温州中学自主招生模拟考试数学试卷

增加，而 SY+SW 在减少 (注意 X、 Y、Z、W 的面积之和是定值 πｒ2).因而，比值 SX SZ 增 SY SW
加.于是，当点 A 与点 C 重合时，它才有可能取到最大值 .
在图 7(c) 中， Rt△ ABD 的斜边 BD 是直径，则△ ABD 在 OA 为高时面积最大，此时， SZ 最
边长的三角形，求 k 的取值范围
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18. （本题满分 15 分） 设 1≤ａ1<a2<… <an≤ 21是 n 个任意的整数 .若其中总有 4 个不同的数 a 数 ai、 aj、ak、 am 满足 ai+am=aj+ak(1 ≤ i<j<k<m ≤，n则) 称数组 (a1， a2， …， an) 的阶数 n 为 “好数 ”． (1)n=7 是否为好数 ?说明理由 ; (2)n=8 是否为好数 ?说明理由 .
)
A
B
C
D E 数学试卷 第 1 页，共 2 页 ,
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A.18 °
B.21
二. 填空题（本大题共 6 小题，每题 6 分，满分 36 分。）
9. 已 知 a 0 ， b 0 ， c 0 ， 且 b2 4ac b 2ac ， 则 b 2 4ac 的 最 小 值 为
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卷三： 温州中学自主招生模拟考试数学答案
一. 选择题（每题 5 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
答案 C
C
D
C
A
二. 填空题（每题 6 分。共 36 分）
9._______4_______; 10.
______2 √６______;
6
7
8
A
B
B
11. _______6.75________;
数并说它们中有且只有 n 个正确的，那么， n 等于（
）
A.0
B.1
C.2
D.4
2. 一个商人用 m 元（ m 为自然数）买来了 n 台（ n 为质数）电视机，其中有二台用成本的 一半价钱卖给了某个慈善机构， 其余的电视机在商店出售， 每台盈利 500 元，结果商人获得
利润 5500 元，则 n 的最小值是（
k1
fmin ( x) 1
k1
fmax (x) 1
1 结论： ( - , 4)
2
x4 x2 f min ( x)
1 3x2
k2
fmax ( x)
,故1<k<4 3
k 2 ,故- 1 k 1
3
2
18. （ 15 分）解： (1)n=7 时， {1 ，2， 3， 5， 8， 13，21} 不满足要求，故 n=7 不是好数 .
(i) 若这 8 对相等的差中，存在 1 对其中的 4 个数互不相同，即 aj-ai=am- ak(1 ≤ i<j<k<m ≤此8). 时原题成立 .
(ii) 若这 8 对相等的差中，每一对的 4 个数中至少有 2 个数相同，则这 4 个数中恰有 2 个数 相同 (因为 aj-ai=am-ak 中至多有 aj=ak 或 ai=am 之一成立 ).于是， 每对这样的差对应一个三元 数组 (ai ， aj ， ak)，且满足 2aj=ai +ak(1 ≤ i<j<k ≤ 8). 不妨设这 8 对差对应的 8 个不同的三元数组为 (ai1， aj1， ak1)， (ai2， aj2， ak2 )， … ，(ai8，aj8 ，
）
A.11
B.13
C.17
D.19
3. 方程 x 2 3x 2 y2 30y2 517 的整数解的组数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
4. 设△ ABC 的三边长分别为 AB c, BC a,CA b ，a,b,c 互不相等， AD 、BE 、CF 分别
为△ ABC 的内角平分线，且 DE＝ DF,那么∠ BAC 的度数为（
)
A.65 °
B.55 °
C.75°
D.40 °
6. 一条抛物线 y ax 2 bx c 的顶点为（ 4， 11），且与 x 轴的两个交点的横坐标为一
正一负，则 a、 b、 c 中为正数的（
）.
A. 只有 a
B.只有 b
C.只有 c D.只有 a 和 b
7. 已知关于 x 的一元四次方程 x4 px2 qx r 0 有三个相等的实根和另一个与之不同
其中， ai1、 ak1、 ai2、 ak2 两两不同 (否则它们为同一个三元数组，矛盾 ).
综合 (i) 、 (ii) 知， n=8 是好数 .
19. （ 20 分） 解：观察数列开初的一些项：
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
拼色方法有 _____________ 个.
13. 凸四边形 ABCD 中 , ∠ABC ＝ 60° , ∠ BAD ＝∠ BCD ＝ 90° , AB ＝ 2, CD
＝1, 对角线 AC 、 BD 交于点 O, 如图 . 则 sin ∠AOB ＝__________.
C
B
ba
O
14. 若 正 五 边 形 ABCDE 的 边 长 为 a, 对 角 线 长 为 b, 则 ： － ＝
卷一：温州中学自主招生模拟考试数学试卷
一. 选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，满分 40 分。） 1. 已知 x 是无理数，且 x 1 x 3 是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论：
（1） x 2 是有理数；（ 2） x 1 x 3 是无理数；（ 3） x 1 2 是有理数； （ 4） x 1 2 是无理
）
A.90 °
B.<90 °
C.>90°
D. 以上答案都不对
5. 已知 ABCD 是圆内接四边形， AC 是圆的直径， BD ⊥AC ， AC 与 BD 的交点为 E， F 在
DA 的延长线上，连结 BF，G 在 BA 的延长线上，使得 DG ∥BF， H 在 GF 的延长线上，使
得 CH⊥ GF．如果∠ FBE=65 °，∠ HFB=25 °，则∠ FHC=(
大， SX+SZ 也最大，其值为 1 π2ｒ+r2.而 SY+SW 最小，其值为 1 π2ｒ-r2 .
2
2
所以， SX+SZSY +SW 的最大值是
16. （ 14 分）证明：如图 , 作△ BCE 的外接圆交 EF 于 G, 连结 CG. 因∠ FDC ＝∠ ABC＝∠ CGE , 故 F、 D、 C、 G 四点共圆 . 由切割线定理 , 有 EF2＝ ( EG＋GF ) · EF ＝ EG· EF＋ GF · EF＝ EC·ED＋ FC· FB ＝EC ·ED ＋ FC· FB ＝ EP2＋ FQ2,
如图，设 AB 、 CD 是以 O 为圆心、 r 为半径的圆的两条互相垂直的弦，且将圆分成的四个
部分 (每一部分允许退化为一个点 )依顺时针顺序记为 X 、 Y 、 Z 、 W.试求
SX SZ 的最大值。 SY SW
:
请
号
学
内
： 名 姓线
订 ： 级
班
装
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16. （本题满分 14 分）
ak8)，
8 / 10
其中， 2ajl=ail +akl (l=1 ，2， … ， 8).
由于 a1 与 a8不能作为三元数组的中间项，故中间项至多有
6 种不同的取法 .再由抽屉原理，
知上述 8 个不同的三元数组中必有
2 个三元数组的中间项相等，不妨设为
aj1=aj2. 则
ai1+a k1=2aj1 =2aj2 =ai2 +ak2，
ab
D
______________.
A
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题
： 号 位 座
答
： 号 场勿 考
卷二： 温州中学自主招生模拟考试数学答题卷
一. 选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，满分 40 分。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二. 填空题（本大题共 6 小题，每题 6 分，满分 36 分。）
9.________________;
10._______________; 11._______________;
12._______________;
13._______________; 14._______________;
三. 解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分）
15.( 本题满分 10 分 )
12._____ 30 217 ____; 13.____
15 6 3 ___; 26
三. 解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分）
15.(10 分 ) 解：不妨设圆心落在如图 (a) 的 Z 中 .
14.__________1________;
当弦 AB 向上平移时， 图 7(b)中的阴影部分面积大于它左边无阴影部分的面积， 所以，SX+SZ
如图 , ABCD 是⊙ O 的内接四边形 , 延长 AB 和 DC 相交于 E, 延长 AD 和 BC 相交于 F, EP 和
FQ 分别切⊙ O 于 P、 Q. 求证： EP2＋ FQ2＝ EF2.
A
P O
B C
E
Q D
F
17. （本题满分 15 分）
设 k 是实数， f ( x)