高中数学必修4知识点

高中数学必修4知识点⎩零角:不作任何旋转形成的角⎪负角:按顺时针方向旋转形成的角⎨1、任意角⎪正角:按逆时针方向旋转形成的角⎧}{为第几象限角．α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α2、角}Z∈180,k⋅k=αα{终边在x轴上的角的集合为}Z∈360,k+360⋅k<α<270+360⋅kα{第四象限角的集合为}Z∈270,k+360⋅k<α<180+360⋅kα{第三象限角的集合为}Z∈180,k+360⋅k<90+360⋅kα{第二象限角的集合为}Z∈90,k⋅k=α{终边在坐标轴上的角的集合为}Z∈90,k+180⋅k=αα{终边在y轴上的角的集合为οοοοοοοοοοοοοοοοοZ∈,kο90+ο360⋅k<α<ο360⋅kα第一象限角的集合为}Z∈,kα+360⋅k=ββ{终边相同的角的集合为α3、与角所在象限的方法：先把各象限均分n等n*)N∈n(α是第几象限角，确定α4、已知是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域． nα原来α份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．． r=的弧度数的绝对值是α所对弧的长为l，则角αl6、半径为r的圆的圆心角οποο⎭π⎝180⎪．ο57.3≈=，1=360，1=π7、弧度制与角度制的换算公式：2⎫180⎛r2． 22α=lr=l，S+2r=r，C=，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，11则l)为弧度制α(α8、若扇形的圆心角为，它与原点)x,y(的坐标是P的终边上任意一点α是一个任意大小的角，α9、设． rrx)0≠x(=α，tan=αyxy，cos)(=α0，则sin>=的距离是rr10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．．TA=α，tan MO=α，cos PM=α11、三角函数线：sin⎝⎭α． tan⎪=α,cosαcosαtan=αsin⎛⎫αsinα cosαtan=αsin)2(；)αsin2-1=α,cos2αcos2-1=αsin2(1 22=αcos+αsin)1(12、同角三角函数的基本关系：13、三角函数的诱导公式：．αtan=)α+π(，tanαcos-=)α+π(，cosαsin-=)α+π(sin)2(．)Z∈k(αtan=)α+π2k(，tanαcos=)α+π2k(，cosαsin=)α+π2k(sin)1(．αtan-=)α-(，tanαcos=)α-(，cosαsin-=)α-(sin)3(．αtan-=)α-π(，tanαcos-=)α-π(，cosαsin=)α-π(sin)4(⎭2⎝⎭2⎝．αsin=⎪α-，cosαcos=⎪α-⎫π⎛⎫⎛sin)5(口诀：函数名称不变，符号看象限．π⎛sin)6(π⎭2⎝⎭2⎝．αsin-=⎪α+，cosαcos=⎪α+⎫π⎛⎫口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1)ϕ+x(sin=的图象；再将函数y)ϕ+x(sin=个单位长度，得到函数yϕsinx的图象上所有点向左（右）平移=14、函数y的图象；再将函数)ϕ+xω(sin=倍（纵坐标不变），得到函数yω的图象．)ϕ+xω(sin A=倍（横坐标不变），得到函数y A的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的)ϕ+xω(sin=ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的=函数y得到函数ω倍（纵坐标不变），个单ωx的图象上所有点向左（右）平移1ωsin=x 的图象；再将函数yωsin=y的图象上所)ϕ+xω(sin=的图象；再将函数y)ϕ+xω(sin=位长度，得到函数y倍（横坐标不变），得到函数A有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的的图象．)ϕ+xω(sin A=y的性质：)0>ω0,>A()ϕ+xω(sin A=函数y=T；②周期：A①振幅：π2=；③频率：fω1π2T；⑤初相：ϕ+xω；④相位：=．ϕx2时，取得=x1时，取得最小值为ymin ；当x=，当x B+)ϕ+xω(sin A=函数yT11． 222)x2<x1(x1-x2=，)ymin+ymax(=B，)ymin-ymax(sinx 性=tanx 数 y=cosx y=15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函 y=A最大值为ymax，则质图象定义域值域R⎬⎨Z∈,k+πk≠xx⎫π⎧⎭⎩2R]1,1-[+π2k=当x]1,1-[)Z∈k(时，)Z∈k(π2k=当x π2最值1；当=时，ymax-π2k=xπ+π2k=1；当x=ymaxπ21．-=时，ymin)Z∈k(π2既无最大值也无最小值1．-=时，ymin)Z∈k(周π2期性奇奇函数偶性单⎡⎤ππ性⎣⎦22⎥⎢调+π,2k-π在 2k π偶函数奇函数在)Z∈k(]π,2kπ-π2k[上是增函数；在⎛⎫ππ⎪+π,k-πk 在⎝⎭22]π+π,2kπ2k[上是增函数；在)Z∈k(⎡⎤π3π⎣⎦22⎥⎢+π,2k+π2k上是增函数．)Z∈k(上是减函数．)Z∈k(上是减函数．)Z∈k(对称中心对中心对称中心)Z∈k(),0πk(对称对称性π)Z∈k(+πk=x2轴)Z∈k(⎪,0+πk⎛⎫π)Z∈k(πk=对称轴x⎫πk⎛)Z∈k(⎪,0⎭2⎝无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．ρρρρρρb．+a≤b+a≤b-⑶三角形不等式：aρρρρρρρρρρc；③+b+a=c+b+a；②结合律：a+b=b+⑷运算性质：①交换律：a )()(a．=a+0=0+aρρρρρCρρρρ．)y2+x2,y1+x1(=b+，则a)x2,y2(=，b)x1,y1(=⑸坐标运算：设a18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．aρbABρρρρ=BA，则)x2,y2(，)x1,y1(两点的坐标分别为B、A设υρυυ．)y2-x2,y1-x1(=b-，则a)x2,y2(=，b)x1,y1(=⑵坐标运算：设a x1(-y2-x2y,1．)υυυρυυυρρρυυυρC B=BA-C A=b-a19、向量数乘运算：ρρa．①λ与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λ⑴实数a；λ=aλρρρρρρa的方向与a的方向相反；当λ0时，<λa的方向与a的方向相同；当λ0时，>λ②当0．=aλ0时，=λρρ)(b．λ+aλ=b+aλa；③μ+aλ=a)μ+λ(a；②)μλ(=)aμ(λ⑵运算律：①ρρρρρρρρρρρ．)yλx,λ(=)x,y(λ=aλ，则)x,y(=⑶坐标运算：设a)(a．λ=，使bλ0与b共线，当且仅当有唯一一个实数≠20、向量共线定理：向量aaρρρρρρ)(，)x2,y2(=0时，向量a、b=x2y1-0，则当且仅当x1y2≠，其中b)x1,y1(=0设a≠bbρρρρρρρρ共线．21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面ρυυρυ（不共线的向量e1、e2作2e2．λ+1e1λ=2，使aλ1、λ内的任意向量a，有且只有一对实数ρρρυυρυρυυρυ为这一平面内所有向量的一组基底）⎭⎝λ+1λ+． 1⎪1, 的坐标是P2时，点PPλ=P1P当⎫y2λ+x2y1λ+x⎛ρυυυρυυυ，)x2,y2(，)x1,y1(2的坐标分别是P1、P2上的一点，P1P是线段P22、分点坐标公式：设点)(180．零向量与任一向量的数量积为0．≤θ≤0,0≠0,b≠aθabcos=b⋅⑴aοορρρρρρρρ23、平面向量的数量积：0．②当a与b同向时，=b⋅a⇔b⊥ab；⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a=b⋅aρρρρρρρρρρρρρ2ρρρab．≤b⋅．③a=a或a=a=a⋅ab；a-=b⋅当a与b反向时，aρρρρρρρρρρρ2 )()()(c．⋅b+c⋅a=c⋅b+b；③aλ⋅a=b⋅aλ=b⋅)aλ(a；②⋅b=b⋅⑶运算律：①aρρρρρρρρρρρρρρρρρy1y2．+x1x2=b⋅，则a)x2,y2(=，b)x1,y1(=⑷坐标运算：设两个非零向量aρρρρρρ=y，或a+x=，则a)x,y(=22若aρ2ρρρρ0．=y1y2+x1x2⇔b⊥，则a)x2,y2(=，b)x1,y1(=设a是a与b的夹角，θ，)x2,y2(=，b)x1,y1(=设a、b都是非零向量，aρρρρρρ则ab24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：==θbcos⋅aρρ；βsinαsin+βcosαcos=)β-α(⑴cos=)β-α(；⑸tanβsinαcos+βcosαsin=)β+α(；⑷sinβsinαcos-βcosαsin=)β-α(；⑶sinβsinαsin-βcosαcos=)β+α(⑵cosβtan-αtan）；)βtanαtan+1()β-α(tan=βtan-α（tanβtanαtan+1=)β+α(⑹tanβtan+αtan）．)βtanαtan-1()β+α(tan=βtan+α（tanβtanαtan-1．⑵αcosα2sin=α25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2α2sin2-1=1-α2cos2=αsin2-αcos2=αcos2αcos2-1）． 2（=αcos21+αcos22，=αsin2=α⑶tan2α2tan．αtan2-1=ϕ，其中tan)ϕ+α(26=αcos B+αsin A、A．B高中数学必修5知识点C的外接BA∆、C的对边，R为B、A C中，a、b、c分别为角BA∆1、正弦定理：在abcsinC B sin A2R． sin===2RsinC；=，c B2Rsin=，b A2Rsin=2、正弦定理的变形公式：①aabc；=，sinC=B，sin=A②sin2R2R2R:sinC；B:sin A sin=③a:b:ccabc+b+a④．===sinC B sin A sinCsin+B sin+A sin111．B acsin=absinC=A bcsin=C BA∆3、三角形面积公式：S222圆的半径，则有，B2accos-c+a=，b A2bccos-c+b=C中，有a BA∆4、余弦定理：在2222222abcosC．-b2+a2=c2c2-b2+b2a2-c2+a2a2-c2+b2．=，cosC=B，cos=A5、余弦定理的推论：cos2bc2ab2ac第6 / 10页90． 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列．>c，则C<b+90；③若a<c，则C>b+90；②若a=c，则C=b+、C的对边，则：①若a B、A C的角BA∆6、设a、b、c是11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列．的第n项与序号n之间的关系的公式．}an{14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列1（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．-16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an19、若等差数列=称为a与b的等差中项．若b A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A18、由三个数a，222ο222ο222οc+a，则称b为a与c的等差中项． 21的首项是a，公差是d，则a}an{nd．)1-n(+a1==d；③d)1-n(-an=d；②a1)m-n(+am=20、通项公式的变形：①an 1-a1n-an；a1-aman-an=④n=1；⑤d+．*），则2an N∈q（n、p、q+p=是等差数列，且2n}an{an*若+），则am N∈q （m、n、p、q+p=n+是等差数列，且m}an{21、若aq；+ap=aq．+ap=+na1=d． 22、等差数列的前n项和的公式：①n；②Sn=S)1-n(n)an+a1(n 22*，则S2n N∈23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn)(，且)1+an+an(n=nd，=S奇-S偶S奇a1+nS偶an=第7 / 10页*an，=S偶-an，且S奇)1-2n(=1-，则S2n N∈1n-②若项数为2n)(S奇n=（其中1-S偶nan）)1-n(=nan，S偶=． S奇24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a 与b的等比中项．若ab，则称G为a与b的等比中项．=G21．-a1qn=的首项是a1，公比是q，则an}an{26、若等比数列m-n)1-n(-1mn-aq27、通项公式的变形：①n；②1；③qn=aqa=a=an；④a1=m-qnanam．*），则an N∈q（n、p、q+p=是等比数列，且2n}an{aq；若⋅ap=an⋅*），则am N∈q（m、n、p、q+p=n+是等比数列，且m}an{28、若2aq．⋅ap=)1=q(na1⎧⎪aq．-a)qn-1(a1⎨=的前n项和的公式：Sn}an{29、等比数列⎪)1≠q(=1nq-1⎩q-1m+②Sn N∈30、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn(*，则S)S偶奇q．=Sm．⋅qn+Sn=S2n成等比数列．-Sn，S3n-③Sn，S2nb．<a⇔0<b-b；a=a⇔0=b-b；a>a⇔0>b-31、ad；+b>c+a⇒d>b,c>bc；⑤a<ac⇒0<b,c>bc，a>ac⇒0>b,c>c；④a+b>c+a⇒b>c；③a>a⇒c>b,b>a；②a<b⇔b>32、不等式的性质：①a nn；)1>,n N∈n(b>a⇒0>b>bd；⑦a>ac⇒0>d>0,c>b>⑥a．)1>,n N∈n⇒0>b>⑧a33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．第8 / 10页34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：4ac-b=∆判别式20<∆0 =∆0 >∆c+bx+ax2=二次函数y的图象)0>a(有两个相异实数根0=c+bx+一元二次方程ax 2的根)0>a(0>c+bx+ax2一元二次不等式的解集= x1,2±b-2a有两个相等实数根)x2<x1(b 2a没有实数根}x>x或x<xx{ 12)0>a(0<c+bx+ax2 ⎬-≠xx⎨⎫b⎧⎩⎭2aR)0>a(xx{1∅∅35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对构成的集合．)x,y(，所有这样的有序数对)x,y(0．=C+y B+x A0的下方． 39、在平面直角坐标系中，已知直线=C+y B+x A 在直线)x0,y0(P0，则点<C+y0B+x0A0，>B0的上方．②若=C+y B+x A 在直线)x0,y0(P0，则点>C+y0B+x0A0，>B．①若)x0,y0(P0，坐标平面内的点=C+y B+x A38、在平面直角坐标系中，已知直线0表<C+y B+x A0上方的区域；=C+y B+x A0表示直线+x A0，则>B①若>yC+B0下方的区域．=C+y B+x A示直线0表<C+y B+x A0下方的区域；=C+y B+x A0表示直线+x A0，则<B②若>yC+B0上方的区域．=C+y B+x A示直线第9 / 10页40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．．可行域：所有可行解组成的集合．)x,y(线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 41、设a、b是两个正数，则几何平均数．>0，b>42、均值不等式定理：若a≥b+0，则a22b+a称为正数a、ba、b的2b+a2≥b2+a2；)R∈a,b(≤；②ab)R∈a,b(2ab≥b+43、常用的基本不等式：①a 2⎫b+a⎛⎫b+a⎛b2+a2．)R∈a,b(⎪；④)0>0,b>a(⎪≥≤③ab⎭⎝⎭⎝22244、极值定理：设x、y都为正数，则有22s2y时，积xy取得最大值．=s（和为定值），则当x=y+⑴若x 4+y时，和x=p（积为定值），则当x=⑵若xyy取得最小值。