。
第九章 扭转
右 段 ：T 3 M D 0 T3 350N .m
第九章 扭转
2、计算各段扭矩
T1 468N .m
T2 700N .m
T3 350N .m
3、画扭矩图
Tmax T2 700N .m
第九章 扭转
例题 9-2
TA
1 TB
2
TC
3 TD
分别作截面1-1、 2-2、3-3，如右图 所示。 考虑1-1截面 1-1截面： ∑Mx（F）= 0 得 MT1 + TA = 0 MT1=TA= -2 kN.m
T
φ
MT（ MT =T）
第九章 扭转
这样，知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利用 静力学关系 M t d A r
T
A
r —— 用平均半径r0代替
则 从而有
M T t r0 d A t r0 A
t M T /( r0 A)
A
M T /( r0 2 π r0 )
T a |m T b b′ A T |m l m MT A O′ B
x
T x B
m MT
第九章 扭转
杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转 变形，产生相对扭转角 bO′b(B截面相对于A截面）， 受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩MT 。 本章主要研究以下内容： (1) 薄壁圆筒扭转时的应力和应变； (2) 圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直 圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简 单。） (3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学 中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截 面不再保持平面，要发生扭曲，求解复杂。）
第九章
§9–1 扭转的概念
扭 转
§9–2 外力偶矩的计算 · 扭矩与扭矩图 §9–3 薄壁圆筒的扭转 §9–4 圆轴扭转时的应力与 强度计算 §9–5 圆轴扭转时的变形与 刚度计算
第九章 扭转
第一节
扭转的概念
扭转的概念
M e外扭矩
剪切角
Me
相对扭转角
横截面绕轴线发生转动。
第九章 扭转
右 段 ：T 3 M D 0 T3 350N .m
第九章 扭转
2、计算各段扭矩
T1 468N .m
T2 700N .m
T3 350N .m
3、画扭矩图
Tmax T2 700N .m
第九章 扭转
例题 9-2
TA
1 TB
2
TC
3 TD
分别作截面1-1、 2-2、3-3，如右图 所示。 考虑1-1截面 1-1截面： ∑Mx（F）= 0 得 MT1 + TA = 0 MT1=TA= -2 kN.m
T
φ
MT（ MT =T）
第九章 扭转
这样，知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利用 静力学关系 M t d A r
T
A
r —— 用平均半径r0代替
则 从而有
M T t r0 d A t r0 A
t M T /( r0 A)
A
M T /( r0 2 π r0 )
T a |m T b b′ A T |m l m MT A O′ B
x
T x B
m MT
第九章 扭转
杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转 变形，产生相对扭转角 bO′b(B截面相对于A截面）， 受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩MT 。 本章主要研究以下内容： (1) 薄壁圆筒扭转时的应力和应变； (2) 圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直 圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简 单。） (3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学 中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截 面不再保持平面，要发生扭曲，求解复杂。）
工程力学ppt 9扭转
T Me = 0
所以
T = Me
称为截面n—n上的内力偶矩，称为扭矩。扭矩的正负号规定 上的内力偶矩， 称为截面 — 上的内力偶矩 称为扭矩。 若按照右手螺旋法则把T表示为矢量 表示为矢量， 为：若按照右手螺旋法则把 表示为矢量，则当矢量指向离开截 面时为正，反之为负。 面时为正，反之为负。
所示， 【例9.1】 传动轴如图 】 传动轴如图9.5(a)所示，主动轮 输入功率 P = 36 kW， 所示 主动轮A输入功率 A ， 从动轮B、 、 输出功率分别为 B 从动轮 、C、D输出功率分别为 P = P =11 kW，P =14 kW， ，D ， C 试画出轴的扭矩图。 轴的转速为 n = 300r/ min 。试画出轴的扭矩图。 解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩
●9.7 非圆截面杆扭转的概念 ● 9.7.1 限制扭转和自由扭转 ● 9.7.2 矩形截面轴的扭转切应力 ●小 结 ●思 考 题 ●习 题
●9.1 扭转的概念和实例 以扭转为主要变形的构件称为轴，如图9.1所示的汽车的转向 以扭转为主要变形的构件称为轴，如图 所示的汽车的转向 如图9.2所示的攻螺纹的丝锥 扭转有如下特点。 所示的攻螺纹的丝锥。 轴，如图 所示的攻螺纹的丝锥。扭转有如下特点。 (1) 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大 受力特点： 小相等、方向相反的外力偶。 小相等、方向相反的外力偶。 (2) 变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转 变形特点：横截面形状大小未变， 动，其角位移用表示，称为扭转角，其物理意义是用来衡量扭转 其角位移用表示，称为扭转角， 程度的。 程度的。
的平面内。 的平面内。 根据平面假设，距圆心 根据平面假设，
ρ 为处的切应变为
(b)
工程力学第9章(扭转)
例：图示传动轴，主动轮B 输入的功率 B=10kW，若不计 图示传动轴，主动轮 输入的功率P ， 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为P 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为 A=4kW， ， PC=6kW，轴的转速 = 500r/min，试作轴的扭矩图。 ，轴的转速n ，试作轴的扭矩图。
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
材料力学-第9章 扭转
y
dy dx
z
剪应力成对定理
在两个互相垂直的平面
上，剪应力必然成对存在， 且数值相等，两者都垂直于
两个平面的交线，方向则共
x
同指向或共同背离这一交线 ，这就是剪应力成对定理（
dz
pairing principle of shear
stresses）。
第9章 扭转
剪应力互等定理与剪切胡克定律
d M x
dx GIp
第9章 扭转
圆轴扭转变形与刚度条件
受扭圆轴的刚度设计准则
为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不 同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。
扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许 的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：
IP
max
Wp—— 扭转截面系数。
第9章 扭转
极惯性矩与抗扭截面系数
第9章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
极惯性矩Ｉp
I p
2dA 2dA A
扭转截面系数Ｗp
Wp
Ip r
Ip
d 4 32
0.1d 4
Wp
d 4 16
0.2d 4
其中d为圆截 面直径（d、D 为圆环内外径）
M xl
GIP
对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴， 轴两端面的相对扭转角为：
n M xili
i1 GI Pi
第9章 扭转
圆轴扭转变形与刚度条件
单位长度的相对扭转角
在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转 变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转 变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭 转角为：
工程力学第九章扭转PPT课件
.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
第九章扭转变形详解
第九章扭转§9-1 引言工程问题中，有很多杆件是受扭转的。
自行车的中轴受扭转。
齿轮传动示意图圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线外力偶作用（矢量与轴线一致）变形特点：M eM e 工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶M e扭转角：轴的变形以横截面间绕轴变形的相对角位移。
§9-2 动力传递与扭矩Ⅰ、传动轴的外力偶矩传动轴的转速n ；所传递的功率P (kW)作用在该轮上的外力偶矩M e 。
已知：求：传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩M e 之间的关系：)(n P 0247M e m N ⋅=(P —马力)M eM e A B min)/()(9549r n kW P M e =ωM P =ωPM =Ⅱ、扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
eM T =11利用截面法来确定.扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。
e M T =11T T M eM e A B11BM e AM e 11x M e T 图+x T例1: 一传动轴如图，转速n = 300r/min；主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150kW，P3= 150kW，P4= 200kW。
试作轴的扭矩图。
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩mkN 9.15m N )3005009549(1⋅=⋅×=M mkN 78.4m N )3001509549(32⋅=⋅×==M M mkN 37.6m N )3002009549(4⋅=⋅×=M 解：221133M 1M 2M 3M 4ABCD分别计算各段的扭矩mkN 78.421⋅−=−=M T mkN 37.643⋅==M T 221133M 1M 2M 3M 4A B CDT 111xM 2AT 2AM 2BM 322xT 333DM 4x2239.56kN mT M M =−−=−⋅扭矩图T max = 9.56 kN·m在CA 段内M 1M 2M 3M 4ABCD 4.789.566.37T 图(kN·m)一、扭转试验与假设：§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；（各横截面如同刚性圆片）2、纵向线倾斜了同一个角度γ ，表面上所有矩形均变成平行四边形。
理论力学第09章扭转
静矩与形心
S y = ∫ AzdA
对ｙ轴静矩 对ｚ轴静矩
z
dA
C
z
z
O
S z = ∫A ydA
y
y
y
静矩可正、可负或为零。
Sz y= A
S y z= A
形心
若把所讨论的截面看作等 厚度的均质薄板，形心和 重心重合。
19
扭转
当截面的形心位置已知时，可由形心坐标与面积相乘 得到静矩。
dυ
γρ = ρ
dυ dx
横截面上切应变随半径按线性规律变化。
相距单位长度两个横截面间的相对扭转角，同一横截 面上为常量
dx
14
扭转
物理方面
根据剪切胡克定律
dυ
γρ = ρ
τ ρ = Gγ ρ
dυ τ ρ = Gρ dx
dx
ρ
τ
横截面上任一点的切应变随半径按线性变化， 且垂直于半径
15
扭转
力学方面
S y = zA
S z = yA
在图形平面内过形心的轴线称为形心轴。截面图形对 形心轴的静矩必为零。与此相反，若截面图形对某一坐标 轴的静矩为零，则该坐标轴必为形心轴。 对于由简单图形组成的截面图形，进行静矩计算时， 可分别计算各简单图形对所选坐标轴的静矩，然后求代数 和。
20
扭转
例：Ｔ字形截面。
=( GI P
ο
}
≤ [ϕ ] 精密机器的轴 [ϕ ] = (0.25 − 0.50)ο / m 圆轴扭转时的刚度条件
) × [ϕ ] 可查相关手册
max
π
一般传动轴
[ϕ ] = (0.5 − /m
ο
GI P
精度要求不高的轴 [ϕ ] = (1 − 2.5) / m
S y = ∫ AzdA
对ｙ轴静矩 对ｚ轴静矩
z
dA
C
z
z
O
S z = ∫A ydA
y
y
y
静矩可正、可负或为零。
Sz y= A
S y z= A
形心
若把所讨论的截面看作等 厚度的均质薄板，形心和 重心重合。
19
扭转
当截面的形心位置已知时，可由形心坐标与面积相乘 得到静矩。
dυ
γρ = ρ
dυ dx
横截面上切应变随半径按线性规律变化。
相距单位长度两个横截面间的相对扭转角，同一横截 面上为常量
dx
14
扭转
物理方面
根据剪切胡克定律
dυ
γρ = ρ
τ ρ = Gγ ρ
dυ τ ρ = Gρ dx
dx
ρ
τ
横截面上任一点的切应变随半径按线性变化， 且垂直于半径
15
扭转
力学方面
S y = zA
S z = yA
在图形平面内过形心的轴线称为形心轴。截面图形对 形心轴的静矩必为零。与此相反，若截面图形对某一坐标 轴的静矩为零，则该坐标轴必为形心轴。 对于由简单图形组成的截面图形，进行静矩计算时， 可分别计算各简单图形对所选坐标轴的静矩，然后求代数 和。
20
扭转
例：Ｔ字形截面。
=( GI P
ο
}
≤ [ϕ ] 精密机器的轴 [ϕ ] = (0.25 − 0.50)ο / m 圆轴扭转时的刚度条件
) × [ϕ ] 可查相关手册
max
π
一般传动轴
[ϕ ] = (0.5 − /m
ο
GI P
精度要求不高的轴 [ϕ ] = (1 − 2.5) / m
静力学和材料力学课件第九章 扭转(H)
B
C
C'
d dx
第九章 扭
转
1.变形几何关系
d γ dx
2.物理关系
G
d G dx
max
O
d ? dx
第九章 扭
转
3.静力学关系
d 2 T dA G dA A A dx d G 2 dA dx A
第九章 扭
转
M1
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
A
75
M 2 50 M 3
C
500
B
750
A B
T1l1 2.5 103 750 103 7.55 103 rad GI P1 80 109 754 1012 32
T2l2 1.5 103 500 103 15.28 103 rad GI P 2 80 109 504 1012 32
1、实验
D
t
D / t 20
第九章 扭
转
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕
圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭
转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
a d
b c
B、正应力不存在性
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
2n P M M 60
扭矩和扭矩图
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
P P M 9 549 ( N m) 9.55 (kN m) n n
工程力学扭转详解
G：材料剪切弹性模量（切变模量），量纲与 相同，通过实
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
工程力学 第9章 扭转
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之 比等于横截面面积之比。
A2 6.87 104 0.31 4 A1 22.2 10
可见在载荷相同的条件下，空 心轴的重量仅为实心轴的31% 。
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
扭转变形的标志是两个横截面之间绕轴线的
相对转角（扭转角 ）。
§9.4 圆轴扭转横截面上的应力
Me
p q
Me
_扭转角（rad）
p p
d
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角 边缘上a点的错动距离：
q q
aa ' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R
a
d
O
c p
a
'
b b′ q
aa' Rd ad dx
dx
发生在垂直于半径的平面内。
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
相对扭转角
抗扭刚度
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
当各段内的扭矩不同时，要分段计算，然后按代
数值相加
Ti li i 1 GI Pi
n
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件 Tl GI P
单位长度扭转角 rad/m
d T dx GI p
'
rad/m
Tmax
（2）设计截面
Wt
（3）确定载荷
Tmax Wt
§9.6 圆轴扭转破坏与强度条件 例 由无缝钢管制成的汽车
传动轴，外径D=89mm，内径 d=85mm，工作时的最大扭矩
T=1.5KN·m，[]=60MPa。校
工程力学课件 09扭转
´
b
d δ
单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向 则共同指向或共同背离该交线。
18
பைடு நூலகம்
二、薄壁圆筒扭转时切应力 大小
M
δ
T
R0
M
'
AdAR0 T
a'
b
dy
b'
R 0 A d A R 0 2R 0 T
11
②求扭矩（扭矩按正方向设） M2 1 M3 2 M1 3 M4
M C 0, T 1 M 2 0
n
A 1 B 2 C 3D
T 1 M 2 4 .7k 8m N 1
M2
T1
T 2M 2M 3 0,
1
T 2 M 2 M 3 (4 .7 8 4 .7) 8 9 .5k 6m N
t
2
T R02
c' '
dx d'
19
三、剪切虎克定律 L
R0
M
与 的关系：
L R0 R0 L
M M 与 的关系：
T
M
τ 2π
R 022πR 02
20
T=M
T
τ2πR02
γ
L R0
剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。
1G 2
2
23
§9–4 圆轴扭转时的应力 ·强度条件
研究方法：
实验
假设
材料力学扭转详细讲解和题目非常好
材料力学 扭转扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。
在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。
图6—1 图6—2 图6—3这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。
这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4）。
以扭转变形为主的直杆件称为轴。
若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。
图6—4扭矩和扭矩图6.2.1 外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。
它们的关系式为 nP M 9550= （6-1） 其中：M ——外力偶矩（N ·m ）;P ——轴所传递的功率（KW ）；n ——轴的转速（r ／min ）。
外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。
6.2.2 扭矩圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。
根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。
由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用n M 表示。
扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m 或kN·m。
当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。
如图6-5（a ）所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为M 的外力偶作用。
为求杆任一截面m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图6-5（b ）中所示的左端。
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例极限内， T
’
T 2πR02δ
g R0 / l
p
g
b
d
g
g
剪切胡克定律： G g 当切应力不超过材料的剪切比例极限p时( ≤p)，切应力
与切应变成正比关系。
16
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
Gg
式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量，因g 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验
第九章 扭转
§9–1 引言 §9–2 动力传递与扭矩 §9–3 切应力互等定理与剪切胡克定律 §9–4 圆轴扭转横截面上的应力 §9–5 极惯性矩与抗扭截面系数 §9–6 圆轴扭转破坏与强度条件 §9–7 圆轴扭转变形与刚度条件
1
扭转的概念和实例
§9-1 引言
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为
g
d
dx
剪切胡克定律 G g
G
d
dx
d / dx－扭转角沿长度方向变化率
20
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
G
d
dx
静力学方面
A dA T
应力与变形公式
G d 2dA T
dx A
d T
dx GIp
T
Ip
Ip
2dA
A
－极惯性矩
最大扭转切应力
max
TR Ip
T Ip
max
直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转
以扭转为主要变形的杆件－轴 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
2
§9-1 引言
Ag
M
B
O
B’
M
相对扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的相对角位移。
切应变（γ） ：直角的改变量。
3
§9-1 引言
bd
b
d
T A
A放大
13
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
薄壁圆筒扭转时的切应力公式
dA
T
2π
0 R0
R0d
2πR02
T 2πR02δ
公式精度
R0
TO
当 ≤R0 /10 时，误差≤4.53
14
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
二、切应力互等定理
M z 0
[ ( dx)]dy [ ( dy)]dx 0
③所有矩形网格均变为同样大小的平行四边形。
g－切应变
－相对转角
g与的关系： g l R g R / l
12
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
微小矩形单元体： ① 无正应力 ② 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切
应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
a gc
ac
MA
MB
MC
解: (1)计算扭力偶矩
A
BLeabharlann MB9549 PB n
M
A
9549
PA n
C
9549 4 76.4 N m
500
9549 10 191N m 500
MC
9549
PC n
9549 6 500
114.6 N m
9
§9-2 动力传递与扭矩
(2)计算扭矩 AB段
MA 1 MB 2 MC
确定。
切变模量G、弹性模量E 、泊松比m 是表明材料弹性性
质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在
下列关系：
G E
2(1 m)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个 量就可以推算出来。
17
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
等直圆杆扭转实验观察： • 各圆周线的形状不 M 变,仅绕轴线作相对 转动 M • 当变形很小时，各 圆周线的大小与间 距均不改变
M x 0 T1 M A 0
T1 M A 76.4 N m
A 1 B2 C
BC段
MA
MC
M x 0 T2 MC 0 T2 MC 114.6 N m
x
T1
T2
x
T
76.4 Nm
(3)绘制扭矩图
x
114.6 Nm
10
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
工 程 实 例
F
F
4
§9-1 引言
工 程 实 例
5
§9-2 动力传递与扭矩
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m）
设角速度为 (rad/s)
P M
P 103 M 2πn
60
M N
m
P 9549 n kW
扭转平面假设 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
18
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
扭转切应力的一般公式： 等直圆杆横截面应力
①几何方面 ②物理方面 ③静力学方面
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
微段扭转
变形 d
19
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
几何方面
物理方面
g
tan g
dd' ad
T Wp
R
Wp
Ip R
－抗扭截面系数
21
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
结论 1 研究方法：从试验、假设入手，综合考虑几何、物 理与静力学三方面
2 扭转变形基本公式： d T
y
a
’ gd
dy
’
b
c
z
dx
x
上式称为切应力互等定理，即：在微体的两个互垂截面上， 垂直于截面交线的切应力数值相等，而方向则均指向或离 开该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切。
15
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
三、剪切胡克定律
’
试验表明：在剪切比
a
gc
薄壁圆筒：壁厚
1 10
R0
（R0：为平均半径）
M
M
R0
实验现象： 1 实验前： ①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 M。
11
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
R
l
2 实验后：①圆筒表面的各圆周线的形状不变，仅绕轴线作
相对旋转；当变形很小时，各圆周线大小和间
距也不变。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 g
r / min
例: P＝5 kW, n=1450 r/min, 则
M
9549
5 1450
N
m 329N
m
6
二、扭矩与扭矩图
§9-2 动力传递与扭矩
扭矩 矢量方向垂直于所切横截面的内力偶矩，用T表示
扭矩的计算方法 截面法
x Mx 0 T M 0
M
M
M
T
T M
扭矩的符号规定 “T ”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，
反之为负。
7
§9-2 动力传递与扭矩
扭矩图 表示扭矩沿轴线变化情况的图线
x
M
M
T M
目的：
x
① 扭矩的变化情况；
② 确定出最大扭矩的数值及其所在横截面的位置。
8
§9-2 动力传递与扭矩
例 2-1：已知一传动轴， 转速 n =500r/min，B为主动轮，输
入 PB=10kW，A、C为从动轮，输出功率分别为 PA=4kW， PC=6kW。试计算轴的扭矩并绘制扭矩图。