双曲线的几何性质导学案
学案5:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1．掌握直线与双曲线的位置关系．2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．学习重点：直线与双曲线的位置关系．学习难点：直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．课内探究案新课导学：探究点一直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组{y=kx+m,①x2a2-y2b2=1②的解的个数进行判断.①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0,即k=±ba,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于一点.当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;Δ<0⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.注意:直线与双曲线相切时,它们只有一个公共点,但当直线与双曲线只有一个公共点时,它们不一定相切,这时它们还可以相交.例1 若直线y=2x+m与双曲线x2-y2=4相切,则实数m的值为.探究点二根据双曲线标准方程研究几何性质由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式x 2a2−y2b2=1(或y2 a2-x2b2=1),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.例2 求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.探究点三根据双曲线的几何性质求标准方程1.根据双曲线几何性质求标准方程时,常用方法是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.2.如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.3.与双曲线x2a2−y2b2=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0),然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线x2-2y2=2有共同渐近线,且过点M(2,-2);(2)过点P(3,-√2),离心率为√52.当堂检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．422．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.434．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．四、课后反思课后训练案1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是()A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝12．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x224－y 212＝13．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x5．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．答 案新课导学探究点一 直线与双曲线的位置关系例1 【解析】联立方程组{y =2x +m ,x 2-y 2=4,则3x 2+4mx+m 2+4=0,由题意知Δ=(4m )2-12(m 2+4)=0,解得m=±2√3.【答案】±2√3探究点二 根据双曲线标准方程研究几何性质例2 【答案】 解:把双曲线方程化成标准方程为y 2144−x 225=1,则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169. ∴a=12,b=5,c=13.由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.探究点三 根据双曲线的几何性质求标准方程例3 【答案】 解:(1)设与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为x 22-y 2=k (k ≠0), 将点(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,故双曲线的标准方程为y 22−x 24=1.当堂检测1．【解析】双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C. 【答案】C2．【解析】2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2.【答案】B3．【解析】根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32. 【答案】C4．【解析】∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1.【答案】1课后训练案1．【答案】 C【解析】 ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 2．【答案】 B【解析】 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 3．【答案】 C【解析】 ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．【答案】 D【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 5．【答案】 －12<b <0【解析】 ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.6．【答案】 62 【解析】 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 7．【答案】解：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)． 8．【答案】解：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.。
高二数学 2.2.2双曲线的简单几何性质导学案(1)新人教A版选修1-1
高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质(1)导学案 【自主学习】（预习教材P49~ P51） 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=．问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．【合作探究】例1．（教材P51例3）求双曲线22916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．【目标检测】1．双曲线221168x y-=实轴和虚轴长分别是（）．A．8、42 B．8、22 C．4、42 D．4、22 2．双曲线224x y-=-的顶点坐标是（）．A．(0,1)± B．(0,2)± C．(1,0)± D．（2,0±）3．双曲线22148x y-=的离心率为（）．A．1 B．2 C．3D．2 4．双曲线2241x y-=的渐近线方程是．5、已知双曲线的离心率2e=(5,3)M-，求其标准方程。
2.2.2双曲线的几何性质导学案(公开课)
2.2.2双曲线的几何性质使用时间：2016-4-18【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材P51—P54，用红色笔进行勾画，并完成导学案预习自学部分时间不超过20分钟；2.限时、认真、独立完成合作探究设置的问题;3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论质疑。
【学习目标】1．探究、推导并初步掌握双曲线的几何性质。
2.培养学生运用数形结合的思想和联想、类比归纳的方法，解决实际问题。
3.通过合作探究，培养学生团队协作能力。
课前案.一、 基础知识储备:二、 预习效果检测：1.求函数 的最小值为（ ） A ．1 B. 2C. 3D. 42.若x>4,则函数41-+=x x y ( ) A. 有最大值 -6 B. 有最小值6 C ．有最大值 -2 D ．有最小值23.已知x 、y 都是正数，（1）如果xy=15，则x+y 的最小值是_________; （2）如果x+y=15，则xy 的最大值是_________;课中案合作探究1.已知.111b a ,的最小值，求且、ba Rb a +=+∈+跟踪训练：求满足已知正数,12,=+y x y x 的最小值yx 11+.小结：__________________________________________________________2.().__________1142的值域为->++=x x x y跟踪训练：若x>-1,求.1222的最小值+--=x x x y小结：_________________________________________________________3.(1)一个矩形的面积为100 问：这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？(2)已知矩形的周长为36m,问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？小结：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________【我的收获】____________________________________________________________________________________________课后案1. 求函数()的值的最大值以及相应的x x x xy 042>--=2.下列各式中，最小值为2的是 （ ）xyy x A.+ 414B.22+++x xx x e e -+221.3 θθtan 1tan .+D3.求函数()的值的最小值及相应的x x x x x y 1142>-+-=4.某工厂建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800 ，深度为3m .如果池底每1 的造价为150元，池壁每1 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少元?2m 2m 2m 2m。
数学《双曲线的几何性质》教案设计
数学《双曲线的几何性质》教案设计数学《双曲线的几何性质》教案设计在教学工作者实际的教学活动中，通常需要用到教案来辅助教学，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。
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数学《双曲线的几何性质》教案设计篇1一课时目标1、熟悉双曲线的几何性质。
2、能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。
3、能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。
二教学过程[情景设置]叙述椭圆的几何性质，并填写下表：方程性质图像（略）范围—a≤x≤a，—b≤y≤b对称性对称轴、对称中心顶点（±a，0）、（±b，0）离心率e=（几何意义）[探索研究]1、类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。
双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。
双曲线与椭圆的几何性质对比如下：方程性质图像（略）（略）范围—a≤x≤a，—b≤y≤bx≥a，或x≤—a，y∈R对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心顶点（±a，0）、（±b，0）（—a，0）、（a，0）离心率0＜e=＜1e=＞1 下面继续研究离心率的几何意义：（a、b、c、e关系：c2=a2+b2，e=＞1）2、渐近线的发现与论证根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把画出来吗？（能）根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把画出来吗？（不能）通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。
我们能较为准确地画出曲线y=，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。
问：双曲线有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：y=±=±当x无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±与直线y=±无限接近。
双曲线的简单几何性质(一)导学案
1标准方程 错误!－错误!＝1 （a 〉0,b>0) 错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0） a ，b,c 关系 a 2+b 2=c 2 a 2+b 2=c 2
渐近
线
探究点二由性质求标准方程(定型→设方程→定量→作答)
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的焦点为（2，0)，右顶点为(错误!，0)； (2)实半轴长为8，离心率为错误!；
变式:求满足下列条件的双曲线方程
(1）双曲线C的焦点为（0,5)，虚轴长为4; （2）实轴长为2,离心率为2；
四、巩固提高（链接高考）：
1、（2013陕西卷）双曲线x2
16
－错误!＝1的离心率为______，两条渐近线的方程为_____．
2、(2011年高考安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
3、（2011年高考江西卷）若双曲线错误!-错误!=1的离心率e=2，则m=__ __.
4、思考：若a=b，则渐近线的方程为_____，离心率e＝
五、小结(方法总结）：
（1）双曲线的简单性质（2）应用：①方程→性质②性质→方程
六、作业：1、P835 2、补充:求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为F1（－3,0），F2（3,0)，离心率e＝ 3
（2)虚轴长为12,离心率为4
5
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高中数学《双曲线的简单几何性质》导学案
2．2.2双曲线的简单几何性质1．双曲线的简单几何性质2．等轴双曲线(1)□14实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)等轴双曲线具有以下性质：①方程形式为□15x－y＝λ(λ≠0)；②渐近线方程为□16y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；③实轴长和虚轴长都等于□172a，离心率e＝□18 2.对双曲线的简单几何性质的四点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，得x2a2＝1＋y2b2≥1，∴x2≥a2，∴|x|≥a，即x≤－a或x≥a；(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；(4)对称性：由双曲线的方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，故P与P1，P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称，只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为 2.()(2)方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±ba x.()(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．() 答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.(2)双曲线x2－16y2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________．(3)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为________．答案(1)y＝±3x2(2)114(3)x22－y22＝1探究1双曲线的简单几何性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[解]将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca ＝133，渐近线方程y＝±ba x＝±23x.作草图：拓展提升(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．(3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线．依据(2)(3)两点，可画出双曲线的大致图形．【跟踪训练1】(1)已知0<θ<π4，则双曲线C1：x2cos2θ－y2sin2θ＝1与C2：y2sin2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 答案 C解析 因为0<θ<π4，所以sin θ>0，cos θ>0，所以双曲线C 1的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率e 1＝1cos θ，双曲线C 2的实轴长为2sin θ，虚轴长为2sin θtan θ＝2sin 2θcos θ，焦距2sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝2sin θcos θ，离心率e 2＝1cos θ，所以两个双曲线的离心率相等．(2)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 令x 2a 2－y 29＝0，得x a ＝±y 3，所以双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.探究2 双曲线的离心率问题例2 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 C ．[2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞(2)我们把离心率e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．如图是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；②若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；③若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．[解析] (1)由题意知，过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足b a <tan30°，即b <33a .∴3b 2<a 2，∴3(c 2－a 2)<a 2，c 2<43a 2，∴e 2<43，∴－233<e <233.又e >1，∴1<e <233.(2)①正确．由⎩⎨⎧b 2＝ac ，c 2＝a 2＋b 2得c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)，该双曲线是黄金双曲线． ②正确.F 1B 1→＝(c ，b )，A 2B 1→＝(－a ，b )． 因为∠F 1B 1A 2＝90°，所以F 1B 1→·A 2B 1→＝0.所以－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac ，由①可知该双曲线是黄金双曲线． ③正确．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1解得M ，N 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以OM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 因为∠MON ＝90°，所以OM →·ON →＝c 2－b 4a 2＝0，即b 2＝ac ，由①知该双曲线是黄金双曲线．[答案] (1)B (2)①②③[条件探究] 若把例2(1)的条件“30°”改为“60°”，“有两个”改为“有且只有一个”，其他条件不变，应如何解答？解 由题可得直线的斜率为3，要使直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要b a ≥ 3，∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥4.∴e ≥2，离心率取值范围为[2，＋∞)．拓展提升1.求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解． (2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．2．求双曲线离心率范围的思路求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．【跟踪训练2】 (1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝－1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别为e 1，e 2，则必有( )A．e1＝e2B．e1e2＝1C.1e1＋1e2＝1 D.1e21＋1e22＝1答案 D解析依题意，知e21＝a2＋b2a2，e22＝a2＋b2b2，所以1e21＋1e22＝a2＋b2a2＋b2＝1.故选D.(2)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是() A．4＋2 3 B.3＋1C.3－1D.3＋1 2答案 B解析设边MF1的中点为P，由题意知，MF1⊥PF2，在Rt△PF1F2中，|PF1|＝|F1F2|cos60°＝2c×12＝c，|PF2|＝|F1F2|sin60°＝2c×32＝3c，根据双曲线的意义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝3c－c，所以e＝ca ＝23－1＝3＋1.探究3由双曲线的几何性质求标准方程例3求与双曲线x216－y29＝1共渐近线且过点A(23，－3)的双曲线的方程及其离心率．[解]解法一：双曲线x216－y29＝1的渐近线方程为y＝±34x.(1)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．因为ba＝34，所以b＝34a①.因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以12a2－9b2＝1②.联立①②所得的方程组无解．(2)设所求的双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．因为ab＝34，所以a＝34b③.因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以9a2－12b2＝1④，联立③④得a2＝94，b2＝4.所以所求双曲线方程为y294－x24＝1且离心率e＝53.解法二：设与双曲线x216－y29＝1共渐近线的双曲线的方程为x216－y29＝λ(λ≠0)．因为点A (23，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝1216－99＝－14，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14，即y 294－x 24＝1.从而可求得离心率e ＝53.拓展提升巧设双曲线方程的六种常用方法(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．【跟踪训练3】 根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)以圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；(2)焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±33x ，且顶点到渐近线的距离为1. (3)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． 解 (1)对圆C 的方程，令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，即圆C 与x 轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)． 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，此方程无解，即圆C 与y 轴没有交点． 因此点(2,0)为双曲线的右顶点，点(4,0)为双曲线的右焦点． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝12， 从而双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.(2)由焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，渐近线方程为y＝±ba x＝±33x，则a＝3b.由顶点(a,0)到渐近线y＝33x的距离为1，得|a|2＝1，得a＝2，b＝33a＝233.从而双曲线的标准方程为x24－y243＝1.(3)因为离心率e＝2，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．由双曲线过点P(4，－10)，得16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线的标准方程为x26－y26＝1.探究4直线与双曲线的位置关系例4双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．(1)求双曲线C的方程；(2)如右图，过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点(Q 点与C的顶点不重合)．当PQ→＝λ1QA→＝λ2QB→，且λ1＋λ2＝－83时，求Q点的坐标．[解](1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由椭圆x28＋y24＝1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2，焦点在x轴上．又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，∴ba＝3，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.(2)解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零． 设l 的方程：y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，－4＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，y 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，－4＝λ1y 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4kλ1－4k ，y 1＝－4λ1，∵A (x 1，y 1)在双曲线C 上， ∴16k 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋λ1λ12－163λ21－1＝0， ∴16＋32λ1＋16λ21－163k 2－k 2λ21＝0， ∴(16－k 2)λ21＋32λ1＋16－163k 2＝0. 同理有(16－k 2)λ22＋32λ2＋16－163k 2＝0. 若16－k 2＝0，则直线l 过顶点，不符合题意，∴16－k 2≠0，∴λ1，λ2是一元二次方程(16－k 2)x 2＋32x ＋16－163k 2＝0的两根，∴λ1＋λ2＝32k 2－16＝－83，∴k 2＝4，此时Δ>0，∴k ＝±2，所求Q 的坐标为(±2,0)． 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零． 设l 的方程y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →＝λ2QB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，－4＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，y 1＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4k ，y 2， ∴－4＝λ1y 1＝λ2y 2，∴λ1＝－4y 1，λ2＝－4y 2.又λ1＋λ2＝－83，∴1y 1＋1y 2＝23，即3(y 1＋y 2)＝2y 1y 2.将y ＝kx ＋4代入x 2－y 23＝1得(3－k 2)y 2－24y ＋48－3k 2＝0.∵3－k 2≠0，否则l 与渐近线平行， ∴y 1＋y 2＝243－k 2，y 1y 2＝48－3k 23－k 2， ∴3×243－k 2＝2×48－3k 23－k 2， ∴k ＝±2，∴Q (±2,0)． 拓展提升(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x 或y 中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x 2项或y 2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．(2)直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长d ＝ 1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.【跟踪训练4】 已知双曲线x 2－y 22＝1，问：过点A (1,1)能否作直线l ，使l与双曲线交于P ，Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．解 假设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1.两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．① 又A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，②y 1＋y 2＝2.③将②③代入①，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)， 由题意，知直线l 的斜率存在，则x 1≠x 2， 则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以直线l 的方程为2x －y －1＝0.而由⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x 2－y22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0，根据Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，说明所求直线不存在．1.双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关.2.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏.3.求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a ；(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a 2求解.4.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.5.直线与双曲线有一个公共点的两种情况 (1)直线与双曲线相切； (2)直线与双曲线的渐近线平行.1．双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于( ) A ．4 B ．8 C ．3 D ．6 答案 C解析 双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，渐近线方程为x 4±y3＝0，即3x ±4y ＝0，根据双曲线的对称性，不妨求(5,0)到直线3x －4y ＝0的距离，d ＝|3×5－4×0|32＋(－4)2＝3.2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52 D ．1 答案 D解析 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.3．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 由题意知双曲线焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，a 2＋b 2＝36，解得a 2＝b 2＝18，所以所求双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 4．双曲线x 25－y 24＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦点坐标是________，离心率是________，渐近线方程是________．答案 25 4 (－3,0)和(3,0) 355 y ＝±255x解析 由题意知a ＝5，b ＝2，c ＝3，∴实轴长2a ＝25，虚轴长2b ＝4，焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，离心率e ＝c a ＝35＝355，渐近线方程y ＝±b a x ＝±255x . 5．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，求双曲线的标准方程．解 设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94. 当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14 答案 A解析 双曲线的标准方程为y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m .由题意，得b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.2．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3 答案 D解析 由双曲线的标准方程x 2－y23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.4．过原点作直线，与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．4条 答案 A解析 设l 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有0条．5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线P A ，PB 的斜率k P A ，k PB 存在时，k P A ·k PB ＝( )A.49B.12C.23 D ．与P 点位置有关 答案 A解析 设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，∴k P A ·k PB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 2x 2－x 2＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 29－1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209－1x 2－x 20＝49(x 2－x 20)x 2－x 20＝49.故选A. 6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形 答案 D解析 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋3e 22＝________.答案 4解析 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π3，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，该式可变形为a 21c 2＋3a 22c 2＝4，∴1e 21＋3e 22＝4.9．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．答案 x 24－y 25＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 三、解答题10．已知双曲线E 与双曲线x 22－y 2＝1共渐近线，且过点(2，－2)，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程．解 由题意，设E 的方程为x 22－y 2＝t (t ≠0)． ∵点(2，－2)在E 上，∴222－(－2)21＝t ，∴t ＝－2， ∴双曲线E 的标准方程为y 22－x 24＝1，又双曲线M 与E 为共轭双曲线，则双曲线M 的标准方程为x 24－y 22＝1.B 级：能力提升练1．求两条渐近线为x ±2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程．解 设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得，3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ， 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12(36＋λ)>0.那么|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫82－4×36＋λ3 ＝8(12－λ)3＝833. 解得λ＝4，所以，所求双曲线方程是x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ，N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解 (1)依题意，直线l 的方程为：x a ＋y －b ＝1，即bx －ay －ab ＝0.由原点O 到l 的距离是32，得aba 2＋b 2＝abc ＝32， 又e ＝c a ＝233，所以b ＝1，a ＝ 3. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，设点M ，N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 23－y 2＝1消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.(*)依题意知1－3k 2≠0，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝－23，解得k ＝±12，当k ＝±12时，判别式Δ＝15>0，方程(*)有两个不等的实数根，满足条件． 故直线m 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
双曲线的简单几何性质教导学案
x2 y2 = 1 的离心率为 5 ， 2、 （2012· 江苏） 在平面直角坐标系 xoy 中， 若双曲线 － 2 m m +4
则 m 的值为 。 。 3、双曲线 x 2－y 2 = 1 的顶点到其渐近线的距离等于
①
②
4、如图（1） ，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴旋转所成的
以焦点在 x 轴为双曲线为例，根据其的图像及标准方程 ，研究它的几何性质。
知识与技能 教 学 目 标 过程与方法 情感态度 与价值观 重点 难点 教学 方法 学生 自学 反馈
①能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称点、顶点、离心 率、渐近线等几何性质。 ②掌握双曲线标准方程中 a、b、c 的几何意义，理解双曲线的渐近线的 概念及证明，能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 ③使学生进一步掌握利用方程研究曲线方程的基本方法，加深对直角 坐标系中曲线与方程的概念的理解。 通过对问题的类比探究活动，让学生类比已知的知识，通过观察、推 导、形成新知识，进一步理解坐标系中根据曲线的方程研究曲线的几 何性质的一般方法，领悟其中所蕴涵的数学思想。 通过类比探究体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，逐步培 养正确的数学观、创新艺术与科学精神。
寺前中学高二数学教（学）案
年级： 高 课题 班级 二 编写人： 郝贵川 审核人：__________ 编制时间： 双曲线的简单几何性质 授课（完成）时间 教师（学生）
解类” C“应 问题 2：我们研究过椭圆的哪些性质？我们是用什么思想方法研究的？双曲 用类” D“能 线是否也有类似性质？又该怎样研究？ 力提 对称性： 范围： 升类” 顶点： 【探索新知】
离心率：
双曲线的简单几何性质+导学案- 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2 双曲线的简单几何性质导学案课时目标：1.掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线的渐近线及渐近线的求法；2理解离心率的几何意义.活动一、复习回顾1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的______________ 等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做_________ .这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的_______ .2. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 焦点坐标a, b, c 的关系活动二：类比探究1.思考：我们前面在学习椭圆的几何性质时，主要从哪几方面学习了椭圆的几何性质？2.类比探究双曲线的几何性质 （1焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)性质范围对称性顶点轴及轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线（2）重、难点突破：双曲线的渐近线渐近线方程：____________________ 渐近线方程：____________________（3）思考归纳：结合双曲线的离心率与渐近线斜率的关系总结出离心率的几何意义.活动三：练习巩固例. 求双曲线 229-16=144y x 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程.活动四：课堂小结1.知识清单：双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线及离心率；结论1：渐近线方程为：y =±ba x (焦点在x 轴上)或y =±ab x （焦点在y 轴上）. 结论2：离心率越大，双曲线开口越___ ；离心率越小，开口越___.2.数学思想方法归纳： 类比、数形结合等.3.常见误区：忽略焦点位置致错.活动五：作业布置课后思考：设双曲线方程为22(0)x y k k R k -=∈≠且，求该双曲线的渐近线方程与离心率，并观察该双曲线有什么特点？。
双曲线的几何性质导学案
四川省古蔺中学课改高2012级导学案课题： 2.2.2 双曲线的几何性质（理）层次： 教师评价： 学科组长评价： 检查时间： 月 日 课前预习学案一﹑ 预习目标及重难点预习目标： 1、理解双曲线的几何性质并会简单应用。
重点：双曲线的几何性质难点: 双曲线的渐近线。
二﹑ 教材助读 预习教材（1）掌握双曲线的简单几何性质，并能根据已知条件求双曲线的标准方程 （2）理解双曲线的几何性质并能简单应用。
三、知识再现（预习教材，完成以下内容） 1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双 曲线的标准方程及简单的几何性质?. 2.渐近线方程可令双曲线标准方程右边等于0得到。
在等一象限，有成立一方面，M N b bY x Y a a ==，即<M N Y Y ，另一方面，随着x 增大，M Y 距离N Y 逐渐接近，但是永远不相等。
3.渐近线斜率b a ===离心率e 越大，渐近线斜率ba 越_______,古蔺中学课改高212级班姓名：小组：第组双曲线“张口”越_______.4.等轴双曲线a=b ，渐近线方程为________,离心率=_________. 实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线．四，探究案1求双曲线 92y -162x = 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在x 轴上；⑵离心率 e = 2 ，经过点 M (-5 ,3) ；⑶渐近线方程为y = ±32x ，经过点 (29 ,-1)． 3、点 M (x , y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线l :516=x 的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．五，课后巩固1．双曲线181622=-y x 实轴和虚轴长分别是（ ）．A ． 8 、、． 4 、 、2．双曲线2x -2y = - 4 的顶点坐标是（ ）．A ．(0,± 1)B ．(0,± 2)C ．(± 1,0)D ．（ ± 2,0 ）3． 双曲线18422=-y x 的离心率为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．24．双曲线2x -42y = 1的渐近线方程是_____ ．5．求与双曲线221169x y -=共渐近线且过A （-3）的双曲线的方程. 58P 聚焦课堂★1，2，3，4，5，6 ★★ 7，8 ★★★ 9。
高中数学-双曲线的几何性质导学案doc
双曲线的几何性质（导学案）完成导学案以前先阅读教材 学习导航类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的几何性质，能够运用双曲线的性质解决简单问题. 学习目标 1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的几何性质.2.掌握双曲线的渐近线及离心率的应用.3.能够运用双曲线的性质解决简单问题.重点:双曲线的几何性质及其初步应用.难点:双曲线的渐近线、离心率的应用. 新知初探·思维启动想一想：做一做.1.范围(1)双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)在不等式 与 所表示的区域内; (2)双曲线2222yx a b -=1(a>0,b>0)在不等式 与 所表示的区域内. 2.对称性 双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形.其对称轴是 ,对称中心是 ,双曲线的对称中心叫做双曲线的 .3.顶点 (1)双曲线与其对称轴的两个交点叫做双曲线的 .(2)对于双曲线2222xy a b-=1(a>0,b>0),它与x 轴有两个交点A 1(-a ,0)和A 2(a ,0),则A 1A 2叫做双曲线的 ,长度等于 ,a 叫做双曲线 ;设B 1(0,b ),B 2(0,-b ),则线段B 1B 2叫做双曲线的 ,长度等于,b 叫做双曲线 .4.渐近线(1)双曲线2222x y a b-=1的渐近线方程为 . 双曲线2222yx a b -=1的渐近线方程为 . (2)实轴长与虚轴长相等的双曲线叫 ,其渐近线方程为5.离心率双曲线的 与 的比c a,叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是 .预习交流3双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小?提示:由于e=ca ,所以2222b c ae1a a-=-因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线的开口大小.离心率越大,开口越开阔;离心率越小,双曲线开口越扁狭.小组交流，展示提升例1 :求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程例2.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)已知双曲线的渐近线方程为y=±12x,焦距为10;(2)已知双曲线的渐近线方程为y=±23x,且过点M9,-12⎛⎫⎪⎝⎭;的双曲线是等轴双曲线离心率2=e(3)与椭圆22x y 94+=1有公共焦点,且离心率例3.已知双曲线顶点间的距离是16，离心率45=e ，焦点在x 轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并求出它的渐近线和焦点坐标.反思拓展本节课收获： .本节课不足： .以后努力方向： .堂清训练： 1.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于(). A .-14 B .-4 C .4 D .142.双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是( ).A .y=±3xB .y=±13x C D 3.双曲线的两个顶点将焦距三等分,则它的离心率为( ).A.32 B.3 C.434.双曲线22x y169-=1的一个焦点到其一条渐近线的距离等于 .5.求下列双曲线的标准方程。
双曲线(经典导学案及练习答案详解)
§8.7双曲线学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab xa，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b ＝2a ， 又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 2．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对 答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|等于1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17. 3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y 轴上且离心率为3的双曲线方程________． 答案y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以) 解析 取c ＝3，则e ＝ca＝3，可得a ＝1，∴b ＝c 2－a 2＝2， 因此，符合条件的双曲线方程为y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一 双曲线的定义及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， 所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，则△F 1PF 2的面积为_____．答案 2解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1―→⊥PF 2―→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) 答案 C解析 设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3， 则b 2＝c 2－a 2＝8， 所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．4＋37 D ．3＋317答案 B解析 由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3， 故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 答案 B解析 由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ， 又离心率e ＝ca ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a＝－2a 26a 2＝－13， sin ∠F 1PF 2＝223，所以12PF F S △＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 答案 9解析 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|， 所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小． 由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时， 满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值． 又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二 双曲线的标准方程例2 (1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝ca＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ， 则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x 29＝1 解析 设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(3，2)， 所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1. 教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．答案 y 225－x 275＝1解析 设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1， 解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1 答案 D解析 由题意可知|PF 1|＝43c3， |PF 2|＝23c3， 2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.题型三 双曲线的几何性质 命题点1 渐近线例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A.y 212－x 24＝1 B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1 D.y 216－x 24＝1 答案 B解析 由题意知，b ＝2， 又因为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.(2)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 B解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点， 所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以c ≥4，所以2c ≥8， 所以C 的焦距的最小值为8.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0⎝⎛⎭⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132C.7D.13 答案 A解析 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72. 高考改编已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，|AF 2|＝2|AF 1|，则双曲线E 的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.7 D ．7答案 C解析 点A 在双曲线E 的左支上，左、右焦点分别为F 1，F 2， 设|AF 1|＝m ，由|AF 2|＝2|AF 1|知|AF 2|＝2m ，由双曲线定义得|AF 2|－|AF 1|＝2m －m ＝m ＝2a ， 在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， 由余弦定理知，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 120° ＝4a 2＋16a 2＋8a 2＝28a 2， ∴|F 1F 2|＝27a ， 又|F 1F 2|＝2c ，∴27a ＝2c ，e ＝ca＝7.(2)(2022·滨州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,3) C ．(3，＋∞) D ．(2,3)答案 A解析 在△PF 1F 2中， sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2， 由正弦定理得，|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点， 所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|， 得3a ＋a >2c ，即2a >c ， 所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于( )A.12B.3－1C.3＋12D ．2答案 A解析 由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ， 所以b a ＝33， 则b 2a 2＝13， 即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，则c ＝a 2＋b 2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2， 由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，∴c a＝2，即离心率e ＝ 2. 思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则( )A ．双曲线C 的焦点坐标为(0，±2)B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．点(2,3)在双曲线C 上D ．直线mx －y －m ＝0(m ∈R )与双曲线C 恒有两个交点答案 BC解析 双曲线C 上的点到其焦点的最短距离为c －a ＝1，离心率e ＝c a ＝2，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1，所以C 的焦点坐标为(±2,0)，A 错误； 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，B 正确； 因为22－323＝1，所以点(2,3)在双曲线C 上，C 正确； 直线mx －y －m ＝0即y ＝m (x －1)，恒过点(1,0)，当m ＝±3时，直线与双曲线C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D 错误．(2)(2022·威海模拟)若双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线C 2的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，132B.⎝⎛⎭⎫1，133 C.⎝⎛⎭⎫132，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫133，＋∞ 答案 D解析 因为双曲线C 1：y 24－x 29＝1的渐近线方程为y ＝±23x ， 双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， 为使双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点， 只需b a >23， 则离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋49＝133. 课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±512，0 B.⎝⎛⎭⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析 将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1， 所以c 2＝19＋116＝25144， 所以c ＝512， 所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1 D.x 22－y 28＝1 答案 D解析 由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1. 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3答案 B解析 方法一 依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二 根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C.43 D.233答案 A解析 双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)，渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33， ∴b 9＋b 2b 2＋9＝33， 解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2. 5．(多选)已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案 ABC解析 因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确； 因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误． 6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y ＝34x ，P 为C 上一点，则以下说法正确的是( ) A ．C 的实轴长为8B ．C 的离心率为53 C ．|PF 1|－|PF 2|＝8D ．C 的焦距为10 答案 AD解析 由双曲线方程知，渐近线方程为y ＝±3a x ，而一条渐近线方程为y ＝34x ， ∴a ＝4，故C ：x 216－y 29＝1， ∴双曲线实轴长为2a ＝8，离心率e ＝c a ＝16＋94＝54， 由于P 可能在C 不同分支上，则有||PF 1|－|PF 2||＝8，焦距为2c ＝2a 2＋b 2＝10.∴A ，D 正确，B ，C 错误．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， 所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a2＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析 因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)， 代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215. 9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1－→·MF 2－→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1－→·MF 2－→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ， ∴h ＝255. 即M 点到x 轴的距离为255. (2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线方程是y ＝±255x ，点A (0，b )，且△AF 1F 2的面积为6.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若|AP |＝|AQ |，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得b a ＝255，① 12AF F S △＝12×2c ·b ＝6，②a 2＋b 2＝c 2，③由①②③可得a 2＝5，b 2＝4，∴双曲线C 的标准方程是x 25－y 24＝1. (2)由题意知直线l 不过点A .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为D (x 0，y 0)，连接AD (图略)．将y ＝kx ＋m 与x 25－y 24＝1联立，消去y ， 整理得(4－5k 2)x 2－10kmx －5m 2－20＝0，由4－5k 2≠0且Δ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧4－5k 2≠0，80(m 2－5k 2＋4)>0，④ ∴x 1＋x 2＝10km 4－5k 2，x 1x 2＝－5m 2＋204－5k 2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝5km 4－5k 2， y 0＝kx 0＋m ＝4m 4－5k 2. 由|AP |＝|AQ |知，AD ⊥PQ ，又A (0,2)，∴k AD ＝y 0－2x 0＝4m 4－5k 2－25km 4－5k 2＝－1k， 化简得10k 2＝8－9m ，⑤由④⑤，得m <－92或m >0. 由10k 2＝8－9m >0，得m <89. 综上，实数m 的取值范围是m <－92或0<m <89.11．(多选)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为62B ．双曲线y 24－x 28＝1与双曲线C 的渐近线相同 C ．若PO ⊥PF ，则△PFO 的面积为 2D ．|PF |的最小值为2答案 ABC解析 因为a ＝2，b ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a ＝62， 故A 正确；双曲线y 24－x 28＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，故B 正确； 因为PO ⊥PF ，点F (6，0)到渐近线2x －2y ＝0的距离d ＝|2×6|6＝2， 所以|PF |＝2，所以|PO |＝(6)2－(2)2＝2，所以△PFO 的面积为12×2×2＝2， 故C 正确；|PF |的最小值即为点F 到渐近线的距离，即|PF |＝2，故D 不正确．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫1，132 C.⎝⎛⎭⎫ 32，132 D ．(1，13) 答案 B解析 由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0， 又该圆的圆心为(c ，0)，故圆心到渐近线的距离为bc b 2＋4， 则由题意可得bc b 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)， 又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2，解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1， 故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，132. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，可得a ＝2b ，由双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，可得c ＝5，则由a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝1，双曲线的方程为x 24－y 2＝1， 由题意可得A (－2,0)，B (2,0)，设P (m ，n )(m >2，n >0)，则m 24－n 2＝1，即n 2m 2－4＝14， k 1k 2＝n m ＋2·n m －2＝n 2m 2－4＝14， 易知k 1，k 2>0，则k 1＋k 2≥2k 1k 2＝1，由A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，可得k 1≠k 2，则k 1＋k 2>1.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3， 则渐近线方程为y ＝±3x .15．(多选)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO →＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则( )A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0B ．双曲线C 的离心率为132C ．|OE →|＝1D ．△OMN 的面积为6答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题意可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO →＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |， 即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94， 所以a ＝2，b ＝3，e ＝132. 双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S △OMN ＝6.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解 设双曲线的半焦距为c ，则F (c ，0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ， 因为|AF |＝|BF |，所以b 2a＝a ＋c ， 所以c 2－a 2a＝a ＋c ， 所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明 设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0. 因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∠BF A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时， 由题意易得∠BAF ＝π4， 此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时， 因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a， 所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a ) ＝－y 0x 0－2a＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。
2.2.2.2双曲线的简单的几何性质学案
2.2.2.双曲线的简单的几何性质学案2学习目标：1、掌握直线与双曲线的位置关系；2、掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的轨迹方程 自主学习：一、直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l ：)0(≠+=m m kx y -------------------------①双曲线C ：12222=-b y a x（a ＞0，b ＞0）---------------------②把①代入②得：02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b⑴当0222=-k a b ，即a b k ±=时，直线l 与双曲线的渐进线（ ），直线与双曲线C 相交于一点；⑵当0222≠-k a b ，即b k ±≠时，△=22)2(mk a --))((42222222b a m a k a b ---。
1、 思考：点与双曲线有几种位置关系，如何来判断它们？2、 直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线必定相切吗？为什么？3、 直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 点，当a 为何值时时，以AB 为直径的圆过原点。
二、弦长公式斜率为k （0≠k ）的直线l 与双曲线相交于点),(11y x A ，),(22y x B ， 则AB =2121x x k-+=2122124)(1x x x x k -++ =21211y y k -+=2122124)(11y y y y k -++1、 思考：若直线斜率k =0或不存在，如何求弦长公式？2、直线x y =与双曲线1422=-y x 有两个交点A 、B ，则A 、B 两坐标分别是（ ）A 、（332,332±±） B 、（332,332），（332,332） C 、（33,33），（33,33--） D 、（32,32），（32,32--）3、斜率为1的直线l 过双曲线1222=-y x 的左焦点1F 与双曲线交于PQ 两点，则PQ 的长为 。
《2.2.2双曲线的几何性质》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.2双曲线的几何性质》导学案【学习目标】类比椭圆几何性质的研究方法研究双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率，了解双曲线的第二定义.【学习难点】双曲线的几何性质【学习难点】渐进线、离心率对双曲线的影响【问题导学】1.画出双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 的图象.2.根据1画出的图象类比椭圆几何性质的研究方法，分别指出双曲线 )0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 中x ，y 的范围、对称性、顶点、实轴长、实半轴长、虚轴长、虚半轴长.3.认真阅读课本，分别指出)0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近 线的定义，求法，特征.什么是等轴双曲线？等轴双曲线有何特征？4.类比椭圆，双曲线的离心率是什么？它刻画了双曲线的什么性质？【典型例题】例1、求与双曲线2222=-y x 有公共渐近线，且过点)2,2(-M 的双曲线的标准方程.【基础题组】1．求下列双曲线的实轴、虚轴长，顶点、焦点坐标、离心率和渐近线方程．(1)4x 2－3y 2=12 (2)16x 2－9y 2=－144 328)3(22=-y x 819)4(22=-y x 8)5(22-=-y x (6)1254922-=-y x2.双曲线14322=-y x 的实轴长和虚轴长分别是( ) A . 32，4 B .4，32 C .3，4 D . 2，33．双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)的焦点到它的渐近线的距离等于( )A . 22b a b +B .bC . aD . 22b a a + 4．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A .23B . 26 C . 23 D .2 5．双曲线的渐近方程是x y 21±=，焦点在坐标轴上，焦距为10，其方程为( ) A . 152022=-y x B . 152022=-y x 或 152022=-x y C . 120522=-y x D . 152022±=-x y 6．已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则此双曲线的 ( ) A ．焦距为10 B ．实轴长与虚轴长分别为8与6C ．离心率e 只能是45或35D ．离心率e 不可能是45或35 7．等轴双曲线的一个焦点是F 1(4，0)，则它的标准方程是_________，渐近线方程是 ______________.8.已知双曲线1222=-b y x (b >0)的一条渐近线方程为x y 2=，则b =____________ 9.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，焦点与椭圆192522=+y x 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为____________，渐近线方程为____________10．若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为____________11．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ____________12．已知双曲线191622=-y x 上一点M 到左焦点F 1的距离是它到右焦点距离的5倍，则M 点的坐标为____________13．双曲线的渐近线方程为x y ±=，两顶点之间的距离为2的标准方程：____________14．双曲线的其中一条渐近线的斜率为72，求此双曲线的离心率.。
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双曲线的几何性质（一）导学案
学习目标：
1、用类比的方法分析双曲线的范围，对称性，顶点等几何性质。
2、明确标准方程中a,b,c 的几何意义。
学习过程：
复习巩固：
1、已知a=3,b=4焦点在x 轴上，双曲线的标准方程为
2、已知a=3,b=4焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为
3、a=25，经过点A （2,5），焦点在Y 轴上，双曲线的标准方程为
一、定向自学： 阅读教材P 49---P 51页内容（独学） 1 、双曲线 的几何性质
（1）
、范围 方程中的x 的范围是 y 的范围是 （2）、对称性 双曲线的图象关于 成轴对称图形，
关于 成中心对称图形。
（3）、顶点：作出图形，然后指出顶点坐标，
实轴是 长度是 实半轴长是
虚轴 长度是 虚半轴长是
（4）、渐近线：（作图指出渐近线） 双曲线 的渐近线方程是 双曲线 的渐近线方程是
问题：什么是等轴双曲线？它的方程是什么？
（5）、离心率e= 其范围是
例1、（1）求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心
率和渐近线方程；
（2）求双曲线9y2－16x2=－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离
心率和渐近线方程；
)0,0(122
22>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b y a x ),b (a b x a y 00 1 >>=-22
22
二、 小组讨论（对学、群学）
对独学的中存在的问题进行讨论
三、 全班交流（展示，提出疑问或质疑）
展示组在黑板上展示内容，其他组认真倾听并提出疑问或质疑
四、 归纳小结
这节课我们学到了什么知识?
五、 巩固提升
1、 求下列双曲线的实轴，虚轴的长顶点的、焦点的坐标和离心率：
（1）X 2-8y 2=32 (2)9 X 2- y 2=81
(3) X 2- y 2=-4 (4) 492x -252
y =-1
2.方程 表示双曲线时，则m 的取值
范围是_________________.
3求以椭圆492x +25
2
y =1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
知识拓展：焦点在Y 轴上的双曲线的几何性质？ 11222=++-m y m x。