第三章 插值与拟合
插值与拟合
插值与拟合大多数数学建模问题都是从实际工程或生活中提炼出来的，往往带有大量的离散的实验观测数据，要对这类问题进行建模求解，就必须对这些数据进行处理。
其目的是为了从大量的数据中寻找它们反映出来的规律。
用数学语言来讲，就是要找出与这些数据相应的变量之间的近似关系。
对于非确定性关系，一般用统计分析的方法来研究，如回归分析的方法。
对于确定性的关系，即变量间的函数关系，一般可用数据插值与拟合的方法来研究。
插值与拟合就是要通过已知的数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数对已知数据有较高的拟合进度。
如果要求这个近似函数经过所有已知的数据点，则称此类问题为插值问题。
当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况。
其实，通常情况下数据都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过 所有的数据点也是没有必要的。
如果不要求近似函数通过所有的数据点，而是要求他能较好地反映数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合。
虽然插值与拟合都是要构造已有数据的近似函数，但因对近似要求的准则不同，因此二者在数学方法上有很大的差异。
一、引例简单地讲，插值是对于给定的n 组离散数据，寻找一个函数，使该函数的图象能严格通过这些数据对应的点。
拟合并不要求函数图象通过这些点，但要求在某种准则下，该函数在这些点处的函数值与给定的这些值能最接近。
例1：对于下面给定的4组数据，求在110=x 处y 的值。
这就是一个插值问题。
我们可以先确定插值函数，再利用所得的函数来求110=x 处y 的近似值。
需要说明的是这4组数据事实上已经反映出x 与y 的函数关系为：x y =，当数据量较大时，这种函数关系是不明显的。
也就是说，插值方法在处理数据时，不论数据本身对应的被插值函数)(x f y =是否已知，它都要找到一个通过这些点的插值函数，此函数是被插值函数的一个近似，从而通过插值函数来计算被插值函数在未知点处的近似值。
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
插值与拟合
常用方法——最小二乘法拟合
令： f (x) a1r1(x) a2r2 (x) .... amrm (x)
其中：rk(x)为事先选定的一组关于x的函数，ak为系数，
即求解ak，使下式最小
m
2
J (a1, a2 ,...,am ) min [ f ( xi ) yi ]
i 1
即使：
J 0, k (0, k ) ak
拉格朗日插值法
已知x0、x1、x2、x3、、、xn和y0、y1、y2、y3、、、yn 则可以构造一个经过这n+1个点的次数不超过n的多 项式y=Ln(x),使其满足：
Ln(xk)=yk,k=0、1、2、、、n •这样的Ln(x)就是通过拉格朗日插值得到的函数关系 •这样的方法叫做拉格朗日插值
注： 通过上述方法可得到一个次数不超过n的多项
2
1 n1
m1 1 (1 1)m1
m2
2 (1 2 )m2
n2
2
..
mn
1
n1
(1
n 1 )mn 1
3.代入原式
用matlab解插值
基本格式：Interp1(x,y,cx,'methed')
其中：x,y为已知的坐标 cx为待插值的点的横坐标 methed为插值方法，有如下：
10
11
12
13
14
15
16
10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60
解 ：数据点描绘
11
10
9
8
7
6
5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
插值与拟合.
y/x
1200 1600 2000 2400 2800
3200 3600 4000
返回
五、拟合的使用及求解
5.1 引言
对于情况较复杂的实际问题（因素不易 化简，作用机理不详）可直接使用数据组建 模，寻找简单的因果变量之间的数量关系， 从而对未知的情形作预报。这样组建的模型 为拟合模型。 拟合模型的组建主要是处理 好观测数据的误差，使用数学表达式从数量 上近似因果变量之间的关系。拟合模型的组 建是通过对有关变量的观测数据的观察、分 析和选择恰当的数学表达方式得到的。
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
四、插值的使用及求解
4.1 引言 当数据量不够，需要补充，且认定已有数 据可信时, 通常利用函数插值方法。
实际问题当中碰到的函数 f (x) 是各种各 样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数 学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某 些点上的函数值和导数值。
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
‘nearest’最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 'v4'- MATLAB提供的插值方法 缺省时, 双线性插值
数值分析中的插值和拟合
数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。
一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。
然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。
二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。
以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。
假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。
插值与拟合问题
插值与拟合问题插值与拟合是数学和计算机科学领域中常见的问题，涉及到通过已知数据点来估计未知点的值或者通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在现实生活中，这两个问题经常用于数据分析、图像处理、物理模拟等领域。
本文将介绍插值与拟合的基本概念、方法和应用。
一、插值问题插值是通过已知的数据点来推断出未知点的值。
在插值问题中，我们假设已知数据点是来自于一个未知函数的取值，在这个函数的定义域内，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它经过已知的数据点，并且可以通过这个函数或者曲线来估计未知点的值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值。
线性插值是通过已知的两个数据点之间的直线来估计未知点的值，它简单而直观。
拉格朗日插值则通过构造一个关于已知数据点的多项式来估计未知点的值，这个多项式经过每一个已知数据点。
牛顿插值和拉格朗日插值类似，也是通过构造一个多项式来估计未知点的值，但是它使用了差商的概念，能够更高效地处理数据点的添加和删除。
不仅仅局限于一维数据点的插值问题，对于二维或者更高维的数据点，我们也可以使用类似的插值方法。
例如，对于二维数据点，我们可以使用双线性插值来估计未知点的值，它利用了四个已知数据点之间的线性关系。
插值问题在实际应用中非常常见。
一个例子是天气预报中的气温插值问题，根据已知的气温观测站的数据点，我们可以估计出其他地点的气温。
另一个例子是图像处理中的像素插值问题，当我们对图像进行放大或者缩小操作时，需要通过已知像素点来估计未知像素点的值。
二、拟合问题拟合是通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在拟合问题中，我们假设已知的数据点是来自于一个未知函数的取值，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它能够与已知的数据点尽可能地接近。
常见的拟合方法包括多项式拟合、最小二乘拟合和样条拟合。
多项式拟合是通过一个多项式函数来逼近已知的数据点，它的优点是简单易用，但是对于复杂的函数形态拟合效果可能不好。
最小二乘拟合则是寻找一个函数，使得它与已知数据点之间的误差最小，这个方法在实际应用中非常广泛。
插值与拟合（最小二乘法）
二者区别：插值必须精确的经过所给定的点 x,f(x); 但是拟合不需要，拟合允许f(x) , p(x) 之间有误差的存在，但是误差不能太大，要尽可能的 小， 到底怎么来最小化误差，可以： error = |f(x) - p(x)|, min(error), 或者 min(error^2)........ 因为最小化误差的平方和， 所以叫 least square method, 其实翻译的不好，应该叫 最小平方和法。。。。。。
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插值与拟合（最小二乘法）
插值与拟合都是给பைடு நூலகம்一组y = f(x)数据的前提下，用函数 p(x) 近似表示 f(x)的方法；
插值用很多种方法，比如多项式插值，三角函数插值等，意思就是选取哪种函数作为插值的函数； 拟合方法很多，其中包括最小二乘法等；
插值与拟合算法分析
插值与拟合算法分析在数学与计算机科学领域，插值与拟合算法是两种常用的数据处理技术。
插值算法通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值，而拟合算法则通过求取最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
本文将对插值与拟合算法进行详细分析，并比较它们在不同应用中的优缺点。
一、插值算法插值算法主要用于通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值。
常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
这些算法根据插值函数的不同特点，适用于不同类型的数据处理。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于代数多项式的插值方法。
它通过构造一个全局多项式函数来拟合已知数据点，并推导出未知数据点的估算值。
拉格朗日插值算法具有简单易懂、计算效率高等优点，但在处理大量数据点时可能会出现龙格现象，导致插值结果有一定误差。
2. 牛顿插值牛顿插值是一种基于差商的插值方法。
它通过计算差商的递推关系，构造一个分段多项式函数来拟合已知数据点。
相比于拉格朗日插值，牛顿插值算法具有更高的数值稳定性和精度，并且可以方便地进行动态插值。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段函数的插值方法。
它将整个数据区间划分为若干小段，并使用不同的插值函数对每一段进行插值。
样条插值算法通过要求插值函数的高阶导数连续，能够更好地逼近原始数据的曲线特征，因此在光滑性较强的数据处理中常被使用。
二、拟合算法拟合算法主要用于通过最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
常用的拟合算法包括最小二乘拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
这些算法可以使拟合曲线与已知数据点尽可能地接近，从而进行更精确的数据分析和预测。
1. 最小二乘拟合最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来求取最佳拟合曲线的方法。
它利用数据点与拟合曲线的差异来评估拟合效果，并通过求取最小残差平方和的参数值来确定拟合曲线的形状。
最小二乘拟合算法广泛应用于线性回归和曲线拟合等领域。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来逼近已知数据点的方法。
插值与拟合原理范文
插值与拟合原理范文一、插值的原理插值是指根据已知数据的取值，在给定的数据区间内推测未知数据的取值。
插值的原理是基于一个假设，即在给定的区间内，数据的取值变化是连续而平滑的。
常见的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值。
其中，线性插值是最简单的一种方法。
线性插值假设给定的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，两个点之间段的取值变化是线性的，可以通过直线的方程来计算中间点的值。
例如，在区间[1,3]上已知两个点(1,2)和(3,4)，可以通过线性插值方法计算出点(2,?)的值。
根据线性插值的原理，点(2,?)的值应该等于直线y=2x的值，在这个例子中，点(2,?)的值为2×2=4多项式插值是一种更精确的插值方法。
多项式插值的原理是基于一个假设，即给定的n个点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)可以被一个n-1次多项式唯一地表示。
通过这个假设，可以根据已知数据点构造一个多项式函数，并通过求解多项式的系数来计算任意点的取值。
例如，在区间[1,3]上已知两个点(1,2)和(3,4)，可以通过多项式插值方法构造一个二次多项式函数y=ax^2+bx+c，并通过求解a, b, c的值来计算任意点的值。
样条插值是一种更加平滑的插值方法。
样条插值的原理是将插值区间划分为若干小的子区间，在每个子区间内通过一个较低次数的多项式来拟合数据。
通过连接每个子区间内的多项式函数，可以获得整个插值区间内的光滑曲线。
通过样条插值方法，可以更好地拟合非线性数据，提高插值结果的准确性。
二、拟合的原理拟合是指根据已知的数据样本，确定一个数学模型来描述数据的变化趋势。
拟合的原理是基于一个假设，即给定的数据点可以通过选定的数学模型进行近似表示。
常见的拟合方法包括线性回归、多项式拟合和非线性拟合。
其中，线性回归是最简单的一种拟合方法。
线性回归的原理是假设给定的数据点符合一个线性函数模型y=ax+b，通过最小化实际数据点与拟合直线之间的距离，可以求解出最优的拟合直线的斜率a和截距b。
第三章插值与拟合
? ? Rn(x) ?
f (n?1) (? )
(n ? 1)!
n
(x? xi )
i?0
?
Mn (n ? 1)! i?0
x? xi
因 max (e? x )''' ? e， ?1 故误差的余项 1? x? 2
R2 (2.1)
?
e?1 3!
(2.1? 1)( 2.1 ? 2)(2.1 ? 3)
? 0.00607001
（3-6）
li(x) 叫做拉格朗日插值多项式的插值 基函数，显然它满足
li
(xj
)
?
?0 ??1
j
?
i ;i,
j
?
0,1,2,?
,n
j?i
线性插值多项式
两个节点 (x0, f (x0)),(x1, f (x1))
带公式得
L1(x)
?
x? x1 (x0 ? x1)
f (x0) ?
(x? x0) (x1 ? x0)
Rn(x) ? f (x) ? Pn(x)
（3-9）
定理2-2 设函数y=f (x)在插值区间上具
有直到n+1阶的连续导数，x0，x1，...， xn是互异节点，则插值多项式(3-2)的余 项为
? Rn(x) ?
f (n?1) (?)
(n? 1)!
n i?0
(x?
xi ) ?
f (n?1) (? )
第三节 牛顿插值多项式
当使用拉格朗日插值多项式为了提高精度 增加插值节点时，插值多项式就得重新构造， 整个公式改变之后，之前的计算结果不能继续 使用，计算工作必须全部从头做起。为了克服 这一缺点，下面介绍另一种插值多项式 —牛顿 插值多项式，它的使用比较灵活，当增加插值 节点时，只要在原来的基础上增加部分计算工 作量，而原来的计算结果仍可利用，这为实际 计算带来了方便。
插值和拟合
插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。
简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。
如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。
表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。
而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。
插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。
如果约束条件中只有函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。
从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。
一、概念的引入1. 插值与拟合在现实生活中的应用l 机械制造：汽车外观设计l 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT）2.概念的定义l 插值：基于[a,b]区间上的n个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。
若要求φ(x)在xi处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi即是插值点l 逼近：当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。
此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法l 光顾：曲线的拐点不能太多，条件：①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小l 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾二、插值理论设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x0,x1,…,xn处取值y 0,y1,…,yn。
插值与拟合
y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); pp1=csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x); pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=ppval(pp2,x); fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n') xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数 ytemp=y3(131:151); index=find(ytemp==min(ytemp)); xymin=[x(130+index),ytemp(index)]
数值分析实验插值与拟合
数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。
插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。
基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。
牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。
非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。
分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。
样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。
拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。
拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。
线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。
最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。
在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。
非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。
非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。
局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。
在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。
例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。
在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。
在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。
需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。
如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。
因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。
数值分析中的插值与拟合
数值分析中的插值与拟合插值和拟合是数值分析中常用的技术，用于估计或预测数据集中缺失或未知部分的数值。
在本文中，我们将讨论插值和拟合的概念、方法和应用。
一、插值插值是通过已知数据点之间的连续函数来估计中间数据点的数值。
插值方法可以根据不同的数据和需求选择合适的插值函数，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值。
1.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
通过已知的n个数据点，可以构建一个n-1次的插值多项式。
这个多项式通过已知数据点上的函数值来准确地经过每一个点。
1.2 牛顿插值牛顿插值方法也是一种多项式插值方法，通过差商的概念来构建插值多项式。
差商是一个递归定义的系数，通过已知数据点的函数值计算得出。
牛顿插值可以通过递推的方式计算出插值多项式。
1.3 埃尔米特插值埃尔米特插值是一种插值方法，适用于已知数据点和导数值的情况。
它基于拉格朗日插值的思想，通过引入导数信息来逼近数据的真实分布。
埃尔米特插值可以更准确地估计数据点之间的值，并且可以保持导数的连续性。
二、拟合拟合是通过一个模型函数来逼近已知数据点的数值。
拟合方法旨在找到最适合数据集的函数形式，并通过最小化误差来确定函数的参数。
常见的拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合和曲线拟合。
2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点到拟合函数的误差平方和来确定最佳拟合曲线或曲面。
最小二乘法适用于线性和非线性拟合问题，可以用于拟合各种类型的非线性函数。
2.2 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法。
通过多项式的线性组合来近似已知数据集的数值。
多项式拟合可以通过最小二乘法或其他优化算法来确定拟合函数的系数。
2.3 曲线拟合曲线拟合是一种用曲线函数来逼近已知数据点的拟合方法。
曲线函数可以是非线性的，并且可以根据数据的特点进行选择。
曲线拟合可以通过优化算法来确定拟合函数的参数。
三、应用插值和拟合在数值分析中有广泛的应用。
插值与拟合方法
插值与拟合方法插值和拟合是数学中常用的方法，用于根据已知数据点的信息，推断出未知数据点的数值或函数的形式。
插值和拟合方法是经典的数学问题，应用广泛，特别是在数据分析、函数逼近和图像处理等领域。
1.插值方法：插值方法是通过已知数据点的信息，推断出两个已知数据点之间的未知数据点的数值。
插值方法的目的是保证插值函数在已知数据点处与实际数据值一致，并且两个已知数据点之间的连续性良好。
最常用的插值方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法根据已知数据点的横纵坐标，构造一个多项式函数，满足通过这些数据点。
拉格朗日插值法可以用于任意次数的插值。
牛顿插值法是使用差商的概念进行插值。
差商是指一个多项式在两个数据点之间的斜率。
牛顿插值法通过迭代计算得到与已知数据点一致的多项式。
插值方法的优点是可以精确地经过已知数据点，但是在两个已知数据点之间的插值部分可能会出现震荡现象，从而导致插值结果不准确。
2.拟合方法：拟合方法是通过已知数据点的信息，找出一个函数或曲线，使其能够最好地拟合已知数据点。
拟合方法的目标是寻找一个函数或曲线，尽可能地逼近已知数据点，并且能够在未知数据点处进行预测。
最常用的拟合方法是最小二乘法。
最小二乘法是通过求解最小化残差平方和的问题来进行拟合。
残差是指已知数据点与拟合函数的差异。
最小二乘法的目标是找到一个函数，使得所有数据点的残差平方和最小。
拟合方法的优点是可以得到一个光滑的函数或曲线，从而可以预测未知数据点的数值。
但是拟合方法可能会导致过拟合问题，即过度拟合数据点，导致在未知数据点处的预测结果不准确。
除了最小二乘法，还有其他的拟合方法，如局部加权回归和样条插值等。
局部加权回归是一种基于最小二乘法的拟合方法，它通过赋予不同的数据点不同的权重，来实现对未知数据点的预测。
样条插值是一种基于多项式插值的拟合方法，它将整个数据集分段拟合，并且在分段部分保持连续性和光滑性。
总结：插值和拟合方法是数学中的经典方法，用于根据已知数据点的信息，推断出未知数据点的数值或函数的形式。
第三章插值与拟合(1)
故
N 4 ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x 2 ] = x( x − 1)
3.1.2 样条函数与样条函数
一、样条函数的引入 例如：已知三点数据点(l 例如：已知三点数据点 , 5 )、(2 , 8 )、(3 , 25 ) ，求x=1.67 ， 、 、 x=2.33 的函数值。可以用线性插值法计得 的函数值。可以用线性插值法计得f(1.67 )≈5+(2/3(85)=7，同样 ，同样f(1.67 )≈13.67，这种方法时间上就是样条插值法。 ，这种方法时间上就是样条插值法。 它是线性样条函数，对任意两点作一线性插值， 它是线性样条函数，对任意两点作一线性插值，可得出两点 间的插值函数。 间的插值函数。即 S1 ( x ) = a1 + b1 x , x ∈ [ x1 , x 2 ) s( x ) = S 2 ( x ) = a 2 + b2 x , x ∈ [ x 2 , x 3 ] 因为S1(x)过点 , 5 )和(2 , 8) ，可得： 因为 过点(l 和 可得： 过点
N ( x0 ) = y0 , N 1 ( x1 ) = y1
则
y1 − y0 N 1 ( x ) = y0 + ( x − x0 ) x1 − x 0
2、二次Newton插值 、二次 插值 假设给出了函数y=f (x)在三个互异结点 0 , xl , x2的函数值： 在三个互异结点x 的函数值： 假设给出了函数 在三个互异结点
因为S 过点(l 过点(2, 和 因为 1(x)过点 , 5 )和(2 , 8) ， S1(x)过点 8 )和(3 , 25) ，得： 过点 和 过点
a1 + b1 + c1 + d 1 = 5 a1 + 2b1 + 4c1 + 8d 1 = 8 a 2 + 2b2 + 4c 2 + 8d 2 = 8 a 2 + 3b2 + 9c 2 + 27d 2 = 25
第3章插值与拟合
分段低次多项式插值方法：
在实际问题观测中，一般会得到很多个观测点的 观测结果，采用插值方法近似时，一般采取分段 插值的方法。基本思想是： （1）把插值区间划分成若干个小区间； （2）在每一小区间上用低次多项式进行插值； （3）在整个插值区间上就得到一个分段插值函数.
的形式，其中c 为待定系数。又由 l0 (x0 ) 1 , 代入上式得
Hale Waihona Puke c1(x0 x1 )( x0 x2 )
于是，可得
l0
(x)
(x (x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地，可得
l1 (x)
(x ( x1
x0 x0
)( x x2 ) )( x1 x2 )
3.2 曲线拟合 3.2.1 问题提出
利用插值方法求多项式函数作为未知函数的近似时， 要求
1、所有插值节点互不相同，否则不可解； 2、近似函数曲线必须通过所有观测点。 在实际观测或实验中，一般存在以下问题 1、为了得到更加准确、合理的观测结果，经常进行多 次重复观测，插值节点互不相同的要求已不成立； 2、由于在观测过程中，常存在许多随机因素，如身高、 体重的测量，受测量设备精度、发型、服装、站立方式等影 响，测量结果不可避免地存在误差，甚至由于某些因素，误 差很大。因此在考虑观测误差的因素下，要求近似函数曲线 一定通过观测点已显得没有必要。 因此，只要要求近似函数在观测点上近似地满足插值 条件，并使它们的整体误差最小就可以了。
y1
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
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插值问题的基本概念
设函数y=f (x)在区间[a,b]上有定义， 且它在该区间上的n+1个互异点
a x0 x1 x2 xn b
的函数值已知，即
f ( xi ) yi
i 0,1,, n
如果选取简单函数P(x)作为y=f (x)的 近似表达式，并满足以下条件： P( xi) yi （3-1） i 0,1,, n
这样的函数近似问题就称为插值问题。
i 0,1,, n 称为插值条 件；满足插值条件的近似函数P(x)就称
P( xi) yi
为f (x)的插值函数，而y=f (x)称为被插 值函数；互异点x0,x1,...,xn被称为插值节 点(简称节点)，x称为插值点；区间[a,b] 称为插值区间。
这样对f (x)在区间[a,b]的各种运算 就用对插值函数P(x)的运算取而代之。
刘焯（544-610）隋天文学家。字士 元。着力研习《九章算术》、《周髀》、 《七曜历书》等；著有《稽极》10卷， 《历书》10卷。提出新法，编有《皇极历》， 在历法中首次考虑太阳视差运动的不均匀性， 创立用三次差内插法来计算日月视差运动速 度，推算出五星位置和日、月食的起运时刻， 这是中国历法史上的重大突破。
( x x0 )(x x1 )( x xi 1 )(x xi 1 )( x xn ) li ( x) （ 3-6 ） ( xi x0 )(xi x1 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn )
li ( x) 叫做拉格朗日插值多项式的插值
xi yi 10 2.3026 11 2.3979 12 2.4849 13 2.5649 14 2.6391
试用线性插值和抛物线插值两种方法分 别计算ln11.75，并估计截断误差。
线性插值：选11,12两点带公式计算
( x 12) ( x 11) L1 ( x) 2.3979 2.4849 (11 12) (12 11)
f ( n1) ( )
n
x ln11.75 L1 (11.75) 0.0007
二次插值：选11,12,13三点带公式计算
( x 12)(x 13) L2 ( x) 2.3979 (11 12)(11 13) ( x 13)(x 11) ( x 11)(x 12) 2.4849 2.5649 (12 13)(12 11) (13 11)(13 12)
x(cm) F (kg ) 1 1.5 2 3.9 4 7 9 12 13 15 17
6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1
25
20
15
F (kg)
10
5
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x (cm)
观察一下数据分布图，该分布满足什么趋势？
第一节
插值问题
1 0.367879441 2 0.135335283 3 0.049787068
解：二次插值多项式为
( x 2)(x 3) 1 ( x 1)(x 3) 2 ( x 1)(x 2) 3 L2 ( x) e e e (1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)
f ( n1) ( ) n f ( n1) ( ) Rn ( x) ( x xi ) n1 ( x), I (n 1)! i 0 (n 1)!
（3-10）
插值余项的估计：
M n Rn ( x ) ( x xi ) x xi (n 1)! i 0 (n 1)! i 0 f ( n1) ( )
y
y P( x)
y f ( x)
yn
y1
O x1
xn x
代数插值的几何意义，即通过n+1个点 ( xi , yi )(i 0,1,2,, n) 做代数曲线近似代替 原曲线y=f (x)。
构造插值函数需要关心下列问题：
插值函数是否存在？
插值函数是否唯一？ 如何表示插值函数？ 如何估计被插值函数与插值函 数间的误差？
（3-3）
未知量a0 , a1 , ...an的系数行列式称为范德 蒙（Vandermonde）行列式
V
1 x0 1 x1 1 xn
2 n x0 x0 x12 x1n
2 n xn xn
n i j 0
(x x )
i j
（3-4）
Байду номын сангаас
由于节点互异，即 xi x j (i j) ，所以 V 0 ，由克莱姆法则可知方程组（3-3） 有唯一的一组解a0 , a1 , ...an ，也就是插值 多项式（3-2）存在且唯一。
将构成n+2个方程的联立方程组，而未知量 只有n+1个，根据非齐次线性方程组有解的 充要条件必有
1 x x
2
x
n
Ln ( x) y0 y1 0 yn
1 x0 x02 x0n 1 x1 x12 x1n
2 n 1 xn xn xn
利用范德蒙行列式的计算公式，经 整理后可得到的表达形式如下： Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) yn ln ( x) （3-5） 其中
插值多项式存在的唯一性
定理2-1 在n+1个互异节点(xi，f (xi))上满足 插值条件 P( xi ) yi i 0,1,, n 的次数不高于 n次的插值多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n （3-2）
存在且唯一。
证明：根据插值条件,（3-2）式中的系 数a0 , a1 , ...an应满足以下n+1阶线性方 程组
n
（3-11）
式中
M max f ( n1) ( x)
x( a ,b )
(3-10)式称为多项式插值的余项公式， 由于无法求出公式中 的准确值，所以实 际计算中用它来估计误差仍有困难。因此， 只在理论分析中应用。实际应用中通常采 用(3-11)式来作为多项式插值的余项 估计式。
例1. 已知y=lnx
M n Rn ( x ) x xi ( x xi ) (n 1)! (n 1)! i 0 i 0 f ( n1) ( )
n
因 max 1 x2
1 (e x )''' e ，故误差的余项
e 1 R2 (2.1) (2.1 1)(2.1 2)(2.1 3) 3! 0.00607001
第二节 拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值多项式是一种在形式上 不同于（3-2）的插值多项式，这种多项 式的明显优点是无需求解方程组，只要给 出了n+1个互异节点及对应的函数值，便 能直接写出这种形式的插值多项式。
拉格朗日插值多项式的构造方法
已知函数y =f (x)在 n+1个节点 x0 x1 xn
处的函数值为 yi f ( xi )(i 0,1,2,, n) ，现 要作一个n次插值多项式 Ln ( x) ，并使 Ln ( x) 在节点xi处满足
Ln ( xi ) yi (i 0,1,2,, n)
在方程组（3-3）上加上一个方程
a0 a1x a2 x2 an xn Ln ( x)
基函数，显然它满足
0 li ( x j ) 1 j i ; i, j 0,1,2,, n j i
线性插值多项式
两个节点 ( x0 , f ( x0 )),( x1, f ( x1 )) 带公式得
( x x0 ) x x1 L1 ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) （3-7） ( x0 x1 ) ( x1 x0 )
第三节
牛顿插值多项式
当使用拉格朗日插值多项式为了提高精度 增加插值节点时，插值多项式就得重新构造， 整个公式改变之后，之前的计算结果不能继续 使用，计算工作必须全部从头做起。为了克服 这一缺点，下面介绍另一种插值多项式—牛顿 插值多项式，它的使用比较灵活，当增加插值 节点时，只要在原来的基础上增加部分计算工 作量，而原来的计算结果仍可利用，这为实际 计算带来了方便。
在生产实践的许多领域里，例如机械 工业、造船、汽车制造，常常有这样的问 题：给了一批离散样点，要求作出一条光 滑曲线（乃至于曲面），使其通过或尽可 能的靠近这些样点，以满足设计要求或者 据此进行机械加工－－这就是插值问题。
插值法历史悠久。据考证在公元六世纪 时，我国的刘焯（zhuo）已把等距二次插值 应用于天文计算。十七世纪时，Newton和 Gregory（格雷格里）建立的等距节点上的 一般插值公式，十八世纪时，Lagrange给出 了更一般的非等距节点插值公式。
0.087 x 1.4409
L1 (11.75) 2.4632
余项
1 2 11 R1 ( x) (11.75 11)(11.75 12) 0.0008 2!
M n Rn ( x ) x xi ( x xi ) (n 1)! (n 1)! i 0 i 0
L/O/G/O
第三章
插值与拟合
在科学研究与工程技术中，常常需要从 一组测量数据出发，寻找变量之间函数关 系的近似表达式，这就是函数逼近问题， 插值和拟合都是函数逼近的重要方法。 本章主要讲解关于插值和拟合的相关知 识，包括对应的原理，计算公式的构造和误 差估计等等。
应用举例:胡克定律---弹簧在力F的作用下伸长x， 在一定范围内服从胡克定律，F与x成正比，即 F=kx，k为倔强系数，现在实验中测得以下一组x， F的数据，并在(x，F)坐标下作图。可以看出，当 F达到一定数值后，就不服从胡克定律。 试由数据确定 k，并给出不服从胡克定律时的近 似公式。