双曲线的简单几何性质导学案

)0(12

2

22>>=+b a b y a x 学案：2.3.2双曲线的简单几何性质

【学习目标】

1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的理解。

2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。 【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。 【学习难点】渐近线方程的导出。

知识回顾

1、双曲线的定义：

》

2、双曲线的标准方程：

3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的

】

{

一、学习探究

（一）试一试

类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程

)0,0(,12

2

22>>=-b a b y a x ，研究它的几何性质。 ①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22

b

y 从

而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和

所表示的区域内。22

a

x = 从而得y 的

范围为 。 "

过程方法

性质

过程

-

范围

对称性

顶点 .

离心率

②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明

所以双曲线关于 对称。同理，以y -代y ，方程不变

得双曲线关于 对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。

③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程122

22=-b

y a x 里，令y=0,得x= 得到

双曲线的顶点坐标为1A （ ）2A （ ） ；我们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。

④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。

思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征

○

5双曲线特有性质-----渐近线： 《

双曲线22

221x y a b

-=的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的

渐近线 ， 。

（二）想一想

1、根据上述五个性质，画出椭圆 191622=+y x 与双曲线19

162

2=-y x 的图象。

)

二、学生展示

1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y 轴时的几何性质，完成下表。 标准方程

122

22=-b y a x （a>0,b>0） 122

22=-b

x a y (a>0,b>0) 图 象

%

范围

对称轴

对称中心

[

2）等轴双曲线定义及性质是什么

(

3）探究共渐近线的双曲线系

三．学生点评：

优点： 缺点

,

四、总结延伸

（一）已知双曲线方程研究几何性质

例1：求双曲线 22

916144y x -= 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、

渐进线方程。

练习(1) ：22

832x y -=的实轴长 虚轴长 ，顶点坐标 焦点坐标 离心率

|

（2）2

2

4x y -=-的实轴长为 虚轴长 顶点坐标

焦点坐标 离心率 渐近线方程

拓展提升

1y -4x 22

=的渐近线方程为： 2244x y -=的渐近线方程为： 2

214

x

y -=-的渐近线方程为：

2244

x y -=-的渐近线方程

为： 。

思考:共渐近线的双曲线方程有什么特点

、

（二）由双曲线方程性质求双曲线方程

例2：求中心在原点，对称轴为坐标轴，过点A （-5，3），且离心率e=2的双曲线的标准方程。

练习：求顶点在x 轴上，两顶点间距离为8，离心率e=

4

5

的双曲线的标准方程。

（

五、巩固训练

1求与椭圆

1244922=+y x 有公共焦点，且离心率4

5=e 的双曲线方程。

2求经过点A （3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。

3求离心率为2，经过点M （-5，-3）的双曲线标准方程。

'

4若双曲线的渐近线方程为x 4

3

y ±=求双曲线的离心率

5若双曲线1k

-42

2=y x 的离心率）（2,1e ∈，求k 的范围

6设双曲线19-a

222=y x （a>0）的渐近线方程为x 23

y ±=，求a 的值

7双曲线与椭圆

124

492

2=+y x 有公共焦点，它的一条渐近线方程为y=x ，求双曲线方程。

8设p 是双曲线19-a

2

22=y x （a>0）上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F 1，,F 2是双曲线的左右焦点，若)(pF 3p 21==，求F

9、双曲线12

2

=-y x 的左支上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离为2，求a+b 的值

10、椭圆和双曲线

1m

-162

2=y x （m>0）有相同的焦点，P （3，4）是椭圆和双曲线渐近线的一个交点，求m 的值及椭圆方程

六、课时小结