北京大学量子力学期末试题

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北京大学量子力学习题集1

北京大学量子力学习题集1

[2] 波函数的归一化及 x2, p2 的计算
一维运动的粒子处于状态
ψ
(
x)
=
⎧ ⎨
Axe−
λ
x
,
⎩ 0,
x≥0 x<0
上,其中 λ > 0 ,A为待求的归一化常数,求(1)
粒子坐标的概率分布函数;(2)粒子坐标的平均
值 x 和粒子坐标平方的平均值 x2;(3)粒子动量 的概率分布函数;(4)粒子动量的平均值 p 和粒
则有
⎡⎢− ⎣
=2 2m

d2 dx2
+V (x)⎤⎥ψ E (x)

=
Eψ E (x)
V
(x)
=
E
+
=2 2m
ψ
1 E (x)

d2 dx2
ψ
E
( x),
−∞< x<∞
(1)
如果给定一个定态波函数ψ E (x) ,则由式(1)
可给出 V (x) − E ,欲分别求出 E和 V (x),还需
要附加条件,例如设定 V (x) 的零点.
∑ (En − Em )2 n x m 2 n
∑ = − (Em − En ) m x n (En − Em ) n x m n
∑ =

⎛ ⎜⎝

i=
μ
⎞2 ⎟⎠
n
m pn
n pm
∑ =2
= m p n n pm
μ2
n
=2 =
m
p2
n
μ
式(2)得证.以上利用了完备公式
∑ n n =1
n
∑ (En − Em ) n x m 2 n

北京大学-量子力学习题集1

北京大学-量子力学习题集1
容易看出粒子的波函数
ψ ( x, t ) = α xe
2
2μ E 2 μα = 2 − = =2
(6)
式(6)两边平方,得
2μ E ⎞ 1 ⎛ 2 μα 2 = ⎜ 2 − V0 ⎟ 2 2α ⎝ = = ⎠
(7)
显然 E 有解的条件是 2 2 = V0 2 μα 2 > V0 , 或 α > 2 2μ = 这正是存在束缚态的条件.由式(7)得
⎛ 2 μα ⎞ − V0 ⎟ E = 2 ⎜ 2 8μα ⎝ = ⎠ =
Δx ⋅ Δp ≥
4
解先对态ψ(x) 进行归一化.由波函数的归一化条件

有 得 于是

−∞
ψ ( x) dx = 1
dx = A 4λ
2 3
2


0
A x e
2
2 −2 λ x
=1
A = 2λ 3 / 2
⎧2λ 3/ 2 xe − λ x , x ≥ 0 ψ ( x) = ⎨ x<0 ⎩0,
(I)粒子坐标的概率分布函数为
⎡ =2 ∂ ⎤ ∂ ⋅ 2 + V ( x ) ⎥ψ ( x, t ) i = ψ ( x, t ) = ⎢ − ∂t ⎣ 2 M ∂x ⎦
则得
= −γ x = − ( β 2 x − 2 β ) + V ( x) x 2M
2
由此可解出 x > 0 时的势
=2 V ( x) = −γ + 2M ⎛ 2 2β ⎞ ⎜β − ⎟ x ⎝ ⎠
则有
= 1 d ⋅ 2 ψ E ( x), V ( x) = E + 2m ψ E ( x) dx
2 2
(1) 如果给定一个定态波函数ψ E ( x) ,则由式(1) 可给出 V ( x) − E ,欲分别求出 E和 V ( x),还需

量子力学期末考试试卷及答案范文

量子力学期末考试试卷及答案范文

量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题:1、波函数的标准条件:单值、连续性、有限性。

2、|Ψ(r,t)|^2的物理意义:t时刻粒子出现在r处的概率密度。

3、一个量的本征值对应多个本征态,这样的态称为简并。

4、两个力学量对应的算符对易,它们具有共同的确定值。

二、简答题:1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。

答:力学量的观测值应为实数,力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值,量子力学中,可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符;量子力学中还必须满足态叠加原理,而要满足态叠加原理,算符必须是线性算符。

综上所述,在量子力学中,能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。

2、一个量子态分为本征态和非本征态,这种说法确切吗?答:不确切。

针对某个特定的力学量,对应算符为A,它的本征态对另一个力学量(对应算符为B)就不是它的本征态,它们有各自的本征值,只有两个算符彼此对易,它们才有共同的本征态。

3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素?答:某一单色光辐射的话可能吸收,也可能受激跃迁。

谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度;谱线强度取决于始末态的能量差。

三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。

四、计算题。

1、第二题:如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r、电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解:这种分布只对0r r <的区域有影响,对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布,即 2004ze U r rπε=-())(r U 为考虑这种效应后的势能分布,在0r r ≥区域,rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域,)(r U 可由下式得出, ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,43441020********420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小,所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ,可视为一种微扰,由它引起一级修正为(基态03(0)1/210030()Zra Z e a ψπ-=) ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<,故102≈-r a Z e 。

量子力学测试题23北师大-2003

量子力学测试题23北师大-2003

1 量子力学测试题(6)(北师大2003)1、(20分)一维谐振子t=0时处于基态0ψ和第一激发态1ψ的叠加态))()((21)0,(10x x x ψψψ+=其中 222100)(x e N x αψ-= x e N x x αψα2)(222111-=(1)求t 时刻位置和动量的平均值t t p x ,;(2)证明:对于一维谐振子的任何态,t 时刻位置和动量的平均值有以下关系 t t p mx dt d1= (3)求t 时刻能量的平均值t H 。

2、(40分)t=0时氢原子的波函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-+χϕθχϕθϕθψ),(32),(31)(),,(111021Y Y r R r其中±χ为自旋z S 的本征态。

(1)测量下列物理量的可能值及相应几率是什么?轨道角动量平方和z 分量z L L ˆ,ˆ2;自旋角动量平方2ˆS ;总角动量平方2ˆJ (S L J ˆˆˆ+=)。

(2)电子自旋向上,到坐标原点距离为r 的概率密度;(3)能量的平均值E ;(4)轨道角动量x 分量的平均值x L ;(5)0≠t 时问题(3)和(4)的结论会改变吗?3、(30分)自旋算符σσ ⋅=n n ,其中为方向单位矢)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθ=n(1)求n σ的本征态±χ;(2)证明n ±=±±χσχ||;(3)一个两电子体系处在自旋单态[])2()1()2()1(2100αββαχ-=,求第一个电子的自旋算符σσ ⋅=n n 1作用于00χ的结果?001=χσn4、(30分)外磁场中电子的哈密顿量()221ˆA q P H -=μ。

(1)求位置矢量r 和Hˆ的对易关系]ˆ,[H r;2 (2)证明连续性方程0),(),(),(*=⋅∇+∂∂t r J t r t r t ψψ中的几率流密度 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇-∇-=2**22ψψψψψμA iq i J 5、(30分)在磁场0B e B z =中,把()00ˆ2ˆˆB S L H z z +='μ看成微扰。

量子力学期末考试试卷及答案集

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量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B. 黑体在紫外线部分不辐射能量;C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2.关于波函数Ψ 的含义,正确的是:B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度;B. Ψ归一化后,ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度;C. Ψ一定是实数;D. Ψ一定不连续.3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:D A. 偏振光子的一部分通过偏振片;B.偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的;D.每个光子以一定的几率通过偏振片.4.对于一维的薛定谔方程,如果 Ψ是该方程的一个解,则:AA. *ψ 一定也是该方程的一个解;B. *ψ一定不是该方程的解;C. Ψ 与*ψ 一定等价;D.无任何结论.5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹; B.粒子在势垒中有负的动能; C.粒子以一定的几率穿过势垒; D 粒子不能穿过势垒.6.如果以∧l 表示角动量算符,则对易运算],[y x l l 为:BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7.如果算符∧A 、∧B 对易,且∧A ψ=Aψ,则:BA. ψ 一定不是∧B 的本征态;B. ψ一定是 ∧B 的本征态;C.*ψ一定是∧B 的本征态;D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态.8.如果一个力学量 ∧A 与H∧对易,则意味着∧A :C A. 一定处于其本征态; B.一定不处于本征态; C.一定守恒;D.其本征值出现的几率会变化.9.与空间平移对称性相对应的是:B A. 能量守恒; B.动量守恒; C.角动量守恒; D.宇称守恒.10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ,则 n=5能级能量为:D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n ,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:BA. )1(21+N N ; B. )2)(1(21++N N ;C.N(N+1);D.(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质:CA. 自旋单态;B.自旋反对称态;C.自旋三态;D. z σ本征值为1.二 填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————.2.如果已知初始三维波函数)0,(r →ψ ,不考虑波的归一化,则粒子的动量分布函数为 )(p ϕ =——————————————,任意时刻的波函数为),(t r →ψ————————————.3.在一维势阱(或势垒) 中,在x=x 0 点波函数ψ————————(连续或不连续),它的导数'ψ————————————(连续或不连续). 4.如果选用的函数空间基矢为n,则某波函数ψ处于n态的几率用 Dirac 符号表示为——————————,某算符∧A 在 ψ态中的平均值的表示为——————————.5.在量子力学中,波函数ψ 在算符∧Ω操作下具有对称性,含义是——————————————————————————,与 ∧Ω对应的守恒量 ∧F 一定是——————————算符.6.金属钠光谱的双线结构是————————————————————,产生的原因是————————————————————. 三计算题(40分)1.设粒子在一维无限深势阱中,该势阱为:V(x)=0,当0≤x ≤a ,V(x)=∞,当x<0或x>0, 求粒子的能量和波函数.(10分)2.设一维粒子的初态为)/()0,(0h x ip Exp x =ψ,求),(t x ψ.(10分)3.计算z σ表象变换到x σ表象的变换矩阵.(10分)4 .4个玻色子占据3个单态1ϕ ,2ϕ,3ϕ,把所有满足对称性要求的态写出来.(10分)B 卷一、(共25分)1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点?(4分)2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态?(6分)3、全同玻色子的波函数有什么特点?并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数.(4分)4、在一维情况下,求宇称算符Pˆ和坐标x 的共同本征函数.(6分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出时间t 和能量E 的测不准关系.(5分) 二、(15分)已知厄密算符B A ˆ,ˆ,满足1ˆˆ22==B A,且0ˆˆˆˆ=+A B B A ,求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示; 2、在A 表象中算符Bˆ的本征值和本征函数; 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S. 三、(15分)线性谐振子在0=t时处于状态)21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=,其中ημωα=,求1、在0=t时体系能量的取值几率和平均值.2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、(15分)当λ为一小量时,利用微扰论求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλλλλλ2330322021的本征值至λ的二次项,本征矢至λ的一次项. 五、(10分)一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数,本征矢是正交、归一和完备的.2、在无穷远处为零的状态为束缚态;简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况;将波函数中坐标变量改变符号,若得到的新函数与原来的波函数相同,则称该波函数具有偶宇称.3、全同玻色子的波函数是对称波函数.两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为:[])()()()(2112212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是:P x x P ˆ2],ˆ[-=,将其代入测不准关系知,只有当0ˆ=P x 时的状态才可能使Pˆ和x 同时具有确定值,由)()(x x -=δδ知,波函数)(x δ满足上述要求,所以)(x δ是算符P ˆ和x 的共同本征函数. 5、设Fˆ和G ˆ的对易关系kˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-,k 是一个算符或普通的数.以F 、G 和k 依次表示Fˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值,令 F FˆFˆ-=∆,G G ˆG ˆ-=∆, 则有4222k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆,这个关系式称为测不准关系.时间t 和能量E 之间的测不准关系为:2η≥∆⋅∆E t二、1、由于1ˆ2=A,所以算符A ˆ的本征值是1±,因为在A 表象中,算符A ˆ的矩阵是对角矩阵,所以,在A 表象中算符Aˆ的矩阵是:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符Bˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ,利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得:02211==b b ;由于1ˆ2=B ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ,21121b b =∴;由于B ˆ是厄密算符,B B ˆˆ=+,∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*12*12b b *12121b b =∴令δi e b =12,(δ为任意实常数)得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B2、在A 表象中算符Bˆ的本征方程为:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即=---λλδδi i e e ⇒ 012=-λ 1±=∴λ对1=λ有:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi Be ,对1-=λ有:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δϕi B e所以,在A 表象中算符Bˆ的本征值是1±,本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121δi e3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵,即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121δδi i e e S三、解:1、0=t的情况:已知线谐振子的能量本征解为:ωη)21(+=n E n )2,1,0(Λ=n , )()exp(!2)(22x H x n x n nn ααπαϕ-=当1,0=n时有:)exp()(220x x απαϕ-=,)exp()(2)(221x x x ααπαϕ-=于是0=t 时的波函数可写成:)(32)(31)0,(10x x x ϕϕψ-=,容易验证它是归一化的波函数,于是0=t 时的能量取值几率为:31)0,21(0==ωηE W ,32)0,23(1==ωηE W ,能量取其他值的几率皆为零.能量的平均值为:ωη67323110=+=E E E2、 0>t 时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10t ix t i x t x ωϕωϕψ---=显然,哈密顿量为守恒量,它的取值几率和平均值不随时间改变,故0>t 时体系能量的取值几率和平均值与0=t 的结果完全相同.四、解:将矩阵改写成:='+=H H H ˆˆˆ0⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλλλ23032020300020001能量的零级近似为:1)0(1=E ,2)0(2=E ,3)0(3=E 能量的一级修正为:0)1(1=E ,λ=)1(2E ,λ2)1(3=E 能量的二级修正为:2)0(3)0(1213)0(2)0(1212)2(14λ-=-'+-'=EEH EEH E ,222)0(3)0(2223)0(1)0(2221)2(2594λλλ-=-=-'+-'=EEH EEH E ,2)0(2)0(3232)0(1)0(3231)2(39λ=-'+-'=EEH EEH E所以体系近似到二级的能量为:2141λ-≈E ,2252λλ-+≈E ,23923λλ++≈E先求出0ˆH 属于本征值1、2和3的本征函数分别为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001)0(1ϕ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)0(2ϕ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100)0(3ϕ,利用波函数的一级修正公式)0()0()0()1(ii k ik ki k E E H ϕϕ-'=∑≠,可求出波函数的一级修正为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0102)1(1λϕ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=302)1(2λϕ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0103)1(3λϕ近似到一级的波函数为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈0211λϕ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈λλϕ3122,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈1303λϕ 五、解:由玻色子组成的全同粒子体系,体系的波函数应是对称函数.以i q 表示第i )3,2,1(=i 个粒子的坐标,根据题设,体系可能的状态有以下四个:(1))()()(312111)1(q q q s φφφϕ=;(2))()()(322212)2(q q q s φφφϕ= (3)[)()()()()()()()()(311221312211322111)3(q q q q q q q q q C s φφφφφφφφφϕ++=; (4)=)4(s ϕ])()()()()()()()()([113222322112312212q q q q q q q q q C φφφφφφφφφ++一、(20分)已知氢原子在0=t 时处于状态21310112(,,0)()()()010333x x x x ψϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中,)(x nϕ为该氢原子的第n 个能量本征态.求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值,写出0>t 时的波函数.解 已知氢原子的本征值为42212n e E n μ=-h ,Λ,3,2,1=n (1)将0=t时的波函数写成矩阵形式()()()23113(,0)23x x x x ϕψϕ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ (2) 利用归一化条件()()()()()()232***23112211233d 3332312479999x x c x x x x x c cϕϕϕϕ∞-∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰ (3)于是,归一化后的波函数为()()()()()()23231113(,0)23x x x x x x x ϕψϕ⎫⎫+⎪+⎪⎪⎪==⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (4)能量的可能取值为123,,E E E ,相应的取值几率为()()()123412,0;,0;,0777W E W E W E ===(5) 能量平均值为()123442241207774111211612717479504E E E E e e μμ=++=⎡⎤-⨯+⨯+⨯=-⎢⎥⎣⎦h h (6)自旋z 分量的可能取值为,22-h h,相应的取值几率为1234,0;,0277727z z W s W s ⎛⎫⎛⎫==+==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h (7) 自旋z 分量的平均值为()340727214z s ⎛⎫=⨯+⨯-=-⎪⎝⎭h h h(8)0>t时的波函数()()()223311i i exp exp (,)i exp x E t x E t x t x E t ψ⎫⎡⎤⎡⎤-+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪= ⎪⎡⎤ ⎪- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭h h h (9)二. (20分) 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动()00>V()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x ax V x x V ,00 ,0.0若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态,试确定此势阱的宽度a .解 对于0<<-E V 的情况,三个区域中的波函数分别为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+==x B x kx A x x αψδψψexp sin 0321 (1)其中,ηηE m V E m k 2 ;)(20=+=α (2)利用波函数再0=x处的连接条件知,πδn =,Λ,2,1,0=n .在a x=处,利用波函数及其一阶导数连续的条件()()()()a a a a '3'232ψψψψ== (3) 得到()()()()a B n ka Ak a B n ka A ααπαπ--=+-=+ex p cos ex p sin (4)于是有()αkka -=tan (5)此即能量满足的超越方程.当12E V =-时,由于1tan 000-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ηηηmV mV a mV (6)故4ππ-=n a mV η()Λ,3,2,1=n (7)最后得到势阱的宽度0 41mV n a ηπ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= (8)三、(20分) 证明如下关系式(1)任意角动量算符ˆj r 满足 ˆˆˆi j j j ⨯=r r r h .证明 对x 分量有()ˆˆˆˆˆˆˆ=i y z z y xxj j j j j j j ⨯=-r r h同理可知,对y 与z 分量亦有相应的结果,故欲证之式成立.投影算符ˆn pn n =是一个厄米算符,其中,{}n 是任意正交归一的完备本征函数系.证明在任意的两个状态ψ与ϕ之下,投影算符ˆn p的矩阵元为ˆn pn n ψϕψϕ=而投影算符ˆn p的共軛算符ˆnp+的矩阵元为±{*****ˆˆˆn n n p p p n n n n n n ψϕψϕϕψϕψϕψψϕ+⎡⎤===⎣⎦=⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦显然,两者的矩阵元是相同的,由ψ与ϕ的任意性可知投影算符ˆn p是厄米算符. 利用()()()*''kkkx x x x ψψδ=-∑证明()()ˆˆx mk x mn kn kxpx p =∑,其中,(){}kx ψ为任意正交归一完备本征函数系. 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()'''**''*'''*'*''*'*''ˆˆd ˆd d ˆd d ˆd d ˆd d ˆx m x n mn mx n mn x m k k n x kmkknxkmkxknkxp x x xpx x x x x x x px x x x x x x px x x x x x x px x x x x x x px x pψψψδψψδψψψψψψψψψ∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞==-=-===⎰⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑四、(20分) 在2L 与z L表象中,在轨道角动量量子数1l=的子空间中,分别计算算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz L 的矩阵元,进而求出它们的本征值与相应的本征矢.解 在2L 与z L 表象下,当轨道角动量量子数1l =时,1,0,1m =-,显然,算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz L 皆为三维矩阵.由于在自身表象中,故ˆzL是对角矩阵,且其对角元为相应的本征值,于是有100ˆ000001z L ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭ (1) 相应的本征解为1011; 0000; 100; 01z z z L L L ψψψ-⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=-= ⎪⎪⎝⎭h h (2)对于算符ˆx L 、ˆy L 而言,需要用到升降算符,即()()1ˆˆˆ21ˆˆˆ2i x y L L L L L L +-+-=+=- (3)而ˆ,1L lm m ±=± (4)当1,1,0,1l m ==-时,显然,算符ˆx L 、ˆy L 的对角元皆为零,并且,ˆˆ1,11,11,11,10ˆˆ1,11,11,11,10x yx yL L L L -=-=-=-= (5)只有当量子数m 相差1±时矩阵元才不为零,即ˆˆˆˆ1,11,01,01,11,01,11,11,0ˆˆ1,01,11,11,0ˆˆ1,11,01,01,1x x x xy yy yL L L L L L L L -=-===-==-== (6)于是得到算符ˆx L、ˆyL 的矩阵形式如下0100i 0ˆˆ101; i 0i 0100i 0x y L L -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-⎪⎪⎪⎪⎭⎭ (7) yL ˆ满足的本征方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321321 0ii 0i 0i 02c c c c c c λη (8)相应的久期方程为2i 02i 2i 02i =-----λλληηηη (9)将其化为023=-λλη(10)得到三个本征值分别为ηη-===321;0 ;λλλ (11)将它们分别代回本征方程,得到相应的本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i 2i 21 ;10121 ;i 2i 21321ψψψ (12) ˆx L 满足的本征方程为112233010101 010c c c c c c λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (13)相应的久期方程为0λ-= (14)将其化为023=-λλη (15) 得到三个本征值分别为ηη-===321;0 ;λλλ (16)将它们分别代回本征方程,得到相应的本征矢为12311111; 0; 22111ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎭ (17) 五、(20分) 由两个质量皆为μ、角频率皆为ω的线谐振子构成的体系,加上微扰项21 ˆx x W λ-=(21,xx 分别为两个线谐振子的坐标)后,用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正. 提示: 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n n n x m δδα式中,ημωα=. 解 体系的哈密顿算符为W H H ˆˆˆ0+= (1)其中()()212221222210 ˆ21ˆˆ21ˆx x Wx x p p H λμωμ-=+++= (2)已知0ˆH 的解为()()()()2121021,1x x x x n E n n n n ϕϕψωα=+=η (3)其中n fn n n ,,3,2,1,2,1,0,,21ΛΛ==α (4)将前三个能量与波函数具体写出来()()()()()()()()()()()()00001020111011212110202212102220122231112; 2, 3, E x x E x x x x E x x x x x x ωψϕϕωψϕϕψϕϕωψϕϕψϕϕψϕϕ=========h h h (5)对于基态而言,021===n n n ,10=f ,体系无简并.利用公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ (6)可知()0ˆ0010==ψψW E()∑∑≠=-=01000020ˆˆn f nn n nE E W W E αααψψψψ (7)显然,求和号中不为零的矩阵元只有2232302ˆˆαλψψψψ-==W W (8)于是得到基态能量的二级修正为()32242020020841ωμλαλη-=-=E E E (9)第二激发态为三度简并,能量一级修正满足的久期方程为()()()123332312312222113121211=---E W W W W E W W W WE W (10)其中1122331221133123320W W W W W W W W W =========(11)将上式代入(10)式得到()()121200E E --= (12)整理之,()12E 满足()()()23112240E E λα-+= (13)于是得到第二激发态能量的一级修正为()()()21231222121 ;0 ;αλαλ==-=E E E (14)1. 微观粒子具有 波粒 二象性.2.德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系,其表达式为: E=hν, p=/h λ . 3.根据波函数的统计解释,dxt x 2),(ψ的物理意义为:粒子在x —dx 范围内的几率 .4.量子力学中力学量用 厄米 算符表示.5.坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符xp 的对易关系为:[],x p i =h .6.量子力学关于测量的假设认为:当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时,测量某力学量F 所得的数值,必定是算符F ˆ的本征值 .7.定态波函数的形式为: t E i n n ex t x η-=)(),(ϕψ.8.一个力学量A 为守恒量的条件是:A 不显含时间,且与哈密顿算符对易 .9.根据全同性原理,全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性,费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _.10.每个电子具有自旋角动量S ρ,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为: 2η±.1、(10分)利用坐标和动量算符的对易关系,证明轨道角动量算符的对易关系: 证明:zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[η=]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)(ηη+-=ˆˆ2、(10分)由Schr ödinger 方程证明几率守恒:其中几率密度 几率流密度证明:考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式:在空间闭区域τ中将上式积分,则有:1、(10分)设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率.解:在此状态中,氢原子能量有确定值22222282ηηs s e n e E μμ-=-=)2(=n ,几率为1角动量平方有确定值为2222)1(ηηλλ=+=L)1(=λ,几率为1角动量Z 分量的可能值为2|),(|),(),(),(t r t r t r t r ρρρρψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂h r r rh 0=•∇+∂∂J tρω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μηρi J 22[](1)2i V t μ∂ψ=-∇+ψ∂h h 22[](2)2i V t μ**∂-ψ=-∇+ψ∂h h (1)(2)*ψ⨯-ψ⨯将式得:][2222****ψ∇ψ-ψ∇ψ-=ψ∂∂ψ+ψ∂∂ψμηηηt i t i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ∂∂***μηη)(t i τμτττd d dt d i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ***⎰⎰ηη)(τμτττd i d dt d ][2ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇-=ψψ***⎰⎰η)(ττωττd J d t r dtdρρ•∇-=⎰⎰),(0=•∇+∂∂J tρω01=Z L η-=2Z L其相应的几率分别为41, 432、(10分)求角动量z 分量 的本征值和本征函数.解:波函数单值条件,要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等,即:求归一化系数最后,得 L z 的本征函数3、(20分)某量子体系Hamilton量的矩阵形式为:设c << 1,应用微扰论求H 本征值到二级近似.解:c << 1,可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为:H 0 是对角矩阵,是Hamilton H 0在自身表象中的形式.所以能量的 0 级近似为:E 1(0)= 1 E 2(0)= 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c c H H 0000002000300010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c cH ˆzd L i d φ=-h ππφφψππ2112||2202220=→===⎰⎰c c d c d Λη,2,1,021)(±±=⎪⎩⎪⎨⎧==m e m l im m z φπφψ归一化系数。

北京大学量子力学期末试题A及答案

北京大学量子力学期末试题A及答案

北京大学量子力学期末试题A姓名:学号:题号一二三四五六习题 总分成绩一.(10分)若Sˆ是电子的自旋算符,求 a. x S ˆz S ˆx S ˆy S ˆx S ˆ=? b. ?S ˆSˆ=× 二.(12分)若有已归一化的三个态γβα和,,且有8.02.03.0======βγγβαγγααββα ,试用Schmidt 方法构成正交,归一的新的态矢量γβα′′和,.三.(16分) 算符ηηηη/z S ˆi /y S ˆi z /y S ˆi /z S ˆi n e e S ˆe e S ˆϕθθϕ−−=是电子自旋算符zSˆ经幺正变换而得。

试求出它的本征值和相应的本征矢在zS ˆ表象中的表示。

四.(18分)在t=0时,自由粒子波函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=b 2x 0b 2x bxsin 2b 0,x πππψ a. 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅;b. 求出几率最大的动量值;c. 求出发现粒子在x dp b b +−ηη区间中的几率;d. ()?t ,x =ψ (积分形式即可)。

五. (18分) 三个自旋为2η的全同粒子,在一维位势())x x x (m 21V 23222123x ,2x ,1x ++=ω 中运动,a. 给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应 的本征矢;(谐振子波函数以()x u n 表示);b. 它们的简并度分别是多少?六.(16分)质量为m 的粒子处于位势()⎩⎨⎧∞≤<≤<≤<=其他和az 0a y 0,a x 00z ,y ,x V中。

假设它又经受微扰bxy Hˆ=′,试求第一激发态能量的一级修正。

北京大学量子力学期末试题A 答案和评分一. (10分)5分 a. x y x z x s s s s s xy 2x z s s s s −=5x y z 2)2(i s s s 4ηη=−=或 5x y z z y 2)2(i s )s s s s (214ηη=−−=5分b. s i )s s s s (k )s s s s (j )s s s s (i s s x y y x z x x z y z z y ηρρρ=−+−+−=×二.(12分) 1=αα ∴ α=α′4分 )3.0(N )(N α−β=βαα−β=β′由 )..(N ).)(.(N 222230*********+⋅−=α−β−β==β′′2分 91.01N =, )3.0(91.01α−β=β′4分 )2.0(N γβ′β′−α−γ=γ′2020202012....(N ⋅+γ−β′γγβ′−αγ−γγ==γ′γ′)β′γγβ′+β′γγ′−910740309101..).(.=γα−γβ=γ′ 191032602020910740201222222==+−−−⋅..N ).....(N ,2分 67.1N =三. (16分) m 2m m sˆz η= ′=′ϕθθ−ϕ−m e e s ˆe e m s ˆz y y z s ˆi s ˆi z sˆi s ˆi n ηηη如 ′=′θ−ϕ−m e e m y z s ˆi sˆi η, 则 ′=′m m 2m sˆn η 6分 ∴ 它的本征值为 2η± 相应的本征值在z sˆ表象中的表示m )sin i )(cos sin i (cos m m m y z 2222θσ−θϕσ−ϕ′=′′m sin sin i cos sin im sin cos i cos (cos x y 22222222θϕσ+θϕ−θϕσ−θϕ′m )e e (sin )sin im (cos cos m i i 222222ϕ−+ϕ−σ−σθ+ϕ−ϕθ′=6分 1m ,1m 1m ,1m i 1m m i e )(2sin e 2cos =′−=−=′=ϕ±±==′ϕδ±θ+θ=μ 2分 n sˆ本征值为2η,本征表示为 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛θθϕϕ−2i 2i e 2sin e 2cos 2分 2η−,本征表示为 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛θθ−ϕϕ−2i 2i e 2cos e 2sin四. (18分)6分 a. dx i 2e e 2b e21ibxibx b 2b2x ip p x x−ππ−−−ππ=ϕ∫η dx ]e e [i 41)b()/x p bx (i )x p bx (i 21x x ηη+−−−π=∫]e )p b (i e )p b (i [b i b x)p b (i x bbx)p b (i x xxππ−+−ππ−−++−π=22221141ηηηη2x 2x 21p )b (b2b p 2sin )i 2()b (41−π+π=ηηηη 该态中粒子动量可能测得值为 ∞<<∞−x p5分 b. }]p )b [(b p {sin dp d dp )p (d x x x x x 22222120−π==ϕηη∴ 0422422=−π+ππxxx x p )b (p b p sin b p cos b ηηηη0bp 2sin b p b p 2cos ]p )b [(xx x 2x 2=ππ+π−ηηηη ∴ 有解 b p x η±=3分 c. bxx 23bx p 2b p 2cosb 2)b (i )p (ηηηηη−πππ=ϕ发现粒子在x dp b b +−ηη区间中的几率为x x 2dp b1dp )b (ηη=ϕ4分 d. x t m 2p ip i 21x dpe)2(1)p ()t ,x (2xx ∫−πϕ=ψηηη五. (18分)a. 2分 ω+=εη)21n (n ,3分 ω=η25E 基, ω=η27E 1 基态 2n 0=,1n 1=2分 )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u !3322113322113322113111100000001ββββββααα=ψ )()(u )()(u )(u )()(u )()(u )(u [221331331221311000010000αχ−αχ=)]()(u )()(u )(u 11233210000αχ+1分 )()(u )()(u )(u [331221311000002βχ=ψ )()(u )()(u )(u 22133110000βχ−)]()(u )()(u )(u 11233210000βχ+ 第一激发态 2n 0=,1n 2= 2分 )()(u )()(u )(u [331221312000011αχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133120000αχ−)]()(u )()(u )(u 11233220000αχ+ 1分 )()(u )()(u )(u [331221312000012βχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133120000βχ−)]1()1(u )23()3(u )2(u 10000βχ+ 2分 )()(u )()(u )(u [331221310001113αχ=ψ )()(u )()(u )(u 22133100011αχ−)]()(u )()(u )(u 11233200011αχ+ 1分 )()(u )()(u )(u [331221310001114βχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133100011βχ− )]()(u )()(u )(u 11233200011βχ+b. 4分 基态二重简并第一激发态四重简并 六. (16分)3分 粒子的能量为)n n n (maz y x 2222222++πη 第一激发态为 1 1 21 2 1 2 1 12222220134112a )(ma E ππ=++π=ηη,5分 z a 2sin y a sin x a sin )a 2(123πππ=ρz asin y a 2sin x a sin )a 2(2r 23πππ=ρz asin y a sin x a 2sin )a 2(3r 23πππ=ρdy y a sin y dx x a sin x )a 2(1H ˆ1a 02a 022∫∫π⋅π=′4a dx x a sin x 2a2=π∫ ∴2222ba 41b 4a 4a )a 2(1H 1=⋅⋅⋅=′03H 2H =′=′2a 02a 022ba 41dy y a 2sin y dx x a sin x b )a 2(2H 2=π⋅π=′∫∫dy y a sin y a 2sin y xdx a 2sin x a sin x b )a 2(3H 2a 0a 02∫∫ππ⋅ππ=′42222228164ba 4)9a 8)(9a 8(b )a 2(π⋅=π−π−=2a 02a 022ba 41dy y a sin y dx x a 2sin x b )a 2(3H 3=π⋅π=′∫∫4分 于是有:0E ba 4181ba 464081ba 464E ba 41000E ba 411242421212=−π⋅π⋅−−2分 ∴ 211ba 41E =2分 2424422132344181464418146441ba ])([ba )(ba ba E ,π±=π⋅±=π⋅±=。

(完整版)量子力学期末考试题及解答

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一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率(粒子数)守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答:由波函数的概率波解释可知,当(),r t ψ已经归一化时,坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== (1) 将上式的两端分别对时间t 求偏微商,得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ (2) 若位势为实数,即()()V r V r *=,则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ (3)()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ (4) 将上述两式代入(2)式,得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ (5) 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ (6) 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ (7) 此即概率(粒子数)守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置,其中实常数0α>。

解答:欲求取值概率必须先将波函数归一化,由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰(1)利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ (2) 可以得到归一化常数为C = (3)坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- (4)由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= (5) 知()w x 有五个极值点,它们分别是 10,,x α=±±∞(6)为了确定极大值,需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- (7)于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 (8)()220x d w x dx =±∞= 取极小值 (9)()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 (10)最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11)3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。

量子力学期末试题及答案

量子力学期末试题及答案

量子力学期末试题及答案一、(20分)已知氢原子在0=t 时处于状态21310112(,,0)()()()01033x x x x ψϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中,)(x n ϕ为该氢原子的第n 个能量本征态。

求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值,写出0>t 时的波函数。

解 已知氢原子的本征值为42212n e E n μ=-, ,3,2,1=n (1)将0=t 时的波函数写成矩阵形式()()()231133(,0)23x x x x ϕψϕ⎛⎫+ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2)利用归一化条件()()()()()()232***23112211233d 3332312479999x x c x x x x x c cϕϕϕϕ∞-∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰ (3)于是,归一化后的波函数为()()()()()()232311133(,0)23x x x x x x x ϕψϕ⎫⎫+⎪+⎪⎪⎪==⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(4) 能量的可能取值为123,,E E E ,相应的取值几率为()()()123412,0;,0;,0777W E W E W E === (5)能量平均值为()123442241207774111211612717479504E E E E e e μμ=++=⎡⎤-⨯+⨯+⨯=-⎢⎥⎣⎦ (6) 自旋z 分量的可能取值为,22-,相应的取值几率为1234,0;,0277727z z W s W s ⎛⎫⎛⎫==+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (7)自旋z 分量的平均值为()340727214z s ⎛⎫=⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭(8)0>t 时的波函数()()()223311i 2i exp exp 7(,)i exp x E t x E t x t x E t ϕψ⎫⎡⎤⎡⎤-+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪= ⎪⎡⎤ ⎪- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ (9) 二. (20分) 质量为m 的粒子在如下一维势阱中运动()00>V()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0.0 若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态,试确定此势阱的宽度a 。

量子力学期末考试试卷及答案集

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量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B. 黑体在紫外线部分不辐射能量;C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数Ψ的含义,正确的是:BA. Ψ代表微观粒子的几率密度;B. Ψ归一化后,ψψ*代表微观粒子出现的几率密度;C. Ψ一定是实数;D. Ψ一定不连续。

3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:DA. 偏振光子的一部分通过偏振片;B.偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的;D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4.对于一维的薛定谔方程,如果Ψ是该方程的一个解,则:AA. *ψ一定也是该方程的一个解;B. *ψ一定不是该方程的解;C. Ψ与*ψ一定等价;D.无任何结论。

5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹;B.粒子在势垒中有负的动能;C.粒子以一定的几率穿过势垒; D 粒子不能穿过势垒。

6.如果以∧l 表示角动量算符,则对易运算],[y x l l 为:BA. ih ∧z l B. ih∧zl∧x l ∧xl7.如果算符∧A 、∧B 对易,且∧A ψ=Aψ,则:BA. ψ 一定不是∧B 的本征态; B. ψ一定是 ∧B 的本征态;C.*ψ一定是∧B 的本征态;D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8.如果一个力学量∧A 与H∧对易,则意味着∧A :CA. 一定处于其本征态;B.一定不处于本征态;C.一定守恒;D.其本征值出现的几率会变化。

9.与空间平移对称性相对应的是:B A. 能量守恒; B.动量守恒; C.角动量守恒;D.宇称守恒。

10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为,则 n=5能级能量为:D A. ;11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n ,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:BA. )1(21+N N ; B. )2)(1(21++N N ;(N+1); D.(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质:CA. 自旋单态;B.自旋反对称态;C.自旋三态;D.z σ本征值为1.二 填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————。

量子力学期末考试试卷及答案集

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量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B. 黑体在紫外线部分不辐射能量;C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数Ψ 的含义,正确的是:B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度;B. Ψ归一化后,ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度;C. Ψ一定是实数;D. Ψ一定不连续。

3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:D A. 偏振光子的一部分通过偏振片;B.偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的;D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4.对于一维的薛定谔方程,如果 Ψ是该方程的一个解,则:AA. *ψ 一定也是该方程的一个解;B. *ψ一定不是该方程的解;C. Ψ 与*ψ 一定等价;D.无任何结论。

5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹; B.粒子在势垒中有负的动能; C.粒子以一定的几率穿过势垒; D 粒子不能穿过势垒。

6.如果以∧l 表示角动量算符,则对易运算],[y x l l 为:BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7.如果算符∧A 、∧B 对易,且∧A ψ=Aψ,则:BA. ψ 一定不是∧B 的本征态;B. ψ一定是 ∧B 的本征态;C.*ψ一定是∧B 的本征态;D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8.如果一个力学量 ∧A 与H∧对易,则意味着∧A :C A. 一定处于其本征态; B.一定不处于本征态; C.一定守恒;D.其本征值出现的几率会变化。

9.与空间平移对称性相对应的是:B A. 能量守恒; B.动量守恒; C.角动量守恒; D.宇称守恒。

10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ,则 n=5能级能量为:D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n ,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:BA. )1(21+N N ; B. )2)(1(21++N N ;C.N(N+1);D.(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质:CA. 自旋单态;B.自旋反对称态;C.自旋三态;D. z σ本征值为1.二 填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————。

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A) 选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA、黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B、黑体在紫外线部分不辐射能量;C、经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D、黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数Ψ的含义,正确的就是:BA、Ψ代表微观粒子的几率密度;B、Ψ归一化后,ψψ*代表微观粒子出现的几率密度;C、Ψ一定就是实数;D、Ψ一定不连续。

3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释就是:DA、偏振光子的一部分通过偏振片;B、偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C、偏振光子通过偏振片的几率就是不可知的;D、每个光子以一定的几率通过偏振片。

4.对于一维的薛定谔方程,如果Ψ就是该方程的一个解,则:AA、*ψ一定也就是该方程的一个解;B、*ψ一定不就是该方程的解;C、Ψ与*ψ一定等价;D、无任何结论。

5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的就是:CA、粒子在势垒中有确定的轨迹;B、粒子在势垒中有负的动能;C、粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。

6.如果以∧l表示角动量算符,则对易运算],[yxll为:BA、ih∧z lB 、 ih ∧zlC 、i∧x l D 、h∧xl7.如果算符∧A 、∧B 对易,且∧A ψ=Aψ,则:BA 、ψ 一定不就是∧B 的本征态; B 、ψ一定就是 ∧B 的本征态;C 、*ψ一定就是∧B 的本征态;D 、 ∣Ψ∣一定就是∧B 的本征态。

8.如果一个力学量∧A 与H∧对易,则意味着∧A :CA 、 一定处于其本征态;B 、一定不处于本征态;C 、一定守恒;D 、其本征值出现的几率会变化。

9.与空间平移对称性相对应的就是:B A 、 能量守恒; B 、动量守恒; C 、角动量守恒; D 、宇称守恒。

10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3、4ev,则 n=5能级能量为:D A 、 -1、51ev; B 、-0、85ev; C 、-0、378ev; D 、 -0、544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:BA 、)1(21+N N ;B 、)2)(1(21++N N ;C 、N(N+1);D 、(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 就是什么性质:CA 、 自旋单态;B 、自旋反对称态;C 、自旋三态;D 、z σ本征值为1、二 填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————。

量子力学考试题库及答案

量子力学考试题库及答案

量子力学考试题库及答案一、选择题1. 量子力学中,波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率密度。

下列关于波函数的描述中,哪一项是正确的?A. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率密度B. 波函数的绝对值代表粒子在空间某点出现的概率密度C. 波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率D. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率答案:A2. 海森堡不确定性原理表明,粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

以下哪项是海森堡不确定性原理的数学表达式?A. ΔxΔp ≥ ħ/2B. ΔxΔp ≤ ħ/2C. ΔxΔp = ħ/2D. ΔxΔp = ħ答案:A二、填空题3. 在量子力学中,粒子的波函数ψ(x,t)满足________方程,该方程由薛定谔提出,是量子力学的基本方程之一。

答案:薛定谔方程4. 根据泡利不相容原理,一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数,即不能同时具有相同的________、________、________和________。

答案:主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数三、简答题5. 简述量子力学中的隧道效应,并给出一个实际应用的例子。

答案:量子隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零,即使其能量低于势垒的高度。

这一现象在经典物理学中是不可能发生的。

一个实际应用的例子是扫描隧道显微镜(STM),它利用量子隧道效应来探测物质表面的原子结构。

6. 描述量子力学中的波粒二象性,并解释为什么这一概念是重要的。

答案:波粒二象性是指微观粒子如电子和光子等,既表现出波动性也表现出粒子性。

这一概念重要,因为它揭示了物质在微观尺度上的基本行为,是量子力学的核心概念之一,对理解原子和分子结构、化学反应以及材料的电子性质等方面都有深远的影响。

四、计算题7. 假设一个粒子被限制在一个宽度为L的一维无限深势阱中,求该粒子的基态能量。

答案:基态能量E1 = (π²ħ²)/(2mL²),其中ħ是约化普朗克常数,m是粒子的质量,L是势阱的宽度。

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末考试试卷及答案

一、密封线内不准答题。

二、姓名、准考证号不许涂改,否则试卷无效。

三、考生在答题前应先将姓名、学号、年级和班级填写在指定的方框内。

四、试卷印刷不清楚。

可举手向监考教师询问。

所在年级、班级注意C.Ψ与*ψ一定等价;D.无任何结论。

5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹;B.粒子在势垒中有负的动能;C.粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。

6.如果以∧l表示角动量算符,则对易运算],[yxll为:BA. ih∧z lB. ih∧z lC.i∧x lD.h∧x l7.如果算符∧A、∧B对易,且∧Aψ=Aψ,则:BA. ψ一定不是∧B的本征态;B. ψ一定是∧B的本征态;C.*ψ一定是∧B的本征态;D. ∣Ψ∣一定是∧B的本征态。

8.如果一个力学量∧A与H∧对易,则意味着∧A:CA. 一定处于其本征态;B.一定不处于本征态;C.一定守恒;D.其本征值出现的几率会变化。

9.与空间平移对称性相对应的是:BA. 能量守恒;B.动量守恒;C.角动量守恒;D.宇称守恒。

10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ,则 n=5能级能量为:D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n ,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:B A.)1(21+N N ; B. )2)(1(21++N N ;C.N(N+1);D.(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质:CA. 自旋单态;B.自旋反对称态;C.自旋三态;D. z σ本征值为1.二 填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————。

【试题】量子力学期末考试题库含答案22套

【试题】量子力学期末考试题库含答案22套

【关键字】试题量子力学自测题(1)一、简答与证明:(共25分)1、什么是德布罗意波?并写出德布罗意波的表达式。

(4分)2、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分)3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

(4分)4、证明是厄密算符(5分)5、简述测不准关系的主要内容,并写出坐标和动量之间的测不准关系。

(6分)2、(15分)已知厄密算符,满足,且,求1、在A表象中算符、的矩阵表示;2、在B表象中算符的本征值和本征函数;3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、(15分)设氢原子在时处于状态,求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值;2、时体系的波函数,并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

四、(15分)考虑一个三维状态空间的问题,在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里,,是一个常数,,用微扰公式求能量至二级修正值,并与精确解相比较。

五、(10分)令,,分别求和作用于的本征态和的结果,并根据所得的结果说明和的重要性是什么?量子力学自测题(1)参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式:2、定态:定态是能量取确定值的状态。

性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为:。

4、=,因为是厄密算符,所以是厄密算符。

5、设和的对易关系,是一个算符或普通的数。

以、和依次表示、和在态中的平均值,令,,则有,这个关系式称为测不准关系。

坐标和动量之间的测不准关系为:2、解1、由于,所以算符的本征值是,因为在A表象中,算符的矩阵是对角矩阵,所以,在A表象中算符的矩阵是:设在A 表象中算符的矩阵是,利用得:;由于,所以,;由于是厄密算符,, 令,其中为任意实常数,得在A 表象中的矩阵表示式为: 2、类似地,可求出在B 表象中算符的矩阵表示为:在B 表象中算符的本征方程为:,即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即 对有:,对有:所以,在B 表象中算符的本征值是,本征函数为和 3、类似地,在A 表象中算符的本征值是,本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵,即 三、解: 已知氢原子的本征解为: ,将向氢原子的本征态展开, 1、=,不为零的展开系数只有三个,即,,,显然,题中所给的状态并未归一化,容易求出归一化常数为:,于是归一化的展开系数为: ,,(1)能量的取值几率,, 平均值为:(2)取值几率只有:,平均值 (3)的取值几率为: ,,平均值 2、时体系的波函数为:=由于、和皆为守恒量,所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变,与时的结果是一样的。

量子力学试题含答案

量子力学试题含答案

一、填空题:(每题 4 分,共 40 分)1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2.德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系,其表达式为:E=h ν, p=/h λ 。

3.根据波函数的统计解释,dx t x 2),(ψ的物理意义为:粒子在x —dx 范围内的几率 。

4.量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5.坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为:[],x p i = 。

6.量子力学关于测量的假设认为:当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时,测量某力学量F 所得的数值,必定是算符Fˆ的 本征值 。

7.定态波函数的形式为: t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8.一个力学量A 为守恒量的条件是:A 不显含时间,且与哈密顿算符对易 。

9.根据全同性原理,全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性,费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10.每个电子具有自旋角动量S ,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为: 2± 。

二、证明题:(每题10分,共20分)1、(10分)利用坐标和动量算符的对易关系,证明轨道角动量算符的对易关系:证明:zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、(10分)由Schr ödinger 方程证明几率守恒:其中几率密度 几率流密度 证明:考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式:2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分,则有:三、计算题:(共40分)1、(10分)设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

(完整版)量子力学期末考试题及解答

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一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率(粒子数)守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答:由波函数的概率波解释可知,当(),r t ψ已经归一化时,坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== (1) 将上式的两端分别对时间t 求偏微商,得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ (2) 若位势为实数,即()()V r V r *=,则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ (3)()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ (4) 将上述两式代入(2)式,得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ (5) 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ (6) 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ (7) 此即概率(粒子数)守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置,其中实常数0α>。

解答:欲求取值概率必须先将波函数归一化,由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰(1)利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ (2) 可以得到归一化常数为C = (3)坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- (4)由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= (5) 知()w x 有五个极值点,它们分别是 10,,x α=±±∞(6)为了确定极大值,需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- (7)于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 (8)()220x d w x dx =±∞= 取极小值 (9)()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 (10)最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11)3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。

量子力学期末考试试题整理

量子力学期末考试试题整理

量子力学期末考试试题整理一、 填空1. 波尔磁子:2429.274102B e e A m m cμ-==⨯⋅2. 回转磁比率:2zZe e L m cμ=-3. 薛定谔方程表达式:22121(,,)2ni n i iiU r r r t t m ψψψ=∂=-∇+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∑ 4. 算符对易的定义:ˆˆˆˆˆˆ[,]A B ABBA =- 5. 在量子力学中,如果在散射过程中两粒子之间只有动能交换,粒子内部运动状态并无改变,则这种散射称为弹性散射。

如果在散射过程中粒子内部运动状态有所改变,则称为非弹性散射。

6. 散射粒子的方向与入射粒子的方向间的夹角,称为散射角。

7. 我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相同的例子为全同粒子。

全通粒子的不可区分性,在量子力学中称为全同性原理。

8. 全同粒子的不可区分性:在两个波重叠在一起的区域,无法区分那个是第一个粒子的波,哪个是第二个例子的波。

也就是说,无法区分哪一个是第一个粒子,哪个是第二个粒子,因此,全同离子在量子力学中是不可区分的。

9. 自旋为2奇数倍的粒子称为费米子。

在量子力学中,由费米子组成的体系称为费米—狄拉克统计。

自旋为整数倍的粒子称为波色子。

在量子力学中,由波色子组成的体系称为波色—爱因斯坦统计。

10. 克莱因-戈尔登方程:22222221()0m c ctψψψ∂∇--=∂11. 狄拉克方程:2[]i H i c mc tψψαβψ∂==-⋅∇+∂12. 被填满的负态称为费米海。

如果空穴的能量为0p E +>,质量为0m +>,电荷为0e +>,这种空穴称为正电子。

13. 波函数的量子化称为二次量子化。

14. 概率流守恒定律:0J t ω∂+∇⋅=∂,概率流的定义:**()2i J mψψψψ=-∇-∇15. 光电效应的实验结果表明(1)存在临界频率0ν:当入射光的频率0νν<时,无论光强度多大,都无光电子逸出,只有在0νν≥时,即使光强度较弱,但只要光照到金属面上,几乎在910-s的极短时间内,就能观测到光电子。

量子力学期末考试习题

量子力学期末考试习题

量子力学期末考试习题(一) 单项选择题 1. A, 2.B, 3.C, 4.D, 5.A, 6.B, 7.A, 8.B, 9.C, 10.A, 11.B, 12.D, 13.C, 14.D, 15.D, 16.C, 17.C, 18.A, 19.D, 20.C, 21.C, 22.D, 23.C, 24.C, 25.C, 26.C, 27.D, 28.C, 29.A, 30.A, 31.A, 32 A, 33.C, 34. B, 35.A, 36.C, 37.D, 38.D, 39.D, 40.C, 41.D, 42.A, 43.B, 44.B, 45.C, 46.C, 47.C, 48.D, 49.A, 50.C, 51.A, 52.A, 53.A, 54.D, 55.B, 56.A, 57.B, 58.A, 59.C, 60.B, 61.D, 62.C, 63.A, 64.A, 65.A, 66.B, 67.D, 68.B, 69.A, 70.B, 71.B, 72.D, 73.D, 74.C, 75.B, 76.A, 77.B, 78.C, 79.C, 80.B, 81.C, 82.D, 83.A, 84.C, 85.D, 86.A, 87.C, 88.A, 89.B, 90.B, 91.B, 92.A, 93.B, 94.C, 95.A, 96.D, 97.B, 98.A, 99.A, 100.A, 101.B, 102.B, 103.A, 104.D, 105.B, 106.A, 107.B, 108.C, 109.A, 110.A, 111.A, 112.A, 113.B, 114.B, 115.B, 116.B, 117.B, 118.D, 119.A, 120.C, 121.B, 122.C, 123.A, 124.B, 125.D, 126.D, 127.D, 128.B, 129.D, 130.C, 131.C, 132.B, 133.C, 134.D, 135.D, 136.D, 137.D, 138.D, 139.C, 140.C, 141.C, 142.B, 143.A, 144.C, 145.A (一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0. 3. 能量为0.1ev ,质量为1g 的质点的De Broglie波长是A.1.4A 0. B.1.9⨯1012-A 0.C.1.17⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时,具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为( ,2,1,0=n )A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近,钠的价电子的能量为3ev ,其De Broglie 波长是A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0. 7.钾的脱出功是2ev ,当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时,光电子的最大能量为 A. 0.25⨯1018-J. B. 1.25⨯1018-J. C. 0.25⨯1016-J. D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子,反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A. 2μc .B.22μc . C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a(),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动,设粒子的状态由ψπ()sin x C xa = 描写,其归一化常数C 为 A.1a . B.2a . C.12a . D.4a.12. 设ψδ()()x x =,在dx x x +-范围内找到粒子的几率为A.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx . 13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ,在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.ψ(,,)x y z dxdydz 2. B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2. 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态,则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x i Et ()exp()()exp(),ψ21122=-+u x i E t u x i E t ()exp()()exp() ,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化,则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数,而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数,而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数) 19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数), A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c .D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)e x p ()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12π ψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件: (1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是A. (1)、(3)和(6).B. (2)、(3)、(4)和(5).C. (1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+23.几率流密度矢量的表达式为A. J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.B. J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C. J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A.J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a ,D.πμ222232 n a. 28. 在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a. 29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b .30. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态,其位置几率分布最大处是A.x =0,B.x a =,C.x a =-,D.x a =2.31. 在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态,其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子,其体系的 A.能量是量子化的,而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω.B.(),(,,,....)n n +=1012ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω.D.x =±μω. 35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2.B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A.),(ϕθlm Y .B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F d F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1.B. 2.C. 3.D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im .B. )exp(21r k i ⋅π.C.12πϕexp()im .D. )exp(21r k i⋅π.46.波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数. C. 是 L2、 L z的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为A. 3.B. 6.C. 9.D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小. 49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是A. 库仑场特有的.B.中心力场特有的.C.奏力场特有的.D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,.B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,. D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为A.21 , .B. ,1.C.212 ,.D.212 ,. 53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -.D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s. 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B. 232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为 A.ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω.C. 92 ω. D. ω 232123217321c c c c ++. 62.对易关系[ ,()]p f x x 等于(f x ()为x 的任意函数)A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '().D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y. 71. 对易关系[ , ]LL zy等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z . B. -i L z. C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py. B. i p y. C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x. 77.对易式[ , ]L x y 等于A.0.B. -i z. C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于 A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F 和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是A.()()∆∆F G k 2224≥.B. ()()∆∆F G k 2224≥.C. ( )( )∆∆F G k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆F G L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222 .B. -μ224222z e n s .C.-μze n s 2222 .D. -μz e ns 24222 .86. 在一维无限深势阱U x x ax x a(),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为A.22222229,2aa μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a , .87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a. 89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]FG =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符yxL i L Lˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.z L ˆ . B.2 L z . C.-2 L z . D.zL ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]LL z+等于 A. L +. B. L z . C. -+L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]LL z-等于 A. L -. B. L z . C. --L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕn l m nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'e x p (21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是A.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a .B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a .C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂. C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂. D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂. 106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵. 107.力学量算符x ˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ-. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是 A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为 A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为 A.S S +-=. B.S S +=*. C.S S =-. D.S S *=-. 112.幺正变换 A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢. 113.算符 ()( )/ax i p =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=. 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n nn mn nm m ()()()''0200++-∑. B. E H H E E n nn mnn m m ()()()'''0200++-∑. C.E H H E E n nn mnm n m()()()'''0200++-∑.D.E H H E E nnn mn mnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为A.H mn '.B.H nn '.C.-H nn '.D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nm m'()()200-∑. B. ''()()H EE mnnmm200-∑. C.''()()H EE mnmnm200-∑. D.H EE mnmnm'()()200-∑.117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn nm m m '()()()000-∑ψ.B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D. H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 128.单电子的自旋角动量平方算符 S 2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为A. S z =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为A.0, .B. 0,- .C. 22,.D.22,-.138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,.C.a b 2222/,/. D. a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为A. 0.B.)(222b a - . C. )22/()(2222b a b a +- . D. .143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系. 144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了 光具有粒子性;。

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量子力学习题(三年级用)北京大学物理学院二O O三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长,指出那种情况要用量子力学处理: (1)能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n;被铀吸收; (2)能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a;(3)飞行速度为100米/秒,质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少?3、利用Broglie de -关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子能量可能值。

第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ(1)求归一化常数 (2).?p ?,x x ==2、求ikr ikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。

3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度,你从结果中能得到什么样的结论?(其中k 为实数)4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态,其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证0=υ⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子,在0=t时,波函数为()()x ,x δ=ϕ0求:?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中,求:E >0V 时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动)2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。

(1)求粒子的能级和对应的波函数; (2)若粒子处于)x (n ϕ态,证明:,/a x2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系,证明:01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射,受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率,以及发生完全透射的条件。

7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态,02121>=k kx V )x ((1)若弹性系数k 突然变为k 2,即势场变为22kx V )X (=随即测量粒子的能量,求发现粒子处于新势场2V 基态几率;(2)势场1V 突然变成2V 后,不进行测量,经过一段时间τ后,势场又恢复成1V ,问τ取什么值时,粒子仍恢复到原来1V 场的基态。

8、设一维谐振子处于基态,求它的22x p ,x ∆∆,并验证测不准关系。

第四章 量子力学中的力学量1、 若())z ,y ,x (z y x V p p p H +++μ=22221 证明:,x V i ]P ,H [x ∂∂=,p i ]x ,H [xμ-=2、设[]q )q (f ,i p ,q 是 =的可微函数,证明(1)[],ihpf )q (f p ,q 22=(2)[];f p i)q (f p ,p '=223、证明0≡++]]B ˆ,A ˆ[,C ˆ[]]A ˆ,C ˆ[,B ˆ[]]C ˆ,B ˆ[,Aˆ[ 4、如果,B Aˆ,ˆ是厄密算符 (1)证明()[]B ˆ,A ˆi ,B ˆA ˆn+是厄密算符; (2)求出B ˆAˆ是厄密算符的条件。

5、证明:[][][][]][[] ++++=-A ˆ,L ˆ,L ˆ,L ˆ!,A ˆ,L ˆ,L ˆ!A ˆ,LˆA e A ˆe L ˆL 31216、如果B ,A 与它们的对易子[]B ˆ,Aˆ都对易,证明 []B ˆ,A ˆB AˆBˆAe e e 21++=⋅(提示,考虑(),e e e )(f B ˆA ˆB ˆA ˆ+λ-λλ⋅⋅=λ证明[]f B ,A d dfλ=λ然后积分)7、设λ是一小量,算符1-A ˆAˆ和存在,求证+λ+λ+λ+=λ---------1112121111A ˆB ˆA ˆB ˆA ˆA ˆA ˆB ˆA ˆA ˆ)B ˆAˆ( 8、如ni u 是能量n E 的本征函数(为简并指标i ),证明()⎰=+*0dx u x p xp u nj x x ni从而证明:⎰δ=τij nj x ni d xu p u i 29、一维谐振子处在基态()22122/x a /ea x -π=ϕ求: (1)势能的平均值;X m A2221ω=(2)动能的平均值;m /P Tx 22=(3)动量的几率分布函数其中ω=m a10、若证明,iL L L y x ±=±(1)±±±=L ˆ]L ˆ,L ˆ[z 022==-+]L ˆ,L ˆ[]L ˆ,L ˆ[ (2)11++=lm lm Y C Y L ˆ12--=lm lm Y C Y L ˆ(3)()--+++=-L ˆL ˆL ˆL ˆL ˆL ˆy x 212211、设粒子处于),(Y lm ϕθ状态,利用上题结果求22y x l ,l ∆∆12、利用力学量的平均值随时间的变化,求证一维自由运动的2X ∆随时间的变化为:()()()()()()2220000221212t P p x X p XP X X x t x X X t∆μ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+μ+∆=∆ (注:自由粒子2x x P ,P 与时间无关)。

第五章 变量可分离型的波动方程1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。

2、对于球方位势(){000><=r V a r rV试给出有0=l n 个的束缚态条件。

3、设氢原子处于状态()()()()()ϕθ-ϕθ=ϕθϕ-,Y r R ,Y r R ,,r 112110212321求氢原子能量,角动量平方和角动量分量的可能值,以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。

4、证明[]r r r ,∂∂+=∇1212 []∇=∇r ,221 5、设氢原子处于基态,求电子处于经典力学不允许区域()0〈=-T V E 的几率。

6、设()022>+=B ,A ,r /A Br r V其中,求粒子的能量本征值。

7、设粒子在半径为a ,高为h 的园筒中运动,在筒内位能为0,筒壁和筒外位能为无穷大,求粒子的能量本征值和本征函数。

8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动,原子实电场近似地可用下面的电势表示:()2rA r e Z r +'=φ其中,e Z '表示原子实的电荷,0>A,证明,电子在原子实电场中的能量为()222412l nl n z e E δ+'μ-=而l δ为l 的函数,讨论l δ何时较小,求出l δ小时,nl E 公式,并讨论能级的简并度。

9、粒子作一维运动,其哈密顿量()x x V mp H +=22的能级为)(n E 0,试用Hellmann Feynmen -定理,求mP H H xλ+=0的能级n E 。

10、设有两个一维势阱()()x V x V 21≤若粒子在两势阱中都存在束缚能级,分别为() 2121,n E ,E nn =(1)证明n n E E 21≤(提示:令()()211V V x ,Vλ+λ-=λ(2)若粒子的势场⎪⎩⎪⎨⎧=<>bx KX bx Kb )X (V 222121中运动,试估计其束缚能总数的上、下限11、证明在规范变换下ϕ*ϕ=ρ()ϕ*ϕμ-ϕϕ-ϕ*ϕμ=* A ˆcq P ˆP ˆj 21 ⎪⎭⎫⎝⎛-=υμA ˆc q P ˆˆ不变。

12、计算氢原子中P D 23→的三条塞曼线的波长。

13.带电粒子在外磁场()B ,,B 00=中运动,如选⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02121,xB ,yB A ˆ或),xB ,(A 00= 试求其本征函数和本征值,并对结果进行讨论。

14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E 及均匀磁场B 中运动,求其能谱和波函数(取磁场方向为Z 轴方向,电场方向为X 轴方向)。

第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论1、列出下列波函数在动量表象中的表示(1)一维谐振子基态:()t ix a ea t ,x ω--π=ψ222122(2)氢原子基态:()t E i a r nea t ,r 2031--π=ψ2、求一维无限深位阱(0≤x ≤a )中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

3、求在动量表象中角动量x Lˆ的矩阵表示。

4、在(z l ,l2)表象中,求1=l 的空间中的x Lˆ的可能值及相应几率。

5、设)r (V p H +μ=22,试用纯矩阵的方法,证明下列求和规则()∑μ=-nnmm n x E E 222(提示:求[][][]X ,X ,H ,X ,H 然后求矩阵元[][]>m X ,X ,H m )6、若矩阵A ,B ,C 满足iA CB BC ,I C B A 2222=-===(1)证明:0=+=+CA AC BA AB;(2)在A 表象中,求B 和C 矩阵表示。

7、设),x (V p H x+=μ22分别写出x 表象和x P 表象中x p ,x 及H 的矩阵表示。

8、在正交基矢21ψψ,和3ψ展开的态空间中,某力学量⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=010100002a A 求在态321212121ψ+ψ+ψ=ψ中测量A 的可能值,几率和平均值。

第七章 自 旋1、设λ为常数,证明λσ+λ=λσsin i cos ez i z。

2、若(),i y x σ±σ=σ±21证明02=σ±3、在z σ表象中,求n⋅σ的本征态,()θϕθϕθcos ,sin sin ,con sin n 是),(ϕθ方向的单位矢。

4、证明恒等式:()()()()BA iB A B A ⨯⋅σ+⋅=⋅σ⋅σ其中B ,A 都与σ对易。

5、已知原子c 12的电子填布为22020221j )p ()s ()s (,试给出(1)简并度;(2)给出jj 耦合的组态形式; (3)给出LS 耦合的组态形式;6、电子的磁矩算符S e l e 002μ-μ-=μ,电子处于z j ,j ,l 22的本征态>j j m l 中,求磁矩μ。

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