全等三角形判定定理一

A
D
B
C
分别是AC， 的中点 小明说： 的中点。 3、如下图，已知AB=AC，其中 ，F分别是 ，AB的中点。小明说：“线 如下图，已知 ，其中E， 分别是 相等。 你认为他说得对吗？ 段BE和CF相等。” 你认为他说得对吗？ 和 相等
A
Ｆ
Ｅ
B
C
四、课堂小结： 课堂小结：
1、本节课我们主要运用了平移、旋转和轴对称等知识推导出了判 、本节课我们主要运用了平移、旋转和轴对称等知识推导出了判 平移 形全等的一种方法：边角边定理（ 定三角形全等的一种方法：边角边定理（SAS）； ）； 2、边角边定理（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三 、边角边定理（ ）
下面我们就利用平移和旋转的知识来探讨 三角形全等的判定方法㈠：边角边定理！ ㈠：边角边定理 三角形全等的判定方法㈠：边角边定理！
二、讲授新课： 讲授新课：
问题： 如果在△ 问题： 如果在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，∠B=∠B'， 和 中 ， ∠ ， BC=B'C'，那么△ABC和△A'B'C'全等吗？ 全等吗？ ，那么△ 和 全等吗
A
A
B
45° °
C
B
45° ° （图②）
． C
（图①）
这两个三角形不全等，可得出结论： 结论 这两个三角形不全等，可得出结论：有两边和其中一边的对角对应相 等的两个三角形不一定全等。 边边角”不能判定三角形全等。 等的两个三角形不一定全等。即“边边角”不能判定三角形全等。
六、布置作业： 布置作业：
1、教书P82—83习题 、教书 习题3.4中的第 、4、5三题； 中的第3、 、 三题 三题； 习题 中的第 2、完成本节知识相应的基训里的题目； 基训里的题目 、完成本节知识相应的基训里的题目； 3、预习教书的 教书的P76—77的内容。 的内容。 、预习教书的 的内容
？
发现： 发现： 通过旋转演示我们发现：当B'C'与BC重合时，又∵ ∠B'=∠B，A'B'= 发现： 发现
AB，∴ A'B'与AB也重合，从而A'C'与AC也重合了，于是△A'B'C'和△ ABC 就完全重合了，因此得出△ABC ≌ △A'B'C'。 △
探究㈡： 探究㈡：⑵、如果△ABC和△A'B'C'的位置关系如图②所示，则两个三 如果△ 的位置关系如图② 和 的位置关系如图 所示， 形全等吗？ 角形全等吗？ C' AA'
例 2：如右下图，正在修建的某高速公路要通过一座大山，现要从这座山中挖一条隧道， ：如右下图，正在修建的某高速公路要通过一座大山，现要从这座山中挖一条隧道，
为了预算这条隧道的造价，必须知道隧道的长度，即这座山A、 两处的距离 两处的距离， 为了预算这条隧道的造价，必须知道隧道的长度，即这座山 、B两处的距离，你能想 出一个办法，测出AB的长度吗 的长度吗？ 出一个办法，测出 的长度吗？ 分析： 要想直接测出AB的长度是不可能的 怎么办？ 分析： 要想直接测出 的长度是不可能的，怎么办？ 我 的长度是不可能的， 们应在大山外的开阔地选择一合适的地点O， 们应在大山外的开阔地选择一合适的地点 ，使得从点 O可以到达 、B两处，并测出 与BO的长度。 连结 可以到达A 两处， 的长度。 可以到达 两处 并测出AO与 的长度 AO并延长 至A' ，使OA'=OA ； 连结 并延长 并延长AO至 连结BO并延长 并延长BO 并延长 再连结A'B'，然后只需证 A'B'=A 至B'，使OB'=OB ，再连结 ， ， B，问题就解决了。显然我们根据边角边定理易证 △A' ，问题就解决了。 B'O≌△ABO，再根据全等三角形的性质可得出 ： ≌ ， A B A'B'=AB。 A'B'=AB。
A O B
B'
A'
先根据边角边定理可证得△ 先根据边角边定理可证得△AOB≌△A'OB'后，再根据全等三角形对 ≌ 后 应边相等的性质得出A'B'=AB 。 应边相等的性质得出 2、如下图，已知AD∥BC，AD=BC，那么△ADC和△CBA是全等三角形 、如下图，已知 ∥ ， ，那么△ 和 是全等三角形 吗？
变换演示： 变换演示：
B' B CC' （图③） A' A' m
思考： 思考： 能否通过图形轴 对称和平移试试
？
发现： 发现：
即先把△A'B'C'以直线 为轴作轴反射， 以直线m为轴作轴反射 即先把△ 以直线 为轴作轴反射， 再把轴反射所得的图形平移与△ 再把轴反射所得的图形平移与△ABC重 重 以边B'C'为轴 当然也可把△ 合。 当然也可把△A'B'C'以边 以边 为轴 B' C' 作轴反射后，再平移。 作轴反射后，再平移。 通过变换演示我们发现：△A'B'C'和△ABC已完全重合了，从而也得出 发现： 发现 △ABC ≌ △A'B'C'。 与分析，我们可得出判定三角形全等的一种方法： 与分析，我们可得出判定三角形全等的一种方法：
变换演示： 变换演示：
B' B
．
CC' （图②）
A' B'
思考： 思考： 能否通过图形的 平移和旋转试试
？
即先将△ 平移， 的顶点B重合后 即先将△A'B'C'平移，使顶点 与△ABC的顶点 重合后，再绕点 平移 使顶点B'与 的顶点 重合后，再绕点B 旋转， 重合。 旋转，使B'C'与BC重合。 与 重合
发现： 发现： 通过变换演示我们发现：当B'C'与BC重合时，又∵∠B'=∠B， A'B'= 发现： 发现
AB，∴ A'B'与AB也重合，从而A'C'与AC也重合了，于是△A'B'C'和△ ABC 就完全重合了，因此也得出△ABC ≌ △A'B'C方式？请同学们再看变换演示！ 发散： 小题的变换还有无其它方式 请同学们再看变换演示 方式？ 变换演示！
探究㈠： 探究㈠：⑴、如果△ABC和△A'B'C'的位置关系如图①所示，则两个三 如果△ 的位置关系如图① 和 的位置关系如图 所示， 形全等吗？ ⑴、角形全等吗？ AA'
旋转演示： 旋转演示：
C'
(B')
． B
（图①）
C C'
思考： 思考： 能否通过图 形旋转试试
A' 即将△ 绕顶点B旋转 重合。 即将△A'B'C'绕顶点 旋转，使B'C'与BC重合。 绕顶点 旋转， 与 重合
注意： 由于同学们学证明的时间不够长，所以做题时应特别注意证明的每一 注意： 由于同学们学证明的时间不够长，所以做题时应特别注意证明的每一 注意证明
步都要有根据，这些根据可以是题中的已知条件（ 步都要有根据，这些根据可以是题中的已知条件（特别要会从题中的图形 上找出隐含的已知条件，即要会看图） 也可是我们学过的公理、 隐含的已知条件 上找出隐含的已知条件，即要会看图），也可是我们学过的公理、定理和 定义。另外证明三角形全等时还要注意对应顶点应书写在对应的位置上！ 证明三角形全等时还要注意对应顶点 定义。另外证明三角形全等时还要注意对应顶点应书写在对应的位置上！
想想： 想想：
3、下列两个三角形是否全等？ 、下列两个三角形是否全等？
A A′
B
C
B′
C′
（ 通过图形的平移可知两个三角形是全等的 ）
再想： 、再看下列两个三角形是否全等？ 再想：4、再看下列两个三角形是否全等？ B' A A' A'
．
O
B B'
（ 通过图形的旋转可知两个三角形是全等的 ） 回顾： 、 回顾： 5、图形在平移和旋转的变换过程中有什么共 同性质？ 图形的形状和大小都没有发生改变） 同性质？ 图形的形状和大小都没有发生改变） （
．
．
如右图，确定点O，使点O可以到达 可以到达A与B两点 两点。 如右图，确定点O，使点O可以到达A与B两点。 解： 连结AO并延长 至 连结 并延长AO至A' ，使OA'=OA； 连结 并延长 ； 连结B 。 O并延长 至B'， 使OB'=OB；再连结 并延长BO至 ， 并延长 ；再连结A'B'。 B' 在△AOB和△A'OB'中： 和 中 OA=OA' ∵ ∠AOB=∠A'OB' ∠ OB=OB' ∴ △AOB≌△A'OB' （SAS） ≌ ） 全等三角形的对应边相等） ∴ A'B'=AB （全等三角形的对应边相等） 因此，测出A'B'的长度就是这座大山 处与 处的距离。 的长度就是这座大山A处与 处的距离。 因此，测出 的长度就是这座大山 处与B处的距离
△ACO ≌ △BDO。 。
A
D
分析： 在 △ ACO 和 △ BDO 中 ： 分析：
A O = B O （已知） 已知） ∠AOC=∠BOD （ 从图上 ∠ o 可知： 它们是对顶角， 可知： 它们是对顶角， 且 我们又知道对顶角相等 ） C B C O = D O （已知） 已知） 所以， ACO与 BDO全等 全等。 可见： 所以， △ACO与△BDO全等。 可见： 该题中的两个三角形满足边角边定理所叙述的内容，即有两边 全等。 全等 和 中 证明： 在△ACO和△BDO中： 证明： 和它们的夹角对应相等，因此这两个三角形全等 AO = BO 已知） （已知） ∵ ∠AOC =∠BOD （对顶角相等） 对顶角相等） ∠ CO = DO （已知） 已知） ） ∴ △ACO ≌ △BDO （SAS）