量子力学 刘劲松 13讲

a1 1 a2 2 a3 3 a1Y11 a2Y10 a3Y11，其中列向量
a1 2 a a2 就是 在(l , lˆz )表象中的表示，它满足如下本征 a 3 2 方程 Ya a Y l 在(lˆ , l )表象中的矩阵表示
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3、 2 , lˆz ) (lˆ 2 , lˆy )的幺正变换矩阵 S 二、例题(9) (lˆ ˆ 2 , lˆ )表象中的基矢为 1 Y i Y 1 Y ; (l y 1 11 11 10 11 2 2 2 1 1 1 i 1 2 10 Y11 Y11 ; 3 11 Y11 Y10 Y11 2 2 2 2 2 (lˆ 2 , lˆ )表象中的基矢为 Y ， Y ， Y
3 Y11 1* , 3 (8 ) , 3 (4 ) .求
1、(lˆ 2 , lˆz )表象中，lˆz , lˆx , lˆy 和lˆ 2的表示；OK 2、(lˆ 2 , lˆz )表象中，2 , lˆy )的共同本征函数 ; (lˆ ˆ 2 , lˆ )表象和(lˆ 2 , lˆ )表象的幺正变换 3、写出联系 l z ( y 矩阵S。
y z
0 i 0 a1 a1 i i 0 i a2 a2 2 2 a 0 i 0 a3 3 0
i 2 i 2
0 a1 i a2 0 2 a3 11
6

* 1
a
* 2

一、对表象及其变换的回顾(5)
4、表象的变换 在F表象中 ak k；在F 表象中 a
k

即列向量a (ak )和a (a )分别是在F和F 表象 中的表示，则 a1 S11 a Sa a2 S 21 . S12 S 22 . . a1 . a2 ，S ak ( , k ) .
z 1 11 2 10 3 13
S ( S jk ), j , k 1,2,3, S jk ( j , k ), 例如 S11 (1 , 1 ) 1 2, S32 (3 , 2 ) i 12 S 1 2 12 1 2 0 1 2 i 2 1 2 i 2 2
1，2，3之间是正交归一的。
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二、例题(8)
2、 2 , lˆz )表象中，2 , lˆy )的共同本征函数 6) (lˆ (lˆ (
是(lˆ 2 , lˆx )的共同本征态， （k 1,2,3）是 k
(lˆ 2 , lˆz )表象中的基矢 可将在(lˆ 2 , lˆz )表象中用 k 展开： ak k , 则a (ak ), k 1,2,3是态在(lˆ 2 , lˆz )
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1、 2 , lˆz )表象中，lˆz , lˆx , lˆy和lˆ 2的表示(1) (lˆ
2、 2 , lˆz )表象中，2 , lˆy )的共同本征函数1) (lˆ (lˆ ( 二、例题(3) 2 2 将(l , l y )的共同本征函数 用(l , lˆz )表象中的基矢展开，
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i 0 2 i 对2 0，有 0 2 i 0 2 得到，a2 0, a1 a3
2、 2 , lˆz )表象中，2 , lˆy )的共同本征函数 3) (lˆ (lˆ ( 二、例题(5)
ˆ 2 , lˆ )表象中，2 , lˆ )的共同本征函数 对 2 0, 在(l z (lˆ y
对2 0, a1Y11 a3Y11 1 同理可得
1 i 1 对1 1, Y11 Y10 Y11 11 2 2 2 1 i 1 对3 1, Y11 Y10 Y11 11 2 2 2
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二、例题(6)
2、 2 , lˆz )表象中，2 , lˆy )的共同本征函数 4) (lˆ (lˆ (
1 i 1 1 1 1 Y11 Y10 Y11 11 2 2 2 1 1 2 0 2 Y11 Y11 10 2 2 1 i 1 3 1 3 Y11 Y10 Y11 11 2 2 2 ˆ 2 , lˆ )的共同本征态，当然也 lˆ 2的本征态 是(l 是
(l (lˆ 二、例题(4) 2、ˆ2 , lˆz )表象中，2 , lˆy )的共同本征函数(2)
i 久期方程为 2 0 i 2 i 2 0
1 1 i 0, 得到 2 0 2 3 1
0 a1 i a2 0， 2 a3 0
a1 离散谱 a a2 . 菩提本无树 明镜亦非台 本来无一物 何处惹尘埃
惠能
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三、狄拉克符号的定义与内积(3)
1、定义 | 右矢 代表量子态； | 左矢 量子态的共轭态
*
即 | 是 | 的共轭态矢。若 k 是力学量完全集 F的本征态，则| | k , 如球谐函数Y 是(lˆ 2 , lˆ )
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三、狄拉克符号的定义与内积(1)
量子态的描述
离散谱 a1 a a2 .
连续谱 x表象 p表象
( x) ( p)
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三、狄拉克符号的定义与内积(2) 量子态的描述
连续谱 x表象 p表象
( x) ( p)
身为菩提树 心如明镜台 时时勤拂拭 莫教惹尘埃 神秀
k 1 3
表象中的表示。每对应 一个本征值，就有一个 表示 1 2 i ; 0, a 1 1, a 2 2 1 2 1 1 2 2 i 0 ; 3 1, a 2 1 1 2 2
9
二、例题(2)
2 2 l , lz，lx，l y 在(l , lˆz )表象中能够用一个3 3的 矩阵来表示，设为L, Z , X , Y 1 2 L 2 0 0 0 X 1 2 0 0 0 1 0, 0 1 1 0 0 1, 1 0 1 0 0 Z 0 0 0 , 0 0 1 0 i 0 Y i 0 i 2 0 i 0
y
不难验证
百度文库ˆ 2 2 2 l
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二、例题(7)
2、 2 , lˆz )表象中，2 , lˆy )的共同本征函数 5) (lˆ (lˆ (
1 i 1 1 1 1 Y11 Y10 Y11 11 2 2 2 1 1 2 0 2 Y11 Y11 10 2 2 1 i 1 3 1 3 Y11 Y10 Y11 11 2 2 2 借助Y11，Y10，Y11的正交归一性，不难验 证
a1Y11 a3Y11 a1 (Y11 Y11 ),由归一化条件，有
* 1 d * | a1 |2 d (| Y11 |2 | Y11 |2 Y11Y11 Y1* 1Y11 )
2 | a1 | , 取a1为实数，有a1 1
2
2 2 (Y11 Y11 ) 10
L12 . 久期方程，可以解出 j , L22 . 0 j 1,2, n, 每个 j 对应一 . . 个a(列向量) .
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二、例题(1)
ˆ 2 , lˆ )的共同本征函数。当 1时， Ylm ( , )是(l z l
m 1,0,1, 得到一组正交完备基矢 k ), k 1,2,3, ( 其中， 1 Y11 sin e i , 2 Y10 cos
x z z
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一、对表象及其变换的回顾(4)
3、力学量的平均值 设 k 是F表象的基矢，量子态 和力学量L的 ˆ 算符L的矩阵表示分别为 (a )，a ( , ) a
k k k
ˆ 和L ( L jk ), L jk ( j , L k )，则该力学量在量 子态中的平均值L 可以表示成： L a L11 . L21 . L12 L22 . . a1 ~ * La . a2 , L a . .
即表象F和F 可以通过幺正矩阵 进行表象变换。 S
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一、对表象及其变换的回顾(6)
6、本征方程 L11 ˆ La a L L 21 . L11 L21 . L12 L22 . . a1 a1 . a2 a2 . . .
量子力学
光电子科学与工程学院 刘劲松 第十三讲 狄拉克符号
1
目录
一、对表象及其变换的回顾 二、例题 三、狄拉克符号的定义与内积 四、量子力学的态矢表示 五、投影算符的意义 六、算符向左作用及应用
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一、对表象及其变换的回顾(1)
1、表象及态在表象中的 表示(1) ˆ ˆ ˆ 设F代表一组力学量完全集 ，即F ( A1 , A2 , An )
k 是F的共同本征函数， 一般代表一组量子数。 k 设是体系的一个量子态， 根据态叠加原理，有 ak k (1)
k
称(1)为态在F表象中的展开式。
* k * k
其中，ak ( k , ) d d
a
k k
k
(2)
则列向量a (ak )就是态在F表象中的表示。
ak k , 那么列向量a (ak ), k 1, 2,3就是态 在
2 (l , lˆz )表象中的表示, 要通过解本征方程而获得。
4
3
k 1
一、对表象及其变换的回顾(3)
2、算符的矩阵表示 ˆ 在F表象中，算符L可以表示成矩阵的形式 ， ˆ 记为L ( L jk ), 其中，L jk ( j , L k )，这就是 ˆ L在F表象的表示。例如， 0 1 0 1 0 0 X 1 0 1 , Z 0 0 0 , 2 0 0 1 0 1 0 ˆ 和lˆ 在(lˆ 2 , lˆ )表象中的矩阵表示。 分别是l
3
一、对表象及其变换的回顾(2)
1、表象及态在表象中的表示(2) 2 例如，在(l , lˆz )表象中，基矢为 k Ylm ( , )。 当l 1时，m 1, 0, 1, 则 1 Y11 , 2 Y10 , 3 Y11 这样， k ), k 1, 2,3, 就构成一组正交完备基矢。 ( 设是一量子态，则可以用 k 将 展开：