经典双曲线知识点
高二双曲线知识点大全
高二双曲线知识点大全一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一种平面曲线，它与一个对称轴相交于两个单独的点，被称为焦点。
双曲线的定义可表示为：离两个焦点的距离之差等于给定常数的点的轨迹。
1. 双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a表示实轴半轴的长度，b表示虚轴半轴的长度。
2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是曲线上离两个焦点距离之差恒定的点，而准线是曲线上离两个焦点距离之和恒定的直线。
3. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，中心对称于原点。
二、双曲线的图像特征1. 双曲线的离心率双曲线的离心率(e)定义为：e = c/a，其中c表示焦点到原点的距离，a表示实轴半轴的长度。
离心率决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线，即离两个焦点越远的点趋近于渐近线。
渐近线的方程为： y = ±(b/a)x。
其中b表示虚轴半轴的长度。
3. 双曲线的顶点和直径双曲线没有顶点，但有两条对称的虚轴。
通常，我们会称双曲线中心处的点为顶点。
直径是由两个对称的点与中心点所确定的线段。
三、双曲线的基本图像和方程变换1. 双曲线的基本图像（插入关于双曲线的示意图，可手绘或导入图片）2. 改变双曲线的形状和位置双曲线的形状和位置可以通过改变方程中的常数来实现。
例如，改变a和b的值可以调整双曲线的大小和比例，而改变c的值可以使双曲线在平面上移动。
3. 双曲线的旋转双曲线可以通过旋转来改变其方向。
通过适当调整方程中的x和y的系数，可以使双曲线绕着原点旋转一定角度。
四、双曲线的相关公式与应用1. 双曲线的离心率与焦距的关系根据焦距f和离心率e之间的关系可得：e² = 1 + (f/a)²。
2. 双曲线的弦长公式双曲线上两焦点之间的弦长可以通过以下公式计算：2a(e² - 1)。
3. 双曲线的面积计算双曲线的面积可以通过积分计算得出，公式为：S = ∫(y√(1 + (dy/dx)²))dx。
双曲线知识点总结
椭 圆一、1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程： 222c a b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac 称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），22221()b e a a ==-c 5.三个技巧：(1)用待定系数法求椭圆方程：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．1．椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若△ABF 2的周长为20，离心率为35，则椭圆方程为（ ） A ．221259x y += B ．2212516x y += C ．221925x y += D ．2211625x y += 2．已知椭圆2221(02)4x y b b +=<<与y 轴交于,A B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为（ ） A.1 B.2 C.4 D.83．直线y x =与椭圆2222:1x y C a b+=的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为 A ．152-+ B ．152+ C ．352- D ．124．已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，且120PF PF ⋅=，且121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．13D ．53 5．设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，若01160,||||F PQ PF PQ ∠==，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．233D ．33 6．已知设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为( )A ．33B ．36C ．13D ． 16 7.已知椭圆22221x y a b +=上的点P 到左、右两焦点1F 、2F 的距离之和为22，离心率22e = （I ）求椭圆的方程；（II ）过右焦点2F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆于A ，B 两点，试问：线段2OF 上是否存在一点M ，使得||||MA MB =？请作出并证明。
关于双曲线的知识点
关于双曲线的知识点
双曲线是数学中的一种重要曲线，具有以下性质：
1. 定义：双曲线是与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是
常数的点的轨迹。
这个距离差是正数或负数，取决于图形的形状。
2. 几何性质：双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，通常用2c表示。
双曲线的一条分支的长度称为实轴，通常用2a
表示。
双曲线的一条与实轴平行的线段的长度称为虚轴，通常用2b表示。
3. 方程：双曲线的方程通常为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其
中a和b分别是实轴和虚轴的长度。
当b=0时，双曲线变成一
对相交的直线;当a=b时，双曲线变成圆。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是y=±(b/a)x。
这
些线与双曲线无限接近，但永远不会相交。
5. 离心率：双曲线的离心率是指实轴和虚轴之间的比例。
离心率用e表示，e=c/a。
6. 参数方程：双曲线的参数方程可以表示为x=acos(t)，
y=bsin(t)。
其中，t是参数，取值范围是0到2π。
7. 应用：双曲线在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
例如，在物理学中，双曲线被用来描述粒子运动的轨道、光的
折射和反射等现象。
在工程学中，双曲线被用来设计桥梁、建筑物和飞机等结构。
总之，双曲线是数学中的重要概念和曲线类型，具有丰富的几何和方程性质，并在各个领域都有广泛应用。
双曲线经典知识点总结
其渐近线方程为t?沪ab n d
注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方
程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
y轴上。注意：对于双 曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
4.方程Ax2+By2=C（A、B C均不为零）表示双曲线的条件
①待定系数法
:由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类
车车豹
方程可设为总b（A>U，焦点在X轴上，AvU，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线
型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数d
b、C的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,
然后再根据定义确定方程。
2 2
双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:
3.如何由双曲线标准方程判断焦点位置
33
-丄二1知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为a， *2，则
双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看
2 2
X项的系数是正的，那么焦点在X轴上；如果y项的系数是正的，那么焦点在
(2)范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线
(a>0,b>0),把X换成一
—y，方程都不变，所以双曲线/H且是以原点为对称中心的中心对称图形，
=1
(a>0,b
这个对称中心
x=—a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线
围成一个矩形(如图)，
双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
J323
经典双曲线知识点
双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。
重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作报告、工作计划、活动方案、规章制度、演讲致辞、合同协议、条据文书、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as work reports, work plans, activity plans, rules and regulations, speeches, contract agreements, documentary evidence, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!双曲线的基本知识点双曲线的基本知识点大全一般的，双曲线(希腊语“Υπερβολία”，字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则：
构成满足
(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;。
双曲线经典知识点总结-双曲线知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
双曲线知识点
双曲线知识点 （一）双曲线的第一定义： 定义：到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数122(2)a a F F <的点P 的轨迹叫做双曲线．这两个定点12,F F 叫做双曲线的___双曲线的焦点__，两个焦点的距离12F F 叫做_双曲线的焦距_．答案：平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于，焦点，焦线注意 1：当122a F F <时，动点的轨迹是__________________； 2 当122a F F =时，动点的轨迹是_________________________；3 当122a F F >时，动点的轨迹______________________．答案：（1）双曲线（2）两条射线 （3）无轨迹 练习：请说出下列方程对应曲线的名称：6||||||),0,5(),0,5()1(2121=--PF PF F F 6||||),0,5(),0,5()2(2121=--PF PF F F（3）2222|(5)(5)|6x y x y ++--+= （4）2222(4)(4)6x y x y ++--+=（5）2222(4)(4)25x y x y -++++= （6）2222(4)(4)8x y x y ++-+-=答案：1 双曲线 2双曲线右支 3双曲线 4 双曲线右支 5 椭圆 6（以（0，4）为端点，沿着y 轴正向的一条线）2、双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.3：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
高二数学双曲线知识点
高二数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的曲线类型之一，它具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍高二数学中关于双曲线的知识点。
一、定义与基本概念1. 双曲线的定义：双曲线是平面上一个动点与两个给定点（称为焦点）之间的距离差的绝对值等于一个定值（称为离心率）的轨迹。
2. 双曲线的几何特征：双曲线是非闭合曲线，两支曲线相似但不相交。
3. 双曲线的标准方程：一般形式为x²/a² - y²/b² = 1或y²/a² - x²/b²= 1。
4. 双曲线的焦点与离心率关系：离心率e的值决定了焦点与曲线形状的关系，e大于1时，焦点位于x轴；e小于1时，焦点位于y轴。
二、双曲线的性质1. 集中性质：双曲线的焦点位于x轴或y轴上，并且距离原点越远，离心率越大。
2. 对称性质：双曲线关于x轴、y轴和原点分别对称。
3. 渐进线性质：双曲线的渐进线是x轴和y轴，即曲线无限延伸但不与x轴和y轴相交。
4. 双曲线的渐成线性质：双曲线的渐成线是曲线两支的连接线段。
三、曲线的参数方程1. 参数方程的定义：对于双曲线，可以使用参数方程来描述曲线上的点的位置。
常用的参数方程有x = asect，y = btant和x = acost，y = bsint。
2. 参数方程的图像特征：通过改变参数t的取值范围，可以观察到双曲线在平面上的不同部分以及曲线的形状。
四、双曲线的应用1. 物理中的应用：双曲线常用于描述天体运行轨迹、电磁波等物理现象。
2. 经济学中的应用：双曲线可以用于描述供需曲线、价格水平等经济学概念。
3. 工程中的应用：双曲线可用于工程设计和建模，如道路、桥梁等工程结构的设计。
总结：双曲线是高二数学中重要的曲线类型，它具有许多独特的性质和应用。
了解双曲线的定义、基本概念、性质以及参数方程的描述方法，可以帮助我们更好地理解和应用这一曲线类型。
高中数学双曲线知识点归纳
高中数学双曲线知识点归纳1. 双曲线的定义双曲线是数学中的一种曲线形状，定义为平面上满足一定关系式的点的集合。
双曲线由两个分离的曲线支构成，且每个支都是无限延伸的。
双曲线有许多重要的性质和应用。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程可以表示为以下形式：- 横轴双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a>0$且$b>0$。
- 纵轴双曲线方程：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$，其中$a>0$且$b>0$。
3. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点和准线是双曲线的重要概念。
- 焦点：对于横轴双曲线，焦点是位于横轴上的两个点；对于纵轴双曲线，焦点是位于纵轴上的两个点。
焦点具有很多重要的性质，如与双曲线的离心率相关等。
- 准线：对于横轴双曲线，准线是位于横轴上的两个点；对于纵轴双曲线，准线是位于纵轴上的两个点。
准线也与双曲线的离心率有关。
4. 双曲线的性质双曲线具有许多特殊的性质，包括但不限于：- 双曲线是对称的，关于$x$轴和$y$轴都具有对称性。
- 双曲线的离心率为超过1的正实数，离心率越大，曲线形状越扁平。
- 双曲线的渐近线是曲线的两个分支的极限位置，与曲线的形状和方程有关。
5. 双曲线的应用双曲线在数学和其他领域中有广泛的应用。
- 物理学中的抛物线轨迹、光学中的抛物面反射、天体力学中的行星轨道等问题都涉及到双曲线。
- 经济学中的供求曲线、成本曲线等也可以用双曲线进行建模和分析。
以上是对高中数学中双曲线知识点的简要归纳，希望对你有所帮助。
双曲线是数学中一个重要而有趣的概念，深入学习和应用双曲线将能拓宽你的数学视野。
双曲线知识点及性质大全
双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义. 2、双曲线的简单性质双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b-=，即0x ya b ±=，或b y x a =±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a =±的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中ce a=.5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b-=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b -=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n+=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b -=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D .[1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤；（1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=.（1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，XX 数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =XX 数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F ，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，XX 数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值； （2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x 轴上，其渐近线方程是y x =，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线l 的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，XX 数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点
1、双曲线的定义：
一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支：
双曲线有两个分支。
当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。
3、双曲线的顶点：
双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴：
两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线：
双曲线有两条渐近线。
渐近线和双曲线不相交。
渐近线的方程求法是：将标准方程的右边的常数改为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
6、应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。
7、双曲线的标准方程和几何性质：。
高中数学双曲线知识点
高中数学双曲线知识点
1. 定义：双曲线是平面上到两个不相交定点F1、F2的距离差
等于常数2a的点P的轨迹。
2. 方程：双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1或
(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1。
3. 对称性：双曲线具有中心对称和轴对称性。
4. 焦点和准线：双曲线的焦点为F1、F2，准线为y=±a。
5. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别为y=±(b/a)x。
它们与
双曲线无交点，但双曲线的曲线趋近于这两条直线。
6. 参数方程：双曲线的参数方程为x=a*cosh(t)，y=b*sinh(t)，
其中cosh(t)和sinh(t)分别为双曲余弦和双曲正弦。
7. 单叶双曲线和双叶双曲线：当a>b时，双曲线为单叶双曲线；当a<b时，双曲线为双叶双曲线。
8. 常用公式：双曲线上任意一点P到准线的距离为
|y|=b/a*sqrt(x^2-a^2)；双曲线的离心率为e=c/a，其中c为焦距。
初中双曲线知识点
初中双曲线知识点
双曲线是初中数学中的一个重要概念，以下是一些关于双曲线的知识点：
1. 定义：双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
也可以定义为平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的点的轨迹。
定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
2. 性质：双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。
双曲线有两条过中心的渐近线，其交点位于双曲线的对称中心。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂，对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
3. 方程：在平面直角坐标系中，如果二元二次方程
F(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0满足一定条件，则其图像为双曲线。
以上是关于双曲线的一些基本知识点，包括其定义、性质和方程。
掌握这些知识点有助于更好地理解和应用双曲线的概念。
双曲线方程知识点详细总结
双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：= .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线的标准方程和简单几何性质常见考法在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。
重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
（4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线，所以离心率。
（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。
我们把直线叫做双曲线的渐近线。
注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
知识点四：双曲线与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率准线方程渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长,焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来.1．如何确定双曲线的标准方程当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。
此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
2．双曲线标准方程中的三个量a、b、c的几何意义双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。
3．如何由双曲线标准方程判断焦点位置双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
注意：对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
4．方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C 可化为，即，所以只有A、B 异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x 轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上。
5．求双曲线标准方程的常用方法：①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量。
若两种类型都有可能，则需分类讨论。
6．如何解决与焦点三角形△PF1F2（P为双曲线上的点）有关的计算问题与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系.7．如何确定离心率e的取值情况与双曲线形状的关系：离心率，因为c2=a2+b2，用a、b 表示为，当e 越大时，越大，即渐近线夹角（含x轴）越大，故开口越大；反之，e越小，开口越小。
离心率反映了双曲线开口的大小，且e＞1。
8．椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF1|+|MF2|=2a根据|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）标准方程统一为：类型一：双曲线的定义1．已知⊙O1：(x+5)2+y2=4，⊙O2：(x－5)2+y2=9（1）若动圆P与⊙1，⊙2均内切，求动圆圆心P点的轨迹；（2）若动圆Q与⊙1，⊙2均外切，求动圆圆心Q点的轨迹。
解析：（1）设⊙P半径为R，∵⊙O1与⊙O2相离，∴|PO1|=R－2，|PO2|=R－3 ∴|PO1|－|PO2|=1，又|O1O2|=10∴由双曲线的定义，P点的轨迹是以O1，O2为焦点，2a=1，2c＝10的双曲线的右支。
（2）设⊙Q半径为r，则|QO1|=r+2，|QO2|=r+3∴|QO2|－|QO1|=1，又|O1O2|=10∴由双曲线的定义，Q点的轨迹是以O1，O2为焦点，2a=1，2c＝10的双曲线的左支。
举一反三：【变式1】已知定点F1(－2,0)、F2(2,0)，平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（）A．|PF1|－|PF2|=±3B．|PF1|－|PF2|=±4C．|PF1|－|PF2|=±5 D．|PF1|2－|PF2|2=±4 【答案】A 【变式2】已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（）A．y=0 B．y=0（x≤－13或x≥13）C．x=0（|y|≥13）D．以上都不对【答案】C【变式3】已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线中的一支C．两条射线D．以上都不对答案：B类型二：双曲线的标准方程：2．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。
解法一：依题意设双曲线方程为－=1由已知得，又双曲线过点，∴∴：故所求双曲线的方程为.解法二：依题意设双曲线方程为，将点代入，解得，所以双曲线方程为.【变式1】求与椭圆有共同的焦点，且过点的双曲线的标准方程。
【答案】依题意设双曲线方程为由已知得，又双曲线过点，∴∴故所求双曲线的方程为.【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在轴，焦距为10，的双曲线的标准方程.【答案】3．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。
解析：由题意得2a=24，2c=26。
∴a=12，c=13，b2=132－122=25。
当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为。
总结升华：求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。
双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系数的正负。
【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为10的双曲线的标准方程.【答案】由已知设, ，则()依题意，解得.∴当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为.类型三：双曲线的几何性质4．方程表示双曲线，求实数m的取值范围。
解析：由题意得或或。
∴实数m的取值范围为。
总结升华：方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。
【变式1】k＞9是方程表示双曲线的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【变式2】求双曲线的焦距。
【答案】8【变式3】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（）A．－2B．1C．－1 D．【答案】C【变式4】（2011 湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为A．4B．3 C．2 D．1【答案】C5．已知双曲线方程，求渐近线方程。
（1）；（2）；（3）；（4）解析：（1）双曲线的渐近线方程为：即（2）双曲线的渐近线方程为：即（3）双曲线的渐近线方程为：即（4）双曲线的渐近线方程为：即总结升华：双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为即；若双曲线的方程为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上），则其渐近线方程为。
【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程。
：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【变式2】中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D6．根据下列条件，求双曲线方程。