包头市2015中考复习第2章 第2节 一元二次方程

第2节 一元二次方程一元二次方程1．定义：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程． 2．一般形式：________________(a ≠0)．一元二次方程的解法配方法，________法，________法．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)： b 2－4ac ＞0⇔方程有两个________的实数根； b 2－4ac ＝0⇔方程有两个________的实数根； b 2－4ac ＜0⇔方程________实数根．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.一元二次方程的应用步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答．一元二次方程及解法【例1】(1)(2013·遵义)已知x ＝－2是方程x 2＋mx －6＝0的一个根，则方程的另一个根是__3__．(2)解方程：(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：原方程化简为x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1(1)由根的定义―→代入求值―→解方程，或由两根之积等于－6―→求另一根； (2)化简―→观察方程特点―→利用配方法或公式法求解．一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 【例2】(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D )A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0(2)(2014·德州)方程x 2＋2kx ＋k 2－2k ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 12＋x 22＝4，则k的值为__1__．(1)理解题意，观察方程特点―→k ≠0，2k ＋1≥0，Δ＞0；(2)两个实数根―→Δ≥0，x 12＋x 22＝4―→(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，把x 1＋x 2，x 1x 2的结果代入，求出k 的值．注意：所求k 值必须使Δ≥0.一元二次方程的应用【例3】(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x )2__万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x .解：(2)由题意得4＋2.6(1＋x )2＝7.146，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)审题确定相等关系―→设未知数―→列方程―→求解、验证． 真题热身1．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__． 2．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( A )A ．1B ．－1C ．0D ．－23．(2014·玉林)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1＋1x 2＝0成立？则正确的结论是( A )A ．m ＝0时成立B ．m ＝2时成立C ．m ＝0或2时成立D ．不存在 4．解方程： (1)(2014·徐州)x 2＋4x －1＝0；解：x 1＝－2＋5，x 2＝－2－5(2)(2013·兰州)x 2－3x －1＝0.解：x 1＝3＋132，x 2＝3－1325．(2014·北京)已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m ≠0)． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值． 解：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－4m·2＝(m －2)2≥0(2)由原方程得(x －1)(mx －2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝2m ，则x 2＝2m 为整数，∴正整数m ＝1或26．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5，则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去，即AB＝20，BC＝20，∴羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米第2节一元二次方程基础过关一、精心选一选1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值范围是( A )A．2018 B．2008 C．2014 D．20122．(2014·宜宾)若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是( B ) A．x2＋3x－2＝0 B．x2－3x＋2＝0C．x2－2x＋3＝0 D．x2＋3x＋2＝03．(2013·兰州)用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( D )A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝24．(2014·钦州)若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( A ) A．－10 B．10 C．－16 D．165．下列关于x的一元二次方程有实数根的是( D )A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝06．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－947．(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为( D )A ．144(1－x)2＝100B ．100(1－x)2＝144C ．144(1＋x)2＝100D ．100(1＋x)2＝1448．(2013·东营)要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是( C )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 二、细心填一填9．(2014·舟山)方程x 2－3x ＝0的根为__x 1＝0，x 2＝3__．10．(2014·巴中)菱形的两条对角线长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积为__24__．11．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m ，宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m ，由题意列得方程__(30－2x)(20－x)＝6×78__．12．(2013·自贡)已知关于x 的方程x 2－(a ＋b)x ＋ab －1＝0，x 1，x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③x 12＋x 22＜a 2＋b 2.则正确结论的序号是__①②__．三、用心做一做13．解下列方程：(1)(2014·无锡)x2－5x－6＝0；解：x1＝－1，x2＝6(2)(2013·义乌)x2－2x－1＝0.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 214．(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一人传染了x个人，依题意得1＋x＋(1＋x)x＝64，解得x1＝7，x2＝－9(舍去)，则每轮传染中平均一人传染了7个人(2)7×64＝448，则第三轮将又有448人被感染15．(2014·泸州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)由根与系数的关系得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，∵(x1－1)(x2－1)＝28，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，∴m2－2m－24＝0，∴m1＝－4，m2＝6，由Δ≥0得m≥2，∴m＝6(2)当底边为7时，则两根相等，∴[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝0，∴m＝2，∴x1＝x2＝3，不能构成三角形．当腰为7时，代入原方程可求m1＝4，m2＝10，当m＝4时，原方程变为x2－10x＋21＝0，解得x1＝3，x2＝7，周长为17；当m＝10时，原方程变为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15，不能构成三角形．综上可知，三角形的周长为1716．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根．解：(1)将x＝－1代入原方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，可得a＝b，故△ABC是等腰三角形(2)由已知可得Δ＝(2b)2－4(a＋c)×(a－c)＝0，即4b2－4(a2－c2)＝0，可得b2＋c2＝a2，故△ABC是直角三角形(3)∵a＝b＝c，∴原方程可化为2ax2＋2ax＝0，解得x1＝0，x2＝－117．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价为x 元，则(x －40)[180－10(x －52)]＝2000，整理得x 2－110x ＋3000＝0，解得x 1＝50，x 2＝60，当x 1＝50时，进货180－10(x －52)＝200(个)，不合题意，舍去；当x ＝60时，进货180－10(x －52)＝100(个)挑战技能18．(2013·潍坊)已知关于x 的方程kx 2＋(1－k)x －1＝0，下列说法正确的是( C ) A ．当k ＝0时，方程无解 B ．当k ＝1时，方程有一个实数解C ．当k ＝－1时，方程有两个相等的实数解D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解19．(2013·烟台)已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋ab的值是( A ) A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－1120．(2014·孝感)已知关于x 的方程x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围； (2)试说明x 1＜0，x 2＜0；(3)若抛物线y ＝x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1与x 轴交于A ，B 两点，点A ，点B 到原点的距离分别为OA ，OB ，且OA ＋OB ＝2OA·OB －3，求k 的值．解：(1)由题意可知Δ＝[－(2k －3)]2－4(k 2＋1)＞0，∴－12k ＋5＞0，∴k ＜512(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －3＜0，x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0 (3)依题意，不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∴OA＋OB ＝|x 1|＋|x 2|＝－(x 1＋x 2)＝－(2k －3)，OA ·OB ＝|－x 1|·|－x 2|＝(－x 1)·(－x 2)＝x 1x 2＝k 2＋1，∵OA ＋OB ＝2OA·OB －3，∴－(2k －3)＝2(k 2＋1)－3，整理得k 2＋k －2＝0，解得k 1＝1，k 2＝－2，∵k ＜512，∴k ＝－221．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在k 使得x 1x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)k ≤14 (2)假设存在实数k ，使得x 1x 2－x 12－x 22≥0成立．∵x 1＋x 2＝2k ＋1，x 1x 2＝k 2＋2k ，由x 1x 2－x 12－x 22≥0得3x 1x 2－(x 1＋x 2)2≥0，∴3(k 2＋2k)－(2k ＋1)2≥0，整理得－(k －1)2≥0，∴只有当k ＝1时上式才能成立，又由(1)知k ≤14，∴不存在实数k 使得x 1x 2－x 12－x 22≥0成立22．(2013·威海)要在一块长52 m ，宽48 m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m ，剩余的四块绿地面积共2300平方米．小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB⊥EF，∠1＝60°.(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)解：根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2300，整理得x2－100x＋196＝0，解得x1＝2，x2＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m(2)易证四边形ADCB为平行四边形．由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝AD＝2.过A作AI⊥CD于I，则AI＝2sin60°＝3，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2299(m2)。