2020-2021学年高三数学周测卷(精品)

2020-2021学年高三数学周测卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．设集合A ＝{x |ln x ＜1}，B ＝{x |x 2
－4x －12≥0}，则A ∪(∁R B )＝( )．
A ．(－∞，6)
B ．(－2，6)
C ．(0，6]
D ．(0，e)
2. 已知sin(θ－π3)＝15，则sin(2θ－π6)＝（ ）A . －225 B . －2325 C . 2
25 D . 2325
3．设a ＝30.7
，b ＝(13
)－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )．
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
4. 已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60º，E 是BC 的中点，DF →＝－2AF →，则AE →·BF →
＝（ ） A . 24 B . －7
C . －10
D . －12
5．函数f (x )＝(x －1
x
)cos x 在其定义域上的图像大致是( )．
6.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—— 《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘｡将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C 处作圆弧的切线,两条切线交于B 点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=
7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?
.(,)64
A ππ
.(,)43
B ππ
5.(,)312
C ππ
5.(
,)122D ππ
7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国
剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则该数列共有( )． A ．202项 B ．203项 C ．204项 D ．205项 8. 函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[m ，n ]D ，使f (x )在[m ，n ]上的值域为[m 2，n
2]，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2
)（a ＞0，且a ≠1）是“半保值函数”，则t 的取值范围为（ ）． A . (0，14) B . (－12，0)∪(0，12) C . (0，12)
D . (－12，1
2)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9．下列命题正确的是( )．
A ．“a ＞1”是“a 2
＞1”的充分不必要条件 B ．“M ＞N ”是“lg M ＞lg N ”的必要不充分条件
C ．命题“∀x ∈R ，x 2
＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2
＋1＜0”
D ．设函数f (x )的导数为f '(x )，则“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的充要条件
10．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π
2
个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )．
A ．y ＝f (x )是偶函数
B ．y ＝f (x )的最小正周期为π
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称
D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π
2
，0)对称
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2
，且
双曲线C 的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则下列说法
正确的是
A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x
B ．双曲线
C 的方程为x 2
4
－y 2＝1
C ．k 1k 2为定值14
D ．存在点P ，使得k 1＋k 2＝1
12．关于函数f(x)＝ae x
－cosx ，x ∈(－π，π)，下列说法正确的是
A ．当a ＝1时，f(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝x
B ．若函数f(x)在(－π，π)上恰有一个极值，则a ＝0
C ．对任意a ＞0，f(x)≥0恒成立
D ．当a ＝1时，f(x)在(－π，π)上恰有2个零点
三、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13.已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为__________.
14． 若函数f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a －ax
，，x ＜1
x ≥1，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为_________.
15．已知F 是抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，设点A (p ，1)，点M 为抛物线C 上任意一点，
且MA ＋MF 的最小值为3，则p ＝ ，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 （本题第一空2分，第二空3分）． 16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，将
△ABC 沿对角线AC 翻折到△AMC ，连结MD ．当三棱锥M —ACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在①a 1，a 2，a 5成等比数列，且T n ＝2
－b n ；②S 4＝S 2
2，且T n ＝2－(12
)n －1这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1，其前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若 ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）求数列{a n b n
}的前n 项和Q n ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，E 是AD 上的点且满足ΔBED 与ΔABD
相似，∠AEB ＝3π4，∠DBE ＝π
6，DE ＝6.
(1)求BD 的长度；
(2)求三角形BCD 面积的最大值.
19.（本小题12分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AB ＝AD ＝2， 三角形PBD 是边长为22的正三角形，PA ＝2 3. （1）证明：PC ⊥面ABCD ；
（2）若E 为BC 中点，F 在线段DE 上，且DF →＝25DE →
，求二面
角F －PA －C 的大小.
20.（本小题12分）已知f (x )＝x ln x ＋a
2
x 2
＋1
（1）若f (x )在其定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；
（2）若函数g (x )＝f (x )＋x cos x －sin x －x ln x －1在(0，π
2]上有1个零点.求实数a 的取
值范围；
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点P (263，3
3
)在C 上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设O 为坐标原点，H (0，－1
2)，试判断在椭圆C 上是否存在三个不同点Q ，M ，N (其
中M ，N 的纵坐标不相等)，满足OM →＋ON →＝12OQ →
，且直线HM 与直线HN 倾斜角互补？若
存在，求出直线MN 的方程，若不存在，说明理由.
22.（本小题12分）已知函数f (x )＝e x
－1－x －ax 2
.
（1）当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若x ＞0，证明(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2.
2020-2021学年度宁海中学高三（上）数学周测卷8
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A ＝{x |ln x ＜1}，B ＝{x |x 2
－4x －12≥0}，则A ∪(∁R B )＝( )．
A ．(－∞，6)
B ．(－2，6)
C ．(0，6]
D ．(0，e) 【答案】B
【分析】A ＝(0，e)，∁R B ＝(－2，6)．
2. 已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A. 2
25
-
B. 2325
-
C.
225
D.
2325
【答案】D
3．设a ＝30.7
，b ＝(13
)－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )．
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b 【答案】D
【分析】a ＞1，b ＝30.8
＞a ，c ＜log 0.70.7＝1，故c ＜1＜a ＜b ．
4. 已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-，则
AE BF ⋅=（ ）
A. 24
B. 7-
C. 10-
D. 12-
【答案】D
5．函数f (x )＝(x －1
x
)cos x 在其定义域上的图像大致是( )．
答案：C
6.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—— 《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘｡将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C 处作圆弧的切线,两条切线交于B 点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=
7.1
cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?
.(,)64
A ππ
.(,)43
B ππ
5.(,)312
C ππ
5.(
,)122D ππ
【答案】B
7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则该数列共有( )． A ．202项 B ．203项 C ．204项 D ．205项 【答案】B
【分析】被2除余1的数：1，3，5，7，9，11，…；被5除余1的数：1，6，11，16…故a n ＝10n －9，
由10n －9≤2021，解得n ≤203．
8. 函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],m n D ⊆，使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()()2log x a f x a t =+（0a >，且1a ≠）是“半保值函数”，则t 的取值范围为（ ）． A. 10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分． 9．下列命题正确的是( )．
A ．“a ＞1”是“a 2
＞1”的充分不必要条件 B ．“M ＞N ”是“lg M ＞lg N ”的必要不充分条件
C ．命题“∀x ∈R ，x 2
＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2
＋1＜0”
D ．设函数f (x )的导数为f '(x )，则“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的充要条件
【答案】AB
【分析】对于C ，命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2
＋1≥0”，错误； 对于D ，“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件，错误．A ，B 正确．
10．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π
2
个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )．
A ．y ＝f (x )是偶函数
B ．y ＝f (x )的最小正周期为π
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π
2对称
D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π
2
，0)对称
【答案】AD
【分析】函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin(x ＋π
2
)＝cos x 的
图象．
故A ，D 正确；对于B ，f (x )周期为2π，错误；对于C ，f (x )的图象不关于直线x ＝π
2
对称，
错误．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)
且双曲线C 的左焦点在直线x ＋y 0上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，
则下列说法正确的是
A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x
B ．双曲线
C 的方程为2
214
x y -= C ．1k 2k 为定值
1
4
D ．存在点P ，使得1k ＋2k ＝1 答案：BC
12．关于函数()e cos x f x a x =-，x ∈(π-，π)，下列说法正确的是 A ．当a ＝1时，()f x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x B ．若函数()f x 在(π-，π)上恰有一个极值，则a ＝0 C ．对任意a ＞0，()f x ≥0恒成立
D ．当a ＝1时，()f x 在(π-，π)上恰有2个零点
答案：ABD
三、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13.已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为__________. 答案：2
14． 若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨
-≥⎩
，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为_________.
答案：1183⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，
16．已知F 是抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点，设点A(p ，1)，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA ＋MF 的最小值为3，则p ＝ ，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 （本题第一空2分，第二空3分）． 答案：2，34
16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，
将△ABC 沿对角线AC 翻折到△AMC ，连结MD ．当三棱锥M —ACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为 ． 答案：π4
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b =-；②2
42S S =，且112()2
n n T -=-这两个
条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前
n 项和为n T ，若 ．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n Q ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（本小题满分12分）
在四边形ABCD 中，A C ∠=∠，E 是AD 上的点且满足BED ∆与ABD ∆相似，
34AEB π∠=
，6
DBE π
∠=，6DE =. (1)求BD 的长度；
(2)求三角形BCD 面积的最大值. 18. 解：（1）4
BED AEB π
π∠=-∠=
,
在三角形BDE 中，
sin sin DE BD
DBE BED
=
∠∠， 即6
sin
sin
6
4
BD π
π
=
， …………2分
所以
6122=，62BD =； …………6分 (2)因为BED ABD ∆∆，所以C A ∠=∠=6
DBE π
∠=
， …………7分
在三角形BDC 中，2222cos
6
BD DC BC DC BC π
=+-，
所以22
723DC BC DC BC =+-， …………8分
所以7223DC BC DC BC ≥-，
所以()
722+3DC BC ≤， 所以()()
11
sin 722+3182+3264
BCD S DC BC π∆=
≤⨯=， 所以三角形BCD 面积的最大值为36183+. …………12分 19.（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，=2AB AD =， 三角形PBD 是边长为22的正三角形，23PA =. （1）证明：PC ABCD ⊥平面；
（2）若E为BC中点，F在线段DE上，且
2
5
DF DE
=，求二面角F PA C
--的
大小.
解：(1)因为222
AB AD BD
===
，，所以222
+=
AB AD BD，所以AB AD
⊥，
又因为ABCD为平行四边形，所以AB BC
⊥,AD DC
⊥，因为
222,23
AB BP PA
===
，，所以222
+=
AB BP AP，所以AB BP
⊥，
因为PB BC B
=,所以AB BPC
⊥平面,所以AB CP
⊥, 因为
222,23
AD P PA
===
，D，所以222
+=
AD DP AP，所以AD DP
⊥，
因为PD DC D
=,所以AD PCD
⊥平面,所以AD CP
⊥,
因为AD AB A
=,所以PC ABCD
⊥平面. …………6分(2)由 (1)知，,,
CD CB CP两两垂直，分别以,,
CD CB CP所在的直线为,,
x y z轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在三角形PBC中，222
PC PB BC
=-=,则(2,2,0)
A, (0,2,0)
B,(0,0,0)
C, (2,0,0)
D,(0,1,0)
E,(0,0,2)
P,
所以(2,1,0)
DE=-，
242
(,,0)
555
DF DE
==-,
48
(,,0)
55
AF AD DF
=+=--,(2,2,2)
PA=-,设平面PAF的一个法向量为(,,)
x y z
=
m，
则
AF
PA
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
m
m
，即
48
55
2220
x y
x y z
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+-=
⎩
，
令1
y=，得2
x=-，1
z=-，于是取(2,1,1)
=--
m，又由 (1)知，底面ABCD为正方形，所以AC BD
⊥,
因为PC ABCD
⊥平面，所以PC BD
⊥,
因为AC PC C
=,所以BD ACP
⊥平面.
所以(2,2,0)
BD=-平面PAC的一个法向量，
设二面角F PA C
--的大小为θ，
则cos cos ,6BD BD BD
θ=<>=
=
=m m m ， 所以二面角F PA C --的大小为
6
π
. …………12分
20.（本小题12分）已知2
()ln 12
a f x x x x =+
+ （1）若()f x 在其定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()()cos sin ln 1g x f x x x x x x =+---在0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
上有1个零点.求实数a
的取值范围；
20.解:（1）()ln 10f x x ax '=++≤在(0,)+∞上恒成立，
所以ln 1
x a x
--≤
， 令ln 1()x h x x --=
，则2ln ()x
h x x
'=， 由
2
ln 0x
x >，得1x >，所以()h x 在(1,)+∞单调递增， 由
2
ln 0x
x <，得01x <<，所以()h x 在(0,1)单调递减， 所以当1x =时，()h x 取得最小值(1)1h =-，
所以1a ≤-. (6)
分
（2）（i ）2()cos sin ,0,22a g x x x x x x π⎛⎤=
+-∈ ⎥⎝⎦
所以()(sin )g x x a x '=-，当1a ≥时，sin 0a x -≥，所以()g x 在0,2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
单调递
增，
又因为(0)0g =，所以()g x 在0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
上无零点. (7)
分
当01a <<时，00,
2x π⎛
⎫
∃∈ ⎪⎝
⎭
使得0sin x a =，所以()g x 在0,
2x π⎛⎤
⎥⎝
⎦
单调递减，在
()00,x 单调递增，又因为(0)0g =，2
()128
a g ππ=
-， 所以若2108a π->，即28a π>时，()g x 在0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
上无零点， ........8分 若2108a π-≤，即280a π<≤时，()g x 在0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
上有一个零点， …………9分
当0a ≤时()sin 0g x a x x '=-<，()g x 在0,
2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
上单调递减， ()g x 在0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
上无零点， .............................10分
综上当2
8
0a π
<≤
时，()g x 在0,
2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
上有一个零点 …………12分
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>P (
33在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设O 为坐标原点，1
(0,)2
H -，试判断在椭圆C 上是否存在三个不同点
,,Q M N (其中,M N 的纵坐标不相等)，满足1
2
OM ON OQ +=，且直线HM 与直
线HN 倾斜角互补？若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，说明理由. 21.解：（1）由题意知
可得
c a =222a b c -=，2281133a b
+=，解得2a =，1b =，则椭圆C 的方程为2
214
x y +=； …………4分 （2）由题意，直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN 方程为y kx m =+，
设点1122(,),(,)M x y N x y ，
联立2
214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩
，得22
2(41)4084k k x mx m +++-=，
所以122814km x x k -+=+ ，2122
44
41
m x x k -=+，
12122
2()214m y y k x x m k +=++=
+，
因为12
OM ON OQ +=，
所以22
164(
,)1414km m
Q k k -++， 因为Q 在椭圆上，所以2222
16()
414()1414km m k k
-++=+， 化简得221614m k =+， …………8分
满足0∆>，
又因为直线HM 与直线HN 倾斜角互补， 所以0HE HF k k +=，
所以
1212
11
220y y x x +
++=， 所以
121
2
11
220kx m kx m x x ++
+++=，
所以12
121
2()()02
kx x m x x +++=，
所以2
4(2)
014k m k
+=+， …………10分
因为0k ≠，所以2m =-，代入22
1614m k =+
得
k =±， 所以存在满足条件的三个点，此时直线MN
的方程为
22y x =
-
或
2y x =-. (12)
分
22.（本小题12分）已知函数()2
1x
f x e x ax =---.
（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若0x >，证明()
()2
1ln 1x e x x -+>.
【答案】（1）1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）求出函数导数()12x f x e ax '=--，令()12x h x e ax =--，再利用导数求得函数
()h x 的单调性与最值，即可求解；
（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212
x
x x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，
进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2
x
x x F x x =+-
>+，利用导数即可求解.
【详解】（1）由条件得()12x
f x e ax =--'，令()12x
h x e ax =--，则()2x
h x e a '=-.
①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，
∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴1
2
a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=
解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，
()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.
综上实数a 的取值范围为1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦．。

6分 （2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122
x
x x x e x +->++=
， 要证不等式()()2
1ln 1x
e x x -+>，只需证明()
2
1ln 1x
x e x ->+，只需证明
()
22
22ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12x
x x
+>
+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()
222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()
F x ()0,+∞上单调递增，
又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．。

12分。