广东省2017中考数学第11章解答题第51节解答题难题突破二圆的综合题复习课件

【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM， CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可； （2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定 理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定 义证明即可； （3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角 相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相 等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相 似三角形对应边成比例可得 ，从而得到 GE•GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解 即可．
∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF， ∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF， ∵△CEP∽△CAP， ∴∠EPQ=∠EAP， ∴∠QPF=∠EAP， ∴∠QPF=∠OPA， ∵∠OPA+∠OPC=90°， ∴∠QPF+∠OPC=90°， ∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线． 【点评】本题主要考查了切线的判定，解题的关 键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．
【解答】（1）证明：∵BD=BA， ∴∠BDA=∠BAD， ∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理）， ∴∠BCA=∠BAD． （2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且 ∠BED=∠CBA=90°， ∴△BED∽△CBA，
（3）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
∴△ABO≌△DBO（SSS）， ∴∠DBO=∠ABO， ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC， ∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED， ∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线． 【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理的 知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同 学们熟练掌握一些定理的内容．
（2）∵BC是⊙O切线， ∴∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODE=90°， ∵AE是直径，∴∠ADE=90°， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∴∠BDE=∠DAB， ∵∠B=∠B，∴△ABD∽△DBE． （3）在Rt△ODB中， 设BD=2 k，OB=3k，∵OD2+BD2=OB2， ∴4+8k2=9k2，∴k=2，∴BO=6，BD=4 ， ∵DO∥AC，
（3）GE•GF是定值，证明如下： 如图，连接GA，AF，GB， ∵点G为 的中点，∴ ∴∠BAG=∠AFG， 又∵∠AGE=∠FGA， ∴△AGE∽△FGA， ∴ ∴GE•GF=AG2， ∵AB为直径，AB=4， ∴∠BAG=∠ABG=45°， ∴AG=2 ， ∴GE•GF=8．
3．（2016广州）如图，点C为△ABD的外接圆上 的一动点（点C不在 上，且不与点B，D重合）， ∠ACB=∠ABD=45° （1）求证：BD是该外接圆的直径； （2）连接CD，求证： AC=BC+CD； （3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM， 连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足 的等量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°， 根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的 性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到 ∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得 到结论； （2）根据S△AOC= ，得到S△ACF= ，通过 △ACF∽△DAE，求得S△DAE= ，过A作 AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH= DH= DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；
【解答】解：（1）∵ ， ∴∠ACB=∠ADB=45°， ∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°， ∴BD是△ABD外接圆的直径. （2）如图，在CD的延长线上截取DE=BC，连接 EA， ∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD， ∵∠ADE+∠ADC=180°， ∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADE. 在△ABC与△ADE中，
2. （2015广东，24，9分） ⊙O是△ABC的外接圆，AB是 直径，过 的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接 AG、CP、PB． （1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数； （2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证： 四边形AGKC是平行四边形； （3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H， 连接PH，求证：PH⊥AB．
【解答】（1）解：∵点P为 的中点，AB为⊙O 直径， ∴BP=PC，PG⊥BC，CD=BD，∴∠ODB=90°， ∵D为OP的中点，∴OD= OP= OB， ∴cos∠BOD= ∴∠BOD=60°， ∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ODB，∴AC∥PG， ∴∠BAC=∠BOD=60°
过A作AH⊥DE于H，∴AH=
DH=
DE，
（3）∵∠EOF=∠AOB=120°， 在△AOF与△BOE中， ∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF， ∴∠OFG= （180°﹣∠EOF）=30°， ∴∠AFO=∠GFO. 过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°， 在△AOF与△OGF中，， ∴△AOF≌△GOF， ∴OG=OA，∴EF是⊙O的切线.
强化训练 1．（2016来宾）如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于 点E，AE为⊙O的直径 （1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：△ABD∽△DBE； （3）若cosB= ，AE=4，求CD． 【分析】（1）结论：BC与⊙O相 切，连接OD只要证明OD∥AC即可． （2）欲证明△ABD∽△DBE，只要证明 ∠BDE=∠DAB即可．
【分析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需 要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°， 所以需要证明∠ADB=45°； （2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需 要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论； （3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作 AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF 是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF= AM， 然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后 根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之 间的数量关系．
第十一章 解答题
第51节 解答题 难题突破二 （圆的综合题）
广东考点 1．（2016广东，24，9分）如图，⊙O是△ABC 的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点 B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半 径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF， 与直径BC的延长线交于点F． （1）求证：△ACF∽△DAE； （2）若S△AOC= ，求DE的长； （3）连接EF，求证：EF是⊙O 的切线．
∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE. （2） ∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°， ∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF， ∴OC=CF. ∵S△AOC= ，∴S△ACF= . ∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF. ∵AB= BD，∴AF= BD， ∴∠BAE=∠BEA=30°， ∴AB=BE=AF，∴ ∵△ACF∽△DAE， ∴
答：劣弧PC的长为：2π． （2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB， ∠PEA=90°，∠ADO=90° 在△ADO和△PEO中，
∴△POE≌△AOD（AAS）， ∴OD=EO；
（3）证明：如图，连接AP，PC， ∵OA=OP， ∴∠OAP=∠OPA， 由（2）得OD=EO， ∴∠ODE=∠OED， 又∵∠AOP=∠EOD， ∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF， ∵AC是直径，∴∠APC=90°， ∴∠PQE=90°，∴PC⊥EF， 又∵DP∥BF， ∴∠ODE=∠EFC， ∵∠OED=∠CEF，
【点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平 行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的 判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通 过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论.
3. （2014广东，24，9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆， AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P， 过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连 接PF． （1）若∠POC=60°，AC=12， 求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求证：OD=OE； （3）求证：PF是⊙O的切线．
（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等 腰三角形的性质得到∠OFG= （180°﹣∠EOF） =30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作 OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到 OG=OA，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°.∵OA=OC， ∴∠AOC=60°.∵AF是⊙O的切线， ∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°. ∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC=90°， ∴∠D=∠AFC=30°.
【考点】圆的综合题 【专题】压轴题 【分析】（1）由垂径定理得出PG⊥BC，CD=BD， 再由三角函数求出∠BOD=60°，证出AC∥PG，得 出同位角相等即可； （2）先由SAS证明△PDB≌△CDK，得出CK=BP， ∠OPB=∠CKD，证出AG=CK，再证明AG∥CK，即 可得出结论； （3）先证出DH∥AG，得出∠OAG=∠OHD，再证 OD=OH，由SAS证明△OBD≌△HOP，得出 ∠OHP=∠ODB=90°，即可得出结论．
（2）证明：由（1）知，CD=BD， 在△PDB和△CDK中， ∴△PDB≌△CDK（SAS）， ∴CK=BP，∠OPB=∠CKD， ∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP，∴AG=CK， ∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP， 又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK， ∴四边形AGCK是平行四边形；
（3）证明：∵CE=PE，CD=BD， ∴DE∥PB，即DH∥PB ∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG，∴DH∥AG， ∴∠OAG=∠OHD， ∵OA=OG，∴∠OAG=∠G，∴∠ODH=∠OHD， ∴OD=OH， 在△OBD和△HOP中， ∴△OBD≌△HOP（SAS）， ∴∠OHP=∠ODB=90°，∴PH⊥AB．