第1讲 数学建模简介

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第1讲 数学建模简介

第1讲 数学建模简介

A 奥运会临时超市网点设计 B 电力市场的输电阻塞管理
2005
A B A
长江水质的评价和预测 DVD 在线租赁
2006
2007 2008
出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效 B 的预测 A 中国人口增长预测 B A B 乘公交,看奥运 数码相机定位 高校教育学费标准探讨
2009
A B A
2010 B
数学建模
数学建模简介
一. 什么是数学建模?
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起 数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技 术进行求解.
观点:“所谓高科技就是一种数学技术”
二、数学建模的步骤
实际问题 在实际过程中用 那一种方法建模主要是 根据我们对研究对象的
抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地 求解、确定参数
了解程度和建模目的来
决定.机理分析法建模
的具体步骤大致可见右
图.
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用,从而可产生 经济、社会效益
三、近几年全国大学生数学建模竞赛题
1994 1995 1996 A B A B A B 逢山开路 锁具装箱 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机问题 最优捕鱼问题
1997 1998 1999 2000
ห้องสมุดไป่ตู้
A B A B A B A B
零件的参数设计 最优截断切割问题 投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 钻井布局 DNA 序列分类 钢管订购和运输
2001 2002 2003 2004

第一章 数学建模概述

第一章 数学建模概述
数学模型与数学建模方法
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第一章 数学建模概述
3.模型构成. 根据所作的假设以及事物之间的联系 , 利用适当的数学工具去刻划各变 量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型 .把问题化为数学问 题.要注意尽量采取简单的数学工具 ,因为简单的数学模型往往更能反映事物 的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.
数学模型与数学建模方法
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第一章 数学建模概述
1.4 数学建模的一般方法
2.测试分析方法 测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱" 系统,内部机理无法直接寻 求,通过测量系统的输入输出数据 ,并以此为基础运用统计分析方法 ,按照事先 确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型. (1) 回归分析法--用于对函数 f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表 达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. (2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. (3) 回归分析法--用于对函数 f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表 达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. (4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.
数学模型与数学建模方法
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第一章 数学建模概述
如航行问题: 甲乙两地相距 750 公里, 船从甲地到乙地顺水航行需要 30 小时, 而从乙地到甲地逆水航行需要 50 小时,问船速和水速各为多少?
假设船速和水速均为常数,并用 x 表示船速,用 y 表示水速,单位公里/小时。 则可得方程组
30( x y) 750, 50( x y) 750.

第1讲 数学建模简介

第1讲 数学建模简介

例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后, 时间和空间变化的数学模型后,可以用来分析药 物的疗效,从而有效地指导临床用药. 物的疗效,从而有效地指导临床用药. 2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售 例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售 的数学模型,是为了获取尽可能高的经济效益. 的数学模型,是为了获取尽可能高的经济效益. 数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。 与数学世界的理想桥梁。
交通事故调查
一辆汽车在拐弯时急刹车, 结果冲到路边的沟里(见图 1.1)。交警立即赶到事故现 场。司机申辩说,当他进入 弯道时刹车已失灵,他还一 口咬定,进入弯道时其车速Y NhomakorabeaO
X
为40英里/小时(即该车在这类公路上的速度上限,相当 于17.9米/秒),交警验车时证实该车的制动器在事故 发生时的确失灵,然而司机所说的车速是否真实呢?
数 学 建 模
一. 数学科学的重要性 科学技术是第一生产力; * 科学技术是第一生产力; * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争; 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争; 高技术” * “高技术”本质上是一种数学技术; 高技术 本质上是一种数学技术; * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 数学科学是一种关键的、普遍的、 的技术; 的技术; * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用; 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用; 在经济竞争中数学科学是必不可少的; * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
数学模型(定义 : 数学模型 定义): 定义 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 是用数学符号、数学公式、程序、 是用数学符号、数学公式、程序、图、表等 刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化 表述. 表述

数学建模简介1

数学建模简介1

数学建模的方法和步骤
模型假设
在明确建模目的,掌握必要资料的基础上, 通过对资料的分析,根据对象的特征和建 模目的,找出起主要作用的因素,对问题 进行必要的、合理的简化,用精确的语言 提出若干符合客观实际的合理假设。
数学建模的方法和步骤
模型假设
作出合理假设,是建模至关重要的一步。 如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是 一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超 的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判 断力 ,善于辨别主次,而且为了使处理方 法简单,应尽量使问题线性化、均匀化。
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山,下 午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下 山,下午5时回到旅店。某乙说,甲必在两天中 的同一时刻经过路径中的同一地点,为什么?
2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反 的两所学校上学,每天同时放学后分别以4千米/ 小时和2千米/小时的速度步行回家,一小狗以6千 米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹,又从妹妹处奔 向哥哥,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多 少路程?
四、模型的特点:
逼真性和可行性 渐进性 强健性 可移植性 非预测性 条理性 技艺性 局限性
五、建模能力的培养:
具有广博的知识(包括数学和各种实际知 识)、丰富的经验、各方面的能力、注意 掌握分寸。

具有丰富的想象力和敏锐的洞察力
类比法和理想化方法
直觉和灵感
实例研究法
学 习 、 分 析 别 人 的 模 型 亲 手 去 做
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
什么是数学建模
什么是数学模型?
简单地说:数学模型就是对实际问题的一种 数学表述。
具体一点说:数学模型是以部分现实世界为某 种研究目的的一个抽象的、简化的数学结构。 这种数学结构可以是数学公式、算法、表格、 图示等。

数学建模简介

数学建模简介

数学建模
建立数学模型的全过程 (包括表述、求解、解释、检验等)
18
数学模型的分类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 连续型模型、离散型模型或确定性 模型、随机型模型等
初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、优化模型等
数学建模
第一讲 概述
主要内容
• 1.什么是数学模型? • 2.如何数学建模?
• 3.为什么数学建模?
2
1.什么是数学模型?
• 数学 • 模型
• 数学模型
3
1、圆形蜘蛛网是一个简单漂 亮的数学创造 2、蜂巢
自 然 离 不 开 数 学
3、在矿物结构中,可以找到许多更为奇妙的空间图形
4
问题/应用 核磁共振成像技术(MRI) 计算机辅助成像(CAT) 空中交通管制 积分几何 控制论
类似这样的问题,后来被统称为“一笔画”问题。 作为一笔画,应该只有一个起点和一个终点,而其它点只能是通过点.
图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以,这是一个不可行 的一笔画问题。
17
什么是数学模型、数学建模
数学模型 • 一般地说,数学模型可以描述为,对于现实世
界的一个 特定对象,为了一个特定目的 ,根据 特有的内在规律 ,做出一些必要的 简化假设 , 运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
29
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤

第1讲 数学建模简介 PPT课件

第1讲 数学建模简介 PPT课件

什么是数学建模 数学建模步骤及分类 建模竞赛及其意义 建模实例讲解
什么是数学建模
什么是数学模型 一般意义上的“模型”
为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提 炼出来的原型的替代物。
水箱中的舰艇; 风洞中的飞机等;
实物模型
符号模型
物理模型
什么是数学建模
数学模型(mathematical model)
引例
第二块钢板的故事,来自一位将军。 诺曼底登陆时,美军101空降师副师长唐·普拉特准将
乘坐的是滑翔机。起飞前,有人自作聪明,在副师长的座 位下,装上厚厚的钢板,用来防弹。由于滑翔机自身没有 动力,与牵引的运输机脱钩后,必须保持平衡滑翔降落, 沉重的钢板却让滑翔机头重脚轻,一头扎向地面,普拉特 准将成为美军在当天阵亡的唯一将领。
什么是数学建模
数学建模(mathematical modeling)
“新”名词 你是什么时候开始知道有这个名词的?
历史悠久 •《九章算术》— 最早的数学建模专著、 收集了246个应用题 • 以问题集形式出现: 一“问” —提出问题 二“答” —给出问题的数值答案 三“术” —讨论同类问题的普遍方法或算法 四“注” —说明“术”的理由,实质指证明或佐证
飞行员们一看就明白了,如果座舱中弹,飞行 员就完了;尾翼中弹,飞机失去平衡,就会坠落— ——这两处中弹,轰炸机多半回不来,难怪统计数 据是一片空白。
因此,结论很简单:只给这两个部位焊上钢板。
引例
• 第一块钢板是机智的飞行员用它挽救了自己 的生命。 • 第二块钢板则是教训,它是用宝贵的生命换 来的。 • 第三块钢板是升华,用科学的方法,从实战 经验中提炼出规律,这块讲科学的钢板,挽救 了众多飞行员的生命。

数学建模第一讲

数学建模第一讲
数学建模第一讲
目录
• 数学建模简介 • 数学建模基础知识 • 数学建模基本方法 • 数学建模案例分析 • 数学建模实践与挑战
01
数学建模简介
数学建模的定义
数学建模
使用数学语言、符号、公式等工 具,对现实世界的问题进行抽象 、简化、假设和推理,从而得出 数学模型的过程。
数学模型
根据实际问题建立起来的数学结 构,它可以用来描述和预测现象 的发展规律和趋势。
概率论建模方法的特点是能够描述随机性和不确定性,但计算过程可能较为复杂, 需要借助计算机软件进行模拟和计算。
04
数学建模案例分析
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常采用指数增长或逻辑增长模型来描述人口随时间变化的规律。通过收集历史数据并拟合模型参 数,可以预测未来人口数量,为政策制定提供依据。
数学建模的重要性
解决实际问题
数学建模是解决实际问题的有效 手段,通过建立数学模型,可以 更好地理解和解决现实世界中的
问题。
促进跨学科合作
数学建模需要不同领域的专家合作, 可以促进跨学科的合作和交流,推 动科学技术的发展。
提高数学应用能力
数学建模可以提高数学的应用能力, 将理论知识与实践相结合,增强学 生的综合素质。
进行研究和解决。
02
数学建模基础知识
代数基础
代数方程与不等式
掌握代数方程的解法,理解不等式的 性质和求解方法。
函数与极限
理解函数的定义和性质,掌握极限的 概念和计算方法。
微积分基础
导数与微分
理解导数的概念和性质,掌握微分的计算方法。
积分
理解积分的概念和性质,掌握定积分的计算方法。

第一讲 1数学建模概述

第一讲  1数学建模概述

课时小结:
本节课我们主要学习、了解了数学建模 的发展简史及其相关建模概念, 并通过引例 让大家对数学建模的解题步骤有了初步理 解和认识。希望能以此培养大家对建模的 兴趣爱好——生活中,问题几乎到处都存 在着,只要大家用心,可以发现很多问题 都可以通过数学建模来进行分析和解决!
数学建模过程
现实对象的 表述 信息 (归纳)
验 证 求 解 ) 解释 绎 ( 演
现实对象的 解
现实对象
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ



数学建模过程也可细分为下面七个步骤:
(1)建模准备;(2)化简假设;(3)建立数学模型;(4)模型 求解;(5)模型分析;(6)模型检验;(7)模型应用。 其中建立数学模型是关键。
所谓的数学模型,就是针对或参照某种事物系统的特 征或数量相依关系,采用形式化的数学语言,概括地或近 似地表达出来的一种数学结构。 提炼数学模型时,一般需要把研究对象看成一个系统, 抓住系统的主要因素,屏弃系统的次要因素,并根据有关 科学理论确定反映系统状态、特征和变化规律的基本量, 再分析研究数量关系以形成能够求解的数学问题。 数学模型必须具备以下条件: 1)既反映现实原型的本质特征,又要加以合理的简 化; 2)在数学模型上要能够对所研究的问题进行理论分 析,逻辑推导,得出确定的结论; 3)在数学模型上求得的结果要能回到具体研究对象 中去,解决实际问题。
C0 + L q= . P−C
课堂练习
1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午 5时到达山顶并留宿;次日早8时沿同一条路径下 山,下午5时回到旅店。某乙说,甲必在两天中的 同一时刻经过路径中的同一地点。为什么?
(相当于有两个人在同一时刻出发相遇的问题)

数学建模讲座(一)什么是数学建模?

数学建模讲座(一)什么是数学建模?
数学建模讲座
第一讲 什么是数学模型
建立数学模型
什么是数学模型
玩具、照片… 我们常见 的模型 风洞中的飞机… 地图、电路图… ~ 实物模型 ~ 物理模型 ~ 符号模型
模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行 模型 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 模型
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术, 数学建模与其说是一门技术,不如说是一门艺术 技术大致有章可循 想象力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 判断力 创新意识
洞察力
学习、分析、评价、改进别人作过的模型 学习、分析、评价、 亲自动手,认真作几个实际题目 亲自动手,
数学建模的重要意义
电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步, 越来越受到人们的重视。 数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳?
问题 椅子能在不平的地面上放稳吗? 模 型 1.椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处可视为一个点,四 假 脚的连线呈正方形; 设 2.地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没 有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面; 3. 模 型 构 成 椅脚连线为正方形ABCD( t ~椅子 点O 度 )
x (t ) = x 0 e
r t
rt
dx = rx , x ( 0 ) = x 0 dt
x(t) = x0 (e ) ≈ x0(1+r)
t
随着时间增加人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)

1数学建模简介

1数学建模简介

数学建模与能力的培养 仅最近几年里, 仅最近几年里,我
校学生都在只参加 锻炼, ①数学建模实践的 了半年左右的学习 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼, 在调查研究阶段, 和实践后,就在全 要用到观察能力 分析能力和 观察能力、 在调查研究阶段,需 要用到观察能力、分析能力和数据 和实践后, 处理能力等 处理能力等。在提出假设 时,又需要用到 想象力和归纳 国大学生数学建模 开设数学建模课的主要目的为了提高学 简化能力。 生的综合素质 简化能力。 生的综合素质,增强 应用数学知识 解决实际问 综合素质, 竞赛中交出了非常 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前, ,夺得 ②在真正开始自己的研究之前,还应当尽可能先了解一下 出色的论文, 出色的论文 前人或别人的工作, 前人或别人的工作,使自己的工作成为别人研究工作的继 了国家奖2 了国家奖2项、省 续而不是别人工作的重复, 续而不是别人工作的重复,你可以把某些已知的研究结果 一等奖五项的好成 用作你的假设,去探索新的奥秘。 用作你的假设,去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 查到并学会我想应用的知识的本领 我想应用的知识的本领。 尽可能短的时间 内绩。 查到并学会我想应用的知识的本领。
数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同之处在于它来 自实际问题或有明确的实际背景, 自实际问题或有明确的实际背景,它的宗旨是培养 大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力, 大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力,培 养创新意识、团队精神,鼓励参与、提倡公平竞争, 养创新意识、团队精神,鼓励参与、提倡公平竞争, 提高学生综合素质。 提高学生综合素质。 整个比赛要完成一篇包括问题的阐述分析, 整个比赛要完成一篇包括问题的阐述分析,模型的 假设和建立,计算结果及讨论的论文。 假设和建立,计算结果及讨论的论文。通过训练和 比赛,同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识 比赛, 和能力有很大提高, 和能力有很大提高,而且在团结合作发挥集体力量 攻关, 攻关,以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有 益的锻炼。 益的锻炼。

第一讲数学建模概论

第一讲数学建模概论
1313分类标准分类标准具体类别具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型灰箱模型黑箱模型模型中变量的特连续型模型离散型模型或确定性模型随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型微分方程模型差分方程模型优化模型等研究课题的实际范畴人口模型生态系统模型交通流模型经济模型基因模型等数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼在调查研究阶段需要用到观察能力分析能力和数据处理能力等
f ( 0 ) > 0, 且 对任意 θ , f (θ ) ⋅ g (θ ) = 0
求证:至少存在 θ 0 ∈ ( 0 ,
π
2 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) = 0
) ,使得
4 模型求解 证明: 将椅子转动
π
2
,对角线互换,由
π π
g ( 0 ) = 0, f ( 0 ) > 0 , 可得 f ( ) = 0 , g ( ) > 0 , 2 2 令 h (θ ) = f (θ ) − g (θ ), 则 h (0) = f (0) − g (0) > 0, π π π
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 连续型模型、离散型模型或确定性 连续型模型、 模型、 模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、 初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、 程模型、优化模型等
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入, • 2 代入,即得 r − rw = − 2 T r

数学建模(第一讲)

数学建模(第一讲)

• 优秀论文刊登于次年《工程数学学报》( 2000年前为 《数学的实践与认识》) • 网址:
数学建模竞赛内容与形式 内容 • 赛题:工程、管理中经过简化的实际问题
• 答卷:一篇包含问题分析、模型假设、建立、求 解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文
形式 • 3名大学生组队,在3天内完成的通讯比赛
大量需要的,做这样的事情远不只
是数学知识和解数学题目的能力, 而需要多方面的综合知识与能力。
因此,学校应当努力培养和提高学
生在这方面的能力。
正是由于认识到培养应用型、研究 型科技人才的重要性,而传统的数学 竞赛不能担当这个任务,从1983年起, 美国就有一些有识之士探讨组织一项 应用数学方面的竞赛的可能性。经过 论证、争论、争取资金等过程,1985 年举行了美国第一届大学生数学建模 竞赛。 简称MCM竞赛由美国工业与用数 学学会和美国运筹学学会联合主办。
解:设鸡蛋分成9个一堆共 x 堆 ,
12个一堆共 y 堆 则9x+2=12y+7 解得x=19 , y=13
张阿婆共携鸡蛋 9*19+2=173个
原型: 原型是指人们在现时世界里关心、研 究或者从事生产、管理的实际对象。 模型:
模型是指为了某个目的,将原型的某一
部分信息减缩、提炼而构成的原型的替代 物。
一般地说,数学模型可以描 述为,对于现实世界的一个特定 对象,为了一个特定目的,根据 特有的内在规律,做出一些必要 的简化假设,运用一些适当的数 学工具,得到的一个数学结构。 建立数学模型的过程就称为建模。
实例5
人口模型
某市2005年初有常住人口100 万,流动人口20万,已知流动人 口的年增长率为1%, 常住人 口的年增长率为0.5%,请你预测 到2055年初该市拥有的人口数。

数学建模1

数学建模1
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
t
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报,必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
y rt a,
其中:y ln x.a ln x0 。

以1790年到1900年的数据拟合⑷式,可得
r 0.2743/10年, x0 4.1884.
以1790年到2000年的全部数据拟合⑷式,可得
r 0.2022/10年, x0 6.0450.
模型检验
用上面得到的参数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)
r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
C

O D´
A
x
D
正方形 对称性

A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
能无限增长,这是因为人口的增长率实际上是在不断
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模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
y 3 2 1 0 1 2 3 x
• 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
2、什么是数学建模?
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实 践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后
,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后
运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
数学建模其实并不是什么新东西,可以说有了 数学并需要用数学去解决实际问题,就一定要用数学 的语言、方法去近似地刻划该实际问题,这种刻划的 数学表述的就是一个数学模型,其过程就是数学建模 的过程。数学模型一经提出,就要用一定的技术手段 (计算、证明等)来求解并验证,其中大量的计算往 往是必不可少的,高性能的计算机的出现使数学建模 这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展,掀起一个 高潮。
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后,增长率下降的原因: 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x ) r sx ( r , s 0 ) r~固有增长率(x很小时)
2011
A B
城市表层土壤重金属污染分析 交巡警服务平台的设置与调度
• 我校从1998年参加全国大学生数学建模竞 赛以来,取得了较好的成绩。共获得全国 二等奖5队,山东省一等奖20余队,山东省 二等奖50余队。特别地,2010年、2011年 连续两年均有国家奖获得。
2010年成绩
2011年成绩
2. 数学建模论文的撰写方法
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
数学 问题
已知: f() , g()是连续函数 ;
对任意, f() • g()=0 ;

数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中, 是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题 的能力的必备手段之一。

1.2
•机理分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识, 找出反映内部机理的数量规律
将对象看作‚黑箱‛,通过对量测数据的 统计分析,找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数

• 竞赛宗旨: 创新意识 公平竞争 竞赛相关网站:

团队精神 重在参与
竞赛相关软件包:
Matlab Mathematic Maple Lingo Lindo Sas Spss
1.5
近几年全国大学生数学建模竞赛题
A B A B A B 逢山开路 锁具装箱 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机问题 最优捕鱼问题
1994
1995
1996
1997
A B A B A B A B
零件的参数设计 最优截断切割问题 投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 钻井布局 DNA 序列分类 钢管订购和运输 r t来自x (t ) x 0 e
r
rt
x ( t ) x 0 ( e ) x 0 (1 r )
t
t
随着时间增加,人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
数学建模的基本方法
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法,主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
数学建模的一般步骤
常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
x k x 0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x (t t ) x (t ) x (t )
x(t) ~时刻t的人口
dx dt rx , x ( 0 ) x 0
1.4
全国大学生数学建模竞赛
• 全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课 外科技活动之一。本竞赛每年9月第三个星期五至 下一周星期一(共3天,72小时)举行,竞赛面向 全国大专院校的学生,不分专业(但竞赛分甲、乙 两组,甲组竞赛任何学生均可参加,乙组竞赛只有 大专生(包括高职、高专生)或本科非理工科学生 可以参加)。 2011 年,来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳 门特区)及新加坡、美国、伊朗的1251所院校、19490个 队(其中本科组16008队、专科组3482队)、58000多名 大学生报名参加本项竞赛。
1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录
实例 格式
3. 数学建模示例
3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
把四只脚的椅子往不平的地面上一放,通常只 有三只脚着地,放不稳,然而有人认为只要稍转 动几次,就可以四脚着地,放稳了,对吗?
且 g(0)=0, f(0) > 0.
证明:存在0,使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900,对角线AC和BD互换。 由g(0)=0, f(0) > 0 ,知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
数学建模与数学实验
数学建模简介
山东工商学院数学与信息科学学院
数学建模简介
1.关于数学建模
2.数学建模论文的撰写方法
3.数学建模实例
A. 椅子能在不平的地面上放稳吗? B.商人安全过河问题 C.人口预报问题
1.1
名词解释
1、什么是数学模型?
数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个 特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的假 设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构。 简单地说:就是系统的某种特征的本质的数学表达 式(或是用数学术语对部分现实世界的描述),即用 数学式子(如函数、图形、代数方程、微分方程、积 分方程、差分方程等)来描述(表述、模拟)所研究 的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
1998
1999
2000
2001
2002 2003 2004 2005 2006
A B A B A B A B A B A B
血管的三维重建 公交车调度 车灯线光源的优化设计
彩票中的数学
SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理 长江水质的评价和预测 DVD在线租赁
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 模型应用 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较, 检验模型的合理性、适用性
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ • 四只脚着 地 四个距离 (四只脚) 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 两个距离
C
O C´ D´ B A´

A
x
D
正方形 对称性
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
实践
理论
实践
1.3 数学模型及其分类
模型
具体模型 抽象模型
直观模型 物理模型 思维模型 符号模型 数学模型
数式模型 图形模型
数学模型的分类: ◆ 按研究方法和对象的数学特征分:初等模型、几何模型、优 化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、 扩散模型等。 ◆ 按研究对象的实际领域(或所属学科)分:人口模型、交通模 型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模 型、污染模型、经济模型、社会模型等。
xm~人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)
r ( xm ) 0
s r xm
r ( x ) r (1
x xm
)
阻滞增长模型(Logistic模型)
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
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