北京大学量子力学第14讲PPT课件
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量子力学基础知识PPT资料(正式版)
率0，金 属才能发射出光电子；
●增加照射光强度，不能增加光电子的动
能，只能使光电子的数目增加；
Ek
●光电子动能随照射光频率的增加而增加。
光
电子
金属
经典理论不能解释光电效应：
经典理论认为，光波的能量与其强度 成正比，而与频率无关；只要光强足够， 任何频率的光都应产生光电效应；光电子 的动能随光强增加而增加，与光的频率无 关。这些推论与实验事实正好相反。
de Broglie 波 与 光 波 不 同 ：光 波 的 传 播 速度 和 光 子 的 运动 速 度 相 等 ； de Broglie波的传播速度（u）只有实物粒子运动速度的一半：v＝2u。对于实物 微粒：u＝，E＝p2/(2m)＝(1/2)mv2 ,对于光：c＝，E＝pc＝mc2
微观粒子运动速度快，自身尺度小，其波性不能忽略；宏观粒子运动速度慢， 自 身 尺 度 大 ， 其 波 性 可 以 忽 略 ： 以 1.0106m/s 的 速 度 运 动 的 电 子 ， 其 de Broglie波长为7.310－10m（），与分子大小相当；质量为1g的宏观粒子以 110－2m/s 的速度运动，de Broglie 波长为7 10－29m，与宏观粒子的大小 相比可忽略，观察不到波动效应。
h称为Planck常数，h＝×10－34J•S
按Planck假定，算出的辐射能E与实验观测到的
黑体辐射能非常吻合：E
8h 3 c3
eh / kt 1 1
●能量量子化：黑体只能辐射频率为，数值
为h的整数倍的不连续的能量。
2. 光电效应与光的波粒二象性
光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。
涉现象。即，光表现出波粒二象性。 对实物微粒粒性的理解也要区别于服从Newton力学的粒子，实物微粒的运动没有可预测的轨迹。
量子力学简介PPT课件
i Et
Ψ (x, y, z, t) (x, y, z)e
2023/12/30
对于等式右边： 1 ( 2 2 V ) E
2m
量子力学简介
说明
2 2 V E
2m
——定态薛定谔方程
(x,y,z)应为单值函数;
(1) 标准条件： |Ψ |2dxdydz 1 应为有限值；
(2) 求解
, , ,
量子力学简介
2. 一维粒子在外保守力场中运动时具有势能 V
粒子的总能量： E p2 V
2m
同理，有：
Ψ
2 2
i
V
t
2m x2
推广：粒子在三维空间中运动时:
引入拉普拉斯算符: 2
2
x 2
2 y 2
2 z 2
i Ψ 2 2 V ——薛定谔方程
t
2m
定义哈密顿算符:
Hˆ
2
2
V
(r )
应连续.
x y z
E （粒子能量）
（定态波函数）
(3) 势能函数V 不随时间变化.
以一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)为例讨论．
2023/12/30
17.4 一维定态问题
量子力学简介
17.4.1 一维无限深方势阱
1. 势能函数
0 V (x)
2. 定态薛定谔方程
0 xa x 0，x a
1.22
应用举例
电子显微镜分辨率 远大于
光学显微镜分辨率
20世纪30年代, 电子显微镜诞生了.电子显微镜是利用高 速运动的电子束代替光线来观察物体的细微结构的, 放大倍 数比光学显微镜高许多, 可以达到几十万倍.电子显微镜大大 开阔了人们的视野, 使人们看到了细胞更细微的结构.
量子力学课件
思考：设粒子处在二维无限深势阱中，
求粒子的能量本征值和本征函数。如a=b，能级的简并 度如何？
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第27页
例： 设粒子处于无限深方势阱
中，粒子波函数为ψ(x) = Ax(a-x)， A为归一化常数。 a) 求A； b) 求测得粒子处于能量本征态
的概率Pn.
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第21页
另一个例子
势阱内薛定谔方程及边界条件 在|x|<a的区域内，通解为
V(x)无奇点， ψ(x)和ψ’(x)连续。 ψ1(x), ψ2(x)代表同一量子态。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第12页
3.2 方势
精确求解一些简单的方形势的本征值问题。 经典运动和量子运动的主要不同点 特别是束缚态能量量子，以及非束缚“粒子”的运动中，波的反 射、共振和势垒贯穿现象。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第15页
3.2.1 一维无限深方势阱
V→∞ V(x) V→∞
E
V=0
0 ax
在阱内（0<x<a），能量本征方程为
m为粒子质量，E为能量。 在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，ψ=0.
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
能量可视为连续改变。可见，量子性显著
表现在空间范围很小的微观尺度中。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
量子力学基础知识PPT讲稿
Plank
The Nobel Prize in Physics 1918
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
Max Karl Ernst Ludwig Planck
(3).光子具有一定的动量(p)
P = mc = h /c = h／λ
光子有动量在光压实验中得到了证实。 (4).光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子撞击时， 产生光电效应，光子消失，并把它的能量h转移给电子。电子吸收的能量，一 部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子的动能。
Germany Berlin University Berlin, Germany
1858在金属表面上，金属发射出电子的现象。
.1 只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电
子，不同金属的临阈频率不同。 2.随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。 3.增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
“光子说”表明——光不仅有波动性，且有微粒性，这就是光的波粒 二象性思想。
Einstein
The Nobel Prize in Physics 1921
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
第一节.微观粒子的运动特征
电子、原子、分子和光子等微观粒子，具有波粒二象 性的运动特征。这一特征体现在以下的现象中，而这些现 象均不能用经典物理理论来解释，由此人们提出了量子力 学理论，这一理论就是本课程的一个重要基础。
量子力学(全套) ppt课件
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
24
（3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出：
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子力学入门实用资料ppt
在受热或者是受某种能量激发时，由单一元素组成的样品能够辐射出可见光，它的光谱被称为放射光谱。
中间不能有间断，周长的每一段都是振动的一部分，而且波形不能重叠。
• 在一个光电设备（照相机的曝光表等），光照射在金属感应器表面使得电子逸出。
经典电磁理论过份高估增强幅度，特别是短波长的部分。
6而最3测初×量 ，1•0结人−3果们4不 高显认J s示为，同估电原频磁子温增率波电f的度强的磁谐速辐下幅振度射子非的的度能常模量黑，的式E接是为体特近类于似所别光于辐 是速小。提射 短琴的出 波一的 长根弦总 的“辐能 部射量 分”出和 。声波峰 瑞那值 利样的波 －--不长 金仅仅。 斯只经定有一典律种基电符本磁合频率理实（整论验个过数弦一份据起在最低频 率。波振尔动 用，原同子中 的时的向行的能一星个模长量方型波会向来运描长趋动述）电部于，子分无还的应运。穷该动有，但大高但在 。频起谐初短 这波他（并波 个频不长 被率理是解部 称基为频何分 为的2π， 紫整和数普经 外倍朗，典 灾克弦常物 难上数不一理 的同起的预 结出地现测 果方在位了炽显移他可热然推能导物是相出反的体错，数类所的学似表发。于述正中射弦。波出）的成分
• 此处普朗克定律是物理学中第一个量子理论，也使普朗克荣获1918 年的诺贝尔奖“为表扬普朗克对于能量量子的发现和促使物理学进步 的贡献”。但当时普朗克认为量子化纯粹只是一种数学把戏，而非 （我们今日所知的）改变了我们对世界的理解的基本原理。
• 1690年，惠更斯提出了光的波动学说用以解释干涉和折射 现象，[7]而艾萨克·牛顿坚信光是由极其微小的粒子构成 的，他把这种粒子叫作“光子（corpuscles）”。
• 由于牛顿本人的高度权威，微粒说在很长的一段时间占据 着上风，1827年，托马斯·杨和奥古斯丁·菲涅耳用实验证 明了光存在干涉现象，这是和“微粒说”不相容的。随着 波动学说的数学理论逐渐完善，到19世纪末，无论是实验 还是理论上，牛顿的理论都失去了以往的地位。
中间不能有间断，周长的每一段都是振动的一部分，而且波形不能重叠。
• 在一个光电设备（照相机的曝光表等），光照射在金属感应器表面使得电子逸出。
经典电磁理论过份高估增强幅度，特别是短波长的部分。
6而最3测初×量 ，1•0结人−3果们4不 高显认J s示为，同估电原频磁子温增率波电f的度强的磁谐速辐下幅振度射子非的的度能常模量黑，的式E接是为体特近类于似所别光于辐 是速小。提射 短琴的出 波一的 长根弦总 的“辐能 部射量 分”出和 。声波峰 瑞那值 利样的波 －--不长 金仅仅。 斯只经定有一典律种基电符本磁合频率理实（整论验个过数弦一份据起在最低频 率。波振尔动 用，原同子中 的时的向行的能一星个模长量方型波会向来运描长趋动述）电部于，子分无还的应运。穷该动有，但大高但在 。频起谐初短 这波他（并波 个频不长 被率理是解部 称基为频何分 为的2π， 紫整和数普经 外倍朗，典 灾克弦常物 难上数不一理 的同起的预 结出地现测 果方在位了炽显移他可热然推能导物是相出反的体错，数类所的学似表发。于述正中射弦。波出）的成分
• 此处普朗克定律是物理学中第一个量子理论，也使普朗克荣获1918 年的诺贝尔奖“为表扬普朗克对于能量量子的发现和促使物理学进步 的贡献”。但当时普朗克认为量子化纯粹只是一种数学把戏，而非 （我们今日所知的）改变了我们对世界的理解的基本原理。
• 1690年，惠更斯提出了光的波动学说用以解释干涉和折射 现象，[7]而艾萨克·牛顿坚信光是由极其微小的粒子构成 的，他把这种粒子叫作“光子（corpuscles）”。
• 由于牛顿本人的高度权威，微粒说在很长的一段时间占据 着上风，1827年，托马斯·杨和奥古斯丁·菲涅耳用实验证 明了光存在干涉现象，这是和“微粒说”不相容的。随着 波动学说的数学理论逐渐完善，到19世纪末，无论是实验 还是理论上，牛顿的理论都失去了以往的地位。
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
量子力学
2
λp λ0, p0
·
φ
·
P
where m0 is the electron mass. Fig. 9.4 Schematic diagram
of Compton scattering.
h λc = = 0.00243nm called Compton wavelength. mc
The fact is that the light shows the property of waves in its interference and diffraction and performances the particle property in blackbody radiation, photoelectric effect and Compton effect. Till now we say that the light has duality property. We can say that light is wave when it is involved in its propagation only like interference and diffraction.
M λ (T ) = 2πhc λ
c is the speed of light,
2 −5
1 e
hc kλT
−1
k is Boltzmann’s constant, ’ h is Planck’s constant ’ e is the base of natural logarithm.
• Other unbelievable deductions: (1) For very large wavelength,
M λ (T ) = 2πhc λ
λp λ0, p0
·
φ
·
P
where m0 is the electron mass. Fig. 9.4 Schematic diagram
of Compton scattering.
h λc = = 0.00243nm called Compton wavelength. mc
The fact is that the light shows the property of waves in its interference and diffraction and performances the particle property in blackbody radiation, photoelectric effect and Compton effect. Till now we say that the light has duality property. We can say that light is wave when it is involved in its propagation only like interference and diffraction.
M λ (T ) = 2πhc λ
c is the speed of light,
2 −5
1 e
hc kλT
−1
k is Boltzmann’s constant, ’ h is Planck’s constant ’ e is the base of natural logarithm.
• Other unbelievable deductions: (1) For very large wavelength,
M λ (T ) = 2πhc λ
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B ˆv(ab1) b1v(ab1) B ˆv(ab2)b2v(ab2)
v(abi)a1 (i)u(a1)a(2 i)u(a2)
b11b b12 0 b21 b22b
可求得 Bˆ 的本征值。
若 b1 b2 ，则 Aˆ , Bˆ
函数
v (bi) a
一起就唯一地决定
Aˆ , Bˆ 的共同本征态没有一个是简并的。 力学量完全集：设力学量 Aˆ,Bˆ,Cˆ 彼此对
称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。
当 l, m 给定，也就是 Lˆ2 , Lz 的本征值给
定，那就唯一地确定了本征函数 Ylm(,)。
其性质： 1. 正交归一
Y l*m ( , )Y lm ( , )d ll m m
2．封闭性
l 0 m m ll Y lm ( , )Y l*m ( , ) s1 i n ( ) ( )
所以，
x px 2
这即为海森堡（Heisenberg）的测不准 关系的严格证明。
例2 [L ˆx,L ˆy]iL ˆz
但在特殊态 Y00
1时 4
Lx 0 Ly 0 LxLy0
但这仅是某一特殊态。
例3 [Lˆy,Lˆz]iLˆx
在态 Ylm下
这时 Δ Lˆ2z 0 ΔL ˆ2y[l(l1)m2]2/2
一样了。
测量 Aˆ 取值 a时，并不知处于那一态，
可能为
α1u(a1) α2u(a2)
尽管
Bˆ u
(1) a
也是
Aˆ
的本征态。但一般而言
B ˆu ( a 1 ) b 1u 1 ( a 1 ) b 2u 1 ( a 2 ) B ˆu ( a 2 ) b 1u 2 ( a 1 ) b 2u 2 ( a 2 ) B ˆ(uu(a(a12)))(bb1121 bb2221)(uu(a(a12)))
因此， Ylm(1)mYl*m
4. Ylm宇称 ( 1 ) l
rr, 即 ，
5.递推关系
1lm
1m
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量
n,a,b,c
c na b u c* na (b r) c (r,0 )d r
Lˆ2, Lˆ z 完全集相应的本征函数为 Ylm(,)
§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数
A((t),A ˆ(t))
[L ˆz,L ˆ]L ˆ [L ˆz,L ˆ]L ˆ
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
Lˆ 2 的本征值为 l(l 1)2
Lˆ z 的本征值为 m
lm l
这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。
B. 本征函数
易；它们的共同本征函数 uabc 是不简并的，
也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。
所以，以后要描述一个体系所处的态时，我 们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以
给出特解，然后得通解。
有了力学量完全集，则可得 unabc
(r,t) cna b unca b e icE nt/
它随时间演化为
ddAtddt*(t),A ˆ(t)dr
* t ( t)A ˆ ( t) d r * ( t) A ˆ t ( t) d r * ( t) A ˆ ( tt)d r
* ( t ) A ˆ t ( t ) d r i 1 * ( t ) A ˆ H ˆ ( t ) d r i 1 H ˆ ( t ) * ( t ) A ˆ ( t ) d r
第十四讲
算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式
如果， 1 , 2 是任意两个平方可积的波函
数，则
1, 1 2, 2 1, 22
(2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关 系：
如令
1(A ˆA)
2(B ˆB)
i[Aˆ ,Bˆ ] A B
2
例1 Aˆ x ， Bˆ pˆx
[A ˆ,B ˆ][x,p ˆx]i
LyLz0
(3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组
正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符
Aˆ ，Bˆ 必对易 ，[Aˆ,Bˆ]0 。
定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
因 [Lˆ2,Lˆz]0，它们有共同本征函数组。
子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
设：Aˆ , Bˆ 是力学量所对应的算符，并且对易
如 ua (x) 是 Aˆ 的本征函数。
⋆ Aˆ 的本征函数不简并，则
Bˆua bua
⋆ 当 Aˆ 的本征值是两重简并。那问题就不
dA dt
Aˆt [Aˆi,Hˆ ]
若 Aˆ 不显含t，则
dA dt
[Aˆ , Hˆ ] i
当 [Aˆ,Hˆ ]0 ，则 Aˆ （对体系任何态）不随t变。
而取 A s 的几率 c ns 2 也不随 t 变。
已求得 Lˆ2,Lz 的共同本征函数组-球谐函数
Y l m (1)m(24 l 1) ((ll m m ))P !!lm (c o )eism
P lm (c ) o ( 1 ) s l m 2 1 ll!(2 4 l 1 )( (l l m m ) )s ! !1 m i n (d c d o )l m s s2 i l n
3． Ylm(1)mYl*m
P 所lm 以(，c o ) s(1)m((ll m m ))P !!lm (c o ) sm0 Y l m ( 1 ) m(2 4 l 1 ) ( (ll m m ) )P ! !l1) 4
((ll m m))!!Plm(co )esim
v(abi)a1 (i)u(a1)a(2 i)u(a2)
b11b b12 0 b21 b22b
可求得 Bˆ 的本征值。
若 b1 b2 ，则 Aˆ , Bˆ
函数
v (bi) a
一起就唯一地决定
Aˆ , Bˆ 的共同本征态没有一个是简并的。 力学量完全集：设力学量 Aˆ,Bˆ,Cˆ 彼此对
称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。
当 l, m 给定，也就是 Lˆ2 , Lz 的本征值给
定，那就唯一地确定了本征函数 Ylm(,)。
其性质： 1. 正交归一
Y l*m ( , )Y lm ( , )d ll m m
2．封闭性
l 0 m m ll Y lm ( , )Y l*m ( , ) s1 i n ( ) ( )
所以，
x px 2
这即为海森堡（Heisenberg）的测不准 关系的严格证明。
例2 [L ˆx,L ˆy]iL ˆz
但在特殊态 Y00
1时 4
Lx 0 Ly 0 LxLy0
但这仅是某一特殊态。
例3 [Lˆy,Lˆz]iLˆx
在态 Ylm下
这时 Δ Lˆ2z 0 ΔL ˆ2y[l(l1)m2]2/2
一样了。
测量 Aˆ 取值 a时，并不知处于那一态，
可能为
α1u(a1) α2u(a2)
尽管
Bˆ u
(1) a
也是
Aˆ
的本征态。但一般而言
B ˆu ( a 1 ) b 1u 1 ( a 1 ) b 2u 1 ( a 2 ) B ˆu ( a 2 ) b 1u 2 ( a 1 ) b 2u 2 ( a 2 ) B ˆ(uu(a(a12)))(bb1121 bb2221)(uu(a(a12)))
因此， Ylm(1)mYl*m
4. Ylm宇称 ( 1 ) l
rr, 即 ，
5.递推关系
1lm
1m
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量
n,a,b,c
c na b u c* na (b r) c (r,0 )d r
Lˆ2, Lˆ z 完全集相应的本征函数为 Ylm(,)
§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数
A((t),A ˆ(t))
[L ˆz,L ˆ]L ˆ [L ˆz,L ˆ]L ˆ
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
Lˆ 2 的本征值为 l(l 1)2
Lˆ z 的本征值为 m
lm l
这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。
B. 本征函数
易；它们的共同本征函数 uabc 是不简并的，
也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。
所以，以后要描述一个体系所处的态时，我 们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以
给出特解，然后得通解。
有了力学量完全集，则可得 unabc
(r,t) cna b unca b e icE nt/
它随时间演化为
ddAtddt*(t),A ˆ(t)dr
* t ( t)A ˆ ( t) d r * ( t) A ˆ t ( t) d r * ( t) A ˆ ( tt)d r
* ( t ) A ˆ t ( t ) d r i 1 * ( t ) A ˆ H ˆ ( t ) d r i 1 H ˆ ( t ) * ( t ) A ˆ ( t ) d r
第十四讲
算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式
如果， 1 , 2 是任意两个平方可积的波函
数，则
1, 1 2, 2 1, 22
(2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关 系：
如令
1(A ˆA)
2(B ˆB)
i[Aˆ ,Bˆ ] A B
2
例1 Aˆ x ， Bˆ pˆx
[A ˆ,B ˆ][x,p ˆx]i
LyLz0
(3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组
正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符
Aˆ ，Bˆ 必对易 ，[Aˆ,Bˆ]0 。
定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
因 [Lˆ2,Lˆz]0，它们有共同本征函数组。
子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
设：Aˆ , Bˆ 是力学量所对应的算符，并且对易
如 ua (x) 是 Aˆ 的本征函数。
⋆ Aˆ 的本征函数不简并，则
Bˆua bua
⋆ 当 Aˆ 的本征值是两重简并。那问题就不
dA dt
Aˆt [Aˆi,Hˆ ]
若 Aˆ 不显含t，则
dA dt
[Aˆ , Hˆ ] i
当 [Aˆ,Hˆ ]0 ，则 Aˆ （对体系任何态）不随t变。
而取 A s 的几率 c ns 2 也不随 t 变。
已求得 Lˆ2,Lz 的共同本征函数组-球谐函数
Y l m (1)m(24 l 1) ((ll m m ))P !!lm (c o )eism
P lm (c ) o ( 1 ) s l m 2 1 ll!(2 4 l 1 )( (l l m m ) )s ! !1 m i n (d c d o )l m s s2 i l n
3． Ylm(1)mYl*m
P 所lm 以(，c o ) s(1)m((ll m m ))P !!lm (c o ) sm0 Y l m ( 1 ) m(2 4 l 1 ) ( (ll m m ) )P ! !l1) 4
((ll m m))!!Plm(co )esim