高中高考理科数学数学导数专题复习总结计划.doc

高考理科数学数学导数专题复习

高考数学导数专题复习

考试内容

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立

考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景．

（2）理解导数的几何意义．

（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．

（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

（6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题

知识要点

导数的概念导数的几何意义、物理意义

常见函数的导数

导

数导数的运算

导数的运算法则

函数的单调性

导数的应用函数的极值

函数的最值

1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x 0 是函数 y f (x) 定义域的一点，如果自变

量 x 在 x 0 处有增量 x ，则函数值 y 也引起相应的增量

y f (x 0 x) f ( x 0 ) ；比值 y f ( x 0

x) f ( x 0 ) 称为函数 y

f ( x) 在点 x 0 到 x 0

x 之间的平均变化率；如果

x

x

极限 y

f (x 0

x) f (x 0 ) 存在，则称函数 y

f (x) 在点 x 0 处可导，并把这

lim

lim

x

x 0 x

x 0

个 极 限 叫 做 y

f (x) 在 x 0

处 的 导 数 ， 记 作 f ' (x 0 ) 或 y ' |x x 0 ， 即

f ' (x 0 ) = lim

y lim f ( x 0 x) f ( x 0 ) .

x 0

x x 0

x

注：

① x 是增量，我们也称为“改变量” ，因为 x 可正，可负，但不为零 . ②以知函数 y

f ( x) 定义域为 A ， y f ' ( x) 的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为 A B .

2. 函数 y f ( x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系：

⑴函数 y

f (x) 在点 x 0 处连续是 y

f (x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件 .

可以证明，如果 y f ( x) 在点 x 0 处可导，那么 y f ( x) 点 x 0 处连续 .

事实上，令 x x 0

x ，则 x

x 0 相当于 x 0 .

于是 lim f ( x)

lim f ( x 0

x)

lim [ f (x

x 0 ) f (x 0 )

f (x 0 )]

x

x 0

x 0

x 0

lim [ f (x 0

x) f ( x 0 ) x f (x 0 )]

lim f ( x 0

x) f ( x 0 ) lim

lim f (x 0 ) f '

(x 0 ) 0 f ( x 0 ) f ( x 0 ).

x 0

x

x 0

x x 0

x 0

⑵如果 y

f (x) 点 x 0 处连续，那么 y f (x) 在点 x 0 处可导，是不成立的 .

例： f (x) | x| 在点 x 0 0 处连续，但在点 x 0 0 处不可导，因为 y |

x |

，当 x ＞

x

x

0 时，

y

1；当 x ＜ 0 时，

y

1，故 lim

y

不存在 .

x

x

x 0

x

注：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数

.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数

.

3. 导数的几何意义和物理意义：

（ 1）几何意义：函数y f (x) 在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f ( x) 在点( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y f (x) 在点P( x0 , f (x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ，切线方程为y y 0 f ' (x)( x x0 ).

（ 2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。

4.求导数的四则运算法则：

(u v)'u 'v'y f 1 (x) f 2 ( x) ... f n (x)y'f1' (x) f 2' (x) ... f n' (x)

( uv)

u v '

vu ' v 'u ( cv) ' c 'v cv ' cv '（c为常数）

'

'

v ' u

vu

0 )

v 2

( v

注：

① u, v 必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导 .

例如：设 f ( x) 2 sin x 2

，g (x) cos x

2

，则 f (x), g( x)在x 0处均不可导，但它们x x

和 f (x) g(x) sin x cos x 在 x 0 处均可导.

5.复合函数的求导法则： f x' ( ( x)) f ' (u )' (x)或y'x y 'u u 'x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数y f ( x) 在某个区间内可导，如果 f ' ( x) ＞0，

则 y f ( x) 为增函数；如果 f ' ( x) ＜0，则y f ( x) 为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数 y f ( x) 在区间 I 内恒有f'(x )=0，则 y f ( x) 为常数.

注：