函数综合试题
高中函数试题及答案

高中函数试题及答案一、选择题1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的开口方向是:A. 向上B. 向下C. 不确定D. 无定义答案:A2. 若函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, +∞)上是:A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案:B3. 函数\( h(x) = |x - 1| \)的对称轴是:A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = -1 \)D. \( x = 2 \)答案:B二、填空题4. 若\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \),求\( f(2) \)的值是________。
答案:15. 已知函数\( y = \sqrt{x} \)的定义域是________。
答案:\( [0, +\infty) \)6. 若\( f(x) = 3x + 5 \)与\( y = -2x + 6 \)的图象交点的横坐标是________。
答案:1三、解答题7. 求函数\( f(x) = x^2 + 2x + 1 \)的最小值。
答案:函数\( f(x) = (x + 1)^2 \),由于平方项始终非负,所以最小值出现在\( x = -1 \)时,此时\( f(x) = 0 \)。
8. 已知函数\( y = 2x - 1 \),求当\( x \)在区间[-1, 2]时,\( y \)的最大值和最小值。
答案:当\( x = -1 \)时,\( y = -3 \);当\( x = 2 \)时,\( y = 3 \)。
因此,\( y \)的最小值为-3,最大值为3。
9. 证明函数\( f(x) = x^3 \)在实数域上是单调递增的。
答案:设\( x_1 < x_2 \),我们需要证明\( f(x_1) < f(x_2) \)。
计算差值\( f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 +x_1^2) \)。
高一数学函数综合试题答案及解析

高一数学函数综合试题答案及解析1.定义运算:,对于函数和,函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”,记为,则= .【答案】.【解析】记,,于是构造函数,则当时,;当或时,所以.即为所求.【考点】函数的最值及其几何意义.2.设,那么()A.B.C.D.【答案】B.【解析】观察题意所给的递推式特征可知:,所以,故选B.【考点】数列的递推公式.3.函数y=-xcosx的部分图象是().【答案】D.【解析】选判断函数的奇偶性,此时,有,可知此函数为奇函数,排除A,C;又当x>0时,取时,可知此时,易知图像与x轴交于,而当时,,故选D.【考点】函数图像的辨析与识别,奇偶函数的定义与性质,排除法,特殊角的三角函数值.4.方程在区间内的所有实根之和为 .(符号表示不超过的最大整数).【答案】2.【解析】设,当时,;当时,;当时,;当时,;即;令,得;令,得;的所有根为0,2,之和为2.【考点】新定义题、函数图像的交点.5.若不等式对任意的上恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D.【解析】∵,又∵,,∴,又∵,根据二次函数的相关知识,可知当,时,,综上所述,要使不等式对于任意的恒成立,实数的取值范围是.【考点】1.函数求最值;2.恒成立问题的处理方法.6.下列四个命题:①方程若有一个正实根,一个负实根,则;②函数是偶函数,但不是奇函数;③函数的值域是,则函数的值域为;④一条曲线和直线的公共点个数是,则的值不可能是.其中正确的有________________(写出所有正确命题的序号).【答案】①④【解析】,故①正确;根据定义域,,所以,所以也是奇函数;故②不正确;仅是定义域变了,值域没有改变;故③不正确;是关于对称轴对称的图像,所以与其交点个数只能是偶数个,不可能是1.故④正确.【考点】1.方程根与系数的关系;2.函数奇偶性;3.抽象函数;4.函数图像.7.已知函数,则下列说法中正确的是()A.若,则恒成立B.若恒成立,则C.若,则关于的方程有解D.若关于的方程有解,则【答案】D.【解析】绝对值不等式,当时,则,此时,所以A错误;当恒成立时,有,此时假设,则由绝对值不等式可知恒成立,此时与恒成立矛盾,再结合对A选项的分析,可知,所以B选项错误;当时,则,此时,方程,左边是正数,右边是负数,无解,所以C错误;对于D,当关于的方程有解时,由上述C选项的分析可知不可能小于0,当时,,也不满足有解,所以,此时由有解,可得,所以,所以,选项D正确,故选D.【考点】函数与绝对值不等式.8.如果二次函数不存在零点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵二次函数不存在零点,二次函数图象向上,∴,可得,解得,故选D.【考点】1、函数零点;2、函数与方程的关系.9.已知函数是定义在上的奇函数,当时的解析式为.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)求函数的零点.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)零点为【解析】(Ⅰ)先利用奇函数的性质求时的解析式,再求时的解析式,最后写出解析式. 本小题的关键点:(1)如何借助于奇函数的性质求时的解析式;(2)不能漏掉时的解析式.(Ⅱ)首先利用求零点的方法:即f(x)=0,然后解方程,同时注意限制范围.试题解析:(Ⅰ)依题意,函数是奇函数,且当时,,当时,, 2分又的定义域为,当时, 2分综上可得, 2分(Ⅱ)当时,令,即,解得,(舍去) 2分当时,, 1分当时,令,即,解得,(舍去) 2分综上可得,函数的零点为 1分【考点】1、奇函数的性质;2、求方程的零点.10.函数的零点所在的区间是()A.B.C.D.【答案】C.【解析】因为函数的定义域为大于零的实数。
二次函数综合试题及答案

二次函数综合试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式?A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 + 5C. y = 2x + 1D. y = -x^2 + 3答案:C2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为:A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (b, -c)答案:C二、填空题1. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,且顶点坐标为(-1, -4),则a的值为______。
答案:a > 02. 二次函数y = x^2 - 2x + 3的最小值为______。
答案:2三、解答题1. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3,求该函数与x轴的交点。
解:令y = 0,得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。
使用求根公式,得到x1 = (2 + √10) / 2,x2 = (2 - √10) / 2。
因此,与x轴的交点坐标为((2 + √10) / 2, 0)和((2 - √10) / 2, 0)。
2. 某抛物线经过点(1, 1)和(2, 4),且对称轴为直线x = 2。
求该抛物线的解析式。
解:设抛物线解析式为y = a(x - 2)^2 + k。
将点(1, 1)代入,得到a(1 - 2)^2 + k = 1,即a + k = 1。
将点(2, 4)代入,得到a(2 - 2)^2 + k = 4,即k = 4。
解得a = -3,k = 4。
因此,抛物线的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。
四、应用题1. 某工厂生产一种产品,其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000,其中x为生产数量。
求该工厂生产多少件产品时,成本最低。
解:成本函数C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000是一个开口向上的二次函数,其顶点即为成本最低点。
高三数学函数综合试题答案及解析

高三数学函数综合试题答案及解析1.给出四个函数,分别满足①;②;③;④,又给出四个函数的图象如下:则正确的配匹方案是()A.①—M ②—N③—P ④—QB.①—N②—P③—M④—QC.①—P②—M③—N④—QD.①—Q②—M③—N④—P【答案】D【解析】图象M是指数型函数,具有性质②;图象N是对数型函数,具有性质③图象P是幂函数,具有性质④,图象Q是正比例函数,具有性质①,故选D【考点】基本初等函数的图象与性质.2.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程:区间中的实数对应数上的点,如图1;将线段围成一个圆,使两端点恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在轴上,点的坐标为,如图3.图3中直线与轴交于点,则的象就是,记作.下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)①方程的解是;②;③是奇函数;④在定义域上单调递增;⑤的图象关于点对称.【答案】①④⑤【解析】①则,正确;②当时,∠ACM=,此时故,不对;③的定义域为不关于原点对称,是非奇非偶函数;④显然随着的增大,也增大;所以在定义域上单调递增,正确;⑤又整个过程是对称的,所以正确.【考点】1、函数的性质;2、创新意识.3.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程:区间中的实数对应数上的点,如图1;将线段围成一个圆,使两端点恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在轴上,点的坐标为,如图3.图3中直线与轴交于点,则的象就是,记作.下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)①方程的解是;②;③是奇函数;④在定义域上单调递增;⑤的图象关于点对称.【答案】①④⑤【解析】①则,正确;②当时,∠ACM=,此时故,不对;③的定义域为不关于原点对称,是非奇非偶函数;④显然随着的增大,也增大;所以在定义域上单调递增,正确;⑤又整个过程是对称的,所以正确.【考点】1、函数的性质;2、创新意识.4.函数的部分图像可能是()A B C D【答案】B【解析】∵,∴为奇函数,且存在多个零点导致存在多个零点,故的图像应为含有多个零点的奇函数图像.故选B.【考点】通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.5.已知函数,若直线对任意的都不是曲线的切线,则的取值范围为.【答案】.【解析】f(x)=x3-3ax(a∈R),则f′(x)=3x2-3a若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,则直线的斜率为-1,f(x)′=3x2-3a与直线x+y+m=0没有交点,又抛物线开口向上则必在直线上面,即最小值大于直线斜率,则当x=0时取最小值,-3a>-1,则a的取值范围为,即答案为.【考点】线性规划.6.已知函数的两个极值点分别为,且,,点表示的平面区域为,若函数的图象上存在区域内的点,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵函数的两个极值点分别为x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=>0,,即n+3m+2<0,∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,如图:∴m<-1,n>1.∵的图象上存在区域D内的点,∴loga(-1+4)>1,∴∵a>1,∴lga>0,∴1g3>lga.解得1<a<3;故选B.【考点】1.利用导数研究函数的极值;2.不等式组表示平面区域.7.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明,声音强度(分贝)由公式(为非零常数)给出,其中为声音能量.(1)当声音强度满足时,求对应的声音能量满足的等量关系式;(2)当人们低声说话,声音能量为时,声音强度为30分贝;当人们正常说话,声音能量为时,声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音,一般人在100分贝~120分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时,人会暂时性失聪.【答案】(1)解应用题问题,关键正确理解题意,列出对应的等量关系:(2)本题实质是解一个不等式:由题意得,,,即,当声音能量时,人会暂时性失聪.【解析】(1) (2)(1)2分4分6分(2)由题意得 10分12分14分答:当声音能量时,人会暂时性失聪. 15分【考点】实际问题应用题8.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数x的取值范围是________.【答案】(1,2)【解析】由f(x)=ln x+2x,x∈(0,+∞)得f′(x)=+2x ln 2>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(x2+2)<f(3x),得0<x2+2<3x,所以x∈(1,2).9.函数的图象可能是()【答案】【解析】函数的定义域为,可排除;又时,,即,故选.【考点】函数的图象,函数的定义域,正弦函数、对数函数的性质.10.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是________.【答案】(-1,3)【解析】由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a,若f(f(1))>3a2,则9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.11.(5分)(2011•广东)设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数,如下定义两个函数(f°g)(x)和((f•g)(x)对任意x∈R,(f°g)(x)=f(g(x));(f•g)(x)=f(x)g(x),则下列等式恒成立的是()A.((f°g)•h)(x)=((f•h)°(g•h))(x)B.((f•g)°h)(x)=((f°h)•(g°h))(x)C.((f°g)°h)(x)=((f°h)°(g°h))(x)D.((f•g)•h)(x)=((f•h)•(g•h))(x)【答案】B【解析】根据定义两个函数(f°g)(x)和((f•g)(x)对任意x∈R,(f°g)(x)=f(g (x));(f•g)(x)=f(x)g(x),然后逐个验证即可找到答案.解:A、∵(f°g)(x)=f(g(x)),(f•g)(x)=f(x)g(x),∴((f°g)•h)(x)=(f°g)(x)h(x)=f(g(x))h(x);而((f•h)°(g•h))(x)=(f•h)((g•h)(x))=f(g(x)h(x))h(g(x)h(x));∴((f°g)•h)(x)≠((f•h)°(g•h))(x)B、∵((f•g)°h)(x)=(f•g)(h(x))=f(h(x))g(h(x))((f°h)•(g°h))(x)=(f°h)•(x)(g°h)(x)=f(h(x))g(h(x))∴((f•g)°h)(x)=((f°h)•(g°h))(x)C、((f°g)°h)(x)=((f°g)(h(x))=f(h(g(x))),((f°h)°(g°h))(x)=f(h(g(h(x))))∴((f°g)°h)(x)≠((f°h)°(g°h))(x);D、((f•g)•h)(x)=f(x)g(x)h(x),((f•h)•(g•h))(x)=f(x)h(x)g(x)h(x),∴((f•g)•h)(x)≠((f•h)•(g•h))(x).故选B.点评:此题是个基础题.考查学生分析解决问题的能力,和知识方法的迁移能力.12.已知函数f(x)=lnx+a,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.(2)求证:对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>++…+恒成立.【答案】(1)(0,1] (2)见解析【解析】(1)f′(x)=(x>0),由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因为当x∈[1,+∞)时,x≥1,所以a≤1,即a的取值范围为(0,1].(2)由(1)知函数f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上为增函数,当n>1时,因为>1,所以f>f(1),即lnn-ln(n-1)>,对于n∈N*,且n>1恒成立,lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以对于n∈N*,且n>1时,lnn>++…+恒成立.13.已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)·x+ax,且g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.【答案】(1)f(x)=x+(2)(-∞,-4]【解析】(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称,设f(x)图象上任意一点坐标为B(x,y),其关于A(0,1)的对称点B′(x′,y′),则∴∵B′(x′,y′)在h(x)上,∴y′=x′++2.∴2-y=-x-+2,∴y=x+,即f(x)=x+.(2)∵g(x)=x2+ax+1,且g(x)在[0,2]上为减函数,∴-≥2,即a≤-4.∴a的取值范围为(-∞,-4].14.已知函数则函数的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】函数,.即.所以函数的零点个数即等价于,方程的解得个数,即等价于函数的交点的个数.如图所示.所以共有两个交点.故选B.【考点】1.分段函数的性质.2.函数的零点问题.3.等价转换的数学能力.4.分类讨论的数学思想.15.已知符号函数则函数的零点个数为().A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】,时,,解得;当时,;当时,,即无解。
经济数学函数试题及答案

经济数学函数试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5在x=1处的导数是:A. 1B. 4C. 7D. 9答案:B2. 若函数g(x) = sin(x) + cos(x),则g(π/4)的值等于:A. 1B. √2C. 2D. 0答案:B3. 微分方程dy/dx = x^2的通解是:A. y = x^3/3 + CB. y = x^3 + CC. y = x^3/3D. y = x^2 + C答案:A4. 经济学中的边际成本函数MC(x)表示的是:A. 总成本对产量的导数B. 平均成本对产量的导数C. 总成本对时间的导数D. 总产量对时间的导数答案:A5. 若需求函数为D(p) = a - bp,其中a和b为正常数,价格p上升时,需求量将:A. 增加B. 减少C. 保持不变D. 先增加后减少答案:B二、填空题(每题3分,共15分)6. 函数h(x) = √x的值域是_________。
答案:[0, +∞)7. 若成本函数C(x) = mx + b,其中m和b为常数,那么平均成本AC(x) = _________。
答案:m + b/x8. 边际收益递减原理表明,当产量增加到一定程度后,每增加一个单位的产量,所带来的收益增量将_________。
答案:减少9. 经济学中的无差异曲线表示消费者在不同商品组合之间_________。
答案:同等偏好10. 在完全竞争市场中,厂商的短期供给曲线位于_________的平均成本之上。
答案:平均变动成本三、解答题(共75分)11. (15分)设生产函数为Q = K^(1/2) * L^(1/3),其中K为资本,L为劳动。
(1)求劳动的平均产量和边际产量。
(2)若资本K=100,求劳动的平均产量和边际产量。
12. (20分)考虑一个市场,需求曲线为D(p) = 200 - 5p,供给曲线为S(p) = -10 + 2p。
函数综合试题

函数综合试题一:选择题1.已知,则则A等于()A.15 B.C.D.225 2.若0<a<1,且函数,则下列各式中成立的是()A.B.C.D.3.已知则的值等于( )A.0 B.C.D.9 4.若,则()A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c5.已知实数a、b满足等式,下列五个关系式:① 0<a<b<1;② 0<b<a<1;③a=b;④ 1<a<b;⑤l<b<a.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.若0<a<1,且函数,则下列各式中成立的是()A.B.C.D.7.已知:的不等实根一共有()A、1个B、2 个C、3 个D、4个8.在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数(也称高斯函数),它表示的整数部分,即[]是不超过的最大整数.例如:.设函数,则函数的值域为()A. B. C. D.9.曲线在原点处的切线方程为A. B. C. D.10.设函数有()A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内的三个根B.四个实根C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内的四个根D.分别位于区间(0,1)(1,2),(2,3),内的三个根11.函数的导数是()A. B. C. D.12.与定积分相等的是()A. B. C. - D. +二:填空题13.由曲线所围成的图形面积是.14.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示,则该汽车在前3小时内行驶的路程为_________km,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km,那么在时,汽车里程表读数与时间的函数解析式为__________。
15. 函数f(x)=x3-3x2+6x-7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________ 。
16.给出下列四个命题:①函数(且)与函数(且)的定义域相同;②函数与的值域相同;③函数与都是奇函数;④函数与在区间[0,+)上都是增函数。
最新数列专题:数列与函数综合问题(含答案)超经典

数列专题:数列与函数综合问题一.选择题(共30小题)1.已知函数f (x )=x e1+x e (e 是自然对数的底数),设a n ={f(n),n ≤2019f(14039−n ),n >2019,数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4037的值是( ) A .2018B .2019C .40372D .403922.已知函数f (x )={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1,若数列{a n }满足a 1=73,a n +1=f (a n )(n ∈N +),则a 2019=( )A .73B .43C .56D .133.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x −32)=f (x ),f (﹣2)=﹣3,数列{a n }是等差数列,若a 2=3,a 7=13,则f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)+…+f (a 2018)=( ) A .﹣2B .﹣3C .2D .34.定义:F (x ,y )=y x (x >0,y >0),已知数列{a n }满足:a n =F(n ,2)F(2,n)(n ∈N *),若对任意正整数n ,都有a n ≥a k (k ∈N *)成立,则a k 的值为( ) A .12B .2C .98D .895.对于数列{a n },a 1=4,a n +1=f (a n ),n =1,2,…,则a 2020等于( )x 1 2 3 4 5 f (x ) 5 43 12A .2B .3C .4D .56.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且满足f (32−x )=f (x ),f (﹣2)=﹣2,数列{a n }满足a 1=﹣1,且S n n=2a n n+1(S n 为{a n }的前n 项和),则f (a 5)=( ) A .﹣3B .﹣2C .3D .27.已知{a n }满足a n +1=a n +2n ,且a 1=32,则a nn的最小值为( )A .8√2−1B .525C .373D .108.在数列{a n }中,a 1=2,其前n 项和为S n .若点(S n n,S n+1n+1)在直线y =2x ﹣1上,则a 9等于( )A .1290B .1280C .1281D .18219.已知函数y =f (x )为定义域R 上的奇函数,且在R 上时单调递增函数,函数g (x )=f (x ﹣3)+x ,数列{a n }为等差数列,且公差不为0,若g (a 1)+g (a 2)+…+g (a 9)=27,则a 1+a 2+…+a 9=( ) A .18B .9C .27D .8110.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (2﹣x )=f (x ),f (﹣1)=1,数列{a n }满足a 1=﹣1,S n n=2a n n+1(n ∈N +),其中S n 是数列{a n }的前n 项和,则f (a 5)+f (a 6)=( )A .﹣2B .﹣1C .0D .111.已知定义域为正整数集的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+1,f (1)=1,则数列{(﹣1)n f (n )f (n +1)}(n ∈N *)的前99项和为( ) A .﹣19799B .﹣19797C .﹣19795D .﹣1979312.已知函数y =f (x )的定义域为R ,当x <0时,f (x )>1,且对任意的实数x ,y ∈R ,f (x )f (y )=f (x +y )恒成立,若数列{a n }满足f (a n +1)f (11+a n)=l (n ∈N *)且a 1=f (0),则下列结论成立的是( )A .f (a 2015)>f (a 2018)B .f (a 2018)>f (a 2019)C .f (a 2017)>f (a 2018)D .f (a 2015)>f (a 2017)13.已知函数f(n)=n 2sin(2n−32π),且a n =f (n ),则a 1+a 2+a 3+…+a 200=( )A .20100B .20500C .40100D .1005014.已知函数f (x )=4x2x−1,M =f (1n)+f (2n)+…+f (n n)(n ∈N *,且n 为奇数),则M 等于( ) A .2n ﹣1B .n −12C .2n +2D .2n +1215.已知各项都为正数的等比数列{a n },满足a 3=2a 1+a 2,若存在两项a m ,a n ,使得√a m a n =4a 1,则1m+4n的最小值为( ) A .2B .32C .13D .116.已知数列{a n }中,a 1=2,n •a n +1﹣(n +1)•a n =1,n ∈N *.若对于任意的n ∈N *,不等式a n+1n+1<a 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(3,+∞)B .(﹣∞,3)C .[3,+∞)D .(﹣∞,3]17.已知F (x )=f (x +12)﹣1是R 上的奇函数,a n =f (0)+f (1n)+f (2n)+…+f (n−1n)+f (1)(n ∈N *),则数列{a n } 的通项公式为( ) A .a n =n ﹣1B .a n =nC .a n =n +1D .a n =n 231.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且满足f (3﹣x )=f (x ),f (﹣1)=3,数列{a n }满足a 1=1,且a n =n (a n +1﹣a n )(n ∈N *),则f (a 36)+f (a 37)=32.对于函数f (x )和实数M ,若存在m ,n ∈N +,使f (m )+f (m +1)+f (m +2)+…+f (m +n )=M 成立,则称(m ,n )为函数f (x )关于M 的一个“生长点”.若(1,2)为函数f (x )=cos (π2x +π3)关于M的一个“生长点”,则M = ;若f (x )=2x +1,M =105,则函数f (x )关于M 的“生长点”共有 个.33.如果函数f (x )满足:对任意实数a ,b 都有f (a +b )=f (a )f (b ),且f (1)=1,则f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)=参考答案与试题解析一.选择题(共30小题)1.已知函数f (x )=x e1+x e (e 是自然对数的底数),设a n ={f(n),n ≤2019f(14039−n ),n >2019,数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4037的值是( ) A .2018B .2019C .40372D .40392【解答】解:根据题意,函数f (x )=x e 1+x e ,则f (1x )=(1x )e1+(1x)e =11+x e ,且f (1)=11+1=12,则有f (x )+f (1x)=x e 1+x e +11+x e=1, 又由a n ={f(n),n ≤2019f(14039−n ),n >2019, 则S 4037=f (1)+f (2)+……+f (2019)+f (12019)+f (12018)+……+f (12)=f (1)+[f (2)+f (12)]+[f (3)+f (13)]+……+f (2019)+f (12019)=12+2018=40372; 故选:C .2.已知函数f (x )={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1,若数列{a n }满足a 1=73,a n +1=f (a n )(n ∈N +),则a 2019=( )A .73B .43C .56D .13【解答】解:根据题意,函数f (x )={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1,若数列{a n }满足a 1=73,a n +1=f (a n ),则a 2=a 1﹣1=43, a 3=a 2﹣1=13, a 4=a 3+12=56, a 5=2a 4﹣1=23,a 6=2a 5﹣1=13, a 7=a 6+12=56,则数列{a n }满足a n +3=a n ,(n ≥3),即数列{a n }从第三项开始,组成周期为3的数列, 则a 2019=a 3+2016=a 3=13, 故选:D .3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x −32)=f (x ),f (﹣2)=﹣3,数列{a n }是等差数列,若a 2=3,a 7=13,则f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)+…+f (a 2018)=( ) A .﹣2B .﹣3C .2D .3【解答】解:根据题意,f (x )为奇函数,则f (x )=﹣f (﹣x ), 又由f (x )满足f (32−x )=f (x ),则f (32−x )=﹣f (﹣x ),则有f (3﹣x )=﹣f (32−x )=f (x ),即函数f (x )是周期为3的周期函数,数列{a n }是等差数列,若a 2=3,a 7=13,则d =a 7−a27−2=2,则a n =2n ﹣1, 则a 1=1,a 3=5,则f (a 1)=f (1)=f (﹣2)=﹣3, f (a 2)=f (3)=f (0)=0,f (a 3)=f (5)=f (﹣1)=﹣f (1)=3,则有f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)=(﹣3)+0+(3)=0, f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)+…+f (a 2018)=f (1)+f (3)+f (5)+f (7)+f (8)+f (9)+……+f (2016)+f (2017)+f (2018) =672×[f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)]+f (2017)+f (2018)=﹣3; 故选:B .4.定义:F (x ,y )=y x (x >0,y >0),已知数列{a n }满足:a n =F(n ,2)F(2,n)(n ∈N *),若对任意正整数n ,都有a n ≥a k (k ∈N *)成立,则a k 的值为( ) A .12B .2C .98D .89【解答】解:∵F (x ,y )=y x (x >0,y >0),∴a n =F(n ,2)F(2,n)=2nn2∴a n+1a n=2n+1(n+1)22n n 2=2⋅n 2(n+1)2,∵2n 2﹣(n +1)2=(n ﹣1)2﹣2,当n ≥3时,(n ﹣1)2﹣2>0, ∴当n ≥3时a n +1>a n ;当,n <3时,(n ﹣1)2﹣2<O ,所以当n <3时a n +1<a n . ∴当n =3时a n 取到最小值为f (3)=89 故选:D .5.对于数列{a n },a 1=4,a n +1=f (a n ),n =1,2,…,则a 2020等于( )x 1 2 3 4 5 f (x ) 5 43 12A .2B .3C .4D .5【解答】解:数列{a n },a 1=4,a n +1=f (a n ),n =1,2…,其中f (x )如表所示x 1 2 3 4 5 f (x )54312则a 2=f (4)=1,a 3=f (1)=5,a 4=f (5)=2,a 5=f (2)=4,…,数列是周期数列,周期为4, ∴a 2020=a 504×4+4=a 4=2. 故选:A .6.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且满足f (32−x )=f (x ),f (﹣2)=﹣2,数列{a n }满足a 1=﹣1,且S n n=2a n n+1(S n 为{a n }的前n 项和),则f (a 5)=( ) A .﹣3B .﹣2C .3D .2【解答】解:∵函数f (x )是奇函数 ∴f (﹣x )=﹣f (x ) ∵f (32−x )=f (x ),∴f (32−x )=﹣f (﹣x )∴f (3+x )=f [32−(−32−x )]=﹣f (32+x )=﹣f [32−(﹣x )]=﹣f (﹣x )=f (x )∴f (x )是以3为周期的周期函数.∵数列{a n }满足a 1=﹣1,且S n n=2a n n+1,∴a 1=﹣1,且S n =2a n +n , ∴a 5=﹣31,∴f (a 5)=f (﹣31)=f (2)=f (2)=﹣f (﹣2)=3 故选:C .7.已知{a n }满足a n +1=a n +2n ,且a 1=32,则a n n的最小值为( )A .8√2−1B .525C .373D .10【解答】解:∵a 1=32,a n +1﹣a n =2n ,∴n ≥2时,a n =(a n ﹣a n ﹣1)+(a n ﹣1﹣a n ﹣2)+……+(a 2﹣a 1)+a 1 =2(n ﹣1)+2(n ﹣2)+……+2×1+32 =2×(n−1)(n−1+1)2+32=n 2﹣n +32, 则a nn=n +32n +1. 令f (x )=x +32x+1,(x ≥1). f ′(x )=1−32x 2=(x+4√2)(x−4)x 2. 可得:函数f (x )在[1,4 √2)内单调递减;在(4√2,+∞)上单调递增. 又f (5)=6+325=625=12+25,f (6)=7+326=373=12+13. ∴n =6时,则a n n 取得最小值373.故选:C .8.在数列{a n }中,a 1=2,其前n 项和为S n .若点(S n n,S n+1n+1)在直线y =2x ﹣1上,则a 9等于( )A .1290B .1280C .1281D .1821【解答】解:点(S n n,S n+1n+1)在直线y =2x ﹣1上,可得S n+1n+1−1=2(S n n−1),又S 11−1=a 1−1=1,所以数列{S n n−1}是首项为1公比为2的等比数列,所以S n n−1=2n ﹣1,得S n =n (1+2n ﹣1),当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=(n +1)2n ﹣2+1,故 a 9=10×128+1=1281. 故选:C .9.已知函数y =f (x )为定义域R 上的奇函数,且在R 上时单调递增函数,函数g (x )=f (x ﹣3)+x ,数列{a n }为等差数列,且公差不为0,若g (a 1)+g (a 2)+…+g (a 9)=27,则a 1+a 2+…+a 9=( ) A .18B .9C .27D .81【解答】解:根据题意,函数y =f (x )为定义域R 上的奇函数, 则有f (﹣x )+f (x )=0, ∵g (x )=f (x ﹣3)+x ,∴若g (a 1)+g (a 2)+…+g (a 9)=27,即f (a 1﹣3)+a 1+f (a 2﹣3)+a 2+…+f (a 9﹣3)+a 9=27, 即f (a 1﹣3)+f (a 2﹣3)+…+f (a 9﹣3)+(a 1+a 2+…+a 9)=27, f (a 1﹣3)+f (a 2﹣3)+…+f (a 9﹣3))+(a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3)=0, 又由y =f (x )+x 为定义域R 上的奇函数,且在R 上是单调函数, 且(a 1﹣3)+(a 9﹣3)=(a 2﹣3)+(a 8﹣3)=…=2(a 5﹣3), a 5﹣3=0,即a 1+a 9=a 2+a 8=…=2a 5=6, 则a 1+a 2+…+a 9=9a 5=27; 故选:C .10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (2﹣x )=f (x ),f (﹣1)=1,数列{a n }满足a 1=﹣1,S n n=2a n n+1(n ∈N +),其中S n 是数列{a n }的前n 项和,则f (a 5)+f (a 6)=( )A .﹣2B .﹣1C .0D .1【解答】解:∵数列{a n }满足a 1=﹣1,S n n=2a n n+1(n ∈N +),其中S n 是数列{a n }的前n 项和,∴S n =2a n +n ,a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n +n ﹣2a n ﹣1﹣(n ﹣1), 整理,得a n −1a n−1−1=2,∵a 1﹣1=﹣2,∴{a n ﹣1}是首项为﹣2,公差为2的等比数列, ∴a n ﹣1=﹣2×2n ﹣1,∴a n =1﹣2×2n ﹣1.∴a 5=1﹣2×24=﹣31,a 6=1−2×25=−63,∵f (2﹣x )=f (x ),f (﹣1)=1, ∴f (x )关于直线x =1对称,又∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数 ∴函数f (x )是一个周期函数,且T =4, ∴f (a 5)+f (a 6)=f (﹣31)+f (﹣63)=f (32﹣31)+f (64﹣63)=f (1)+f (1)=﹣f (﹣1)﹣f (﹣1)=﹣1﹣1=﹣2. 故选:A .11.已知定义域为正整数集的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+1,f (1)=1,则数列{(﹣1)n f (n )f (n +1)}(n ∈N *)的前99项和为( ) A .﹣19799B .﹣19797C .﹣19795D .﹣19793【解答】解:令x =n ,y =1,可得f (n +1)=f (n )+f (1)+1, 则f (n +1)﹣f (n )=f (1)+1=2,则数列{f (n )}的首项为1,公差为2的等差数列, 从而f (n )=2n ﹣1,则(﹣1)n f (n )f (n +1)=(﹣1)n (4n 2﹣1)=4(﹣1)n n 2﹣(﹣1)n , 则{(﹣1)n f (n )f (n +1)}(n ∈N *)的前99项和为 4(﹣12+22﹣32+42+…﹣972+982﹣992)﹣(﹣1), =4[(1+2)+(3+4)+…+(97+98)﹣992]+1, =4[(1+98)×982−992]+1,=4×99×(49﹣99)+1, =﹣19799, 故选:A .12.已知函数y =f (x )的定义域为R ,当x <0时,f (x )>1,且对任意的实数x ,y ∈R ,f (x )f (y )=f (x +y )恒成立,若数列{a n }满足f (a n +1)f (11+a n)=l (n ∈N *)且a 1=f (0),则下列结论成立的是( )A .f (a 2015)>f (a 2018)B .f (a 2018)>f (a 2019)C .f (a 2017)>f (a 2018)D .f (a 2015)>f (a 2017)【解答】解:对任意的实数x ,y ∈R ,f (x )f (y )=f (x +y )恒成立, 取x =y =0,则f (0)f (0)=f (0),解得f (0)=0,或f (0)=1. 取f (0)=1.取y=﹣x<0,则f(x)f(﹣x)=1,∴f(x)=1f(−x)<1,设x1<x2,则f(x1﹣x2)=f(x1)•f(﹣x2)=f(x1)f(x2)>1,∴f(x1)>f(x2).∴函数f(x)在R上单调递减.∵数列{a n}满足f(a n+1)f(11+a n)=l=f(0).∴a n+1+11+a n=0,∵a1=f(0)=1,∴a2=−12,a3=﹣2,a4=1,a5=−12,…….∴a n+3=a n.∴a2015=a3×671+2=a2=−12,a2017=a3×672+1=a1=1.a2018=a3×672+2=a2=−12,a2019=a3×672+3=a3=﹣2.∴f(a2015)=f(−12)>1,f(a2017)=f(1)<1.∴f(a2015)>f(a2017).而f(a2015)=f(a2018),f(a2017)<1<f(a2018),f(a2018)=f(−12)<f(a2019)=f(﹣2),因此只有:D正确.故选:D.13.已知函数f(n)=n2sin(2n−32π),且a n=f(n),则a1+a2+a3+…+a200=()A.20100B.20500C.40100D.10050【解答】解:可得f(2k)=4k2sin(−32π)=4k2,f(2k﹣1)=(2k﹣1)2sin(−5π2)=﹣(2k﹣1)2.k∈N*,∴且a n=f(n)={n2,(n为偶数)−n2,(n为奇数),∴a1+a2+a3+…+a200=(22﹣12)+(32﹣22)+(42﹣32)+…+(2002﹣1992)=1+2+3+…+200=20100.故选:A.14.已知函数f(x)=4x2x−1,M=f(1n)+f(2n)+…+f(nn)(n∈N*,且n为奇数),则M等于()A.2n﹣1B.n−12C.2n+2D.2n+12【解答】解:∵f (x )=4x2x−1, ∴f (x )+f (1﹣x )=4x2x−1+4(1−x)2(1−x)−1 =4x 2x−1+4−4x 1−2x =4x 2x−1−4−4x 2x−1=4(2x−1)2x−1=4. ∴M =f (1n )+f (2n )+…+f (nn )=4×n−12+f (1)=2n ﹣2+4=2n +2. 故选:C .15.已知各项都为正数的等比数列{a n },满足a 3=2a 1+a 2,若存在两项a m ,a n ,使得√a m a n =4a 1,则1m+4n的最小值为( ) A .2B .32C .13D .1【解答】解:各项都为正数且公比为q 的等比数列{a n }, ∵a 3=2a 1+a 2,∴a 1⋅q 2=2a 1+a 1⋅q 即q 2=2+q ,解得q =2或﹣1(舍去﹣1). ∵存在两项a m ,a n ,使得√a m a n =4a 1, ∴得a 21•2m +n ﹣2=16a 21,∴m +n =6. 则1m+4n=16(m +n )(1m +4n)=16(1+4m n +n m +4)≥16(2√4m n ⋅n m +5)=32. 当且仅当m =1,n =2时,等号成立. 则1m+4n的最小值为32.故选:B .16.已知数列{a n }中,a 1=2,n •a n +1﹣(n +1)•a n =1,n ∈N *.若对于任意的n ∈N *,不等式a n+1n+1<a 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(3,+∞)B .(﹣∞,3)C .[3,+∞)D .(﹣∞,3]【解答】解:数列{a n }中,a 1=2,n •a n +1﹣(n +1)•a n =1,n ∈N *. 可得a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1,由a 22−a 11=1−12,a 33−a 22=12−13,a 44−a 33=13−14,…,a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1,上面各式相加可得, 得a n+1n+1−a 11=1−1n+1, 则a n+1n+1=3−1n+1<3,由对于任意的n ∈N *,不等式a n+1n+1<a 恒成立,可得a ≥3,即有a 的取值范围是[3,+∞). 故选:C .17.已知F (x )=f (x +12)﹣1是R 上的奇函数,a n =f (0)+f (1n)+f (2n)+…+f (n−1n)+f (1)(n ∈N *),则数列{a n } 的通项公式为( ) A .a n =n ﹣1B .a n =nC .a n =n +1D .a n =n 2【解答】解:F (x )=f (x +12)﹣1在R 上为奇函数 故F (﹣x )=﹣F (x ),代入得:f (12−x )+f (12+x )=2,(x ∈R )当x =0时,f (12)=1.令t =12−x ,则12+x =1﹣t , 上式即为:f (t )+f (1﹣t )=2. 当n 为偶数时:a n =f (0)+f (1n)+f (2n )+…+f (n−1n)+f (1)(n ∈N *)=[f (0)+f (1)]+[f (1n)+f (n−1n)]+…+[f (12n−12)+f (12n+12)]+f (12)=2×n 2+1 =n +1. 当n 为奇数时:a n =f (0)+f (1n)+f (2n )+…+f (n−1n)+f (1)(n ∈N *)=[f (0)+f (1)]+[f (1n)+f (n−1n)]+…+[f (n−12n)+f (n+12n)]=2×n+12=n +1.综上所述,a n =n +1. 故选:C .填空题31.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且满足f (3﹣x )=f (x ),f (﹣1)=3,数列{a n }满足a 1=1,且a n =n (a n +1﹣a n )(n ∈N *),则f (a 36)+f (a 37)= ﹣3【解答】解:∵函数f (x )是奇函数,且满足f (3﹣x )=f (x ),f (﹣1)=3, ∴f (x )=f (3﹣x )=﹣f (x ﹣3),即f (x +3)=﹣f (x ),则f (x +6)=﹣f (x +3)=f (x ), 即函数f (x )是周期为6的周期函数,由数列{a n }满足a 1=1且a n =n (a n +1﹣a n ) (n ∈N *), 则a n =na n +1﹣na n , 即(1+n )a n =na n +1, 则a n+1a n =1+n n , 则a 2a 1=21,a 3a 2=32,⋯a nan−1=nn−1,等式两边同时相乘得a n a 1=n ,即a n =na 1=n ,即数列{a n }的通项公式为a n =n ,则f (a 36)+f (a 37)=f (36)+f (37)=f (0)+f (1), ∵f (x )是奇函数,∴f (0)=0, ∵f (﹣1)=3,∴﹣f (1)=3, 即f (1)=﹣3,则f (a 36)+f (a 37)=f (36)+f (37)=f (0)+f (1)=0﹣3=﹣3, 故答案为:﹣3.32.对于函数f (x )和实数M ,若存在m ,n ∈N +,使f (m )+f (m +1)+f (m +2)+…+f (m +n )=M 成立,则称(m ,n )为函数f (x )关于M 的一个“生长点”.若(1,2)为函数f (x )=cos (π2x +π3)关于M的一个“生长点”,则M = −12 ;若f (x )=2x +1,M =105,则函数f (x )关于M 的“生长点”共有3 个.【解答】解:若(1,2)为函数f (x )=cos (π2x +π3)关于M 的一个“生长点”,则M =f (1)+f (2)+f (3)=cos (π2+π3)+cos (π2×2+π3)+cos (π2×3+π3)=﹣sin π3−cos π3+cos (−π6)=−√32−12+√32=−12,若f (x )=2x +1,M =105, 则f (m )是公差为2的等差数列,则由f (m )+f (m +1)+f (m +2)+…+f (m +n )=105 得(n +1)(2m +1)+(n+1)⋅n2×2=105 即(n +1)(2m +1)+n (n +1)=105, 即(n +1)(2m +n +1)=105,∵105=1×105=3×35=5×21=7×15,∴由{n +1=32m +n +1=35得{n =2m =16,此时“生长点”为(2,16),由{n +1=52m +n +1=21得{n =4m =8,此时“生长点”为(4,8), 由{n +1=72m +n +1=15得{n =6m =4,此时“生长点”为(6,4), 故函数f (x )关于M 的“生长点”共有3个, 故答案为:−12,333.如果函数f (x )满足:对任意实数a ,b 都有f (a +b )=f (a )f (b ),且f (1)=1,则f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)= 2017【解答】解:∵f (x )满足对任意的实数a ,b 都有f (a +b )=f (a )•f (b ),且f (1)=2, ∴f (a +1)=f (a )•f (1)=f (a ), ∴f(a+1)f(a)=1,∴f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)=1×2017=2017.故答案为:2017.。
函数考试题库及答案大全

函数考试题库及答案大全一、选择题1. 下列哪个选项是函数的定义?A. 函数是一种数学工具B. 函数是一种关系C. 函数是一种映射D. 函数是一种运算答案:C2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是什么?A. {x | x > 0}B. RC. {x | x < 0}D. {x | x = 2}答案:B3. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最小值是多少?A. 0B. 1C. 3D. 4答案:B二、填空题1. 若函数f(x) = 3x - 5,则f(2) = ____。
答案:12. 函数y = x^3 - 6x + 8的导数是 ____。
答案:3x^2 - 63. 函数y = sin(x)的反函数是 ____。
答案:arcsin(y)三、解答题1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求函数的极值点。
答案:函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2,因此函数的极小值点为x = 2。
2. 求函数y = 2x - 3在x = 1处的切线方程。
答案:函数y = 2x - 3的导数为y' = 2,当x = 1时,y = -1,切线的斜率为2,因此切线方程为y + 1 = 2(x - 1),即y = 2x - 3。
3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求函数的单调区间。
答案:函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x,令f'(x) > 0,解得x < 0或x > 2,因此函数在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增;令f'(x) < 0,解得0 < x < 2,因此函数在(0, 2)上单调递减。
四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3 + 2x是奇函数。
答案:由于f(-x) = (-x)^3 + 2(-x) = -x^3 - 2x = -(x^3 + 2x) = -f(x),所以函数f(x) = x^3 + 2x是奇函数。
函数(一)综合测试题

函数(一)综合测试题一、选择题1、若点A(-3,n)在x轴上,则点B(n-1,n+1)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、下列各曲线中表示y是x的函数的是()A.B.C.D.3、在直角坐标系中,点M,N在同一个正比例函数图象上的是()A.M(2,-3),N(-4,6)B.M(-2,3),N(4,6)C.M(-2,-3),N(4,-6)D.M(2,3),N(-4,6)4、已知点A(a,1)与点A′(-5,b)是关于原点O的对称点,则a+b的值为()A.1 B.5 C.6 D.45、线段MN是由线段EF经过平移得到的,若点E(-1,3)的对应点M(2,5),则点F(-3,-2)的对应点N的坐标是()A.(-1,0)B.(-6,0)C.(0,-4)D.(0,0)6、一次函数y=kx-(2-b)的图象如图所示,则k和b的取值范围是()A.k>0,b>2 B.k>0,b<2 C.k<0,b>2 D.k<0,b<27、当k>0时,反比例函数y= kx和一次函数y=kx+2的图象大致是()A.A.C.D.8、已知反比例函数y= 12mx的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0<x2时,有y1<y2,则m的取值范围是()A.m<0 B.m>0 C.m<12D.m>129、如图,经过点B(-2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(-1,-2),4x+2<kx+b<0的解集为()A.x<-2 B.-2<x<-1 B.-2<x<-1 D.x>-110、如图,在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ,动点P 从点A 出发,沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止(不含点A 和点B ),则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是( )A .B .C .D .二、填空题 11、在函数y=3x -+12x -中,自变量x 的取值范围是____ 12、若点A (1,-3),B (m ,3)在同一反比例函数的图象上,则m 的值是____13、如图,若在象棋棋盘上建立直角坐标系,使“帅”位于点(-3,-2),“炮”位于点(-2,0),则“兵”位于的点的坐标为____14、如图,A 、B 两点在双曲线y=4x上,分别经过A 、B 两点向轴作垂线段,已知S 阴影=1,则S 1+S 2=____15、已知关系x ,y 的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为(1,-1),则a=____,b=___16、已知m 是整数,且一次函数y=(m+4)x+m+2的图象不过第二象限,则m=____17、已知函数y=ax 和y=4a x-的图象有两个交点,其中一个交点的横坐标为1,则两个函数图象的交点坐标为____18、如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头所示方向,每次移动1个单位,依次得到点P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,-1),P5(2,-1),P6(2,0),…,则点P60的坐标为____三、解答题19、常用的确定物体位置的方法有两种.如图,在4×4个边长为1的正方形组成的方格中,标有A,B两点.请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置20、已知y关于x的一次函数y=(2m2-32)x3-(n-3)x2+(m-n)x+m+n.(1)若该一次函数的y值随x的值的增大而增大,求该一次函数的表达式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象;(2)若该一次函数的图象经过点(-2,13),求该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积21、如图,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少22、如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,点A(2,5)在反比例函数y=k x的图象上,过点A的直线y=x+b交反比例函数y=kx的图象于另一点B.(1)求k和b的值;(2)求△OAB的面积23、心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分):(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?(2)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目参考答案一、选择题1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、C8、C9、B10、B二、填空题11、x≥312、-113、(-5,1),14、615、a=2,b=316、:-3或-217、(1,2)和(-1,-2).18、(20,0).三、解答题19、解:方法1:用有序实数对(a,b)表示.比如:以点A为原点,水平方向为x轴,建立直角坐标系,则B(3,3).方法2:用方向和距离表示.比如:B点位于A点的东北方向(北偏东45°等均可),距离A点3 2处20、解:(1)∵y关于x的一次函数y=(2m2-32)x3-(n-3)x2+(m-n)x+m+n,∴2m2-32=0,n-3=0,解得:m=±4,n=3,又∵该一次函数的y值随x的值的增大而增大,∴m-n>0,则m=4,n=3,∴该一次函数的表达式为:y=x+7,如图所示:;(2)∵该一次函数的图象经过点(-2,13),∴y=-7x-1,如图所示:,当x=0,则y=-1,当y=0,则x=-17,故该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×17=11421、解:(1)∵在矩形OABC中,OA=3,OC=2,∴B(3,2),∵F为AB的中点,∴F。
高中函数综合试题及答案

高中函数综合试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x = 2处的导数是()。
A. 5B. 7C. 9D. 112. 已知函数y = 3x - 2,当x = 1时,y的值是()。
A. 1B. 0C. -1D. -23. 函数y = x^3 - 2x^2 + 3x + 1的极小值点是()。
A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 0二、填空题4. 若f(x) = x^2 + 2x + 1,求f(-1)的值为______。
5. 函数g(x) = 1/x的值域是______。
三、解答题6. 求函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的单调区间。
7. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求f(x)的最小值。
四、证明题8. 证明函数f(x) = x^3在R上是增函数。
五、应用题9. 某工厂生产一种产品,其成本函数为C(x) = 2x + 500,其中x是生产数量。
求当生产数量为多少时,单位成本最低。
六、综合题10. 已知函数f(x) = 2x - 3,g(x) = x^2 + 1。
求f(g(x))的表达式,并讨论其单调性。
答案:1. B. 7 (导数为4x - 3,代入x = 2得7)2. A. 1 (代入x = 1得3x - 2 = 1)3. A. x = 1 (求导得3x^2 - 4x,令导数为0得x = 4/3或0,检验得x = 4/3为极小值点)4. 2 (代入x = -1得1 - 2 + 1 = 2)5. (0, +∞) ∪ (-∞, 0) (因为分母不能为0,所以值域不包括0)6. 单调增区间为(3, +∞),单调减区间为(-∞, 3)(求导得3x^2 -12x + 9,令导数大于0得x > 3,令导数小于0得x < 3)7. 最小值为0(当x = 2时,f(x) = 0)8. 证明:任取x1,x2 ∈ R,且x1 < x2,有f(x2) - f(x1) = (x2 - x1)(x2^2 + x1x2 + x1^2) > 0,故f(x)在R上是增函数。
初中函数综合试题(卷)(附答案解析解析)

二次函数与其他函数的综合测试题一、选择题:(每小题3分,共45分)1.已知h 关于t 的函数关系式为221gt h,(g 为正常数,t 为时间),则函数图象为()(A )(B )(C )(D )2.在地表以下不太深的地方,温度y (℃)与所处的深度x (k m )之间的关系可以近似用关系式y =35x +20表示,这个关系式符合的数学模型是()(A )正比例函数(B )反比例函数.(C )二次函数(D )一次函数3.若正比例函数y =(1-2m )x 的图像经过点A (1x ,1y )和点B (2x ,2y ),当1x <2x 时1y >2y ,则m 的取值范围是()(A )m <0(B )m >0(C )m <21(D )m >214.函数y = k x + 1与函数xyk 在同一坐标系中的大致图象是()OxyOxyOxyOxy(A )(B )(C )(D )5.下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数c xc aax y )(2与一次函数y =a x +c 的大致图像,有且只有一个是正确的,正确的是()(A )(B )(C )(D )6.抛物线1)1(22x y的顶点坐标是()A .(1,1)B .(1,-1)C .(-1,1)D .(-1,-1)7.函数y =a x +b 与y =a x 2+bx +c 的图象如右图所示,则下列选项中正确的是()A . a b >0, c>0 B. a b <0, c>0 C . a b >0, c<0 D . a b <0, c<08.已知a ,b ,c 均为正数,且k=bac cab cba ,在下列四个点中,正比例函数kxy 的图像一定经过的点的坐标是()A .(l ,21) B .(l ,2) C .(l ,-21) D.(1,-1)9.如图,在平行四边形ABCD 中,AC=4,B D=6,P 是BD 上的任一点,过P 作EF ∥AC ,与平行四边形的两条边分别交于点E ,F .设BP =x ,EF =y ,则能反映y 与x 之间关系的图象为……………()10.如图4,函数图象①、②、③的表达式应为()(A )x y 25,2x y,xy 4(B )x y 25,2x y ,x y 4(C )x y25,2xy,xy4A BCDEFP(D )x y25,2x y,xy411.张大伯出去散步,从家走了20分钟,到一个离家900米的阅报亭,看了10分钟报纸后,用了15分钟返回到家,下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系()12.二次函数y =x 2-2x +2有()A .最大值是 1B .最大值是 2C .最小值是 1 D.最小值是 213.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是反比例函数y =x2图象上的两点,若x 1<x 2<0,则y 1与y 2之间的关系是()A .y 2< y 1<0B .y 1< y 2<0C .y 2> y 1>0D .y 1> y 2>0 14.若抛物线y =x 2-6x +c 的顶点在x 轴上,则c 的值是 ( )A . 9B . 3C .-9D . 015.二次函数2332xxy 的图象与x 轴交点的个数是()A .0个B .1个C .2个D .不能确定二、填空题:(每小题3分,共30分)1.完成下列配方过程:122px x=________________22px x=____________2x;2.写出一个反比例函数的解析式,使它的图像不经过第一、第三象限:_________.3.如图,点P 是反比例函数2y x上的一点,P D ⊥x 轴于点D ,则△P OD 的面积为;4、已知实数m 满足022mm,当m =___________时,函数11m x m xym的图象与x 轴无交点.5.二次函数)1()12(22m x m x y 有最小值,则m =_________;6.抛物线322xxy向左平移5各单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为___________;7.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件可盈利40元.为了扩大销售量,增加盈利,采取了降价措施,经调查发现如果每件计划降价1元,那么商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元,则每件衬衫应降价__________;8.某学生在体育测试时推铅球,千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分,如果这名学生出手处为A (0,2),铅球路线最高处为B (6,5),则该学生将铅球推出的距离是________;9.二次函数)0(2a c bxaxy的图像与x 轴交点横坐标为-2,b ,图像与y 轴交点到圆点距离为3,则该二次函数的解析式为___________;10.如图,直线)0(2k kxy与双曲线xk y在第一象限内的交点R ,与x 轴、y 轴的交点分别为P 、Q .过R 作RM ⊥x 轴,M 为垂足,若△OPQ 与△PRM 的面积相等,则k 的值等于.三、解答题:(1-3题,每题7分,计21分;4-6题每题8分,计24分;本题共45分)1已知二次函数c bx xy 2的图像经过A (0,1),B (2,-1)两点.(1)求b 和c 的值;(2)试判断点P (-1,2)是否在此函数图像上?2.已知一次函数y kx k 的图象与反比例函数8yx的图象交于点P (4,n ).(1)求n 的值.(2)求一次函数的解析式.3.看图,解答下列问题.(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式;x第3题图y P DO(2)通过配方,求该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)用平滑曲线连结各点,画出该函数图象.4.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2)(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x的取值范围.5.某工厂设门市部专卖某产品,该产品每件成本40元,从开业一段时间的每天销售统计中,随机抽取一部分情况如下表所示:每件销售价(元)50 60 70 75 80 85 …每天售出件数300 240 180 150 120 90 …假设当天定的售价是不变的,且每天销售情况均服从这种规律.(1)观察这些统计数据,找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系,并写出该函数关系式.(2)门市部原设有两名营业员,但当销售量较大时,在每天售出量超过168件时,则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行,设营业员每人每天工资为40元.求每件产品应定价多少元,才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额,其它开支不计)6.如图,一单杠高 2.2米,两立柱之间的距离为 1.6米,将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线状.(1)(2)(1)一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处,其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到地面的距离;(2)为供孩子们打秋千,把绳子剪断后,中间系一块长为0.4米的木板,除掉系木板用去的绳子后,两边的绳长正好各为2米,木板与地面平行.求这时木板到地面的距离(供选用数据:36.3≈1.8,64.3≈1.9,36.4≈2.1)7.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.(Ⅰ)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=5,试求m的值;(Ⅱ)设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且△MNC的面积等于27,试求m 的值.参考答案:一、选择题: 1.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.A 7.D 8.A9.A 10.C 11.D 12.C 13.C 14.A 15.C 二、填空题:1.2p ,21p ,p ,21p.2y =x2 3. 1 4.2或-1 5.45 6.1082x xy7.10元或20元8.6+52 9.3412xxy或3412x xy 10.22三、解答题:1.2.解:(1)由题意得:84n,2.n (2)由点P (4,2)在ykxk 上,24,kk 25k.一次函数的解析式为2255yx.3.解:(1)由图可知A (-1,-1),B (0,-2),C (1,1)设所求抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c依题意,得121ab c c abc,,解得212a b c,,∴y =2x 2+x -2.(2)y =2x 2+x -2=2(x +41)2-817∴顶点坐标为(-41,817),对称轴为x =-41(3)图象略,画出正确图象4.解:(1)函数y =x 2+bx -1的图象经过点(3,2)∴9+3b -1=2,解得b =-2 .∴函数解析式为y =x 2-2x -1(2)y =x 2-2x -1=(x -1)2-2 ,图象略,图象的顶点坐标为(1,-2)(3)当x =3 时,y =2,根据图象知,当x ≥3时,y ≥2∴当x >0时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.5.解:(1)由统计数据知,该函数关系为一次函数关系,每天售出件数y 与每件售价x 之间的函数关系为:x y 6600.(2)当168y时,6006168x ,解得:72x;设门市部每天纯利润为z①当72x时,168y52807063406600402xx x z当70x时,5280maxz②当72x 时,168y 53207062406600402x x x z 70x 时,y 随x 的增大而减少72x时,52965320262max z 5280529672x当时,纯利润最大为5296元.6.(1)(2)解:(1)如图,建立直角坐标系,设二次函数解析式为y =ax 2+c∵D (-0.4,0.7),B (0.8,2.2),∴.=+,=+2.264.07.016.0c a c a ∴.=,=2.0528c a ∴绳子最低点到地面的距离为0.2米.(2)分别作EG ⊥AB 于G ,FH ⊥AB 于H ,AG =21(AB -EF )=21(1.6-0.4)=0.6.在Rt △AGE 中,AE =2,EG =22AG AE -=226.02=64.3≈1.9.∴ 2.2-1.9=0.3(米).∴木板到地面的距离约为0.3米.7.解: (I)设点A(x 1,0),B (x 2,0) ,则x 1,x 2是方程x 2-mx +m -2=0的两根.∵x 1 +x 2=m ,x 1·x 2 =m-2 <0 即m <2;又AB =∣x 1 x 2∣=121245x x x x 2(+),∴m 2-4m+3=0 .解得:m =1或m =3(舍去) ,∴m 的值为 1 .(II )设M (a ,b ),则N (-a ,-b ) .∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b ama m b L L ①②①+②得:-2a 2-2m +4=0 .∴a 2=-m +2.∴当m <2时,才存在满足条件中的两点M 、N .∴2am .这时M 、N 到y 轴的距离均为2m ,又点C 坐标为(0,2-m ),而S △M N C = 27 ,∴2×12×(2-m )×2m =27 .∴解得m =-7 .。
初中函数综合试题(卷)(附答案解析)

初中函数综合试题(卷)(附答案解析)一、单选题1.函数32x y x +=-中,自变量x 的取值范围是( ) A .3x >- B .3x ≥-且2x ≠ C .2x ≠ D .3x >-且2x ≠2.将抛物线y =x 2向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线是( )A .y =(x +3)2﹣2B .y =(x +3)2+2C .y =(x ﹣3)2﹣2D .y =(x ﹣3)2+2 3.二次函数y =2x 2﹣1的图象的顶点坐标是( )A .(﹣1,0)B .(1,0)C .(0,1)D .(0,﹣1) 4.在直角坐标系的x 轴的负半轴上,则点P 坐标为( )A .()4,0-B .()0,4C .()0,3-D .()1,05.已知(﹣3,y 1),(﹣2,y 2),(1,y 3)是二次函数y =﹣2x 2﹣8x +m 图象上的点,则( ) A .y 2>y 1>y 3 B .y 2>y 3>y 1 C .y 1<y 2<y 3 D .y 3<y 2<y 1 6.点A (3,-5)在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.抛物线22y x =-的图象可能是( )A .B .C .D .8.下列的各点中,在反比例函数5y x=图象上的点是( ) A .()2,4B .()1,5C .1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭9.下列各点中,在反比例函数2y x=-图象上的是-( )A .(21),B .233⎛⎫⎪⎝⎭, C .(21)--, D .(12)-,10.一次函数 y =-2x +2 经过点(a ,2)则 a 的值为( ) A .-1 B .0C .1D .211.下列二次函数中,对称轴是直线1x =的是( )A .21y x =+B .()221y x =+C .()21y x =-+D .()231y x =--12.在直角坐标系中,已知(1,0)A 、(1,2)B --、(2,2)C -三点坐标,若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形,那么D 的坐标不可以是( ) A .(2,0)- B .(0,4) C .(4,0) D .(0,4)- 13.点P 在第四象限,它到x 轴,y 轴的距离分别为2,5,则点P 的坐标为( )A .()2,5B .()2,5-C .()5,2-D .()5,2-14.点(3,2)在反比例函数y =kx(x >0)上,则下列不可能在该函数图像上的点是( ) A .(2,3)B .(﹣2,﹣3)C .(2,﹣3)D .(﹣3,﹣2)15.亮亮每天都要坚持体育锻炼,某天他跑步到离家较近的秀湖公园,看了一会喷泉表演然后慢慢走回家,如图能反映当天亮亮离家的距离y 随时间x 变化的大致图象是( )A .B .C .D .二、填空题16.已知y 关于x 的函数()224y m x m =++-是正比例函数,则m 的值是______.17.在平面直角坐标系中,一次函数y =kx +b 和y =mx +n 相交于点(2,﹣1),则关于x ,y 的方程组y kx by mx n=+⎧⎨=+⎩的解是______.18.若y 关于x 的函数y =﹣7x +2+m 是正比例函数,则m =_____. 19.抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x 先向左平移2个单位,再向下平移___________个单位得到的.20.抛物线231y ax x =+-的顶点在x 轴上,那么=a ______.三、解答题21.已知抛物线()220y ax bx b b a =++-≠.(1)若b =2a ,求抛物线的对称轴; (2)若a =1,且抛物线的对称轴在y 轴右侧. ①当抛物线顶点的纵坐标为1时,求b 的值;②点()13,y -,()21,y -,()33,y 在抛物线上,若132y y y >>,请直接写出b 的取值范围. 22.海鲜市场某销售商销售一种成本为6元/千克的海产品,市场调查反映,若按12元/千克销售,每天可售出200千克,如调整价格,销售价每降低1元,每天可多售出50千克.设每千克的售价为()12x x ≤元,每天的销售量为y 千克. (1)求y 与x 之间的关系式;(2)当售价定为多少元时,每天能获得最大利润?并求出最大利润. 23.已知二次函数2361y x x =-++. (1)用配方法化成()2y a x h k =-+的形式; (2)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.24.已知抛物线y =ax 2+bx ﹣1经过点A (1,2)、B (﹣3,2)两点. (1)求该抛物线的解析式.(2)当﹣2≤x ≤2时,请直接写出y 的取值范围.25.在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数图像的顶点为()1,2A -,且经过()3,0B -. (1)求二次函数的解析式;(2)将该二次函数图像向右平移几个单位,可使平移后所得图像经过坐标原点?并直接写出平移后所得图像与x 轴的另一个交点的坐标.【参考答案】一、单选题 1.B 2.D 3.D 4.A 5.A 6.D 7.A 8.B 9.D 10.B 11.D12.B 13.D 14.C 15.B 二、填空题 16.217.21x y =⎧⎨=-⎩18.﹣2 19.320.94- 三、解答题21.(1)抛物线的对称轴为直线x =-1 (2)①23b =-;②-2<b <0.【解析】 【分析】(1)根据抛物线对称轴公式求解即可;(2)①先根据抛物线对称轴在y 轴右侧求出0b <,再根据抛物线顶点坐标公式求解即可;②根据抛物线的增减性以及对称性求解即可. (1)解:抛物线的对称轴为直线2b x a=-, ∵b =2a , ∴x =-1,∴抛物线的对称轴为直线x =-1. (2)解:①当a =1时,抛物线解析式为22y x bx b b =++-, ∴抛物线的对称轴为直线2bx =-,∵抛物线的对称轴在y 轴右侧, ∴02b->, ∴0b <,∵该抛物线顶点的纵坐标为1, ∴()22414b b b --=,解得:123b =-,22b =,又∵b <0, ∴23b =-.②∵抛物线对称轴在y 轴右侧,且132y y y >>,抛物线对称轴为直线2bx =-,且抛物线开口向上∴13022b -+<-<, ∴20b -<<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,熟知二次函数的增减性,对称轴公式,顶点坐标公式是解题的关键. 22.(1)50800y x =-+(2)当售价定为11元,每天能获得最大利润,最大利润为1250元 【解析】 【分析】(1)根据题意即可直接列出关于x 、y 的等式,再整理即可;(2)设每天的利润为w 元,根据题意可列出关于w 、x 的等式,整理,再根据二次函数的性质即可解答. (1)根据题意得:()2001250y x =+-⨯ 整理,得:50800y x =-+∴y 与x 之间的关系为50800y x =-+; (2)设每天的利润为w 元,根据题意得:()()650800w x x =--+ ∴()250111250w x =--+ ∵500-<∴抛物线开口向下,∴当11x =时,有最大利润1250元.答:当售价定为11元,每天能获得最大利润,最大利润为1250元. 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用.根据题意找出等量关系,列出等式是解题关键.23.(1)()2314y x =--+(2)对称轴为1x =,顶点坐标为()1,4 【解析】【分析】(1)利用完全平方公式进行配方即可; (2)依据配方后的解析式即可得到结论. (1)解:()22361314y x x x =-++=--+. (2) 解:()2314y x =--+∴对称轴为1x =,顶点坐标为()1,4【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ,掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键. 24.(1)y =x 2+2x ﹣1 (2)﹣2≤y ≤7 【解析】 【分析】(1)把A 点和B 点坐标代入y =ax 2+bx ﹣1得到关于a 、b 的方程组,再解方程组可确定抛物线解析式;(2)利用配方法得到抛物线的对称轴为直线x =﹣1,顶点坐标为(﹣1,﹣2),利用二次函数的性质,x =﹣1时,y 的值最小,而x =2时y =7,从而得到y 的取值范围. (1)将A (1,2)、B (﹣3,2)代入y =ax 2+bx ﹣1,得129312a b a b +-=⎧⎨--=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩, ∴抛物线的解析式为y =x 2+2x ﹣1; (2)∵y =x 2+2x ﹣1=(x +1)2﹣2,∴抛物线的对称轴为直线x =﹣1,顶点坐标为(﹣1,﹣2), 当x =2时,y =(2+1)2﹣2=7,所以当﹣2≤x ≤2时,y 的取值范围为﹣2≤y ≤7. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式.也考查了二次函数的性质.25.(1)21322y x x =--+(2)()4,0 【解析】 【分析】(1)根据题意设出二次函数的顶点式,然后用待定系数法求解即可;(2)根据题意设出平移后的表达式为()21122y x m =-+-+,将原点()0,0代入即可求出平移后的表达式,当0y =时,即可求出与x 轴的另一个交点的坐标. (1)解:设二次函数的表达式为:()()2102y a x a =+≠+ 将()3,0B -代入得:420a +=解得:12a =-∴()21122y x =-++,即21322y x x =--+; (2)解:设将该二次函数图像向右平移()>0m m 个单位, ∴平移后的表达式为()21122y x m =-+-+, ∵平移后所得图像经过坐标原点,∴将原点()0,0代入得,()2100122m =-+-+,即()21122m -=, 解得:123,1m m ==-(舍去), ∴3m =,∴平移后的表达式为()21222y x =--+, 当0y =时,即()212202x --+=, 解得:120,4x x ==,∴平移后所得图像与x 轴的交点坐标为()0,0和()4,0, ∴平移后所得图像与x 轴的另一个交点的坐标为()4,0. 【点睛】本题考查二次函数图象的平移,待定系数法求二次函数表达式,二次函数与一元二次方程的联系等知识点,牢记相关的知识点是解此类题的关键.。
初中函数综合试题及答案

初中函数综合试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数y=2x+3的图象是一条直线,其斜率k和截距b分别是()A. k=2, b=3B. k=3, b=2C. k=-2, b=3D. k=-3, b=22. 若函数y=x^2-4x+3的最小值是-1,则x的值是()A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数y=-2x+1与y=-x-1的交点坐标是()A. (0,1)B. (1,-1)C. (-1,-3)D. (2,-3)4. 函数y=x+1/x的值域是()A. (-∞,-2]∪[2,+∞)B. (-∞,-1]∪[1,+∞)C. (-∞,0)∪(0,+∞)D. (-∞,-1)∪(1,+∞)5. 函数y=x^3-3x^2+2在区间(1,2)上是()A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增6. 若函数y=x^2+2x-3与x轴有两个交点,则这两个交点的横坐标之和是()A. -2B. 2C. -4D. 47. 函数y=1/x的图象关于()A. 原点对称B. y轴对称C. x轴对称D. 直线y=x对称8. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标是()A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)9. 函数y=2x-1与直线y=3x+2平行的条件是()A. 斜率不相等B. 斜率相等C. 截距不相等D. 截距相等10. 函数y=x^2-4x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是()B. m<4C. m≥4D. m≤4二、填空题(每题3分,共15分)1. 函数y=x^2-6x+8的对称轴是直线x=______。
2. 若函数y=x^2-4x+3的图象向上平移2个单位,则新的函数解析式为y=______。
3. 函数y=-2x+1与y=-x-1的交点坐标是(1,-1),因此函数y=-2x+1的图象经过点______。
4. 函数y=x+1/x在x=1处的导数为______。
高二函数试题及答案

高二函数试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5的图像与x轴的交点坐标是:A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (1/2, 0)D. (0, 0)2. 若函数f(x) = √x + 1的定义域为:A. (-∞, +∞)B. (-1, +∞)C. (0, +∞)D. [1, +∞)3. 函数y = 2^x的反函数是:A. y = log2(x)B. y = log10(x)C. y = log(x)D. y = 1/x4. 若f(x) = x^2 + 2x + 3,则f(-1)的值为:A. 0B. 1C. 2D. 35. 函数y = sin(x)的周期是:A. πB. 2πC. 3πD. 4π答案:1. A 2. C 3. A 4. B 5. B二、填空题(每题3分,共15分)1. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点是______。
2. 若函数g(x) = x^2 - 4x + 3,则g(1) = ______。
3. 函数h(x) = log(x)的定义域是______。
4. 函数y = 1/x的图像关于______对称。
5. 若f(x) = x^2 + bx + c,且f(-1) = 0,f(1) = 2,则b + c =______。
答案:1. x = 3, x = 1 2. 0 3. (0, +∞) 4. 原点 5. 1三、解答题(每题10分,共40分)1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图像是开口向上的抛物线,且与x轴有两个交点,求a、b、c的关系。
解:由于抛物线开口向上,所以a > 0。
又因为与x轴有两个交点,所以判别式Δ = b^2 - 4ac > 0。
2. 已知函数y = 3x - 2的图像经过点(1, 1),求函数的解析式。
解:将点(1, 1)代入函数y = 3x - 2,得1 = 3*1 - 2,验证该点在图像上。
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2011年重庆名校中考数学函数综合试题精练1、(南开中学2008中考模拟)如图,已知抛物线223y x bx c =-++与y 轴交于点C ,与x 轴交与A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),且OA =1,OC =2 (1)求抛物线的解析式及对称轴;(2)点E 是抛物线在第一象限内的一点,且tan 1EOB ∠=,求点E 的坐标;(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得PBE ∆为等腰三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
2.(2008年南开5月模拟)已知,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -和(2,0)B 两点,与y 轴交于(0,2)C -。
(1) 求这条抛物线的解析式和抛物线顶点M 的坐标; (2) 求四边形ABMC 的面积;(3) 在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ,使PAC ∆为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标,若不存在,请说明理由。
(备用图)xx(26题图)3.(一中2009年5月模拟)如图,直线33+=x y 分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点,抛物线L :c bx ax y ++=2的顶点G 在x 轴上,且过(0,4)和(4,4)两点.(1)求抛物线L 的解析式;(2)抛物线L 上是否存在这样的点C ,使得四边形ABGC 是以BG 为底边的梯形,若存在,请求出C 点的坐标,若不存在,请说明理由.(3)将抛物线L 沿x 轴平行移动得抛物线L 1,其顶点为P ,同时将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB,使点D 落在抛物线L 1上. 试问这样的抛物线L 1是否存在,若存在,求出L 1对应的函数关系式,若不存在,说明理由.4.(南开中学2009年5月中考模拟)如图1,矩形OABC 的顶点O 为原点,点E 在AB 上,把CBE ∆沿CE 折叠,使点B 落在OA 边上的点D 处,点A D 、坐标分别为(10,0)和(6,0),抛物线215y x bx c =++过点C B 、. (1)求C B 、两点的坐标及该抛物线的解析式;(2)如图2,长、宽一定的矩形PQRS 的宽1PQ =,点P 沿(1)中的抛物线滑动,在滑动过程中x PQ //轴,且RS 在PQ 的下方,当P 点横坐标为-1时,点S 距离x 轴511个单位,当矩形PQRS 在滑动过程中被x 轴分成上下..两部分的面积比为2:3时,求点P 的坐标; (3)如图3,动点M N 、同时从点O 出发,点M 以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC 按C D O →→的路线运动,点N 以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD 按D C O →→的路线运动,当M N 、两点相遇时,它们都停止运动.设M N 、同时从点O 出发t 秒时,OMN ∆的面积为S .①求出S 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围:②设0S 是①中函数S 的最大值,那么0S = .5.(一中)已知二次函数2y x bx c =++的图象过点A (-3,0)和点B (1,0),且与y 轴交于点C ,D 点在抛物线上且横坐标是 -2。
(1)求抛物线的解析式;(2) 抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PA+PD 的最小值。
(3) 点G 抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点E ,使B 、D 、E 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的E 、G 点坐标;如果不存在,请说明理由。
6(一中). (12分)如图(a)过反比例函数ky x=的图象在第一象限内的任意两点A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为C 、D,连接AO 、BO 和AB ,AC 和OB 的交点为E ,设△AOB 与梯形ACDB 的面积分别为S 1与S 2, (1)试比较S 1与S 2的大小; (2)如图(b),已知直线13y x =与双曲线my x=交于M 、N 点,且点M 的纵坐标为2. ①求m 的值;②若过原点的另一条直线l 交双曲线于P 、Q 两点(P 点在第一象限),若由M 、N 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为64,求P 点的坐标。
7.(一中)如图,在平面直角坐标系中,已知直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线32++=nx mx y 经过点A 和点(2,3),与x 轴的另一交点为C.(1)求此二次函数的表达式;(2)若点P 是x 轴下方的抛物线上一点,且△ACP 的面积为10,求P 点坐标; (3)若点D 为抛物线上AB 段上的一动点(点D 不与A ,B 重合),过点D 作DE ⊥x 轴交x 轴于F ,交线段AB 于点E.是否存在点D ,使得四边形BDEO 为平行四边形?若存在,请求出满足条件的点D 的坐标;若不存在,请通过计算说明理由.∠OBA=43.若以O 为坐标原点,OA 所C 在x 轴负半轴上,且OB=4OC.若抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C .(1)求该抛物线的解析式;(2)设该二次函数的图象的顶点为P ,求四边形OAPB 的面积;(3)有两动点M,N 同时从点O 出发,其中点M 以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O →A →B 的路线运动,点N 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动,当M 、N 两点相遇时,它们都停止运动.设M 、N 同时从点O 出发t 秒时,△OMN 的面积为S .①请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; ②判断在①的过程中,t 为何值时,△OMN 的面积最大?x9.(一中)如图,直线3+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点B 、点C ,抛物线c bx ax y ++=2 经过B 、C 两点,与x 轴的另一个交点为A ,顶点为P ,且抛物线的对称轴为2-=x . (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)连接AC ,则在x 轴上是否存在一点Q ,使得以P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.10.(一中)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ,点H 的坐标为(-4,0),点N 的坐标为(-3,-2),直角梯形OMNH 关于原点O 的中心对称图形是直角梯形OABC ,(点M 的对应点为A , 点N 的对应点为B , 点H 的对应点为C ); (1)求出过A ,B ,C 三点的抛物线的表达式;(2)在直角梯形OABC 中,截取BE=AF=OG=m(m >0),且E ,F ,G 分别在线段BA ,AO ,OC 上,求四边形...BEFG ....的面积...S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;面积S 是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的情况下,是否存在BG ∥EF 的情况,若存在,请求出相应m 的值,若不存在,说明理由.11.(南开)如图,已知直线y =-2x +4与x 轴、y 轴分别相交于A 、C 两点,抛物线y=-2x 2+bx+c (a ≠0)经过点A 、C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为P ,在抛物线上存在点Q ,使△ABQ 的面积等于△APC 面积的4倍.求出点Q 的坐标;(3)点M 是直线y=-2x+4上的动点,过点M 作ME 垂直x 轴于点E ,在y 轴(原点除外)上是否存在点F ,使△MEF 为等腰直角三角形? 若存在,求出点F 的坐标及对应的点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 12. (一中)矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示, A 、C 两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线12y x =与BC 相交于D. (1) 求点D 的坐标;(2) 若抛物线2y ax bx =+经过D 、A 两点, 试确定此抛物线的解析式;(3) P为x 轴上方(2)中抛物线上一点, 求POA ∆面积的最大值;(4) 设(2)中抛物线的对称轴与OD 交于点M, 点Q 为对称轴上一动点, 以Q 、O 、M 为顶点的三角形与OCD ∆相似, 求符合条件的Q 点的坐标.13.(一中)如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm.设P、Q分别为BD、BC上的动点,在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动,移动的速度均为1cm/s,设P、Q的移动时间为t(0<t≤4).⑴求△PBQ的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数关系式;⑵是否存在时刻t,使△PBQ的面积与四边形CDPQ的面积相等?若有,请求出时间t的值;若没有,请说明理由;⑶当t为何值时,△PBQ为等腰三角形?并判断△PBQ能否14.(一中)如图,已知抛物线c+=2经过O(0,0),A(4,0),B(3,3)三点,连接y+x bxaAB,过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.(1)求这条抛物线的函数关系式.(2)两个动点P、Q分别从O、A同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中,点P沿着线段0A向A点运动,点Q沿着线段AB向B点运动. 设这两个动点运动的时间为t (秒) (0<t≤2),△PQA的面积记为S.①求S与t的函数关系式;②当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?并指出此时△PQA的形状;(3)是否存在这样的t值,使得△PQA是直角三角形?若存在,请直接写出此时P、Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.(一中2009年5月)(1) ∵抛物线L 过(0,4)和(4,4)两点,由抛物线的对称性知对称轴为2=x , ∴G(2,0),将(2,0)、(4,4)代入42++=bx ax y ,得⎩⎨⎧=++=++444160424b a b a ,解得⎩⎨⎧-==41b a . ∴抛物线L 的解析式为442+-=x x y .……………………3分(2)∵直线33+=x y 分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点,∴A(0,3),B(-3,0). 若抛物线L 上存在满足的点C ,则AC ∥BG,∴C 点纵坐标此为3,设C(m ,3),又C 在抛物线L ,代人解析式:3)2(2=-m , 32±=m , ∴321+=m ,322-=m .……………………5分 当321+=m 时, BG=32+, AG=32+,∴BG ∥AG 且BG=AG ,此时四边形ABGC 是平行四边形,舍去321+=m , 当322-=m 时, BG=32+, AG=32-,∴BG ∥AG 且BG ≠AG,此时四边形ABGC 是梯形.故存在这样的点C ,使得四边形ABGC 是以BG 为底边的梯形,其坐标为:C(32-,3). …………………………………………7分(3)假设抛物线L 1是存在的,且对应的函数关系式为2)(n x y -=, ∴顶点P(n ,0). Rt △ABO 中,AO=3,BO=3,可得∠ABO=60°,又△ABD ≌△ABP.∴∠ABD=60°,BD=BP=n +3.……………………8分如图,过D 作DN ⊥x 轴于N 点,Rt △BND 中,BD=n +3, ∠DBN=60°∴DN=)3(23n +,BN=23n +,∴D(233n+--,即D(233n +-,233n+),又D 点在抛物线2)(n x y -=上, ∴2)233(233n n n -+-=+,整理:02131692=++n n . 解得31-=n ,9372-=n ,当31-=n 时,P 与B 重合,不能构成三角形,舍去,∴当9372-=n 时,此时抛物线为2)937(+=x y .……………………11分 4.(南开中学2009年中考模拟)解:(1) (10,0),(6,0)A D 10,6OA OD ∴== 又 矩形OCBA90COA BAO ∴∠=∠=OC AB = 10BC OA ==又CED ∆ 为CBE ∆沿CE 翻折得到的. 10CD CB ∴==∴在Rt COD ∆中,由勾股定理得:8OC ===(0,8)C ∴ …………1分 图 1 (0,8)B …………1分 又C B 、均在215y x bx c =++上 811001085c b c =⎧⎪∴⎨⨯++=⎪⎩82c b =⎧∴⎨=-⎩21285y x x ∴=-+ …………1分 (2)当1x =-时,21(1)2(1)85y =⨯--⨯-+515=∴此时51(1,)5P -又S 距离x 轴上方115个单位.5111855PS ∴=-= …………1分 ∴矩形PQRS 的长方形的长为8,宽为1. 图 2 设PQRS 在下滑过程中交x 轴分别于G H 、两点.则由题意知:23PQHG S S =矩形矩形HGSR23PG GS ∴=21655PG PS ∴== …………1分 故P 的纵坐标为165∴设16(,)5P a ,则21162855a a -+=124,6a a ∴== …………1分16(4,)5P ∴或16(6,)5…………1分 (3)①当01t ≤≤时,此时N 在OC 上. M 在OD 上.211381222MON S OM ON t t t ∆∴=⋅=⨯⨯= …………1分此时,当1t =时,12S =大②当12t <≤时,此时N 在CD 上,M 在OD 上.则188DN t =-过N 作NH OD ⊥于H则4sin 5NH OC CDO ND CD =∠== 44(188)55NH DN t ∴==-8(94)5t =-12ONM S NH OM ∆∴=⋅⋅18(94)325t t =⨯-⋅24810855t t =-+ 2489243()5820t =--+ ∴当98t =时,24312.1520S ==大 ③当24211t <≤时,此时,N M 、均在CD 上则2411MN t =-过O 作OH CD ⊥于H则由等面积得:245OH =1124(2411)225OMN S OH MN t ∆∴=⨯⋅=⨯⨯-13228855t =-+此时当2t =时,245S =大 5(一中).(1)将(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++,得93010b c b c -+=⎧⎨++=⎩, 23b c =⎧⎨=-⎩∴223y x x =+- 2分 (2)∵2223(1)4y x x x =+-=+-∴对称轴1x =-, 而A,B 关于对称轴对称∴连结BD 与对称轴的交点即为所求P 点.过D 作DF ⊥x 轴于F. 将2x =-代入223y x x =+-, 则4433y =--=- ∴3,1(2)3DF BF ==--=Rt △BDE 中=∵PA=PB ∴PA+PD=BD=故PA+PD 的最小值为 5分 (3)①当2x =-代入:4433y =--=-∴(2,3)D -- ∵(0,3)C - ∵CD//x 轴∴在x 轴上取BE 1=CD=BE 2=2 得□BDCE 1和□BCDE 2此时C 与G 重合. ∴12(0,3),(3,0),(1,0)G E E --即:当11(0,3),(3,0)G E -时有□BDCE 1 6分 当22(0,3),(1,0)G E --时有□BCDE 2 7分②过D 作DM ⊥x 轴于M,则DM=BM BD=∴∠MBD=45°33//G E BD =时,有□BDE 3G 作G 3⊥x 轴于N∵∠1=45° E 3G 3= ∴E 3N=G 3N=3将3y =代入223y x x =+-,得1x =-∴33(1(13,0)G E --即3(4E - 9分 同理:4(1G -, 4(4E - 10分 综上所述,所有满足条件的E,G 点为1234123(0,3),(0,3),(1(1(3,0),(1,0),(44(4G G G G E E E E ----+----+ 10分6.(一中).(1)设(,)A a b ,则,OC a AC b ==122AOC k S ab ∆==, 同理2BOD kS ∆= ∴AOC BOD S S ∆∆= 2分AOC COE BOD COE S S S S ∆∆∆∆-=-即AOE S S ∆=四边形BDCE 3分 ∴AOE ABE ABE S S S S ∆∆∆+=+四BDCE 故AOB ACDB S S ∆=梯形即12S S = 4分 (2)①设(,2)M n ,代入13y x =,得6n = ∴(6,2)M ∴6212m =⨯= 5分 ②由双曲线的对称性知OM=ON OP=OQ∴四边形MPNQ 是平行四边形 6分 过P, M 作PH ⊥x 轴于H MF ⊥x 轴于F 设0012(,)P x x ,则 012PH x =, MF=2 由(1)知POM PHFM S S ∆=梯形∵S □MPNQ =64 ∴S △POM =16 7 ∴1()162PH MF HF +⋅= 即0012(2)|6|32x x +-= ∴0012(2)(6)32x x +-=整理:200016360,2x x x +-==或-18或0012(2)(6)32x x +-= 整理:200016360,18x x x --==或2- 11分∵P 在第一象限 ∴00x >∴(2,6)P 或2(18,,)3P 12分7.解:(1)在3y x =-+中,当0,3y x == ∴A(3,0) 1分把A(3,0), (2,3)代入23y mx nx =++得93304233a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得12a b =-⎧⎨=⎩ ∴223y x x =-++ 3分 (2)在223y x x =-++中,当0y =时, 有2230x x -++=∴123,1x x ==- ∴(1,0)C - ∴AC=4 4分 设(,)p p P x y . ∴11||4||1022ACP P P S AC y y ∆=⋅=⨯= ∴||5P y = 又∵P 点在x 轴下方, ∴5P y =- 6分 ∴2523x x -=-++ ∴124,2x x ==-∴P 坐标为(4,5)-或(2,5)-- 8分 (3)不存在 9分∵DE ⊥x 轴, OB ⊥x 轴 ∴DE//OB.若四BDEO 为平行四边形,则//DE BO =.设2(,23)D a a a -++ ∵E 在直线:3AB y x =-+上. ∴(,3)E a a -+∴2223(3)3D E DE y y a a a a a =-=-++--+=-+.当DE BO =时,有233a a -+=. 10分 即2330a a -+= △9120=-<∴方程无实数根. 11分 即DE BO ≠∴不存在点D,使四边形BDEO 为平行四边形. 12分8.(1)Rt △AOB 中,OB=8, 3tan 4OA OBA OB ∠== ∴OA=6 ∴A(6,0) B (0,8)- 又OB=4OC ∴OC=2 ∴C (2,0)-由题意36604208a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩ 解得23838a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴228833y x x =-- 3分 (2)228833y x x =--222(44)8433x x =-+--⨯2232(2)33x =--∴32(2,)3P - 4分作PQ ⊥y 轴 ∴2PQ =, 83BQ =∴PQB OAPB OAPQ S S S ∆=-四梯11()22OA PQ OQ PQ QB =+⋅-⋅ 13218(62)22323=+⋅-⨯⨯ 40= 6分(3)∵AO=6, OB=8 ∴AB=10运动的总时间为:6810424++=+(秒) ①当02t <≤时, M 在OA 上,N 在OB 上,如图2,4OM t ON t ==∴21124422S OM ON t t t =⋅=⨯⋅= 7分当23t <<时,如图,M 在OA 上,N 在AB 上. OM=2t1084184AN t t =+-=-又8sin 10OB RN OAB AB AN ∠=== ∴4(184)5RN t =- ∴12S OM NR =⋅142(184)25t t =⨯⋅-2167255t t =-+ 8分当34t ≤≤时, M,N 都在AB 上,如图, 作OK ⊥AB 于K.∵AB=10, OA=6, OB=8∴1122ABO S AO BO AB OK ∆=⋅=⋅ ∴OK=245又MN=246π-∴1124(246)225S MN OK t =⋅=-⋅7228855t =-+ 9分综上所述:224(02)1672(23)5572288(34)55t t S t tt t t ⎧⎪<≤⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩ ②当02t <≤时,24S t =,S 随t 增大而增大, 当2t =时,16S =最大 10分 当23t <<时,2167255S t t =-+2169811681()5216516t t =--++⨯ 216981()545t =--+∴当94t =时,815S =最大 11分当34t ≤≤时,7228855S t =-+S 随t 增大而减小, 当3t =时,725S =最大综上所述,当94t =时, △MON 的面积最大为815. 12分9.解:(1)在3y x =+中,当0x =时,3y =∴点C 坐标为(0,3)当0y =时,有03,3x x =+=-∴点B 坐标为(3,0)- …1分 ∴c bx ax y ++=2过B (3,0),(0,3)C -, 且对称轴为2x =-∴930322a b c c b a ⎧⎪-+=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩ …2分 解得:143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解根据析式为:243y x x =++ …3分 由2243(2)1y x x x =++=+-知:顶点P 的坐标为:(2,1)-- …4分(2)在243y x x =++中,令0y =,有:2043x x =++∴121,3x x =-=- ∴点A 坐标为(1,0)-∴|1(3)|2AB =---= 在Rt △BOC 中,OB=OC=3∴∠ABC=45° BC ==令2x =-与x 轴交于点D.则D 点坐标为(2,0)- ∴在Rt △PBD 中,PD=BD=1, ∠PBD=45°假设在x 轴上存在点Q,使得△PBQ 与△PBC 相似 ①若点Q 在点B 的右侧: (i)当PB BQBC AB=,∠ABC=∠PBQ=45°时, △PBQ ∽△CBA此时2,23BQ BQ ==. ∴点Q 的坐标为:7(,0)3- …6分 (ii)当:PB BQAB BC=, ∠ABC=∠PBQ=45°, △PBQ ∽△ABC此时,有=此时点Q 与点O 重合,坐标为(0,0) …8分 ②若点Q 在点B 的左侧则: ∠PBQ=180°-45°=135° 在Rt △AOC 中,3tan 31tan 451OC OAC OA ∠===>=︒ ∴∠OAC>45° ∴∠BAC<135° 而∠BAC 为△ABC 的最大内角.此时△PBQ 与△ABC 不可能相似. …10分 综上所述:能使△PBQ 与△ABC 相似的符合条件的点Q 有两种情况,坐标分别为:7(,0)3-和(0,0) 10. ⑴如图,由题意得:A(0,2)、B(3,2)、C(4,0) ………1分设过A 、B 、C 的抛物线为y =ax 2+bx +c ,则29321640ca b ca b c⎧⎪⎨⎪⎩=++=++=,解得12322abc⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=-==∴y=-12x2+32x+2 ………3分⑵∵BE=AF=OG=m,AB=3,OA=2,OC=4,∴AE=3-m,OF=2-m,CG=4-m,∴SBEFG四边形=SABCO梯形―SAEF∆―SFOG∆―SGCB∆=12×2×7―12·m(3-m)―12·m(2-m)―12×2·(4-m) =m2-32m+3………5分=(m-34)2+3916(0<m≤2) ………6分∵0<34≤2,∴当x=34时,S取得最小值3916………7分⑶设直线BG为y=kx+n,∵B(3,2),G(m,0),∴32k nkm n⎧⎨⎩+=+=,k=23m-,设直线EF为y=k1x+n1,∵E(3-m,2),F(0,2-m),∴111(3)2m k nn⎧⎨⎩-+==2-m,k 1=3mm-,只有当23m-=3mm-时,有BG∥EF………8分解23m-=3mm-得m=2………9分∴当m=2时,有BG∥EF (此时F与O重合) ………10分11.解:(1)在24y x =-+中,当0x =时,4y =当0y =时,2x =∴A(2,0) , C(0,4) 代入22y x bx c =-++则82404b c -++=⎧⎨=⎩ 1分有24b c =⎧⎨=⎩ 2分 ∴抛物线解析式为2224y x x =-++ 3分 (2)当122b x a =-=时, 92y = ∴19(,)22P 过P 作PD ⊥y 轴于D12442AOC S ∆=⨯⨯=, OC=4,OD=92∴CD=12, DP=12∴11112228DPC S ∆=⨯⨯=1()2PDOA S DP OA OD =+⋅梯形 119(2)222=⨯+⨯458=∴PCA PDC AOC PDOA S S S S ∆∆∆=--梯形45134882=--= 4分 设△ABQ 中AB 边上的高为h , A B AB x x =- 当0y =时,22240x x -++=220x x --= (2)(1)0x x -+=, 122,1x x ==-∴(1,0)B - ∴2(1)3AB =--= 由题意4ABQ APC S S ∆∆=∴13422AB h ⋅=⨯ 4h = 5分设(,4)Q m 或(,4)Q m - 当22244x x -++=20x x -=120,1x x ==当2224x x -+=-, 240x x --=,x =∴Q 1(0,4) , Q 2(1,4), 31(,4)2Q -, 41(4)2Q - 7分(3)若存在点F 使△MEF 为等腰直角三角形,设(,)M x y∵F 不在原点, ∴点E 不为直角顶点 ①当M 为直角顶点时,有||||x y = 若,x y 同号(同正,即M 在一象限) 则x y =,即24x x =-+34x = 43x =∴144(,)33M ,此时14(0,)3F 若,x y 异号(M 在二或四象限), 则x y =-, 即24x x =-, 4x = ∴M 2(4,-4) 此时2(0,4)F - 9分 ②当F 为直角顶点时,有|||2|y x =若,x y 同号(M 在一象限) 则2y x =即224x x =-+, 44x =, 1x =, ∴3(1,2)M , 此时F 3(0,1) 若,x y 异号(M 在二象限或四象限)则2y x =-, 即224x x -=-+, 此方程无解.∴存在△MEF 为等腰直角三角形,其坐标为11444(,),(0,)333M F ; 22(4,4),(0,4)M F --; 33(1,2),(0,1)M F 10分13.解:⑴ ∵矩形ABCD 中,AB=3cm ,BC=4cm∴CD = AB=3cm∴在Rt △BCD 中 BD=5cm 由题意得:PD=t ,BQ=t ,BP=5-t过P 作PE ⊥BC 于E ,则PE ∥CD∴△BPE ∽△BDC ∴DCPE BD BP = 即355PEt =-∴)5(53t PE -=2分 ∴PE BQ S ⋅=21=-⨯=t t )5(5321t t 231032+- 3分⑵不存在t 满足条件∵BCD CD PQ PBQ S S S ∆∆=+ ∴CD PQ PBQ S S =∆时,有 BCD PBQ S S ∆∆=21∵341==∆ABCD BCD S S ∴令3=S ,则有3231032=+-t t 即01052=+-t t 5分 ∵04025<-=∆ ∴方程无实数根∴不存在满足条件的t 6分 ⑶若BP=PQ 则过P 作PF ⊥BC 于F∴PF ∥CD BF=QF=221t BQ = ∴△BPF ∽△BDC ∴BCBFBD BP = 即42/55t t =- ∴1340=t 若BP=QB ,则t t =-5 ∴25=t若QB=PQ ,则过Q 作QM ⊥BD 于M ∴∠BMQ=∠C=90° BM=PM=21BP ∵∠CBD=∠CBD ∴△BMQ ∽△BDC∴BC BM BD BQ = 即42/55t t -= ∴1325=t ∴1340=t ,25=t ,1325=t 时,△PBQ 为等腰三角形 9分△PBQ 不能为等边三角形 10分14.(10分)2:(1)(,)(4,),y ax bx c o o A o B =++解过o1640930a a b c b a b c c ⎧=⎪⎪++=⎪⎧⎪⎪∴=⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪⎪⎪⎩解得2y x x ∴= 3分(2)过B作1,2BE x x AE AB ⊥==交轴于E,则0t a n 3BEBAE AE∠==∠由得BAE=60 4分1) 由题意QA =t, PA=4—t 对Q作⊥QF x 轴交x 轴于F ,则sin 12QF BAE QF AQ S PA QF ∠==∴=1(4)22t =-24=-+ 6分22)t =-02,t S <∴== 最大 当时 7分 此时PQA 是第边 8分(3)存在,当点Q在A B上运动时,要使得PQA 是直角 ,必须使090PQA ∠=. PA =2QA 即 4—t=2t.43t ∴=410(,0)(,333P Q ∴ 10分。