高中数学选修2-2 北师大版定积分的简单应用第二课时课时检测(含答案)

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北师大版高中数学选修2-2《定积分》同步测试题.docx

北师大版高中数学选修2-2《定积分》同步测试题1、若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x ⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 2、50(24)x dx -⎰= 3、211ln xdx x⎰= 4、120(2)x x dx -+⎰= 5、0(sin cos )x x dx π-⎰= 6、3211(2)x dx x-⎰=___________ 7、321(4)x x dx --=⎰___________8、20(sin )x x dx π+=⎰______________ 9、4x ⎰=10、2211(e )xdx x +⎰= 11、201x dx -⎰= 12、dx x |4|102⎰-= 13、 dx x ⎰ππ222cos =14、= 15、dx x ⎰-222cos ππ=16、10()x x e e dx -+=⎰ 17、0x ⎰＝_______ 18、()0d x F't t =⎰ 19、若20(345)ax x dx +-⎰=32a -（1a >），则a = 20、若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为= 21、若11(2)3ln 2a x dx x +=+⎰，且1a >，则a 的值= 22、若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________. 23、设函数()21f x ax =+，若()()[]1000,0,1f x dx f x x =∈⎰，则0x 的值为______ 24、若函数2x y =与)0(>=k kx y 图象围成的阴影部分的面积29，则=k 25、已知曲线1-=x y 与直线1,3,x x x ==轴围成的封闭区域为A ，直线1,3,0,1x x y y ====围成的封闭区域为B ，在区域B 内任取一点P ，该点P 落在区域A的概率为26、已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为27、曲线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形（阴影部分）的面积等于28、由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于29、如图，阴影部分的面积是（）30、由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为．。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数22(1),10()1,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则11()d f x x -=⎰（） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（）A ．1B ．23C ．43D ．23．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()224224f f f f <-'<'B ．()()()()242242f f f f '<<-'C ．()()()()222442f f f f '<<-'D ．()()()()422422f f f f '<'-< 4．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 5．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-6．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（） A ．1B ．13C ．12D ．237．已知二次函数()y f x =的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 8．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．69．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（）A ．16 B ．13C ．12D ．5610．()211x dx --=⎰（）A ．1B ．4π C ．2π D ．π11．20sin xdx π=⎰（）A ．4B ．2C ．-2D ．012．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．计算()2204(2)x x dx ---⎰=_____．15．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 16．曲线y x =与直线21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．17．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________．18．定积分2211x dx x +=⎰ __________.19．定积分12(1)x x dx --=⎰______________.20．曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为_______________．三、解答题21．设点P 在曲线2yx 上，从原点向(2,4)A 移动，如果直线OP ，曲线2y x 及直线2x =所围成的两个阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，如图所示.（1）当12S S 时，求点P 的坐标；（2）当12S S +有最小值时，求点P 的坐标.22．已知函数()22()x f x e x x R =-+∈．（1）求()f x 的最小值；（2）求证：x ＞0时，221x e x x >-+． 23．设函数()x x f x e e -=- （1）证明：'()2f x ≥；（2）若对任意[0,)x ∈+∞都有21(22)f x x e e ---<-，求x 的取值范围. 24．已知()xkx bf x e +=．（Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值；（Ⅱ）求1x xdx e ⎰． 25．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰. 26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()0211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()22321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰，0⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，4π∴=⎰，()()121114313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰. 故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.2．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 3．A解析：A【解析】解：观察所给的函数图象可知： ()()()()42'2'442f f f f -<<- ，整理可得： ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.4．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线5．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =．【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.6．B解析：B 【分析】由题意，可作出两个函数y x =与2yx 的图象，先求出两函数图象交点A 的坐标，根据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0，1]，计算出定积分的值即可. 【详解】作出如图的图象联立22 y x y x ⎧=⎨=⎩解得0 0x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，即点()11A ，，所求面积为()132312002121133333S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选B. 【点睛】本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算.7．B解析：B 【解析】设()()()11,0f x a x x a =-+<，又点()0,1在函数()f x 的图象上，则()21,1a f x x =-∴=-，由定积分几何意义，围成图形的面积为()123111141|33S x dx x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选B. 8．B解析：B 【解析】由题意得4402cos2d sin 2|sin 12t x x x πππ====⎰．所以输入的1,2a b ==．执行如图所示的程序，可得：①3,5,5,2a b S n ====，不满足条件，继续运行； ②8,13,18,3a b S n ====，不满足条件，继续运行；③21,33,51,4a b S n ====，满足条件，停止运行，输出4．选B ．9．A解析：A 【解析】曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为()122310111|236x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A. 10．B解析：B 【分析】令21(1),(0)y x y =--≥，它表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半圆，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】令21(1),0y x y =--∴≥，所以22(1)1x y -+=，(0)y ≥，它表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半圆，如图所示，()211x dx --⎰表示由0,10x x y ===，和半圆围成的曲边梯形的面积，即14个圆的面积. 由题得14个圆的面积为211=44ππ⨯⨯.由定积分的几何意义得()1211x dx --=⎰4π. 故选：B. 【点睛】本题主要考查定积分的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．D解析：D 【分析】根据积分公式直接计算即可. 【详解】2200sin cos |cos 2cos0110xdx x πππ=-=-+=-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.12．C解析：C 【解析】依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ(,)22-上是增函数，所以f π3⎛⎫-⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫⎪⎝⎭,选C. 二、填空题13．ln2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】故答案为：ln2【点睛】本题考查了定积分的计算关键是求出原函数属于基础题解析：ln 2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【详解】22111|2dx lnx ln x==⎰，故答案为：ln2．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14．【分析】根据定积分的几何意义求得由定积分的计算公式求得再根据定积分的性质即可求解【详解】由定积分的性质可得根据定积分的几何意义可知表示的面积即半径为的一个个圆的面积所以又由所以【点睛】本题主要考查了解析：2π-【分析】根据定积分的几何意义求得π=⎰，由定积分的计算公式，求得22xdx =⎰，再根据定积分的性质，即可求解．【详解】由定积分的性质可得)22x dx xdx =-⎰⎰⎰，根据定积分的几何意义，可知⎰表示22(2)4(02,0)x y x y -+=<<≥的面积，即半径为2的一个14个圆的面积，所以20124ππ=⨯=⎰，又由222001|22xdx x ==⎰，所以)202x dx π=-⎰，【点睛】本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中熟记定积分的计算和定积分的几何意义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15．【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝(ex ＋x)dx 由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S ＝(ex ＋x)dx ＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析：12e -【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ＝210111|1.222xe x e e ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 故答案为1.2e - 【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.16．【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得；曲线与直线及x 轴所围成的封闭图解析：512【分析】根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分11102(21)xdx x dx --⎰⎰，从而可求出所围成的图形的面积.【详解】由曲线y x =21y x =-构成方程组21y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得{11x y ==，由直线21y x =-与0y =构成方程组，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；∴曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为：()131212011222215(21)||33412S xdx x dx x x x =--=--=-=⎰⎰．故答案为512．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.17．【解析】分析：判断为偶函数运用导数判断在的单调性则转化为解不等式即可得到的范围详解：∵函数∴当时则；当时则∴即函数为偶函数当时则故函数在上为单调增函数∵∴即∴∴故答案为点睛：本题考查函数的奇偶性和单解析：[]1,1-【解析】分析：判断()f x 为偶函数，运用导数判断()f x 在[0,)+∞的单调性，则()()()21f a f a f -+≤转化为1a ≤，解不等式即可得到a 的范围．详解：∵函数()()()221,01,0xln x x x f x xln x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩∴当0x >时，则0x -<，2()ln(1)()f x x x x f x -=++=；当0x <时，则0x ->，2()ln(1)()f x x x x f x -=--+=. ∴()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数.当0x ≥时，2()ln(1)f x x x x =++，则()ln(1)201xf x x x x=+++≥+'，故函数()f x 在[0,)+∞上为单调增函数. ∵()()()21f a f a f -+≤ ∴2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤. ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故答案为[]1,1-.点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用.在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系18．【解析】分析：先化简再求定积分得解详解：由题得=所以故填点睛：本题必须要先化简再求定积分因为不化简无法找到原函数解析：3ln 22+【解析】分析：先化简2211x dx x +⎰，再求定积分得解. 详解：由题得2211x dx x +⎰=12222111111()(ln )|(ln 22)(ln11)222x dx x x x +=+=+⨯-+⨯⎰. 所以2211x dx x +⎰ 322ln =+. 故填3ln22+. 点睛：本题必须要先化简再求定积分，因为不化简，无法找到原函数.19．【解析】函数表示以为圆心为半径的单位圆位于第一象限的部分则由微积分基本定理可得：则：解析：24π-【解析】函数()2101y x x =-≤≤表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆位于第一象限的部分，则12014x dx π-=⎰，由微积分基本定理可得：()1210011|22x dx x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则：()120121424x x dx ππ---=-=⎰. 20．【解析】试题分析：故应填考点：定积分的计算公式及运用解析：【解析】试题分析：,故应填.考点：定积分的计算公式及运用．三、解答题21．(1)41639⎛⎫⎪⎝⎭，；(2)()22，.【解析】分析：（1）设点P 的横坐标为t ，得点P 的坐标，利用定积分求解22128,2636t t S S t ==-+，利用12S S ，求得t 的值，即可求得点P 的坐标．（2）由（1）可求当12S S +，化简后，为t 的函数，再利用导数求得12S S +的最小值．详解：（1）设点P 的横坐标为t （0＜t ＜2），则P 点的坐标为（t ，t 2），直线OP 的方程为y=tx S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx=，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx=38t 2t 36-+，因为S 1=S 2，，所以4t 3=，点P 的坐标为41639⎛⎫⎪⎝⎭，（2）S=S 1+S 2=333t 8t t 82t 2t 63633+-+=-+S ′=t 2﹣2，令S'=0得t 2﹣2=0，因为0＜t S'＜0t ＜2时，S'＞0所以，当S 1＋S 2有最小值，P 点的坐标为)．点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．22．(1) 当x=ln2时，f （x ）有极小值也是最小值为f （ln2）=2（2﹣ln2）；(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）对函数求导，列出表格得到导函数在定义域内的正负情况，从而得到函数的最值。

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(二)定积分在物理中的应用课件

s
2
)
，到达 C 点速度达 2 4 m
s
，从，在
C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做
s
后，速度为 ( 2 4 1 .2 t 2 ) m
s
B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
2013-4-2
3.A、两站相距 7 .2 k m ， B 一辆电车从 A 站开往 B 站，电车开出 t 1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直线运动加速度为 1 .2 ( m 速直线运动)，经过 t 2
2
度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m)

t 0
( 4 0 1 0 x )d x 4 0 t 5 t
变式题以初速度 4 0 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度为v
40 10t
(单位: m
s
),问多少秒后物体达到最
高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
2013-4-2
例2、一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4
(t
0
2
4t 3) d t
2
4
,t=4s时刻该点距出发点4/3m 3

3 1
(2)
S

1 0
( t 4 t 3) d t |
(2)240 (m)
(3)20+20+280=320(s)
2013-4-2 (3)电车从A站到B站所需的时间.

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．12201x dx -=⎰（）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+3．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-4．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．235．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e --6．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．e7．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 19．已知二次函数()y f x =的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（）A ．25πB ．43C ．32D ．2π 10．设函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C ．e 12πe - D ．e 1πe 2-+ 11．已知320n x dx =⎰，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（）A ．823B ．845C ．965-D ．87712．1201(1))x x dx ⎰--=（） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 二、填空题13．如图所示，直线y kx =分抛物线2y x x 与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值为__________．14．若()()122f x x f x dx =+⎰，则()1f x dx =⎰_______.15．已知121a x dx -=-⎰，则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______．16．12021sin x dx xdx π--=⎰⎰______17．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 18．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．19．已知()[](]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______． 20．定积分11d ex x ⎰的值为____________________. 三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.22．已知函数()21ln ,2f x x ax a R =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值.23．已知曲线C ：322321y x x x =--+，点1(,0)2P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.24．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 25．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 26．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4．故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于2．B解析：B 【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.3．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.4．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积.如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为()13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力5．D解析：D 【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．6．A解析：A 【解析】因为2224d x x --表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即224d 2πx x --=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)22214e d 2a x x x π-=-=⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.7．C解析：C【解析】因为11113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰⎰,所以b ac <<,故选C.8．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.9．B解析：B 【解析】设()()()11,0f x a x x a =-+<，又点()0,1在函数()f x 的图象上，则()21,1a f x x =-∴=-，由定积分几何意义，围成图形的面积为()123111141|33S x dx x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选B. 10．B解析：B 【解析】因为函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以102110()d e d 1d x f x x x x x --=+-⎰⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e x x x ---==-=-=-⎰，201d x x -表示圆221x y +=在第一象限的面积，即2π1d 4x x -=⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．11．A解析：A 【分析】利用微积分基本定理，可计算得329n x dx ==⎰，又210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-利用赋值法，令1x =，可得解【详解】由题意3323200|3093x n x dx ===-=⎰ 令1x =有：901210(21)(23)3a a a a +++⋅⋅⋅+=+-=-210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-令1x =有：9812102...10(23)27(21)(23)82a a a +++=--+-=- 故12310012102310823a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+故选：A 【点睛】本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题12．D解析：D 【分析】函数()1201(1)y x dx =--⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.【详解】由题意，()()111221(1)1(1)()x x dx x dx x dx ---=--+-⎰⎰⎰，如图：1201(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故其值为4π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰，所以，()()11122011(1)1(1)()42x x dx x dx x dx π---=--+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D. 【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，()1201(1)x dx --⎰和1()x dx -⎰.二、填空题13．【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标再根据定积分求两部分的面积列出等式求解即可【详解】联立或由图易得由题设得即即化简得解得故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的运用需要根据题意求到交界处的解析：3412-【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可. 【详解】联立2y x x y kx⎧=-⇒⎨=⎩ 0x =或1x k =-.由图易得1,11x k k由题设得()()112212kx x kx dx x x dx ---=-⎰⎰, 即232123100111111||232223k x x kx x x -⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()()()232111111123212k k k k -----= 化简得()3112k -=.解得12k =-.故答案为：12- 【点睛】本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.14．【分析】所以对等式在上积分得到关于的方程解得的值即可【详解】解：设则解得所以故答案为：【点睛】本题考查了定积分的应用考查了定积分的求法属于中档题解题时要注意根据题目要求灵活的在固定区间上积分进而构造解析：13-【分析】1()f x dx n =⎰，所以2()2f x x n =+，对等式在(0,1)上积分，得到关于n 的方程，解得n 的值即可．【详解】解：设10()f x dx n =⎰，则2()2f x x n =+2311111()(2)22033f x dx n x n dx x nx n ⎛⎫∴⎰==⎰+=+=+ ⎪⎝⎭，解得13n =-，所以101()3f x dx =⎰．故答案为：13-．【点睛】本题考查了定积分的应用，考查了定积分的求法．属于中档题．解题时要注意根据题目要求灵活的在固定区间上积分，进而构造出需要的方程．15．【分析】根据定积分的几何意义求出的值再利用二项式定理求展开式中的常数项【详解】根据定积分的几何意义知积分的值等于半圆的面积其展开式的通项公式为；令解得；展开式中常数项为故答案为：【点睛】本题考查二项解析：160-【分析】根据定积分的几何意义求出a 的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．【详解】根据定积分的几何意义知，积分1-⎰的值等于半圆的面积2π， 6611[(2)](2)2a x x x xπ∴+--=-，其展开式的通项公式为66621661(2)()(1)2r r r r r rr r T C x C x x---+=-=-；令620r -=，解得3r =；∴展开式中常数项为3336(1)2160C -=-．故答案为：160-．【点睛】本题考查二项式定理的展开式、定积分的几何意义计算，考查方程思想的运用和基本运算求解能力，属于中档题．16．【分析】利用定积分的几何意义可求的值再由微积分基本定理求得的值从而可得结果【详解】根据题意等于半径为1的圆的面积的四分之一为所以则；故答案为【点睛】本题主要考查定积分的几何意义属于中档题一般情况下定解析：22π-【分析】利用定积分的几何意义可求1⎰的值，再由微积分基本定理求得sin xdx π⎰的值，从而可得结果. 【详解】根据题意，12=⎰⎰，⎰等于半径为1的圆的面积的四分之一,为21144ππ⨯⨯=，所以10242ππ=⨯=⎰，()sin cos 2xdx x ππ=-=⎰，则10sin 22xdx ππ-=-⎰⎰；故答案为22π-．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.17．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程解析：16【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】根据2y x y x⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为()12x x dx -⎰2310111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.18．【解析】19．【解析】由题意可得答案：【点睛】求定积分的题型一种是：几何方法求面积一般是圆第二种是：求用被积函数的原函数用积分公式第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0本题考查了第一种和第二种解析：π423+ 【解析】由题意可得()222111(1)f x dx x dx --=+-=⎰⎰2214()|2323x x ππ+-=+，答案：423π+．【点睛】求定积分的题型，一种是：几何方法求面积，一般是圆．第二种是：求用被积函数的原函数，用积分公式，第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种．20．1【分析】根据定积分求解【详解】故答案为：1【点睛】本题考查定积分考查基本分析求解能力属基础题解析：1 【分析】根据定积分求解【详解】111d ln |1ee x x x ==⎰ 故答案为：1 【点睛】本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题21．（1）()2f x x x =+；（2）{|0}λλ<【解析】分析：（1）设2()f x ax bx c =++，代入已知，由恒等式知识可求得,,a b c ；（2）由（1）得()g x ，题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立，由分离参数法得221x x x λ+<+，问题转化为求22([0,1])21x xx x +∈+的最小值．详解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，()00f =，0c ∴=.于是()()()()22111f x f x a x b x ax bx +-=+++--222ax a b x =++=+.解得1a =，1b =. 所以()2f x x x =+.（2）由已知得()()221g x x x x λ=+-+ 0>在[]0,1x ∈上恒成立.即221x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立.令()221x xh x x +=+，[]0,1x ∈可得()()()()()22222212221'02121x x x x x h x x x +-+++==>++. ∴函数()h x 在[]0,1单调递增，∴ ()()min 00h x h ==. ∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤，这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ，然后再解min ()()g h x λ≤，即得λ范围．22．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无减区间，当0a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭;(2)2. 【解析】试题分析：(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间，当0a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭; (2)将原问题转化为()22ln 12x x a x x++≥+在()0,+∞上恒成立，考查函数()()22ln 12x x g x x x++=+的性质可得整数a 的最小值是2.试题(1)()211'ax f x ax x x-=-=，函数()f x 的定义域为()0,+∞.当0a ≤时，()'0f x >，则()f x 在()0,+∞上单调递增，当0a >时，令()'0f x =，则x =舍负)，当0x <<时，()'0f x >，()f x 为增函数，当x >()'0f x <，()f x 为减函数， ∴当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间，当0a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭. (2)解法一：由()21ln 112x ax a x -≤--得()()22ln 12x x a x x ++≤+， ∵0x >， ∴原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在()0,+∞上恒成立，令()()22ln 12x x g x x x++=+，则()()()()22212ln '2x x x g x x x-++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在()0,+∞上单调递增，由()110h =>，112ln2022h ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， ∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使()00h x =，002ln 0x x +=. ∴当00x x <<时，()'0g x >，()g x 为增函数，当0x x >时，()'0g x <，()g x 为减函数， ∴0x x =时，()()()0002max 000002ln 12122x x x g x x x x x x +++===++，∴01a x ≥，又01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则()011,2x ∈，由a Z ∈，所以2a ≥. 故整数a 的最小值为2. 解法二：()21ln 112x ax a x -≤--得， ()2222ln 20ax a x x +---≥，令()()()2222ln 20g x ax a x x x =+--->，()2'222g x ax a x=+--，①0a ≤时，()'0g x <，()g x 在()0,+∞上单调递减， ∵()1340g a =-<，∴该情况不成立.②0a >时，()()()()22222221'ax a x ax x g x xx+---+==当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 单调递增， ∴()min 1112ln g x g a a a ⎛⎫==--⎪⎝⎭， ()0g x ≥恒成立()min 112ln 0g x aa⇔=--≥，即112ln0a a+≤. 令()112lnh a a a=+，显然()h a 为单调递减函数. 由a Z ∈，且()110h =>，()12ln402h =-<， ∴当2a ≥时，恒有()0h a ≤成立，故整数a 的最小值为2.综合①②可得，整数a 的最小值为2.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 23．2732. 【解析】试题分析：先根据导数的几何意义求得曲线在点P 处的切线，然后画出草图，结合图形得到被积函数和积分区间，最后由定积分求得图形的面积．试题∵322321y x x x =--+， ∴2662y x x =--'．设切点为00(,)A x y ，则0200|662x x y x x =-'=-， ∴所求切线方程为20000(662)()y y x x x x -=---，即，∵切线过点P （），∴ ，整理得，解得，∴01y =， ∴点(0,1)A ．故切线方程为12(0)y x -=--，即．由，解得．∴点B 的坐标为（）．画出图形如图所示．∴切线l 与C 围成的图形的面积333223232432000127[(12)(2321)](23)()|232S x x x x dx x x dx x x =----+=-+=-+=⎰⎰．点睛：利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案． 24．图形面积为403．【详解】首先利用已知函数和抛物线作图，然后确定交点坐标，然后利用定积分表示出面积为628(6)A xdx x dx =+-⎰⎰，所以得到 322620228|(6)|32x A x x =+-,由此得到结论为403 解：设所求图形面积为A ，则2628(6)A xdx x dx =+-⎰⎰322620228|(6)|32x A x x =⨯+-=403．即所求图形面积为 403．25．（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围；（2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明； ②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明. 【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221af x x x '=+++. （1）由()01f '=，可得2202a++=，8a =-. 又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增，故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立，即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+，即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤，解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+ 当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<> 令：11x k =+，得11ln(1)11k k +<++，即：12ln()11k k k +>++ ∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2 即证. 【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题. 26．k ＝0或k ＝－1 【分析】由题意，要讨论k 与2的大小关系，分别计算两种情况下的定积分，然后确定k 值．【详解】分2＜k≤3和－2≤k≤2两种情况讨论：当2＜k≤3时，()()()33332k k3x k 40f x dx 1x dx x 39k 333k ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 整理，得k 3＋3k ＋4＝0，即k 3＋k 2－k 2＋3k ＋4＝0.∴(k ＋1)(k 2－k ＋4)＝0，∴k ＝－1.又∵2＜k≤3，∴k ＝－1舍去.当－2≤k≤2时，()()()3232kk2f x dx 2x 1dx 1x dx =+++⎰⎰⎰()3223x x x x 23k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()()()2842k k 3923⎛⎫=+-+++-+ ⎪⎝⎭()24040k k 33=-+=， ∴k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1，满足条件.综上所述，k ＝0或k ＝－1时，使()3k40f x dx 3=⎰. 【点睛】本题考查了定积分的计算和分类讨论的思想，关键是由题意讨论k 的范围得到不同的定积分．属于中档题.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)(2)

一、选择题1．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．232．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（） A ．±1 B ．1 C ．1- D ．12±4．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π5．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．16．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()224224f f f f <-'<'B ．()()()()242242f f f f '<<-'C ．()()()()222442f f f f '<<-'D ．()()()()422422f f f f '<'-< 7．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-8．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．29．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()121x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()11x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰10．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为（）A ．18B ．16C ．13D ．1211．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J12．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则（） A ．m n p << B ．m p n << C ．p m n <<D ．p n m <<二、填空题13．由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =（其中e 是自然对数的底数）及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.14．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．15．)12111x dx --=⎰__________．16．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.17．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．18．π4cos xdx =⎰______．19．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212()()1g x g x x x ->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()3269f x x x x =-+-．若过点()1,P m -可作曲线()y f x =的切线有三条，求实数m 的取值范围．24．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且0,1a a <≠-.（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系；（2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.25．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值26．在()332x x-11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求1x α⎰d x【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为()13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．12201x dx -=⎰（）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（）A ．1B ．23C ．43D ．24．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d xB ．2π40⎰(sin x －cos x )d xC ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x5．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．16．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<7．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-8．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（） A ．52 B ．4 C ．2 D ．929．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．10．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 11．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 12．若2221111,,,xa e dxb xdxc dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<二、填空题13．02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14．计算)2204(2)x x dx --⎰=_____．15．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是(3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．16．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.17．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．18．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 19．由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________．20．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．三、解答题21．已知函数1ln(1)()x f x x++=（1）求函数的定义域；（2）判定函数()f x 在(1,0)-的单调性，并证明你的结论；（3）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值. 22．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.23．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标；（2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-. 24．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.25．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰. 26．已知21()cos cos 2f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666y f x x y x x y πππ=≤≤=≤≤=-≤≤ 以及10(0)2x y =-≤≤ 围成的平面图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令y =()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令y =()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．给出下列函数：①())ln f x x =；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C．D4．侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（） A ．23B ．43C．3D．35．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 6．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-7．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（） A ．1B ．2C ．1-D ．2-8．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则（） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<9．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32910．1204x dx -=⎰（）A ．4B ．1C ．4πD ．332π+11．20sin xdx π=⎰（）A ．4B ．2C ．-2D ．012．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．已知曲线与直线所围图形的面积______.14．若()()122f x x f x dx =+⎰，则()1f x dx =⎰_______.15．已知121a x dx -=-⎰，则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______． 16．定积分121(4sin )x x dx --=⎰________.17．已知曲线y x =2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．18．已知函数()xxf x e =，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________. （1）曲线()y f x =必存在一条与x 轴平行的切线；（2）函数()y f x =有且仅有一个极大值，没有极小值；（3）若方程()0f x a -=有两个不同的实根，则a 的取值范围是1()e-∞，；（4）对任意的x ∈R ,不等式1()2f x <恒成立；（5）若1(0,]2a e∈，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为12[,]x x ； 19．曲线2y x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.20．(12021x x dx +-=⎰________三、解答题21．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．22．设函数()32,0{,0xx x x f x axe x ->=≤，其中0a >. （1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围；（2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间． 24．已知()1313d 26x ax a b x a -⎰＋＋－＝＋，且()()33d tf t x ax a b x ⎰＝＋＋－为偶函数，求a ，b ．25．已知函数f （x ）=3sin2x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点（56π，0）．（1）求实数m 值以及函数f （x ）的单调递减区间；（2）设y=f （x ）的图象与x 轴、y 轴及直线x=t （0＜t ＜23π）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数S （t ）的解析式．26．计算:(1)2132d x x -⎰;(2)2πsin d x x ⎰.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aaxx a a aa ex dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．A解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.4．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离22d =，由勾股定理可得22221()()(3)2a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．5．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2xf x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线6．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.7．B解析：B 【详解】因为2333|,mmt dt t m ==⎰所以()3121lnx x f x x m x >⎧=⎨+≤⎩，，, ()ln 1f e e ==，()()()31210f f e f m ∴==+=，解得2m =. 故选：B.8．B解析：B 【解析】1235211132,log 2,log 3,12a x dx x m n p -===∴===-⎰5211log 2log ,log 31,22m n p ====m p n ∴<<故选B9．C解析：C 【详解】由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，13xy y =⎧⎨=⎩解得133x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3y y x =⎧⎨=⎩解得33x x =⎧⎨=⎩，所围成的平面图形的面积为S ，则()()1111331131(31)323ln |2S dx x x x ⎛⎫=⨯--+-=+- ⎪⎝⎭⎰，4ln 3S =-，故选C.10．D解析：D 【分析】设y =的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.【详解】设y =224x y +=，其中01x ≤≤，0y ≥.的几何意义为图中阴影面积，设BOC α∠=，易知6πα=，则212111*********S S S r OA AC ππα=+=+⋅=⨯⨯+⨯+故选：D.【点睛】本题考查了定积分的几何意义，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．D解析：D 【分析】根据积分公式直接计算即可. 【详解】2200sin cos |cos 2cos0110xdx x πππ=-=-+=-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.12．C解析：C 【解析】依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ(,)22-上是增函数，所以f π3⎛⎫-⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫⎪⎝⎭,选C. 二、填空题13．32-2ln2【分析】先确定交点坐标得到积分区间确定被积函数求出原函数即可求得结论【详解】解：由题意曲线y=2x 与直线x+y=3的交点坐标为1221∴曲线y=2x 与直线x+y=3所围成的封闭图形的面解析：【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【详解】解：由题意，曲线与直线的交点坐标为，曲线与直线所围成的封闭图形的面积为故答案为：．【点睛】本题考查定积分知识的运用，确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，是解题的关键，属于中档题．14．【分析】所以对等式在上积分得到关于的方程解得的值即可【详解】解：设则解得所以故答案为：【点睛】本题考查了定积分的应用考查了定积分的求法属于中档题解题时要注意根据题目要求灵活的在固定区间上积分进而构造解析：1 3 -【分析】1 0()f x dx n=⎰，所以2()2f x x n=+，对等式在(0,1)上积分，得到关于n的方程，解得n的值即可．【详解】解：设1()f x dx n=⎰，则2()2f x x n=+2311111()(2)22033f x dx n x n dx x nx n ⎛⎫∴⎰==⎰+=+=+ ⎪⎝⎭，解得13n =-，所以101()3f x dx =⎰．故答案为：13-．【点睛】本题考查了定积分的应用，考查了定积分的求法．属于中档题．解题时要注意根据题目要求灵活的在固定区间上积分，进而构造出需要的方程．15．【分析】根据定积分的几何意义求出的值再利用二项式定理求展开式中的常数项【详解】根据定积分的几何意义知积分的值等于半圆的面积其展开式的通项公式为；令解得；展开式中常数项为故答案为：【点睛】本题考查二项解析：160-【分析】根据定积分的几何意义求出a 的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．【详解】根据定积分的几何意义知，积分1-⎰的值等于半圆的面积2π， 6611[(2)](2)2a x x x xπ∴+--=-，其展开式的通项公式为66621661(2)()(1)2r r r r r rr r T C x C x x---+=-=-；令620r -=，解得3r =；∴展开式中常数项为3336(1)2160C -=-．故答案为：160-．【点睛】本题考查二项式定理的展开式、定积分的几何意义计算，考查方程思想的运用和基本运算求解能力，属于中档题．16．【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分由奇函数在对称区间的积分知为0可得解详解：∵表示圆与x 轴围成的图形CDAB ∴又为奇函数所以∴故答案为：点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）解析：23π+ 【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分，由奇函数在对称区间的积分知为0，可得解.详解：11122111(4sin )4sin x x dx x dx xdx ----+=-+=⎰⎰⎰，∵214x dx --表示圆224x y +=与x 轴围成的图形CDAB ，OAB 1214233632OCB ODAS SSππ=⨯⨯=+=⨯扇形，.∴212433x dx π--=又sin x 为奇函数，所以11sin 0xdx -=⎰，∴1212(4sin )33x x dx π--=⎰ 故答案为：233π+ 点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.17．【解析】由题意得曲线与轴所围成的图形的面积为：解析：76【解析】由题意得，曲线,2y x y x ==-与x 轴所围成的图形的面积为：23122201121237(2)|(2)|232326S xdx x dx x x x =+-=+-=+-=⎰. 18．（1）（2）（4）（5）【解析】∵可得令=0只有一根∴（1）对令得在递增同理在(1+∞)上递减∴只有一个极大值无极小值故（2）对；∵时0∴方程有两个不同的实根时故（3）错由的单调性可知的最大值为=∴解析：（1）（2）（4）（5）【解析】 ∵()x x f x e =可得()1x'xf x e -=,令()'f x =0只有一根1x =, ∴（1）对令()0f x '>得1x >，()f x 在)—1∞（，递增，同理()f x 在(1,+∞)上递减，∴()f x 只有一个极大值()1f ，无极小值故（2）对；∵x →-∞时()f x →0, ∴方程()0f x a -=有两个不同的实根时10a e<<故（3）错由()f x 的单调性可知()f x 的最大值为()1f =1 e ，∴()112f x e ≤<故（4）对由()f x 的图像可知若10,2a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为[]12,x x故（5）对点睛：本题是导数部分的综合题，主要考查函数的单调性，极值，函数图像，要注意图像的趋势，不等式的恒成立问题，不等式的解集问题都可以由图像得出19．【解析】由解得或∴曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题；用定积分求平面图形解析：43【解析】由2 2y x y x⎧=⎨=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或2 4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是()222320014233S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．20．【详解】因而应填答案解析：14π+【详解】因11122(21)(2)1x x dx x dx x dx +-=+-⎰⎰⎰，而1220(2)101x dx =-=⎰，1222220001111)cos (1cos 2)sin 2|22224x dx tdt t dt t πππππ-==+=⨯+=⎰⎰⎰，应填答案14π+．三、解答题21．（1）应设计BC 长为74米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为92单位．（2）应设计BC 长为3米，电热丝辐射的总热量最大．【解析】试题分析：（1）取角为自变量: 设∠AOB ＝θ，分别表示AB ，BC ，CD,根据题意得函数4cos θ+4 sin2θ,利用二倍角余弦公式得关于sin 2θ二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量: 设∠AOB ＝θ，利用弧长公式表示,AB CD ,得函数2θ＋4cos θ,利用导数求函数单调性,并确定最值试题解：(1)设∠AOB ＝θ，θ∈(0，)则AB ＝2sin ，BC ＝2cos θ，总热量单位f (θ) ＝4cos θ+4 sin ＝－8(sin )2＋4 sin ＋4，当sin ＝，此时BC ＝2cos θ＝ (米)，总热量最大 (单位) ．答：应设计BC 长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位． (2)总热量单位g (θ)＝2θ＋4cos θ，θ∈(0，)令g'(θ)＝0，即2－4sin θ＝0，θ＝，增区间（0，），减区间（，）当θ＝，g (θ)最大，此时BC ＝2cos θ＝ (米)答：应设计BC 长为米，电热丝辐射的总热量最大．22．（1）04m ≤≤或427m =-.（2）4,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）根据函数的单调性，由数形结合可得；（2）研究0x >和0x ≤时函数的最值，并比较大小求a 即可. 试题解：(1)当0x >时，()2'32f x x x =-，令()'0f x =时得23x =；令()'0f x >得()2,3x f x >递增；令()'0f x <得()20,3x f x <<递减，()f x ∴在23x =处取得极小值，且极小值为()()24,00,24327f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以由数形结合可得04m ≤≤或427m =-. (2) 当0x ≤时，()()1,0xf x a x e a '=+>，令()'0f x =得1x =-；令()'0f x >得()10,x f x -<<递增；令()'0f x <得()1,x f x <-递减.()f x ∴在1x =-处取得极小值，且极小值为()1a f e-=-. 0,0a a e >∴-<,因为当427a e -≥-即4027a e <≤时，()min 24444,,327272727f x f a a e ⎛⎫==-∴-≤-∴≤≤ ⎪⎝⎭.当427a e -<-即427a e >时，()()min 1,a a f x f a e e =-=-∴-≤-，即40,27a a e ≥∴>.综上，4,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.23．（1）x ＝2f (x )的极大值点，x ＝2f (x )的极小值点；（2）详见解析. 【解析】【分析】(1)利用导数求函数f(x)的极值点；（2）先求出()221()1(1)f x x ax x x '=-++，设g (x )＝x 2－ax ＋1，对a 分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝ln x ＋61x +， 2221641()(1)(1)x x f x x x x x -+'=-=++.令f ′(x )＝0⇒x ＝列表(2)()222121()1(1)(1)a f x x ax x x x x +'=-=-+++，设g (x )＝x 2－ax ＋1，∵x ＞0，∴①当a ＜0时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，222()1124a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭.当1－24a ≥0，即0＜a ≤2时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，方程g (x )＝0的两根分别为12x x ==0＜x 1＜x 2，∴当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(0，x 1)上单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(x 2，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(0)∞，＋，没有减区间；当a ＞2时，函数f (x )的减区间为12()x x ，；增区间为(0，x 1)，(x 2，＋∞)．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值点，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 24．a ＝－3，b ＝－9 【解析】【分析】利用微积分基本定理得a,b 的方程组求解即可. 【详解】因为f(x)＝3x ＋ax 为奇函数，所以()131x ax dx 0＋＝-⎰.所以()131x ax 3a b dx -⎰＋＋－()()11311x ax dx 3a b dx ＋－--=+⎰⎰()103a b x |1-＝＋－＝6a －2b ，所以6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b=3.①又()()()4422x a t at f t x 3a b x 3a b t 04242t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝＋＋－＝＋＋－为偶函数，所以3a －b ＝0，② 由①②得：a ＝－3，b ＝－9. 【点睛】本题考查微积分基本定理,准确计算是关键，是基础题. 25．（1）12m =-，单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）2()sin())33s t t t ππ=-<<．【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的形式，把点（56π，0）代入函数解析式求得m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f （x ）的单调递减区间；（2）对（1）中所求函数f （x ）求0到t 上的积分，即求被积函数f （x ）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案．【详解】（1）f （x ）2x cos 2x +cos 22x +m=11222sinx cosx m +++ =162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． ∵f （x ）的图象过点（56π，0）， ∴510662sin m ππ⎛⎫+++=⎪⎝⎭，解得12m =-．∴f （x ）=6sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由322262k x k πππππ+≤+≤+，得42233k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．故f （x ）的单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）由（1）得，f （x ）=122sinx cosx +．∴012tS cosx dx ⎫=⎰+⎪⎪⎝⎭=01|2t sinx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=110022sint sin ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3sin t π⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∴()3S t sin t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（203t π＜＜）．【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 26．（1）12；（2）4．【解析】试题分析：（1）将[]32,1,2y x x =-∈表示为分段函数332,12323,22x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，利用积分区间的可加性得结果；（2）同（1）相似. 试题(1)()()()()3223222221332112132d 32d 23d 3|3|2x x x x x x x xx x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰. (2)∵(-cos x )'=sin x ,∴()()2ππ2ππ2ππ2ππ0ππsin d sin d sin d sin d sin d cos |cos |cos πcos0cos2πcos π4x x x x x x x x x x x x =+=-=-+=--+-=⎰⎰⎰⎰⎰.。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(答案解析)(2)

一、选择题1．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a2．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．3-D ．33．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数 4．曲线x y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（） A ．83B ．73C ．53D ．436．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-7．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+8．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+9．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 10．函数()2,02x x f x x -<⎧⎪=≤≤，则22()f x dx -⎰的值为（）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．811．定积分()22xex dx +⎰的值为（）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.14．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．15．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 16．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________．17．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++________18．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．19．(12x dx +=⎰________20．已知平面区域(){,|0x y y Ω=≤≤，直线:2ly mx m =+和曲线:C y =有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21．已知函数()3812f x x x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()y f x =的极大值和极小值. 22．计算：（1）710C （2）()22224x x dx -+-⎰23．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 24．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 25．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰. 26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（）A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（）A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π4，5π4)内围成图形的面积为（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（）A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是（）A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是．（） A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 10(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________．13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________．14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________．15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比：将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．17. 在直角坐标平面内，由直线x=1，x=2，y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________．18. 在xOy平面上，将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为(1−y)π，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为________．19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________．2ax2−a2x)dx，则f(a)的最大值为________．20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1：y2=2x与C2：y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程；(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．23. 已知曲线C:y=x2(x≥0)，直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积．24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m3）25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯，且z⋅z¯−3iz=10，求z；1−3ix所围成的平面图形的面积．(2)求曲线y=√x与直线x+y=2，y=−1326.（1）已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列．求n ．（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积：（1）y ＝sin x(π4≤x ≤π)，x =π4，y ＝0；（2）y ＝x 2，y ＝2x 2，x ＝1；（3）y ＝x 2，y =√x ．28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积．29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0．（1）求S 0．（2）求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积．30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示，给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？31. 已知曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M ．（1）求M 的面积；（2）若M 绕x 轴旋转一周，求由M 围成的体积．32. 已知f(x)为一次函数，且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1，（1）求函数f(x)的解析式；（2）若g(x)=x ⋅f(x)，求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．33. 已知圆锥的高为ℎ，底半径为r ，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式． [提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn ，2r n，3r n…，(n−1)r n，r ；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2，当n 越来越大时所趋向的值．]．34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线，使此切线与直线x =0，x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小．35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线，切点为A ．又L 与x 轴交于B 点，区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．36. 求曲线y =2x −x 2，y =2x 2−4x 所围成图形的面积．37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．38. 求下列曲线所围成图形的面积：曲线y=cos x，x=π2，x=3π2，y=0．39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2，x=5π4，y=0所围成的平面图形的面积．40. 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx ，即可得出结论．【解答】解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4．故选：D ． 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意几何体的体积； ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A ． 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：直线x =1，x =2，y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73，故选：C ．4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定义解之即可．【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选：A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可．【解答】解：设旋转体的体积为V ，则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10．故旋转体的体积为：3π10．故选A ． 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】根据定积分的几何意义，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ，然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x)，算出F(5π4)−F(π4)的值，即为所求图形的面积．【解答】解：根据题意，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 （其中C 为常数） ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可．【解答】解：根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C ．8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：联立直线y =x −2，曲线y =√x 构成方程组，解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2，y =0构成方程组，解得{x =2,y =0,如图所示：∴曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103．故选B．9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．【解答】解：根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选：D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称，交点的横坐标为−1，1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ，根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解．【解答】解：∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0)，∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c ．又∵f(x 0)=ax 02+c ．∴ x 02=13，∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33． 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可．【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍， ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2．13.【答案】323π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．【解答】解：曲线y=|x|，y=−|x|，x=2，x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2，高为4的圆柱，去掉2个底面半径为2，高为2的圆锥，则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π，故答案为：323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为3，积分下限为0，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0；两曲线x−y=0，y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92．15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用【解析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1)，∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13．故答案为：13．16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2，故答案为：81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可．【解答】解：由题意，S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2．故答案为：ln 2． 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论．【解答】解：(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π⋅√34=√34π．故答案为√34π． 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积．【解答】解：函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1，则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2，则对应的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x ，由{y =x 2−x y =2x，解得x =3或x =0，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92，故答案为：92．20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值．【解答】解：f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时，f(a)取最大值，最大值为29 故答案为：29三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分） 21.【答案】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积．【解答】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．24.【答案】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m 即2a =10，最下端的直径为12m ，最细处离地面6m ，即双曲线经过(−6, 6)，烟囱高14m ，即自变量范围为−6到8，由此利用定积分的值得到体积．【解答】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )，则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)，同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．【考点】复数的运算共轭复数复数代数形式的混合运算定积分在求面积中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )，则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)，同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．26. 【答案】解：（1）∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ，整理得n 2−9n +8=0，n 1=1（舍） n 2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A ，由几何概型的概率公式得： P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用等差数列的性质几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】（1）由题意可得，C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12，解关于n 的方程即可；（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积，从而使问题解决．【解答】解：（1）∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n，整理得n2−9n+8=0，n1=1（舍）n2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．28.【答案】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36．29. 【答案】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分在求面积中的应用【解析】（1）根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ，根据定积分的定义解之即可．【解答】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5．若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积．【解答】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5．若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 31. 【答案】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3．【考点】用定积分求简单几何体的体积旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求M 的面积；（2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．【解答】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3．32.【答案】解：（1）设f(x)=kx +b ， ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1，∴ kx +b =(2k +2b)x +1，∴ k =−2，b =1， ∴ f(x)=−2x +1，；2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x ， ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240．【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f(x)的解析式；（2）求出g(x)，应用定积分来求旋转体的体积．【解答】解：（1）设f(x)=kx+b，∵f(x)=x∫f2(t)dt+1，∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1，∴kx+b=(2k+2b)x+1，∴k=−2，b=1，∴f(x)=−2x+1，；2)g(x)=xf(x)=−2x2+x，∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240．33.【答案】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到【解答】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=22+√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．【解答】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2x −x0)即y=y02+2x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=2√2+√22．35.【答案】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)，则{k =1aka +1=b ln a =b ，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】求出A 的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．【解答】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)，则{k =1aka +1=b ln a =b，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．36. 【答案】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积．【解答】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 37. 【答案】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab =t 则a +b =−3t+12，再利用构造法构造a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根，然后利用判别式可求出a ．b 的取值范围．【解答】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可．【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．39. 【答案】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2，x =5π4，y =0所围成的平面图形的面积【解答】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 40.【答案】由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ．故k 的值为：k =1−√432．【考点】定积分的简单应用【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ，根据直线y ＝kx 分抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值．【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页，总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ．故k 的值为：k =1−√432．。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(答案解析)

一、选择题1．设11130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>2．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（） A ．2 B ．83 C ．43 D ．233．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（） A ．B ．C ．D ．4．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+5．图中阴影部分的面积用定积分表示为（）A ．12d xx ⎰B ．()1021d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()1012d xx -⎰6．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（） A ．1B ．2C ．1-D ．2-7．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 8．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e9．函数()2,02x x f x x -<⎧=≤≤，则22()f x dx -⎰的值为（）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．810．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（）A ．1B ．2C ．3D ．411．10)x dx ⎰=（） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 12．设[0,1]()1,[1,0)x f x x x ∈=+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于（）A ．12π+B ．122π+ C ．124π+ D ．14π+二、填空题13．323x dx -⎫=⎪⎪⎭⎰____________________. 14．已知0a >，6x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(02a x x dx -++=⎰______.15．曲线y =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．16．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．17．由直线2y x =+与曲线2yx 围成的封闭图形的面积是__________．18．设函数2()f x ax b =+（0a ≠），若300()3()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．19．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．20．曲线2y x和曲线y =________．三、解答题21．如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -23BG BE 的值．22．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围；（2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 2e. 23．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.24．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：3221362936,69844159{,91084366345,1012t t t t y t t t t t --+-≤<=+≤≤-+-<≤ 求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．25．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-.（1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.26．已知二次函数()21f x ax bx =+-在1x =-处取得极值，且在点()0,1-处的切线与直线20x y -=平行. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()2g x xf x x =+的极值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】根据微积分定理，13120022|33a xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(含答案解析)(2)

一、选择题1．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．3-D ．32．定积分= A ．B ．C ．D ．3．对于函数()sin x f x x =， 30,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，下列说法错误的是（） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 4．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-6．22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 17．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰8．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则（） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<9．计算()122x x dx -⎰的结果为（）A ．0B ．1C ．23D ．5310．下列积分值最大的是（） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C．-⎰D ．11edx x11．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 2212．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．已知函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩则()22f x dx π-=⎰___________14．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．15．计算)2x dx ⎰=_____．16．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________． 17．定积分11sin )x dx -=⎰________.18．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e0f x dx =⎰_________.19．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)a aaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）.20．已知函数2()2ln f x x x =-，若方程()0f x m +=在1[,]e e内有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数()()2log 3a f x x =-++（0a >且1a ≠），()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的图象恒过定点A ，求A 点坐标；（2）若函数()()()F x f x g x =-的图象过点()1,5--，证明：方程()0F x =在()1,5x ∈上有唯一解.22．已知函数()ln 3mf x x x x=++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[]0,2m ∈，不等式()()1f x k x ≤+，对[]1,x e ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 23．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.24．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且0,1a a <≠-.（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系；（2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.25．求曲线6y x =-和8y x =，y ＝0围成图形的面积．26．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.2．B解析：B【解析】由题意得，故选B.3．C解析：C【解析】函数()sin x f x x =，可得函数()2cos sin 'x x x f x x -= ，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，由三角函数线可知， tan x x <，即不等式cos sin 0x x x -<成立，可得02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x < ，函数是减函数．当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， cos sin 0x x x -<，函数是减函数．函数在2x π= 时连续，所以函数()()sin 0,xf x x xπ=∈，的单调区间为()0π，，又当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， cos sin 0x x x ->，即()'0f x >，则函数在x π=时取得极小值，所以函数()f x 有最小值，而无最大值，据此可知选项C 错误，故选C.点睛：对于①针对函数()sin x f x x =的性质，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，由三角函数线可知， tan x x <；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数()2cos sin 'x x xf x x-=，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论．4．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．5．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（）A ．10B ．11C ．12D ．132．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（） A ．18 B ．19C ．20D ．213．0xdx +=( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π4．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78545．已知)221a ex dx π-=⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．e6．侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（） A ．23B ．43C ．3D ．37．定积分2]x dx ⎰的值为（）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-8．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 9．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（）A ．163B ．83C ．43D ．2310．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-11．等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比的值是（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-12．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x =）A ．18B ．16C ．13D ．12二、填空题13．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 14．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．15．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________．16．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________．17．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．18．2(1)x dx -=⎰________.19．若，则的值是__________．20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -的体积为239时，求BG BE 的值．22．已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.23．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．24．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．25．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112，试求：（1）点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程. 26．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-.①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．A解析：A 【分析】画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：联立22y x =和4y x =-，解得()()2,2,8,4A B -，根据抛物线的对称性，即可得两曲线围成的面积28222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰23022021622d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝⎭ 82(24)d x x x +⎰83222212432x x x ⎫=-+⎪⎭322212884832⎫=⨯-⨯+⨯⎪⎭322213822242323⎫-⨯-⨯+⨯=⎪⎭故所求面积为28222d (24)d x x x x x ++⎰⎰163833=+18=.故选：A. 【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.3．A解析：A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】22200112xdx x ==⎰ 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =，2OC =4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-=- 2220241122xdx x dx ππ+-∴=+-=⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.4．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题5．A解析：A 【解析】因为2224d x x --表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即224d 2πx x --=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)22214e d 2a x x x π-=-=⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.6．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离22d =，由勾股定理可得22221)()3)22a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．7．B解析：B 【解析】试题分析：由定积分的几何意义有2204(2)x dx --⎰表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆的14部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故220[4(2)]x x dx ---⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为221122242ππ⨯-⨯=-.故选B.考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.8．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2xf x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数a y x =图像过点(2,4)P ，所以42α=，解得2α=，所以幂函数2yx ，则阴影部分的面积为22320018|33S x dx x ===⎰，故选B. 考点：幂函数的解析式；定积分的应用.10．D解析：D 【详解】曲线e xy x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112x x S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.11．C解析：C 【解析】由题意得3330|27S x ==．①当q ≠1时，则有313231(1)2719a q S q a a q ⎧-==⎪-⎨⎪==⎩，解得12q =-或1q =（舍去）．②当q ＝1时，a 3＝a 2＝a 1＝9，故S 3＝27，符合题意．综上12q =-或1q =．选C ．点睛：在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1q =与1q ≠分类讨论，防止因忽略1q = 这一特殊情况而导致解题失误．12．B解析：B 【解析】区域(){},|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤是正方形，面积为1，根据定积分定理可得直线y x =与曲线y x =)132120211|326x x dx x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线y x =与曲线y =16，故选B ．二、填空题13．【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝(ex ＋x)dx 由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S ＝(ex ＋x)dx ＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析：12e - 【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ＝210111|1.222xe x e e ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 故答案为1.2e - 【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.14．【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为解析：11e + 【解析】由题意，直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1，高为1e +的矩形，所以其的面积为1(1)1S e e =⨯+=+，又由11xy e y e =+⎧⎨=+⎩，解得11x y e =⎧⎨=+⎩，所以由0,1,1x x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为111100(11)()()|1xx x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰，所以概率为111S P S e ==+. 15．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17．【解析】解：令则问题等价于求解在区间上的面积由题中所给的结论可知：函数的周期为结合正弦函数的性质可知：将函数的图象向上平移两个单位得到函数的图象增加的面积为：综上可得：函数在上的面积为解析：223π+【解析】解：令3t x π=-，则问题等价于求解()sin32g t t =+ 在区间[]0,π 上的面积，由题中所给的结论可知：61sin 33tdt π=⎰，函数g t 的周期为23π，结合正弦函数的性质可知：02sin 33tdt π=⎰，将函数sin 3y t = 的图象向上平移两个单位得到函数g t 的图象，增加的面积为：22ππ⨯= ，综上可得：函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为223π+. 18．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解解析：. 【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解. 19．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2【解析】试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.20．【解析】试题分析：由题意可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1先将y2=x化成：联立的：因为x≥0所以解得：x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成解析：1 3【解析】试题分析：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，先将y2=x化成：，联立的：因为x≥0，所以解得：x=0或x=1，所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量：S（A）==．则点M取自阴影部分的概率为P（A）=考点：几何概型；定积分在求面积中的应用点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题三、解答题21．（1）见解析；（2）1 3 .【解析】【分析】（1）设AC BD O=，连结EO，MO，推导出四边形EOMF为平行四边形，从而//FM EO．由此能证明//FM平面BDE．（2）过G作ED的平行线交BD于H，则GH⊥平面ABCD，GH为三棱锥G BCD-的高，根据三棱锥G BCD -的体积求得GH 长度．从而求得GHED的值，由三角形相似得BGBE的值．【详解】（1）证明：设AC BD O ⋂=，连结EO,MO ．因为M,O 分别是BC,BD 的中点，因为EF //AB ，且1EF=AB 2，因为OM //AB ，且1OM=AB 2，所以EF //OM ，且EF=OM ．所以四边形EOMF 为平行四边形．所以FM ∥EO ．又因为EO ⊂平面BDE ，FM ⊄平面BDE ，所以FM ∥平面BDE ．（2）解：过G 作ED 的平行线交BD 于H ．由已知ED ⊥平面ABCD ，所以GH ⊥平面ABCD ．所以GH 为三棱锥G BCD -的高．因为三棱锥G BCD -23，所以三棱锥G BCD -的体积:11113323V BD BC sin60GH 22GH GH 3232239=⨯⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==． 2GH 3∴=． BGH BED ∆∆∽， 2BG GH 13BE ED 23∴===. 【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 22．(1)()a y g x x x==+(2)=- 2ln2 +ln3【详解】导数部分的高考题型主要表现在：利用导数研究函数的性质，高考对这一知识点考查的要求是：理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当x<0时,()ln()f x x =-∴当x>0时,1()f x x'=; 当0x <时,11()(1)f x x x⋅-'==- ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x ==+ ⑵∵由⑴知当0x >时,()a g x x x=+, ∴当0,0a x >>时,()2g x a ≥当且仅当x a =时取等号∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2a , ∴依题意得22a =，∴1a =；⑶由2736{1y x y x x=+=+解得2121322{,{51326x x y y ==== ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积=- 2ln2 +ln323．（1）41639⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（2）()22，，8423-【解析】试题分析：（1）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP 的方程为y=tx ，则S 1为直线OP 与曲线y=x 2当x ∈（0，t ）时所围面积，所以，S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx ，S2为直线OP 与曲线y=x 2当x ∈（t ，2）时所围面积，所以，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx ，再根据S 1=S 2就可求出t 值．（Ⅱ）由（2）可求当S 1+S 2，化简后，为t 的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x 值，就可求出P 点坐标为多少时，S 1+S 2有最小值．试题（1）设点P 的横坐标为t （0＜t ＜2），则P 点的坐标为（t ，t2），直线OP 的方程为y=tx S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx=，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx=，因为S 1=S 2，，所以t=，点P 的坐标为41639⎛⎫ ⎪⎝⎭，（2）S=S 1+S 2==S ′=t 2﹣2，令S'=0得t 2﹣2=0，t=因为0＜t ＜时，S'＜0；＜t ＜2时，S'＞0所以，当t=时，S min 842-P 点的坐标为)22，．点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积． 24．故()f x 的单调递减区间为()0,e ，极小值为2．【解析】试题分析：（1）由切线与20x -=垂直，可知切的斜率为0，对()f x 求导，()0f e '=，代入可求得k 。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π3．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 4．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（）A ．1B ．23C ．43D ．26．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．17．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π- 8．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-10．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值11．10)x dx ⎰=（） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 12．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <二、填空题13．已知函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩则()22f x dx π-=⎰___________14．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______.15．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______16．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.17．计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________． 18．函数()xf x e x =-在［-1，1］上的最小值__________．19．定积分()12xx e dx +=⎰__________．20．ππ(sin )d x x x -+=⎰________.三、解答题21．已知321()2f x x x ax =+-. （Ⅰ）当4a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在()1,3上不单调，求实数a 的取值范围.22．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程? 23．由定积分的性质和几何意义，求出下列各式的值：（1）22aaa x dx --⎰；（2）()1201(1)x x dx ---⎰.24．计算下列各式的值．（1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）32132d x x x +-⎰．25．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程；（ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.26．求曲线6y x =-和y =y ＝0围成图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．A解析：A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】2220112xdx x ==⎰ 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =，2OC = 4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-⨯⨯=- 2220241122xdx x dx ππ+-∴=+-=⎰⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.3．D解析：D 【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．4．A解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.5．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 6．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.7．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

新版北师大版数学选修2-2《定积分的简单应用》导学案(含答案)

新版北师大版数学选修2-2《定积分的简单应用》导学案（含答案）新版数学北师大版精品资料第3课时定积分的简单应用1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型,并能利用积分公式表进行计算.2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表进行计算.3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用和实用价值.实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的,如非匀速直线运动在某时间段内位移;变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功;非均匀线密度的细棒的质量等.所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.问题1:当x∈[a,b]时,若f(x)>0,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S= .问题2:当x∈[a,b]时,若f(x)<0,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S= .问题3:如图,当x∈[a,b]时,若f(x)>g(x)>0时,由直线x=a,x=b(a≠b)和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的平面图形的面积S= .问题4:旋转体可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体,则该旋转体的体积为 .1.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是( ).A.C.f(x)dxB.|f(x)dx+f(x)dx| f(x)dx D.f(x)dx-f(x)dx2.由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积可以表示为( ).A.V=πC.V=π()2dyB.V=π[12-(x2)2]dx(x2)2dx D.V=π(12-x2)dx3.汽车以v=(3t+2) m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是 m.4.求由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积.求不分割型图形的面积计算由曲线y2=x,y=x2所围成平面图形的面积S.分割型图形面积的求解计算由直线y=x-4,曲线y=以及x轴所围成图形的面积S.简单旋转几何体的体积计算椭圆+=1所围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积.求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.求由曲线y=连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形,将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算这个圆锥体的体积.(用定积分求解),y=2-x,y=-x所围成图形的面积.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．给出以下命题：（1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（）． A ．1B ．2C ．3D ．43．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．234．设1130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>5．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-6．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A ．B ．C ．D ．7．定积分220[4(2)]x x dx ---⎰的值为（）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-8．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（） A ．52 B ．4 C ．2 D ．929．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为（）A ．18B ．16C ．13D ．1210．1204x dx -=⎰（）A ．4B ．1C ．4πD ．332π+11．设21,[0,1]()1,[1,0)x x f x x x ⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于（）A ．12π+B ．122π+ C ．124π+ D ．14π+12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．()2208x x dx -=⎰______.15．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．16．定积分2211x dx x +=⎰ __________.17．定积分12(1)x x dx --=⎰______________.18．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）. 19．定积分()12xx e dx +=⎰__________．20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．已知321()2f x x x ax =+-. （Ⅰ）当4a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在()1,3上不单调，求实数a 的取值范围.22．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.23．已知函数()ln f x x a x =-， ()R a ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（2）设()1a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，求a 的取值范围. 24．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 25．求曲线6y x =-和y =y ＝0围成图形的面积．26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4．故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．B解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.3．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为()13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力4．D解析：D 【解析】根据微积分定理，13120022|33a xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（）A ．10B ．11C ．12D ．132．12201x dx -=⎰（）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+3．给出以下命题：（1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（）． A ．1B ．2C ．3D ．44．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A ．22B ．42C ．2D ．45．定积分= A ．B ．C ．D ．6．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数 7．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π28．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-9．设函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C ．e 12πe 4-+D ．e 1πe 2-+ 10．由直线y= x - 4，曲线2y x =以及x 轴所围成的图形面积为（）A ．15B ．13C ．252D ．40311．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2312．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．已知0a >，6x x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(0224a x x x dx -++-=⎰______.14．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______.15．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______16．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______17．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________． 18．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.19．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点()0,2，且()28f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数()22g x x =+，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.22．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围. 23．如图：求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2， y ＝e －1所围成的平面图形面积.24．已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)的导函数()12f x x '=()()2212ax a g x f x +-=+，其中a R ∈．（1）求函数f (x)的解析式；（2）求()g x 的单调区间；（3）若()g x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．25．已知函数()xf x xe a -=-有两个零点1x ， 2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）求证： 122x x +>. 26．已知函数21()12f x x =-+，x ∈R . （1）求函数图像过点(1,1)的切线的方程；（2）求函数()f x 的图像与直线1y =-所围成的封闭图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．B解析：B 【分析】令y =()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可.【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故1220113131122226812OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯+⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.3．B解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.4．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)，故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．5．B解析：B【解析】由题意得，故选B.6．D解析：D【解析】由①,()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C正确; 由②,()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D错误,故选D.7．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义8．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.9．B解析：B 【解析】因为函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以1012110()d e d 1d x f x x x x x --=+-⎰⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e xxx ---==-=-=-⎰，1201d x x -⎰表示圆221x y +=在第一象限的面积，即12π1d 4x x -=⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．10．D解析：D 【详解】根据题意，画出如图所示：由直线4y x =-，，曲线2y x =x 轴所围成的面积为：4288221402(24)(4)42322xdx x x dx x x x x +⎰+=+-+=.故选D.11．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】由题意得0y '≥1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间恒成立，即210(3)ln x a a ≥-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间恒成立，当1a > 时2min (3)0a x a <⇒≤ ，舍；当01a << 时2min 111(3)3=1933a x a a ，>⇒≥⨯∴≤< ，选B.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.二、填空题13．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得【详解】二项式展开式的通项为展开式的常数项为15令故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式考查微积分基本定理解析：31236π+- 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a ，再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得. 【详解】二项式6x ⎫-⎪⎭展开式的通项为()()626136631r rrrrrr r x a C xT C --+---==.6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15， ∴令330,22rr -=∴=，()262261=15a C -∴-，4=1a ∴，0,1a a>∴=.((0221a x x dx x x dx --∴+=++⎰⎰2322111001111121132226x dx xdx x x π---=++=++⨯⨯⨯--⎰⎰()()3232110101323π⎡⎤⎡⎤=--+--⎣⎦⎣⎦1113223236ππ=-++=+-. 136π+-. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，考查微积分基本定理.14．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m. 【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =，当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt t t=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.15．【解析】【分析】先求出两曲线的交点再由面积与定积分的关系利用定积分即可求解【详解】由题意令解得交点坐标为所以曲线围成的图形的面积【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积其中解答中根据题设中的解析：1【解析】【分析】先求出两曲线,x y e y e ==的交点，再由面积与定积分的关系，利用定积分即可求解．【详解】由题意，令x y ey e=⎧⎨=⎩，解得交点坐标为(1,)e ，所以曲线,,0xy e y e x ===围成的图形的面积110()()|1x xS e e dx ex e =-=-=⎰．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式，利用定积分的计算准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16．【解析】【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积【详解】联立直线与曲线的方程：解得对于令则结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部解析：163【解析】【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标，然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积【详解】联立直线与曲线的方程122y x y x ⎧⎪=⎨⎪=-⎩：解得{42x y ==，对于2y x =-，令0x =，则2y =-，结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：2222(2)y dy y dy -+-⎰⎰22322011816282333y y y -⎛⎫⎛⎫=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为163. 【点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决． (1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积；2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．有些由函数的性质求函数的定积分．17．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 18．【解析】由解得或∴曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题；用定积分求平面图形解析：43【解析】由2 2y x y x⎧=⎨=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是()222320014233S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．19．3【解析】由题意得即则解析：3【解析】由题意，得()()()()21222221220101111||2x dx x dx xdx x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰，即57622a a a +==，则468633a a a a ++==.20．【解析】试题分析：由题意可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1先将y2=x 化成：联立的：因为x≥0所以解得：x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成解析：13【解析】试题分析：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1，先将y 2=x 化成：，联立的：因为x≥0，所以解得：x=0或x=1，所以曲线y=x 2与所围成的图形的面积S ，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量： S （A ）==．则点M 取自阴影部分的概率为P （A ）=考点：几何概型；定积分在求面积中的应用点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题三、解答题21．（1）()22f x x =+；（2）43. 【分析】（1）设一次函数的解析式，由20()8f x dx =⎰．及微积分定理可得248k +=，解得k 的值，进而求出函数()f x 的解析式；（2）由面积和微积分的关系求出()f x 与()g x 的图象围成图形的面积的表达式，进而求出其面积．【详解】解：（1）∵()f x 为一次函数且过点()0,2，可设()()20f x kx k =+≠∴()()0022022222482k f x dx kx dx x x k ⎛⎫⎰=⎰+=+=+=⎪⎝⎭，解得2k =,∴()22f x x =+. （2）由2222y x y x ⎧=+⎨=+⎩得：10x =，22x =，∴()f x 与()g x 围成的图形面积()()20S f x g x dx =-⎡⎤⎣⎦⎰ 即()()002223202214222233S x x dx x xdx xx ⎛⎫=⎰+--=⎰-=-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查微积分定理的应用，及曲线围成的面积的运算方法，属于中档题． 22．(Ⅰ)3a =-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)124t ≤≤【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t的取值范围是124t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-'∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =-（Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=-令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16-（Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立 ∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t+=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t的取值范围为124t ≤≤+23．1ln 22e + 【解析】【分析】算出,A B 两点的坐标可得积分区间[]ln 2,1-，利用定积分可以计算平面图形的面积．【详解】1ln 2,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,1B e -，围成的面积为()()()11ln2ln2111|ln 22x x e e dx ex e e --⎡⎤---=-=+⎣⎦⎰．【点睛】由曲线围成的不规则图形的面积可以用定积分来计算，计算时应选择合理的积分区间和被积函数，必要时还需分割平面图形便于被积函数的选择． 24．（1）2()1f x x =-；（2）见解析【解析】分析：（1）由导函数可设()2f x x c =+，结合条件可得c ；（2）由()()()()2221'1x a ax g x x -+-=+，讨论0a =，0a <和0a >导数的正负，从而得函数的单调性；（3）结合（2）中函数的单调性，考虑极值点和端点处的函数值讨论最值即可. 详解：(1)因为f (x)的导函数()12f x x '=，所以()2f x x c =+，又函数f (x)有一个零点为1，所以()21f x x =-，（2）由（1）知：()()()()()22222121'11x a ax ax a g x g x x x -+-+-==++， ①0a =时()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增 ②0a <时()g x 的单调递增区间()1,,,a a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递减区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ③0a >时()g x 的单调递增区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间()1,,,a a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（3）①由（2）0a =时不符合题意②0a <时()g x 在()0,a -上递减，在(),a -+∞上递增，则当()0,x ∈+∞ ()()min 1g x g a =-=-当x a >-时，22221210ax a a a +-<-+-<,210x +> 故()0f x < 则()00g ≥解得1a ≤- ③0a >时()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减则()2max 10g x g a a ⎛⎫==>⎪⎝⎭且1x a >时()0g x > 则()00g ≤解得01a <≤ 综上：1a ≤-或01a <≤.点睛：（1）利用导数求函数的最值时要注意函数单调性的运用，由单调性得到函数的极值，然后再求最值．对于含有参数的问题，要结合条件对参数进行分类讨论，分类时要做到合理、不重不漏．（2）对于已知函数的最值求参数或其范围的问题，在解题仍要注意单调性的应用，结合函数的单调性进行求解、判断． 25．（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）函数()xf x xe a -=-的定义域为R ，因为()x f x xe a -=-有两个零点1x ， 2x ，所以函数()x xg x e=与函数y a =有两个不同的交点，根据导数的性质，可知当(),1x ∈-∞时， ()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时， ()g x 单调递减，所以()()max 11g x g e ==，并且当()1,x ∈+∞， ()0g x >，于是可得函数()x xg x e=的图象大致，然后再利用数形结合，可得函数()x xg x e=与函数y a =有两个不同的交点时， a 的取值范围；（2）由已知()()12f x f x =，即1212x x x x e e =，∴ 2121x x x e e x =，∴ 2121x x xe x -=，两边同取以e 为底的对数，得2211lnx x x x -=，要证明122x x +>，则只需证明2122111ln 2x x x x x x -<+，即21221111ln 21x x x x x x -<+，不妨设12x x <，令21xt x =，则()1,t ∈+∞，即证11ln 12t t t -<+对()1,t ∈+∞恒成立，令()11ln 21t g t t t -=-+，然后再根据导数在函数单调性中的应用即可求出结果. 试题（1）函数()xf x xe a -=-的定义域为R ，因为()xf x xea -=-有两个零点1x ， 2x ，所以函数()xxg x e =与函数y a =有两个不同的交点， ()1'x x g x e -=，令()1'0xxg x e -==，解得1x =，当(),1x ∈-∞时， ()'0g x >， ()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时， ()'0g x <， ()g x 单调递减，所以()()max 11g x g e==，并且当()1,x ∈+∞， ()0g x >，于是()xxg x e =的图象大致为：函数()x x g x e =与函数y a =有两个不同的交点时， a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由已知()()12f x f x =，即1212x x x x e e =，∴ 2121x x x e e x =，∴ 2121x x xe x -=，两边同取以e 为底的对数，得2211lnx x x x -=，要证明122x x +>，则只需证明2122111ln 2x x x x x x -<+，即21221111ln 21x x x x x x -<+，不妨设12x x <，令21x t x =，则()1,t ∈+∞，即证11ln 12t t t -<+对()1,t ∈+∞恒成立，令()11ln 21t g t t t -=-+，则()()()()()()()22222221411221'021212121t t t t t g t t t t t t t t t +---+=-===>++++， ∴()g t 在区间()1,+∞单调递增，∴()()10g t g >=，即11ln 021t t t -->+， 11ln 12t t t -<+，从而122x x +>成立. 26．(1) 切线方程为1y =或23y x =-+(2) 163【分析】（1）设切点为2001,12P x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线斜率()00k f x x ==-'，即可求得曲线在P 点处的切线方程，把点()1,1代入解出0x 即可；（2）联立函数()f x 与直线1y =-的方程，从而可得函数()f x 的图象与直线1y =-所围成的封闭图形的面积：()222112222f x dx x dx ⎛⎫⎡⎤+=-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭，利用微积分基本定理即可得出．【详解】（1）设切点为2001,12P x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线斜率()00k f x x ==-'，所以曲线在P 点处的切线方程为()()2000112y x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭，把点()1,1代入，得()00012002x x x -=⇒=或02x =，所以切线方程为1y =或23y x =-+.（2）由2121211x y x y y ⎧=-=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎩或21x y =⎧⎨=-⎩ 所以所求的面积为()2322211161222220263f x dx x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=-+=-+= ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理，属于中档题. 应用导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：①设切点，求导并且表示在切点处的斜率；②根据点斜式写出切线方程；③将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；④将切点代入切线方程，得到具体的表达式.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(有答案解析)

一、选择题1．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（）A ．18B ．19C ．20D ．212．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x4．定积分= A ．B ．C ．D ．5．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．36．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-27．设函数2e ,10()1,01xx f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C ．e 12πe - D ．e 1πe 2-+ 8．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x = ）A ．18B ．16C ．13D ．129．函数()22,04,02x x f x x x -<⎧=-≤≤，则22()f x dx -⎰的值为（）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．810．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（）A ．1B ．2C ．3D ．411．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值12．=（）A ．4B ．1C ．4πD．3π二、填空题13．已知函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩则()22f x dx π-=⎰___________14．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 15．44)x dx -=⎰__________．16．由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________．17．已知曲线y =2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．18．已知函数()xxf x e =，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________. （1）曲线()y f x =必存在一条与x 轴平行的切线；（2）函数()y f x =有且仅有一个极大值，没有极小值；（3）若方程()0f x a -=有两个不同的实根，则a 的取值范围是1()e-∞，；（4）对任意的x ∈R ,不等式1()2f x <恒成立；（5）若1(0,]2a e∈，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为12[,]x x ； 19．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．已知函数1()ln ()f x x b x b R x=--∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）设2()g x x =，求证()()2ln 2g x f x >-． 22．已知函数f （x ）=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212()()1g x g x x x ->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 23．已知函数()()322,f x x ax bx aa b =+++∈R .（1）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；（2）若()4,a f x =-在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值. 24．计算曲线223y x x =-+与直线3yx所围图形的面积． 25．已知曲线C ：322321y x x x =--+，点1(,0)2P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.26．计算下列各式的值．（1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）1x ⎰．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：联立22y x =和4y x =-，解得()()2,2,8,4A B -，根据抛物线的对称性，即可得两曲线围成的面积28222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰23022021622d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝⎭ 82(24)d x x x +⎰83222212432x x x ⎫=-+⎪⎭322212884832⎫=⨯-⨯+⨯⎪⎭322213822242323⎫-⨯-⨯+⨯=⎪⎭故所求面积为28222d (24)d x x x x x ++⎰⎰163833=+ 18=.故选：A. 【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.2．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．D解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．B解析：B【解析】由题意得，故选B.5．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.6．C解析：C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C7．B解析：B 【解析】因为函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以102110()d e d 1d x f x x x x x --=+-⎰⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e xxx ---==-=-=-⎰，201d x x -表示圆221x y +=在第一象限的面积，即2π1d 4x x -=⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．8．B解析：B 【解析】区域(){},|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤是正方形，面积为1，根据定积分定理可得直线y x =与曲线y x =)1321200211|326x x dx x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线y x =与曲线y x =16，故选B ．9．A解析：A 【分析】先求出22()f x dx -=⎰264x dx +-⎰,再求出204x dx π-=⎰即得解.【详解】由题得2022220222201()(2)4(2)|42f x dx x dx x dx x x x dx ---=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰22064x dx =+-⎰,设24(02,0)y x x y =-<≤≥,所以22+4x y =，所以24(02,0)y x x y =-<≤≥表示圆22+4x y =在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，其面积为14=4ππ⨯⨯. 所以204x dx π-=⎰.所以22()6f x dx π-=+⎰.故选：A 【点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．C解析：C 【分析】由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，得10122()cos 2f x dx xdx dx ππ--=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，可得1010100222()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x πππ---=+=+=+=⎰⎰⎰，故选C ．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．B解析：B 【分析】根据定积分的运算，可得321()23f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】由题意，函数3232011()(4)2233xxf x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则2()4(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；又由7(1)3f -=-，(0)0f =，32(4)3f =-，25(5)3f =-，所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B . 【点睛】本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.12．D解析：D 【分析】设y =的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.【详解】设y =224x y +=，其中01x ≤≤，0y ≥.的几何意义为图中阴影面积，设BOC α∠=，易知6πα=，则212111134132226232S S S r OA AC ππα=+=+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：D.【点睛】本题考查了定积分的几何意义，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【分析】利用定积分的计算法则可得由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解【详解】因为函数所以故答案为:【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题解析：24π-【分析】利用定积分的计算法则可得()22f x dx π-=⎰223222cos x dx xdx xdx πππ-++⎰⎰⎰，由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解. 【详解】因为函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩, 所以()22f x dx π-=⎰223222cos x dx xdx xdx πππ-++⎰⎰⎰4222221sin 4x x xπππ-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭24π=-,故答案为:24π- 【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题.14．【分析】转化为定积分求解【详解】如图：曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算解析：12ln 22-【分析】转化为定积分求解. 【详解】如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算.15．【分析】由题原式等于利用积分的几何意义分别求得其定积分可得答案【详解】由题表示的几何意义为：以（00）为圆心4为半径的圆在第一第二象限的面积所以=所以故答案为【点睛】本题考查了定积分熟悉理解定积分的解析：8π由题，原式等于4424416x dx xdx ---+⎰⎰，利用积分的几何意义分别求得其定积分，可得答案.【详解】由题44422444(16)16x x dx x dx xdx ----+=-+⎰⎰⎰42416x dx --⎰表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以42416x dx --⎰=21482ππ⨯= ，440xdx -=⎰所以424(16)8x x dx π--+=⎰故答案为8π 【点睛】本题考查了定积分，熟悉理解定积分的几何意义是解题的关键，属于中档题.16．【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域如图所示由得解得或则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积故答案为解析：92【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域，如图所示，由22y x y x=+⎧⎨=⎩，得22x x =+，解得1x =-或2x =，则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积223212119(2)d 21322S x x x x x x -⎛⎫=+-=-++= ⎪-⎝⎭⎰，故答案为92．17．【解析】由题意得曲线与轴所围成的图形的面积为：解析：76由题意得，曲线,2y x y x ==-与x 轴所围成的图形的面积为：123122201121237(2)|(2)|232326S xdx x dx x x x =+-=+-=+-=⎰⎰. 18．（1）（2）（4）（5）【解析】∵可得令=0只有一根∴（1）对令得在递增同理在(1+∞)上递减∴只有一个极大值无极小值故（2）对；∵时0∴方程有两个不同的实根时故（3）错由的单调性可知的最大值为=∴解析：（1）（2）（4）（5）【解析】 ∵()x x f x e =可得()1x'xf x e -=,令()'f x =0只有一根1x =, ∴（1）对令()0f x '>得1x >，()f x 在)—1∞（，递增，同理()f x 在(1,+∞)上递减，∴()f x 只有一个极大值()1f ，无极小值故（2）对； ∵x →-∞时()f x →0, ∴方程()0f x a -=有两个不同的实根时10a e<<故（3）错由()f x 的单调性可知()f x 的最大值为()1f =1e，∴()112f x e ≤<故（4）对由()f x 的图像可知若10,2a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为[]12,x x故（5）对点睛：本题是导数部分的综合题，主要考查函数的单调性，极值，函数图像，要注意图像的趋势，不等式的恒成立问题，不等式的解集问题都可以由图像得出19．【解析】因为所以解析：43【解析】因为()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，所以()e1e231e0101114|ln |33f x dx x dx dx x x x =+=+=⎰⎰⎰ 20．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解解析：.试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.三、解答题21．(1) 2b = (2)见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b 的值；（Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可．试题(Ⅰ）()1ln f x x b x x=-- ，所以()222111b x bx f x x x x-='+=+- 由题设知()120,2f b b =-=∴='. （Ⅱ）由(Ⅰ）可得()12ln f x x x x =--，故只需证212ln 2ln20x x x x-+++> ，设()()212ln 2ln20F x x x x x x=-+++>，令()0F x '=，得12x =. 当102x <<时，()0F x '<，当12x >时，()0F x '>，所以，()()min 170,024F x F F x ⎛⎫==>>⎪⎝⎭ 所以，()()2ln2g x f x >-．22．（1）单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）72a ≤-【解析】试题分析：（1）由极值定义得f′（1）=6+m=0，解得m值，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先等价转化不等式：设0＜x1＜x2，g（x1）﹣x1＜g （x2）﹣x2．再构造函数h（x）=g（x）﹣x，转化为h（x）在（0，+∞）为增函数，利用导数研究h（x）导函数恒非负的条件，即得a的取值范围试题解：（1）∵f（x）=x3+x2+mx，∴f′（x）=3x2+3x+m，∵f（x）=x3+x2+mx在x=1处有极小值，∴f′（1）=6+m=0，得m=﹣6．∴f（x）=x3+x2﹣6x，则f′（x）=3（x2+x﹣2）=3（x﹣1）（x+2）．∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx．假设存在实数a使得对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞1恒成立，不妨设0＜x1＜x2，只要g（x1）﹣g（x2）＜x1﹣x2，即：g（x1）﹣x1＜g（x2）﹣x2．令h（x）=g（x）﹣x，只要 h（x）在（0，+∞）为增函数即可．又函数h（x）=g（x）﹣x=，则h′（x）==．要使h'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则需2x3+3x2﹣12x﹣2a≥0在（0，+∞）上恒成立，即2a≤2x3+3x2﹣12x．令t（x）=2x3+3x2﹣12x，则t′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1）．∴当x∈（0，1）时，t（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t（x）单调递增，则t（x）min=t（1）=﹣7．∴2a≤﹣7，得a．∴存在实数a，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞1恒成立．23．(1)-11；(2)16 3.【解析】(1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组后验证可得b 的值为11-. (2)由题意将原问题转化为()2max38b x x ≥-+，结合二次函数的性质可得b 的最小值为163. 试题（1）()2'32f x x ax b =++,可得()()2'13201110f a b f a b a ⎧=++=⎪⎨=+++=⎪⎩，解得4,11a b ==-或3,3a b =-=.当4,11a b ==-时，()2'3811,641320f x x x =+-∆=+>，所以函数有极值点；当3,3a b =-=时，()()2'310f x x =-≥，所以函数无极值点，所以b 的值为11-.（2）()2'380f x x x b =-+≥对任意的[]0,2x ∈都成立，即238b x x ≥-+对任意的[]0,2x ∈都成立，即()2max 38b x x ≥-+，令()2241638333F x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()F x 最大值为163，所以163b ≥，综上，b 的最小值为163. 24．92．【解析】【详解】试题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数．试题由23{23y x y x x =+=-+解得03x x ==及．从而所求图形的面积332200[(3)(23)](3)S x x x dx x x dx =+--+=-+⎰⎰3230139=|322x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．考点：定积分． 25．2732.试题分析：先根据导数的几何意义求得曲线在点P 处的切线，然后画出草图，结合图形得到被积函数和积分区间，最后由定积分求得图形的面积．试题∵322321y x x x =--+， ∴2662y x x =--'．设切点为00(,)A x y ，则0200|662x x y x x =-'=-， ∴所求切线方程为20000(662)()y y x x x x -=---，即，∵切线过点P （），∴ ，整理得，解得，∴01y =， ∴点(0,1)A ．故切线方程为12(0)y x -=--，即．由，解得．∴点B 的坐标为（）．画出图形如图所示．∴切线l 与C 围成的图形的面积333223232432000127[(12)(2321)](23)()|232S x x x x dx x x dx x x =----+=-+=-+=⎰⎰．点睛：利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案． 26．（1） 2；（2） π 【分析】（1）由题得()00sin cos d (cos sin )|x x x x x ππ-=--⎰，计算即得解；（2）如图，先求出扇形ACB 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】（1）由题得()00sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos0sin 0)x x x x x ππππ-=--=-----⎰ =10102-++=；（2）令222(32),(1)4(13,0)y x x x y x y =+-∴-+=≤≤≥，因为32132d x x x +-⎰等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，如图扇形ACB ，扇形ACB 的面积为212=4ππ⨯⨯，所以32132d x x x π+-=⎰.【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.。

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A.B.
C.D.
解析：画出曲线y＝x2和直线y＝2x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．
解方程组得或
∴A(2,4)，O(0,0)．
∴S＝2xdx－x2dx
＝x2－x3
＝4－(－0)＝.故选C.
答案：C
5.曲线y2＝42πa2B. 4πa2
C. 2πa3D. 4πa3
解析：不妨设a>0，由旋转体公式可得：
V＝πy2dx＝π4axdx＝4πa＝2πa3.
答案：C
6.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图所示阴影部分)的面积S的最小值为()
A.B.
C.D.
解析：阴影部分的面积S＝t3－x2dx＋x2dx－(1－t)t2＝t3－t2＋，可得S′＝4t2－2t.令S′＝0，得t＝或t＝0(舍去)，可判定当t＝时S最小，Smin＝，故选A.
A. 9B. 18
C. 27D. 36
解析：S＝v(t)dt＝(3t2－2t＋3)dt
＝(t3－t2＋3t)＝27.
答案：C
3.由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为()
A.B.
C.ln2D．2ln2
解析： dx＝lnx＝ln2－ln＝2ln2.
答案：D
4.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为()
04课后课时精练
1.由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，直线x＝a，x＝b(a<b)与x轴所围成的曲边梯形的面积S等于()
A.f(x)dx
B.－f(x)dx
C.f(x)dx－adx
D.f(x)dx－bdx
解析：由定积分的几何意义可知，S＝－f(x)dx.
答案：B
2.物体以速度v(t)＝3t2－2t＋3作直线运动，它在t＝0到t＝3这段时间内的位移是()
答案：A
7.[2014·大连高二检测]由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为________．
解析：如图：
答案：
8.抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围图形的面积为________．

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