高三数学小测4

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2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题

2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题

2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题 请考生注意:1.请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+,则||z =( ) ABCD2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ,抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0),若e p =,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y = B.y =±C.y x = D.2y x =± 3.下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A .12y x =B .2x y =C .12log y = xD .1y x=- 4.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切,则该球的表面积为( )A. B .4π C. D .3π5.设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩,若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ,则122313x x x x x x ++=( )A .12B .11C .6D .36. “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为( )A.75 B.65 C.55 D.457.函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A.B.C.D.8.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().A.收入最高值与收入最低值的比是3:1B.结余最高的月份是7月份C.1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D .前6个月的平均收入为40万元9.已知15455,log 5,log 2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A .a b c >>B .a c b >>C .b a c >>D .c b a >> 10.已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭,则A B 等于( ) A .{}11x x -<<B .{}1,0,1-C .{}1,0-D .{}0,1 11.已知复数11i z i +=-,则z 的虚部是( ) A .i B .i - C .1- D .112.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A .若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B .若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC .若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D .若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2022届黑龙江省哈尔滨第三中学高三第四模拟考试数学(理)试题(解析版)

2022届黑龙江省哈尔滨第三中学高三第四模拟考试数学(理)试题(解析版)

2022届黑龙江省哈尔滨第三中学高三第四模拟考试数学(理)试题一、单选题1.已知集合()22,1,,42x y A x y x Z y Z ⎧⎫=+≤∈∈⎨⎬⎩⎭,则A 中元素的个数为( ) A .9B .10C .11D .122.已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列,11a =,525a =,则3a =( ) A .13B .5-C .5±D .53.已知不重合的两条直线m ,n 和两个不重合的平面α,β,则下列选项正确的是( ) A .若m n ∥,m α∥且αβ∥,则n β∥ B .若m α⊥,n β⊥且αβ⊥,则m n ⊥ C .若m n ⊥,m α⊥且n β∥,则αβ∥ D .若m α∥,n β⊥且αβ⊥,则m n ∥4.《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作,此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列,共有60象,其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,地支分别为子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.该书第一象为“甲子”,第二象为“乙丑”,第三象为“丙寅”,一直排列到“癸酉”后,天干回到甲,重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,之后地支又回到子,即“丙子”,以此类推2023年是“癸卯”年,正值哈尔滨市第三中学建校100周年,那么据此推算,哈三中建校的年份是( )A .癸卯年B .癸亥年C .辛丑年D .辛卯年5.若()45P A =,()25P B =,()13P AB =,则()P B A =( ) A .512B .56C .12D .8256.某几何体的三视图如图所示,其中正视图为直角梯形,侧视图为等腰三角形,俯视图为等腰直角三角形,则该几何体的体积为( )A .23B .43C .2D .47.设π2π2cos a xdx -=⎰,则二项式51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第三项的系数为( ) A .80-B .40C .10D .10-8.已知向量()sin ,cos a x x =,(),1b m =,函数()f x a b =⋅的图象关于直线π12x =对称,则实数m 的值为( ) A .31B .31C .23D .23+9.已知()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数,当()0,1x ∈时,()5e xf x a =+,若()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则20195f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .3e e + B .3e e -- C .3e e - D .3e e -+10.已知抛物线C :24y x =,A 为C 上的动点,直线l 为C 在点A 处的切线,则点()4,0B 到l 距离的最小值为( ) A 3B .23C .3D .411.已知命题p :若a b >,则a a b b ;命题q :若方程()()11x a x +-=只有一个实根,则13a -<<.下列命题中是真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧C .p q ⌝∧⌝D .p q ∧⌝12.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若cos 3sin cos a B b A b A =-,则()2a b ab+的取值范围是( ) A .[]3,5 B .[]4,6C .4,213⎡+⎣D .4,215⎡⎤⎣⎦二、填空题13.在利用秦九韶算法求()43254321f x x x x x =-+-+当3x =的值时,把多项式函数改写成如下形式:()()()()54321f x x x x x =-+-+,从内到外逐层计算一次多项式的值,其中记05v=,154v x =-,以此类推,则计算得2v 的数值为___________.14.设直线l :1y kx =+与双曲线C :2212x y -=相交于不同的两点A ,B ,则k 的取值范围为___________.15.正四棱锥P ABCD -中,M 为棱AB 上的点,且3PA AB AM ==,设平面P AD 与平面PMC 的交线为l ,则异面直线l 与BC 所成角的正切值为___________. 三、双空题16.曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线也是曲线e x y =的切线,则m =___________;若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方,则a 的取值范围是___________.四、解答题17.哈尔滨红肠已有近百年历史,是哈尔滨特产,也是黑龙江特产的代表,深受广大民众的喜爱,哈尔滨红肠是用大兴安岭的老果木熏制而成的,因此它除了肉香还会散发着浓郁的果木香.某调查机构从年龄在[)20,70岁的游客中随机抽取100人,对是否有意向购买哈尔滨红肠进行调查,结果如下表:(1)若以年龄40岁为分界线,由以上统计数据完成下面的2×2列联表,并判断是否有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关?(2)用样本估计总体,用频率估计概率,从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取3人,设这3人中打算购买哈尔滨红肠的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.参考数据:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82818.如图,在多面体ABCDEF 中,平面EAD ⊥平面ABCD ,EAD 为正三角形,四边形ABCD 为菱形,且π3DAB ∠=,DE CF ∥,2DE CF =.(1)求证:AE ∥平面BCF ; (2)求二面角E -AF -C 的余弦值.19.已知数列{}n a ,13a =,点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上,且12nn b a =-. (1)求证:数列{}n b 是等差数列; (2)已知数列{}n c 满足122n b n n c b +=⋅,记n S 为数列{}n c 的前n 项和,求n S ,并证明:当2n ≥时,6n S >.20.已知圆1C :(2271x y +=,圆2C :(22749x y +=,动圆E 与圆1C 外切并且与圆2C 内切.(1)求动圆圆心E 的轨迹方程;(2)过点()0,2M 的直线与动圆圆心E 的轨迹相交于A ,B 两点,在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与M 不同的定点N ,使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.21.在高等数学中,我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示,具体形式为:()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅(其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数),以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式. (1)分别求e x ,sin x ,cos x 在0x =处的泰勒展开式;(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域,试证明:i e 10π+=.(其中i 为虚数单位);(3)若30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,sin e 1a x x >+恒成立,求a 的范围.(参考数据5ln 0.92≈)22.在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨⎪⎩(α为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线2C :2sin 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 上的点与直线2C 上的点距离的最小值;(2)将曲线1C 向左平移13C ,再将3C 经过伸缩变换12x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩后得到曲线4C ,求曲线4C 上的点到直线2C 距离的最大值.23.已知函数()2f x x mx n =+-.(1)若()11f ≤,()22f ≤,求证:75117m n -+≤;(2)若函数()f x 的最小值为12-,且实数a ,b ,c 满足22341ab bc ac m n ++=+-,求222435a b c ++的最小值.参考答案:1.C 【解析】 【分析】由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤. 【详解】解:由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤≤ 又,x Z y Z ∈∈,所以集合()()()()()()()()()()(){}=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1A ------- 共有11个元素. 故选:C 2.D 【解析】 【分析】由条件结合等比数列通项公式求出公比,由此可求3a . 【详解】设数列{}n a 的公比为q , 因为11a =,525a =, 所以425q =,即25q =, 所以2315a a q ==, 故选:D. 3.B 【解析】 【分析】对于A ,当m n ∥,m α∥且αβ∥,则n 可能在β 内,判断A; 对于B ,根据平面的法向量可进行判断;对于C ,考虑 ,αβ可能相交,也可能平行,即可判断;对于D ,考虑到,m n 可能平行或异面或相交,即可判断, 【详解】对于A ,当m n ∥,m α∥且αβ∥,则n 可能在β 内,故A 错误;对于B ,因为m α⊥,故在m 上可取m 作为α 的法向量,同理在n 上可取n 作为β 的法向量,因为αβ⊥,故0m n ⋅=,即得m n ⊥,故B 正确;对于C ,当m n ⊥,m α⊥且n β∥时,,αβ可能相交,也可能平行,故C 错误; 对于D ,当m α∥,n β⊥且αβ⊥时,,m n 可能平行或异面或相交,故D 错误, 故选:B 4.B 【解析】 【分析】根据天干和地支的周期计算可得结果. 【详解】依题意可知,天干的周期为10,地支的周期为12, 因为1001010=,所以哈三中建校的年份的天干也是癸; 因为1008124=⨯+,所以哈三中建校的年份的地支为亥, 哈三中建校的年份是“癸亥年”. 故选:B. 5.A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】 因为()45P A =,()25P B =,()13P AB =, 所以()()()1534125P AB P B A P A ===, 故选:A 6.B 【解析】 【分析】想象并复原几何体的直观图,利用三视图的数据,求得原几何体的体积,即得答案. 【详解】由几何题的三视图,复原几何体为如图正方体中的三棱锥P ABC - ,由三视图可知正方体的棱长为2,故三棱锥顶点P 位于正方体相应的棱的中点,底面为ABC ,高为正方体棱长2, 则几何体的体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯= , 故选:B 7.B 【解析】 【分析】 根据π2π2cos a xdx -=⎰求得a ,再根据55112ax x x x =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直接求得第三项的系数,可得答案. 【详解】π2π2ππcos sin sin()222a xdx -==--=⎰,故55112ax x x x =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,展开式中的第三项的系数为225C (2)40-= , 故选:B 8.C 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的坐标表示得到函数()f x 的表达式,再根据()π6f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,赋值0x =,即可求出m 的值. 【详解】()sin cos f x a b m x x =⋅=+,因为函数()f x a b =⋅的图象关于直线π12x =对称,所以()π6f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令0x =,()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即1312m =,解得:23m =故选:C .9.B 【解析】 【分析】根据函数的周期和奇偶性推得(2)0f =,继而化简()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求得3e a =,化简20195f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于1()5f -,即可求得答案.【详解】由题意可得,()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数, 故(4)()()f x f x f x +==-- , 故(2)(24)(2),(2)0f f f f =-+=-= , 又2023340455=+,故()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即()3322e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 即332e 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,而当()0,1x ∈时,()5e xf x a =+,故333e 2e ,e 35f a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭,则当()0,1x ∈时,()53e e xf x =+,故3201919191(400)(4)()e e 5555f f f f ⎛⎫=+=-=-=-- ⎪⎝⎭, 故选:B 10.B 【解析】 【分析】设2(,2)A t t ,根据条件求出抛物线在点A 处的切线方程,再求点B 到直线l 的距离及其最小值. 【详解】因为点A 在抛物线C :24y x =上,故可设2(,2)A t t , 因为抛物线C 在点A 处的切线不为0,故可设抛物线C 在点A 处的切线方程为()22x t m y t -=-,所以224(2)y x x t m y t ⎧=⎨-=-⎩有且只有一组解, 所以方程224480y my t mt --+=只有一个根, 所以221632160m mt t -+=,故m t =,所以抛物线C 在点A 处的切线l 的方程为:20x ty t -+=,所以()4,0B 到直线l 的距离222222|4|431111t t d t ttt ++===+++++所以23d ≥,当且仅当2t =±时等号成立, 所以点()4,0B 到l 距离的最小值为23. 故选:B. 11.A 【解析】 【分析】判断命题,p q 的真假,根据复合命题的真假判断方法判断即可. 【详解】当0a b >≥时,22,a a a b bb ,又22a b >,所以a a b b , 当0a b 时,22,a a a b b b ,又22a b <,所以a ab b ,当0a b >>时,0a ab b ,所以当a b >时,a ab b ,故命题p 为真命题,由方程()()11x a x +-=只有一个实根等价于方程11x a x +=-只有一个实根, 所以函数y x a =+与函数1||1y x =-的图象有且只有一个交点, 1(0,1)(1,)11=11(,1)(0,1)1x x y x x x ∞∞⎧∈⋃+⎪⎪-=⎨-⎪∈--⋃⎪--⎩,作函数1||1y x =-的图象,观察图象可得当直线y x a =+位于12,l l 之间时,函数y x a =+与函数1||1y x =-的图象有且只有一个交点, 其中1l 与1(10)1y x x =-<<--有且只有一个交点,设11:l y x a =+ 即111(0)1x a a x +=<--只有一个解, 所以211(1)10x a x a ++++=只有一个解,所以211(1)4(1)0a a +-+=,所以11a =-2l 与1(1)1y x x =<---有且只有一个交点, 即221(0)1x a a x +=>--只有一个解, 所以222(1)10x a x a ++++=只有一个解,所以222(1)4(1)0a a +-+=,所以23a =,所以方程()()11x a x +-=只有一个实根,则13a -<<,命题q 为真命题, 所以p q ∧为真命题,命题p q ⌝∧,p q ⌝∧⌝,p q ∧⌝为假命题. 故选:A. 12.C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得,sin 3sin sin C A B =,由基本不等式可求出()2a b ab+的最小值,再根据余弦定理以及正弦定理可将()2a b ab+化成关于角C 的函数,利用三角函数的性质即可求出最大值,从而得到取值范围.【详解】因为cos 3sin cos a B b A b A =-,由正弦定理得sin cos 3sin sin sin cos A B B A B A =-,即sin 3sin sin C A B =.()222244a b a b ab ababab ab+++=≥=,当且仅当a b =时取等号.因为2222cos c a bab C =+-,所以()2222222cos 222cos a b a b ab c ab C c C abab ab ab++++==+=++()2sin22cos 3sin 2cos 22sin sin CC C C C φA B=++=++++,其中2πtan ,0,32ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,而0πC <<,所以当π2C ϕ+=时,()2a b ab +取最大值2()2a b ab+的取值范围是4,2⎡⎣. 故选:C . 【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用,以及利用三角函数的性质求范围,解题关键是通过消元思想将所求式子转化成关于角C 的函数,再结合辅助角公式求出其最大值. 13.36 【解析】 【分析】根据表达式由2v 与1v 的关系求解即可. 【详解】因为05v =,154v x =-,3x =, 所以111v =,又213v v x =+, 所以236v =, 故答案为:36. 14.(1,)((2222-⋃-⋃ 【解析】 【分析】直线与双曲线有两个交点即联立方程后判别式要大于0,且直线不与渐近线平行. 【详解】联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y :22(12)440---=k x kx ,22Δ1616(12)0k k =+->, 得到11k -<<,又直线1y kx =+不与渐近线y =平行,所以(1,(k ∈-⋃⋃.故答案为:(1,((2222--⋃-⋃. 15【解析】 【分析】连接CM 并延长交DA 的延长线于点N ,则可得l 即为直线PN ,然后可得PND ∠或其补角为异面直线l 与BC 所成角,设3=6PA AB AM ==,然后在PAN △中利用余弦定理求解即可. 【详解】连接CM 并延长交DA 的延长线于点N ,则点N 为平面P AD 与平面PMC 的公共点, 所以l 即为直线PN ,因为//BC AD ,所以PND ∠或其补角为异面直线l 与BC 所成角, 设3=6PA AB AM ==, 由NAMNDC 可得13NA AM ND DC ==,所以3,9NA ND ==, 在PAN △中,由余弦定理可得22212cos 369263632PN PA NA PA NA PAN ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以37PN =所以222cos 223737PN NA PA PNA PN NA +-∠===⋅⨯⨯,所以3sin 7PNA ∠=,3tan PNA ∠=所以异面直线l 与BC 3316.2e2e a <- 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求出m ;将此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方,转化为231e x x x a ++<恒成立,再构造函数231()e xx x g x ++=,利用导数求出最小值即可得解.【详解】由ln y m x =+得1y x'=, 设曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线的切点为00(,ln )x m x +,则切线的斜率为01x ,切线方程为0001ln ()y m x x x x --=-, 由于该切线过点(2,0)-,所以002ln 1m x x --=--, 设该切线与曲线e x y =切于11(,)x y ,因为e x y =,所以e x y '=,所以该切线的斜率为1e x ,所以切线方程为111e e ()x xy x x -=-,将(2,0)-代入得1110e e (2)x x x -=--,得11x =-,所以1011e e x x ==,所以0e x =,所以ln e=m --21e--,所以2e m =. 由以上可知该公切线方程为11(1)e e y x -=+,即12e e y x =+,若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方,则21212e (3)1e e e e x x a x x +>-+-+-,即231e xx x a ++<恒成立, 令231()e x x x g x ++=,则()22(23)e (31)e ()e x x x x x x g x +⋅-++⋅'=22e xx x --+=, 令()0g x '>,得220x x --+>,得21x -<<, 令()0g x '<,得220x x --+>,得2x <-或1x >,所以()g x 在(,2)-∞-上单调递减,在(2,1)-上单调递增,在(1,)+∞上单调递减, 因为0x >时,()0>g x ,所以当2x =-时,()g x 取得最小值2(2)e g -=-. 所以2e a <-. 【点睛】关键点点睛:求解第二个空时,转化为不等式恒成立,利用导数求解是解题关键. 17.(1)列联表见解析,有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关. (2)分布列见解析,()32E X =. 【解析】 【分析】(1)根据调查表即可完成列联表,再通过比较2K 的观测值与5.024的大小关系,即可判断; (2)根据题意可知,13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭,即可得到分布列以及数学期望. (1) 由题可知,2K 的观测值()210025101550505.556 5.024*********k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯, 所以有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关. (2)由题意可知,从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取1人,打算购买哈尔滨红肠的概率为12p =,所以13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即()333C 1C ,0,1,2,328kk P X k k ⎛⎫==== ⎪⎝⎭. 所以()()()()13310,1,2,3P X P X P X P X ========,X 的分布列为()13322E X np ==⨯=. 18.(1)证明见解析(2) 【解析】 【分析】(1)取AD ,DE ,BC 的中点O ,M ,N ,连接OM ,MF ,FN ,证明OM FN ∥,即可根据线面平行的判定定理证明结论;(2)建立空间直角坐标系,求得相关点的坐标,求出平面EAF 和平面ACF 的法向量,根据向量的夹角公式求得答案. (1)证明:如图,取AD ,DE ,BC 的中点O ,M ,N ,连接OM ,MF ,FN ,则1,2MD CF MD ED FC ==∥,故四边形MDCF 为平行四边形, 所以,MF CD MF CD =∥因为,ON CD ON CD =∥ ,故,MF ON MF ON =∥, 故四边形OMFN 为平行四边形, 则OM FN ∥, 因为OM AE ∥, 所以AE FN ∥又FN ⊂平面BCF ,AE ⊄平面BCF , 故AE ∥平面BCF ; (2)因为平面EAD ⊥平面ABCD ,连接EO ,则⊥EO AD , 平面EAD 平面ABCD=AD ,故EO ⊥平面ABCD , 连接OB ,BD , 因为π3DAB ∠=,四边形ABCD 为菱形, 故三角形ABD 为正三角形,则OB AD ⊥ ,故以O 为坐标原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OE 为z 轴,建立空间直角坐标系,设2AE =,则33(1,0,0),(003),(230),(32A E C F --,,,,,, ,则53(1,0,3),(,3,),(3,22AE AF AC =-=-=- ,设平面EAF 的法向量为111(,,)m x y z= ,则00mAE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即111110502x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ , 取1x ,则112,1y z == ,即(3,2,1)m =,设平面ACF 的法向量为222(,,)n x y z =,则00nAF n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2222250230x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩, 取2x =,则223,1y z ==- ,即3,3(),1n =-, 故226cos ,13m n m n m n⋅==⋅, 由原图可知二面角E AF C --为钝角,故二面角E -AF -C 的余弦值为. 19.(1)证明见解析(2)16(23)2n n S n +=+-⋅;证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意得15823n n n a a a +-=-,由1111222n n n n b b a a ++-=-=--,结合等差数列的定义可证结论成立; (2)利用错位相减法求出n S ,根据n S 的解析式可证当2n ≥时,6n S >. (1)因为点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上,所以15823n n n a a a +-=-,因为13a =,所以11111232b a ===--, 因为11111158222223n n nn n n n b b a a a a a ++-=-=-------231222n n n a a a -=-=--, 所以数列{}n b 是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)得1(1)221n b b n n =+-⋅=-, 所以1221)22(n n b n n c b n +=⋅=-⋅,所以123123252(212)n n n S =⨯+⨯+⨯++-⋅,3124123252(21)22n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⋅, 所以231222(222)(21)2n n n n S S n +-=++++--⋅,所以114(12)22(21)212n n n S n -+--=+⨯--⋅-16(32)2n n +=-+-⋅,所以16(23)2n n S n +=+-⋅,当2n ≥时,230n ->, 所以6n S >.20.(1)221169x y +=(2)存在定点9(0,)2N ,使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立.【解析】 【分析】(1)设动圆E 的半径为1r ,得到112117EC r EC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,得到128EC EC +=,根据椭圆的定义得到动圆圆心E 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆,进而求得椭圆的方程;(2)设直线l 的方程为2y kx =+,当0k =时,得到MA MB =,得出点N 在y 轴上,可设点(0,)N k ,联立方程组,设1122(,),(,)A x y B x y ,得到1212,x x x x +,根据题意,只需使得y 轴为ANM ∠的平分线,则0NA NB k k +=,结合斜率公式,列出方程求得k 的值,即可求解. (1)解:由题意,圆1C:(221x y +=,圆2C:(2249x y +=,可得圆心坐标分别为12(C C ,半径分别为1,7r R ==, 设动圆E 的半径为1r ,因为动圆E 与圆1C 外切并且与圆2C 内切,可得11121117EC r r r EC R r r ⎧=+=+⎪⎨=-=-⎪⎩,两式相加12128EC EC C C +=>=根据椭圆的定义可得,动圆圆心E 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆,且28,227a c ==,即4,7a c ==,则229b a c =-=, 所以动圆圆心E 的轨迹方程为221169x y +=.(2)由题意,设过点()0,2M 的直线l 的方程为2y kx =+,当0k =时,可得直线l 的方程为2y =,可得点,A B 关于y 轴对称,可得MA MB =,要使得NA MB NB MA ⋅=⋅成立,即1NA MA NBMB==成立,此时点N 在y 轴上,可设点(0,)N k 且2k ≠,当0k ≠时,联立方程组2221169y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得22(916)64800k x kx ++-=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则1212226480,916916k x x x x k k --+==++, 要使得NA MB NB MA ⋅=⋅成立,即NA MA NBMB=成立,则只需使得y 轴为ANM ∠的平分线,只需0NA NB k k +=, 即12120y k y kx x --+=,即()()21120x y k x y k -+-=成立, 所以()()2112220x kx k x kx k +-++-=,即12122(2)()0kx x k x x +-+=, 则2280642(2)0916916kk k k k ⋅+-⋅=++,整理得2290k k -=, 解得92=k 或0k =(舍去), 综上可得,存在与M 不同的定点9(0,)2N ,使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立.21.(1)答案见解析 (2)证明见解析(3)1a ≥ 【解析】 【分析】(1)根据函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式的公式即可求解;(2)把e x 在0x =处的泰勒展开式中的x 替换为i x ,利用复数的运算法则进行化简整理可得i e co n i s si x x x =+⋅,从而即可证明;(3)根据sin x 在0x =处的泰勒展开式,先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭恒成立,再证30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,31ln(1)6x x x ->+恒成立,然后分1a ≥和1a <两种情况讨论即可求解. (1)解:因为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式为()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅(其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数),所以e x ,sin x ,cos x 在0x =处的泰勒展开式分别为: 211e 12!!x nx x x n =+++++,1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-,24211(1)cos 12!4!(2)!n n x x x x n +-=-+++;(2)证明:把e x 在0x =处的泰勒展开式中的x 替换为i x ,可得234i 1111e 1()()()i i i i i ()()2!3!4!!x n x x x x x n =+++++++1242352111(1)11(1)12!4!(2)!3!5!(21)!i n n nn x x x x x x x n n --⎛⎫⎛⎫--=-+++++⋅-++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭s i cos in x x =+⋅, 所以i 1i e cos sin πππ=+⋅=-,即i e 10π+=; (3)解:由sin x 在0x =处的泰勒展开式,先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭,令3211()sin ,()cos 1,()sin 62f x x x x f x x x f x x x =-+'=-+''=-, ()1cos f x x '''=-,易知()0f x '''>,所以()f x ''在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以()(0)0f x f ''>''=,所以()f x '在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()(0)0f x f '>'=, 所以()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()(0)0f x f >=, 再令31()ln(1)6g x x x x =--+,30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,易得1(1)(2)2()1x x x g x x --+'=+, 所以()g x 在(0,1)上单调递增,在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 而3155(0)0ln 02162,g g ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭, 所以30,,()02x g x ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭恒成立, 当1a ≥时,31sin sin ln(1)6a x x x x x ≥>->+ ,所以sin e 1a x x >+成立, 当1a <时,令()sin ln(1)h x a x x =-+,30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,易求得(0)10h a '=-<, 所以必存在一个区间(0,)m ,使得()h x 在(0,)m 上单调递减,所以(0,)x m ∈时,()(0)0h x h <=,不符合题意.综上所述,1a ≥.【点睛】关键点点睛:本题(3)问解题的关键是根据sin x 在0x =处的泰勒展开式,先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭恒成立,再证30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,31ln(1)6x x x ->+恒成立,从而即可求解. 22.(1)12【解析】【分析】(1)将1C 和2C 的方程化为直角坐标方程,根据圆心到直线的距离减去圆的半径可得结果; (2)根据图象变换求出4C ,再根据椭圆的参数方程设点,利用点到直线的距离公式可求出结果.(1)由12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去α得22(1)(4x y -+=, 由2sin 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin cos 1θρθ+=-,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入得10x +=,所以曲线1C 上的点与直线2C 2=12.(2)依题意可得3:C 224x y +=,4:C 2244x y +=,在4C 上设点(2cos ,sin )θθ,则该点到2:10C x +=的距离d ==,其中cos ϕ=,sin ϕ所以当sin()1θϕ+=时,d所以曲线4C 上的点到直线2C 23.(1)证明见解析;(2)2【解析】【分析】(1)根据绝对值三角不等式即可证出;(2)由二次函数的最值可得242m n +=,再根据基本不等式即可求出.(1)因为()1111f m n ≤⇔+-≤,()22422f m n ≤⇔+-≤,所以()()()()7511312231227m n f f f f -+=+≤+≤.(2)因为函数()22224m m f x x mx n x n ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭的最小值为24m n --,所以2142m n --=-,即242m n +=,所以223411ab bc ac m n ++=+-=.因此()()()222222222425324623a b b c a c a a b bc c b c a =+++++≥+++=+,当且仅当a b c ===时等号成立,故222435a b c ++的最小值为2.。

吉林市普通中学2022—2023学年度高三毕业年级第四次调研数学参考答案

吉林市普通中学2022—2023学年度高三毕业年级第四次调研数学参考答案

吉林市普通中学2022—2023学年度高三毕业年级第四次调研测试数学试题参考答案一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.12345678BACDAABB二、多项选择题:本大题共4小题,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.教学提示:4.选项D ,可以参考人教A 版选择性必修三第82~81页,探究与发现《二项分布的性质》,研读如何利用分布列的表达式研究k P 的增减变化及最大值,并掌握当P n )1(+为正整数及非正整数时k 的取值情况.5.①针对函数xxln )x f =(,了解函数图象的变化情况(指导学生阅读人教A 版选择性必修二第68页例4和第89页例4),体会极值点左侧图象“陡峭”,右侧图象“平缓”,如图所示:)3()3(2ef f >②利用极值点偏移,对于函数xx ln x f =)(,当)()(21x f x f =且21x x ≠时,221e x x >.设)()3(02x f e f =且320e x ≠则⇒>2203e e x )3()3()3()(3200f e f f x f x <⇒<⇒>补充:程度较好的学生熟练掌握六种经典函数图象(单调性、极值点、零点):xx xex y ,x ln x y ,x e y ,x x ln y ,xe y ,x ln x y ======7.法一:由杨辉三角中观察得可得2010631=+++.推广,得到3221242322++=++++n n C C C C C 即322)1(243232221+=+++⨯+⨯+⨯n C n n 由题意,2021层“刍童垛”小球的总个数为)1(22023202254433232024-=⨯++⨯+⨯+⨯=C S 法二:指导学生阅读人教A 版选择性必修二第42~43页,阅读与思考《中国古代数学家求数列和的方法》.可以结合人教A 版选择性必修三39~42页数学探究《杨辉三角的性质与应用》,探索堆垛问题以及高阶等差数列的求和方法.由已知顶层6个圆球,设为321⨯=a ,向下每边依次加1个,第n 层23)2()1(2++=+⨯+=n n n n a n 个.利用分组求和法,得到n 层“刍童垛”小球的总个数为9101112ACADADABC2223)3)(2)(1(23]65)[1(222)1(236)12)(1(2)21(3)21(23)2232()2131(232222222-=-+++=-+++=-++++++=++++++=+++++⨯+++⨯+=+n n C n n n n n n n n n n n n n n n n n S 即2021层“刍童垛”小球的总个数为2232024-=C S .11.统计数据来源于国家统计局网站,选项的命制主要根据网站公布数据的解释说明.为使学生深刻体会数学的实用性,结合本题的实际特点,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体会合理使用统计图表的重要性.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.其中第16题的第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.13.314.115.2116.π6;33643332[,(注:可以用不等关系表示)教学提示:16.过P 作⊥PH 平面ABC 垂足为H ,则3060=∠=∠PBH ,PAH 333==∠==∠BH PH PBH tan ,AH PH PAH tan AHBH 3=∴H ∴点轨迹是半径为3的圆(阿波罗尼斯圆),即轨迹长为π6易知]3432[3]42[,AH PH ,AH ∈=∴∈,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=⨯⨯⨯⨯=∴33643332316)8421(31,PH PH V 四、解答题17.【解析】(Ⅰ)由bac A sin 26+=+)(π,得:ac A cos b A sin b +=+3由正弦定理,得A sin B A sin A sin C sin B sin A cos B sin A sin ++=+=+)(3整理得:Asin B cos A sin B sin A sin +=3因为0≠A sin ,所以13+=B cos B sin ···································································3分两边平方得,消B sin ,得0122=-+B cos B cos 解得:21=B cos 或1-=B cos (舍去)又)0(π,B ∈,所以3π=B ························································································5分(也可化简为21)6(=-πB sin 求得B )(Ⅱ)法一:因为212222=-+=ac b c a B cos 且332==B sin b 所以:ac c a =-+922·····························································································7分所以9439322++≤+=+)()(c a ac c a 所以6≤+c a ,当且仅当3==c a 时,取“=”号所以△ABC 的周长9≤++c b a ,即当3==c a 时,△ABC 的周长最大值为9······························································10分法二:设△ABC 的外接圆半径为R ,因为R Csin cB sin b A sin a 2===,所以A sin A sin R a 322==,32==B sin R b ,A sin A cos A sin AB sinC sin C sin R c 3333232322+=+=+===)()(π······7分所以△ABC 的周长Asin A cos A sin c b a 33332+++=++3333++=A sin A cos 366++=)(πA sin 因为(320π,A ∈,所以)(6566π,πA ∈+π当3π=A 时,(6π+A sin 的最大值1,此时△ABC 的周长的最大值为9························10分(注:没有写清取等条件扣1分)18.【解析】(Ⅰ)对于有放回抽检,每次抽到混合动力汽车的概率为41,且各次抽检结果是独立的,设1X 为有放回抽检的混合动力汽车的台数,则)41,2(~1B X ,1X 可取2,1,0,169)43()0(21===X P ;834143)1(121=⨯⨯==C X P ;161)41()2(21===X P .1X 的分布列如下:1X 012P16983161则2116128311690)(1=⨯+⨯+⨯=X E ········································································4分对于不放回抽检,各次抽检的结果不独立,设2X 为不放回抽检的混合动力汽车的台数,则2X 服从超几何分布,2X 可取2,1,0,476267)0(21202902===C C X P ;476180)1(21201901302===C C C X P ;47629)1(21202302===C C X P .2X 的分布列如下:2X 012P47626747618047629则2147629247618014762670)(2=⨯+⨯+⨯=X E .·······························································8分注:也可按照下面步骤作答.1X 的分布列为2,1,0,)41()43()(221===-k C k X P k k k ,21412)(1=⨯=X E .2X 的分布列为2,1,0,)(2120290302===-k C C C k X P k k ,21120302)(2=⨯=X E .(Ⅱ)样本中混合动力汽车的比例1010Yf =是一个随机变量,根据参考数据,有放回抽取:865560146000250280281570187710)41()150250(10.....Y P .|.f |P =+++≈≤≤=≤-不放回抽取:881400147010261340290510182540)41()150250(10.....Y P .|.f |P =+++≈≤≤=≤-·····················································································································10分因为88140.086556.0<,所以,在相同的误差限制下,采用不放回抽取估计的结果更可靠.······························12分(注:(Ⅱ)问,可以参考人教A 版选择性必修三第79页例6,分别就放回抽样和不放回抽样,用样本中的某类品的比例估计总体中这类品的比例,定量地比较估计效果,用概率的方法解释直观常识。

山东省栖霞市2024届高三阶段性测试(四)数学试题

山东省栖霞市2024届高三阶段性测试(四)数学试题

山东省栖霞市2024届高三阶段性测试(四)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图,若32a =,12b =,则输出的n =( )A .3B .4C .5D .62.函数的定义域为( )A .[,3)∪(3,+∞)B .(-∞,3)∪(3,+∞)C .[,+∞)D .(3,+∞)3.已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则34x y +的最小值为( )A .2B .3C .4D .54.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ,一条渐近线方程为:b l y x a=-,过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ,满足11122OP OF OQ =+,则该双曲线的离心率为( ) A .10B .3C .5D .25.已知集合M ={y |y =,x >0},N ={x |y =lg (2x -)},则M∩N 为( ) A .(1,+∞)B .(1,2)C .[2,+∞)D .[1,+∞)6.已知直线l :310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点,与圆2C :()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--,使得AC DB =,则椭圆1C 的离心率的取值范围为( )A .3633⎣⎦B .3,1)3C .3]D .6[7.设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点,且12x x -的最小值为1,则ω=( ) A .πB .2π C .3π D .4π 8.三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上,且ABC ∆是等边三角形,SA ⊥底面ABC ,4SA =,6AB =,若点D 在线段SA 上,且2AD SD =,则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为( ) A .3πB .4πC .8πD .13π9.已知变量x ,y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2x y -的最小值为( )A .4-B .2-C .0D .410.已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===,则,,a b c 的大小关系是( )A .a b c <<B .c a b <<C .a c b <<D .b c a <<11.已知向量(22cos 3m x =,()1,sin2n x =,设函数()f x m n =⋅,则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A .关于直线12x π=对称B .关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C .周期为2πD .()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数12.设1F ,2F 分别为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点,过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ,若212PF PF =,则双曲线的离心率为( ) A .2B .3C .5D .6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题

2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题

2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3C π=,若()m c a b =-,(,n a b c =-,且//m n ,则ABC ∆的面积为( )A .3B .2C .2D .2.设函数()()sin f x x ωϕ=+(0>ω,0ϕπ<≤)是R 上的奇函数,若()f x 的图象关于直线4x π=对称,且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数,则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A B .-C .12 D .12- 3.已知等边△ABC 内接于圆τ:x 2+ y 2=1,且P 是圆τ上一点,则()PA PB PC ⋅+的最大值是( )A B .1 C D .24.已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是双曲线E 上的一点,且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ,且M 为2PF 的中点,则双曲线E 的渐近线方程为( )A .13y x =±B .12y x =±C .2y x =±D .3y x =±5.已知复数z 满足()1i +z =2i ,则z =( )A B .1 C .2 D .126.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A .甲、乙、丙B .乙、甲、丙C .丙、乙、甲D .甲、丙、乙7.点O 为ABC ∆的三条中线的交点,且OA OB ⊥,2AB =,则AC BC ⋅的值为( )A .4B .8C .6D .128.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈(1丈=10尺), 现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为( )尺.A .5.45B .4.55C .4.2D .5.89.已知i 为虚数单位,若复数12z i =+,15z z ⋅=,则||z =A .1B 5C .5D .5510.一辆邮车从A 地往B 地运送邮件,沿途共有n 地,依次记为1A ,2A ,…n A (1A 为A 地,n A 为B 地).从1A 地出发时,装上发往后面1n -地的邮件各1件,到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件,同时装上该地发往后面各地的邮件各1件,记该邮车到达1A ,2A ,…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =….则k a 的表达式为( ).A .(1)k n k -+B .(1)k n k --C .()n n k -D .()k n k -11.已知向量(,4)a m =-,(,1)b m =(其中m 为实数),则“2m =”是“a b ⊥”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件12.已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点,若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ,则双曲线C 的离心率为( ) A 2 B 5 C 3 D .2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三上学期教学质量检测(四)理科数学试题(解析版)

陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三上学期教学质量检测(四)理科数学试题(解析版)
17.在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 ,且 的外接圆的半径为 .
(1)证明: ;
(2)若 ,求 的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据正弦定理角化边可证;
(2)先求得 ,再根据 计算面积.
【小问1详解】
证明:∵外接圆半径为 ,且 ,
∴ ,
由正弦定理得


∵ ,
∴当 时, ,
∴ ,
∴ ,
故等比数列 的公比q=3,
令n=1,得 ,
∴ ,
∴ ;
【小问2详解】
由题可知 ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
19.已知函数 .
(1)求不等式 的解集;
(2)不等式 的最小值为 ,若 , 为正数,且 ,证明: .
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)利用零点分段法去绝对值,由此求得不等式 的解集.
【答案】
【解析】
【分析】设出 , , ,结合题干条件得到 , ,从而求出四棱台的体积和外接球的体积,得到比值.
【详解】设 , , ,
因为以 为球心, 为半径的球与平面 相切,所以 ,
因为 是该四棱台的外接球球心,所以 ,即 ,
所以四棱台的体积 ,
且外接球 体积 ,则 .
故答案为: .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
由上知 ,有 (当且仅当 时取等号),
又有 ,(当且仅当 时取等号),
故有 .
【点睛】基本不等式的运用,常见的有 ,也即 ,要注意等号成立的条件.
20.如图,在四棱锥 中,底面 为直角梯形, 底面AB ,且 分别为 中点.

2023—2024学年湘豫名校联考高三下学期第四次模拟考试数学试卷

2023—2024学年湘豫名校联考高三下学期第四次模拟考试数学试卷

2023—2024学年湘豫名校联考高三下学期第四次模拟考试数学试卷一、单选题(★★★) 1. 在复数范围内方程的两个根分别为,,则()A.1B.C.D.(★★) 2. 已知集合,,则()A.B.C.D.(★) 3. 已知椭圆与矩形的四条边都相切,若,,则的离心率为()A.B.C.D.(★★) 4. 已知,则()A.B.C.D.(★★★) 5. 在某次游戏中,甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶,两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5,0.4,且两人是否中靶互不影响,若弓箭靶被射中,则只被甲射中的概率为()A.B.C.D.(★★) 6. 如图,,和,分别是函数图象的两个最低点和两个最高点,若四边形的面积为,且在区间上是单调函数,则实数的最大值是()A.B.C.D.(★★★) 7. 已知函数,则满足的x的取值范围为()A.B.C.D.(★★) 8. 中国古代建筑中重要的构件之一——柱(俗称“柱子”多数为木造,属于大木作范围,其中,瓜棱柱是古建筑木柱的一种做法,即木柱非整根原木,而是多块用榫卯拼合而成.宁波保国寺大殿的瓜棱柱,一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式,即在一根木柱周围,根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的柱子,图1为“包镶式瓜棱柱”,图2为此瓜棱柱的横截面图,中间大圆木的直径为,外部八根小圆木的直径均为,所有圆木的高度均为,且粗细均匀,则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为()A.B.C.3D.二、多选题(★★★) 9. 已知为实数,随机变量,且,则()A.B.C.D.(★★★) 10. 已知四棱锥的底面ABCD是边长为4的正方形,P A⊥平面ABCD,且,E,F,G分别为PB,PD,BC的中点,点Q是线段P A上靠近点P的四等分点,则()A.平面PCDB.直线FG与AB所成的角为30°C.D.经过E,F,G的平面截四棱锥所得到的截面图形的面积为(★★★★) 11. 已知抛物线,点为上一点,直线l与交于B,C两点(异于A点),与x轴交于M点,直线AC与AB的倾斜角互补,则()A.线段BC中点的纵坐标为B.直线l的倾斜角为C.当时,M点为的焦点D.当直线l在y轴上的截距小于3时,△ABC的面积的最大值为三、填空题(★★)12. 已知向量,,若在上的投影向量为,则的值为 ______ .(★★★) 13. 设是各项均为正数的等比数列的前n项和,若,则 ______ .(★★★★) 14. 已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为,则集合中元素的个数为 ______ .四、解答题(★★★) 15. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)证明:;(2)若,△ABC的面积为,求b.(★★★) 16. 如图,在三棱锥中,平面平面,和均为等腰直角三角形,且,.(1)证明:平面平面;(2)设,,若平面与平面夹角的余弦值为,求实数的值.(★★★) 17. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子次,第次抛掷落地时朝上的点数记为,.(1)若,记出现为奇数的次数为,求随机变量的分布列和期望;(2)若,求事件“”的概率.(★★★★★) 18. 已知为坐标原点,双曲线的左、右焦点分别为,,过上一点作的两条渐近线的平行线,分别交轴于,两点,且,内切圆的圆心到轴的距离为.(1)求的标准方程;(2)(ⅰ)设点为上一点,试判断直线与C的位置关系,并说明理由;(ⅱ)设过点的直线与交于,两点(异于的两顶点),在点,处的切线交于点,线段的中点为,证明:,,三点共线.(★★★★★) 19. 在平面直角坐标系中,定义:如果曲线和上分别存在点,关于轴对称,则称点和点为和的一对“关联点”.(1)若上任意一点的“关联点”为点,求点所在的曲线方程和的最小值;(2)若上任意一点的“关联点”为点,求的最大值;(3)若和在区间上有且仅有两对“关联点”,求实数的取值范围.。

陕西省榆林市2023届高三下学期第四次模拟考试 数学(理) PDF版含解析

陕西省榆林市2023届高三下学期第四次模拟考试 数学(理) PDF版含解析

绝密★启用前榆林市2022~2023年度第四次模拟考试数学试题(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(杨宪伟老师工作坊)集合P ={-2,2},集合Q ={-1,0,2,3},则P ∪Q =()(A)[-2,3](C){2}(B){-2,-1,0,2,3}(D){-2,-1,0,3}2.(杨宪伟老师工作坊)复数z =(1-i)(3+i),则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28-x 26=1的一条渐近线方程为()(A)3x -4y =0(B)4x -3y =0(C)3x +2y =0(D)2x -3y =04.(杨宪伟老师工作坊)若tan(α+π4)=15,则tan α=()(A)-23(B)23(C)-13(D)135.(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )=x 2-e -ax (a ∈R ),若f (x )的图象在x =0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1,则a =()(A)12(B)2(C)±2(D)±126.(杨宪伟老师工作坊)将函数y =cos2x 的图象向右平移π20个单位长度,再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),所得图象的一条对称轴为x =()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π207.(杨宪伟老师工作坊)已知a =log 32,b =0.30.5,c =0.5-0.4,则()(A)c<b<a(B)c<a<b(C)a<b<c(D)b<c<a 8.(杨宪伟老师工作坊)(5x2+8x)9的展开式中含x3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84 9.(杨宪伟老师工作坊)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BB1,CD的中点,则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)3210.(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动,经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛,把他们的成绩(满分100分)分成[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]共五组,并得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为40.分析样本数据后,发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差.若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯,则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据:随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0. 9545,119≈10.9.(A)15(B)16(C)34(D)3511.(杨宪伟老师工作坊)已知球O的内接三棱锥P-ABC的体积为6,且PA,PB,PC的长分别为6,3,2,则三棱锥A-BOC的体积为()(A)2(B3(C)4(D)612.(杨宪伟老师工作坊)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且g(x)=2f(x+1)-2,2f(x)+g(x-3)=2.若y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=3,现有四个结论:①g(0)=4;②4为g(x)的周期;③g(x)的图象关于点(2,0)对称;④g(3)=0.其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(杨宪伟老师工作坊)已知向量a=(3,2),b=(λ,-4),若a⊥(a-b),则λ=▲.14.(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化,也是中华民族的文化瑰宝,它源远流长,趣味浓厚,基本规则简明易懂.张三和李四下棋,张三获胜的概率是13,和棋的概率是14,则张三不输的概率为.15.(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C:y2=4x的顶点为O,经过过点A,且F为抛物线C 的焦点,若|AF|=3|OF|,则△OAF的面积为.16.(杨宪伟老师工作坊)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=3bc,sin C=2sin B,则A=▲.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n}中,a1+a5=7,a6=132.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{1a n a n+1}的前n项和为S n.18.(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择.某社区开展有关垃圾分类的知识测试.已知测试中有A,B两组题,每组都有4道题目,甲对A组其中3道题有思路,1道题完全没有思路.有思路的题目每道题做对的概率为23,没有思路的题目,只好任意猜一个答案,猜对的概率为14.甲对B组每道题做对的概率为0.6,甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题.(1)若甲选择从A组中任选2道题,设X表示甲答对题目的个数,求X的分布列和期望;(2)以答对题目数量的期望为依据,判断甲应该选择哪组题答题.19.(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D-ABC中,已知AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD,2AB=AC=AD=4,E为AB的中点,F为AC的中点,G为CD的中点.(1)证明:AD ∥平面EFG .(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值.20.(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )=12x 2-3ax +2a 2ln x ,a ≠0.(1)讨论f (x )的单调区间;(2)若f (x )有3个零点,求a 的取值范围.21.(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为34,左、右焦点分别为F 1,F 2,短轴长为27.(1)求椭圆C 的方程.(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点,直线PF 1,PF 2与直线x =5分别交于A ,B 两点,记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1,S 2,若S 1S 2=913,求|AB |.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂22.(杨宪伟老师工作坊)[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x +y =5,圆M 以(3,0)为圆心且与l 相切.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆M 的极坐标方程;(2)若射线θ=α(0<α<π2,ρ>0)与圆M 交于点A ,B 两点,且1|OA |+1|OB |=17,求直线AB 的直角坐标方程.23.(杨宪伟老师工作坊)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +2|的最小值为M .(1)解关于x 的不等式f (x )<M +|2x +2|;(2)若正数a ,b 满足a 2+2b 2=M ,求2a +b 的最大值.榆林市2022~2023年度第四次模拟考试数学试题解析(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(杨宪伟老师工作坊)集合P ={-2,2},集合Q ={-1,0,2,3},则P ∪Q =()(A)[-2,3](C){2}(B){-2,-1,0,2,3}(D){-2,-1,0,3}【答案】B【解析】因为集合P ={-2,2},集合Q ={-1,0,2,3},所以P ∪Q ={-2,-1,0,2,3},故选(B).2.(杨宪伟老师工作坊)复数z =(1-i)(3+i),则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D【解析】因为z =(1-i)(3+i)=4-2i ,所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限,故选(D).3.(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28-x 26=1的一条渐近线方程为()(A)3x -4y =0(B)4x -3y =0(C)3x +2y =0(D)2x -3y =0【答案】D【解析】令y 28-x 26=0,可得:2x ±3y =0,故选(D).4.(杨宪伟老师工作坊)若tan(α+π4)=15,则tan α=()(A)-23(B)23(C)-13(D)13【答案】A 【解析】解法1:因为tan(α+π4)=tan α+tanπ41-tan αtanπ4=tan α+11-tan α=15,所以tan α=-23,故选(A).解法2:tan α=tan(α+π4-π4)=tan(α+π4)-tanπ41+tan(α+π4)tanπ4=-23,故选(A).5.(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )=x 2-e -ax (a ∈R ),若f (x )的图象在x =0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1,则a =()(A)12(B)2(C)±2(D)±12【答案】D【解析】f (x )=x 2-e -ax ,f'(x )=2x +a e -ax ,所以f'(0)=a ,f (0)=-1,f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =ax -1,所以该切线与坐标轴围成三角形的面积12×1×1|a |=1,解得:a =±12,故选(D).6.(杨宪伟老师工作坊)将函数y =cos2x 的图象向右平移π20个单位长度,再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),所得图象的一条对称轴为x =()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π20【答案】C 【解析】解法1:将函数y =cos2x 的图象向右平移π20个单位长度,得到的是函数y =cos2(x -π20)=cos(2x -π10),再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12,得到的是函数y =cos(4x -π10),令4x -π10kπ(k ∈Z),解得:x =π40+kπ4(k ∈Z),故选(C).解法2:函数y =cos2x 的一条对称轴为x =0,将其向右平移π20个单位长度,再将横坐标缩小到原来的12,可得:x =π40,故选(C).7.(杨宪伟老师工作坊)已知a =log 32,b =0.30.5,c =0.5-0.4,则()(A)c <b <a (B)c <a <b(C)a <b <c(D)b <c <a【答案】C【解析】因为a =log 32∈(0,0.5),b =0.30.5∈(0.5,1),c =0.5-0.4∈(1,2),所以a <b <c ,故选(C).8.(杨宪伟老师工作坊)(5x 2+8x)9的展开式中含x 3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84【答案】B【解析】(5x2+8x)9的展开式中含x3项为C59(5x2)4(8x)5=C59·54·85x3,故选(B).9.(杨宪伟老师工作坊)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BB1,CD的中点,则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)32【答案】A【解析】取B1C1的中点E,连结ME,EN,则平面ME∥CC1,所以∠EMN即为异面直线MN与BC1所成角,在△EMN中,MN=EN=6,ME=2,cos∠EMN=ME2MN=36,故选(A).10.(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动,经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛,把他们的成绩(满分100分)分成[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]共五组,并得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为40.分析样本数据后,发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差.若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯,则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据:随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0. 9545,119≈10.9.(A)15(B)16(C)34(D)35【答案】B【解析】由题意:第三组的频率为0.4,第四组的频率为0.15,所以μ=50×0.1+60×0.25+70×0.4+80×0.15+90×0.1=69;σ2=(50-69)2×0.1+(60-69)2×0.25+(70-69)2×0.4+(80-69)2×0.15+(90-69)2×0.1=119,σ≈10.9,P (X >79.9)=1-P (μ-σ<X ≤μ+σ)2≈0.15865,此次竞赛获得优秀奖杯的人数为:100×0.15865≈16,故选(B).11.(杨宪伟老师工作坊)已知球O 的内接三棱锥P -ABC 的体积为6,且PA ,PB ,PC 的长分别为6,3,2,则三棱锥A -BOC 的体积为()(A)2(B3(C)4(D)6【答案】B【解析】V P -ABC =V C -P AB ≤13×12×PA ×PB ×PC =6,所以PA ,PB ,PC 互相垂直,而O 为三棱锥P -ABC V A -BOC =V O -ABC =12V D -ABC =12V P -ABC =3,故选(B).12.(杨宪伟老师工作坊)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,且g (x )=2f (x +1)-2,2f (x )+g (x -3)=2.若y =f (x )的图象关于直线x =1对称,且f (1)=3,现有四个结论:①g (0)=4;②4为g (x )的周期;③g (x )的图象关于点(2,0)对称;④g (3)=0.其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③【答案】C【解析】因为f (x ),g (x )的定义域均为R ,g (x )=2f (x +1)-2,f (1)=3,所以g (0)=2f (1)-2=4,①正确;又因为2f (x )+g (x -3)=2,所以2f (x +1)+g (x -2)=2,g (x )=-g (x -2),即:g (x )=g (x -4),故4为g (x )的周期,②正确;因为y =f (x )的图象关于直线x =1对称,2f (x )+g (x -3)=2,所以g (x -3)=g (x +1)关于直线x =1对称,g (x )关于直线x =2对称,③错误;而g (3)=-g (1)=g (1),所以g (3)=g (1)=0,④正确,故选(C).第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(杨宪伟老师工作坊)已知向量a =(3,2),b =(λ,-4),若a ⊥(a -b ),则λ=▲.【答案】7【解析】因为a ⊥(a -b ),所以(a -b )•a =0,即:a •b =a 2,3λ-8=13,λ=7.14.(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化,也是中华民族的文化瑰宝,它源远流长,趣味浓厚,基本规则简明易懂.张三和李四下棋,张三获胜的概率是13,和棋的概率是14,则张三不输的概率为.【答案】712【解析】P =13+14=712.15.(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C :y 2=4x 的顶点为O ,经过过点A ,且F 为抛物线C 的焦点,若|AF |=3|OF |,则△OAF 的面积为.【答案】2【解析】设A (x 0,y 0),则|AF |=x 0+1=3|OF |=3,x 0=2,|y 0|=22,故△OAF 的面积=12|y 0|=2.16.(杨宪伟老师工作坊)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a 2-b 2=3bc ,sin C =2sin B ,则A =▲.【答案】2π3【解析】因为sin C =2sin B ,所以c =2b ,又因为a 2-b 2=3bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =2bc -3bc2bc=-12,A =2π3.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n }中,a 1+a 5=7,a 6=132.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{1a n a n +1}的前n 项和为S n .【解析】(1)因为a 1+a 5=2a 3=7,所以a 3=72,而a 6=132,所以{a n }的公差d =a 6-a 36-3=1,a n =a 3+(n -3)d =2n +12;(2)1a n a n +1=4(2n +1)(2n +3)=2(12n +1-12n +3),S n =2(13-15+15-17+…+12n +1-12n +3)=2(13-12n +3)=4n6n +9.18.(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择.某社区开展有关垃圾分类的知识测试.已知测试中有A ,B 两组题,每组都有4道题目,甲对A 组其中3道题有思路,1道题完全没有思路.有思路的题目每道题做对的概率为23,没有思路的题目,只好任意猜一个答案,猜对的概率为14.甲对B 组每道题做对的概率为0.6,甲可以选择从A 组中任选2道题或从B 组中任选2道题.(1)若甲选择从A 组中任选2道题,设X 表示甲答对题目的个数,求X 的分布列和期望;(2)以答对题目数量的期望为依据,判断甲应该选择哪组题答题.【解析】(1)记甲选择从A 组中任选2道题,选到的2道题都有思路为事件M ,只有1道题有思路为事件N ,则P (M )=C 23C 24=12,P (N )=12.X 的可能取值为0,1,2.P (X =0)=12×(1-23)2+12×(1-23)×(1-14)=1372;P (X =1)=12×C 12×(1-23)×23+12×[23×(1-14)+(1-23)×14]=3772;P (X =2)=12×(23)2+12×23×14=1136;X 的分布列为:X 012P137237721136EX =0×1372+1×3772+2×1136=98.(2)设甲从B 组中任选2道题作答,答对题目数量为Y ,则Y ~B (2,0.6),EY =2×0.6=1.2>EX =98,故甲应该选择B 组题答题.19.(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D -ABC 中,已知AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,AC ⊥AD ,2AB =AC =AD =4,E 为AB 的中点,F 为AC 的中点,G 为CD 的中点.(1)证明:AD ∥平面EFG .(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值.【解析】(1)因为F 为AC 的中点,G 为CD 的中点,所以AD ∥GF ,又因为AD ⊄平面EFG ,GF ⊂平面EFG ,所以AD ∥平面EFG ;(2)解法1:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B (2,0,0),D (0,0,4),C (0,4,0),BC →=(-2,4,0),DC →=(0,4,-4),EF →=(-1,2,0),FG →=(0,0,2),设平面BCD 的法向量为n →=(x ,y ,z )•BC →=0•DC →=0x +2y =0-z =0,令y =1,则n →=(2,1,1),设平面EFG 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1),•EF →=0•FG →=0x 1+2y 1=01=0,令y 1=1,则m →=(2,1,0),cos<m →,n →>=m →•n →|m →||n →|=306,故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306.解法2:取BD 的中点H ,连结EH ,GH ,过点A 作AM ⊥BC 于M ,交EF 于N ,连结DM 交GH 于O ,连结ON ,则H ∈平面EFG ,因为AB ⊥AD ,AC ⊥AD ,所以AD ⊥平面ABC ,AD ⊥BC ,而AM ⊥BC ,所以BC ⊥平面ADM ,又因为BC ∥GH ,所以GH ⊥平面ADM ,而平面EFG ∩平面BCD =GH ,所以∠MON 平即为面BCD 与平面EFG 所成角,由(1)可得:AD ∥平面EFG ,平面EFG ∩平面ADM =ON ,所以AD ∥ON ,∠MON =∠ADM .而AM =AB •AC BC =455,DM =AM 2+AD 2=4305,cos ∠ADM =AD DM =306,故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306.20.(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )=12x 2-3ax +2a 2ln x ,a ≠0.(1)讨论f (x )的单调区间;(2)若f (x )有3个零点,求a 的取值范围.【解析】(1)因为f (x )=12x 2-3ax +2a 2ln x ,所以f'(x )=(x -a )(x -2a )x ,而a ≠0,所以当a >0时,f (x )的增区间为(0,a )和(2a ,+∞),减区间为(a ,2a );当a <0时,f (x )的增区间为(0,+∞),无减区间;(2)因为f (x )有3个零点,所以a >0,f (a )=2a 2(ln a -54)>0,f (2a )=2a 2(ln2a -2)<0,解得:e 54<a <e 22,此时f (1)=12-3a <0,f (6a )=2a 2ln6a >0,f (x )在(1,a )、(a ,2a )和(2a ,6a )各有1个零点,共有3个零点,满足题意,所以a 的取值范围为(e 54,e 22).21.(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为34,左、右焦点分别为F 1,F 2,短轴长为27.(1)求椭圆C 的方程.(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点,直线PF 1,PF 2与直线x =5分别交于A ,B 两点,记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1,S 2,若S 1S 2=913,求|AB |.【解析】(1)因为e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=1-7a 2=916,所以a 2=16,b 2=7,C 的方程为:x 216+y 27=1.(2)F 1(-3,0),F 2(3,0),设P (x 0,y 0)(0<x 0<4且x 0≠3),S 1S 2=|PA |·|PB ||PF 1|·|PF 2|=5-x 0x 0+3·5-x 0|x 0-3|=913,当x 0<3时,(5-x 0)29-x 20>1不成立,3<x 0<4时,(5-x 0)2x 20-9=913,解得:x 0=72,|y 0|=1058,此时S 1=12|AB |(5-x 0)=34|AB |=913S 2=913×3|y 0|,故|AB |=910526.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(杨宪伟老师工作坊)[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x +y =5,圆M 以(3,0)为圆心且与l 相切.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆M 的极坐标方程;(2)若射线θ=α(0<α<π2,ρ>0)与圆M 交于点A ,B 两点,且1|OA |+1|OB |=17,求直线AB 的直角坐标方程.【解析】(1)圆M 的半径r =|3+0-5|12+12=2,设P (ρ,θ)为圆M 上的任意一点,则在△OPM中,由余弦定理可得:2=ρ2+9-6ρcos θ,即:ρ2-6ρcos θ+7=0,故圆M 的极坐标方程为:ρ2-6ρcos θ+7=0;(2)令θ=α,可得:ρ2-6ρcos α+7=0,1|OA |+1|OB |=|OA |+|OB ||OA |·|OB |=6cos α7=17,解得:cos α=16,而0<α<π2,故tan α=35,直线AB 的直角坐标方程为y =35x .23.(杨宪伟老师工作坊)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +2|的最小值为M .(1)解关于x 的不等式f (x )<M +|2x +2|;(2)若正数a ,b 满足a 2+2b 2=M ,求2a +b 的最大值.【解析】(1)f (x )=|2x -1|+|2x +2|≥|(2x -1)-(2x +2)|=3,当x =-1时可取等号,故M =3,不等式f (x )<M +|2x +2|等价于|2x -1|<3,解得:-1<x <2,故原不等式的解集为(-1,2);(2)由柯西不等式可得:(a 2+2b 2)[22+(22)2]≥(2a +b )2,即:2a +b ≤362,当且仅当a =4b =263时取等号,故2a +b 的最大值为263.。

2024届湖北省长阳县一中高三下学期阶段性测试(四)数学试题

2024届湖北省长阳县一中高三下学期阶段性测试(四)数学试题

2024届湖北省长阳县一中高三下学期阶段性测试(四)数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设函数()f x 的定义域为R ,满足(2)2()f x f x +=,且当2(]0,x ∈时,()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞,都有40()9f x ≤,则m 的取值范围是( ). A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .(,7]-∞D .23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2.已知复数2(1)(1)i z a a =-+-(i 为虚数单位,1a >),则z 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知复数31iz i-=-,则z 的虚部为( ) A .i -B .iC .1-D .14.设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,表示的平面区域为Ω,在区域Ω内任取一点(),P x y ,则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A .π8B .π4C .12π+ D5.已知抛物线22(0)y px p =>,F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦,若||1OF =,||8MN =,则OMN 的面积为( ) A.B.C.D.26.若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,则2z x y =+的最大值为( )A .10B .8C .5D .37.已知向量a 与向量()4,6m =平行,()5,1b =-,且14a b ⋅=,则a =( )A .()4,6B .()4,6--C .213313,1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D .213313,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭8.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 A .B .C .D .9.若复数z 满足()134i z i +=+,则z 对应的点位于复平面的( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限10.双曲线2214x y -=的渐近线方程是( )A .32y x =±B .233y x =±C .2x y =±D .2y x =±11.已知命题p :x ∀∈R ,210x x -+<;命题 q :x ∃∈R ,22x x >,则下列命题中为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝12.i 是虚数单位,若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-,则乘积ab 的值是( ) A .-15B .-3C .3D .15二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷(解析版)

江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷(解析版)

江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷【参考答案】一、单项选择题。

(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z满足(1﹣i)z=2+2i,则|z|=()A.1B.C.2D.2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论.【解答】解:∵(1﹣i)z=2+2i,∴|1﹣i||z|=|2+2i|,则,∴|z|=2,故选:C.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.已知M,N均为R的子集,且M⊆∁R N,则∁R M∩N=()A.∅B.M C.N D.R【分析】根据M⊆∁R N可画出Venn图,根据Venn图即可得出∁R M∩N=N.【解答】解:用Venn图表示M,N如下:由Venn图看出,M⊆∁R N,∁R M∩N=N.故选:C.【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算,子集的定义,借助Venn图解决集合问题的方法,考查了计算能力,属于基础题.3.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①,②,③三个村庄进行义诊活动,每个村庄至少派1名医生,A表示事件“医生甲派往①村庄”;B表示事件“医生乙派往①村庄”;C表示事件“医生乙派往②村庄”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立C.D.【分析】由古典概型概率计算公式求出P(A),P(B),P(C),P(AB),P(AC),再利用相互独立事件的定义能判断AB;利用条件概率公式计算能判断CD.【解答】解:将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有=36个基本事件,它们等可能,事件A含有的基本事件数为=12,则P(A)==,同理P(B)=P(C)=,事件AB含有的基本事件个数为=2,则P(AB)=,事件AC含有的基本事件数为=5,则P(AC)=,对于A,P(A)P(B)=≠P(AB),即事件A与B相互不独立,故A不正确;对于B,P(A)P(C)=≠P(AC),即事件A与C相互不独立,故B不正确;对于C,P(B|A)==,故C不正确;对于D,P(C|A)==,故D正确.故选:D.【点评】本题考查命题真假的判断,考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.已知向量,满足=(,1),•=4,则||的最小值为()A.1B.C.D.2【分析】由平面向量数量积运算,结合平面向量模的运算求解即可.【解答】解:由=(,1),则,则,即,则||的最小值为2,故选:D.【点评】本题考查了平面向量数量积运算,重点考查了平面向量模的运算,属基础题.5.已知直线l:x+(a﹣1)y+2=0,,且l 1⊥l2,则a2+b2的最小值为()A.B.C.D.【分析】根据l1⊥l2得出b与a的关系式,代入a2+b2中利用二次函数的性质即可求出a2+b2的最小值.【解答】解:因为l1⊥l2,所以b+(a﹣1)=0,所以a=1﹣b,所以a2+b2=+b2=4b2﹣2b+1=4+,所以当时,a2+b2取最小值为.故选:A.【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题,也考查了利用函数求最值的应用问题,是基础题.6.为庆祝神舟十三号飞船顺利返回,某校举行“特别能吃苦,特别能战斗,特别能攻关,特别能奉献”的航天精神演讲比赛,其冠军奖杯设计如图,奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成,底座由边长为36cm 的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成,则冠军奖杯的高度为()cm.A.B.C.D.【分析】A,B,C在底面内的射影为M,N,P分别为对应棱的中点,求解△ABC外接圆圆心O的半径r,转化求解O1到平面DEF距离,推出结果.【解答】解:由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成,底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成,设:A,B,C在底面内的射影为M,N,P分别为对应棱的中点,∴,∴△ABC是边长为9的等边三角形,设△ABC外接圆圆心O,半径r,则,∴,,∴O1到平面DEF距离:9,∴冠军奖杯的高度为:.故选:C.【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.7.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M,N,若,且∠F1NF2=90°,则双曲线E的离心率为()A.B.4C.D.6【分析】设N(x1,y1)则,利用,M在,求得N,则,,由,即可求双曲线离心率.【解答】解:设N(x1,y1),,∵N在,M在,∴∴,即N,则,,∴,∴,∴,故选:B.【点评】本题考查了双曲线的性质,考查了计算能力、转化思想,属于中档题.8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1﹣x),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣a,若f(x)=m|x﹣1|恰有六个不相等的零点,则实数m的取值范围为()A.(,)∪[﹣,﹣]B.(,)∪[﹣,]C.(,)∪{﹣}D.(,)∪{﹣}【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性,推出函数的周期,结合函数的图象,函数零点个数,列出不等式求解即可.【解答】解:定义在R上的奇函数f(x),满足f(1+x)=f(1﹣x),则f(x)关于x=1对称,f(0)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣a,所以a=1,y=m|x﹣1|关于x=1对称,f(x)=m|x﹣1|有6个根,∴f(x)=m(x﹣1)在x∈(1,+∞)有三个根,f(2+x)=f(﹣x)=﹣f(x),函数的周期T=4,作出f(x)图象如图:当m>0时,k AC<m<k AB,则;点m<0时,,∴m的取值范围,故选:D.【点评】本题考查函数与方程的应用,零点个数的判断,考查数形结合以及计算能力,是中档题.二、多项选择题。

2022-2023学年河南省高三下学期阶段性测试(四)文科数学试题 Word版含答案

2022-2023学年河南省高三下学期阶段性测试(四)文科数学试题 Word版含答案

2022—2023学年高中毕业班阶段性测试(四)文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0A x x =≥,{}1B x x =≠,则A B ⋂=( ) A .{}0x x ≥B .{}1x x >C .{}011x x x ≤<>或D .{}01x x ≤<2.若()12i 112i z +=+,则z =( ) A .34i +B .34i -C .43i +D .43i -3.已知函数()f x 在R 上的导函数为()f x ',则“()00f x '=”是“0x 是()f x 的极值点”的( ) A .充分必要条件 B .既不充分也不必要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件4.已知向量a ,b 的夹角为56π,且3a =,1b =,则2a b +=( )A .1B C .2D5.已知函数()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()f x x =,则()4f -=( )A .4-B .2-C .2D .46.若1cos 2cos sin sin 2cos θθθθθ--=,则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .3B .2C D .17.已知A 为抛物线C :24y x =上在第一象限内的一个动点,()1,0M -,O 为坐标原点,F 为C 的焦点,若tan 3AMO ∠=,则直线AF 斜率的绝对值为( )A .2B .C .13D .438.若棱长均相等的正三棱柱的体积为O 的表面上,则球O 的表面积为( ) A .283π B .1129π C .6πD .1123π 9.下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y (单位:百只)的数据,通过相关理论进行分析,知可用回归模型()1aty ea +=∈R 对y 与t 的关系进行拟合,则根据该回归模型,预测第6个月该物种的繁殖数量为( )第t 个月 1 2 3繁殖数量y1.4e2.2e2.4eA .3e 百只 B . 3.5e百只 C .4e 百只D . 4.5e百只10.函数()31123f x x x=+-的零点个数为( ) A .1B .2C .3D .411.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2A B =,则3a cb-的取值范围为( ) A .(]3,4B .712,35⎛⎤⎥⎝⎦ C .133,4⎛⎤⎥⎝⎦D .(]2,512.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左顶点为A ,点0,2b B ⎛⎫⎪⎝⎭,直线AB 与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,若线段PQ 的垂直平分线经过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为( ) A .2B .3C .52D .233二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在区间[]2,3-上随机取一个数x ,则1x >的概率为______.14.已知实数x ,y 满足约束条件10,10,240,x y x x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则3z x y =+的最大值为______.15.已知函数()()cos ,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示,将()f x 的图象向右平移4T(T 为()f x 的最小正周期)个单位长度得到()g x 的图象,则()0g =______.16.已知圆锥内有一个内接圆柱,圆柱的底面在圆锥的底面内,当圆柱与圆锥体积之比最大时,圆柱与圆锥的底面半径之比为______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和252n n nS -=.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设10,10,2,10,n n n a n b b n -≤⎧=⎨>⎩求数列{}n b 的前30项和.18.(12分) 某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略,统计了过去100天该产品的日销售收入(单位:万元)并分成六组制成如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求a 的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值x ;(同一区间数据以中点值作代表)(Ⅱ)该超市过去100天中有30天将该商品降价销售,在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元,判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.050 0.025 0.010 0k3.8415.0246.63519.(12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,PC BC ⊥,PA PB =,APC BPC ∠=∠. (Ⅰ)证明:PC AD ⊥;(Ⅱ)若AB CD ∥,PD AD ⊥,3PC =,且点C 到平面P AB 的距离为62,求AD 的长.20.(12分) 已知函数()32213f x x x ax =-+-,a ∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为4-,求()f x 的单调区间;(Ⅱ)若存在唯一的()00,2x ∈,满足()()01f x f =-,求a 的取值范围. 21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为23,且3⎫⎪⎪⎭为C 上一点. (Ⅰ)求C 的标准方程;(Ⅱ)点A ,B 分别为C 的左、右顶点,M ,N 为C 上异于A ,B 的两点,直线MN 不与坐标轴平行且不过坐标原点O ,点M 关于原点O 的对称点为M ',若直线AM '与直线BN 相交于点P ,直线OP 与直线MN 相交于点Q ,证明:点Q 位于定直线上.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2224,4824t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程;(Ⅱ)若P 为C 上一动点,求P 到l 的距离的取值范围. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数()112222f x x x =++-. (Ⅰ)求不等式()3f x <的解集;(Ⅱ)设()f x 的最小值为M ,若正实数a ,b 满足221a b M a b +=++,证明:32a b +≥.2022—2023学年高中毕业班阶段性测试(四)文科数学·答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.1.答案 C命题意图 本题考查集合的交运算. 解析 {}011A B x x x ⋂=≤<>或. 2.答案 A命题意图 本题考查复数的四则运算. 解析 ()()()()112i 12i 112i 1520i34i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-,则34i z =+.3.答案 D命题意图 本题考查极值点的概念以及充分必要条件的判断.解析 由极值点的定义,若0x 为()f x 的极值点,则有()00f x '=,而由()00f x '=不一定推得0x 为()f x 的极值点,例如()3f x x =,故“()00f x '=”是“0x 是()f x 的极值点”的必要不充分条件. 4.答案 A命题意图 本题考查平面向量的运算. 解析 ()22222443431ab a ba ab b +=+=+⋅+=+⨯=. 5.答案 C命题意图 本题考查奇函数的概念.解析 因为()f x 是奇函数,所以()()44f f -=-,又()442f ==-,所以()42f -=. 6.答案 A命题意图 本题考查三角恒等变换.解析 由题意()2112sin 1tan 2sin cos θθθθ--=-,即1tan 2θ=,1tantan 142tan 3141tan tan 142πθπθπθ++⎛⎫+===⎪⎝⎭--. 7.答案B命题意图 本题考查抛物线的性质.解析设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1210tan 314AMy AMO k y -∠===+,解得1y 或1y =12A ⎛ ⎝或(2,A ,又()1,0F ,所以0112AF k ==--AF k ==AF k =. 8.答案 D命题意图 本题考查三棱柱的外接球.解析 设该正三棱柱棱长为x ,底面三角形的外接圆半径为r ,则21sin 602x x ︒⋅⋅=,∴4x =,则r =O 半径为R ,则22216284233x R r ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭,228112=4=4=33S R πππ⨯表. 9.答案 C命题意图 本题考查回归分析. 解析 由题意,1aty e+=两边取自然对数得ln 1y at =+,令ln u y =,则1u at =+.()1231ln ln ln 23u y y y =++⨯=,()123123t t t t =++⨯=,∵回归直线必过样本点的中心,∴221a =+,得12a =,∴12tu =+,则12t y e +=.当6t =时,4y e =.10.答案 B命题意图 本题考查函数零点问题.解析 易知()f x 的定义域为{}0x x ≠,()422211x f x x x x -'=-=,令()0f x '<,解得10x -<<或01x <<,∴()f x 在()1,0-和()0,1上单调递减,令()0f x '>,解得1x <-或1x >,∴()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增.当1x =-时,()f x 取得极大值()10103f -=-<,易知()f x 在(),0-∞上没有零点;当1x =时,()f x 取得极小值()2103f =-<,且1820381f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()7206f =>,可知()f x 在()0,+∞上有2个零点.综上所述,()f x 的零点个数为2. 11.答案 C命题意图 本题考查解三角形.解析 ∵2A B =,∴sin sin 22sin cos A B B B ==且0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()3sin sin sin33sin 4sin C A B B B B =+==-,由正弦定理可得333sin sin 6sin cos 3sin 4sin sin sin a c A C B B B Bb B B---+==()226cos 41cos 34cos 6cos 1B B B B =+--=-++,令1cos ,12B t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,则23461a c t t b -=-++,由二次函数性质知2134613,4t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦,∴3133,4a c b -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 12.答案 B命题意图 本题考查双曲线的性质和离心率的求法. 解析 不妨设点P 在直线b y x a =上,由题可知(),0A a -,∴2AB b k a =,∴:22AB b bl y x a =+,由,22,b by x a b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得,,P P x a y b =⎧⎨=⎩∴(),P a b ,同理,33a b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴PQ 的中点为2,33a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,PQ 的垂直平分线方程为2233b a a y x b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,将0,y x a=⎧⎨=⎩代入整理得222b a =,则e ==二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.答案35命题意图 本题考查几何概型的计算.解析 在区间[]2,3-上随机取一个数x ,若1x >,则[)(]2,11,3x ∈--⋃,所以1x >的概率为()()12313325-++-=+.14.答案 9命题意图 本题考查线性规划.解析 根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,当目标函数表示的直线经过点()2,3时,3z x y =+取得最大值9.15.答案 3命题意图 本题考查三角函数的图象和性质. 解析 由图可知2A =,22362T πππ=-=,∴T π=,22πωπ==.由()226k K πϕπ⨯+=∈Z ,及2πϕ≤,得3πϕ=-,∴()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,∴()52cos 22cos 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,∴()502cos36g π==- 16.答案23命题意图 本题考查导数的应用.解析 设圆锥的底面半径为R ,圆锥的轴截面为等腰三角形,底边长为2R ,设其底角为α,则圆锥的高为tan R α,圆锥的体积为3tan 3R πα.设圆锥内接圆柱的底面半径为r ,高为h ,则tan tan r R hR R αα-=,即()tan h R r α=-,则圆柱的体积为()()2223tan tan r h r R r Rr r ππαπα=-=-,()0,r R ∈.圆柱与圆锥体积之比为23233r r R R ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设()01r t t R =<<,()23f t t t =-,则()()22323f t t t t t '=-=-.由()0f t '=,得23t =,当203t <<时,()0f t '>,当213t <<时,()0f t '<,所以当23t =时,()f t 取得最大值,即圆柱与圆锥体积之比最大,此时23r R =.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.命题意图 本题考查数列求通项和数列求和. 解析(Ⅰ)111522a S -===-, 当2n ≥时,有252n n n S -=,()()211512n n n S ----=,两式相减得()()()2215151322n a n n n n n n ⎡⎤=---+-=-≥⎣⎦,当1n =时,12a =-符合上式,故3n a n =-.(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则()()()301210111220212230T b b b b b b b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+. 由题意得1210121010b b b a a a S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=,()11122012101022b b b b b b S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=,()21223011122010102224b b b b b b S S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⨯=,∴()230107710501752T S ==-=. 18.命题意图 本题考查频率分布直方图和独立性检验.解析 (Ⅰ)依题意有()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=,得 3.0a =.0.350.150.450.250.550.300.650.200.750.080.850.020.537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(Ⅱ)依题意作2×2列联表:()221001858121218.36730707030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为18.367 5.024>,所以有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关. 19.命题意图 本题考查线线垂直的证明,以及点到面距离的求法. 解析(Ⅰ)如图,连接AC ,∵PA PB =,APC PBC ∠=∠,PC PC =,∴PAC PBC ≌△△, ∴90PCA PCB ∠=∠=︒,即PC AC ⊥.∵PC BC ⊥,AC BC C ⋂=,PC ⊥平面ABCD , 又AD ⊂平面ABCD ,∴PC AD ⊥.(Ⅱ)取AB 的中点E ,连接PE ,CE .∵PA PB =,∴PE AB ⊥,由(Ⅰ)知AC BC =,∴CE AB ⊥, ∵PE CE E ⋂=,∴AB ⊥平面PCE ,又AB ⊂平面P AB ,∴平面PAB ⊥平面PCE .过C 作CH PE ⊥于H ,则CH ⊥平面P AB ,由条件知6CH =. 易知PC CE ⊥,设CE m =,则23PE m + 由1122PC CE PE CH ⋅=⋅2633m m =+,得3m =,∴3CE = ∵PD AD ⊥,AD PC ⊥,PC PD P ⋂=,∴AD ⊥平面PCD ,∴AD CD ⊥, 又∵AB CD ∥,∴AD AB ⊥,∴四边形AECD 为矩形,∴3AD CE ==20.命题意图 本题考查导数的几何意义,以及函数与方程的综合问题. 解析(Ⅰ)()222f x x x a '=-+,由题意知()04f a '==-.所以()()()2224212f x x x x x '=--=+-,则当1x <-或2x >时,()0f x '>,当12x -<<时,()0f x '<,所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()2,+∞,单调递减区间为()1,2-. (Ⅱ)由()()01f x f =-,得()()010f x f --=, 即()()()323200021113x x a x ⎡⎤⎡⎤-----+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()20000002111113x x x x x a x =+-+--+++ ()()200011253503x x x a =+-++=. 根据已知,可得方程20025350x x a -++=在区间()0,2内仅有一个实根,设函数()22535g x x x a =-++,其图象的对称轴为()50,24x =∈,所以只需()()()258350,00,20,a g g ∆=-+>⎧⎪>⎨⎪<⎩或0∆=,解得513a -<<-或58a =-,即a 的取值范围是55,138⎛⎫⎧⎫--⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.21.命题意图 本题考查椭圆方程和定直线的证明. 解析 (Ⅰ)设椭圆C 的焦距为()20c c >,由题意得222222,371019,c a a ba b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩,解得229,5,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴C 的标准方程为22195x y +=. (Ⅱ)由题可知()3,0A -,()3,0B ,设()11,M x y ,()22,N x y ,则()11,M x y '--,设:MN l x my n =+.联立22,1,95x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()()2225910590m y mny n +++-=,∴1221059mn y y m -+=+,()21225959n y y m -=+,1122,3,3AM BN y k x y k x '⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩∴()11:33AM y l y x x '=+-,()22:33BN yl y x x =--, 又∵点P 为直线AM '和BN 的交点,∴112233,33,P P P P x y y y x y x y -⎧⋅=+⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪⎩故可得1212332P P x x x y y y ⎛⎫--=+⎪⎝⎭121233P my n my n y y y ⎛⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭()121223P y y m n y y y ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦()()2102359P mn m n y n ⎡⎤-⎢⎥=+-⋅-⎢⎥⎣⎦, ∴33P P m x y n =+,故3:3OP m l x y n =+. 联立3:,3:,OP MN m l x y n l x my n ⎧=⎪+⎨⎪=+⎩消去y 得3Q x =-,因此,点Q 位于定直线3x =-上.22.命题意图 本题考查极坐标与参数方程.解析 (Ⅰ)()2222164t x t =+,()()22222444t y t -=+, ∴()()()()2222222222216441444t t t y x t t +-++===++, 又22282162244t y t t -==-+>-++, ∴曲线C 的普通方程为()22124y x y +=≠-. (Ⅱ)设P 到l 的距离为d .令cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为40x y +-=,设()cos ,2sin P αα,[)0,2απ∈且32πα≠,则d ==1tan 2ϕ=, ∴d的取值范围是22⎡⎢⎣⎦. 23.命题意图 本题考查不等式的证明. 解析 (Ⅰ)由题意知()14,,4111,,4414,.4x x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩令()3f x =,得34x =-或34, 结合图象可知()3f x <的解集为3344x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. (Ⅱ)由题意可知2121a b a b +=++,∴4121121a b -+-=++, ∴41221a b +=++. 令2m a =+,1n b =+,则412m n +=,()()141141333535432222n m a b m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+-=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当23m n ==,即1a =,12b =时等号成立.。

高考数学复习阶段测试卷四

高考数学复习阶段测试卷四

阶段测试卷(四)统计(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.为了了解某年级学生每天参加体育锻炼的时间,比较恰当地收集数据的方法是()A.查阅资料B.问卷调查C.做试验D.以上均不对解析:选B问卷调查能达到目的,比较适合.2.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,其中某月生产的产品数量之比依次为m∶3∶2.现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知A 种型号的产品抽取了45件,则实数m=()A.1 B.2C.3 D.4解析:选C根据分层随机抽样的特点,得mm+3+2=45120,解得m=3.故选C.3.某公司普通员工的年收入分别为x1,x2,…,x n(n≥3,n∈N*),设这n 个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z.若加上收入最高的公司总经理的年收入x n+1,则关于这(n+1)个数据,下列说法正确的是()A.平均数大大增加,中位数一定变大,标准差可能不变B.平均数大大增加,中位数可能不变,标准差变大C.平均数大大增加,中位数可能不变,标准差也不变D.平均数可能不变,中位数可能不变,标准差可能不变解析:选B平均数受样本中每个数据的影响,极端值对平均数的影响很大,而中位数一般不受少数极端值的影响,标准差反映数据的离散程度,数据的离散程度也会受到x n+1的影响而更加分散,从而标准差变大,故选B.4.(2020·山西太原高一月考)某机构对青年观众是否喜欢2020年跨年晚会进行了调查,调查结果如表所示.不喜欢喜欢男性青年观众/名3010女性青年观众/名3050n人,若在不喜欢跨年晚会的男性青年观众中抽取了6人,则n=()A.12 B.16C.24 D.32解析:选C依题意,总人数为30+30+10+50=120,其中不喜欢跨年晚会的男性青年观众有30名,故30120=6n,解得n=24.故选C.5.(2020·湖南衡阳一中高一期中)在某次赛车中,50名参赛选手的成绩(单位:min)全部介于13到18之间(包括13和18).现将比赛成绩分为五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],其频率分布直方图如图所示.若成绩在[13,15)内的选手可获奖,则这50名选手中获奖的人数为()A.11 B.15C.35 D.39解析:选A由题意可得,成绩在[13,15)内的频率为1-0.08-0.32-0.38=0.22,又因为本次赛车中,共50名参赛选手,所以这50名选手中获奖的人数为50×0.22=11.故选A.6.如图是某手机商城中A,B,C三种品牌的手机各季度销量的百分比条形图,根据该图,以下结论中一定正确的是()A.四个季度中,每季度B品牌和C品牌总销量之和均不低于A品牌的销量B.B品牌第二季度的销量小于第三季度的销量C.第一季度销量最大的为C品牌,销量最小的为B品牌D.A品牌的全年销量最大解析:选D对于A,第四季度中,A品牌销量大于50%,B品牌和C品牌总销量之和小于50%,故A错误;对于B,因为B品牌每个季度的销量不确定,所以无法判断,故B错误;对于C,第一季度销量最大的是A品牌,故C错误;对于D,由图知,四个季度A品牌的销量都最大,所以A品牌的全年销量最大,D正确.故选D.7.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图,但不慎丢失了部分数据.已知得分在[50,60)的有8人,在[90,100]的有2人,由此推测频率分布直方图中的x=()A.0.040 B.0.030C.0.020 D.0.010解析:选B∵得分在[50,60)的有8人,在[90,100]的有2人,∴由频率分布直方图,得82=0.016y,所以y=0.004,∴由频率分布直方图,得(0.004+0.010+0.016+x+0.040)×10=1,解得x=0.030.故选B.8.已知某地区中小学学生的人数和近视情况分布如图(1)和图(2)所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20 B.100,20C.200,10 D.100,10解析:选A由题图(1)知,总体个数为3 500+2 000+4 500=10 000,∴样本量=10 000×2%=200.∵分层随机抽样抽取的比例为150,∴高中生抽取的学生数为40.∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列抽样方法不是简单随机抽样的是()A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B.某可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C.某连队从120名战士中,挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)解析:选ABC对于A,平面直角坐标系中有无数个点,这与要求总体中的个体数有限不相符,故A中的抽样方法不是简单随机抽样;对于B,因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取,故B中的抽样方法不是简单随机抽样;对于C,挑选的50名战士是最优秀的,不符合简单随机抽样的等可能性,故C中的抽样方法不是简单随机抽样;对于D,易知D中的抽样方法是简单随机抽样.10.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩依次分成六组:[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到如图所示的频率分布直方图,若不低于140分的人数为110,则下列说法正确的是()A.m=0.031B.n=800C.100分以下的人数为60D.成绩在区间[120,140)内的人数占大半解析:选AC分析可知,10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,解得m=0.031,故A说法正确;因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以n=1100.11=1 000,故B说法错误;因为100分以下的频率为0.006×10=0.06,所以100分以下的人数为1 000×0.06=60,故C说法正确;成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10+0.016×10=0.47<0.5,人数占小半,故D说法错误.11.(2020·重庆一中高一期中)如图所示的折线图为某小区小型超市今年1月份到5月份的营业额和支出数据(利润=营业额-支出),根据折线图,下列说法中正确的是()A.该超市这五个月中的营业额一直在增长B.该超市这五个月的利润一直在增长C.该超市这五个月中五月份的利润最高D.该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关解析:选ACD由题意可得,1月份的利润为3-2.5=0.5(万元);2月份的利润为3.5-2.8=0.7(万元);3月份的利润为3.8-3=0.8(万元);4月份的利润为4-3.5=0.5(万元);5月份的利润为5-4=1(万元).所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的,故选ACD.12.关于统计数据的分析,以下结论中正确的是()A.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,方差没有变化B.绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距C.一组数据的方差一定是正数D.如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图,根据这个直方图,可以得到时速在[50,60)的汽车大约有60辆解析:选AD对于A,正确.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,方差不变.因为方差反映一组数据的波动大小,整体变化不改变波动大小.对于B,错误.因为在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.对于C,错误.因为根据方差的计算公式s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n -x)2]得出方差是非负数.对于D,正确.根据题中的直方图得,时速在[50,60)的汽车大约有200×0.03×10=60(辆).故选AD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知某高中共有2 400人,其中高一年级有600人.现对该高中全体学生进行一项调查,按年级利用分层随机抽样的方法进行抽样,需要从高一年级抽取30人,则全校一共应抽取________人.解析:设全校一共应抽取n人,则用分层随机抽样的方法可得6002 400=30n,所以n=120.答案:12014.某商场为了了解某日旅游鞋的销售情况,抽取了部分顾客所购鞋的尺寸,将所得数据整理后,画出如图所示的频率分布直方图.已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第4小组与第5小组的频率分布如图所示,第2小组的频数为10,则第4小组顾客的人数是________.解析:由题意得,第4小组与第5小组的频率分别为0.15×2=0.3和0.05×2=0.1,所以前3组的频率之和为0.6.又因为从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3,所以从左到右第2小组的频率为0.2.因为第2小组的频数为10,所以抽取的顾客人数是100.2=50.故第4小组顾客的人数是50×0.3=15.答案:1515.(一题两空)某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间(单位:min),记录如下表. 等待时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] 频数 4 8 5 2 1用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =________,病人等待时间方差的估计值s 2=________.解析:x =120 (2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5,s 2=120[(2.5-9.5)2×4+(7.5-9.5)2×8+(12.5-9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2+(22.5-9.5)2×1]=28.5.答案:9.5 28.516.为了让市场开发出更多适合消费者需求的房屋,以引导理性开发,理性消费,某房地产营销策划公司对2 000位客户的需求进行了调查,并利用专业的软件进行统计分析,绘制出如图所示的消费者对需求面积的统计分布图⎝⎛⎭⎪⎫其中需求率=需求客户数被调查客户总数 ,请你观察并计算需求面积在100~140(含140,不含100)m 2的客户数是________.解析:由题设公式知所求客户数n =2 000×(49.5%+12.2%)=1 234.答案:1 234四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·广东广州六中期末考试)为了考察某校高三年级的教学水平,将抽查这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩.已知该校高三年级共有14个班,假定该校每班人数都相同.为了全面地反映实际情况,采取以下两种方法进行抽查:①从全年级14个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取14人,考察他们的成绩;②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分层,该校高三学生中优秀学生有105名,良好学生有420名,普通学生有175名).根据上面的叙述,试回答下列问题:(1)以上调查各自采用的是什么抽样方法?(2)分别写出上面两种抽样方法各自抽取样本的步骤.解:(1)①采用的是简单随机抽样;②采用的是分层随机抽样和简单随机抽样.(2)①的步骤如下:第一步,在这14个班中用抽签法任意抽取一个班.第二步,从这个班中用随机数法或抽签法抽取14名学生,这14人的考试成绩为样本.②的步骤如下:第一步,确定优秀学生、良好学生、普通学生三个层次抽取的人数.因为样本量与总体中的个体数的比为100∶700=1∶7,所以在每个层次抽取的个体数依次为1057 =15,4207 =60,1757 =25.第二步,按层分别抽取,用简单随机抽样法分别在优秀学生中抽取15人,在良好学生中抽取60人,在普通学生中抽取25人.第三步,将所抽取的学生的考试成绩组合在一起构成样本.18.(12分)某单位有2 000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如表所示.(1)(2)若要开一个25人的座谈会来讨论单位发展与薪资调整方面的规划,则应怎样抽选出席人?(3)若要抽取20人调查对某运动会举办情况的了解,则应怎样抽样?解:(1)因为身体状况会因年龄而有差异,所以要抽取40人调查身体状况,应采用按年龄分层随机抽样方法.从老年人中抽取40×2002 000=4(人),从中年人中抽取40×6002 000=12(人),从青年人中抽取40×1 2002 000=24(人).(2)要开一个25人的座谈会来讨论单位发展与薪资调整方面的规划,应采用按部门分层随机抽样法.从管理部抽取25×1602 000=2(人),从技术开发部抽取25×3202 000=4(人),从营销部抽取25×4802 000=6(人),从生产部抽取25×1 0402 000=13(人).(3)要抽取20人调查对某运动会举办情况的了解,应采用按年龄分层随机抽样方法.从老年人中抽取20×2002 000=2(人),从中年人中抽取20×6002 000=6(人),从青年人中抽取20×1 2002 000=12(人).19.(12分)(2020·北京高一期末考试)某校高一年级新入学360名学生,其中200名男生,160名女生.学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍,每间宿舍可住2名学生.该校“数学与统计”社团的学生为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况,按照性别进行分层随机抽样,其中抽取的40名男生家庭居住地与学校的距离数据(单位:km)如下:5.0 6.07.07.58.08.4 4.0 3.5 4.5 4.35.0 4.0 3.0 2.5 4.0 1.6 6.0 6.5 5.5 5.73.1 5.2 4.4 5.0 6.4 3.57.0 4.0 3.0 3.46.9 4.8 5.6 5.0 5.6 6.5 3.0 6.07.0 6.6(1)根据以上样本数据推断,若男生甲的家庭居住地与学校的距离为8.3 km,他是否住校,并说明理由;(2)通过计算得到男生样本数据的平均数为5.1 km,女生样本数据的平均数为4.875 km,求所有样本数据的平均数,并估计总体数据的平均数.解:(1)能住宿.因为200名男生中有10名男生能住宿,所以40名男生样本中有2名男生能住宿.样本数据中距离为8.4 km 和8 km 的男生可以住宿,距离为7.5 km 以下的男生不可以住宿,由于8.3>8,所以男生甲能住宿.(2)根据分层随机抽样的原则,抽取女生样本数为32人.所有样本数据平均数为40×5.1+32×4.87540+32=5.所以估计总体数据的平均数为5.20.(12分)(2020·河南郑州高一期末考试)近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目.无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形快速铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右.为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中a =4b .(1)求a ,b 的值;(2)估计郑州市民的满意程度的平均数、众数、中位数.解:(1)依题意得(a +b +0.008+0.027+0.035)×10=1,所以a +b =0.03, 又因为a =4b ,所以a =0.024,b =0.006.(2)平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06=74.9, 由于分数在[50,70)内的频率为0.08+0.24=0.32,分数在[50,80)内的频率为0.08+0.24+0.35=0.67,故中位数为70+0.5-0.08-0.240.035≈75.14,众数为70+802 =75.故估计郑州市民的满意程度的平均数、众数、中位数分别为74.9,75,75.14. 21.(12分)(2020·广东肇庆高一期末)学校教育非常关注学生的健康成长,某小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况,抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试,测试成绩分成[50,75),[75,100),[100,125),[125,150]四个部分,并画出如图所示的频率分布直方图,图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4,且第一小组(从左向右数)的人数为5人.(1)求第四小组的频率;(2)求参加两分钟跳绳测试的学生人数;(3)若两分钟跳绳次数不低于100的学生体能为达标,估计该校二年级学生体能的达标率.(用百分数表示)解:(1)第四小组的频率为1-(0.1+0.3+0.4)=0.2.(2)设参加两分钟跳绳测试的学生有x人,则0.1x=5,解得x=50.∴参加两分钟跳绳测试的学生人数为50.(3)由题意及频率分布直方图知,参加两分钟跳绳次数不低于100的学生所占频率为0.4+0.2=0.6,∴估计该校二年级学生体能的达标率为60%.22.(12分)(2020·广西桂林中学高一月考)某车站在春运期间为了了解旅客购票情况,随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时,单位为min),下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率0≤t<5005≤t<10100.1010≤t<1510②15≤t<20①0.5020≤t≤25300.30合计100 1.00解答下列问题:(1)这次抽样的样本量是多少?(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图.(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组?解:(1)样本量是100.(2)①50②0.10所补频率分布直方图如图中的阴影部分.(3)设旅客平均购票用时为t min,则有t=7.5×10+12.5×10+17.5×50+22.5×30100=17.5,所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组15≤t<20中.。

湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷含答案

湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷含答案

武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷(答案在最后)武汉市教育科学研究院命制2024.4.24本试题卷共4页,19题,全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数2ii 1iz =++,则z =()A.12.已知集合{}{}22230,40,A xx x B x x x x =--<=-<∈Z ∣∣,则A B ⋂=()A.{}2,3,4 B.{}1,2 C.{}0,1,2 D.{}1,2,33.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若,m αβ⊥∥α,则m β⊥B.若,m αβα⊥⊂,则m β⊥C.若m∥,n αα⊥,则m n⊥D.若,m n m ⊥∥α,则n α⊥4.()523(1)x x --的展开式中含3x 项的系数为()A.-50B.50C.-10D.105.记0.20.20.23,0.3,log 0.3a b c -===,则()A.a b c>> B.b c a>>C.c b a >>D.b a c>>6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若8128,26S S ==,则4S =()A.1B.2C.3D.47.点P 是边长为1的正六边形ABCDEF 边上的动点,则PA PB ⋅的最大值为()A.2B.114C.3D.1348.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ,其左右顶点分别为,A B ,过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线E 于,M N 两点,设线段MF 的中点为P ,若直线BP 与直线AN 的交点在y 轴上,则双曲线E 的离心率为()A.2B.3二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分.9.已知函数()2πsin2sin 23f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭,则()A.函数π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 B.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数C.()f xD.()f x 在区间π7π,612⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减10.如图所示,下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态,图(2)形成“右拖尾”形态,图(3)形成“左拖尾”形态,根据所给图作出以下判断,正确的是()A.图(1)的平均数=中位数=众数B.图(2)的平均数<众数<中位数C.图(2)的众数<中位数<平均数D.图(3)的平均数<中位数<众数11.定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x ',若()()32g x f x --=,()()1f x g x '=-',且()()22g x g x -+=-+,则下列说法中一定正确的是()A.()2g x +为偶函数B.()2f x '+为奇函数C.函数()f x 是周期函数D.20241()0k g k ==∑三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设椭圆2212512x y +=的左右焦点为12,F F ,椭圆上点P 满足12:2:3PF PF =,则12PF F 的面积为__________.13.已知圆台12O O 的体积为14π,其上底面圆1O 半径为1,下底面圆2O 半径为4,则该圆台的母线长为__________.14.设,,A B C 是一个三角形的三个内角,则()cos 3sin 4sin A B C +的最小值为__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知ABC 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且cos cos 3C Ac b a=-.(1)求sin C 的值;(2)若ABC 的面积S =,且)c a b =-,求ABC 的周长.16.(15分)已知函数()2ln f x x ax x =-+.(1)若1a =-,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)讨论()f x 的单调性.17.(15分)如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11ABB A ⊥底面1,2,ABC AB BB AC ===160B BA ∠=,点D 是棱11A B 的中点,4,BC BE DE BC =⊥.(1)证明:1AC BB ⊥;(2)求直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值.18.(17分)已知抛物线2:E y x =,过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点,设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ,已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ,设1l 与2l 的交点为P .(1)证明:点P 在定直线上;(2)若PMN,求点P 的坐标;(3)若,,,P M N T 四点共圆,求点P 的坐标.19.(17分)已知常数()0,1p ∈,在成功的概率为p 的伯努利试验中,记X 为首次成功时所需的试验次数,X 的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量X 的概率分布为几何分布.(1)对于正整数k ,求()P X k =,并根据11()()lim ()n n k k E X kP X k kP X k ∞→∞==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑求()E X ;(2)对于几何分布的拓展问题,在成功的概率为p 的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为2E ,现提供一种求2E 的方式:先进行第一次试验,若第一次试验失败,因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是2E ,即总的试验次数为()21E +;若第一次试验成功,则进行第二次试验,当第二次试验成功时,试验停止,此时试验次数为2,若第二次试验失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为()22E +.(i )求2E ;(ii )记首次出现连续n 次成功时所需的试验次数的期望为n E ,求n E .武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准选择题:填空题:12.1214.108-解答题:15.(13分)解:(1)由题意,cos cos sin 3sin sin C AC B A=-,得:3sin cos sin cos cos sin B C A C A C -=.所以()3sin cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+.又()()sin sin πsin A C B B +=-=,且sin 0B ≠,所以1cos 3C =.由sin 0C >,故22sin 3C ==.(2)1sin 2S ab C ==15ab =.由余弦定理,222222cos 10c a b ab C a b =+-=+-.又()22226()6180c a b a b=-=+-.联立得:2234,a b c +==8a b +==.所以ABC 的周长为8a b c ++=+.16.(15分)解:(1)1a =-时,()()21ln ,12f x x x x f x x x=++++'=.()()14,12f f =='.所求切线方程为()412y x =-+,整理得:42y x =-.(2)()21212x ax f x a x x x-+=-+='.因为0x >,故0a ≤时,()()0,f x f x '>在()0,∞+上递增.当0a >时,对于2221,Δ8y x ax a =-+=-.若0a <≤,则Δ0≤,此时()()0,f x f x '≥在()0,∞+上递增.若a >2210x ax -+=,得804a x ±=>.804a x <<时,()()0,f x f x '>递增;84a x >时,()()0,f x f x '>递增;8844a a a a x <<时,()()0,f x f x '<递减;综上所述:a ≤()f x 在()0,∞+上递增;a >()f x 在0,4a ⎛ ⎪⎝⎭上递增,在,44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上递减,在,4a ∞⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭上递增,17.(15分)解:(1)连接111,,1,2,60,DA EA DA AA DA A DE ∠=====.满足22211DA DA AA +=,所以1DA DA ⊥,即DA AB ⊥.平面11ABB A ⊥平面ABC ,且交线为AB ,由DA AB ⊥,得DA ⊥平面ABC .由BC ⊂平面ABC ,得DA BC ⊥,又DE BC ⊥,且DA DE D ⋂=,所以BC ⊥平面DAE .由AE ⊂平面DAE ,得BC AE ⊥.设,3BE t CE t ==,有2222(3)BA t AC t -=-,解得:1t =.所以4BC =,满足222BA AC BC +=,即AC AB ⊥,所以AC ⊥平面11ABB A .由1BB ⊂平面11ABB A ,得1AC BB ⊥.(2)以A 为坐标原点,,,AB AC AD为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系.((1333,,,1,0,322D E A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,()11531,0,0,,322DA EA ⎛=-=-- ⎝ .设平面1DEA 的法向量(),,n x y z =,由1100n DA n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即0533022x x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩,取1z =,得到平面PBD 的一个法向量()0,2,1n =.又(113BB AA ==-,设直线1BB 与平面1DEA 所成角的大小为θ,则111315sin cos ,1054||n BB n BB n BB θ⋅====⋅⋅.所以直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值为1510.18.(17分)解:(1)设()()()1122,,,,,P P A x y B x y P x y .由2y x =,得2y x '=,所以1l 方程为:()1112y x x x y =-+,整理得:2112y x x x =-.同理,2l 方程为:2222y x x x =-.联立得:1212,2P P x x x y x x +==.设直线AB 的方程为()12y k x =-+,与抛物线方程联立得:220x kx k -+-=故1212,2x x k x x k +==-,所以,22P P kx y k ==-,有22P P y x =-.所以点P 在定直线22y x =-上.(2)在12,l l 的方程中,令0y =,得12,0,,022x x M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以PMN 面积()12121124P S MN y x x x x =⋅=-=.故()()22121232x x x x -=,带入可得:()()22484432k k k k -+-+=.22(2)8(2)40k k ⎡⎤⎡⎤-+--=⎣⎦⎣⎦,解得:0k =或4k =.所以点P 的坐标为()0,2-或()2,2.(3)抛物线焦点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线MF 斜率1112MFMP k x k =-=-,所以MFMP ⊥,同理NF NP ⊥,所以PF 是PMN 外接圆的直径.若点T 也在该圆上,则TF TP ⊥.由74TF k =,得直线TP 的方程为:()4127y x =--+.又点P 在定直线22y x =-上,联立两直线方程,解得点P 的坐标为1614,99⎛⎫⎪⎝⎭.19.(17分)解:(1)()1(1)k P X k p p -==-,1211(1)12(1)3(1)(1),nk n k k p p p p p n p --=⎡⎤-=+-+-++-⎣⎦∑ ,记()211213(1)(1)n n S p p n p -=+-+-+⋯+-,则()()()21112(1)1(1)(1)n n n p S p p n p n p --=-+-+⋯+--+-,相减得:()2111(1)(1)(1)n nn pS p p p n p -=+-+-+⋯+---()1(1)1(1)(1)(1)11n n nnp p n p n p p p----=--=----由题意:()1(1)1()lim lim (1)n n n n n p E X pS n p p p→∞→∞⎡⎤--==--=⎢⎥⎣⎦.(2)(i )()()()()222211212E p E p p p E =-⋅++⋅+-⋅+.解得:221pE p +=.(ii )期待在1n E -次试验后,首次出现连续()1n -次成功,若下一次试验成功,则试验停止,此时试验次数为()11n E -+;若下一次试验失败,相当于重新试验,后续期望仍是n E ,此时总的试验次数为()11n n E E -++.即()()()11111n n n n E p E p E E --=⋅++-⋅++.整理得:()111n n E E p -=+,即111111n n E E p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭.所以1111111n n E E p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭.由(1)知11E p=,代入得:()11nn np E p p -=-.。

河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题(含答案解析)

河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题(含答案解析)

河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知集合{24}A xx =<<∣,{(6)(3)0}B x x x =--≥∣,则()A .2A B∈ B .3A B∈⋂C .4A B∈ D .5A B∈ 2.若复数z 的共轭复数为z ,且(2i)35i z z -+=-+,则z 的虚部为()A .2i-B .2iC .2-D .23.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且123nn S m =⨯-,m ∈R ,则4S =()A .133B .5C .173D .2234.塔是一种在亚洲常见的,有着特定的形式和风格的中国传统建筑.最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑,称“佛塔”.如图,为测量某塔的总高度AB ,选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ,现测得30BCD ∠=︒,45BDC ∠=︒,30CD =米,在C 点测得塔顶A 的仰角为60°,则塔的总高度约为()1.4≈ 1.7≈)A .13米B .24米C .39米D .45米5.函数3sin ||x xy x -=的大致图象是()A .B .C .D .6.某学校为落实“双减”政策,在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动,小明计划从这五项活动中选择三项,则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为()A .0.9B .0.7C .0.6D .0.37.记不等式组30,10,30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩的解集为D ,现有下面四个命题:1:(,)p x y D ∀∈,280x y -+≥;2:(,)p x y D ∃∈,240x y -+>;3:(,)p x y D ∀∈,30x y ++>;4:(,)p x y D ∃∈,330x y +-≤.其中真命题的个数是()A .1B .2C .3D .48.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,过点F 的直线与抛物线交于点A ,B ,与抛物线的准线交于点M ,且点A 位于第一象限,F 恰好为AM 的中点,AF BM λ=()λ∈R ,则λ=()A .32B .43CD9.任意写出一个正整数m ,并且按照以下的规律进行变换:如果m 是个奇数,则下一步变成31+m ,如果m 是个偶数,则下一步变成12m ,无论m 是怎样一个数字,最终必进入循环圈1421→→→,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示为数列{}1:n a a m =(m 为正整数),131,1,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数时当为偶数时,若72a =,则m 的所有可能取值之和为()A .188B .190C .192D .20110.在菱形ABCD 中,5AB =,6AC =,AC 与BD 的交点为G ,点M ,N 分别在线段AD ,CD 上,且13AM MD =,13CN ND =,将MND 沿MN 折叠到MND '△,使GD '=,则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积为()A .1203π16B .627π16C .289π8D .40π11.设双曲线:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,B 为双曲线E 上在第一象限内的点,线段1F B 与双曲线E 相交于另一点A ,AB 的中点为M ,且2F M AB ⊥,若1230AF F ∠=︒,则双曲线E 的离心率为()AB .2CD 12.已知0.618e 1a =-,ln1.618b =,tan 0.618c =,其中e 为自然对数的底数,则()A .c a b >>B .a b c >>C .b a c>>D .a c b>>二、填空题13.二项式523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.14.如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==,AC 与BD 的交点为M ,N 为边AB 上任意点(包含端点),则MB DN ⋅的最大值为________.15.圆22:280M x y x ++-=与x 轴交于A ,B 两点(A 在B 的左侧),点N 满足||2||NA NB =,直线:(0)l y kx m k =+>与圆M 和点N 的轨迹同时相切,则直线l 的斜率为________.16.先将函数()cos f x x =的图象向左平移2π3个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>,纵坐标不变,所得图象与函数()g x 的图象关于x 轴对称,若函数()g x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点,且在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则ω的取值范围是________.三、解答题17.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c cos )sin b a C c A -=.(1)求A ;(2)若ABC D 在线段AC 上,且13AD AC =,求BD 的最小值.18.如图,在四棱锥M ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,4AB =,AD =MC ==45ADC ∠︒,点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ,E 为线段AD上的点(含端点).(1)若E 为线段AD 的中点,证明:平面MOE ⊥平面MAD ;(2)若3AE DE =,求二面角D ME O --的余弦值.19.某公司为了解年营销费用x (单位:万元)对年销售量y (单位:万件)的影响,统计了近5年的年营销费用i x 和年销售量(1,2,3,4,5)i y i =,得到的散点图如图所示,对数据进行初步处理后,得到一些统计量的值如下表所示.51ii u=∑51ii v=∑()()51iii u u v v =--∑()521ii u u =-∑16.1026.020.40 1.60表中ln i i u x =,ln i i v y =,5115i i u u ==∑,5115i i v v ==∑.已知b y a x =⋅可以作为年销售量y关于年营销费用x 的回归方程.(1)求y 关于x 的回归方程;(2)若公司每件产品的销售利润为4元,固定成本为每年120万元,用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用,才能使得该产品一年的收益达到最大?(收益=销售利润-营销费用-固定成本)参考数据: 4.399e 81≈139≈.参考公式:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()`121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑,ˆˆv u αβ=-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,离心率为12,且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在㮋圆上.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过右焦点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为Q ,经过坐标原点O 和点Q 的直线m 与椭圆C 交于M ,N 两点,求四边形AMBN 的面积的取值范围.21.已知函数()2cos sin ()f x mx mx x x m =--∈R .(1)当1m =时,求()f x 在点()()π,πf 处的切线方程;(2)当0x >时,()0f x >,求实数m 的取值范围.22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1,1,x t y t =+⎧⎨=-⎩其中t 为参数,以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2|sin |2|cos |ρθθ=+,其中θ为参数.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程,并画出曲线C 的简图(无需写出作图过程);(2)直线:m θα=π0,2α⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭与曲线C 相交于A ,B两点,且||AB =α的值.23.已知函数()2|1||1|4f x x x =++--的最小值为m .(1)在直角坐标系中画出()y f x =的图象,并求出m 的值;(2)a ,b ,c 均为正数,且1a b c m ++=-+,求222a b c b c a++的最小值.参考答案:1.B【分析】根据二次不等式解法求出集合B ,求出A B ⋂及A B ⋃,根据元素和集合的关系即可逐项判断.【详解】由题可知{6B x x =≥∣或3}x ≤,则{23}A B xx ⋂=<≤∣,{4A B x x ⋃=<∣或6}x ≥,依据选项可知B 正确.故选:B .2.D【分析】先根据条件求出复数z ,然后可得虚部.【详解】设复数i z a b =+,a ,b ∈R ,则i (2i)(i)a b a b +-+-()(3)i a b b a =-++-35i =-+,即()335a b b a -+=-⎧⎨-=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩,则12z i =+,故z 的虚部为2.故选:D .3.B【分析】先根据n S 的定义依次求出123,,a a a ,再由等比数列的定义即可得到关于m 的关系式,解之即可得出答案.【详解】因为123nn S m =⨯-,当1n =时,1123a S m ==-,当2n =时,21243m a S a =+=-,则223a =,当3n =时,312383a m a a S +=+-=,则343a =,因为{}n a 是等比数列,所以322a q a ==,则2113a a q ==,所以2133m -=,解得13m =,则11233n n S =⨯-,则45S =.故选:B.4.C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系,在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解.【详解】设AB m =,则tan 60m BC ==︒,在BCD △中,105CBD ∠=︒,由正弦定理得sin105sin 45CD BC=︒︒,因为()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos60cos 45sin 60=︒︒+︒︒=,代入数据,解得90m =-9030 1.739≈-⨯=(米),故选:C .5.A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项B,D ;再利用特殊值即可排除选项C ,进而求解.【详解】函数3sin ()xx xy f x -==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ,且3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-,所以()f x 是奇函数,图象关于原点对称,排除B,D 选项,只需研究0x >的图象,当π6x =时,πππ33sin 06662-=-<,则π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,排除C 选项.故选:A .6.B【分析】方法一:根据排列组合结合分类加法法则得出答案;方法二:先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率,即可根据对立事件的概率求法得出答案.【详解】方法一:“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况:①都没有被选中,有33C 种情况;②两项活动只有一项被选中,有1223C C 种情况,则所求概率为31232335C C C 70.7C 10P +===,故选B .方法二:“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”,故所求概率为123235C C 710.7C 10P =-==,故选:B .7.C【分析】作出不等式组所表示的区域,再逐项的作出对应直线,观察所作直线与可行域的关系,再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.【详解】不等式组的解集D 表示的可行域如图中阴影部分所示,依据图(1)知命题1p 为真命题,依据图(2)知命题2p 为真命题,依据图(3)知命题3p 为假命题,依据图(4)知命题4p 为真命题.所以真命题有3个,故选:C .8.A【分析】过点A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为N ,E ,根据抛物线的定义,又F 恰好为AM 的中点,可得到比例||||AF BM ,进一步推导得到λ的值.【详解】如图,过点A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为N ,E ,根据抛物线的定义得||||AF AN =,||||BF BE =,因为F 为AM 的中点,所以||||||||1||||||AF BF BM BF BM BM BM +==+,又||||||||BF BE BM BM ==||||1||||2AN AF AM AM ==,所以||||1311||||22AF BF BM BM =+=+=,所以32λ=.故选:A 9.B【分析】列举出1234567a a a a a a a →→→→→→的可能情况,可得出m 的所有可能取值,相加即可得解.【详解】由题意,1234567a a a a a a a →→→→→→的可能情况有:①2142142→→→→→→;②16842142→→→→→→;③2010516842→→→→→→;④310516842→→→→→→;⑤128643216842→→→→→→;⑥21643216842→→→→→→;所以,m 的可能取值集合为{}2,16,20,3,128,21,m 的所有可能取值之和为21620312821190+++++=.故选:B.10.B【分析】设MN 与BD 的交点为H ,连接D H ',证明D G '⊥平面ABC .设ABC 的外接圆圆心为1O ,AD C ' 的外接圆圆心为2O ,过1O ,2O 分别作平面ABC ,平面AD C '的垂线,设两垂线交于点O ,则O 是三棱锥D ABC '-外接球的球心,先求出12,r r ,再求出三棱锥D ABC '-的外接球的半径R 即得解.【详解】如图所示,因为13AM MD =,13CN ND =,所以//MN AC ,设MN 与BD 的交点为H ,连接'D H ,因为5AD CD AB ===,3GA GC ==,所以4DG =,则1GH =,3DH =,所以3D H '=.又GD '=222D G GH D H ''+=,则D G GH '⊥.又D G AC '⊥,AC HG G ⋂=,AC HG ⊂,平面ABC ,故D G '⊥平面ABC .设ABC 的外接圆圆心为1O ,AD C ' 的外接圆圆心为2O ,过1O ,2O 分别作平面ABC ,平面AD C '的垂线,设两垂线交于点O ,则O 是三棱锥D ABC '-外接球的球心,且四边形12O OO G 为矩形.设ABC 的外接圆半径为1r ,在ABC 中,由()2221143r r -+=,解得1258r =,同理可得AD C ' 的外接圆半径28r =,所以28GO =.设三棱锥D ABC '-的外接球半径为R ,则22212R O A GO =+6252627646464=+=,则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积26274π16S R π==.故选:B .11.D【分析】连结连接2AF 、2BF .设2AF =2BF m =,根据双曲线的定义可推得||4AB a =,即2m a =.进而在直角三角形中,根据勾股定理可得2F M 结合已知条件,即可得出222c a =,从而得出离心率.【详解】如图,连接2AF 、2BF .因为M 为AB 的中点,2F M AB ⊥,所以22AF BF =.设2AF =2BF m =,因为212AF AF a -=,所以12AF m a =-.又因为122BF BF a -=,所以1BF =2m a +,则11||4AB BF AF a =-=.因为M 为AB 的中点,所以||||2AM BM a ==,则1F M m =.设122F F c =,在12Rt F F M △中,2F M =在2Rt AF M △中,2F M =,整理可得22222m a c =+,所以2F M =.当1230AF F ∠=︒时,12sin AF F ∠=212F M F F=122c =,则222c a =,所以离心率为ce a==故选:D .12.D【分析】构造函数()1tan x f x x =--e ,π04x <<,利用导数判断其单调性即可判断,a c 的大小;ln1.618ln(10.618)b ==+,可构造函数()ln(1)h x x x =+-判断ln1.618b =与0.618的大小,构造函数()tan k x x x =-判断0.618与tan 0.618的大小,从而可判断,b c 的大小.【详解】令()1tan xf x x =--e e cos cos sin cos x x x xx--=,π04x <<,令()e cos x g x x =-cos sin x x -,则()(sin cos )e x g x x x '=-+sin cos x x +-()e 1(cos sin )xx x =--,当π04x <<时,()0g x '>,则()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,又(0)110g =-=,所以当04x π<<时,()0g x >,又cos 0x >,所以()0f x >在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,又00.6184π<<,所以(0.618)0f >,即a c >.令()ln(1)h x x x =+-,则1()111x h x x x -=-=++',当02x π<<时,()0h x '<,所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以当02x π<<时,()(0)0h x h <=,即ln(1)x x +<.令()tan k x x x =-,则21()10cos k x x '=-≤,()k x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以当02x π<<时,()(0)0k x k <=,即tan x x <,所以ln(1)tan x x x +<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.令0.618x =,则ln(0.6181)0.618tan 0.618+<<,所以c b >.综上所述,a c b >>.故选:D .【点睛】构造函数比较大小主要方法有:1.通过找中间值比较大小,要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系,这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量,把要比较的数和中间变量比较大小,从而找到他们之间的大小;2.通过构造函数比较大小,要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值,我们只要构造出函数,然后找到这个函数的单调性,就可以通过自变量的大小关系,进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.13.90【分析】由二项式展开式通项公式可求.【详解】由题知()52153C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C 3r r rx -=⋅⋅,当2r =时,4390T x =,故4x 的系数为90.故答案为:90.14.52##2.5【分析】以点A 为坐标原点,AB ,AD的方向为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,写出对应点的坐标,设(,0)N m (02)m ≤≤,根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以点A 为坐标原点,AB,AD 的方向为x 轴,y 轴正方向,建立平面直角坐标系,则11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭,(2,0)B ,(0,1)D ,设(,0)N m (02)m ≤≤,所以11,2MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,(,1)DN m =- ,则MB DN ⋅= 12m +,因为02m ≤≤,所以1522MB DN ≤⋅≤ ,即MB DN ⋅ 的最大值为52.故答案为:52.15【分析】求出A 、B 坐标,设N (x ,y ),求出N 的轨迹圆E 的方程,作出图象,利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率.【详解】对于圆22:280M x y x ++-=,令0y =,得2280x x +-=,解得4x =-或2x =,则()4,0A -,()2,0B .设(,)N x y ,∵2NANB=,∴2NA NB =,=,整理得22(4)16x y -+=,则点N 的轨迹是圆心为()4,0E ,半径为4R =的圆.又圆M 的方程为22(1)9x y ++=,则圆M 的圆心为(1,0)-,半径为3r =.∵434(1)43-<--<+,∴两圆相交,设直线l 与圆M 和点N 轨迹圆E 切点分别为C ,D ,连接CM ,DE ,过M 作DE 的垂线,垂足为点F ,则四边形CDFM 为矩形,∵5ME =,431EF DE DF R CM =-=-=-=,∴MF =则tan 12EF FME MF∠==,则两圆公切线CD 的斜率即为直线FM 的斜率为12.故答案为:12.16.11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到()g x 的解析式,然后结合函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点以及在ππ,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增,列出不等式组,即可求得本题答案.【详解】函数()f x 的图象向左平移2π3个单位长度,得到2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的1ω,纵坐标不变,得到2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,因为函数()g x 的图象与2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称,所以2π()cos 3g x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2ππsin 32x ω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为20π3x ≤≤,所以ππ2ππ6636x ωω≤+≤+,又因为π()sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有2个零点,且()sin π0k =,Z k ∈,所以2π2ππ3π36ω≤+<,解得1117<44ω≤,令22πππ2π2π262k x k ω-+≤+≤+,2k ∈Z ,得222π2π2ππ33k k x ωωωω-+≤≤+,2k ∈Z ,令20k =,得()g x 在2ππ,33ωω⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增,所以ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2ππ,33ωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦,所以2ππ312ππ312ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,又0ω>,解得04ω<≤.综上所述,1144ω≤≤,故ω的取值范围是11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦17.(1)π3A =;【分析】(1)根据正弦定理,结合三角恒等变换化简可推得tan A =(2)由已知可推得9bc =.在ABD △中,由余弦定理可推得2221193c b bc BD =+-,然后根据基本不等式,即可得出BD 的最小值.【详解】(1sin cos )sin sin B A C C A -=,又πA B C ++=]sin()sin cos sin sin A C A C C A +-=,sin A C sin sin C A =.又sin 0C >sin A A =,则tan A =.因为(0,π)A ∈,所以π3A =.(2)由(1)知π3A =,则ABC 的面积为1πsin 23S bc ===9bc =.在ABD △中,13AD b =,由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2211π2cos 933c b c b =+-⨯⨯⨯221193c b bc =+-≥13bc 133bc ==,当且仅当2219c b =,即b =c =所以BD18.(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中,利用勾股定理证明ED ⊥EO ,再结合ED ⊥MO 即可证明AD ⊥平面MOE ,从而可证明平面MOE ⊥平面MAD ;(2)连接OA ,证明DO OA ⊥,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量即可求解二面角的余弦值.【详解】(1)∵AD ⊂平面ABCD ,MO ⊥平面ABCD ,∴MO AD ⊥.∵O 为线段CD 的中点,E 为线段AD 的中点,∴2DO =,DE =∵=45ADC ∠︒,由余弦定理得22222222EO =+-⨯⨯,则222EO DE DO +=,则DE EO ⊥.∵MO EO O ⋂=,,MO EO ⊂平面MOE ,∴AD ⊥平面MOE ,又∵AD ⊂平面MAD ,∴平面MOE ⊥平面MAD .(2)连接OA ,由(1)知当E 为线段AD 的中点时,AE DE EO ===则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上,故DO OA ⊥.故以O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又MC =,则2MO =,∴(0,0,0)O ,(2,0,0)D ,(0,2,0)A ,(0,0,2)M .又3AE DE =,则13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭,∴(0,0,2)OM = ,(2,0,2)DM =- ,(2,2,0)DA =-,13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z = ,则1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,,解得1111x z x y =⎧⎨=⎩,,取11x =,则平面MAD 的一个法向量为(1,1,1)m =.设平面MEO 的法向量为()222,,x n y z = ,则2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩,,解得22230x y z =-⎧⎨=⎩,,取23x =,则平面MEO 的一个法向量为(3,1,0)n =-.则cos 15m n m n m n⋅⋅==⋅,则二面角D ME O --的余弦值为15.19.(1)1481y x =(2)该公司每年投入351万元营销费用时,该产品一年的收益达到最大【分析】(1)根据题目要求可知,y 关于x 的回归方程为非线性的,设b y a x =⋅,可得ln ln ln y a b x =+,代入已知条件所给的数据,计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式,通过求导来求得最值.【详解】(1)由b y a x =⋅得,ln ln()ln ln b y a x a b x =⋅=+,令ln u x =,ln v y =,ln c a =,则v c bu =+.由表中数据可得,()()()515210.4ˆ0.251.6iii ii u u v v bu u ==--===-∑∑,则26.0216.1ˆˆ0.25 4.39955cv bu =-=-⨯,所以ˆ 4.3990.25v u =+.即ˆln 4.3990.25ln y x =+14.3994ln e x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,因为 4.399e 81≈,所以14ˆ81y x =,故所求的回归方程为1481y x =.(2)设年收益为W 万元,则144120324120W y x x x =--=--,对()W f x =求导,得34'()811f x x -=-,令348110x --=,解得132433519x =≈⨯=,当(0,351)x ∈时,'()0f x >,()f x 单调递增,当(351,)x ∈+∞时,'()0f x <,()f x 单调递减,因此,当351x =时W 有最大值,即该公司每年投入351万元营销费用时,该产品一年的收益达到最大.20.(1)22143x y +=;(2)[6,.【分析】(1)由题得到关于,,a b c 的方程,解方程即得解;(2)设直线l 的方程为1x ky =+,联立椭圆C 的方程得到韦达定理,设线段AB 的中点为()00,Q x y ,求出它的坐标,求出||AB 、点M ,N 到直线l 的距离12,d d,再化简求出S =即得解.【详解】(1)设椭圆右焦点的坐标为(,0)(0)c c >,则12c a =,即2a c =,又222a b c =+,则223b c =,因为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上,所以221914a b +=,即2213144c c +=,解得1c =,则2a =,b =C 的标准方程为22143x y +=.(2)由(1)知(1,0)F ,因为直线l 的斜率不为0,所以可设直线l 的方程为1x ky =+,代入椭圆C 的方程22143x y +=,消去x 化简得()2234690k y ky ++-=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则122634ky y k -+=+,122934y y k -=+.设线段AB 的中点为()00,Q x y ,则12023234y y k y k +-==+,200231134kx ky k -=+=+2434k =+,即2243,3434k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,则直线m 的方程为34k y x =-,代入椭圆C的方程可得x =M ⎛⎫,N ⎛⎫⎝.12||AB y =-===()2212134k k +=+,点M ,N 到直线l的距离分别为1d =2d =,则四边形AMBN 的面积为1211||||22S AB d AB d =⨯⨯+⨯⨯()121|2AB d d =⨯⨯+∣1||2AB =⨯⨯.因为点M ,N 在直线l的两侧,所以1||2S AB =⨯1||2AB =⨯⨯1||2AB =⨯()221211234k k +=⨯+===,因为2110344k <≤+,所以6S ≤<因此,四边形AMBN 的面积的取值范围为[6,.21.(1)4πy x =-(2)[1,)+∞【分析】(1)由导数法求切线;(2)法一:对m 分类讨论,由导数法研究函数单调性及符号即可判断,其中1m ≥时,由作差法说明()2cos sin f x x x x x ≥--,将问题转化为判断()2cos sin g x x x x x =--的符号;法二:不等式等价为sin 2cos xmx x>-,由导数法研究sin ()2cos x g x x =-图象性质,由数形结合判断范围.【详解】(1)因为()2cos sin f x x x x x =--,所以()22cos sin f x x x x '=-+,因为()π4f '=,()π3πf =,所以切线方程为()3π4πy x -=-,即4y x π=-.(2)方法一:i.若1m ≥,由2cos sin (2cos sin )mx mx x x x x x x -----2(1)(1)cos m x m x x =---(1)(2cos )0m x x =--≥,可得()2cos sin f x x x x x ≥--,设()2cos sin g x x x x x =--,则()22cos sin g x x x x '=-+,当(0,]x π∈时,()0g x '>,所以()g x 单调递增,则()(0)0g x g >=;当(,)x ∈π+∞时,()(1cos )(sin )0g x x x x x =-+->,所以()0g x >,所以()0f x >恒成立,符合题意;ii.若0m ≤,()2cos sin f x mx mx x x =--(1cos )sin mx x mx x =-+-,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x <,不合题意.iii.若01m <<,()2(1)cos sin f x m m x mx x '=-++,设()()h x f x '=,则()(21)sin cos h x m x mx x '=++,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '>,所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,因为ππ2022f m ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭',(0)0f '<,所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x '=,当()00,x x ∈时,()0f x '<,则()f x 在()00,x 上单调递减,()(0)0f x f <=,不合题意.综上所述,m 的取值范围为[1,)+∞.方法二:由题知当0m >时,2cos sin 0mx mx x x -->,即(2cos )sin mx x x ->,因为2cos 0x ->,所以sin 2cos x mx x >-.设sin ()2cos x g x x=-,因为(2)()g x g x π+=,所以()g x 为周期函数,且周期为2π.22cos (2cos )sin ()(2cos )x x x g x x --'=-22cos 1(2cos )x x -=-,令()0g x '=,则π2π3x k =+或5π2π3x k =+,k ∈Z ,所以当ππ2π,2π33x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭,k ∈Z 时,()0g x '>,则()g x 单调递增;当π5π2,2π33x k k π⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭,k ∈Z 时,()0g x '<,则()g x 单调递减.当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,令()()h x g x '=,则32sin (1cos )()0(2cos )x x h x x -+'=<-,则()()h x g x '=单调递减,∴()(0)1g x g ''<=.当1m =时,直线y mx =与曲线()y g x =相切,如图,根据图象可知,要使sin 2cos x mx x>-,只需m 1≥,故实数m 的取值范围为[1,)+∞.【点睛】恒成立问题,一般可通过分离参数法,转化为由导数法研究不含参部分的最值;或者对参数分类讨论,由导数法分别说明.22.(1)20x y +-=,222||2||0x y x y +--=,作图见解析;(2)π12α=或5π12α=.【分析】(1)消去参数t ,即可得出直线的普通方程.根据公式即可求得曲线C 的直角坐标方程.然后根据方程作图即可;(2)设点A 位于第一象限,由图象集合已知条件可推出2sin 2cos A ραα=+,2sin 2cos B ραα=+.由||AB =πsin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.然后根据α的范围,即可得出α的值.【详解】(1)将直线的参数方程消去t ,得普通方程为20x y +-=.曲线C 的极坐标方程为2|sin |2|cos |ρθθ=+,即22|sin |2|cos |ρρθρθ=+,又222x y ρ=+,cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以曲线C 的直角坐标方程为222||2||0x y x y +--=.则曲线C的简图如图所示.(2)不妨设点A 位于第一象限,结合图形和直线:0,2m πθαα⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭可知,2sin 2cos A ραα=+,2sin(π)2cos(π)B ραα=-+-+2sin 2cos αα=+,则||4sin 4cos A B AB ρραα=+=+π4α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以πsin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ3π,444α+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则ππ43α+=或π2π43α+=,所以π12α=或5π12α=.23.(1)作图见解析,2m =-(2)3【分析】(1)写出f (x )解析式,按照一次函数图象画法即可画出图象,根据图象即可求出最小值m ;(2)利用基本不等式得22a b a b +≥,22b c b c +≥,22c a c a +≥,三式相加即可求得222a b c b c a++的最小值.【详解】(1)由题知()35,1,1,11,33,1,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩描点(2,1)-,(1,2)--,(1,0),(2,3),连线得()y f x =的图象如图所示.通过图象可知,当=1x -时,函数()y f x =的最小值为2-,即2m =-.(2)由(1)知2m =-,13a b c m ++=-+=,22a b a b+≥,22b c b c +≥,22c a c a +≥,三个式子相加得2223a b c a b c b c a++≥++=,当且仅当1a b c ===时等式成立,∴222a b c b c a++的最小值为3.。

重庆市2023届高考模拟练习(四)数学试题

重庆市2023届高考模拟练习(四)数学试题

重重重2023重重重重重重重重重重重重重重数学测试卷共4页 满分150分.考试时间120分钟.一、选择题:本题共8小题 每小题5分 共40分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.1.设1i2i 1i z -=++ 则||z =A .0B .12 C .1 D 22.已知全集为R 集合A ={x|x ≥0} B ={x|x2-6x +8≤0} 则A ∩(∁RB)=( )A .{x|x ≤0}B .{x|2≤x ≤4}C .{x|0≤x <2或x >4}D .{x|0<x ≤2或x ≥4} 3.(2020·全国高三月考(文))已知向量()2,1m =-(),2n λ= 若()2m n m -⊥ 则λ=( )A .94 B .94-C .7-D .74.(2020·河南郑州市·高二期中(理))如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案 会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的 其中11223781OA A A A A A A ===⋯== 如果把图2中的直角三角形继续作下去 记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a 则此数列的通项公式为( )A .n a n = *n N ∈ B .1n a n =+*n N ∈C .n a n = *n N ∈D .2n a n = *n N ∈5.(2020·全国高三月考(理))已知正实数a b 满足1a b += 则1231⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b 的最小值为( )A .146+B .25C .24D .1236.(2020·河南高二月考(理))在ABC 中 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 已知()2sin 232BA C +=.2a = 3c = 则sin 2A 的值为( ) A .27B .33C .43D .321147.(2020·全国高三月考(理))已知a 、b 满足0a b e <<< 则ln +b a a a 与ln +a bb b 的大小关系为( )A .ln ln +>+a b a b a b a b B .ln ln +=+a b a ba b a b C .ln ln +<+a b a b a b a b D .不能确定8.(2020·小店区·山西大附中高二月考)在正方体1AC 中 E 是棱1CC 的中点 F 是侧面11BCC B 内的动点 且1A F与平面1D AE的垂线垂直 如图所示 下列说法不正确的是( )A .点F 的轨迹是一条线段B .1A F与BE 是异面直线C .1A F与1D E不可能平行 D .三棱锥1F ABD -的体积为定值多项选择题(本大题共4小题 每小题5分 共20分.全部选对的得5分 部分选对的得3分 有选错的得0分)9.(2020·重庆市万州第二高级中学高一期中)德国数学家狄里克雷()18051859-在1837年时提出:“如果对于x 的每一个值 y 总有一个完全确定的值与之对应 那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵 只要有一个法则 使得取值范围内的每一个x 都有一个确定的y 和它对应就行了 不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数()D x 即:当自变量x 取有理数时 函数值为1 当自变量x 取无理数时 函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识 也使数学家们更加认可函数的对应说定义 下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是( )A .()0D π= B .()D x 是奇函数C .()D x 的值域是{}0,1D .()()1D x D x +=10.(2020·江苏海安市·高三期中)若2nx x ⎛⎝的展开式中第6项的二项式系数最大 则n 的可能值为( )A .9B .10C .11D .1211.(2020·烟台市福山区教育局高三期中)已知函数()sin xf x x =(]0,x π∈ 则下列结论正确的有( ) A .()f x 在区间(]0,π上单调递减B .若120x x π<<≤ 则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C .()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D .若函数()()cos g x xg x x'=+ 且()1g π=-()g x 在(]0,π上单调递减12.(2021·福建省福州第一中学高三期中)如图 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3 线段11B D 上有两个动点,E F 且1EF = 以下结论正确的有( )A .AC BE ⊥B .异面直线,AE BF 所成的角为定值C .点A 到平面BEF 的距离为定值D .三棱锥A BEF -的体积是定值第Ⅱ卷 非选择题三、填空题:本题共4小题 每小题5分 共20分. 13.二项式()nx x 2+的二项式系数之和为64 则展开式中的6x 的系数是 (填数字)14.己知βα,为锐角 211)tan(-=+βα 54cos =β 则=αsin 15.已知点P 是椭圆14:22=+y x C 上一点 椭圆C 在点P 处的切线l 与圆4:22=+y x O交于A B 两点 当三角形AOB 的面积取最大值时 切线l 的斜率等于 16.已知四边形ABCD 为平行四边形 4=AB 3=AD 3π=∠BAD 现将ABD ∆沿直线BD 翻折 得到三棱锥BCD A -' 若13='C A 则三棱锥BCD A -'的内切球与外接球表面积的比值为 .四、解答题:本题共6小题 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 中 内角,,A B C 的对边分别为a b c 2a b = 1cos 4C =. (1)求sin B ;(2)若ABC 的外接圆面积为8π5求ABC 面积.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ()11nn n a a n +=+-⋅ 25S =. (1)证明:{}2n a 是等差数列; (2)求100S .19. 为了保障学生们的合法权益 并保证高考的公平性 重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差 也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后 重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩 其中地理成绩均在[]30,100(单位:分) 将收集到的地理成绩按[)[)[)[]30,40,40,50,,80,90,90,100⋅⋅⋅分组 得到频率分布直方图如下.(1)求a 并估计该校2022年高考地理科的平均成绩;(同一组数据用该区间的中点值作代表)(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20% 物理类考生占80% 历史类考生中选考地理的占90% 物理类考生中选考地理的占5% 历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8% 若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流 求选到历史类考生的概率(以样本中各区间的频率作为相应事件的概率). 20. 如图 在三棱柱111ABCA B C 中 1BC CC = 1AC AB =.(1)证明:平面1ABC ⊥平面11BCC B ; (2)若2BC = 1AB B C = 160CBB ∠=︒ 求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.21. 已知函数()1ln f x x x =--. (1)证明:()0f x ≥; (2)已知函数()21ln 2g x x x a =--与函数()y af x =图象恰有两个交点 求实数a 的取值范围.22. 已知抛物线C :()220y px p =>的焦点为F 过点F 引圆M :()()221114x y ++-=的一条切线切点为N192 FN .(1)求抛物线C的方程;(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线切点分别为P Q是否存在点A使得APQ△的面积为332若存在求点A的个数;否则请说明理由.。

高三数学一轮复习暑假集训小测验附答案解析

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8月小测一、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3},集合S={−3,0,1},T={−1,2},则∁U(S∪T)等于().A. ⌀B. {−2,3}C. {−2,−1,2,3}D. {−3,−1,0,1,2}【答案】B【解析】【分析】根据并集、补集的定义计算可得.【详解】解:因为S={−3,0,1},T={−1,2},所以S∪T={−3,−1,0,1,2},又U={−3,−2,−1,0,1,2,3},所以∁U(S∪T)={−2,3}.故选:B2.“1a <1b”是“log2a>log2b”的().A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数函数的性质分析判断即可.【详解】若a=−1,b=−2,则满足1a <1b,而不满足log2a>log2b,当log2a>log2b时,a>b>0,所以aab >bab>0,即1a<1b,所以“1a <1b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件,故选:B3.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,⋯,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为A. 6B. 8C. 12D. 18【答案】C 【解析】【详解】试题分析:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为0.36,所以第三组的人数:18人,第三组中没有疗效的有6人,第三组中有疗效的有12人.考点:频率分布直方图4.函数f (x )=e x +1x 3(e x −1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【解析】先根据函数的奇偶性排除A 、C ,再由 x →+∞ 时, f (x ) 的趋向性判断选项即可【详解】由题, f (x ) 的定义域为 {x|x ≠0} ,因为 f (−x )=e −x +1−x 3(e −x −1)=e x +1x 3(e x −1)=f (x ) ,所以 f (x ) 是偶函数,图象关于 y 轴对称,故排除A 、C ; 又因为 f (x )=e x +1x 3(e x −1)=1x 3+2x 3(e x −1) ,则当 x →+∞ 时, x 3→+∞ , e x −1→+∞ ,所以 f (x )→0 , 故选:D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分。

2013—2014届高三数学小练习及答案(4)

2013—2014届高三数学小练习及答案(4)

高三数学小练(4)1. 若集合{}{}1,21,2,3,4A ⊆Ü,则满足条件A 有 个.2. 若复数2014z i i=+,则10z z+的模等于 .3. 函数()sin sin 3y x x π=+-的最小正周期为 .4. 已知函数()()2log ,12,01x x f x f x x ⎧⎪=⎨<<⎪⎩≥,则()312f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦= . 5. 根据如图所示的伪代码,可知输出S 的值为 .6. 中小学校车安全引起全社会的关注,为了消除安全隐患,某市组织校车安全大检查,某校有甲、乙、丙、丁四辆车,分两天对其进行检测,每天检测两辆车,则甲、乙两辆车在同一天被检测的概率为 .7. 某高中共有学生2000名,各年级男、女生人数如右表,已知在全校学生中随机抽取1人,抽到高二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则在高三年级应抽取 名学生. 8. 已知()121xf x a =--是定义在(][),11,-∞-+∞上的奇函数,则()f x 的值域为 .9. 已知()()1,2,4,a x b y =-=,若a b ⊥,则93xy+的最小值为 .10. 设{}n a 为递减的等比数列,其中q 为公比,前n 项和n S ,且{}{}123,,4,3,2,0,1,2,3,4a a a ⊆---,则1051Sq -= . 11. 双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,渐近线分别为12,l l ,点P 在第一象限内且在1l 上,若21l PF ⊥,22l PF ∥,则双曲线的离心率为 .12. 若对于给定的负实数k ,函数()k f x x=的图象上总存在点C ,使得以C 为圆心,1为半径的圆上有两上不同的点到原点的距离为2,则k 的取值范围为 .13.如图长方体__1111ABCD A B C D 中,底面1111A B C D 是正方形,O 是BD 的中点,E 是棱1AA 上任意一点.⑴求证:1BD EC ⊥;⑵如果12,AB AE OE EC ==⊥,求1AA 的长.14.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}2n a 的前n 项和为n T ,且()2234,n n S T n N *-+=∈.A 118223Pr int i While i i i S i End While S←<←+←+ 第5题⑴证明:数列{}n a 是等比数列,并写出通项公式;⑵若20n n S T λ-<对n N *∈恒成立,求λ的最小值;1. 32.3. 2π4. 125. 216. 137. 16 8.)(3113,,2222⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9. 6 10. 33411. 213. (]0,612. 902k -<<14. 解:(1)当n=1时,11a =;当n=2时,212a =当n ≥3时,有()()221123230n n n n S T S T ++⎡⎤-+--+=⎣⎦得:化简得:11430n n n S S a +++-+=…………3分又 -1430n n n S S a +-+= ∴12n n a a += ∴{}n a 是1为首项,12为公比的等比数列11,2n n a n N *-=∈ ………………6分(2)()()22141=41,1234n nn n S T ⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴26321n n n S T λ>=-+ ∴3λ≥ (11)。

江苏省苏州大学2024届高三下学期数学试题练习卷(4)

江苏省苏州大学2024届高三下学期数学试题练习卷(4)

江苏省苏州大学2024届高三下学期数学试题练习卷(4)注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效. 5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足1z =,则z i -(其中i 为虚数单位)的最大值为( ) A .1B .2C .3D .42.已知函数()()3sin f x x ωϕ=+,()0,0πωϕ><<,若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =,则ω的最大值为( ) A .1234 B .1114C .1054D .11743.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则x y +=( )A .170B .10C .172D .124.抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ,过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点,使得A 是BC 的中点,则直线l 的斜率为( ) A .13±B .22C .±1D . 3±5.已知等差数列{}n a 的公差不为零,且11a ,31a ,41a 构成新的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若存在n 使得0n S =,则n =( )A .10B .11C .12D .136.若复数z 满足(2)(1)z i i =+-(i 是虚数单位),则||z =( )A .102B .10C .52D .57.已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上,PA 2=,PB 14=,AB =4,CA =CB 10=,面PAB ⊥面ABC ,则球O 的表面积为( ) A .103πB .256πC .409πD .503π8.抛物线的焦点是双曲线的右焦点,点是曲线的交点,点在抛物线的准线上,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线的离心率为( ) A .B .C .D .9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅=( ) A .-2B .-4C .3D .-310.用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于1的概率为( ) A .427B .13C .127D .1911.已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若()()0f x x R ≥∈恒成立,则满足条件的a 的个数为( )A .0B .1C .2D .312.已知全集U =R ,函数()ln 1y x =-的定义域为M ,集合{}2|0?N x x x =-<,则下列结论正确的是A .M N N =B .()UMN =∅C .MN U =D .()UM N ⊆二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2024届福建省部分地市高三下学期4月诊断检测(三模)数学数学答案

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绝密★启用前试卷类型:A2023-2024学年福州市高三年级第三质量检测评分参考数学2024.4一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(i 是虚数单位),则z =A .1-B .1C .i-D .i解析:∵i i 1i z +=+,∴i 1z =,即i z =-,故选C.2.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,cos α=,(,2)P m 为其终边上一点,则m =A .4-B .4C .1-D .1解析:∵cos α=,∴2tan 2m α==,∴1m =,故选D .解析:结合该函数为偶函数,及()03f =可判断应选A.4.在菱形ABCD 中,若||||AB AD AB -= ,且AD 在AB 上的投影向量为AB λ,则λ=A .12-B .12C .22-D .22解析:由已知AB AD AB -=知该菱形中AB AD BD ==,∴由D 向AB 作垂线,垂足即为AB 中点,∴12λ=,故选B .5.已知5log 2a =,2log b a =,1(2bc =,则A.c b a >>B.c a b>> C.a b c >> D.b c a>>解析:∵55log 2log 51a =<=,∴2log 0b a =<,1(12b c =>,∴c a b >>,故选B.6.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 为1BD 上的动点,O 为底面ABCD 的中心,则OP 的最小值为 A.33B.63C.66D.32解析:在正方体中,易知AC BD ⊥,1AC DD ⊥,且1BD DD D = ,∴AC ⊥平面1BDD ,易知当OP ⊂平面1BDD ,且1OP BD ⊥时,OP 的长度最小,在1RT BDD △中,不难求得66OP =,故选C.7.若直线y ax b =+与曲线e xy =相切,则a b +的取值范围为A .(,e]-∞B .[2,e]C .[e,)+∞D .[2,)+∞解析:设切点为00(,e )x x ,则0e ,x a =∴切线方程为000e ()e x x y x x =-+,则00(1)e x b x =-,∴00(2)e x a b x +=-,设00()(2)e x f x x =-,则00()(1)e x f x x '=-,易知函数()(1)e f x f ≤=,又(2)02f =<,故可判断选A.(由图象知当且仅当切线与曲线相切于()1,e 时,11e e a b a b +=⨯+==最大,亦可知选A.)8.已知函数()2sin cos )f x x x x ωωω=+(0)ω>在π(0,)3上单调递增,且对任意的实数a ,()f x 在(,π)a a +上不单调,则ω的取值范围为A .5(1,]2B .5(1,]4C .15(,22D .15(,]24解析:∵π()2sin cos )2sin(2)3f x x x x x ωωωω=+=-+∵()f x 在π(0,3上单调递增,∴πππ2332ω⋅-≤,∴54ω≤,∵对任意的实数a ,()f x 在区间(,π)a a +上不单调,∴()f x 的周期2πT <,∴2π2π2T ω=<,∴12ω>,∴1524ω<≤,故选D .二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案ABDACDBC9.双曲线2222:13x y C a a-=(0)a >的左、右焦点分别为1F ,2F ,且C 的两条渐近线的夹角为θ,若12||2F F e =(e 为C 的离心率),则解析:易知该双曲线实半轴为a ,半焦距为2a ,∴离心率22ae a==,∴焦距44a =,即1a =,∴选项A 正确,选项C 错误;易知C 的两条渐近线的斜率为3k a=±=,∴这两条渐近线的倾斜角分别为π3和2π3,∴C 的两条渐近线的夹角为π3,∴选项B ,D 正确;综上所述,应选ABD .10.定义在R 上的函数()f x 的值域为(,0)-∞,且(2)()()0f x f x y f x y ++-=,则A .(0)1f =-B .2(4)[(1)]0f f +=C .()()1f x f x -=D .()()2f x f x +-≤-解析:令0x y ==,则()()2000f f+=,∵函数()f x 的值域为(,0)-∞,∴(0)1f =-,选项A 正确;令1x =,0y =,则2(2)[(1)]f f =-,令2x =,0y =,则24(4)[(2)][(1)]f f f =-=-,∴选项B 错误;令0x =,则(0)()()0f f y f y +-=,∴()()(0)1f y f y f -=-=,即()()1f x f x -=,∴选项C 正确;∵()0f x ->,()0f x -->,∴[()()]2f x f x -+-≥∴()()2f x f x +-≤-,故选项D 正确;综上所述,应选ACD .11.投掷一枚质地均匀的硬币三次,设随机变量1,1,(1,2,3)n n n X n ⎧==⎨-⎩第次投出正面,第次投出反面,.记A 表示事件“120X X +=”,B 表示事件“21X =”,C 表示事件“1231X X X ++=-”,则A .B 和C 互为对立事件B .事件A 和C 不互斥C .事件A 和B 相互独立D .事件B 和C 相互独立解析:考查选项A ,事件B 和C 均会出现“反,正,反”的情况,故选项A 错误;考查选项B ,事件A 和C 均会出现“反,正,反”的情况,故选项B 正确;考查选项C ,易知12211()(22P A C ==,1()2P B =,事件AB 为前两次投出的硬币结果为“反,正”,则1()4P AB =,∴1()()()4P AB P A P B ==,故选项C 正确;考查选项D ,由选项AC 可知311()(28P BC ==,1()2P B =,在事件C 中三次投出的硬币有一次正面,两次反面,则23313()(28P C C ==,∴()()()P BC P B P C ≠,故选项D 错误;综上所述,应选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.160;13.2;14.22mm +;1或2.12.62()x x+的展开式中常数项为.解析:易知该二项展开式通项为662()r r r C x x-,∴当3r =时,得到常数项为160,故应填160.13.某圆锥的体积为π3,其侧面展开图为半圆,则该圆锥的母线长为.解析:设该圆锥的母线长为l ,底面圆半径为r ,根据侧面展开图为半圆得2ππr l =,即2l r =,又根据圆锥体积得1ππ33r =,解得1r =,2l =,故应填2.14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积,若n n T a m +=,其中常数0m >.则2a =(结果用m 表示);若数列1{}nT 为等差数列,则m =.解析:易知112m T a ==,∴12221)(2m a a a a m =+=+,解得222a m m =+,故应填22m m +;(方法一)211111111111111n n n n n n n n T T m a m a m a m ma a m m m a ---------=-=-=-----+(2)n ≥,若数列1{}n T 为等差数列,则2111n n m ma a ----为常数d ,①若0d =,则11n a -=(2)n ≥恒成立,即1n a =(1)n ≥恒成立,∴2m =;②若0d ≠,则1211n n dm dm a a --=--,∴2,,11dm dm ==⎧⎨⎩解得1,1,d m ==⎧⎨⎩综上所述,若数列1{}nT 为等差数列,则1m =,或2m =,故应填1或2.(方法二)∵1{}n T 为等差数列,∴111n n d T T -=+(2)n ≥,易知112T m =,且12(1)n n d T m=+-,当2n ≥时,∵n n T a m +=,∴1n n n T T m T -+=,∴111n n m T T -=+,∴由12(1)n n d T m =+-,可得22(1)1(2)m n d n d m+-=++-,∴2(1)1(2)m dn m d m-=-++-对于任意n 恒成立,∴1,21(2)0,m m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩或0,21(2)0,d m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩或0,2,d m =⎧⎨=⎩综上所述,若数列1{}nT 为等差数列,则1m =,或2m =,故应填1或2.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin sin a C c B =,2π3C =.(1)求B 的大小;(2)若ABC △的面积为4,求BC 边上中线的长.解:(1)∵sin sin a C c B =,∴由正弦定理,得sin sin sin sin A C C B =,…………2分∵0πC <<,∴sin 0C >,∴sin sin A B =,………………………………………3分∵0πA <<,0πB <<,∴A B =,……………………………………………………5分∵πA B C ++=,且2π3C =,∴π6B =.……………………………………………6分(2)依题意1sin 42ab C =,………………………………………………………………7分∵A B =,∴a b =,………………………………………………………………8分212πsin 23a ==,解得a =,…………………………………………10分设边BC 的中点为D ,∴32CD AC ==∴在ACD △中,由余弦定理知2222cos AD AC CD AC CD C=+-⋅⋅332π2132cos4234=+-⨯=,………………………………………………………12分∴BC 边上中线的长为212.……………………………………………………………13分16.(15分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,平面11ACC A ⊥平面ABC ,12AB AC BC AA ====,1A B =.(1)设D 为AC 中点,证明:AC ⊥平面1A DB ;(2)求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值.(第16题图)解:(1)∵D 为AC 中点,且2AB AC BC ===,∴在ABC △中,有BD AC ⊥,且BD =……………………………………………1分∵平面11ACC A ⊥平面ABC ,且平面11ACC A 平面ABC AC =,∴BD ⊥平面11ACC A ,………………………………………………………………………2分∵1A D ⊂平面11ACC A ,∴1BD A D ⊥,……………………………………………………3分∵1A B =,BD =1A D ,……………………………………………………4分∵1AD =,12AA =,1A D =,∴由勾股定理,有1AC A D ⊥,……………………………………………………………6分∵AC BD ⊥,1A D BD D = ,∴AC ⊥平面1A DB ,…………………………………………………………………………7分(2)如图所示,以D 为原点,DA ,DB ,1DA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,可得(1,0,0)A,1A,B ,………………………………………………9分∴1(AA =-,(AB =-,…………………………………………………10分设平面11A AB 的法向量为(,,)x y z =n ,则由10,0,A A B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =1y =,1z =,∴=n ,…………………………………………12分由(1)可知,BD ⊥平面11ACC A ,∴平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =,…………………………………………13分记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α,∴5cos ||5||BD BD α⋅==n |n |,∴平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值为5.………………………………………15分17.(15分)从一副扑克牌中挑出4张Q 和4张K ,将其中2张Q 和2张K 装在一个不透明的袋中,剩余的2张Q 和2张K 放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌,若抽出Q ,则把它放回袋中;若抽出K ,则该扑克牌不再放回,并将袋外的一张Q 放入袋中.如此操作若干次,直到将袋中的K 全部置换为Q.(1)在操作2次后,袋中K 的张数记为随机变量X ,求X 的分布列及数学期望;(2)记事件“在操作1n +()n *∈N 次后,恰好将袋中的K 全部置换为Q .”为n A ,记()n n P P A =.(i )在第1次取到Q 的条件下,求总共4次操作恰好完成置换的概率;(ii )试探究1n P +与n P 的递推关系,并说明理由.解:(1)由题意X 的取值可能为0,1,2,……………………………………………1分当0X =时,即第一次取出K ,第二次也取出K ,∴211(0)22318P X ==⨯=++,…………………………………………………………2分当1X =时,即第一次取出Q ,第二次取出K ,或第一次取出K ,第二次取出Q ,∴2223135(1)22222231488P X ==⨯+⨯=+=++++,……………………………3分当2X =时,即第一次取出Q ,第二次也取出Q ,∴221(2)22224P X ==⨯=++,…………………………………………………………4分∴X 的概率分布列为…………………………………………………………………5分∴X 的数学期望1519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=.……………………………………6分(2)(i )记事件“第1次取到Q ”为B ,事件“总共4次操作恰好完成置换”为C ,则1()2P B =,………………………………………………………………………………7分依题意,若第1次取出Q ,则剩余的3次操作,须将袋中K 全部置换为Q ,①若第2次亦取出Q ,则第3次和第4次均须取出K ,X 012P185814其概率为1221122+22+23+132⨯⨯⨯=;………………………………………………………8分①若第2次取出K ,则第3次须取出Q ,第4次须取出K ,其概率为1231322+23+13+164⨯⨯⨯=;………………………………………………………9分∴13()53264(|)1()322P CB P C B P B +===,即在第1次取到Q 的条件下,总共4次操作恰好完成置换的概率为532.…………………………………………………………………………10分(ii )(方法一)由题可知若事件1n A +发生,即操作2n +次后,恰好将袋中的K 全部置换为Q ,①当第1次取出Q ,则剩余的1n +次操作,须将袋中K 全部置换为Q ,概率为212+22n n P P ⨯=;……………………………………………………………………12分②当第1次取出K ,则从第2次起,直到第1n +次均须取出Q ,且第2n +次取出K ,概率为23113(()2+23+13+184n n⨯⨯=⨯;………………………………………………………14分∴1+113(284n n n P P +⨯=.…………………………………………………………………15分(方法二)由题可知若事件1n A +发生,即操作2n +次后,恰好将袋中的K 全部置换为Q ,则一定有第2n +次(最后一次)取出K ,①当第1n +次(倒数第二次)取出Q ,则须在之前的n 次操作中的某一次取出K ,概率为333+14n n P P ⨯=;……………………………………………………………………12分②当第1n +次(倒数第二次)取出K ,则从第1次起,直到第n 次均须取出Q ,概率为3221111()((2+22+23+1822n n n +⨯⨯=⨯=;…………………………………………14分∴133+1(42n n n P P ++=.……………………………………………………………………15分18.(17分)在直角坐标系xOy 中,已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于M ,N 两点,且当l 的斜率为1时,|8MN =|.(1)求C 的方程;(2)设l 与C 的准线交于点P ,直线PO 与C 交于点Q (异于原点).记线段MN 的中点为R ,若||3QR ≤,求MNQ △面积的取值范围.解:(1)不妨设l 的方程为2px my =+,11(,)M x y ,22(,)N x y ,联立l 与C 的方程,得2220y mpy p --=,…………………………………………1分∴122y y mp +=,212y y p =-,…………………………………………………………2分则21212||()22(1)MN x x p m y y p p m =++=++=+,…………………………………3分∴由题可知当1m =时,||8MN =,∴2p =,…………………………………………4分∴C 的方程为24y x =.……………………………………………………………………5分(2)由(1)知1222R y y y m +==,将R 的纵坐标2m 代入1x my =+,得2(21,2)R m m +,……………………………6分易知C 的准线方程为1x =-,又l 与C 的准线交于点P ,∴2(1,)P m--,……………7分则直线OP 的方程为2mx y =,………………………………………………………………8分联立OP 与C 的方程,得22y my =,∴2(,2)Q m m ,……………………………………9分∴Q ,R 的纵坐标相等,∴直线QR x ∥轴,……………………………………………11分∴222|||21|1QR m m m =+-=+,…………………………………………………………12分∴MNQ QRM QRN S S S =+△△△121||||2QR y y =-3222(1)2||m QR =+,…………14分∵点Q (异于原点),∴0m ≠,…………………………………………………………15分∵||3QR ≤,∴13||QR <≤,∴3222||QR <≤即MNQ S ∈△.…………………………………………17分19.(17分)若实数集A ,B 对a A ∀∈,b B ∀∈,均有(1)1b a ab +≥+,则称A B →具有Bernoulli 型关系.(1)判断集合{|1}M x x =>,{1,2}N =是否具有Bernoulli 型关系,并说明理由;(2)设集合{|1}S x x =>-,{|}T x x t =>,若S T →具有Bernoulli 型关系,求非负实数t 的取值范围;(3)当*n ∈N时,证明:1158n k k n -=<+∑.解:(1)依题意,M N →是否具有Bernoulli 型关系,等价于判定以下两个不等式对于1x ∀>是否均成立:①1(1)1x x +≥+,②2(1)12x x +≥+,…………………………………2分∵1x ∀>,1(1)1x x +=+,22(1)1212x x x x+=++>+∴M N →具有Bernoulli 型关系.………………………………………………………4分(2)(方法一)令()(1)1b f x x bx =+--,x S ∈,(0,)b ∈+∞,则1()[(1)1]b f x b x -'=+-,…………………………………………………………………5分①当1b =时,显然有(1)1b a ab +=+,∴(1)1b x xb +≥+成立;………………………6分②当1b >时,若10x -<<,则10(1)(1)1b x x -+<+=,即()0f x '<,∴()f x 在区间(1,0)-上单调递减,若0x =,则1(10)10b -+-=,即(0)0f '=,若0x >,则10(1)(1)1b x x -+>+=,即()0f x '>,∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,∴()f x 的最小值为(0)0f =,∴()(0)0f x f ≥=,∴(1)(1)0b x bx +-+≥,∴(1)1b x xb +≥+成立;………………………………………………………………8分③当01b <<时,若10x -<<,则10(1)(1)1b x x -+>+=,即()0f x '>,∴()f x 在区间(1,0)-上单调递增,若0x =,则1(10)10b -+-=,即(0)0f '=,若0x >,则10(1)(1)1b x x -+<+=,即()0f x '<,∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递减,∴()f x 的最大值为(0)0f =,∴()(0)0f x f ≤=,∴(1)(1)0b x bx +-+≤,即(1)1b x bx +≤+,∴当x S ∈,且01b <<时,(1)1b x xb +≥+不能恒成立,…………………………10分综上所述,可知若S T →具有Bernoulli 型关系,则{|1}T x x ⊆≥,∴非负实数t 的取值范围为[1,)+∞.……………………………………………………11分(方法二)当1b =,或01b <<时,与方法一相同;…………………………………8分当1b >时,若10ab +≤,∵(1)01b a ab +>≥+,∴(1)1b a ab +≥+,若10ab +>,则1ab >-,又1b >,∴101b <<,∴由方法一的结论,可知11(1)11b ab ab a b +≤+⋅=+,即1(1)1b ab a +≤+,…………………………………………………………………………9分∵10ab +>,且(1,)a ∈-+∞,∴1[(1)](1)b b b ab a +≤+,即1(1)b ab a +≤+,即(1)1b a ab +≥+;………………………10分∴若集合{|1}S x x =>-,{|}T x x t =>具有Bernoulli 型关系,则{|1}T x x ⊆≥,∴非负实数t 的取值范围为为[1,)+∞.…………………………………………………11分(3)∵1112222211((1)k k k k k k-+==+,…………………………………………12分显然211k >-,且1012k<<,由(2)中的结论:当01b <<时,(1)1b x xb +≤+,可知122231111(1)1+122k k k k k +≤⋅=+,………………………………………………………………………………………13分当2k ≥时,33121(1)111[]24()4(1)(1)4(1)(1)k k k k k k k k k k k k +--≤==---+-+,∴1221111(1)1[4(1)(1)k k k k k k +≤+--+,2k ≥,………………………………………15分当1n =时,1158n k k n -=<+∑显然成立;…………………………………………16分当2n ≥时,11122311[1]24(1)4(1)n n n k k k k k k k k k --====+<++--+∑∑∑211111111515[[24(1)(1)242(1)84(1)8n k n n n n k k k k n n n n ==++-=++⋅-=+-<+-+++∑,综上所述,当*n ∈N时,1158n k k n -=<+∑.……………………………………17分。

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周考试卷四 1.已知sinα=45,并且α是第二象限的角,那么tanα的值等于( ). A.–43 B. –34 C.34 D.43 2.已知函数f (x )在区间 [a ,b ]上单调,且f (a )•f (b )<0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内( ).
A.至少有一实根
B.至多有一实根
C.没有实根
D.必有惟一实根
3.已知A ={x |52
x -< -1},若C A B ={x | x +4 < -x },则集合B =( ). A.{x |-2≤x < 3} B.{x |-2 < x ≤3} C.{x |-2 < x < 3} D. {x |-2≤x ≤3}
4.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为( ).
A. 2,23
B. 22,2
C. 4,2
D. 2,4
5.若右图中的直线l 1, l 2, l 3的斜率为k 1, k 2, k 3 则( ).
A. k 1< k 2 < k 3
B. k 3< k 1 < k 2
C. k 2< k 1 < k 3
D. k 3< k 2 < k 1
6.函数y =log 2|x +1|的图象是( ).
A. B. C. D.
7.程序框图如下:如果上述程序运行的结果为S =132,那
么判断框中应填入( ).
A .10?k ≤
B .10?k ≥
C .11?k ≤
D .11?k ≥
8.若平面向量a =(1 , -2)与b 的夹角是180º,且| b |=3
5,则b 等于( ).
A. (-3 , 6)
B. (3 , -6)
C. (6 , -3)
D. (-6 , 3)
9.某机械零件加工由2道工序组成,第1道工序的废品率为a ,第2道工序的废品率为b ,假定这2道工序出废品的工序彼此无关的,那么产品的合格率是( ).
A. 1ab a b --+
B. 1a b --
C. 1ab -
D. 12ab -
10.如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ,方差为S 2 ,则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的平均值和方差分别为( ).
A.x 和S 2
B. 3x +5和9S 2
C. 3x +5和S 2
D.3x +5和9S 2+30S+25
11.若双曲线的渐近线方程为
3y x =±,一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是_ _. 12.2
20(42)(43)x x dx --=⎰ .
13.如图在杨辉三角中从上往下数共有n 行,在这些数中非1的数字之和为_ _.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
15. 对于函数f (x )= a -
221
x +(a ∈R ): (1)探索函数的单调性;(2)是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数? 主视图 俯视图 2 32 左视图 y x O l 3 l 2 l 1 y x
O –1 –2 y x O 1 2 y x O 1 2 y x O –1 –2。

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