北京大学量子力学课件第14讲

0 dt
i
,
[rip ˆ ,H ˆ]i1 [rp ˆ,2 p ˆm 2]i1 [rp ˆ,V (r)]
i1[r,2p ˆm 2]p ˆi1r[p ˆ,V(r)]
pˆ2 rV(r)
m
2Tˆ rV(r)
若 V(x,y,z) 是x,y,z的n次齐次函数，则
2Tˆ nV(r)
例：谐振子势是x,y,z的2次齐次函数
管它们都与 Hˆ 对易，但它们之间可能不对易。
如
Hˆ p2 V(r)
2m
Lˆ2,Lˆx,Lˆy,Lˆz 都是运动常数，但 Lˆx,Lˆy,Lˆz 彼此不对易，不能同时取确定值。
（2） Vivial Theorem 维里定理
不显含t的力学量，在定态上的平均与 t 无 关。
drpˆ [rpˆ,Hˆ]
2
由于rR (r) r 00 的条件，所以自
由粒子的本征函数为
ukl(m r,, )k 2jl(k)Y rlm ( , )
Eklm
2 2m
k2。
对于自由粒子，亦可选 (px,py,pz)作为
力学量完全集，其共同本征函数为
upxpypz (21)32eipr/
ukxkykz (21)32eikr
因此， Ylm(1)mYl*m
4. Ylm宇称 ( 1 ) l
rr, 即 ，
5.递推关系
1lm
1m
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量
B．在 r0时，径向波函数应满足
rR(r)0
由径向方程 d d 2 2 (r r( R r) )l(lr 2 1 )(r( R r) )2 m (E 2 V (r)(r )( R r) )0
当 r0 时，方程的渐近解为 ~ rl1 ，
所以有 rR (r) r 00
（2）三维自由粒子运动
因 V(r)0 ，所以可选力学量完全集 Hˆ ,Lˆ2,Lˆ z
p2x
2 4x2
因此，当
x
2
较小时，
p
2 x
比较大。
所以要有
md2d2x t V xF ˆ x
mdd2x2tclV x (xccl)l Fx(xc)l
要有两个条件：
★ 势随空间作缓慢变化：
Vx 1 x 2!
V3x x3
x2
★ 动能很大：
pˆ2x p2x
第五章 变量可分离型的三维定态问题
★ Hˆ 不显含 t 时，
易；它们的共同本征函数 uabc 是不简并的，
也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。
所以，以后要描述一个体系所处的态时，我 们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以
给出特解，然后得通解。
有了力学量完全集，则可得 unab c
(r,t) cna b unca b e icE nt/
于是有
[d d2 2r2 rd d rl(lr 21)]R (r)k2R (r)0
令
k2
2mE 2
kr
d d 2 2R ( ) 2d d R ( )[1l(l 21 )]R ( )0
这即为球贝塞尔函数满足的方程。而在 0
处为有限的解是
R ()cl(j)c()l( 1d d )ls i n
Tˆ V(r)
例：库仑势是x,y,z的 –1 次齐次函数
2Tˆ V(r)
(3) 能量-时间测不准关系
由算符的“涨落”关系，有
A ˆ B ˆ 1i[A ˆ,B ˆ] 2
如 Bˆ Hˆ ，则有 AE1i[A ˆ,H ˆ] 2
若 Aˆ 是不显含时间的算符，则有
dA dt
[Aˆ , Hˆ ] i
取
A
的渐近行为
A．若 V(r) 才有束缚态。
A rm
时，仅当
0<m<2 时
根据维里定理：如 V(r) 是x,y,z的n次齐
次函数，则有
2TnV
对于上述势
（在定态上）。
2TmV
即
ETV(12)T
m
在这类位势下，束缚态E<0。所以存在束缚 态的条件为0<m<2
即仅当 r2V(r) r 0 0时，才有束缚态。
V xF ( x ) 2 1 ! x 2 F ( x )
当场随空间变化非常缓慢，且 x 2 很小
时，我们有不等式
Vx x
1 2!
V3x x3
x2
V xF ( x ) V ( x x )
这样，量子力学中粒子运动与经典力学规 律相似。经典运动是一好的近似。
当然，根据测不准关系，
[Lˆ2,Lˆz]0
[Hˆ ,Lˆ2]0
[Hˆ,Lˆz]0
因此，Hˆ ,Lˆ2,Lˆz 是两两对易。当共同本征
函数组不简并时，它们构成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组力学量完全集 （球对称势的体系都有这一特点）。
以 Hˆ ,Lˆ2,Lˆz的本征值（即量子数）对能
量本征方程的特解进行标识。
u n( r l) m R n ( r ) l Y l( m , )
B ˆv(ab1) b1v(ab1) B ˆv(ab2)b2v(ab2)
v(abi)a1 (i)u(a1)a(2 i)u(a2)
b11b b12 0 b21 b22b
可求得 Bˆ 的本征值。
若 b1 b2 ，则 Aˆ , Bˆ
函数
v (bi) a
一起就唯一地决定
Aˆ , Bˆ 的共同本征态没有一个是简并的。 力学量完全集：设力学量 Aˆ,Bˆ,Cˆ 彼此对
但事实上，一般而言
V(r)V x x
但在 V(x) 随 x 的变化很缓慢，以及 x 2
比较小的条件下，上式近似相等 . 以一维运动来讨论
V(x) x
Fˆx
F ˆ ( x ) F ˆ ( x ) ( x x ) 2 1 ! F ˆ ( x ) ( x x ) 2
l0
cljl(kr)Pl(cos)
l0
a. 对 kr求导，得
i cljl(k)c r o P ls (c o )s cljl(k)P rl(c o )
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
因 [Lˆ2,Lˆz]0，它们有共同本征函数组。
[L ˆz,L ˆ]L ˆ [L ˆz,L ˆ]L ˆ
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
Lˆ 2 的本征值为 l(l 1)2
Lˆ z 的本征值为 m
lm l
这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。
而前述，Hˆ ,Lˆ2,Lˆz 作为力学量完全集，有
共同本征函数组
ukl(m r,, )k 2jl(k)Y rlm ( , )
e
i
kr 可按它展开
eikr l alm uklm (r,,)
l0ml l
almjl(k)rYlm (,)
l0ml
如取 k 方向在z方向（即为z轴），则
eikreikcro s al0jl(k)Y rl0(, )
A dA
dt
则有
τ A ΔE 2
这即为能量和时间的测不准关系。
（4）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem）
以 x , p x 表示 x, pˆ x 的平均值。
⋆ Aˆ x
dxpˆx dt m
体系的坐标平均值的时间导数等于其速度 算符的平均值 。
⋆ Aˆ pˆ x
dpˆx dt
Fˆx
子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
设：Aˆ , Bˆ 是力学量所对应的算符，并且对易
如 ua (x) 是 Aˆ 的本征函数。
⋆ Aˆ 的本征函数不简并，则
Bˆua bua
⋆ 当 Aˆ 的本征值是两重简并。那问题就不
dA dt
Aˆt [Aˆi,Hˆ ]
若 Aˆ 不显含t，则
dA dt
[Aˆ , Hˆ ] i
当 [Aˆ,Hˆ ]0 ，则 Aˆ （对体系任何态）不随t变。
而取 A s 的几率 c ns 2 也不随 t 变。
n
dA 0 dt
我们称与体系 Hˆ 对易的不显含时间的力学量算
符为体系的运动常数。
运动常数并不都能同时取确定值。因尽
体系动量算符平均值的时间导数等于作用力 的平均值。
于是有 md2d2txV x
称为的恩费斯脱定理。
我们可以看到，上面三个式子与经典力学看 起来非常相似。
dxcl pxcl dt m
dpxcl Vcl
dt
xcl
mdd2xt2cl
Vcl xcl
但决不能无条件地认为
xxcl
如果这样，即得
md2d2txV (xr)
它随时间演化为
ddAtddt*(t),A ˆ(t)dr
* t ( t)A ˆ ( t) d r * ( t) A ˆ t ( t) d r * ( t) A ˆ ( tt)d r
* ( t ) A ˆ t ( t ) d r i 1 * ( t ) A ˆ H ˆ ( t ) d r i 1 H ˆ ( t ) * ( t ) A ˆ ( t ) d r
3． Ylm(1)mYl*m
P 所lm 以(，c o ) s(1)m((ll m m ))P !!lm (c o ) sm0 Y l m ( 1 ) m(2 4 l 1 ) ( (ll m m ) )P ! !l m (c ) o e ism
(2l1) 4
((ll m m))!!Plm(co )esim
于是归结到解具有不同位势 V(r) 的径向方程
d 2
l( l 1 )
2 m ( E V ( r ))
d 2 ( r r ( r R ) )r 2 ( r( r R ) ) 2 ( r( r R ) ) 0
首先要研究边条件的共性。
对于束缚态， r ,unl m0
对于 r0 ，波函数行为？
（1）不显含时间的薛定谔方程解在 r0
而在 0 处为无穷的解是
R ( )c l( )c( 1 ) ( )l( 1d d )lc o s
0jl()~(2l l1)!![12(2l23) ]
l()~(2 2 ll 1 1 )!!( 1)l1[12(2 l2 3) ]
sin(l)
R()clj()~c
2
cos( l)
R()cl()~c
称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。
当 l, m 给定，也就是 Lˆ2 , Lz 的本征值给
定，那就唯一地确定了本征函数 Ylm(,)。
其性质： 1. 正交归一
Y l*m ( , )Y lm ( , )d ll m m
2．封闭性
l 0 m m ll Y lm ( , )Y l*m ( , ) s1 i n ( ) ( )
这时 Δ Lˆ2z 0 ΔL ˆ2y[l(l1)m2]2/2
LyLz0
(3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组
正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符
Aˆ ，Bˆ 必对易 ，[Aˆ,Bˆ]0 。
定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
B. 本征函数
已求得 Lˆ2,Lz 的共同本征函数组-球谐函数
Y l m (1)m(24 l 1) ((ll m m ))P !!lm (c o )eism
P lm (c ) o ( 1 ) s l m 2 1 ll!(2 4 l 1 )( (l l m m ) )s ! !1 m i n (d c d o )l m s s2 i l n
有特解
i ψ Hˆ ψ t
φn(r,t)un(r)eiE nt/
H ˆ(r,p ˆ)un(r)Enun(r)
★ 处理的是变量可分离型的位势问题。 §5.1 有心势
V(r)V(r)
能量本征方程可写为
(2m 2 (1rr22rLˆ22r2) V (r)u n )(r) E n u n (r)
我们可看到
一样了。
测量 Aˆ 取值 a时，并不知处于那一态，
可能为
α1u(a1) α2u(a2)
尽管
Bˆ u
(1) a
也是
Aˆ
的本征态。但一般而言
B ˆu ( a 1 ) b 1u 1 ( a 1 ) b 2u 1 ( a 2 ) B ˆu ( a 2 ) b 1u 2 ( a 1 ) b 2u 2 ( a 2 ) B ˆ(uu(a(a12)))(bb1121 bb2221)(uu(a(a12)))
n,a,b,c
c na b u c* na (b r) c (r,0 )d r
Lˆ2, Lˆ z 完全集相应的本征函数为 Ylm(,)
§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数
A((t),A ˆ(t))