北京大学量子力学期末试题12页

量 子 力 学 习 题

（三年级用） 北京大学物理学院

二O O 三年 第一章 绪论

1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子(

)

克24

10

671-⋅=μ.n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克24

10

646-⋅=μ.a ；

（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。

第二章 波函数与波动力学

1、设()()

为常数a Ae x x a 222

1

-=

ϕ

（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==

2、求ikr

ikr e r

e r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。

3、若(

)

,Be e

A kx kx

-+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样

的结论？（其中k 为实数）

4、一维运动的粒子处于

的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ=/

6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求：?)

t ,x (=ϕ2

第三章 一维定态问题

1、粒子处于位场

中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）

2、一粒子在一维势场 中运动。

（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x 2=

3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如

D

S A S B D S A S C 22211211+=+=

这即“出射”波和“入射”波之间的关系，

证明：0

1

1222112112

22

2

21

212211

=+=+=+**S S S S S S S S

这表明S 是么正矩阵

4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数

5、求粒子在下列位场中运动的能级

6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用

求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态， （1）若弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为

随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率；

（2）势场1V 突然变成2V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成1V ，问τ取什么值时，粒子仍恢复到原来1V 场的基态。

8、设一维谐振子处于基态，求它的2

2

x

p ,x ∆∆，并验证测不准关系。

第四章 量子力学中的力学量

1、

若()

)z ,y ,x (z y x V p p p H +++μ

=

2

2221 证明：,x

V

i ]P ,H [x ∂∂=η

2、设[]

q )q (f ,i p ,q 是η=的可微函数，证明

（1）[]

,ihpf )q (f p ,q 22

=

（2）[];f p i

)q (f p ,p '=2

2

η

3、证明

4、如果，B A

ˆ,ˆ是厄密算符 （1）证明()[]

B ˆ,A

ˆi ,B ˆA ˆn

+是厄密算符；

（2）求出B ˆA

ˆ是厄密算符的条件。 5、证明：

6、如果B ,A 与它们的对易子[]

B ˆ,A

ˆ都对易，证明 （提示，考虑(),e e e

)(f B ˆ

A ˆ

B ˆ

A

ˆ+λ-λλ⋅⋅=λ证明

[]f B ,A d df

λ=λ

然后积分） 7、设λ是一小量，算符1

-A ˆA

ˆ和存在，求证 8、如ni u 是能量n E 的本征函数（为简并指标i ），证明

从而证明：⎰δ=τij nj x ni d xu p u i 2

η

9、一维谐振子处在基态

求： （1）势能的平均值;X m A 2

22

1ω=

（2）动能的平均值;m /P T x 22

= （3）动量的几率分布函数 其中η

ω

=

m a 10、若证明,iL L L y x ±=±

(1) ±±±=L ˆ]L ˆ,L ˆ[z η (2) 11++=lm lm Y C Y L ˆ

(3) ()-

-+++=-L ˆL ˆL ˆL ˆL ˆL ˆy x 2

122

11、设粒子处于),(Y lm ϕθ状态，利用上题结果求2

2

y x l ,l ∆∆

12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的2X ∆随时间的变化为：