中考数学综合应用问题1
中考数学综合应用题历年真题解析
中考数学综合应用题历年真题解析中考数学综合应用题在考试中占有重要的比重，综合应用能力的运用不仅能够检验学生对数学知识的灵活运用，还能培养学生的综合思维能力。
本文将针对历年的中考数学综合应用题进行解析，帮助同学们更好地理解和应对这类题目。
一、考察形式中考数学综合应用题通常采用情景模拟的形式，与实际生活或其他学科的知识相结合，综合运用多种数学概念和方法进行解答。
题目类型多样，包括了距离、速度、面积、容积、利润等等。
二、解题思路解题思路的关键在于分析题目中提供的信息，找到合适的数学方法进行求解。
下面我们通过具体例题进行解析。
例题1：某超市为了减少库存，决定举行一个促销活动。
活动前，超市库存了6000盒纯净水，所有人可以按照每人每天的限额购买，只要购买数量不超过50盒，就可以享受优惠价。
如果每人每天限额购买20盒，而每天购买超过限额的人数是200人，那么这个促销活动至少需要持续多少天？解析：首先，我们计算出每天购买纯净水超过限额的总盒数，即200人×（每人购买的盒数-每人限额数）。
每天购买的总盒数等于（购买纯净水超过限额的总盒数）×（持续活动的天数-1）+每天购买量×持续活动的天数。
根据题目可知，购买纯净水超过限额的总盒数为200人 ×（每人购买的盒数-每人限额数），每天购买量为200人 ×每人限额数，所以得出等式：6000 + 200 × (每人购买的盒数 - 每人限额数) = 200 ×每人限额数 ×天数根据上述等式，我们可以得到活动需要持续多少天的答案。
三、注意事项1. 仔细阅读题目，理解题意。
在解答综合应用题时，首先要确保对题目要求的理解准确，不要漏掉任何关键信息。
2. 掌握各类数学概念和方法。
数学运算、比例关系、排列组合、计算器的使用等都是解决综合应用题的重要工具，同学们应该熟练掌握这些知识和技巧。
3. 多做历年真题。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤12．一次函数y=bx+a(b≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．4．小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④5．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣734或﹣12B．﹣734或2C．﹣12或2D．﹣694或﹣126．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x＋b的图象记为y2，则以下说法中：①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞174或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）.正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．直线y=ax﹣6与抛物线y=x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为（）A．a=2B．a=10C．a=2或a=﹣10D．a=2或a=108．已知一次函数y1=2x−2，二次函数y2=x2，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1和y2，则下列表述正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1，y2的大小关系不确定9．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞410．对于每个x，函数y是y1=-x+6，y2=-2x2+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是（）A．3B．4C．5D．611．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为s=-3（t-20）2+1200（5≤t≤20）12．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= 12x2+bx+c的顶点，则抛物线y= 12x2+bx+c与直线y=1交点的个数是（）A．0个或1个B．0个或2个C．1个或2个D．0个、1个或2个二、填空题13．抛物线y=2x2+x+a与直线y=−x+3没有交点，则a的取值范围是．14．如图，已知抛物线y1=−2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时M=0，下列判断：①当x<0时，y1>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是−12或√22.其中正确的是.15．如图，已知直线y=﹣34x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．16．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…21的取值范围是．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：.18．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是.三、综合题19．随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．21．如图，已知抛物线 y =−12x 2+bx +c 经过A （2，0）、B （0，-6）两点，其对称轴与轴交于点C（1）求该抛物线和直线BC 的解析式；（2）设抛物线与直线BC 相交于点D ，连结AB 、AD ，求△ABD 的面积.22．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量 y （万件）与售价 x （元/件）的函数关系式为 y ={−2x +140，(40≤x <60)−x +80.(60≤x ≤70)（1）当售价为60元/件时，年销售量为 万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？ （3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出 x 的取值范围.23．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．（1）求a ，b 的值；（2）求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； （3）求△OBC 的面积．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,−3) ，点 D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）设P(m,n)为对称轴上一点，若∠PCD为钝角，求n的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】a >3.5 14．【答案】③④15．【答案】﹣1，4，4+2 √5 ，4﹣2 √5 16．【答案】x ＜﹣1或x ＞4 17．【答案】y =83x 218．【答案】（-1，1）和（2，4）19．【答案】（1）解：根据题意：y ＝20000+ x 100 ×10000＝100x+20000（2）解：设所获的利润w （元） 则W ＝（2200﹣1200﹣x ）（100x+20000） ＝﹣100（x ﹣400）2+36000000；所以当降价400元，即定价为2200﹣400＝1800元时，所获利润最大 （3）解：根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）＝47500台 此时47500＝100x+20000 解得：x ＝275．所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275＝1925元．20．【答案】（1）解：由题意 {4a −2b +2=64b +2b +2=2 解得 {a =12b =−1∴抛物线解析式为y= 12x 2﹣x+2．（2）解：∵y= 12 x 2﹣x+2= 12 （x ﹣1）2+ 32．∴顶点坐标（1，3 2）∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 12×32•3+ 12×32•1=3．（3）解：由{y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0∴b= 15 8当直线y=﹣12x+b经过点C时，b=3当直线y=﹣12x+b经过点B时，b=5∵直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点∴158＜b≤3．21．【答案】（1）解：将A（2，0）、B（0，-6）代入y=−12x2+bx+c中可得{−12×22+2b+c=0c=−6解得：b=4；c=-6∴该抛物线的解析式为y=−12x2+4x−6∴抛物线对称轴为x=−42×(−12)=4∴C(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)将B（0，-6），C(4，0)代入得解得：k=32,b=−6∴直线BC 的解析式为 y =32x −6（2）解：连立方程组可得 {y =32x −6y =−12x 2+4x −6解得 {x =5y =32∴D(5， 32)∴△ABD 的面积为 12×2×(23+6)=15222．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为 W 万元当 40≤x <60 时， W =(x −30)(−2x +140)=−2(x −50)2+800 . ∵－2<0 ∴当 x =50 时 当 60≤x ≤70 时 ∵−1<0 ∴当 x =60 时 ∵800>600 ∴当 x =50 时∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元. （3）解： 45≤x ≤55 理由如下：由题意得(x −30)(−2x +140)≥750解得 45≤x ≤5523．【答案】（1）解：∵点 A(1，b) 在直线 y =2x −3 上∴b =−1∴点 A 坐标 (1，−1)把点 A(1，−1) 代入 y =ax 2 得到 a =−1∴a =b =−1.（2）解：由 {y =−x 2y =−2 解得 {x =√2y =−2 或 {x =−√2y =−2 ∴点 C 坐标 (−√2，−2)， 点 B 坐标 (√2，−2). （3）解： S △BOC =12×2√2×2=2√2.24．【答案】（1）解：由已知，设 y =a(x +1)(x −3)把C(0,−3)代入，得−3a=−3∴y=(x+1)(x−3)即y=x2−2x−3.（2）解：由y=x2−2x−3，得y=(x−1)2−4∴顶点D(1,−4).过点D作DH⊥y轴于点H，连结BC交对称轴于点E，连结DC.∵B(3,0)，C(0,−3)∴OB=OC=3∴∠BCO=∠DCH=45°∴∠DCE=90°设BC函数表达式为y=kx+b把B(3,0)，C(0,−3)两点代入y=kx+b得{k=1b=−3即BC函数表达式为y=x−3∵点E在对称轴上∴点E横坐标为1，代入y=x−3得E(1,−2)由∠PCD为钝角，则点P在点E上方即n>−2.第11页共11页。
2021年九年级中考数学第三轮冲刺：列方程或方程组解应用题 综合性专题复习(一)
2021年中考数学第三轮冲刺：列方程或方程组解应用题综合性专题复习（一）1、某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B 型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A 型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．2、新冠肺炎疫情期间，部分小区出现防疫物资紧缺，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种防疫物品共2000件送往各小区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种防疫物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，各小区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？3、某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克. 如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？4、某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？5、从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍，高铁列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．（1）求高铁列车的平均速度是每小时多少千米；（2）某日王老师要去距离甲市大约405m的某地参加14：00召开的会议，如果他买到当日10：40从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要1.5h，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？6、端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？7、某学校举行“青春心向党建功新时代”演讲比赛活动，准备购买甲、乙两种奖品，小昆发现用480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等，已知甲种奖品的单价比乙种奖品的单价多10元．（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？（2）如果需要购买甲乙两种奖品共100个，且甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的2倍，问购买多少个甲种奖品，才使得总购买费用最少？8、某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？9、同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？10、新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A 种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？11、某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？12、某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．13、某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．14、某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．15、清明时节“雨后绿初见，择艾作青团”．“元祖“推出一款鲜花青团和一款芒果青团，鲜花青团每个售价是芒果青团的54倍，4月份鲜花青团和芒果青团总计销售6000个．鲜花青团销售额为250000元，芒果青团销售额为280000元．（1）求鲜花青团和芒果青团的售价？（2）5月份正值“元祖”店庆，计划再生产12000个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花青团个数的32，且不多于鲜花青团的2倍，其中，鲜花青团每个让利3元销售，芒果青团售价不变，问：“元祖”如何设计生产方案？可使总销售额最大，并求出总销售额的最大值．16、2020年全民抗疫期间，抗疫志士莫小贝购进一条生产线生产抗疫物质. 已知该生产线的三个操作平台分别排列在同一直线上，顺次是甲、乙、丙，其中甲乙平台之间的距离为40米，乙丙平台之间的距离为60米，操作甲、乙、丙平台分别需要20人、70人、60人. 由于时间仓促无法做到完全自动化，需要在三个平台之间建立一个原材料供给站让工人自取，有如下两个方案：方案一：让所有工人到供给站的距离总和最小；方案二：让甲、丙平台所有工人到供给站的距离之和等于乙平台所有工人到供给站的距离之和.(1)若按照方案一建站，供给站距离甲平台多少米？(2)若按照方案二建站，供给站距离甲平台多少米？(3)在(2)的条件下，若甲平台的工人数增加a 人(22 a )，那么随着a 的增大，供给站将距离甲平台将越来越远，还是越来越近？请说明理由.17、国务院新闻办公室举行新闻发布会，经过7年多的精准扶贫，4年多的脱贫攻坚战，全国现行标准下的贫困人口减少了9348万人。
中考数学 精讲篇 专题突破十三 二次函数的综合应用 类型一：二次函数与线段问题
当 x＝4 时，n＝ 33×42－233×4－ 3＝533，
5 3
∴点 E4，
3
.
33 ∴直线 AE 的解析式为 y＝ 3 x＋ 3 .
(2)令 x＝0，得 y＝－ 3，∴点 C(0，－ 3).
∵点
E4，5
3
3，∴直线
CE
的解析式为
2 y＝
3
3 x－
3.
过点 P 作 PH∥y 轴，交 CE 于点 H，如解图①.
(3)设点
Px，2
3
3x2－2
3
3x，则点
Q(x，－
3x＋
3)，
易得
2 PQ＝－ 3
3x2－
3 3 x＋
3，
23 ∵－ 3 ＜0，故 PQ 有最大值，
1 5 3
此时点
P
的坐标为－4，
24
.
1.(2021·安徽一模)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝12x－2 与 x 轴 交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 y＝12x2＋bx＋c 的 图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A. (1)求二次函数的解析式及点 A 的坐标；
解：(1)抛物线的解析式为 y＝x2－4.
(2)将抛物线 y＝x2－4 向上平移 1 个单位得 y＝x2－3，
令 y＝0，则 x2－3＝0，得 x＝± 3，∴D(－ 3，0)，E( 3，0)，
∵OP＝1，∴P(0，1)，
∴直线 DF 的解析式为 y＝ 33x＋1，
联立yy＝＝x323－x＋3，1，解得yx11＝＝0－，
∴点 L 的坐标为－2，3153.
1 901 综上，线段 OL＋LK＋PK 的最小值为 4 ，
35 此时点 L 的坐标为－2，15.
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题一、综合题1．社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示.已知52m AD =，28m AB =，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为2640m .（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，求停车场的月租金收入最多为多少元？2．如图，有长为30m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）如果围成花圃的面积为263m ，那么AB 应确定多长？3．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象经过点A （-1，0）和点D （5，0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B是该抛物线与y轴的交点，求四边形ABCD的面积.4．如图，抛物线顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.5．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米，苗圃园的面积为y平方米.（1）求y关于x的函数表达式.（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？6．如图，将直角三角形截出一个矩形PMCN，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点P，M，N分别在AB，AC，BC上，设CN＝x．（1）试用含x的代数式表示PN，并写出x的范围;（2）设矩形PMCN的面积为y，当x为何值时，y取得的最大值是多少?7．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB 边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．（1）若矩形场地面积为160平方米，求矩形场地的长和宽．（2）矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．8．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中y m．的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为()2（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（12m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否符合题意．9．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH AB交AD于点G，交BC于点H，设CH＝x，BH＝8－2x，CF＝x+2，DF＝3x－3．（1）x的取值范围是；（2）矩形BCFE的周长等于；（3）若矩形ABCD的面积为42，x的值为；（4）求矩形OFCH的面积S的取值范围．10．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m 的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）如图1，怎么才能围成一个面积为2432m的矩形花圃；（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为m x，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．11．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝12S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计）．（1）若AE＝x，用含有x的式子表示BE的长；（2）求矩形ABCD的面积y关于x的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE的长．12．矩形管在我们日常生活中应用广泛，石油、天然气的运输，制造建筑结构网架，制造公路桥梁等领域均有应用．如图，若矩形管ABCD的两边长20,6AB cm AD cm==，（1）若点PQ分别从A B、同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x 秒，PBQ 的面积为()2y cm ．求PBQ 面积的最大值；（2）若点P 在边AB 上，从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上，从BC 中点出发，沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当点P 运动到AB 中点时，点Q 开始向上运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 运动时间为t 秒，PBQ 的面积为2mcm ．求m 与t 的函数关系式．13．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m ，直角三角形较短直角边长n ，且n ＝m ﹣2，大正方形的面积为S.（1）求S 关于m 的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m 的值.14．如图（1）问题提出如图1，在ABCD 中，45A ∠=︒，8AB =，6AD =，E 是AD 的中点，点F 在DC 上且5DF =求四边形ABFE 的面积.（结果保留根号）（2）问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE 按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE 内挖一个四边形人工湖OPMN ，使点O 、P 、M 、N 分别在边BC 、CD 、AE 、AB 上，且满足22BO AN CP ==，AM OC =.已知五边形ABCDE 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，800m AB =，1200m BC =，600m CD =，900m AE =.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN ？若存在，求四边形OPMN 面积的最小值及这时点N 到点A 的距离；若不存在，请说明理由.15．如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN 和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD ，已知墙长a 米，AD≤MN ，矩形隔离区的一边靠墙，另三边一共用了200米长的隔离带．（1）a=30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）若a=150．求矩形隔离区ABCD 面积的最大值．16．如图，抛物线28y ax bx =++(0)a ≠经过(2,0)A -，(4,0)C 两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t ，过点P 作PM BD ⊥，交BC 于点M ，以PM 为正方形的一边，向上作正方形PMNQ ，边QN 交BC 于点R ，延长NM 交AC 于点E .①当t 为何值时，点N 落在抛物线上；②在点P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ 为平行四边形？若存在，求出此时刻的t 值；若不存在，请说明理由.17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线3y x =-经过B ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作直线CD y ⊥轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN AC ⊥于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC ，过点B 作BQ PC ⊥于点Q （点Q 在线段PC 上），BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST TD =时，求线段MN 的长.18．如图，抛物线2y x bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，P 为y 轴上的动点，连接AP ，以AP 为对角线作正方形AMPN.（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN 与△AOP 面积之比为5∶2时，求点P 的坐标；（3）当正方形AMPN 有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P 的坐标.19．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点.（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P P 的对应点为E ，点C 的对应点为F.当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标.20．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：设通道的宽为x 米，根据题意得：()()522282640x x --=，解得：34x =（舍去）或6x =，答：通道的宽为6米；（2）解：设月租金上涨a 元，停车场的月租金收入为y 元，根据题意得：()200505a y a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，整理，得()2125101255y a =--+，所以，当25a =时，y 有最大值为10125；答：每停车场的月租金收入最多为10125元.【解析】【分析】（1）设通道的宽为x 米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．（2）设车位的月租金上涨a 元，则租出的车位数量是（50-5a）个，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式求解即可．2．【答案】（1）解：根据题意，得()303S x x =-，即所求的函数关系式为2330S x x =-+．∵03039x <-≤，∴710x ≤<，即S 与x 的函数关系式为S=-3x 2+30x(7≤x ＜10)；（2）解：当263m S =时，233063x x -+=，解得17x =，23x =（不合题意，舍去）．∴当7m AB =时，围成花圃的面积为263m ．【解析】【分析】（1）先求出()303S x x =-，再求出710x ≤<，最后作答即可；（2）先求出233063x x -+=，再求解即可。
中考数学频考点突破--勾股定理的应用
中考数学频考点突破--勾股定理的应用一、综合题1．已知Rt△ABC中，△C=90˚，AC=4，BC=8.动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿射线．．CB方向运动，连接AP.设运动时间为t s.（1）求斜边AB的长.（2）当t为何值时，△PAB的面积为6？（3）若t＜4，请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时点Q到边BC的距离.2．如图，AB为△O的直径，弦CD△AB于E，点F在DC的延长线上，AF交△O于G．（1）求证：△FGC＝△ACD；（2）若AE=CD=8，试求△O的半径．3．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为▲ ，第二次列式为▲ ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式▲ ；②在①中，如果a+b=7，ab=10，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系．4．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5．如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H.（1）求证：△ACE△△BAD；（2）若BE=2EC=4.①求△ABC的面积；②求MH的长.6．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是．（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．①请在4×4方格图内画出这个正方形．②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示- √10的点．（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了的数学思想方法．A．数形结合B．代入C．换元D．归纳7．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．8．（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=；（2）如图2，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=8，AD=10，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作FE⊥ED，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？（3）如图3，四边形ABCD中，AB=8，点C到AB的距离为10，∠C=90°，且BC=2CD．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？9．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE=90°，延长ED至点C，使DC= ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD=4，AB=2，求OE的长．10．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分△BAC，则AB AC＝BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE△DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，△ABC＝90°，AD平分△BAC，则△ABD的周长是．11．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=3，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）求EF的长．12．如图，（1）作△ABC的外接△O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求△O的半径．13．如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6，BC=10，AC=8，∠ABC=∠BCD.过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF=DE，连接BF，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．14．（1）如图所示，Rt△ABC中，△BAC ＝90 °，AB＝√3，AC＝√6，点D是斜边BC的中点，连接AD，求AD的长．（2）如图，在平行四边形ABCD中，DE△AB，BF△CD，垂足分别是E、F．求证：△ADE△△CBF15．平面直角坐标系中，直线y＝12x﹣1的图象如图所示，它与直线y＝﹣2x+4的图象都经过A （2，0），且两直线与y轴分别交于B、C两点.（1）直接画出一次函数y＝﹣2x+4的图象；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）判断△ABC的形状，并说明理由.16．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB= 6OE，延长AB至点D，使得BD=AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AO=3，求AC的长度．答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt△ABC 中，△C=90˚，AC=4，BC=8，AB =√AC 2+BC 2=√16+64=4√5.（2）解：AC=4，BC=8， ∵△PAB 的面积为6， ∴PB=3. ∵CP=2t ，∴当点P 在点B 的左侧时，PB=8−2t ；当点P 在点B 的右侧时，PB=2t ，∴t =52或 t =112.（3）解：作△PAB 中AP 边上的高BQ ，在△ACP 与△BQP 中，{∠ACP =∠BQP ∠APC =∠BPQ AC =BQ ， ∴△ACP ≌△BQP(AAS)，∴AP =BP. 在 Rt △ACP 中，∵CP 2+CA 2=AP 2 ,即 42+(2t)2=(8−2t)2, 解得 t =32，∴当 t =32时， PQ =3.BQ =4,BP =5,根据等面积法求出点Q 到边BC 的距离： PQ⋅BQ BP=125.【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（AAS ）【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出.（2）分点 P 在 B 点左侧与右侧两种情况进行讨论即可；（3）作△PAB 中AP 边上的高BQ ，先根据 AAS 定理得出 △ACP ≌△BQP ， 再由勾股定理得出 t 的值，进而可得出结论.2．【答案】（1）证明：∵AB 为△O 的直径，CD△AB ，∴AB垂直平分CD，∴AC=AD，∴△ACD=△D，∵四边形AGCD内接于△O，∴△AGC+△D=180°，∵△AGC+△FGC=180°，∴△D=△FGC，∴△ACD=△FGC；（2）解：连接OC，∵AB为△O的直径，CD△AB，AE=CD=8，∴CE=ED=4，设OA=OC=r，则OE=8-r，在Rt△COE中，OE2+CE2=OC2，即(8−r)2+42=r2，解得r=5，即△O的半径为5.【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得AB垂直平分CD，利用垂直平分线的性质可得到AC=AD；利用等边对等角可知△ACD=△D；再利用圆内接四边形的性质及补角的性质可证得△D=△FGC，由此可证得结论.（2）连接OC，利用垂径定理求出CE的长；设OA=OC=r，可表示出OE的长；在Rt△COE，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.3．【答案】（1）解：①因为小正方形的边长为：a−b，所以第一次计算的面积为：(a−b)2，第二次计算的面积为：(a+b)2−4ab，所以：(a−b)2=(a+b)2−4ab；或(a+b)2−4ab，(a−b)2，(a+b)2−4ab=(a−b)2②∵a+b=7，ab=10∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×10=9（2）解：第一次利用梯形的面积公式图形面积为：12(a+b)2，第二次利用图形的面积和计算为：2×12ab+12c2，∴12(a+b)2=2×12ab+12c2整理得：a2+2ab+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明【解析】【分析】（1）①利用所给图形，再结合完全平方公式求解即可；②根据a+b=7，ab=10，计算求解即可；（2）先求出12(a+b)2=2×12ab+12c2，再整理计算求解即可。
2023年中考数学重难点训练——全等三角形的应用
2023年中考数学重难点训练——全等三角形的应用一、综合题1．如图①，C 、F 分别为线段AD 上的两个动点，BC ⊥AD ，垂足为C ，EF ⊥AD ，垂足为F ，且AB==DE ，AF=CD ，点G 是AD 与BE 的交点.（1）求证∶ BG=EG;（2）当C 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.2．在平面直角坐标系中，已知点()03A ，、()60B ，，点A 关于x 轴对称点为F ，连接BF ，作DAK BAO ∠=∠，连接DO 交BF 延长线于点C ．（1）①直接写出点F 的坐标 ▲ ；②证明：AOD ≌FOC ；（2）动点P 从F 出发，以每秒1个单位长度的速度沿F O B --运动，到B 点停止运动；动点Q 从B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿B O F --，到F 停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止运动．过点P 作PG CD ⊥于点G ，过点Q 作QH CD ⊥于点H ，问：当P 点运动多少时间时，POG 与QOH 全等？3．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角 ACB ∆ 的直角顶点 C 在原点，将其绕着点 O 旋转，若顶点 A 恰好落在点 ()1,2 处．则①OA 的长为 ；②点 B 的坐标为 （直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角 如图放置，直角顶点 ()1,0C - ，点 ()0,4A ，试求直线 AB 的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点 ()4,3B ，过点 作 BA y ⊥ 轴，垂足为点 ，作 BC x ⊥ 轴，垂足为点 ,C P 是线段 BC 上的一个动点，点 Q 是直线 26y x =- 上一动点．问是否存在以点 P 为直角顶点的等腰直角 APQ ∆ ，若存在，请直接写出此时 点的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AB=16cm ，BC=12cm ，D 为AB 的中点．若点P 在线段BC 上以4cm/s 的速度由B 向C 运动，同时，点Q 在线段CA 上以a(cm/s)的速度由C 向A 运动，设运动的时间为t(s)(0≤t≤3)（1）用关于t 的代数式表示PC 的长度。
2023年中考数学高频考点训练——因式分解的应用
2023年中考数学高频考点训练——因式分解的应用一、综合题1．阅读下列材料：①关于x 的方程2310(0)x x x -+=≠方程两边同时乘以1x 得：1x 30x -+=，即1x 3x +=，故222221111x x 2x x 2x x x x ⎛⎫+=+⋅⋅+=++ ⎪⎝⎭，所以222211x x 2327x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭．②()()3322a b a b a ab b +=+-+；()()3322a b a b a ab b -=-++．根据以上材料，解答下列问题：（1）2410(0)x x x -+=≠，则1x x +=；221x x +=；441x x +=；（2）22720x x -+=，求331x x +的值．2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为、；（2）你得到的因式分解等式是：；（3）观察图2，可以发现代数式2a 2+5ab+2b 2可以因式分解为；（4）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为（a+b ）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是：；②已知a+b ＝5，ab ＝2，利用上面的规律求a 3+b 3的值．3．如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小矩形，且m>n ，(以上长度单位：cm)（1）观察图形，可以发现代数式2m 2＋5mn ＋2n 2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm 2，四个正方形的面积和为58cm 2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．4．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++，25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x -+可分解为(1)()x x a -+，则a =；（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =；（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值．5．解答下列问题：（1）一正方形的面积是()22690,0a ab b a b ++>>，则表示该正方形的边长的代数式是．（2）求证：当n 为正整数时，()()222121n n +--能被8整除．6．回答下列问题：（1）填空：22211(x x x x +=+-21(x x =-+；（2）填空：若15a a +=，则221a a +=；（3）若2310a a -+=，0a ≠，求221a a +的值.7．已知8x y +=，6xy =.求：（1）22x y xy +的值；（2）22x y +的值.8．解下列各题：（1）分解因式：()()263a b a b -+-；（2）利用因式分解简便计算：224959909595-⨯+．9．下面是多项式x 3+y 3因式分解的部分过程，．解：原式＝x 3+x 2y ﹣x 2y +y 3（第一步）＝（x 3+x 2y ）﹣（x 2y ﹣y 3）（第二步）＝x 2（x +y ）﹣y （x 2﹣y 2）（第三步）＝x 2（x +y ）﹣y （x +y ）（x ﹣y ）（第四步）＝．阅读以上解题过程，解答下列问题：（1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有．（至少写出两种方法）（2）在横线继续完成对本题的因式分解．（3）请你尝试用以上方法对多项式8x 3﹣1进行因式分解．10．已知4a b +=，2225a b +=.求下列各式的值.（1）ab ；（2）32231a a b ab b ++++.11．阅读图中的材料：利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x 2﹣2xy+y 2﹣4；（2）已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2﹣ab ﹣ac+bc ＝0，判断△ABC 的形状并说明理由．12．已知x+y=3，xy=54，求下列各式的值：（1）（x 2-2）（y 2-2）；（2）x 2y-xy 2.13．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式.类似地，我们可以借助一个棱长为a 的大正方体进行以下探索：（1）在大正方体一角截去一个棱长为()b b a <的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为；（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵BC a =，AB a b =-，CF b =，∴长方体①的体积为()ab a b -.类似地，长方体②的体积为，长方体③的体积为；（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为；（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为.（5）已知4a b -=，2ab =，求33a b -的值.14．n 是正整数．（1）请用n 表示两个连续的奇数为、．（2）这两个连续奇数的平方差是8的倍数吗？给出理由．15．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a ，()b a b >满足2253a b +=，14ab =，求：①a b +的值；②44a b -的值.16．若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数.例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112….（1）若28+210+2n 是完全平方数，求n 的值.（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写出所有符合的正整数.17．阅读：因为（x+3）（x-2）=x 2+x-6，说明x 2+x-6有一个因式是x-2；当因式x-2=0，那么多项式x 2+x-6的值也为0，利用上面的结果求解：（1）多项式A 有一个因式为x+m （m 为常数），当x=，A=0；（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x-2，面积为x 2+kx-14，求k 的值；（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x-1），体积为4x 3+ax 2-7x+b ，试求a ，b 的值．18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.2(1)(1)(1)(1)[1x x x x x x x +++++=+++23(1)](1)(1)(1).x x x x x +=++=+（1）上述分解因式的方法是，共应用了次（2）若分解2(1)(1)(1)x x x x x +++++++ 2001(1)x x +，则需应用上述方法次.结果是.（3）分解因式：2(1)(1)(1)x x x x x +++++++ (1)(n x x n +为正整数).19．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.（1）图B 可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C ：①若要拼出一个面积为（3a+b ）（a+2b ）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a 2+7ab+2b 2，并利用你画的图形面积对6a 2+7ab+2b 2进行因式分解.20．对任意一个四位正整数数m ，若其千位与百位上的数字之和为9，十位与个位上的数字之和也为9，那么称m 为“重九数”，如：1827、3663.将“重九数”m 的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位正整数数n ，如：m ＝2718，则n ＝1827，记D （m ，n ）＝m+n.（1）请写出两个四位“重九数”：，.（2）求证：对于任意一个四位“重九数”m ，其D （m ，n ）可被101整除.（3）对于任意一个四位“重九数”m ，记f （m ，n ）＝D(m,n)101，当f （m ，n ）是一个完全平方数时，且满足m ＞n ，求满足条件的m 的值.21．如图①是由边长为a 的大正方形纸片剪去一个边长为b 的小正方形后余下的图形.我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）.（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是.①a 2＋ab ＝a （a+b ）②a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2③a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知4x 2－9y 2＝12，2x ＋3y ＝4，求2x －3y 的值；②计算22222111111-1-1-1-1-2345100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a 厘米的大正方形，2块是边长都为b 厘米的小正方形，5块是长为a 厘米，宽为b 厘米的相同的小长方形，且a ＞b ．（1）观察图形，可以发现代数式2a 2+5ab +2b 2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．答案解析部分1．【答案】（1）4；14；194（2）解：∵22720x x -+=，∴172x x +=，2221141()24x x x x +=+-=，3232111741259(1)(1)248x x x x x x +=+-+=⨯-=．【解析】【解答】解：（1）∵2410x x -+=，∴14x x +=，222111()216214x x x x x x +=+-⋅=-=，4222422111()2194x x x x x x +=+-⋅=；故答案为：4；14；194；【分析】(1)模仿例题利用完全平方公式即可求解；(2)模仿例题利用完全平方公式和立方和公式即可求解。
中考数学函数实际应用综合题(解析版)
专题03 函数实际应用综合题1.（2019•常德中考）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．（2）①y甲<y乙，即20x<10x+100，解得x<10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲=y乙，即20x=10x+100，解得x=10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．2.（2019•山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱．3．（2019•台州中考）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系3610h x =-+，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）的函数关系如图2所示． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+． （2）当0h =时，30610x =-+，得20x ，当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<， ∴甲先到达地面．4．（2019•天门中考）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？ 【解析】（1）根据题意，得①当0≤x ≤5时，y =20x ； ②当x >5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20． （2）把x =30代入y =16x +20，∴y =16×30+20=500； ∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．5.（2019•天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50 kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．【解析】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（）， 故答案为：180，900，210，850． （2）16y x =(0)x >． 当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+． （3）①∵0x >∴6x 7x ≠， ∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100， 故答案为：100． ②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+， ∴乙批发店购买花费少， 故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<， ∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50， ∴当1360y =时，6x =360，∴x =60， ∴当2360y =时，5x +100=360,∴x =52， ∴甲批发店购买数量多． 故答案为：甲．6.（2019•湖州中考）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分）， ∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为:(0)y kx k =≠， ∵直线OA 过点()30,2400A ， ∴302400k =， 解得80k =，∴直线OA 的解析式为:80y x =， ∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）． ∵乙骑自行车的时间为251015-=（分）， ∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）． （3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分）， 当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．7.2019•河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元． （1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3015x y =⎧⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30-z ）个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，z ≥13（30-z ）， ∴z ≥152， W =30z +15（30-z ）=450+15z ， ∵15＞0，W 随z 的减小而减小 ∴当z =8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少．8.（2019•宿迁中考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？ 【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+． （2）根据题意得，()140(50)22502x x +-+=， 解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元． （3）根据题意得，()21140(50)30200022w x x x x =+-+=-++()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．9．（2019•潍坊中考）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【解析】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元， 今年的批发销售总额为()10120%12-=万元， ∴12000010000010001x x -=+， 整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-（不合题意，舍去）， 故这种水果今年每千克的平均批发价是24元． （2）设每千克的平均售价为m 元，依题意 由（1）知平均批发价为24元，则有()4124(180300)3mw m -=-⨯+260420066240m m =-+-， 整理得()260357260w m =--+， ∵600a =-<， ∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．10．（2019•南充中考）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？ 【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意可得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：106x y =⎧⎨=⎩． 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元， ①当30≤b ≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，w =b （-0.1b +13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+， ∵当30b =时，W =720，当b =50时，W =700， ∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5． ②当50＜b ≤60时， a =8，86(100)2600W b b b =+-=+，∵700720W <≤，∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．11．（2019•梧州中考）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意，y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴50.8xx-≤，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．12．（2019•云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．【解析】（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得1000620010k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2002200kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-200x+1200，当10<x≤12时，y=200，故y 与x 的函数解析式为：y =2002200(610)200(1012)x x x -+≤≤⎧⎨<≤⎩．（2）由已知得：W =（x -6）y ， 当6≤x ≤10时，W =（x -6）（-200x +1200）=-200（x -172）2+1250， ∵-200<0，抛物线的开口向下， ∴x =172时，取最大值， ∴W =1250，当10<x ≤12时，W =（x -6）•200=200x -1200， ∵y 随x 的增大而增大，∴x =12时取得最大值，W =200×12-1200=1200， 综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．13．（2019•成都中考）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p =12x +12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【解析】（1）设函数的解析式为：y =kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500．（2）设销售收入为w万元，根据题意得，w=yp=（-500x+7500）（12x+12），即w=-250（x-7）2+16000，∴当x=7时，w有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000（元）．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．14．（2019•武汉中考）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【解析】（1）①依题意设y=kx+b，则有50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2200 kb=-⎧⎨=⎩，所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．②该商品进价是50-1000÷100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有2500501000 3600601600 6400801600a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得22808000 abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，∵对称轴x=1402m+，∴①当1402m+<65时（舍），②当1402m+≥65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=5．。
2021年深圳市中考数学综合应用题练习
2021年深圳市中考数学综合应用题练习一、选择题1. 某球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x 双球鞋，则列出方程为( )A. 10%x ＝330B. (1－10%)x ＝330C. (1－10%)2x ＝330D. (1＋10%)x ＝3302.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打( )A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折3. 某旅店一共有70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480名学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个。
下列方程正确的是( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝70，8x ＋6y ＝480B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝70，6x ＋8y ＝480C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝480，6x ＋8y ＝70D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝480，8x ＋6y ＝70 4.已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用的时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）A ．354515x x =-B ．354515x x =+C ．354515x x =-D ．354515x x =+ 5．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5 000万元．今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年整年的少20%.今年1～5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1～5月份每辆车的销售价格为x 万元根据题意列方程正确的是（ ）A ．5 000x ＋1＝5 000(1－20%)xB ．5 000x ＋1＝5 000(1＋20%)x C ．5 000x －1＝5 000(1－20%)x D ．5 000x －1＝5 000(1＋20%)x 6. 如图，把一块长为40 cm ，宽为30 cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。
2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用及参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.（1）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，则BC 边上的伴随圆的半径为.（2）如图②，ABC 中，5AB AC ==，6BC =，直接写出它的所有伴随圆的半径.（3）如图③，ABC 中90ACB ∠=︒，点E 在边AB 上，2AE BE =，D 为AC 的中点，且90CED ∠=︒.①求证：CED 的外接圆是ABC 的AC 边上的伴随圆；②DE CE 的值为▲.2．定义：有两边之比为1的三角形叫做智慧三角形．（1）如图1，在智慧三角形ABC 中，2AB BC AD ==，为BC 边上的中线，求AD AC的值；（2）如图2，ABC 是O 的内接三角形，AC 为直径，过AB 的中点D 作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交O 于点E ，连结BE 交AC 于点G ．①求证：ABE 是智慧三角形；②如图3，在（2）的条件下，当53AF FG =：：时，则EG EF ＝▲．（直接写出结果）3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．（1）如图1，点C 是弧BD 的中点，DAB ∠是弧BD 所对的圆周角，AD AB >，连接AC 、DC CB 、，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形．（2）如图2，ABC 与DEF 是偏等三角形，其中A D AC DF BC EF ∠=∠==，，，猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以ABC 与DEF 为例说明)；（3）如图3，ABC 内接于63045O AC A C ∠∠==︒=︒ ，，，，若点D 在O 上，且ADC 与ABC 是偏等三角形，AD CD >，求AD 的值．4．如图1，已知ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，38A ∠=︒，D 为 AB 上一点.图1图2（1）当点D 为 AB 的中点时，连接DB ，DC ，求ABC ∠和ABD ∠的大小；（2）如图2，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，且DP AC ，连接DC ，OC ，求OCD ∠的大小.5．定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形.（1）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AD AB ＞，点C 是弧BD 的中点，连接AC ，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形.（2）如图2，ABC 与ABD 是偏等三角形，AD BC =，30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，求AB 的长.（3）如图3，ABC 内接于O ，8AC =，30A ∠=︒，45C ∠=︒，若点D 在O 上，且ADC 与ABC是偏等三角形，AD CD ＞，求AD 的值.6．如图1，△ABC 是⊙O 内接三角形将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE=DC ；（2）如图2，过点B 作BF ∥CD 分别交AC 、AD 于点M 、N ，交⊙O 于点F ，连结AF ．求证：AN·DE=AF·BM ：（3）在(2)的条件下，若13AB AC =时，求BF BC的值．7．如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1，AD ABC 是的中线，则ABD 和ACD 就是互补三角形.（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”）①互补三角形一定不全等.命题②互补三角形的面积相等.命题（2）如图2，ABC 和ADE 为互补三角形，AB AE AC AD AF ＝，＝，是ABC 的中线.求证：12AF DE ＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若B E D ，，三点共线，连结CE ，CD ，四边形ABEC 为圆内接四边形.当120BAE ∠ ＝时，求BD AF CD -的值.8．如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠ABC=2∠ACB ，点D 平分 AC ，连接AD ，BD ，CD ．（1）求证：AB=CD ．（2）过点D 作DG ∥AB ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，交⊙O 于点G ．①若AD=a ，BC=b ，求线段EF 的长(用含a ，b 的代数式表示)．②若∠ABC=72°，求证：FG 2=EF·DF ．9．已知钝角三角形ABC 内接于O E D ，、分别为AC BC 、的中点，连接DE .（1）如图1，当点A D O 、、在同一条直线上时，求证：12DE AC =.（2）如图2，当A D O 、、不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当2AB AC AG +=时.①求证：DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交O 于点H ，连接AH .求证：AH FG .10．如图，在1111⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的111A B C ；（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的22A B C ；（3）在（2）的案件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，O 为底边BC 的中点，AB 切O 于点D ，连接OD ，O 交BC 于点M ，N .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）42B ∠=︒，①若4OD =，求劣弧DM 的长；②如图2，连接DM ，若4DM =，直接写出OD 的长.（参考数据：sin24︒取0.4，cos24︒取0.9，tan 24︒取0.45）12．如图，ABC 是O 的内接三角形，CD 为O 的直径，过点A 的直线交CD 的延长线于点E ，连接AD ，且AD DE =，DAB ACD ∠=∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若2DE =，=60B ∠︒，75BAC ∠=︒，求AB 和BC 的长度．13．如图，ABC 为O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，PAC B ∠=∠，AD 为O 的直径，过C 作CG AD ⊥交AD 于E ，交AB 于F ，交O 于G ．（1）判断直线PA 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2AG AF AB =⋅；（3）若O 的直径为10．AC =AB =AE FG ⋅的值．14．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，求图中阴影部分的面积.15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作O 交斜边AB 于点D ，点M 是 CD中点，过点M 作直线ME AB ⊥于点E ，交AC 于点F.（1）证明：EF 是O 的切线；（2）若ME =.16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 是AB 上任意一点，以D 为圆心，DB 为半径作D ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，过点F 作FG AC ⊥，垂足为G .（1）判断直线FG 与D 的位置关系并证明.（2）若2AE =，3BC =，2BF CG=，求D 的半径.17．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若ABC 是“准互余三角形”，9060C A ∠>︒∠=︒，，则B ∠=.（2）如图（1），AB 是半圆的直径，106AB BC C ==，，是半圆上的点，D 是 AC 上的点，BD 交AC 于点E.①若D 是 AC 的中点，则图中共有▲个“准互余三角形”；②当DEC 是“准互余三角形”时，求CE 的长；③如图（2）所示，若F 是 BC 上的点（不与B C 、重合），G 为射线AF 上一点，且满足2CBG CAB ∠=∠.当ABG 是“准互余三角形”时，求AG 的长.18．已知，锐角三角形ABC 内接于⊙O.（1）如图1，当点A 是 BAC的中点时，①求证：AO BC ⊥.②若BC ＝8，AB =，求⊙O 的半径.（2）如图2，当AB AC >时，连接BO 并延长，交边AC 于点D.若45A ∠= ，23OD OB =，求AD DC.19．如图1，ABC 是圆内接等腰三角形，其中AB AC =，点P 在 BC上运动（点P 与点A 在弦BC 的两侧），连接PA PB PC ，，，设αBAC ∠=，PB PC y PA+=，小明为探究y 随α的变化情况，经历了如下过程：（1）若点P 在 BC 的中点处，α90=︒时，y 的值是；（2）小明探究α变化获得了一部分数据，并以表中各组对应值为点的坐标在如图2平面直角坐标系中进行描点，并画出函数图象.从图象或表格中可知，y 随着α的变化情况是；y 的取值范围是.α…25°50°75°100°125°150°170°…y …0.430.85 1.221.53 1.55 1.93 1.99…（3）从变化趋势上看，当α=▲时，PB PC PA +=.并证明你的结论.20．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD BC ⊥于点D ，直径AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：AEB AFD ∠=∠；（2）若10AB =，5BF =，求AD 的长；（3）若点G 是AB 的中点，当点O 在DG 上时，探究BF 与FD 存在的数量关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）2（2）解：ABC 的伴随圆的半径分为83或209或12049.（3）解：①证明：如图（4）连接OE 、OB ，∵CED 为直角三角形，∴CED 的外接圆圆心O 在CD 中点上，设O 的半径为r ，则2DC r =，3OA r =，∴23AD AO =，∵2EA BE =，∴23EA AB =，∴AD EA AO AB =，∴PD OB ，∴12∠=∠，3=4∠∠，∵OE OD =，∴32∠=∠，∴14∠=∠，在BCO 和BEO 中O =O ∠1=∠4O =O ，∴BCO BEO ≌，∴90BEO BCO ∠=∠=︒，∴AB 是O 的切线.∴CED 的外接圆是ABC 某一条边上的伴随圆；②222．【答案】（1）解：AD 是BC 的中线，2AB BC ==，，12BD BC ∴==，22BD AB AB BC ∴==，B B ∠=∠ ，ABD CBA ∴~ ，2AD BD AC AB ∴==；（2）解：①如图，连结OE ，设ABE α∠=，22AOE ABE α∴∠=∠=，OA OE = ，()11802902OAE αα∴∠=︒-=- ，DE OA ⊥ ，90AED OAE ∴∠+∠=︒，9090AED α∴∠+︒-=︒，AED ABE a ∴∠=∠=，EAD BAE ∠=∠ ，ADE AEB ∴ ∽，AE AD AB AE ∴=，2AE AD AB ∴=⋅，D 是AB 的中点，12AD AB ∴=，2212AE AB ∴=，AB ∴=，即1AE AB =：，ABE ∴ 是智慧三角形；②83．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC=CD ，BAC DAC ∠=∠．又∵AC=AC ，∴ACB 与ACD 是偏等三角形（2）解：互补；如图，在线段DE 上取点G ，使DG=AB ，连接FG．由题意可知在ABC 和DGF 中AB DG A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABC DGF ≅ ，∴B DGF ∠=∠，BC GF =．∵BC EF =，∴GF EF =，∴E FGE ∠=∠．∵180DGF FGE ∠+∠=︒，∴180B E ∠+∠=︒，即另一组等边的对角互补．（3）解：分类讨论：①当BC=CD时，如图，∵BC=CD ，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠>∠，∴AD>CD 符合题意，∴AD=AC=6；②当AB=CD 时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB=CD ，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠>∠，∴AD CD >，符合题意．设CE=x ，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即6x =+，∴1)x =，∴1)9AE DE ===-∴(9AD ==-=．综上可知AD 的值为6或-．4．【答案】（1）解：如图1，连接OD ，图1∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∵38BAC ∠=︒，∴9052ABC BAC ∠=︒-∠=︒.∵D 为 AB 的中点，∴ AD AD =.∴1180902AOD BOD ∠=∠=⨯︒=︒.∴1452ABD AOD ∠=∠=︒.（2）解：如图2，连接OD ，图2∵OA OC =，OC OD =，∴38OAC OCA ∠=∠=︒，OCD ODC ∠=∠.设OCD ODC x ∠=∠=︒.∴()38ACD OCA OCD x ∠=∠+∠=+︒.∵DP 为O 的切线，∴OD DP ⊥.∴()9090CDP ODC x ∠=︒-∠=-︒.∵DP AC ，∴CDP ACD ∠=∠.即9038x x -=+，解得：26x =.∴26OCD ∠=︒.5．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC CD =，BAC DAC ∠=∠，又∵AC AC =，∴ACB 与ACD 是偏等三角形；（2）解：作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，∵30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，∴4DE =，6CF =，∴AF ==，BE ==，∵设EF x =，∴AE x =，BF x =，∵AD BC =，∴2224)6)x x +=+，∴1033x =，∴3AB AE EF BF =++=；（3）解：①当BC CD =时，如图，∵BC CD =，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒，∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞符合题意，∴8AD AC ==；②当AB CD =时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB CD =，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞，符合题意，设CE x =，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即8x =+，∴1)x =，∴12AE DE ==-，∴AD ==综上可知AD 的值为8或6．【答案】（1）证明：∵将△ABC 绕点A 逆时针转至△AED∴BC=DE ，∠BAC=∠EAD ∴ BCCD =所以BC=CD∴DE=CD（2）解：∵∠F=∠ACB∠AMF=∠BMC∴△AMF ∽△BMC ∴AM AF BM BC=由题间可知BC=DEAC=AD∵BF ∥CD ∴AM AN AC AD=∴AM=AN∴AN AF AD DE=即AN·DE=AF·BM（3）解：设AB 为a ，则AC 为3a 由△CDE ∽△CAD 可得，CD CE CA CD=即CD 2=3a·2a=6a 2∵CD>0∴a∵AC=AD∴ AC AD=∵BF ∥CD ∴ BCFD =∴ AB AF=∴AB=AF∴∠ABF=∠AFB=∠ACB ∴△ABM ∽△ACB ∴AB AM BM AC AB BC==即3a AM a a ==∴AM=13a BM=63a 根据据对称轴可知FN=63a 由△AMN ∽△ACD 可得∴AM MN AC CD=即133a a =∴MN=9∴a∴79BF CD ==7．【答案】（1）假命题；真命题（2）证明：延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连结CG ，又∵F 为BC 的中点，∴12AF CG =∵∠BAC ＋∠DAE ＝∠BAC ＋∠CAG ＝180°，∴∠DAE ＝∠CAG ，∵AB ＝AE ，AB ＝AG ，∴AG ＝AE ，∵AD ＝AC ，∴△ADE ≌△ACG （SAS ），∴DE ＝CG ，∴12AF DE =（3）解：∵∠BAC ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAE ＋∠DAC ＝180°，∵∠BAE ＝120°∴∠DAC ＝60°∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BE =，∠ACB ＝∠AEB ＝30°，∴BC 是AD 的垂直平分线∴BD ＝AB ∴1152ABC DBC ABE ∠=∠=∠=︒，∴∠AEC ＝∠ABC ＝15°，∴∠DEC ＝45°，∵∠ACE ＝180°－∠ABE ＝150°，∠ACD ＝60°∴∠DCE ＝90°，∴∠EDC ＝45°＝∠DEC ，∴DC ＝CE ，设AF a =，由（2）知，22DE AF a ==，∴CE DC ==，∵BE =，BE=BD+DE ，BD=AB ，∴)3112BD DE a +===∴162a aBD AF CD --=8．【答案】（1）证明：∵点D 平分 AC ，∴ AD CD=∴12ABD CBD ABC ∠=∠=∠.∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠CBD ．∴ AB CD=，∴AB=CD.（2）解：①∵ AD CD=∴∠ADB ＝∠DBC ，∴AD ∥BC ．又∵DG ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．由（1）得 AB CDAD ==∴AB ＝AD ．∴四边形ABFD 是菱形．∴AB ＝BF ＝DF ＝AD ＝a ．∴CF ＝b －a ．∵DG ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ．∴EF CF AB BC=，∴2ab a EF b-=.②连接CG ．∵∠ABC ＝72°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ACB ＝36°，∵DG ∥AB ，∴∠BDG ＝∠ABD ＝36°．∵∠BCG ＝∠BDG ，∠DGC ＝∠DBC ，∴∠BCG ＝∠DGC ，∴FC ＝FG ．∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝108°．∵在菱形ABFD 中，∠ADG ＝∠ABC ＝72°，∴∠FDC ＝36°，∴∠ACB ＝∠FDC ．又∵∠DFC ＝∠CFE ，∴△CDF ∽△ECF ，∴FC DF EF FC=，∴2FC EF DF =⋅，∴2FG EF DF =⋅.9．【答案】（1）证明：∵D 是BC 的中点，点A D O 、、在同一条直线上，∴OD BC ⊥，∴ AB AC =，∴AB AC =，∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴DE 是ABC 的中位线，∴12DE AB =，∴12DE AC =.（2）证明：①∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴22AB DE AC AE ==，，∵2AB AC AG +=，∴222DE AE AG +=，∴DE AE AG +=，∵AE EG AG +=，∴DE EG =，∴DEG 是等腰三角形.②延长HO 交O 于点N ，连接OB OC BN CN ，，，，∵DE EG =，∴EDG EGD ∠=∠，∴2AED EDG EGD EGD ∠=∠+∠=∠，∴12EGD AED ∠=∠，∵DE AB ，∴180BAC AED ∠+∠=︒，∵180BAC BNC ∠+∠=︒，∴AED BNC ∠=∠，∵HO BC ⊥，∴2BOC COH ∠=∠，∵2BOC BNC ∠=∠，∴COH BNC ∠=∠，∵1122CAH COH BNC ∠=∠=∠，∴CAH EGD ∠=∠，∴AH FG .10．【答案】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）解：如图，设C 点为原点，则A （-3，-2），B （-1，-4），A 点绕C 点顺时针旋转90°后A 2的坐标为（-2，3），B 点绕C 点顺时针旋转90°后B 2的坐标为（-4，1），连接相应顶点，22A B C 即为所求；（3）解：勾股定理可得BC ==，∴B ，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90π1717π1802︒⨯=︒．11．【答案】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于点E ，连接OA ，如图，AB AC = ，O 为底边BC 的中点，AO ∴为BAC ∠的平分线，OD AB ⊥ ，OE AC ⊥，OD OE ∴=，OD 为O 的半径，OE ∴为O 的半径，∴直线AC 到圆心O 的距离等于圆的半径，AC ∴是O 的切线（2）解：①∵AB 切O 于点D ，∴90ODB ∠=︒，∵42B ∠=︒，∴48BOD ∠=︒，∵4OD =，∴劣弧DM 的长为4841618015ππ⨯⨯=；②过点O 作OF DM ⊥于点F ，如图，OF DM ⊥ ，122DF MF DM ∴===，OD OM = ，OF DM ⊥，OF ∴为DOM ∠的平分线，1242DOF BOD ∴∠=∠=︒.在Rt ODF 中，sin DF DOF OD ∠=，2sin 24OD ∴︒=，225sin 240.4OD ∴=≈=︒.12．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，90CAO OAD ∴∠+∠=︒，OA OC = ，CAO ACD ∴∠=∠，DAE ACD ∠=∠ ，DAE CAO ∴∠=∠，90DAE OAD ∴∠+∠=︒，90OAE ∴∠=︒，OA 是O 的半径，AE ∴是O 的切线；（2）解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，60B ∠=︒ ，30BAF ∴∠=︒，75BAC ∠=︒ ，45FAC ∴∠=︒，AFC ∴ 是等腰直角三角形，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，2AD DE == ，60ADC ∠=︒，AC ∴=，在Rt AFC 中，AF CF ==，3BF AF ∴==2AB BF ∴==，BC BF CF =+=．13．【答案】（1）解：PA 与O 相切，理由：连接CD ，AD 为O 的直径，90ACD ∴∠=︒，90D CAD ∴∠+∠=︒，B D ∠=∠ ，PAC B ∠=∠，PAC D ∴∠=∠，90PAC CAD ∴∠+∠=︒，即DA PA ⊥，点A 在圆上，PA ∴与O 相切．（2）证明：如图2，连接BG ，AD 为O 的直径，CG AD ⊥，∴ AC AG =，AGF ABG ∴∠=∠，GAF BAG ∠=∠ ，AGF ∴ ∽ABG ，AG ∴：AB AF =：AG ，2AG AF AB ∴=⋅；（3）解：如图3，连接BD ，AD 是直径，90ABD ∴∠=︒，2AG AF AB =⋅ ，AG AC ==AB =2AG AF AB∴==CG AD ⊥ ，90AEF ABD ∴∠=∠=︒，EAF BAD ∠=∠ ，AEF ∴ ∽ABD ，AE AF AB AD ∴=，510=，解得：2AE =，1EF ∴=，4EG == ，413FG EG EF ∴=-=-=，236AE FG ∴⋅=⨯=．14．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒，∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ，∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒，∴OB BD ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线BD 与O 相切；（2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∵AB =∴433602AB sin AEB sin AE AE ∠=︒===，∴8AE =，∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴3303OB tan ADB tan BD ∠=︒==，∴3BD =，∴图中阴影部分的面积2160π48π423603OBD BOES S ⨯=-=⨯⨯= 扇形.15．【答案】（1）证明：连接OM 、BM∵点M 是弧CD 中点，∴DBM OBM∠=∠∵OB OM=∴OMB BMO∠=∠∴DBM BMO∠=∠∴BE OM（2）解：连接CD 交OM 于点N 、连接OD∵BC 是直径，∴CD BD ⊥，∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45B ∠=︒，∴BDC ∆也是等腰直角三角形，∴BD CD =，OD CD ⊥.∵OM EF ⊥，EF BE ⊥，CD BD ⊥，∴四边形MNDE 是矩形，∴DN EM =，∵ME =DN =∵OM CD ⊥，∴2CD DN ==∴4BC =∴2OD OB ==，∵OBDBOD S S S ∆=-阴影扇形∴90π4122π23602S ⋅=-⨯⨯=-阴影16．【答案】（1）解：直线FG 是D 的切线；证明：连接DF ，如图所示：∵在ABC 中，AB AC =，∴B C ∠=∠.∵DB DF =，∴DBF DFB ∠=∠，∴DFB C ∠=∠，∴DF AC ，∴180DFG AGF ∠+∠=︒，∵FG AC ⊥于点G ，∴90AGF ∠=︒，∴90DFG ∠=︒，∴DF FG ⊥，∵DF 是D 的半径，∴直线FG 是D 的切线.（2）解：连接EF ，如图所示：∵BE 是D 的直径，∴90BFE ∠=︒，∵90FGC ∠=︒，∴BFE FGC ∠=∠，∵B C ∠=∠，∴BFE CGF ∽，∴BF BE CG CF =，∵2BF CG =，∴2BE CF =，设D 的半径为x ，则2BE x =，BD CF x ==，∵DF AC ，∴BF BD CF AD=，∵2AE =，∴2AD x =+，∴2BF x x x =+，∴22x BF x =+，∴222222x x x BC BF FC x x x +=+=+=++.∵3BC =，∴22232x x x +=+，解得：2x =或32x =-（舍去），经检验，2x =是原方程的根，∴D 的半径为2.17．【答案】（1）15°（2）解：①1；②由题意AB 是半圆的直径，106AB BC ==，，∴∠ACB=90°，∴8AC ==，根据题意△DEC 是“准互余三角形”时分两种情况：当∠D+2∠DCE=90°时，∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴∠CAB+2∠ABE=90°，又∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CBA=2∠CBD ，即BD 平分∠ABC ，过E 作EF AB ⊥于F （如图（1）），∴EF=CE ，∵∠BCE=∠BFE ，∠CBE=∠FBE ，∴CBE FBE ∆≅∆（AAS ），∴BC=BF ，由勾股定理即知：222AF EF AE +=，∴()()222AB BF CE AC CE -+=-，即()()2221068CE CE -+=-，解得CE=3；当2∠D+∠DCE=90°时（如备用图），∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴2∠CAB+∠ABE=90°，连接AD ，∵∠DAC=∠CBE ，∴ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即86AD CE BE -=，∵2∠CAB+∠ABE=90°，又∠DAB+∠ABE=90°，∴∠DAE=∠CAB ，∴ADE ABC ~ ，∴84105AD AC AE AB ===，又∵ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即AD BC AE BE =，故645BE =，∴152BE =∴由勾股定理得92CE ==；③如图将ABC 沿AB 翻折得到ABM ，∵2CBG CAB ∠=∠，∴CBG CAM ∠=∠，∵∠CAB+∠CBA=90°，∴∠MAB+∠MBA=90°，∴∠CAM+∠CBM=180°，∴∠CBM+∠CBG=180°，∴M 、B ，G 三点共线，∵ABG 是“准互余三角形”，∴2∠CAB+∠G=90°或∠CAB+2∠G=90°，∵∠CAM+∠G=90°，∵∠CAB<∠BAM ，∴290CAB G ∠+∠≠︒，故∠CAB+2∠G=90°，∴∠CAM+∠G=∠CAB+2∠G ，∴∠BAM =∠G ，又∠M =∠M ，∴AMB GMA ∆~∆，∴AM MB MG AM =，即868MG =，解得：323MG =，由勾股定理得：403AG =；18．【答案】（1）解：①证明：连接OB ，OC ，设AB 与BC 交于点P ，∵点A 是 BAC的中点，∴ AB AC=，∴AB ＝AC ，又∵OB ＝OC ，∴AO 是BC 的垂直平分线，∴AO ⊥BC ；②∵AB ＝AC ，AP ⊥BC ，∴BP ＝CP ＝4，∴AP 8=，∵BO 2＝OP 2＋BP 2，∴BO 2＝（8−OB ）2＋16，∴BO ＝5，∴⊙O 的半径为5；（2）解：延长BD 交⊙O 于点H ，连接CH ，CO ，AH ，∵23OD OB =，∴设BO ＝3a ＝OC ＝OH ，OD ＝2a ，∴DH ＝a ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°，∴CD=，CH=，∵BH 是直径，故∠BAH=90°，∵∠BAC ＝∠BHC ＝45°∴∠CAH=90°-∠BAC ＝45°=∠CHD又∵∠ACH ＝∠DCH ，∴△ACH ∽△HCD ，∴AC CH CH CD=，=，∴AC∴AD ＝AC−CD，∴ADCD＝513AD CD ==.19．【答案】（1（2）y 随着α的增大而增大；0＜y ＜2（3）解：60°；当α60=︒时，PB PC PA +=，证明如下：如图所示，延长BP 到D ，使得PD CP =，连接CD，∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴180120BPC BAC ∠=︒-∠=︒，∴18060CPD BPC ∠=︒-∠=︒，∴CPD 是等边三角形，∴60CP CD PD PCD ∠===︒，，∵α60BAC AB AC ∠==︒=，，∴ABC 是等边三角形，∴60AC BC ACB ∠==︒，，∴ACB BCP DCP BCP ∠∠∠∠+=+，即BCD ACP ∠=∠，∴()SAS BCD ACP ≌，∴AP BD =，∵BD BP PD BP CP =+=+，∴AP BP CP =+，∴当α60=︒时，PB PC PA +=.20．【答案】（1）证明：∵AE 是⊙O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∴90BAE AEB ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴90AFD DAF ∠+∠=︒，∵AE 平分∠BAD ，即BAE ∠=，∴AEB AFD ∠=∠；（2）解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴AEB BFE ∠=∠，∴5BE BF ==，∴在Rt ABE 中，AE ==如图，过点B 作BH EF ⊥于点H ，∴1122ABE S AB BE AE BH =⋅=⋅ ，即105BH ⨯=，解得：BH =∴在Rt BHE 中，EH ==，∴EF =，AF AE EF =-=，∵BFH AFD ∠=∠，BHF ADF ∠=∠，∴BHF ADF ∽，∴BF BH AF AD =AD=，解得：6AD =；（3）解：BF =，理由如下：∵G 是AB 的中点，O 是AE 的中点，∴OG BE ，∴OG AB ⊥，∴AD BD =，∵AD BC ⊥，∴ABD 是等腰直角三角形，∴45ABD ∠=︒，过点F 作FP AB ⊥于点P ，∵AF 平分∠BAD ，∴FD FP =，∵45ABD ∠=︒，∴BF ==．。
中考数学综合题专题中考应用题训练含答案
中考(Kao)数学综合题专题中考应用题训练含答案列(Lie)方程(Cheng)(组(Zu))解(Jie)应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程(Cheng)(组(Zu))解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义(Yi)的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件(包括所求的量)都要给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词语表现出来的明显的相等关系，如“多”、“少”、“增加”、“减少”、“快”、“慢”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重点和难点，此时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科学知识才能做到．解应用题的一般步骤：解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答”．1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意．2、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)．3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．4、“解”就是解方程，求出未知数的值．5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义．6、“答”就是写出答案(包括单位名称)．应用题类型：近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等．几种常见类型和等量关系如下：1、行程问题：基本量之间的关系：路程=速度×时间，即：．常见等量关系：(1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程．(2)追及问题(设甲速度快)：①同时不同地：甲用的时间＝乙用的时间；甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程．②同地不同时：甲用的时间＝乙用的时间－时间差；甲走的路程＝乙走的路程．2、工程(Cheng)问题：基(Ji)本量之间的关系：工作量(Liang)=工作(Zuo)效率(Lv)×工作(Zuo)时间．常见等量关系(Xi)：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量．3、增长(Chang)率问题：基本量之间的关系：现产量=原产量×(1+增长率)．4、百分比浓度问题：基本量之间的关系：溶质=溶液×浓度．5、水中航行问题：基本量之间的关系：顺流速度＝船在静水中速度＋水流速度；逆流速度＝船在静水中速度－水流速度．6、市场经济问题：基本量之间的关系：商品利润=售价－进价；商品利润率=利润÷进价；利息=本金×利率×期数；本息和=本金+本金×利率×期数．一元一次方程方程应用题归类分析列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。
2020年九年级中考数学专题专练--综合应用题(含答案)
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
--培根中考数学专题综合应用题——方程+不等式+函数模型1.为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政府部门招标一工程队负责在山下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B 两种型号的挖掘机，已知3 台A 型和5 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165 立方米；4 台A 型和7 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225 立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300 元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180 元．（1）分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？（2）若不同数量的A型和B 型挖掘机共12 台同时施工4 小时，至少完成1080 立方米的挖土量，且总费用不超过12 960 元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？2.快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人代替人工分拣．已知购买甲型机器人1 台，乙型机器人2 台，共需14 万元；购买甲型机器人2 台，乙型机器人3 台，共需24 万元．（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1 200 件和1 000 件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8 台，总费用不超过41 万元，并且使这8 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8 300 件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？3.文美书店决定用不多于20 000 元购进甲、乙两种图书共1 200 本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20 元、14 元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4 倍，若用1 680 元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1 400 元购买乙种图书的本数少10 本．（1）甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3 元，乙种图书售价每本降低2 元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）4.某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2 筒甲种羽毛球和3 筒乙种羽毛球，其花费255 元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8 780 元购进甲、乙两种羽毛球共200 筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的35，已知甲种羽毛球每筒的进价为50 元，乙种羽毛球每筒的进价为40 元．①若设购进甲种羽毛球m 筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m 为何值时所获利润最大？最大利润是多少？5.经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000 kg，获得利润4.2 万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；（2）根据之前的销售情况，估计今年6 月到10 月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2 000 kg，其中，这种规格的红枣的销，销售这种售量不低于600 kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（kg）规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y 与x 之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．综合应用题——方程+不等式模型6.“绿水青山就是金山银山”．为保护生态环境，A，B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理的人数及总开支如下表：（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102 000 元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？7.为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”，这批单车分为A，B 两种不同款型，其中A 型车单价400 元，B 型车单价320 元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B 两种款型的单车共100 辆，总价值36 800 元．试问本次试点投放的A 型车与B 型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184 万元．请问城区10 万人口平均每100 人至少享有A 型车与B 型车各多少辆？8.某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100 元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5 元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9 元．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x 为正整数）．（3）根据题意，填写下表：（4）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270 元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（5）当x＞20 时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．9.小明同学三次到某超市购买A，B 两种商品，其中仅有一次是有折扣的．购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：（3）第次购买有折扣；（4）求A，B 两种商品的原价；（5）若购买A，B 两种商品的折扣数相同，求折扣数；（6）小明同学再次购买A，B 两种商品共10 件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200 元，求至少购买A 商品多少件．10.在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划今年1 至5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50 千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年1 至5 月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到今年5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017 年通过政府投入780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1:2，且里程数之比为2:1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6 月起至年底，如果政府投入经费在2017 年的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017 年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1 至5 月的基础上分别增加5a%，8a%，求a 的值．图象类应用题11.某市制米厂接到加工大米任务，要求5 天内加工完220 吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1 所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图2 所示，请结合图象回答下列问题：（1）甲车间每天加工大米吨，a= ；（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式；（3）若55 吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？12.某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min 后乘坐小轿车沿同一路线出行．大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的10继续行驶，小轿车保持原速度7不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示：请结合图象解决下面问题：（3）学校到景点的路程为km，大客车途中停留了min，a= ；（4）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？（5）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？（6）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待分钟，大客车才能到达景点入口．13.小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16 min 回到家中．设小明出发第t min 时的速度为v m/min，离家的距离为s m．v 与t 之间的函数关系如图所．示（图中的空心圈表示不包含这一点）（6）小明出发第2 min 时离家的距离为m；（7）当2＜t≤5 时，求s 与t 之间的函数表达式；（8）画出s 与t 之间的函数图象．14.某校机器人兴趣小组在如图1 所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A 出发，在矩形ABCD 边上沿着A→B→C→D 的方向匀速移动，到达点D 时停止移动．已知机器人的速度为1 个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1 s（即在B，C 处拐弯时分别用时1 s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P 表示，P 到对角线BD 的距离（即垂线段PQ 的长）为d 个单位长度，其中d 与t 的函数图象如图2 所示．（7）求AB，BC 的长；（8）如图2，点M，N 分别在线段EF，GH 上，线段MN 平行于横轴，M，N 的横坐标分别为t1，t2，设机器人用了t1（s）到达点P1 处，用了t2（s）到达点P2 ．若CP1+CP2=7，求t1，t2 的值．处（见图1）15.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 米处达到最高，水柱落地处离池中心3 米．（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度是多少？16.某游乐园有一个直径为16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 米处达到最高，高度为5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站．立．时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．⎩函数类应用题17.我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量 y （万⎧x + 4（1≤ x ≤ 8，x 为整数）件）与月份 x （月）的关系为： y = ⎨−x + 20（9 ≤ x ≤12 ，x品的利润 z （元）与月份 x （月）的关系如下表：，每件产 为整数）（1）请你根据表格求出每件产品利润 z （元）与月份 x （月）的关系式； （2）若月利润 w （万元）=当月销售量 y （万件）×当月每件产品的利润 z （元），求月利润 w （万元）与月份 x （月）的关系式；（3）当 x 为何值时，月利润 w 有最大值，最大值为多少？18.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100 元．（1）直接写出当0≤x≤300 和x＞300 时，y 与x 的函数关系式；（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m2，若甲种花卉的种植面积不少于200 m2，且不超过乙种花卉种植面积的2 倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？19.某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0．每件的售价为18 万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n（n 为整数，1≤n≤12）符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)（k 为常数），且得到了表中的数据：（1）求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12 万元；（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；（3）在这一年12 个月中，若第m 个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．20.某广告公司设计一幅周长为16 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元，设矩形一边长为x，面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）设计费能达到24 000 元吗？为什么？（3）当x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？21.某公司投入研发费用80 万元（80 万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6 元/件．此产品年销售量y（万/件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万/元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20 万元（20 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5 元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12 万件．请计算该公司第二年的利润W2 至少为多少万元．22.某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问题．已知前7 年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米）与时间x（第x 年）的关系构成一次函数（1≤x≤7 且x 为整数），且第一和第三年竣工投（1）已知第6 年竣工投入使用的公租房面积可解决20 万人的住房问题，如果人均住房面积，最后一年要比第6 年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12 年中，每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同，且第一年，一年38 元/m2，第二年，一年40 元/m2，第三年，一年42 元/m2，第四年，一年44 元/m2……以此类推．分析说明每平方米的年租金和时间能否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12 年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W 关于时间x 的函数解析式，并求出W 的最大值（单位：亿元）．如果在W 取得最大值的这一年，老张租用了58 m2 的房子，计算老张这一年应交付的租金．23.如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D 四个站点，每相邻两站之间的距离为5 千米，从A 站开往D 站的车称为上行车，从D 站开往A 站的车称为下行车．第一班上行车、下行车分别从A 站、D 站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10 分钟分别在A，D 站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30 千米/小时．（1）问第一班上行车到B 站、第一班下行车到C 站分别用时多少？（2）若第一班上行车行驶时间为t 小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s 千米，求s 与t 的函数关系式；，刚好遇（3）一乘客前往A 站办事，他在B，C 两站间的P 处（不含B，C 站）到上行车，BP=x 千米，此时，接到通知，必须在35 分钟内赶到，他可选择走到B 站或走到C 站乘下行车前往A 站．若乘客的步行速度是5 千米/ 小时，求x 满足的条件．第一部分参考答案：1、2、3、4、5、第二部分参考答案：1、2、3、4、5、第三部分参考答案：1、2、3、4、5、6、第四部分参考答案：1、2、3、4、5、6、7、。
2024学年九年级中考数学专题复习：分配方案问题(一次函数实际综合应用)(含答案)
2024 学年九年级中考数学专题复习:分配方案问题（一次函数实际综合应用）1．春天来了，学校计划用两种花卉对校园进行美化．已知用600元购买A 种花卉与用900元购买B 种花卉的数量相等，且B 种花卉每盆的价格比A 种花卉每盆的价格多0.5元．(1)求A ，B 两种花卉每盆的价格各是多少元；(2)学校计划购买A ，B 两种花卉共6000盆，其中A 种花卉的数量不超过B 种花卉数量的13，请你给出购买这批花卉费用最低的方案，并求出最低费用． 2．某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90t 和60t ，该市的C 县和D 县分别储存化肥100t 和50t ，全部调配给A 县和B 县．已知从C 县运化肥到A 县的运费为35元/t ，从C 县运化肥到B 县的运费为30元/t ，从D 县运化肥到A 县的运费为40元/t ，从D 县运化肥到B 县的运费为45元/t ．(1)设C 县运到A 县的化肥为x t ，求总运费W （单位：元）关于x （单位：t ）的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．3．为加强学生的劳动教育，某校准备开展以“种下希望，共建美好家园”为主题的义务植树活动． 经了解，购买2棵枣树和3棵石榴树共需44元；购买5棵枣树和6棵石榴树共需98元，该校决定购买(0)m m 棵枣树和50棵石榴树．(1)求枣树和石榴树的单价；(2)实际购买时，商家给出了如下优惠方案：方案一：均按原价的九折销售；方案二：如果购买的枣树不超过50棵，按原价销售． 如果购买的枣树超过50棵，则超出的部分按原价的八折销售，石榴树始终按原价销售．分别求出两种方案的费用1W ，2W 关于m 的函数解析式．4．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”，夏季是盛产荔枝的季节，某县城为尽快打开市场，对本地的荔枝品种妃子笑进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：线上销售模式：不超过6千克时，按原价出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利3.5元；线下销售模式：一律九折出售．购买妃子笑x 千克，所需费用为y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．根据以上信息回答下列问题：(1)请问妃子笑的标价为多少？(2)请求出线上销售模式所需费用y关于x的函数解析式；(3)若想购买妃子笑40千克，请问选择哪种模式购买最省钱？5．某公司为改善办公条件，计划采购一批A，B两种型号的电脑，已知1台A型电脑比1台B型电脑的便宜1200元；采购4台A型电脑与采购3台B型电脑的费用一样多．(1)求A型电脑和B型电脑每台各需多少元；(2)若公司计划采购A、B两种型号电脑共50台，且A型电脑的台数不超过B型电脑的4倍，两种型号电脑的采购总费用不超过200000元，该公司共有几种采购方案？哪种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？6．希望艺术团准备采购甲，乙两种道具，某经销商知道了活动的方案后，主动联系希望艺术团，对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按25元/件的价格出售．设希望艺术团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)直接写出当0≤x≤50和x>50时，y与x之间的函数关系式；(2)若希望艺术团计划一次性购买甲，乙两种道具共100件，且甲种道具不少于40件，但又不超过60件．如何分配甲，乙两种道具的购买量，才能使希望艺术团付款总金额w（元）最少？(3)若甲、乙两种道具的进货价格分别为22元/件和18元/件．经销商按（2）中甲，乙两种道具购买量的分配比例卖出两种道具共a件，且销售完a件道具获得的利润不少于1050元，求a的最小值．7．我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买A，B两种奖品．已知2件A种奖品和3件B种奖品共需41元，5件A种奖品和2件B种奖品共需53元．(1)这两种奖品的单价各是多少元？(2)学校准备购进这两种奖品共90件，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．8．我市是福建省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的3倍，每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天．(1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数；(2)某茶厂计划一天采摘鲜叶600斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和15名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？9．为了方便老师工作，某中学决定购进一批教学用具，在购买教学用具时，该校从甲、乙、丙三家商场了解到同一种型号教学用具的优惠条件如下：甲：定价为90元，超过5个，超过的部分每个优惠20%；乙：定价为90元，每个优惠10% ；丙：购会员卡100元，每个教学用具70元．(1)设该校购买x个教学用具，选择甲商场时，所需费用为y1元；选择乙商场时，所需费用为y2元；选择丙商场时，所需费用为y3元；请分别求出y1，y2，y3与x之间的函数关系式；(2)当购买教学用具数量大于多少件时，y2＞y3？10．某年级430名师生秋游，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如下表：(1)设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；(2)当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？11．目前，全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某生物公司接到批量生产疫苗任务，要求5天内加工完成22万支疫苗，该公司安排甲，乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲，乙两车间各自生产疫苗y （万支）与甲车间加工时间x （天）之间的关系如图1所示；两车间未生产疫苗w （万支）与甲车间加工时间x （天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：(1)甲车间每天生产疫苗 万支，第一天甲、乙两车间共生产疫苗 万支，=a ；(2)当3x =时，求甲、乙车间生产的疫苗数（万支）之差12y y -；(3)若5.5万支疫苗恰好装满一辆货车，那么加工多长时间装满第一辆货车？再加工多长时间恰好装满第三辆货车？12．某校准备在健康大药房购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．(1)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？(2)如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．(3)在健康大药房累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w 元，求w 关于m 的函数关系式．若该校九年级有1000名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？ 13．某商场销售一种夹克和衬衣，夹克每件定价100元，衬衣每件定价50元，商场在开展促销活动期间，向顾客提供两种优惠方案．方案一：买一件夹克送一件衬衣方案二：夹克和衬衣均按定价的80%付款现有顾客要到该商场购买夹克30件，衬衣x件（x>30）（1）用含x的代数式表示方案一购买共需付款y1元和方案二购买共需付款y2元；（2）通过计算说明，购买衬衣多少件时，两种方案付款一样多？（3）当x=40时，哪种方案更省钱？请说明理由．14．灵宝寺河山被誉为“亚洲第一高山果园”，海拔800﹣1200米，土质肥沃，雨量充沛，日照充足，昼夜温差大，气候条件得天独厚，是苹果的最佳适生地．寺河山苹果，是三门峡市灵宝苹果的龙头品牌，素有“天下苹果属灵宝，灵宝苹果属寺河”之说．在苹果收获季节，为了保证苹果的新鲜度，需要将苹果运送至冷库进行保存，现有A，B两个果园，若A果园有苹果120吨，B果园有苹果60吨．现将A，B两个果园的苹果全部运往C，D两个冷库进行冷藏保存，已知C仓库可储存100吨，D仓库可储存80吨，A，B 两个果园到C，D两个冷藏仓库的运费如下表：设从A果园运往C仓库的苹果重量为x吨．（1）用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并写出自变量x的取值范围；（2）如何进行运送才能使总运费最少？求出最低总运费．15．学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程．在建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1450名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定在当地租车公司租用62辆A、B两种型号的客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关A、B两种型号客车的载客量和租金信息：注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数；（1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x之间的函数表达式，并通过计算求出x的取值范围；（2）若要使租车总费用不超过13460元，则共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？参考答案：1．(1)A 种花卉每盆1元，B 种花卉每盆1.5元(2)当购买A 种花卉1500盆，B 种花卉4500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250元．2．(1)W ＝10x +4800（40≤x ≤90）(2)最低总运费为5200元，此时的运送方案是：C 县的100t 化肥40t 运往A 县，60t 运往B 县，D 县的50t 化肥全部运往A 县3．(1)枣树的单价为10元，石榴树的单价为8元(2)19360W m =+，210400(050),8500(50).m m W m m +<≤⎧=⎨+>⎩4．(1)25元/千克(2)()()250621.5216x x y x x ⎧≤<⎪=⎨+>⎪⎩(3)线上购买5．(1)购买1台A 型电脑需要3600元，购买1台B 型电脑需要4800元．(2)该公司共有7种采购方案. 购买A 型电脑40台，B 型电脑10台方案可使总费用最低，最低费用是192000元6．(1)30(050)24300(50)x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩ (2)购进甲道具40件，乙道具60件时，才能使希望艺术团付款总金额w （元）最少；(3)a 的最小值为2107．(1)A ：7元，B ：9元(2)购进A 种奖品67件，购进B 种奖品23件；676元8．(1)每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶30斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶10斤(2)茶厂应安排15名熟练的采茶工人采摘鲜叶，15名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少9．(1)190(05)7290(5)x x y x x <≤⎧=⎨+>⎩；290(110%)81y x x =⨯-=；370100y x =+ (2)1010．(1)y ＝100x +3600(2)当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是4100元11．(1)2，3.5，1.5(2)1(3)2天，2天12．(1)每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元(2)5m(3)当m ≤4时，则w=450m ；当m ＞4时，w =360m +360，需要购买口罩20盒，水银体温计100盒，所需总费用为7560元13．（1）12501500402400y x y x =+⎧⎨=+⎩；（2）当90x =时12y y =；（3）当x =40时，方案一更省钱． 14．（1）43400W x =+，40100x ≤≤；（2）运送方案为A 果园将40吨苹果运往C 仓库，80吨运往D 仓库，B 果园的60吨苹果全部运往C 仓库，此时总运费最低，最低是3560元 15．（1）y ＝100x ＋11160（21≤x ≤62且x 为整数）；（2）3种，租用A 型号客车21辆。
中考初中数学应用题经典练习题
中考初中数学应用题经典练习题中考初中数学应用题经典练题一、综合题（共8题；共85分）1.(10分)（2015•深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）。
根据表格，当用水量不超过22立方米时，每立方米的水费为a元，超过22立方米后，每立方米的水费为1.5元。
1) 已知某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值。
解：设a为每立方米的水费。
当用水量不超过22立方米时，总用水量为10立方米，总水费为10a元。
当用水量超过22立方米时，总用水量为0立方米，总水费为0元。
因此，总水费为10a元，根据题意，有10a+12(1.5)=23，解得a=1.05.2) 在(1)的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？解：当用水量不超过22立方米时，总用水量为x立方米，总水费为xa元。
当用水量超过22立方米时，总用水量为5月份用水量减去22立方米，总水费为(5月份用水量-22)×1.5元。
因此，总水费为xa+(5月份用水量-22)×1.5元，根据题意，有xa+(5月份用水量-22)×1.5=71，代入a=1.05，解得5月份用水量为34立方米。
2.(10分)XXX要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元。
1) 求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？设每个A型放大镜的价格为x元，每个B型放大镜的价格为y元。
根据题意，有8x+5y=220，4x+6y=152.解得x=12，y=28，因此每个A型放大镜12元，每个B 型放大镜28元。
2) XXX决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？设购买A型放大镜的数量为m，购买B型放大镜的数量为n。
根据题意，有mx+ny≤1180，m+n=75.要求购买的A型放大镜数量最多，即要求x/m的值最小。
中考数学《一次函数与二元一次方程(组)的综合应用》专项练习题及答案
中考数学《一次函数与二元一次方程(组)的综合应用》专项练习题及答案一、单选题1．已知一次函数 y =x +1 和一次函数 y =2x −2 的图象的交点坐标是 (3,4) ，据此可知方程组{x −y =−12x −y =2 的解为（ ） A ．{x =3y =4B ．{x =4y =3C ．{x =−3y =−4D ．{x =−4y =−32．如图，直线y ＝kx+b 交x 轴于点A （﹣2，0），直线y ＝mx+n 交x 轴于点B （5，0），这两条直线相交于点C （2，c ），则关于x 的不等式组 {kx +b <0mx +n >0的解集为（ ）A ．x ＜5B ．1＜x ＜5C ．﹣2＜x ＜5D ．x ＜﹣23．用图象法解二元一次方程组{kx −y +b =0x −y +2=0时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为（ ）A ．{x =1y =2B ．{x =2y =1C ．{x =1y =2.5D ．{x =1y =34．已知直线y ＝2x 与y ＝﹣x+b 的交点（﹣1，a ），则方程组 {2x −y =0x +y =b 的解为（ ） A ．{x =1y =2B ．{x =−1y =2C ．{x =1y =−2D ．{x =−1y =−25．如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得关于x ，y 的二元一次方程组{y =ax +b y =kx的解是（ ）A ．{x =−2y =−4B ．{x =−4y =−2C ．{x =2y =−4D ．{x =−4y =26．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x ﹣y=2的解的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x+3与直线l 2：y ＝mx+n 交于点A （﹣1，2），则关于x 、y 的方程组{y =x +3y =mx +n 的解为（ ） A ．{x =2y =1B ．{x =2y =−1C ．{x =−1y =2D ．{x =−1y =−28．如图，是在同一坐标系内作出的一次函数l 1、l 2的图象，设l 1：y ＝k 1x+b 1，l 2：y ＝k 2x+b 2，则方程组 {y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2的解是（ ）A ．{x =−2y =2B ．{x =−2y =3C ．{x =−3y =3D ． {x =−3y =49．如图，l 1经过点(0，1.5)和(2，3)，l 2经过原点和点(2，3)，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是（ ）A ．{3x −4y =−63x −2y =0B ．{−3x +4y =63x +2y =0C ．{3x −4y =63x −2y =0D ．{3x −4y =63x +2y =010．直线 y =2x −3 与直线 y =x −1 的交点坐标是（ ）A ．(2，1)B ．(4，3)C ．(2，−1)D ．(−2，1)11．已知直线y=3x ﹣3与y=﹣32x+b 的交点的坐标为（43，a ），则方程组{−3x +y +3=03x +2y −2b =0的解是（ ）A ．{x =43y =−1B ．{x =43y =1C ．{x =−43y =−1D ．{x =−43y =112．如图，已知一次函数y=ax+b 和y=kx 的图象相交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组 的解是（ ）A ．{x =−4y =−2B ．{x =−2y =−4C ．{x =2y =4D ．{x =2y =−4二、填空题13．已知方程组{x +y =12x −y =2的解为{x =1y =0，则一次函数y=﹣x+1和y=2x ﹣2的图象的交点坐标为14．如图，直线l 1的解析式是y ＝2x －1，直线l 2的解析式是y ＝x ＋1，则方程组 {x −y =−12x −y =1 的解是 ．15．一次函数y ＝3x －5与y ＝2x ＋b 的图象的交点的坐标为P(1，－2)，则方程组 {y =3x −5y =2x +b 中b的值为 .16．如图，已知函数y=x ﹣2和y=﹣2x+1的图象交于点P （1，﹣1），根据图象可得方程组{x −y =22x +y =1的解是 ．17．已知函数y=2x+1和y=﹣x ﹣2的图象交于点P ，点P 的坐标为（﹣1，﹣1），则方程组{2x −y +1=0x +y +2=0的解为 ． 18．我们规定：当k ，b 为常数，k≠0，b≠0，k≠b 时，一次函数y ＝kx+b 与y ＝bx+k 互为交换函数，例如：y ＝5x+2的交换函数为y ＝2x+5．一次函数y ＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为 ．三、综合题19．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝ 34 x+ 32交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，点B 为垂足，点C 的横坐标为﹣1，点C 在直线y ＝2x ﹣1上，连接BC ．（1）求点A的坐标；（2）求∠CBO的度数．20．如图，在直角坐标系中，直线y=−43x+4与分别于x、y轴交于点A，B，点C在x轴上CD∠AB．垂足为D，交y轴于点E （0，3）．（1）求∠AOB的面积；（2）求线段CE的长；（3）求D点的坐标．21．如图，两直线l1：y=−x+4、l2：y=2x+1相交于点P，与x轴分别相交于A、B 两点．（1）求P点的坐标；（2）求S∠PAB．22．一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中x的值对应为点的横坐标，y的值对应为点的纵坐标，如二元一次方程x ﹣2y=0的解 {x =0y =0 和 {x =2y =1 可以转化为点的坐标A （0，0）和B （2，1）．以方程x ﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x ﹣2y=0的图象．（1）写出二元一次方程x ﹣2y=0的任意一组解 ，并把它转化为点C 的坐标 ；（2）在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如方程x ﹣2y=0的图象是由该方程所有的解转化成的点组成，在图中描出点A 、点B 和点C ，观察它们是否在同一直线上； （3）取满足二元一次方程x+y=3的两个解，并把它们转化成点的坐标，画出二元一次方程x+y=3的图象；（4）根据图象，写出二元一次方程x ﹣2y=0的图象和二元一次方程x+y=3的图象的交点坐标 ，由此可得二元一次方程组 {x −2y =0x +y =3 的解是 ．23．如图，直线y 1=kx+b 与坐标轴交于A （0，2），B （m ，0）两点，与直线y 2=-4x+12交于点P （2，n ），直线y 2=-4x+12交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求m ，n 值；（2）直接写出方程组{y =kx +b y =−4x +12的解为 ；（3）求∠PBC的面积．24．为便民惠民，树人公园特推出下列优惠方案：①普通卡：每人每次20元；②贵宾卡：年费为200元，每人每次10元；③至尊卡：年费为500元，但进入不再收费．设某人参观x次时，所需总费用为y元．（1）直接写出选择普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，求出点A，B，C的坐标；（3）根据图象，直接写出选择哪种方案更合算．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】A11．【答案】B12．【答案】A13．【答案】（1，0）14．【答案】15．【答案】-416．【答案】{x=1y=−117．【答案】{x=−1y=−1 18．【答案】119．【答案】（1）解：由{y=2x−1①y=34x+32②，解得{x=2y=3∴A（2，3）；（2）解：过C点作CD∠x轴于D∵A（2，3）∴B （2，0）∵点C 的横坐标为﹣1，点C 在直线y ＝2x ﹣1上 ∴y ＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3 ∴C （﹣1，﹣3） ∴BD ＝3，CD ＝3∴∠CBD 的等腰直角三角形 ∴∠CBO ＝45°．20．【答案】（1）解：∵当x=0时， y =4 ，∴B （0，4）∵当y=0时， x =3 ，∴A （3，0） ∴OA ＝3，OB ＝4 ∴S ∠AOB =12×3×4=6 （2）解：∵E （0，3） ∴OE=3 ∴OE=OA∵∠ECO+∠CEO=90°，∠BED+∠DBE=90°，∠CEO=∠BED ∴∠ECO=∠DBE 又∵∠COE=∠BDE=90° ∴∠AOB∠∠EOC （AAS ）； ∴OC=OB=4∴Rt∠COE 中，CE =√OC 2+OE 2=√42+32=5 （3）解：由（2）得OC ＝4，即C （﹣4，0） 设直线CE 的解析式为y=kx+b 把C （﹣4，0），E （0，3）代入得 {−4k +b =0b =3 解得{b =3k =34∴直线CE 解析式为： y =34x +3由题意得方程组 {y =−43x +4y =34x +3解得： {x =1225y =8425 ∴D (1225,8425) ．21．【答案】（1）解：联立方程组得： {y =−x +4y =2x +1，解得 {x =1y =3 ，因此 P(1,3) （2）解：在 y =−x +4 中，当 y =0 时， −x +4=0 ， x =4 ，在 y =2x +1 中，当 y =0时 2x +1=0 ， x =−12 ，∴A (−12,0) ，B (4,0) ，∴AB= |x A −x B |=92∴S ∠PAB = 92⋅|y P |⋅12=92×3×12=27422．【答案】（1）{x =−2y =−1；（﹣2，﹣1）（2）解：如图，点A 、点B 和点C 同一直线上（3）二元一次方程x+y=3的两个解为 {x =3y =0 或 {x =0y =3 ，把它们转化成点的坐标为（3，0），（0，3） 如图（4）（2，1）；{x =2y =123．【答案】（1）解：把点P （2，n ）代入y 2=−4x +12得：n =−8+12=4第 11 页 共 11 ∴P （2，4）把A （0，2），P （2，4）代入y 1=kx +b 得，{b =22k +b =4解得：{k =1b =2∴y 1=x +2把B （m ，0）代入y 1=x +2得：0=m +2解得：m =−2∴m =−2，n =4；（2）{x =2y =4（3）解：当y 2=−4x +12=0时解得：x =3∴C （3，0）∵P （2，4），B （－2，0），C （3，0）∴BC=5∴S △PBC =12×5×4=10． 24．【答案】（1）解：由题意得，普通卡：y 1＝20x ；贵宾卡：y 2＝10x ＋200； （2）解：令y 1＝500得：20x ＝500，解得：x ＝25∴点B 坐标为（25，500）；令y 2＝500得：10x ＋200＝500，解得：x ＝30∴点C 的坐标为（30，500）；联立y 1、y 2得： {y ＝20x y ＝10x +200解得： {x ＝20y ＝400 ∴点A 的坐标为（20，400）；∴A （20，400），B （25，500），C （30，500）；（3）解：由图像可知：①当0＜x ＜20时，选择普通卡更合算； ②当x ＝20时，选择普通卡和贵宾卡的总费用相同，均比至尊卡合算； ③当20＜x ＜30时，选择贵宾卡更合算；④当x ＝30时，选择贵宾卡和至尊卡的总费用相同，均比普通卡合算； ⑤当x ＞30时，选择至尊卡更合算．。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图是二次函数 y 1=ax 2+bx +c(a ≠0) 和一次函数 y 2=mx +n(m ≠0) 的图象.则下列结论正确的是（ ）A ．若点 M(−2，d 1)，N(12，d 2)，P(2，d 3) 在二次函数图象上，则 d 1<d 2<d 3B ．当 x <−12或 x >3 时C ．2a −b =0D ．当 x =k 2+2 （ k 为实数）时2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y 1≠y 2时，则取y 1，y 2中的较大值记为N ；当y 1=y 2时，则N=y 1=y 2．则下列说法：①当0＜x ＜2时，则N=y 1；②N 随x 的增大而增大的取值范围是x ＜0；③取y 1，y 2中的较小值记为M ，则使得M 大于4的x 值不存在；④若N=2，则x=2﹣√2或x=1．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知抛物线y 1= 14（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）交x 轴于A （x 1，0）B （x 2，0）两点，且点A 在点B 的左边，直线y 2=2x+t 经过点A ．若函数y=y 1+y 2的图象与x 轴只有一个公共点时，则则线段AB 的长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．无法确定4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 和直线y ＝kx +b 都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x ＝1，那么下列说法正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．k ＝2a +cD ．x ＝4是ax 2+（b ﹣k ）x +c ＜b 的解5．直线y=ax ﹣6与抛物线y=x 2﹣4x+3只有一个交点，则a 的值为（ ）A ．a=2B ．a=10C ．a=2或a=﹣10D ．a=2或a=106．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，则x 2+（b ﹣1）x+c ＜0.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，直线y=x+2和抛物线y=x 2-x+1的若干组函数值如下表所示：x … 1 1.5 2 2.5 3 … y=x+2 … 3 3.5 4 4.5 6 … y=x 2-x+1…11.7534.7513…A ．1<x<1.5B ．1.5<Xx2C ．2<x<2.5D ．2.5<x<38．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数 y=14(x −4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）A ．5B ．225C ．4D ．17﹣4π9．如图，“心”形是由抛物线 y =−x 2+6和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C 的对应点为D ，点A ，B 是两条抛物线的两个交点，直线AB 为“心”形对称轴，点E ，F ，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）A ．6√3B ．8C ．10D ．10√310．已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于B 、D 两点．若直线y ＝kx ﹣k 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则k 的最大值是（ ）A ．12B ．2 √5 ﹣6C ．6+4 √2D ．6﹣4 √212．在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,4) ， B(2,1) 直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别交于点 M ，N 若抛物线 y =x 2−bx +2 与直线 AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A ， N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上（包含 B ， M 两个端点），则 b 的取值范围是（ ）A．1≤b≤52B．b≤1或b≥52C．52≤b≤113D．b≤52或b≥113二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=﹣12 x2于点B，C，则S△BOC= ．14．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15．如图，抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=kx+1上，对称轴为直线x=1，以下四个结论：①ab<0；②b<13；③a=−k；④当0<x<1其中正确的是．（填序号）16．如图，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y=x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为．17．已知抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x 2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．18．如图，抛物线y=13x 2﹣4√33x+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点M 的坐标为（2√3，1）．以M 为圆心，2为半径作⊙M ．则下列说法正确的是 （填序号）． ①tan ∠OAC=√3； ②直线AC 是⊙M 的切线； ③⊙M 过抛物线的顶点； ④点C 到⊙M 的最远距离为6；⑤连接MC ，MA ，则△AOC 与△AMC 关于直线AC 对称．三、综合题(共6题；共73分)19．在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y=ax 2（a ＞0）上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．（1）如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，则求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，则求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为1 2．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件.公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P 万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当10≤x≤15时可看成抛物线P= 14x2−4x+m.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式.（3）当售价x为多少元时，则年利润W最大，并求出这个最大值.21．如图，抛物线y＝ax2＋32 x＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，其中A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)．（1）求抛物线的表达式及点B坐标；（2）点E是线段BC上的任意一点（点E与B、C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长；②线段EF长的最大值是．22．已经二次函数y=ax2+bx+1 .（1）如图，其图象与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1 .①求二次函数解析式；②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形OEFG为正方形时，则求点F坐标；（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数y=ax2+bx+1函数值存在负数，求b的取值范围.23．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，则min{a，b}=b；当a＜b时，则min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．（1）求min{x2﹣1，﹣2}；（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；（3）已知当﹣2≤x≤3时，则min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．24．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y={−2x+140，(40≤x<60)−x+80.(60≤x≤70)（1）当售价为60元/件时，则年销售量为万件；（2）当售价为多少时，则销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】414．【答案】1（答案不唯一） 15．【答案】①③④16．【答案】（1，﹣4）和（﹣2，5） 17．【答案】y=x 2﹣2x ﹣3 18．【答案】①②③④ 19．【答案】（1）解：如图1作BE ⊥x 轴∴△AOB 是等腰直角三角形 ∴BE=OE= 12AB=1∴A （﹣1，1），B （1，1）∴A ，B 两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1∵抛物线y=ax 2（a ＞0）过A ，B ∴a=1 ∴抛物线y=x 2 （2）解：如图2作BN ⊥x 轴，作AM ⊥x 轴 ∴∠AOB=AMO=∠BNO=90° ∴∠MAO=∠BON ∴△AMO ∽△ONB ∴AM ON =OM BN ∴AM ×BN=OM ×ON设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上 ∴AM=y 1=x 12，BN=y 2=x 22，OM=﹣x 1，ON=x 2 ∴x 12×x 22=﹣x 1×x 2 ∴x 1×x 2=﹣1∴A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值；（3）解：由（2）得，A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，∵点B 的横坐标为 12，∴点A 的横坐标为﹣2，∵A ，B 在抛物线上，∴A （﹣2，4），B （ 12 ， 14 ），∴直线AB 解析式为y=﹣ 32x+1，∴P （ 23 ，0），D （0，1）设Q （n ，0），∴DP 2= 139 ，PQ 2=（n ﹣ 23）2，DQ 2=n 2+1∵△QDP 为等腰三角形∴①DP=PQ ，∴DP 2=PQ 2，∴139 =（n ﹣ 23 ）2，∴n= 2±√133 ，∴Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（ 2−√133 ，0）②DP=DQ ，∴DP 2=DQ 2，∴139 =n 2+1，∴n= 23 （舍）或n=﹣ 23 ，Q 3（﹣ 23 ，0）③PQ=DQ ，∴PQ 2=DQ 2，∴（n ﹣ 23 ）2=n 2+1∴n=﹣ 512 ，∴Q4（﹣ 512 ，0），∴存在点Q 坐标为Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（2−√133 ，0），Q 3（﹣ 23 ，0），Q4（﹣ 512 ，0）20．【答案】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b将点（5，30），（15，10）代入可得：{30=5k +b 10=15k +b解得：{b =40k =−2∴y 与x 的函数关系式为：y=-2x+40（5≤x ≤15）； （2）解：当5≤x ≤10时，则根据图像可得：P=60 ∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-60=-2x 2+50x-260；当10≤x ≤15时，则P =14x 2−4x +m由图可得经过点（10，60），将其代入可得：60=14×102−4×10+m 解得：m=75∴P =14x 2−4x +75；∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-(14x 2−4x +75)=−94x 2+54x −275；综上：W ={−2x 2+50x −260(5≤x ≤10)−94x 2+54x −275(10≤x ≤15)；（3）解：由（2）可得：当5≤x ≤10时W=-2x 2+50x-260=-2(x −252)2+1052∴x =252不在5≤x <10，由于开口向下在5≤x <10内随x 增大而增大 在x=10时，则取得最大值为W=40； 当10≤x ≤15时W=−94x 2+54x −275对称轴为x=−b2a=12 由于函数开口向下 ∴当x=12时，则W=49∴当x=12时，则W 取得最大值为49；综上可得：当售价为12元时，则年利润最大，最大为49万元.21．【答案】（1）解：将A(－1，0)、 C(0，2)代入y ＝ax 2＋ 32x ＋c （a ≠0）得：a ＝－ 12， c ＝2y ＝－ 12 x 2＋ 32x ＋2 当y ＝0时，则x 1＝－1，x 2＝4，故B(4，0)（2）解：设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将B(4，0)、 C(0，2)代入 得：y ＝－ x ＋2，EF ＝FG －GE ＝－ m 2＋ m ＋2－(－ m ＋2) ＝－ m 2＋2m ；2 22．【答案】（1）解：①由题： {a −b +1=0−b 2a =1 解得 {a =−13b =23∴ 二次函数解析式为： y =−13x 2+23x +1 ； ②设BC 解析式为： y =kx +b 对称轴为直线 x =1 .∵ 图象与x 轴交于点 A(−1,0) 和点B ，对称轴为直线 x =1 .∴ 点 B(3,0)将 B(3,0) ， C(0,1) 代入得： {3k +b =0b =1解得： {a =−13b =1∴BC 解析式为： y =−13x +1 设点 F(m,−13m +1) ∵ 四边形 OEFG 是正方形∴EF =GF∴m =−13m +1解得 m =34∴F(34,34) （2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数∴−x =ax 2+bx +1 有两相等实根，即 ax 2+(b +1)x +1=0 有两相等实根 ∴{a ≠0(b +1)2−4a =0解得： a =(b+1)24>0 ，且 b ≠−1 ∵y =ax 2+bx +1 存在负值∴b 2−4a =b 2−(b +1)2>0 ，解得 b <−12综上： b <−12且 b ≠−123．【答案】（1）解：∵x2≥0∴x2﹣1≥﹣1∴x2﹣1＞﹣2．∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2（2）解：∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3∴k﹣1≥﹣3．∴k≥﹣2（3）解：对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，则y=﹣7当x=3时，则y=﹣12由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12）所以m的范围是：﹣3≤m≤7．24．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为W万元当40≤x<60时W=(x−30)(−2x+140)=−2(x−50)2+800 .∵－2<0∴当x=50时W最大=800当60≤x≤70时W=(x−30)(−x+80)=−(x−55)2+625∵−1<0∴当x=60时W最大=600∵800>600∴当x=50时W最大=800∴当售价为50元/件时，则年销售利润最大，最大为800万元.（3）解：45≤x≤55理由如下：由题意得(x−30)(−2x+140)≥750解得45≤x≤55。
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
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四月的芳菲过尽，转入下一个轮回。五月喧嚣而来。 该绿的叶也都绿了，绿到了极致。该开的花也都开了，开到了奢侈。那些温温柔柔，柔到了难以为继。不该走的人，随风而去，去的猝不及防，去的没心没肺，去的风过无痕。
生而熟悉的身影，总莫名地就想：寒冷的日子过去了。。 开运网 https://
但酷暑也是转眼就到，一年中天气温和的日子总是屈指可数，酷暑寒冬，风霜雨雪，乃至地震火山，都是大自然的规律，人类无从逃遁。人的一生中，幸运的日子本就短暂，再美好的日子里，也免不得 烦草丛生。生活就交织在沉重的压力与不灭的希望之间，像浪里的船，沉浮不定。但日子不管பைடு நூலகம்它已径自远远地飞走了。 四月红尘里，且行且珍惜。