巩固练习_高考总复习：计数原理、排列组合(基础)
高考数学热点《计数原理》练习
从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等核心素养．1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --. 2、解决排列问题的常见方法：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.热点11 计数原理（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.3、解决组合问题的常见方法：组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。
(完整版)基础排列组合部分知识总结
计数原理1.摆列组合知识导学 ：1. 分类计数原理：达成一件事，有ｎ类方法，在第1 类方法中，有 m 1 种不一样的方法，在第 2类方法中，有 m 2 种不一样的方法， 在第ｎ类方法中，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ＋ m 2 ＋ ＋ m n 种不一样的方法 .N2. 分步计数原理：达成一件事，需要分红ｎ个步骤，做第 1 步，有 m 1 种不一样的方法，做第2 步，有m 2 种不一样的方法， 做第ｎ步，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ×Nm 2 × × m n 种不一样的方法 .摆列数公式 ：A n mn ( n 1)( n 2)( n 3)( n m 1)A n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ）(n m)!组合数公式：mA n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( nm 1)C nA m mnC n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N *，且ｍ≤ｎ）m! (n m)!组合数的两个性质C n m C n n m 规定： C n 0 1C n m 1 C n mC n m 1例 l、分类加法计数原理的应用在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？剖析：该问题与计数相关，可考虑采纳两个基来源理来计算，达成这件事，只需两位数的个位、十位确立了，这件事就算达成了，所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类．解法一：按十位数上的数字分别是1， 2， 3， 4，5， 6， 7，8 的状况分红8 类，在每一类中知足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个．由分类加法计数原理知，切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l＝36 个．解法二：按个位数字是2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9 分红 8 类，在每一类中知足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．评论：分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法，每一类的各样方法都是互相独立的，每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。
第04练 计数原理、排列组合、二项式定理-2023年新高考数学一轮复习小题必刷(原卷版)
第04练 计数原理、排列组合、二项式定理1．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 2．（2020·广东省高二期末）在()62x +展开式中，二项式系数的最大值为m ，含4x 的系数为n ，则n m=（ ） A ．3 B ．4 C ．13 D ．143．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））设2220122(1)...n n n x x a a x a x a x ++=++++，则0a 等于（ ）A ．1B ．0C ．3D ．3n4．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（理））3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（ ）A ．243B ．125C ．128D ．2645．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））求346774C C -的值为（ ）A ．0B ．1C ．360D ．120 6．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20C ．40D ．80 7．（2020·山东省高三其他）若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．258．（2020·北京高二期末）5(1)a +展开式中的第2项是（ ）A ．35aB ．310aC ．45aD ．410a 9．（2020·北京高二期末）已知有1B ，2B ，⋯，6B 支篮球队举行单循环赛（单循环赛：所有参赛队均能相遇一次），那么比赛的场次数是（ ）A．15B．18C．24D．3010．（2020·北京高二期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（）A．142B．121C．221D．1711．（2020·江苏省马坝高中高二期中）9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（）A．81B．60C．6D．1112．（2020·江西省南昌十中高三其他（理））在6212xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.13．（2020·北京高二期末）()621x-的展开式中2x的系数为__________（用具体数据作答）. 14．（2020·福建省厦门一中高三其他（理））2020年初，湖北面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，厦门人民心系湖北，志愿者纷纷驰援，若将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A，B 两家医院（每人去一家，每家医院至少安排1人），且甲医生不安排在A医院，则共有__________种分配方案.15．（2020·苏州市第四中学校高二期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．（用数字作答）16．（2020·上海高二期末）请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______.1．（2020·广东省高三二模（文））在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用.中医理论讲究食物相生相克，合理搭配饮食可以增强体质，提高免疫力，但不恰当的搭配也可能引起身体的不适.食物相克是指事物之间存在着相互拮抗､制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应.已知猪肉与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克.现从猪肉､螃蟹､茄子､菊花､百合这五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为（）A ．13B ．23C ．310D ．7102．（2020·江苏省丰县中学高二期中）将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ）A ．43B ．34C ．34AD ．34C 3．（2020·黑龙江省哈师大附中高二期末（理））为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种A ．36B ．48C ．60D ．164．（2020·浙江省衢州二中高三其他）将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的A 、B 两所医院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A 医院，且甲、丁不在同一所医院，则满足要求的不同安排方法共有（ ）A ．36种B ．32种C ．24种D ．20种5．（2020·吉林省松原市实验高级中学高三其他（理））某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）A ．150种B ．120种C ．240种D ．540种6．（2020·广东省高二期末）广东省实施“3+1+2”的新高考改革模式，“3”指全国统一高考的语文､数学､外语，“1”指物理､历史2门中选择1门，“2”指思想政治､地理､化学､生物4门中选择2门. 已知甲选择物理，乙选择地理，则甲乙两人有（ ）不同的选择组合方案.A ．12种B ．18种C ．36种D ．48种7．（2020·广东省高二期末）东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A 和B 不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（ ）A ．4种B ．8种C ．12 种D ．16种8．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））在2020年初抗击新冠肺炎疫情期间，某医院派出了3名医生和包括甲、乙、丙在内的6名护士前往武汉参加救治工作.现从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组，则甲、乙、丙这3名护士至少选中2人的概率为（ ）A ．13B ．12C ．49D ．34 9．（2020·四川省绵阳南山中学高三其他（理））()()()2111n x x x ++++++的展开式的各项系数和是（ ）A ．12n +B ．121n ++C ．121n +-D ．122n +-10．（2020·山西省高三其他（理））5(2)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数是（ ）A ．32B ．40C ．32-D ．40-11．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））已知()512345601234567121x x a x a a x a x a x a x a x a x x -⎛⎫+--=++-++++ ⎪⎝⎭，则4a =（ ） A ．21 B ．42 C ．35- D ．210-12．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（理））已知(1＋ax )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＋ A ．＋4B ．＋3C ．＋2D ．＋113．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（文））不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ）A ．314B ．37C ．67D ．132814．（2020·江苏省高二期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）A ．某学生从中选3门，共有30种选法B ．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C ．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D ．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法15．（2020·江苏省扬中高级中学高二期中）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37AB ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C -16．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 17．（2020·山东省高二期中）若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则下列结论中正确的是（ ）A ．01a =B ．123452a a a a a ++++=C ．50123453a a a a a a -+-+-=D ．0123451a a a a a a三、填空题18．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________．19．（2020·全国高三其他（理））“赵爽弦图”是中国古代数学的文化瑰宝，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成（如图所示），简洁对称、和谐优美.某数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽，其图案是用红、黄2种颜色为弦图的5个区域着色（至少使用一种颜色），则一共可以绘制备选的会徽图案数为__________.20．（2020·山东省高三其他）2019年世界园艺博览会在北京延庆区举办，这届世界园艺博览会的核心建筑景观是“四馆一心”：中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆以及演艺中心.现将含甲在内的5名大学生志愿者安排到北京世界园艺博览会的4个场馆担任服务工作，要求每个场馆至少安排一人，且每人仅参加一个场馆的服务工作，其中甲不安排到国际馆去，则不同的安排方法种数为_________.21．（2020·江西省南昌二中高二期末（理））62341()x x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中x 2项的系数为__________.22．（2020·南京市临江高级中学高二期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有______种(结果用数字表示).1．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种2．（2020•北京）在（√x−2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．103．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4．（2020•新课标Ⅰ）（x+y2x）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．205．（2019•全国）（2√x+1）6的展开式中x的系数是（）A．120B．60C．30D．156．（2019•新课标Ⅲ）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．24二．填空题（共7小题）7．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．8．（2020•浙江）二项展开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝，a1+a3+a5＝．9．（2020•新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种．10．（2020•新课标Ⅲ）（x2+2x）6的展开式中常数项是（用数字作答）．11．（2020•天津）在（x+2x2）5的展开式中，x2的系数是．12．（2019•天津）（2x−18x3）8的展开式中的常数项为．13．（2019•浙江）在二项式（√2+x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．．。
(强化训练)2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-计数原理与排列组合(含答案)
计数原理与排列组合学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.由0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（）个.A. 20B. 32C. 40D. 522.7个相同的小球放入A，B，C三个盒子，每个盒子至少放一球，共有种不同的放法．A. 60种B. 36种C. 30种D. 15种3.手机上有一款绘图软件, 软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色,每种颜色都有0~255种色号,在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色,那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为（）A. B. C. D.4.算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A. 8B. 10C. 15D. 165.已知，那么n的值是（）A. 12B. 13C. 14D. 156.有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）A. 1512种B. 1346种C. 912种D. 756种7.方形是中国古代城市建筑最基本的形态,它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则,中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图,用大小相同的竹棍构造一个大正方体(由8个大小相同的小正方体构成),若一只蚂蚁从A点出发,沿着竹根到达B点,则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（)A. 48种B. 60种C. 72种D. 90种8.若，则（）A. 1B.C.D. 不存在9.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）A. 1860种B. 3696种C. 3648种D. 3600种二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.．11.现有甲､乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲､乙两类均被选到的方法共有种.(用数字填写答案)12.如图所示，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有5种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为．13.从0,1,3,5,7,9中任取两个数做乘法,可以得到个不同的积;从中任取两个数做除法,可以得到个不同的商.14.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.15.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是(3.1415926，3.1415927)，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”．若把“祖率”小数点后的7位数字．1，4，1，5，9，2，6随机排列，整数部分3不变，则得到的所有不同小数的个数为．三、解答题（本大题共1小题，共12.0分。
基本计数原理和排列组合（概念复习及专题训练含答案）
正确的指导 有效的训练 为高考的成功提供保障第一章 计数原理———基本计数原理和排列组合（概念篇）一、概念回顾：（一）两个原理.1. 加法原理每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 2. 乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同3. 可以有重复元素的排列.从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、m n 第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列n m m n 数例如：件物品放入个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm m m m m =.......n m 种）n m （二）排列组合1、排列（1）排列数的计算：从个不同元素中取出个元素排成一列，称为从个不同元素中取出个元素的一个排列.从n )(n m m ≤n m 个不同元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示.n m m n A （2）排列数公式：注意： 规定!)!1(!n n n n -+=⋅1!0=注：含有可重元素的排列问题对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集有个不同元素其中限重复数为，S k n a a a ,...,,21k n n n ...21、、且 , 则的排列个数等于.k n n n n ...21++=S !!...!!21k n n n n n =例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数3!2!1)!21(=+=n . 1!3!3==n 2、组合（1）组合数的计算：从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 从n )(n m m ≤n m 个不同元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示。
高中数学排列组合必考知识点经典练习题(完整版)
排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同3. 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
排列组合基础知识复习资料
排列组合基础知识复习资料 知识解析：1、分类计数原理：完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N ＝m l +m 2+…+m n 种不同的方法。
本原理也称为加法原理2、分步计数原理：完成一件事,需要分成n 个步骤,做第l 步有m 1种不同的方法．做第2步有m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同方法,那么完成这件事共有N ＝m l ×m 2×…×m n 种不同的方法． 本原理也称为乘法原理．注： 1 分类互斥、分步互依； 2 在运用分步计数原理时,当完成每一步的方法数均为m,要用n 步完成有m n 种情形,既若“p 选择q ”则是q p .3、排列：一般地,从n 个不同元素中取出m m ≤n 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
用符号m n A 表示．注意：①排列的定义中包含两部分内容,一是“取出元素”,二是“按—定的顺序排列”．②排列的一个重要特征,是每一个排列不仅与选取的元素有关,而且与这些元素的排列顺序有关,选取的元素不同或者元素相同、排列顺序不同,都是不同的排列。
4、排列数公式：1 mn A =n n-1 n-2 … n-m+1 。
n 、m ∈N *,且m ≤n,这个公式叫做排公式。
2 阶乘、及全排列的阶乘表示①阶乘：自然数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,用n 表示,即A 22＝2?1。
规定：0 =1②全排列的阶乘表示：nn A ＝n · n-1 · n-2 ····3·2·1=n5、组合：一般地说,从n 个不同的元素中取出m m ≤n 个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
注：①如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如何都是相同的组合．组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”,“并成一组”即表示与顺序无关。
2025版新高考版高考总复习数学计数原理、排列与组合(十年高考)
2025版新高考版高考总复习数学专题十 计数原理10.1 计数原理、排列与组合考点 计数原理、排列、组合1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( )A.C 40045·C 20015种B.C 40020·C 20040种C.C 40030·C 20030种D.C 40040·C 20020种 答案 D 根据分层随机抽样方法,易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生,根据分步乘法计数原理,得不同的抽样结果共有C 40040·C 20020种.故选D.2.(2023全国乙理,7,5分,中)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )A.30种B.60种C.120种D.240种答案 C 第一步:甲、乙两位同学从6种课外读物中选出1种相同的有C 61=6种选法;第二步:从剩下的5种课外读物中选2种分给甲、乙有A 52=20种选法.所以符合要求的选法共有6×20=120种,故选C .一题多解 (排除法)甲、乙两位同学分别从6种课外读物中选出2种有C 62C 62=225种选法,其中甲、乙选2种读物完全相同有C 62=15种选法,完全不相同有C 62C 42=90种选法.所以两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有225-15-90=120种,故选C .3.(2023全国甲理,9,5分,中)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )A.120种B.60种C.30种D.20种答案 B 先从5人中选出1人两天都参加,有C 51种选择,然后从其余4人中选2人分别安排在周六和周日,有A 42种方式,所以恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有C 51A 42=60种,故选B .4.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种 答案 C 解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C 61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C 52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C 33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C (易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不用全排列).5.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )A.12种B.24种C.36种D.48种 答案 B 丙和丁相邻共有A 22·A 44种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有C 21·A 22·A 33种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A 22·A 44−C 21·A 22·A 33=24种站法,故选B .6.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种 答案 C 先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有C 52=10种分法,然后将4个项目全排列,共有A 44=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有C 52·A 44=240种,故选C .易错警示 本题容易出现将5人分为4组,共有分法C 52·C 31·C 21=60种的错误结果.7.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72答案 D 奇数的个数为C 31A 44=72.8.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2A 43=48个;同理,以5开头的有3A 43=72个.于是共有48+72=120个,故选B.评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.9.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有C62·C51=75种.故选C.10.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有A43=24种放法,故选D.11.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A44=24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.12.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A43=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有A33·A22·A22=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.13.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.评析本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.14.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()答案A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C42种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A22种方案,故不同的安排方案共有C42A22=12种,选A.评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.15.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.评析本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.16.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由题意及C62=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A3 2人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D.17.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.思路分析小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步乘法计数原理即可得结果.18.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()答案 C 当m=4时,数列{a n }共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k ≤8,a 1,a 2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,则必有a 1=0,a 8=1,a 2可为0,也可为1.(1)当a 2=0时,分以下3种情况:①若a 3=0,则a 4,a 5,a 6,a 7中任意一个为0均可,则有C 41=4种情况;②若a 3=1,a 4=0,则a 5,a 6,a 7中任意一个为0均可,有C 31=3种情况;③若a 3=1,a 4=1,则a 5必为0,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 21=2种情况;(2)当a 2=1时,必有a 3=0,分以下2种情况:①若a 4=0,则a 5,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 31=3种情况;②若a 4=1,则a 5必为0,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.思路分析 根据题意可知a 1=0,a 8=1,进而对a 2,a 3,a 4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.19.（2023新课标I ，13） 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种； （2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种.20.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 260解析 本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.含有数字0的没有重复数字的四位数共有C 52C 31A 31A 33=540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有C 52C 32A 44=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.易错警示 数字排成数时,容易出错的地方:(1)数字是否可以重复;(2)数字0不能排首位.21.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560解析∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1 560条毕业留言.22.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4A44=96.23.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)答案480解析先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有A44=24种排法,再将甲、乙插入有A52=20种,所以6人排成一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.24.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案480解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120种;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法A22·A33+A32·A33=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.25.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)答案14解析解法一:数字2只出现一次的四位数有C41=4个;数字2出现两次的四位数有C42C22=6个;数字2出现三次的四位数有C43=4个.故总共有4+6+4=14个.解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.评析本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.。
2024版高考数学总复习：两个计数原理排列与组合教师用书
第一节两个计数原理、排列与组合考试要求：理解排列、组合的概念、排列数公式及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．一、教材概念·结论·性质重现1．两个计数原理两个计数原理的区别排列的定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义作为一组3．排列数、组合数的定义、公式、性质(1)“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区别在于“有序”和1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(5)若C��＝C��，则x＝m成立．(×) 2．教学楼共有6层楼，每层都有南、北两个楼梯，从一楼到六楼的走法共有()A．25种B．52种C．62种D．26种A解析：根据题意，教学楼共有6层，共5层楼梯，每层均有两个楼梯，即每层有2种走法，则一共有2×2×2×2×2＝25种走法．故选A．3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()A．30种B．50种C．60种D．90种B解析：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，所以总共有20＋30＝50种．故选B．4．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种B解析：由题意知本题是一个分步乘法计数问题．因为恰有2人选修课程甲，共有C42＝6种结果，所以选甲的两个人再选一门课程各有两种选法，共有2×2＝4种结果，余下的两个人只有1种选法，根据分步乘法计数原理知共有6×4×1＝24种结果．故选B．5．从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)16解析：方法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有C21C42＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有C22C41＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．方法二：从6人中任选3人，不同的选法共有C63＝20(种)．从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C43＝4(种)．所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．考点1两个计数原理——应用性1．下图是某项工程的网络图(单位：天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有()A．14条B．12条C．9条D．7条B解析：由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计数原理可得从①→⑧共有3×2×2＝12条路径．故选B．2．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为()A．81B．48C．36D．24B解析：根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2＝16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2＝32个，故有16＋32＝48个四位数．故选B．3．(2022·威海模拟)已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的7个大小、形状相同的小球．小明从袋子中有放回地取3次球，每次只取一个球，且3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数，则不同的取球方法种数为() A．712B．216C．108D．72C解析：根据3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数可知，有一次取出的球的编号为奇数，2次取出的球的编号为偶数，先确定哪一次得到奇数号球，然后从4个奇数号球中取一个，再每次都从3个偶数号球中任取一个(有放回取球)，故满足题意的取球方法有3×4×3×3＝108(种)．4．现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120B．140C．240D．260D解析：先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C 处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂法方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D．(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．考点2排列与组合——综合性(1)(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有()A．12种B．24种C．36种D．48种B解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看做一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3！×2×2＝24(种)不同的排列方式．故选B．(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484C 解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C 41C 122＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C 123−3C 43＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．1．有限制条件的排列问题的常用方法(1)对于有限制条件的排列问题，一般采用特殊元素优先原则，考点3分组分配问题——综合性考向1整体均分问题教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有______种不同的分派方法．90解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C 62C 42C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C62C 42C 22A 3333＝90种分派方法．解决分组问题的关键是如何删去重复排列的组数．分组得到的排列种数除以组数的全排列；的种数，然后再进行相应计算．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)1560解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有C 63C 31C 21C 11A 33＝20(种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有C 62C 42A 22·C 21C 11A 22＝45(种)．所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A 44＝1560(种)．考向3不等分问题(1)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为()A．35B．70C．165D．1860C 解析：根据题意，分4种情况讨论：①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C 73＝35种放法；②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C 43＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C 72＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C 42＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C 71＝7种分组方法，则有6×7＝42种方法；④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法．故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法．(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．360解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 61种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 52种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 61C 52C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．1．局部均分问题，则分组时应除以“1．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其他三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)660解析：若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有C62C42A33种；若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有C63A33种．则不同的分配方案共有C62C42A33+C63A33＝660种．2．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)甲得一本，乙得二本，丙得三本；(2)平均分成三堆；(3)甲、乙、丙每人至少得一本．解：(1)分成三堆的方法有C61C52C33种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法为C61C52C33＝60(种)．2·C42·C223！＝15(种)分法．(2)6本不同的书平均分成三堆，有C6(3)共计分为3类：①按照4，1，1分，共有C61·C51·C44·3＝90(种)方法；②按照3，2，1分，共有C61·C52·C33·A33＝360(种)分法；③按照2，2，2分，共有C62·C42·C22＝90(种)分法．故共有90＋360＋90＝540(种)分法．课时质量评价(五十六)A组全考点巩固练1．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有()A．4种B．5种C．6种D．7种C解析：根据题意，分2种情况讨论：①若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×2＝4种种法，②若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×1＝2种选择，三号坑有1种选择，此时有2×1＝2种种法．则有4＋2＝6种不同的种法．故选C．2．(2023·长沙模拟)为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有()A．48种B．36种C．24种D．12种B解析：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步乘法计数原理，共有2×3×6＝36(种)不同的选取方法．故选B．3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有()A．24种B．36种C．48种D．60种A解析：根据题意，分2步进行分析：①A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种排法；②将AB整体与C，D，E全排列，有A44＝24种排法，则共有1×24＝24种排法．故选A．4．(多选题)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b，则下列说法正确的有()A．��表示不同的正数的个数是6B．��表示不同的比1小的数的个数是6C．(a，b)表示x轴上方不同的点的个数是6D．(a，b)表示y轴右侧不同的点的个数是6BC解析：对于选项A，若a，b均为正，共有2×2＝4个，若a，b均为负，共有1×2＝2个，但63＝−4−2，所以共有5个，所以选项A错误；对于选项B，若��为正，显然均比1大，所以只需��为负即可，共有2×2＋1×2＝6(个)，所以选项B正确；对于选项C，要使(a，b)表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3＝6(个)，所以选项C正确；对于选项D，要使(a，b)表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4＝8(个)，所以选项D错误．故选BC．5．冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游．若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为()A．120B．180C．240D．360C解析：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，有C52＝10种分组方法；②将分好的4组全排列，安排到4个景区旅游，有A44＝24种安排方法．则共有10×24＝240种安排方法．故选C．6．若把一句话“我喜欢数学”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有________种．119解析：根据题意，“我喜欢数学”五个字排成一排，有A55＝120种不同的顺序，其中正确的只有1种，则可能出现错误的情况有120－1＝119种．7．高考期间，某校高三年级租用大巴车送考，原则上每班一辆车，但由于高三(1)班人数较多，坐满一辆车之后还余下7名同学．现有高三(2)、(3)、(4)班的选考车辆分别剩余2，3，3个空位，要把这7名同学都安排到这三辆车中，则共有______种不同的安排方法．560解析：根据题意，余下的7人坐车，还有8个空座位，可以看成7个人再加上一个空位，安排在8个空座位上的问题，有C82C63C33＝560种安排方法．8．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．(1)甲、乙两人相邻；(2)丙、丁两人不相邻；(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻)．解：(1)根据题意，将甲、乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，有A22A77＝10080(种)排法．(2)根据题意，将8人全排列，有A88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A22A77种，则丙、丁两人不相邻的排法有A88−A22A77＝30240(种)．(3)根据题意，将8人全排列，有A88种排法，甲、丙、丁三人的排法有A33＝6(种)，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，2×A88A33＝13440(种)．则有甲站在丙、丁两人的中间有A2B组新高考培优练9．某校进行体育抽测，甲与乙两名同学都要在100m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试．假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为()A．70B．50C．30D．20A解析：根据题意，分2种情况讨论：①他们选择的结果中有两项相同运动，有C53A32＝60种选法．②他们选择的结果中有三项相同运动，有C53＝10种选法，则共有60＋10＝70种选法．故选A．10．(多选题)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是()A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为C53C21+C52C32A33D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33AD解析：根据题意，依次分析选项：对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A正确；对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C52A44种安排方法，B错误；+对于C，分2步分析：需要先将5人分为3排翻译、导游、礼仪三项工作，有A33种情况，A33种安排方法，C错误；对于D，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有C31C42A33+C32A33种安排方法，D正确．故选AD．11．(多选题)现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则()A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种BCD解析：根据题意，依次分析选项：对于A，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有C73A33A44＝5040种排法，A错误；对于B，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A66＝3600种排法，B正确；对于C，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44＝576种排法，C正确；对于D，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A53＝1440种排法，D正确．12．(2022·临沂三模)某社区需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有()A．72种B．81种C．144种D．192种D解析：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为A22A55＝240，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为A 22A 44＝48，由间接法可知，满足条件的排法种数为240－48＝192(种)．故选D．13．(2022·杭州模拟)某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A，B，C3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)1080解析：由题意可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B，C 医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有C 42C 51C 21C 42＝360(种)，故不同的分配方案有360×3＝1080(种)．14．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有________种．36解析：根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组，有C 62C 42C 22A 33－C 42C 22A 22＝12种分组方法．②若甲所在的组在14日值班，有A 22＝2种安排方法；若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，有1种安排方法．则有3种值班安排方法．故共有12×3＝36种安排方法．15．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答)．(1)若5本书完全相同，求共有多少种分法；(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，求共有多少种分法；(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，求共有多少种分法．解：(1)根据题意，5本书完全相同，将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可，则有C 72＝21(种)不同的分法．(2)根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1，1，3的三组，有C 53C 21C 11A 22＝10(种)分组方法．若分成1，2，2的三组，有C 51C 42C 22A 22＝15(种)分组方法，从而分组方法有10＋15＝25(种)．②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A 33＝6(种)情况，根据分步乘法计数原理，故共有25×6＝150(种)分法．(3)记这5本书分别为A，A，B，C，D，5本书取其3本分配时，①不含A时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法；②仅含一个A时，分组的方法有C32种，再分配给3人，共有C32×A33＝18(种)方法；③含两个A时，分组的方法有C31种，再分配给3人，共有C31×A33＝18(种)方法．从而共有18＋18＋3＝39(种)分法．。
计数原理(排列组合)题型练习
计数原理[基础训练A 组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）A ．81B ．64C ．12D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）A ．男生2人，女生6人B ．男生3人，女生5人C ．男生5人，女生3人D ．男生6人，女生2人.6．在82x⎛ ⎝的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .5．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个7．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法（1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。
计数原理+排列组合复习课 (高三一轮复习)
(间接法)7人全排列有 A77 种，其中甲、乙相邻者有A22 A66 种， 从而甲、乙不相邻者有A77 A22 A66 3600 种不同的排法．
2 4
种分法；
第二步，再分余下的2本书得到另一组，有C
2 2
种方法；
由于分步处理过程使分组产生了顺序，要用“除法”消
序故符合要求的分法有 C24 C22 =3 种不同分法．
A
2 2
全部平均分配， 无分配目标
将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？ (3)分成三组，一组2本，另两组各1本；
解：
排列: 顺序；
【例1 】7人按下述要求排成一列，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须站在两端；(3)甲、乙 不相邻；(4)甲、乙必须相邻；(5)甲、乙之间相隔2人； (6)甲在乙的前面(可以不相邻)．
分析：
a b c de f g
由于元素甲、乙有特殊要求，故可采用优先元素或位置优先排列
关系
Anm
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
Ann n!
0! 1
C
m n
C
m n
C
m n
n(n 1) (n
n! m! m!(n m)!
m
C
0 n
1)
1
Anm nAnm11
性质
Anm Cnm Amm
C
m n
C
n n
北京市第四中学高考数学总复习计数原理、排列组合巩固练习(含解析)
计数原理、排列组合巩固练习【巩固练习】1．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( )A．24种B．30种C．36种D．48种2．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )(A)8 (B)24 (C)48 (D)1203．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有 ( )A．24种B．36种C．42种D．60种4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ( )A．4种B．10种C．18种D．20种5．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( )A．152 B．126C．90 D．546．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 ( )A．72 B．108C．180 D．2167．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为 ( ) A．25 B．26C．36 D．378．某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有（）A．45种B．36种C．28种D．25种9．由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是________．10．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与一个正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有______种．11．将数字1,2,3,4,5按第一行2个数，第二行3个数的形式随机排列，设a i(i＝1,2)表示第i行中最小的数，则满足a1>a2的所有排列的个数是________．(用数字作答)12．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种.(用数字作答)13．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)，则从A点走到B点最短的走法有______种.14．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的世博会宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？15．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．(1)若n＝6，则为甲图着色的不同方法共有多少种；(2)若为乙图着色时共有120种不同的方法，求n的值．16．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？【参考答案】1．【答案】选D.【解析】共有4×3×2×2＝48种着色方法．2．【答案】选C.【解析】分两步：(1)先排个位有12A 种排法.(2)再排前三位有34A 种排法，故共有12A 34A =48种排法.3．【答案】选D.【解析】每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，共有43＝64种安排方案；三个项目都在同一个体育馆比赛，共有4种安排方案；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种．4．【答案】选B.【解析】依题意，就所剩余的是一本画册还是一本集邮册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有24C ＝6种．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．5．【答案】选B.【解析】考虑特殊元素(位置)优先安排法．第一类：在丙、丁、戊中任选一位担任司机工作时有123343C C A ＝108.第二类：在丙、丁、戊中任选两位担任司机工作时，有2333C A ＝18，∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.6．【答案】选C【解析】设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有14C 种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有2343C A 种方法，这时共有123443C C A 种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有24C 种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A 33种方法，这时共有2343C A 种参加方法； 综合(1)(2)，共有123443C C A ＋2343C A ＝180种参加方法．7．【答案】选C解析：设另两边长分别为x 、y ，且不妨设1≤x ≤y ≤11，要构成三角形，必须x ＋y ≥12.当y 取11时，x ＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y 取10时，x ＝2,3，…，10，可有9个三角形；……；当y 取6时，x 只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.8．【答案】选C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a ，一步走一级记为b ，所求转化为2个a 和6个b 排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有82C ＝28种；或用插排法．9．【答案】60【解析】分两种情况：当首位为偶数时有11112322C C C C 个，当首位为奇数时有11113322C C C C 个，因此总共有：11112322C C C C ＋11113322C C C C ＝60(个)．10．【答案】12．【解析】先涂三棱锥P －ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱ABC －A 1B 1C 1的三个侧面，共有11113212C C C C ＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．11．【答案】72．【解析】依题意数字1必在第二行，其余数字的位置不限，共有2343A A ＝72个．12．【答案】36.【解析】可分两步解决.第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法. 第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：第一步，先选学习委员有4种选法，第二步选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3=36(种).13．【答案】210.【解析】每条东西向街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段是走南北方向的)，共有 641010C C =210(种)走法. 14．【解析】用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类： 宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．15．【解析】(1)由分步乘法计数原理，对区域①②③④按顺序着色，共有6×5×4×4＝480种方法．(2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．同样利用分步乘法计数原理，得n (n －1)(n－2)(n －3)＝120.所以(n 2－3n )(n 2－3n ＋2)＝120，即(n 2－3n )2＋2(n 2－3n )－12×10＝0，所以n 2－3n －10＝0，n 2－3n ＋12＝0(舍去)，解得n ＝5，n ＝－2(舍去)16．【解析】根据A 球所在位置分三类：(1)若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C 、D 、E ，则根据分步计数原理得，此时有33A ＝6种不同的放法； (2)若A 球放在5号盒子内，则B 球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C 、D 、E ，则根据分步计数原理得，此时有33A ＝6种不同的放法；(3)若A 球放在4号盒子内，则B 球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C 、D 、E ，有33A ＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有13A 33A ＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。
知识讲解_高考总复习：计数原理、排列组合(基础)
高考总复习：计数原理、排列组合【考纲要求】1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
要点诠释：如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
要点诠释：如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。
3．两个计数原理的综合应用（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。
另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。
解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。
2025年高考数学一轮知识点复习-两个计数原理、排列与组合-专项训练【含答案】
两个计数原理、排列与组合一、单项选择题1．若C2A22＝42，则！3！K4！的值为()A．60B．70C．120D．1402．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为()A．2563B．27C．2553D．63．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A．30种B．60种C．120种D．240种4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为() A．120B．60C．40D．305．将5件相同的小礼物全部送给3个不同的球迷，让每个球迷都要得到礼物，则不同的分法种数是()A．2B．10C．5D．66．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有()A．20种B．16种C．12种D．8种7．学校运动会上，有A，B，C三位运动员分别参加3000m，1500m和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外4名同学参加后勤服务工作(每名同学只能参加一个后勤服务小组)．若甲在A的后勤服务小组，则这五名同学的分配方案种数为()A．44B．50C．42D．388．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．6种C．10种D．16种9．如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为()A．18B．24C．30D．4210．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为()A．240B．420C．729D．920二、多项选择题11．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中劳动模范只有1班有2人，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是()A．若1班不再分配名额，则共有C204种分配方法B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C195种分配方法C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法12．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是()A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A54C41C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C32A33＋C31C42A33D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为C53C21+C52C32A33三、填空题13．用0，2，3，4，5五个数组成无重复数字的四位数，则不同的四位数共有________个，其中偶数共有________个．14．把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有________种．15．用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有________个．16．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法有________种．参考答案1．D[∵C2A222＝42，解得n＝7或n＝－6(舍去)，！3×2×1×3×2×1＝140．]3！K4！＝7！3！×3！＝7×6×5×4×3×2×12．A[分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色．故选A.]3．C[甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有C51C41＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法．故选C.]4．B[先从5人中选1人连续两天参加服务，共有C51＝5(种)选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选1人参加星期天服务，共有C41·C31＝12(种)选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60(种)选法．故选B.] 5．D[法一：由“挡板法”可知，共有C42＝6(种)．法二：若按3，1，1分成3组给3个不同的球迷，有3种不同的方法；若按2，2，1分成3组给3个不同的球迷，也有3种不同的方法．故所有不同的分法种数为3＋3＝6(种)．故选D.]6．B[因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位．①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，所以有A22×A21×A22＝8(种)方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，所以有A22×A21×A22＝8(种)方法；由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16(种)排法．故选B.]7．B[若A小组只有一人，则5人的分配方案有C42C22＋C43A22＝14(种)；若A小组只有两人，则5人的分配方案有C41C32A22＝24(种)；若A小组恰有三人，则5人的分配方案有C42A22＝12(种).所以共有50种.故选B.]8．B[分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．]9．A[若3种不同的颜色灯带都使用，故有两块区域涂色相同，要么A，C，要么B，D相同，有2种方案，则不同的信号数为2A33＝12；若只用2种不同的颜色灯带，则A，C颜色相同，B，D颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为C32A22＝6；则不同的信号总数为12＋6＝18.故选A.]10．A[法一：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．法二：分两类：①如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C92个；②如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有(C93A22＋C92)个.综上所述，所有凸数共有2C92＋C93A22＝240(个).]11．BD[对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有C194种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有C195种分配方法，故B正确；对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳动模范，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个挡板即可，故有C95＝126(种)，故C错误，D正确．故选BD.] 12．ABD[对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C52A44种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有C32A33＋C种安排方法，C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3分组方法，将分好的3组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A33种情况，A33种安排方法，D错误.故选ABD.]13．9660[由题可知，满足条件的四位数共有4×4×3×2＝96(个)，其中偶数分为个位数是0和个位数不是0，若这个偶数的个位数是0，则有A43＝4×3×2＝24(个)；若这个偶数的个位数不是0，则有C21C31A32＝36(个)．故满足条件的四位数中偶数的总个数为24＋36＝60．] 14．96[先排列A，A，α，β，若A，A不相邻，不同的排法有A22C32＝6(种)；若A，A相邻，有A33＝6(种)，共有不同的排法6＋6＝12(种)．从所形成的5个空中选3个插入1，1，1，排法共有12C53＝120(种)．当A，A相邻时，从所形成的4个空中选3个插入1，1，1，共有6C43＝24(种)．故若三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有120－24＝96(种)．]15．45[(1)若三位数字中有2个0，只有一种情况900．(2)若三位数字有一个0，则有108，180，207，270，306，360，405，450，504，540，603，630，702，720，801，810共16个．(3)若三位数中没有0，则等价于9个1排成一列，插入两隔板，分成三部分，共有C82＝28个．故共有1＋16＋28＝45个．]16．30[设3种不同的颜色为a，b，c，对于“火、土”两个位置有3×2＝6(种)不同的涂色方法，不妨设“火、土”两个位置分别为a，b.(1)若“金”位涂色为a，则有：①若“水”位涂色为b，则“木”位涂色为c，共1种不同的涂色方法；②若“水”位涂色为c，则“木”位涂色为b，共1种不同的涂色方法；共2种涂色可能．(2)若“金”位涂色为c，则有：①若“水”位涂色为a，则“木”位涂色为b或c，共2种不同的涂色方法；②若“水”位涂色为b，则“木”位涂色为c，共1种不同的涂色方法；共3种涂色可能．综上所述，共6×(2＋3)＝30种不同的涂色方法．。
2024高考数学一轮复习第章计数原理和概率第2课时排列与组合练习理2024024148
2024高考数学一轮复习第章计数原理和概率第2课时排列与组合练习理2024024148首先，我们先来回顾一下排列与组合的概念：排列是指将若干个事物按照一定的次序进行排列。
排列又分为有放回排列和无放回排列。
有放回排列是指在排列的过程中，每次选取一个事物后，将其放回，再选取下一个事物。
无放回排列是指在排列的过程中，每次选取一个事物后，不放回，再选取下一个事物。
组合是指不考虑排列顺序，从一组事物中选出若干个事物组成一个集合。
组合也分为有放回组合和无放回组合。
有放回组合是指在组合的过程中，每次选取一个事物后，将其放回，再选取下一个事物。
无放回组合是指在组合的过程中，每次选取一个事物后，不放回，再选取下一个事物。
接下来，我们进行排列与组合的练习：1.从6个数字0、1、2、3、4、5中选取3个数字，能够组成多少个不重复的三位数？解析：根据排列的概念，这个问题是一个无放回排列问题，也就是说选取一个数字后不放回，再选取下一个数字。
因此，选取3个数字可以有6种选择，然后在每一次选择之后，剩下的数字都会减少一个。
所以，可以使用排列公式计算：排列数=6×5×4=120因此，能够组成120个不重复的三位数。
2.从10个学生中选出5个学生，作为一组参加活动，请问有多少种不同的组合？解析：根据组合的概念，这个问题是一个无放回组合问题，也就是说选取一个学生后不放回，再选取下一个学生。
因此，选取5个学生可以有10种选择，然后在每一次选择之后，剩下的学生都会减少一个。
所以，可以使用组合公式计算：组合数=C(10,5)=10!/(5!×(10-5)!)=252因此，有252种不同的组合。
3.有8本书，其中3本是数学书，3本是英语书，2本是历史书。
现在想把这些书放在一起，使得数学书、英语书和历史书相邻，请问有多少种不同的放法？解析：根据排列的概念，这个问题是一个无放回排列问题，也就是说选取一本书后不放回，再选取下一本书。
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【巩固练习】1.(2015 四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个2．某商场共有4个门，若从一个门进另一个门出，不同走法的种数是( )(A)4 (B)7 (C)12 (D)163．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种4．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有()A．2 680种B．4 320种C．4 920种D．5 140种5．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为()A．80 B．120C．140 D．506．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午不能做E实验，则不同的安排方式共有()A．144种B．192种C．216种D．264种7．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()A．4 B．6C．9 D．128．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )(A)60种 (B)70种 (C)80种 (D)120种9.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为()A．180 B．240C．360 D．42010.(2015 广东模拟)将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分配到同一个学校，则不同分法的种数为 .11．5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆，宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有______种(用数字作答)．12．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________种．13．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)，则从A点走到B点最短的走法有______种.14．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？15.(2015春中山校级其中)有5个不同的秋，5个不同的盒子，先要把球全部放入盒内.(1)共有几种方法？(2)恰有一个盒子不放球，共有几种方法？(3)恰有两个盒子不放球，共有几种方法？16．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．【参考答案】 1.【答案】B【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末尾数字为0,2,4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字是5时，末位数字有三种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的三个位置上，有3424A =种情况，此时有324=72⨯个②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余4个书中任取3个，放在剩余3个位置上，有3424A =种情况，此时有224=48⨯个共有72+48=120个，故选B. 2．【答案】选C.【解析】要完成这件事有两个步骤：第一步进门有4种方法；第二步出门有3种方法，两步全部完成才能完成这件事，所以完成这件事共有4×3=12(种)方法. 3．【答案】选C.【解析】若选甲、乙二人，包括甲操作A 车床，乙操作B 车床，或甲操作B 车床，乙操作A 车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B 车床，丙操作A 车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B 车床，丙操作A 车床这一种选派方法，故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法． 4．【答案】选B.【解析】先将7盆花全排列，共有A 77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有34345A A 种，故所求摆放方法有734734-5A A A ＝4 320种．5．【答案】选A.【解析】当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有3152C C ＝20种不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有3253C C ＝30种不同的分配方案； 当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有2153C C ＝30种不同的分配方案．故共有20＋30＋30＝80种不同的分配方案． 6．【答案】选D【解析】根据题意得，上午要做的实验是A ，B ，C ，E ，下午要做的实验是A ，B ，C ，D ，且上午做了A ，B ，C 实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E 实验，其余三人分别做A ，B ，C 实验，有1343C A ＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E 实验的同学下午选D 实验，另三位同学对A ，B ，C 实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N 1＝1×2＝2种；②上午选E 实验的同学下午选A ，B ，C 实验之一，另外三位从剩下的两项和D 一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N 2＝13C ·3＝9种，于是，不同的安排方式共有N ＝24×(2＋9)＝264种．7．【答案】选B【解析】如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a ，c 位置，8只能在b ，d 位置，依(a ，b ，c ，d )顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.8．【答案】选D.【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资一个项目，共有35A 种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有211354C A A 种方案.由分类加法计数原理得共有+32115354A C A A =120种方案.9．【答案】选D【解析】本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种栽种方案，再种区域2，有4种栽种方案，接着种区域3，有3种栽种方案，种区域4时应注意：区域2与4种同色花时，区域4有1种栽种方案，此时区域5有3种栽种方案；区域2与4种不同色花时，区域4有2种栽种方案，此时区域5有2种栽种方案，故共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种栽种方案． 10.【答案】30【解析】考虑用反证法，因为甲、乙两名老师分配到同一个学校有32=6⨯种排法将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有234336C A ⋅=种排法故有甲、乙两名老师不能分配到同一个学校有36-6=30种排法；故答案为30. 11．【答案】20．【解析】由题意可知，5人入住的两间客房为一间3人间和一间2人间，则所求的不同方法有3152C C ＝20种．12．【答案】240．【解析】先从6双手套中任取一双，有16C 种取法，再从其余手套中任取2只，有210C 种取法，其中取到一双同色手套的取法有C 15种．故总的取法有16C (21105-C C )＝240种．13．【答案】210.【解析】每条东西向街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段是走南北方向的)，共有=641010C C =210(种)走法. 14．【解析】由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18种；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种， 此时共有1×2＝2种；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20种选法．15.【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有5种独立的方法，由分步乘法计数原理，方法共有55=3125种，(2)“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个不放球”是一回事，故共有24551200C A =种(3)5个球分为3组有两种分法，(2,2,1)，(3,1,1)所以恰有两个盒子不放球的不同放法是223135352522221500C C C C A A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭种. 16．【解析】(1)由于A ，B 必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有310C ＝120(种)．(2)从除去的A ，B 两人的10人中选5人即可，∴有510C ＝252(种)． (3)全部选法有512C 种， A ，B 全当选有310C 种，故A ，B 不全当选有512C －310C ＝672种．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，∴有512C －1457C C －57C ＝596(种)． (5)分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为1175C C ； 第二步：选2男1女补足5人有2164C C 种； 第三步：为这3人安排工作有33A .由分步乘法计数原理共有1121375643C C C C A ＝12 600(种)。