平面直角坐标系与变量之间的关系

平面直角坐标系及变量之间的关系
主讲：黄冈中学数学高级教师平友
一、考点回顾
1、平面直角坐标系中特殊点的坐标的特征．
x轴上的点，其纵坐标为0，y轴上的点，其横坐标为0，原点的坐标为（0，0）．
2、各象限的点的坐标的符号特征．
3、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征．
平行于x轴的直线上任两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任两点的横坐标相同．
4、象限角平分线上的点的坐标特征．
第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
5、对称点的坐标特征
A（a，b）关于x轴的对称点坐标为（a，－b），A（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（－a，b），A（a，b）关于原点的对称点为（－a，－b）．
6、对函数概念的理解
（1）在某一个变化过程中有两个变量x，y；
（2）变量y的值随变量x的值的变化而变化；
（3）对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应．
7、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法．
二、考点精讲精练
例1、已知点A（－1，2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到点B，则点B的坐标为__________．
A（－1，2）向左平移2个单位得（－3，2），再向上平移3个单位得（－3，5）．
变式练习1
1、在直角坐标系中，把点A（－2，3）向右平移3个单位到B点，则点B的坐标为__________．
答案：（1，3）
2、将点P（－3，y）向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q（x，－1），则xy＝__________．
解：
将点P（－3，y）向下平移3个单位得（－3，y－3），再向左平移2个单位得到点（－5，y－3），所以 x＝－5，且y－3＝－1．得x＝－5，y＝2，所以xy＝－10．
例2、已知点P（－2，a），Q（b，3），且PQ∥x轴，则a＝__________，b≠__________．
答案：a＝3，b≠－2
变式练习2
1、已知线段AB＝3，AB∥x轴，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为
__________．
答案：4，2或－2，2
2、过A（－2，4）和B（－2，2）两点的直线一定（）
A．垂直于x轴B．与y轴相交但不平行于x轴
C．平行于x轴D．与x轴，y轴相交
答案：A
例3、已知如图，菱形ABCD的边长为2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为
__________．
过B作BD⊥x轴于D．
依题意有∠BOD＝45°，BC＝2，
∴ BD＝2sin45°＝，
CD＝2cos45°＝，
∴ OD＝2＋，∴B(2＋，)
变式练习3
在平面直角坐标系中，若以点A（0，－3）为圆心，5为半径画一个圆，则这个圆与x轴的负半轴相交的点的坐标为（）
A．（4，0）B．（0，－4）
C．（0，4）D．（－4，0）
答案：D
例4、如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AO B绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）
A．B．
C． D．
答案：B
提示：．
变式练习4
如图，将平面直角坐标系中的△AOB绕点O顺时针旋转90°得
△A′OB′．已知∠AOB＝60°，∠B＝90°，，则点B′的坐标是（）A．B．
C．D．
解：
∵，∠AOB＝60°，
∴A（－2，0），∴OA′＝2，∠A′OB′＝60°，
∴OB′＝1，∠B′Ox＝30°，，故选A．
例5、一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km/h，水流速度为5km /h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t （h），航行的路程为 s（km），则s与t的函数图象大致是（）
答案：C 轮船顺水航行的速度比逆水航行的速度快，而航行的路程相同，所以顺航所用时间比逆航所用时间短，故选C．
变式练习5
某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）
A．学校离家的距离为2000米
B．修车时间为15分钟
C．到达学校时共用时间20分钟
D．自行车发生故障时离家距离为1000米
答案：B
例6、函数中自变量x的取值围为__________．
解：依题意得x≤12且x≠4．
变式练习6、函数中，自变量x的取值围为__________．
答案：x≥－2且x≠1．
- 返回 -
备考模拟
一、填空题
1、已知点P（a，b），当ab＞0，则点A在第__________象限．
2、在直角坐标系，将点A（－2，3）向右平移3个单位到B点，则点B的坐标是__________．
3、矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（6，0），（6，4），则D点的坐标是__________，D点关于x轴的对称点是__________．
4、已知点P在第二象限两坐标轴所成角的平分线上，且到x轴的距离为3，则点P的坐标为__________．
5、在同一坐标系中，图形a是图形b向上平移3个单位长度得到的，如果在图形a中点A的坐标为（5，－3），则图形b中与A对应的点B的坐标为
__________．
隐藏答案
答案：
1、一或三
2、（1，3）
3、(0，4)，（0，－4）
4、（－3，3）
5、（5，－6）
二、选择题
6、有一个长方形，已知它的三个顶点的坐标分别是（－1，－1）、（－1，2）、（3，－1），则第四个顶点的坐标为（）
A．（2，2）B．（3，2）
C．（3，3）D．（2，3）
7、若a＞0，则点P（－a，2）应在（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
8、在平面直角坐标系中，点P（－1，m2＋1）一定在（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
9、在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（）
10、如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）
三、综合题
11、如图，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（－2，0）、B（1，7）、C （5，5）、D（7，0），试求这个四边形的面积．
隐藏答案
解：作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
12、若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是多少？
隐藏答案
解：当x≤2时，令8＝x2＋2，；
当x＞2时，令8＝2x，∴x＝4，∴自变量x的值为4，或．
13、某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划用水3000吨，计划用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．
（1）某月该单位用水3200吨，水费是__________元；若用水2800吨，水费是__________元；
（2）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式；
（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？
隐藏答案
解：（1）1660；1400
（2）
（3）∵缴纳水费1540元＞1500元，∴用水量超过了3000吨．
∴1500＋0.8（x－3000）＝1540
∴x＝3050．故该月用水量为3050吨．
14、在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，4），C点坐标为（10，0）．
（1）如图①，若直线AB∥OC，AB上有一动点P，当P点的坐标为__________时，有PO＝PC；
（2）如图②，若直线AB与OC不平行，在过点A的直线y＝－x＋4上是否存在点P，使∠OPC＝90°？若有这样的点P，求出它的坐标；若没有，请简要说明理由．
隐藏答案
解；（1）（5，4）；
（2）设P（x，－x＋4），连OP，PC，过点P作PE⊥OC于E．
∵OP2＝x2＋（－x＋4）2，PC2＝（－x＋4）2＋（10－x）2，OP2＋PC2＝OC2，
∴x2＋（－x＋4）2＋（－x＋4）2＋（10－x）2＝102，
解得x1＝1，x2＝8．
∴P（1，3）或P（8，－4）．
15、一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后匀速行驶，下表记录的是货车一次加满油后油箱余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：
行驶时间x（时）0 1 2 2.5
余油量y（升）100 80 60 50
（1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（不要求写出自变量的取值围）
（2）按照（1）中的变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达B处，求此时油箱余油多少升？
隐藏答案
解：（1）设y与x之间的关系式为y＝kx＋b（k≠0），
把（0，100），（1，80）代入上式得
∴y＝－20x＋100
经检验（2，60），（2.5，50）都符合上式．
∴可用一次函数y＝－20x＋100表示其变化规律．
（2）当x＝4.2时，y＝－20×4.2＋100＝16．
即货车行驶到B处时油箱余油16升．
-END-。