2.1.2 第1课时 代数式
北京课改版数学七年级上册2.1.2《列代数式》教学设计
北京课改版数学七年级上册2.1.2《列代数式》教学设计一. 教材分析《列代数式》是北京课改版数学七年级上册第二章第一节的一部分，主要介绍了代数式的概念、分类和简单运算。
本节课的内容是学生学习代数式的入门知识，对于学生理解和掌握代数式及其运算规律具有重要意义。
教材通过实例引入代数式，使学生在具体的情境中感受代数式的实际意义，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学符号和运算规律有一定的认识。
但代数式作为一种抽象的数学概念，对于学生来说还是较难理解的。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，从学生的实际出发，循序渐进地引导学生理解和掌握代数式及其运算规律。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解代数式的概念，掌握代数式的分类和简单运算方法。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳和总结的能力，提高学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习代数式的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：代数式的概念、分类和简单运算。
2.难点：对代数式的理解和运用。
五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法。
通过实例引入代数式，激发学生的兴趣；引导学生观察、分析、归纳和总结代数式的特点和运算规律；学生进行小组讨论和合作交流，提高学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于导入和讲解。
2.准备PPT，用于呈现教材内容和辅助教学。
3.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入代数式，如“小明的年龄比小红大3岁，小红今年12岁，求小明的年龄。
”让学生尝试用数学符号表示小明的年龄，从而引出代数式的概念。
2.呈现（15分钟）利用PPT呈现教材中的内容，包括代数式的定义、分类和简单运算。
在呈现过程中，引导学生观察、分析、归纳和总结代数式的特点和运算规律。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用所学的代数式进行计算。
2.1.2 代数式(二)单项式(解析版)
2.1.2代数式（二）单项式单项式的相关概念题型一：单项式的判定【例题1】（2019·河南洛阳市·东方二中七年级月考）下列式子中，单项式的个数是（ ）①12；②y ；③32x +；④2247x y -；⑤3xp ；⑥31x +．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】单独数字或字母或数字与字母的乘积是单项式，根据单项式的定义解答即可.【详解】①12，是单项式；②y ，是单项式；③32x +是多项式；④2247x y -，是单项式；⑤3xp，是单项式；⑥31x +，是分式，故选：B.【点睛】此题考查单项式的定义，熟记定义，掌握单项式的特点是解题的关键，注意单项式中若含有分母，则分母中不含字母才可以是单项式.变式训练【变式1-1】（2020·四川遂宁市·七年级期末）下列代数式中，不是单项式的是（ ）A ．a B ．﹣1C ．﹣3abc D ．2x y +【答案】D【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，可以做出选择．【详解】解：A 、a 是字母，所以它是单项式，不符合题意；B 、-1是数字，所以它是单项式，不符合题意；C 、﹣3abc是数-13与字母abc 的积的形式，所以它是单项式，不符合题意；D 、2x y+是多项式，所以它不是单项式，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义．【变式1-2】（2020·广东七年级期中）在31x +，3m +，23a b -，4xy ，0，92-a 中，单项式的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，据此解题【详解】31x +不是单项式，3m +不是单项式，23a b -是单项式，4xy 是单项式，0是单项式，92-a 不是单项式，故单项式的个数有3个，故选：B ．【点睛】本题考查单项式的定义，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．【变式1-3】（2020·山东七年级期中）在代数式3、4+a 、a 2﹣b 2、25ab-、224a b +中，单项式的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个．【答案】A 【解析】根据单项式的定义：“表示数与字母乘积的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式”分析可知，上述式子中，23 5ab -、是单项式，共2个；故选A.题型二：单项式的系数和次数【例题2】（2020·海口市第九中学海甸分校七年级期中）单项式﹣12πx 2y 的系数与次数分别是（ ）A ．-12，3B ．-12，4C ．-12π，3D ．-12π，4【答案】C【分析】根据单项式的概念即可求出答案【详解】系数为：-12π次数为：3故选C【点睛】本题考查单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念变式训练【变式2-1】（2018·全国七年级单元测试）下列说法正确的是( )A ．23a 4的系数是2,次数是7B ．若-34x m y 2的次数是5,则m=5C ．0不是单项式D ．若m≠x 且x 2+mx 是单项式,则m=0或x=0【答案】D【分析】根据单项式的系数和次数的定义解答即可.【详解】A 、23a 4的系数是8,次数是4,故此选项错误.B 、若m 23x y 4-的次数是5,则m=3, 故此选项错误.C 、0是单项式,故此选项错误.D 、若x 2+mx 是单项式,则m=0或x=0, 故此选项正确.所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查了单项式的定义,单项式的系数和次数,熟记概念是解题的关键.【变式2-2】（2019·河南洛阳市·东方二中七年级月考）单项式234xy p 的系数和次数分别是（ ）A ．34，4B ．34，2C ．34p ，3D ．34p ，2【答案】C【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【详解】解：根据单项式系数、次数的定义可知：单项式234xy p 的系数是34p ；次数是3．故选C ．【点睛】解答此题关键是熟知单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．【变式2-3】（2021·山东七年级期末）单项式﹣25x yz的系数、次数分别是（ ）A ．﹣1，2B ．﹣1，4C ．﹣15，2D ．﹣15，4【答案】D【分析】根据单项式的系数、次数的概念即可解答.【详解】单项式﹣25x yz的系数为：15-，次数为4，故选D ．【点睛】本题考查了单项式的系数、次数，熟知单项式次数、系数的判定方法是解决问题的关键.题型三：写出符合条件的单项式【例题3】请写出一个含字母,x y 的四次单项式__．【答案】xy 3【分析】根据单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案．【详解】解：含字母x 和y 的四次单项式可以是xy 3，故答案为：xy 3．【点睛】本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数的关键．变式训练【变式3-1】写出一个系数为12-，次数为3的单项式_______．【答案】312x-【分析】根据单项式的系数次数，可得答案【详解】解：系数为12-，次数为3的单项式为312x -，故答案为：312x -．【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键．【变式3-2】（2020·山西七年级期末）请你写出一个单项式，使它的系数是3，次数是2，这个单项式是____．【答案】3x 2（答案不唯一）【分析】由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，其中数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数，单独一个数或一个字母也是单项式，据此解题.【详解】解：根据单项式的定义得，这个单项式是：23x ，故答案为：23x （答案不唯一）.【点睛】本题考查单项式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.【变式3-3】（2021·甘肃七年级期末）写出一个次数为3，且含有字母a 、b 的整式：_____．【答案】a 2b （答案不唯一）【分析】要根据单项式系数和次数的定义来写，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数的和是单项式的次数．利用单项式的次数确定方法得出一个符合题意的答案．【详解】解：根据单项式次数的定义，一个含有字母a 、b ，次数为3的单项式可以写为：a 2b （答案不唯一）．故答案为：a 2b （答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了单项式，要注意所写的单项式一定要符合单项式系数和次数的定义．题型四：找规律型单项式【例题4】（2021·山东九年级其他模拟）按一定规律排列的单项式：2a ，33a -，109a ，1527a -，2681a ，…，第n 个单项式是_．【答案】()121(1)3n n na ++---（n 为正整数）．【分析】从已知单项式的系数符号、系数绝对值、字母指数三个方面寻找其与序数间的关系，从而得出答案．【详解】解：∵第一个式子：21101101+(1)2=(3)=(3)a a a ++---，第二个式子：221314112(1)3=(3)(3)a a a +-+---=-，第三个式子：2311029123(1)9=(3)(3)a a a +++--=-，第四个式子：2413161531)14(27=(3)(3)a a a +-+--=--，第五个式子：25142512645(1)=(3)(381)a a a +++--=-…．则第n 个式子为：()121(1)3n n na ++---（n 为正整数）．故答案是：()121(1)3n n na ++---（n 为正整数）．【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式．变式训练【变式4-1】（2021·云南九年级一模）观察下列关于x 的单项式：﹣x ，4x 2，﹣7x 3，10x 4，﹣13x 5，16x 6，…，按照上述规律，策2021个单项式是____．【答案】﹣6061x 2021．【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第n 个单项式，进而求得第2021个单项式，本题得以解决．【详解】∵一列关于x 的单项式：﹣x ，4x 2，﹣7x 3，10x 4，﹣13x 5，16x 6……，∴第n 个单项式为：（﹣1）n •（3n ﹣2）x n ，∴第2021个单项式是（﹣1）2021•（3×2021﹣2）x 2021＝﹣6061x 2021，故答案为：﹣6061x 2021．【点睛】此题主要考查了单项式，正确得出数字变化规律是解题关键．【变式4-2】（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，……，第n 个单项式是（ ）A ．21n n a +B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．()21nn a +【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n 个单项式，本题得以解决．【详解】解：∵一列单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，...，∴第n 个单项式为21n n a +，故选：A ．【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式．【变式4-3】（2021·云南九年级一模）按一定规律排列的单项式：x ，23x -，39x ，427x -，581x ，…，第n 个单项式是（ ）A ．1(3)n n x --B ．1(3)n n x +-C ．13n nx --D ．(3)n nx -【答案】A【分析】分别观察每个单项式的系数与次数部分，根据规律总结出结论即可．【详解】根据已知单项式的规律可知，从第一项开始，对于系数，后一项是前一项的-3倍，则第n 个单项式的系数表示为()13n --；对于次数，后一项的次数比前一项次数多1，则第n 个单项式表示为()1113n n n x ---g ，即：1(3)n n x --，故选：A ．【点睛】本题考查整式相关的规律探究问题，注意从系数与次数两部分进行分析是解题关键．【真题1】（2020·山东中考真题）单项式﹣3ab 的系数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．3a D ．﹣3a【答案】B【分析】根据单项式系数的定义即可求解．【详解】解：单项式﹣3ab 的系数是﹣3．故选：B ．【点睛】本题考查单项式，解题关键是单项式的系数是单项式字母前的数字因数．【真题2】（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，第n 个单项式是（ ）A ．()12n a --B ．()2na-C ．12n a -D ．2n a【答案】A【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【详解】解：Q a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------···\ 第n 项为：()12.n a --故选A ．【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．【真题3】（2021·湖南中考真题）单项式23x y 的系数是______.【答案】3【分析】根据单项式的系数定义判断即可.【详解】单项式223x 3x y y =g ，其中数字因式为3，则单项式的系数为3.故答案为3.【点睛】本题考查了单项式的系数定义的掌握情况，单项式的系数：单项式中的数字因数.【拓展1】（2020·抚顺市顺城区长春学校七年级期中）观察下列一串单项式的特点：xy ，23x y - ，35x y ，47x y - ，59x y ，…（1）写出第10个和第2020个单项式．（2）写出第n 个单项式．【答案】（1）﹣19x 10y ，﹣4039x 2020y ；（2）(﹣1)n +1(2n ﹣1)x n y ．【分析】（1）通过观察题意可得：10为偶数，单项式的系数为负数，是﹣19，x 的指数为10，y 的指数不变，还是1，由此可得出第10个单项式，同理第2020个单项式也可由此得出；（2）通过观察题意可得：n 为奇数时，单项式的系数为正数，n 为偶数时，单项式的系数为负数．系数的数字部分是连续的奇数，可用2n ﹣1来表示，第n 个单项式的x 的指数为n ，y 的指数不变，还是1，由此可解出本题．【详解】解：（1）∵当n ＝1时，xy ，当n ＝2时，﹣3x 2y ，当n ＝3时，5x 3y ，当n ＝4时，﹣7x 4y ，当n ＝5时，9x 5y ，∴第10个单项式是﹣(2×10﹣1) x 10y ，即﹣19x 10y ．第2020个单项式是﹣(2×2020﹣1) x 2020y ，即﹣4039x 2020y ．故答案为：﹣19x 10y ，﹣4039x 2020y ．（2）∵n 为奇数时，单项式的系数为正数，n 为偶数时，单项式的系数为负数．∴符合可用(﹣1)n +1表示，∵系数的数字部分是连续的奇数，∴可用2n ﹣1来表示，又∵第n 个单项式的x 的指数为n ，y 的指数不变，还是1，∴第n 个单项式可表示为(﹣1)n +1(2n ﹣1)x n y ．故答案为：(﹣1)n +1(2n ﹣1)x n y ．【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．【拓展2】（2020·湖南岳阳市·七年级期中）观察下列单项式：x -，23x ，35x -，47x ，…，1937x -，2039x ，…写出第n 个单项式．为解决这个问题，特提供下面的解题思路：通过观察单项式的结构特征，分三步确定：先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数．（1）这组单项式系数的符号规律是________系数的绝对值规律是________；（2）这组单项式的次数的规律是________；第六个单项式是________；（3）根据上面的归纳，可以猜想第n 个单项式是________；（4）请你根据猜想，写出第2019个单项式．【答案】（1）（-1）n ，2n-1；（2）从1开始的连续自然数，11x 6；（3）（-1）n （2n-1）x n ；（4）-4037x 2019【分析】（1）根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；（2）根据已知数据次数得出变化规律；（3）根据（1）（2）中数据规律得出即可；（4）利用（3）中所求即可得出答案．【详解】解：（1）根据各项系数的符号以及系数的值得出：这组单项式的系数的符号规律是（-1）n ，系数的绝对值规律是2n-1．故答案为：（-1）n ，2n-1；（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．第6个单项式为：11x 6故答案为：从1开始的连续自然数，11x 6．（3）第n 个单项式是：（-1）n （2n-1）x n ．故答案为：（-1）n （2n-1）x n ；（4）第2019个单项式是-4037x 2019．故答案为：-4037x 2019．【点睛】此题主要考查了单项式变化规律，得出次数与系数的变化规律是解题关键．【拓展3】（2020·北京海淀区·北大附中七年级期中）由于（﹣1）n ＝()()11n n ì-ïíïî为奇数为偶数，所以我们通常把（﹣1）n 称为符号系数．（1）观察下列单项式：﹣2341234,,,3153563x x x x -，…按此规律，第5个单项式是 ，第n 个单项式是 ．（2）()122n a b a b+-+-的值为 ；（3）你根据（2）写出一个当n 为偶数时值为2，当n 为奇数时值为0的式子 ．【答案】（1）599-， ()241nn x n --；（2）b 或a ；（3）1+（﹣1）n ．【分析】（1）观察发现，奇数项为负，偶数项为正，系数的分子与项数相同，系数的分母的规律是4n 2﹣1，字母x 的指数与项数相同，据此可解；（2）分n 为奇数和n 为偶数两种情况来计算即可；（3）取指数为n 的项的底数与不含n 的项互为相反数，则不难得出答案．【详解】（1）观察下列单项式：2341234,,,3153563x x x x --，…按此规律，第5个单项式是599-，第n 个单项式是2()41nn x n --故答案为：599-，2()41nn x n --．（2）n 为奇数时， ()12222n a b a ba b a b b +-+-+-=-=，n 为偶数时，()12222n a b a b a b a b a +-+-+-=+=.故答案为：b 或a ．（3）可以这样写一个当n 为偶数时值为2，当n 为奇数时值为0的式子：1+（﹣1）n ．故答案为：1+（﹣1）n ．【点睛】此题考查单项式规律的探究，观察并发现数字间的规律是解题的关键.。
【沪科版七年级数学上册教案】2.1.2第1课时代数式的用法
2.1.2 代数式第 1 课时代数式的用法教课目标1．领悟代数式的意义，形成初步的符号感；2．初步培育学生观察、分析、抽象、概括等思想能力和应意图识。
教课重难点【教课要点】列代数式、代数式的看法。
【教课难点】列简单的代数式。
课前准备课件、教具等。
教课过程一、情境导入在上一课时中我们一起商讨了《数蛤蟆》中的风趣问题，此刻你能够运用所学知识解答上节课留下的问题，但是你知道这些代数式的意义吗？在今日的学习中我们将连续学习有关知识，进一步认识代数式的用法．二、合作研究研究点一：代数式的意义及书写例 1以下各式中，吻合代数式书写要求的有()3 2a2－ b2(1)1 4x y；(2) a×3；(3)ab÷2；(4)3.A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个72分析：(1) 正确的书写格式是4x y，不吻合要求； (2)正确的书写格式是 3a，不吻合要求；1(3) 正确的书写格式是2ab，不吻合要求；(4)吻合要求．吻合代数式书写要求的共 1 个．故选 D.方法总结：代数式的书写要求：(1)在代数式中出现的乘号，平时简写成“·” 也许省略不写； (2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前方；(3) 在代数式中出现的除法运算，一般依照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．研究点二：列代数式【种类一】列代数式例 2买 1 个足球需要a元，买 1 个篮球需要b元，则买 2 个足球和 3 个篮球共需要________元．分析：买 1 个足球需要a元，则买 2 个足球需要2a元；买 1 个篮球需要b元，则买 3个篮球需要 3b 元，所以一共需要 (2a＋3 )元．b方法总结：生活中的代数式主要有购物问题、销售问题、分配问题、面积问题等，所列代数式大多带有单位，表示和也许差的代数式带单位时需加括号．【种类二】列代数式研究规律性问题例 3观察以下图形：它们是按必定规律摆列的．(1)依照此规律，第 20 个图形共有几个五角星？(2)摆成第 n 个图案需要几个五角星？(3)摆成第 2016 个图案需要几个五角星？分析：经过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多 3 个五角星，依据此规律即可解答．解： (1) ∵第 1 个图中，五角星有 3 个(3 ×1) ；第 2 个图中，有五角星 6 个(3 ×2) ；第3 个图中，有五角星9 个(3 ×3) ；第 4 个图中，有五角星12 个(3 ×4) ；∴第n 个图中有五角星 3n个．∴第20 个图中五角星有3×20＝ 60( 个 ) ；(2) 由 (1) 可知摆成第n 个图案需要3n个五角星；(3) 摆成第 2016 个图案需要五角星2016×3＝ 6048( 个) ．方法总结：此题第一要结合图形数出详尽几个值．此题的规律为摆成第n个图案需要3n个五角星．注意由特别到一般的分析方法．三、板书设计列式的注意事项：①数与字母、字母和字母相乘省略乘号；②数与字母相乘时数字写在前方．教课反思经过本课时的教课要让学生进一步理解代数式的意义和用法，让学生的思想获取扩展，从而进一步培育学生理解、感悟的能力，逐渐牢固用代数思想解决分析问题的能力．。
沪科版七年级数学上册 2.1 代数式(第2章 整式及其加减 自学、复习、上课课件)
(4) 一般性：用字母表示数能更准确地反映事物的规律，更具
有一般性 .
感悟新知
例1 [母题 教材 P63 练习 T2] 填空：
知1－练
(1)买单价为 6 元的钢笔 a 支，共需 __6_a___元；
(2) 一台电视机的标价为 a 元，则 打 八 折 后 的 售价 为__0_.8_a__元；
解题秘方：类比用具体数表示数量关系的方式， 用字母表示数量关系 .
( 3a－2)岁，( a－b)千克， ( 3a+5b)元等
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1. 在一个式子中如果含有 “=”“<”“>”“≤”“≥”
或“≠”，那么这个式子就不是代数式. 2. 单个的数或字母都可以写成它们与1 的乘积，
所以它们也是代数式. 3. 代数式中可以有括号，它的作用是指明运算
顺序.
感悟新知
知1－练
1-1.[期中·北京朝阳区]一种商品每件盈利a 元，售出 60 件，共盈利___6_0_a____元(用含 a的式子表示).
感悟新知
例2 填空：
知1－练
(1)三个连续偶数，若中间一个数为 2n，则其余两个 数分别为 _2_n__－__2_，__2_n_+_2__；
(2)若一个两位数，其个位数字为 a，十位数字为 b， 则这个两位数为 __1_0_b_+_a___. 解题秘方：紧扣各类数的特征，用字母表示这些
第二章 整式及其加减
2.1 代数式
学习目标
1 课时讲解
用字母表示数 代数式 列代数式 单项式 多项式 整式 代数式的值
学习目标
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
(获奖)优秀课.2列代数式教案 省优获奖教案
2.1.2列代数式一、教学目标1、理解列代数式的意义.2、能用代数式表示简单的数量关系.3、通过列代数式体会代数式会使问题变得简洁，更具有一般性.4、会求简单的代数式的值. 二、课时安排：1课时.三、教学重点：用代数式表示简单的数量关系. 四、教学难点：求简单的代数式的值. 五、教学过程 （一）导入新课某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低0.7℃.如果山脚温度是28℃，那么比山脚高300米处的温度是多少？一般地，比山脚高x 米处的温度是多少？如何解决这个问题？下面我们学习列代数式. （二）讲授新课在上面讨论的问题中，我们可以用字母来表示数，并且把问题中涉及的数量关系用代数式来表示，这就是列代数式.典例：例3、用代数式表示：(1)a 的3倍与b 的和； (2)a 的一半与b 的相反数的和； (3)a 与b 两数的平方差； (4)a 与b 两数和的平方. 解：(1)3a+b; (2) );(21b a -+(3)a 2-b 2; (4)(a+b)2. （三）重难点精讲例4、用语言表述下列代数式的意义：(1)某型号计算机每台x 元，那么15x 表示___________________；(2)某校合唱队男生和女生共45人，其中男生y 人，那么45-y 表示______________. 解：(1)15台计算器的价格； (2)合唱队中女生的人数.跟踪训练： 填空：1、某厂产品产量第一年为a ，第二年比第一年增长了5%，第三年比第二年增长了4%，则第三年的产量是a(1+5%)(1+4%).2、用代数式表示：数a 的平方与b 的差的3倍为3(a 2-b). 3、代数式 (a –b)²的意义是a 与b 差的平方. 思考：代数式3a+b 能表示什么意义？如果a(元)，b(元)分别表示签字笔和圆珠笔的单价，那么3a+b 表示3支签字笔和1支圆珠笔的价格；如果a(千克)，b(千克)分别表示1袋大米和1袋面粉的质量，那么3a+b 表示3袋大米和1袋面粉的总质量……典例：例5、设甲数为x ，乙数为y ，用代数式表示： (1)甲数与乙数的和的三分之一； (2) 甲数的3倍与乙数的倒数的差； (3)甲、乙两数积的2倍； (4)甲、乙两数的平方和..)4(;2)3(;13)2();(31)1(22y x xy yx y x +-+解：交流：列代数式时，在表示方法上要注意什么？ 1、要正确理解问题中的数量关系.2、特别要弄清问题中的和、差、积、商与大、小、多、少、倍、几分之几等词语的意义.3、要弄清楚问题中的运算顺序. 典例：例6、某学校有退休教师x 人，比在职教师少21人.教师节前学校组织慰问活动，请他们参加音乐会.学校为退休教师购买A 级票，为在职教师购买B 级票.已知音乐会门票的价格是：A 级票每张100元，B 级票每张80元.(1)学校购买音乐会门票的总费用是多少？(用含x 的代数式表示)(2)如果这所学校有退休教师11人，那么学校购买音乐会门票的总费用是多少？ 解：(1)设该校有退休教师x 人，那么有在职教师(x+21)人，因此学校购买音乐会门票的总费用应是[100x+80(x+21)]元；(2)当x=11时， 100x+80(x+21)=100×11+80×(11+21)=3660. 因此，学校购买音乐会门票的总费用为3660元. 跟踪训练：某动物园的门票价格是 ：成人票每张10元，学生票每张5元. (1)一个旅游团有成人x 人、学生y 人，那么该旅游团应付多少门票费？ (2)如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？ 解：（1）该旅游团应付门票费是（10x ＋5y ）元. （2）把 x ＝37, y ＝15 代入代数式 10x ＋5y ，得 10×37＋5×15＝445. 因此，他们应付445元门票费. 思考：在上面的问题中，“学校购买音乐会门票的费用”是怎样计算出来的？它给你什么启示？由于“学校有退休教师11人”，就是代数式[100x+80(x+21)]中，x=11，所以只要把x=11代替代数式中的x 进行计算，就可以得到购票需要的总费用.它告诉我们，用具体的数值代替代数式中的字母时，可以求出对应的代数式的值.一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.典例：例7、求下列代数式的值： (1)-2x-5,其中x=-2; (2) .25,373-=+y y 其中 解：(1)当x=-2时，-2x-5=-2×(-2)-5=4-5=-1;.6313721537)25(337325)2(-=+-=+-⨯=+-=y y 时，当.2)2(;))(1(,25,28222y xy x y x y x +++-=-=求下列代数式的值：、已知：例 .481)25()25()2(2)2(2)2(;481)29()25(2-))(1(25,2222222=-+-⨯-⨯+-=++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-=y xy x y x y x 时：解：当跟踪训练：求代数式的值:4x 2+3xy-x 2-9,其中x=2,y=-3. 解：当x=2,y=-3时, 原式=4×22+3×2×(-3)-22-9 =4×4+3×2×(-3)-4-9 =-15.（四）归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．（五）随堂检测1、用代数式表示：“比k 的平方的2倍小1的数”为( ) A 、2k2－1 B 、(2k)2－1 C 、2(k －1)2D 、(2k －1)22、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度又比第二季度增长了x%，则第三季度比第一季度增长了 ( )A 、2x%B 、1+2x%C 、(1+x%)2D 、(2+x%) 3、用语言叙述代数式a2-b2正确的是（ ） A 、a, b 两数的平方差 B 、a 与b 差的平方 C 、a 与b 的平方的差 D 、 b, a 两数的平方差4、已知a3-a-1=0,求：a3-a+2016的值.六、板书设计七、作业布置：课本P85 习题 5八、教学反思2.4等式的基本性质一、教学目标1、理解掌握并等式的基本性质1.2、理解掌握并等式的基本性质2.3、会用等式的基本性质把等式变形.二、课时安排：1课时.三、教学重点：等式的基本性质1、2.四、教学难点：会用等式的基本性质把等式变形.五、教学过程（一）导入新课观察下图：我们发现，如果在平衡的天平的两边都加（或减）同样的量，天平还是保持平衡．下面我们学习等式的基本性质.（二）讲授新课实践：我们在测量物体质量的天平两边放入质量相同的砝码，并把这种状态想象成一个等式成立的形式，利用它来研究等式具有什么性质.(1)在天平的一边再放入(或取出)一些砝码，会发生什么现象？怎样做就能使天平恢复平衡？这说明等式应具有什么性质？(2)使天平的一边的砝码的数量扩大到原来的几倍(或缩小到原来的几分之一)，会发生什么现象？怎样做就能使天平恢复平衡？这又说明等式应具有什么性质？同学们思考并交流 （三）重难点精讲通过上面的实验研究，我们可以归纳出等式具有以下两个基本性质： 等式的基本性质1、等式两边加上加(或减去)同一个数或整式，所得的等式仍然成立.2、等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得的等式仍然成立． 我们可以用数学式子表示等式的基本性质：1、如果a=b ，c 表示任意的数或整式，那么a+c=b+c.2、如果a=b ，c 表示任意的数，那么ac=bc ； 如果a=b ，c ≠0，那么cb c a =. 典例：例、用适当的数或式子填空，使得到的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条基本性质及怎样变形(改变式子的形状)的.(1)如果3x=7-5x ，那么3x+_______=7. (2)如果132=-x ，那么x=_______. 解：(1)3x+5x=7.根据等式的基本性质1，在等式的两边都加上5x. (2)x=23-. 根据等式的基本性质2，在等式的两边同时乘23-. 跟踪训练：用适当的数或式子填空，使得到的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条基本性质及怎样变形(改变式子的形状)的.(1)如果2x=6-3x ，那么3x+_______=7. (2)如果241=-y ，那么y=_______.解：(1)3x+3x=6.根据等式的基本性质1，在等式的两边都加上5x. (2)y=-8.根据等式的基本性质2，在等式的两边同时乘-4. （四）归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．（五）随堂检测1、根据等式的性质，方程5x －1＝4x 变形正确的是( ) A ．5x ＋4x ＝－1 B.25x －21＝2x C ．5x －4x ＝－1 D ．5x ＋4x ＝1 2、下列四组变形中，变形正确的是( ) A ．由5x ＋7＝0，得5x ＝－7 B ．由2x －3＝0，得2x －3＋3＝0 C ．由6x ＝2，得x ＝31D ．由5x ＝7，得x ＝353、用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据哪一条性质以及怎样变形的．(1)若2x ＋7＝10，则2x ＝10－7.根据等式的性质____，等式两边同时 ； (2)若－3x ＝－18，则x ＝ ．根据等式的性质____，等式两边同时____________________. (3)若3(x －2)＝－6，则x －2＝ ．根据等式的性质____，等式两边同时 ，所以x ＝ ． 六、板书设计七、作业布置：课本P84 练习 1、2八、教学反思1.11.1数的近似和科学记数法一、教学目标1、了解近似值的概念.2、能按要求对一个数四舍五入取近似值.3、会用计算器求一个数的近似值.二、课时安排：1课时.三、教学重点：能按要求对一个数四舍五入取近似值.四、教学难点：能按要求对一个数四舍五入取近似值.五、教学过程（一）导入新课先看一个例子:对于参加同一个会议的人数，有两种报道：“会议秘书处宣布，参加今天会议的有513人”。
2024年秋新沪科版七年级上册数学教学课件 2.1 代数式 2.1.2 代数式 第1课时 代数式
进行新课
知识点一 代数式的概念及书写方式
1.代数式的概念
观察下列这些式子，它们有何共同特点？
41472n，2k，
2k-1，a+b，(a+b)²，30s0
，1 πr2h
3
，a
a
b
✓ 含有数字或字母 ✓ 含有运算符号
这些式子都是由数、字母 用加、减、乘、除及乘方 等运算符号连接而成.
41472n，2k，
列代数式就是把实际问题中的数量关系，用含有 数、字母和运算符号的式子表示出来.
例2
用代数式表示： （1）把a本书分给若干名学生，若每人5本，还 剩余3本，求学生数；
解：（1）因为从a本书中去掉3本，按每人5本正好 分完，所以学生数为 a 3 .
5
例2
用代数式表示： （2）某次高铁列车先以290 km/h的速度运行a h， 后以310 km/h的速度运行b h.求它行驶的路程.
2.1.2 代数式
第1课时 代数式
沪科版 七年级上册
学习目标
1.了解代数式的概念，能用代数式表示简单问题 中的数量关系； 2.在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它 的实际意义． 3.通过列代数式，初步体会数学中抽象概括的思 维方法.
复习回顾
1.深圳的气温为 x ℃，北京的气温比深圳低4℃，北京
（2）某篮球运动员个子高，经测量他通常跨一步的距离1米， 若取向前为正，向后为负，那么他向前跨a步为__a__米，向 后跨a步为__-a__米.
②当“1”与任何字母相乘时，“1”可省略不写； 当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-” 号即可.
（3）若每斤苹果
3
1 3
元，则买m斤苹果需__1_30_m__元.
2.1代数式的概念和列代数式课时2七年级上册数学湘教版
4.07
超过260 m³的部分
6.07
解 由于一年总用水量为(210+c) m3，其大于260 m3，不超过260 m3
的部分为2.07×180＋4.07×(260－180)＝ 698.2（元），超过260m3
的部分为[6.07×(c－260)] 元.因此，这样的家庭一年的水费为
{698.2+[6.07×(c－260)]} 元.
六边形的个数 1 2 3 4 …
m(m为正整数)
图案
… …
所需火柴（根） 6
6+5=11 6 + 5 × 2=26 6 + 5 × (4-1) ＝__2_1___
… 6 + 5 ×(m-1) ＝_6_+_5_(m__-1)
新知探究 知识点 代数式的应用
例1 填空：
(1) 日平均气温可以用一天中2:00，8:00，14: 00，20:00 四
(2n+1)2－ (2n－1)2 ＝8×n
新知探究 知识点 代数式的应用
例2 为了增强公民节水意识，某市鼓励居民合 理利用水资源，对自来水的水费实行阶梯水价， 并实行“一户一表”计费．对于5人及以下的家庭， 规定如下:
每户每年用水量 180 m³及以下
超过180 m³但不超过260 m³的部分 超过260 m³的部分
售出(剩2)下一的批一货半物，共还x剩t，下第货一物天__售__出13_x_这__批t.货物的13 ，第二天 (3)一件进价为x元的商品，卖出后利润率为25%，则这
件商品的利润(利润＝进价×利润率)为__2_5_%__x___.
新知探究 知识点 代数式的应用
2.观察下列式子： 32－12 ＝ 8×1 ; 52－32 ＝ 8×2 ; 72－52 ＝ 8×3 ; 92－72 ＝ 8×4 ; ···. 探索以上式子的规律，写出第 n 个等式.
《代数式》教案设计
《代数式》教案设计一、教学目标知识与技能：1. 理解代数式的概念，掌握代数式的表示方法。
2. 掌握代数式的运算规则，能够进行简单的代数式运算。
3. 能够解决实际问题，运用代数式进行表达和计算。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳等方法，理解代数式的概念和性质。
2. 通过练习、讨论等方法，提高代数式的运算能力。
3. 通过解决实际问题，培养运用代数式进行表达和计算的能力。
情感态度价值观：1. 培养对数学的兴趣和好奇心，激发学习代数式的热情。
2. 培养合作精神，学会与他人交流和分享学习经验。
3. 培养解决实际问题的能力，感受数学在生活中的应用价值。
二、教学内容1. 代数式的概念：数与字母的组合，表示未知数的值或运算结果。
2. 代数式的表示方法：字母表示数或未知数，数字与字母相乘可以省略乘号，加减乘除运算符号写在字母之间。
3. 代数式的运算规则：同类项的加减法，乘除法，乘方的计算方法。
4. 实际问题中的代数式：运用代数式表示实际问题中的数量关系，进行计算和求解。
三、教学重点与难点重点：1. 代数式的概念和表示方法。
2. 代数式的基本运算规则。
难点：1. 代数式运算中同类项的识别和应用。
2. 解决实际问题中代数式的运用和计算。
四、教学方法与手段1. 教学方法：引导发现法、问题驱动法、练习法、讨论法。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔、练习纸、实际问题素材。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实际问题，引出代数式的概念，激发学生学习兴趣。
2. 新课导入：讲解代数式的表示方法，通过示例让学生理解并掌握。
3. 课堂讲解：讲解代数式的运算规则，通过示例和练习让学生熟练掌握。
4. 课堂练习：设计一些代数式的运算练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 应用拓展：给出一些实际问题，让学生运用代数式进行表达和计算，培养解决实际问题的能力。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，鼓励学生提出问题和分享学习心得。
2.1.2 代数式
知识点一：代数式的概念 1.下列各式中是代数式的是( C ) A.S＝πr2 B.2a>b C.3x＋y D.π≈3.14
B 100×t
100·t 100t
A
D
6.一条河的水流速度是8 km/h，小船在这条河流中顺水行驶的速度为v km/h， 则小船在静水中的速度为 (v－8) km/h，逆水行驶的速度为 (v－16) km/h.
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ (2)若把n张这样的餐桌拼接起来，四周可坐多少人？
解：(1)1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6(人)，拼接后，2张长方形餐桌的 四周可坐4×2＋2＝10(人)，3张长方形餐桌的四周可坐4×3＋2＝14(人)，… 所以拼接后，4张长方形餐桌的四周可坐4×4＋2＝18(人)，8张长方形的餐 桌的四周可坐4×8＋2＝34(人).
12.(1)篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分.某次比赛甲球队赢 了x场，积20分.用代数式表示甲球队输球场次； (2)某绿化队原来用漫灌浇绿地，a天用水m t，现改用喷灌，m t水所用的 天数为2a天，用代数式表示现在比原来每天节约用水量.
解：(1)20－2x.
13.一张长方形的餐桌的四周可坐6人，现把若干张这样的餐桌按如图所示 的方法拼接起来.
14.已知整式(a－1)x3－2x－(a＋3). (1)若它是关于x的一次多项式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项.
解：(1)若它是关于x的一次式，则a－1＝0， 所以a＝1，常数项为－(a＋3)＝－4.
(2)若它是关于x的三次二项式， 则a－1≠0，a＋3＝0， 所以a＝－3，最高次项为－4x3.
B
6.指出下列多项式的项、次数和常数项.
2024年湘教版七年级数学上册 2.1 代数式的概念和列代数式(课件)
”“积” “商”“倍”等，以”“商”“差”，设甲数为 x，乙数
数线相当于除号；
(5) 如果代数式后面带 有 单 位 名 称，是 乘 除 运 算 结 果
的直接将单位名称写在代数式后面；是加减运算结果的
要把代数式括起来，后面注明单位 .
感悟新知
特别提醒
知2－讲
1. 在一个式子中如果含 有“=”“ ＜ ”
“＞”“≤”“≥” 或“≠”，那么这个式子就不是
代数式；
2. 单独一个字母或者一个数都可以写成它 们 与 1 的
．所以②③④⑤是代数式，
①⑥不是代数式．
感悟新知
知2－练
解题策略：判 断一个式子是不是代数式，关键要 看它是不是用运算符号把数和字母连 接而成的 . 若是，则是代数式；否则， 不是代数式 .
感悟新知
知2－练
3-1.下列各式：
－
5xy2，a，
S=π
r2，2π
r，0，
a 2
，
2 a
，
2x＞ 0， a ≠ 0，其中是代 数式的有___6___个 .
感悟新知
解题秘方：紧扣各类数的特征，用字母表示这些 知2－练 特征数 .
方法点拨：(1)奇、偶数的区别在于能否被 2 整除，偶 数能被 2 整除，奇数被 2 除余 1；
(2)连续自然数前后相差 1；连续奇数或偶数前后相差 2； (3) 整数被 4 除可能的情况只有 4 种：整除、余 1、余 2、余 3； (4)两位数的表示方法：十位数字 × 10+ 个位数字 .
量关系简明地表示出来 .
感悟新知
注意
知1－讲
用字母表示实际问题中的某个量时，字母的取值必须使式子
有意义且符合实际情况 .
代数式(公开课)教案
代数式(公开课)教案第一章：代数式的基本概念1.1 代数式的定义：介绍代数式的概念，强调代数式是数与字母的组合。
举例说明代数式的形式，如2x, 3y + 4, a b 等。
1.2 代数式的组成：解释代数式中的数称为常数项，如4, 5 等。
解释代数式中的字母称为变量，如x, y, a, b 等。
强调变量可以代表任何数。
1.3 代数式的运算：介绍代数式之间的运算，如加法、减法、乘法、除法等。
演示代数式的运算示例，如(2x + 3) + (4y 1), 2(a b), (3a 2b) 4 等。
第二章：代数式的化简与合并2.1 代数式的化简：解释代数式化简的概念，即简化代数式的形式。
介绍化简代数式的方法，如去掉括号、合并同类项等。
演示化简代数式的示例，如(2x + 3) + (4y 1) = 2x + 4y + 2, 2(a b) = 2a 2b 等。
2.2 代数式的合并：解释代数式合并的概念，即将同类项合并在一起。
介绍合并同类项的方法，即将具有相同变量的项相加或相减。
演示合并同类项的示例，如2x + 4x = 6x, 3y 2y = y 等。
第三章：代数式的乘法分配律3.1 乘法分配律的定义：介绍乘法分配律的概念，即a (b + c) = a b + a c。
解释乘法分配律的意义，强调它适用于任何数和代数式。
3.2 乘法分配律的应用：演示乘法分配律的应用示例，如(2x + 3) 4 = 2x 4 + 3 4, (a b) 5 = a 5 b 5 等。
强调乘法分配律在解代数方程和简化代数式时的有用性。
3.3 乘法分配律的扩展：解释乘法分配律的扩展形式，即(a + b) c = a c + b c。
演示乘法分配律扩展形式的应用示例。
第四章：代数式的分式4.1 分式的定义：介绍分式的概念，强调分式是代数式的一种形式，包括分子和分母。
解释分式的形式，如a/b, (2x + 3)/4 等。
4.2 分式的运算：介绍分式之间的运算，如加法、减法、乘法、除法等。
第二章 2.1 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系课标要求素养要求1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)，配方法和求根公式法(重点).2.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.教材知识探究利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)两根为x 1，x 2， 令ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)＝ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2， ∴⎩⎨⎧b ＝－a （x 1＋x 2），c ＝ax 1x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a .1.一元二次方程的解集 (1)一般地，方程x 2＝t ：①当t >0时，解集为{t ，－t }； ②当t ＝0时，解集为{0}； ③当t <0时，解集为∅． (2)一般地，方程(x －k )2＝t ：①当t >0时，解集为{k ＋t ，k －t }； ②当t ＝0时，解集为{k }； ③当t <0时，解集为∅．(3)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式及求根公式判别式只能判定实系数(系数全都是实数)一元二次方程的解集的情况一般地，Δ＝b 2－4ac 称为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式．对一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ>0⇔有两个不相等的实根；Δ＝0⇔有两个相等的实根；Δ<0⇔无实数根． 当Δ≥0时，x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．(4)一元二次方程的解集 实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0 设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ①当Δ＝b 2－4ac ＞0时，方程的解集为⎩⎭2a ，2a ； ②当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b 2a ；③当Δ＝b 2－4ac ＜0，方程的解集为∅. 是指在实数范围内方程无解． 2.一元二次方程根与系数的关系对任何Δ≥0的一元二次方程，根与系数的关系都成立设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a Ｗ.常用的几个变形：①x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)； ④|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2； ⑤1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2. 教材拓展补遗[微判断]1.ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数)叫做一元二次方程.(×) 提示 当a ＝0时，不是一元二次方程.2.一元二次方程均可化为(x －k )2＝t 的形式.(√)3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.(√) [微训练]1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B.1x 2＋1x －2＝0C.ax 2＋bx ＋c ＝0D.x 2＋2x ＝x 2－1解析 A 中方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，是一元二次方程；B 中方程是关于1x 的一元二次方程；对C ，当a ＝0时，不是关于x 的一元二次方程；D 中方程可化为2x ＝－1，不是一元二次方程. 答案 A2.已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，则代数式m 2－m 的值等于( ) A.－1 B.0 C.1D.2解析 由题意，m 2－m －1＝0，即m 2－m ＝1. 答案 C3.关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，则p ，q 的值分别为( ) A.－3，2 B.3，－2 C.2，－3D.2，3解析 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧2＋1＝－p ，2×1＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－3，q ＝2.答案 A [微思考]一元二次方程(系数均为实数)有两个根，它的解集是否一定有两个元素？ 提示 当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个相等的实数根，其解集只有一个元素.题型一 一元二次方程判别式的应用【例1】 试证明：不论m 为何值，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根.证明 ∵Δ＝[－(4m －1)]2－4×2×(－m 2－m )＝24m 2＋1＞0，∴不论m 为何值时，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根. 规律方法 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)的实数根的情况可由Δ＝b 2－4ac 加以判定，即Δ＞0时，有两不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根. 【训练1】 不解方程，判别下列方程根的情况. (1)x 2－14x ＋12＝0；(2)4x 2＋12x ＋9＝0； (3)2x 2－3x ＋6＝0.解 (1)Δ＝(－14)2－4×1×12＝148＞0，∴x 2－14x ＋12＝0有两个不相等的实数根；(2)Δ＝122－4×4×9＝0，∴4x 2＋12＋9＝0有两个相等的实数根； (3)Δ＝(－3)2－4×2×6＝－39＜0，∴2x 2－3x ＋6＝0没有实数根. 题型二 换元法的应用【例2】 求方程1x 2－1x －1＝0的解集.解 令y ＝1x ≠0，则方程1x 2－1x －1＝0可化为y 2－y －1＝0， 由求根公式，得y 1＝1＋52或y 2＝1－52，即1x ＝1＋52或1x ＝1－52， ∴x ＝5－12或x ＝－5＋12，∴原方程的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5＋12，5－12. 规律方法 通过引入新元y (y 为关于x 的代数式)，可把一些关于x 的方程化为关于y 的二次方程ay 2＋by ＋c ＝0(a ≠0)，从而求出y 的值，进而求出x 的值. 【训练2】 求下列方程的解集. (1)x 4－3x 2＋2＝0；(2)x ＋2x －1＝0； (3)(x 2－x )2－(x 2－x )－2＝0.解 (1)令y ＝x 2≥0，得y 2－3y ＋2＝0， ∴y ＝1或y ＝2，即x 2＝1或x 2＝2， ∴x ＝±1或x ＝± 2.∴原方程的解集为{－2，－1，1，2}. (2)令y ＝x ≥0，得y 2＋2y －1＝0， ∴y ＝－1＋2或y ＝－1－2(舍).从而x ＝－1＋2，即x ＝3－22， ∴原方程的解集为{3－22}.(3)令x 2－x ＝t ，得t 2－t －2＝0，∴t 1＝－1或t 2＝2， 即x 2－x ＋1＝0 ①或x 2－x －2＝0 ② 对①，Δ＝－3＜0，无实数解；对②，易得x ＝－1或x ＝2，故原方程的解集为{－1，2}. 题型三 一元二次方程根与系数关系的应用【例3】 已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 21＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值.解 (1)由Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4(m －2)≥0，得m ≤2，即m 的取值范围是 (－∞，2].(2)由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1.∵x 21＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2＝8x 1x 2，即22＝8(m －1)，解得m ＝32.∵32<2，∴m 的值为32.规律方法 运用根与系数的关系，注意两点(1)常见变形x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2；(2)整体代入.【训练3】 已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值.解 (1)由Δ＝[－2(k －1)]2－4k 2＝4(1－2k )≥0，得k ≤12，即k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2（k －1），x 1x 2＝k 2.∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1 ①，∵k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，∴k －1≤－12，∴①可化为－2＝k ＋1，∴k ＝－3.一、素养落地1.通过学习求一元二次方程的解集提升运算素养；通过学习根与系数的关系提升逻辑推理和数学运算素养.2.求一元二次方程解集时，先用判别式判定解的情况再求解集.3.运用根与系数关系时，注意恒等变形和整体代入. 二、素养训练1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A.x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B.x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C.2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D.3y 2－4y －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＝109解析 x 2＋8x ＋9＝0配方应为(x ＋4)2＝7.选B. 答案 B2.如果关于x 的方程ax 2＋x －1＝0有实数根，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(0，＋∞) 解析 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝12＋4a ≥0，得a ≥－14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.答案 B3.已知(x 2＋y 2＋1)(x 2＋y 2－3)＝5，则x 2＋y 2＝________.解析 令t ＝x 2＋y 2≥0，则原方程可化为(t ＋1)(t －3)＝5，即t 2－2t －8＝0. ∴t ＝4或t ＝－2(舍去)，故x 2＋y 2＝4. 答案 44.已知关于x 的方程x 2－kx ＋k －2＝0有两个正实根，则k 的取值范围是________.解析由题意得⎩⎨⎧（－k ）2－4（k －2）≥0，k ＞0，k －2＞0，解得k ＞2.答案 (2，＋∞)5.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程6x 2－3x －2＝0的两根的平方. 解 设方程6x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－13.由题意求作方程的两根为x 21，x 22，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1112，x 21·x 22＝(x 1x 2)2＝19，故求作的一元二次方程为x 2－1112x ＋19＝0， 即为36x 2－33x ＋4＝0.基础达标一、选择题1.解方程(5x －1)2＝3(5x －1)的适当方法是( ) A.开平方法 B.配方法 C.公式法D.因式分解法解析 由(5x －1)2＝3(5x －1)，得(5x －1)(5x －4)＝0，再求解最简单.故选D. 答案 D2.如果x 2＋2(m －2)x ＋9是完全平方式，那么m 的值等于( ) A.5 B.5或－1 C.－1D.－5或－1解析 由题意m －2＝±3，∴m ＝5或m ＝－1. 答案 B3.下列结论正确的是( )A.若x 2＝4，则x ＝2B.若x 2－5xy －6y 2＝0(xy ≠0)，则x y ＝6或xy ＝－1 C.方程x (2x －1)＝2x －1的解集为{1} D.方程x 2－3x ＋2x －1＝0的解集为{1，2}解析 对A ，由x 2＝4，得x ＝±2；对B ，∵xy ≠0，∴方程两边同除以y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5x y －6＝0，∴x y ＝6或xy ＝－1；对C ，方程可化为(2x －1)(x －1)＝0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1；对D ，x ＝1时方程无意义.故选B. 答案 B4.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( ) A.－1 B.9 C.23D.27解析 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧α＋β＝5，αβ＝－2，则α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ＝52＋2＝27. 答案 D5.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项，解得两根为2，－3，而小华看错常数项，解得两根为－2，5，那么原方程为( ) A.x 2－3x ＋6＝0 B.x 2－3x －6＝0 C.x 2＋3x －6＝0D.x 2＋3x ＋6＝0解析 设原方程为x 2＋mx ＋n ＝0，其两根为x 1，x 2，由题意，得⎩⎨⎧2×（－3）＝n ，－2＋5＝－m .∴m ＝－3，n ＝－6.选B. 答案 B 二、填空题6.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实根，则m 2＋3m ＋n ＝________.解析 ∵m ，n 是方程x 2＋2x －2 018＝0的两根， ∴m 2＋2m －2 018＝0，即m 2＋2m ＝2 018，又m ＋n ＝－2，故m 2＋3m ＋n ＝(m 2＋2m )＋(m ＋n )＝2 018－2＝2 016. 答案 2 0167.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝________，β＝________，m ＝________.解析 由Δ＝16＋8m ＞0得m ＞－2，由题意α＝β－4，即α－β＝－4 ①，又α＋β＝－4 ②，由①②得α＝－4，β＝0，∴αβ＝0＝－2m ，m ＝0. 答案 －4 0 08.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根为负，则实数m 的取值范围是________.解析 设方程两根为x 1，x 2，则x 1＜0，x 2＜0，∴⎩⎨⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2m ＋1＞0，∴0≤m ＜12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 三、解答题9.求下列方程的解集：(1)x 4－2x 2－8＝0；(2)6x 2－1x －1＝0.解 (1)令y ＝x 2(y ≥0)，则原方程可变为y 2－2y －8＝0，∴y ＝4或y ＝－2(舍去)，即x 2＝4，∴x ＝±2，∴原方程的解集为{2，－2}. (2)令y ＝1x ≠0，则原方程可化为6y 2－y －1＝0， ∴(3y ＋1)(2y －1)＝0， ∴y ＝－13或12，即1x ＝－13或12，∴x ＝－3或2，∴原方程的解集为{－3，2}.10.设x 1，x 2是方程3x 2－2x －4＝0的两根，不解方程，求下列各式的值； (1)1x 1＋1x 2；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)(x 1－x 2)2；(4)x 31＋x 32.解由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－43.(1)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－12.(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－2＝－13－2＝－73.(3)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝529.(4)x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)(x 21－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2] ＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)＝8027.能力提升11.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根.(1)是否存在a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值. 解 由题意知⎩⎨⎧a －6≠0，Δ＝（2a ）2－4a （a －6）≥0，∴a ≥0且a ≠6.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2aa －6，x 1x 2＝aa －6.(1)若－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2， 则x 1＋x 2＋4＝x 1x 2， 即4－2a a －6＝aa －6，∴a ＝24. 故满足条件的a 存在，且a ＝24.(2)∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝a a －6－2aa －6＋1＝－6a －6为负整数，∴a 可取的整数为7，8，9，12.12.已知一元二次方程x 2－4x ＋k ＝0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且x 2－4x －k ＝0与x 2＋mx ＋1＝0有一个根相同，求此时m 的值.解 (1)由题意Δ＝(－4)2－4k ＝4(4－k )＞0，∴k <4.即k 的取值范围为(－∞，4).(2)∵k ∈(－∞，4)，∴k 的最大整数为k ＝3.∴方程x 2－4x －k ＝0即x 2－4x －3＝0的解集为{2－7，2＋7}.设方程x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝1.若方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根为2－7，则另一个根为12－7＝－2＋73， 此时m ＝－(x 1＋x 2)＝－⎝⎛⎭⎪⎫2－7－2＋73＝－4＋473. 若方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根为2＋7，则另一个根为12＋7＝－2＋73， 此时m ＝－(x 1＋x 2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋7＋－2＋73＝－4＋473.。
2.1代数式的概念和列代数式(第2课时列代数式)(教学课件)-七年级数学上册(湘教版2024)
那么儿子和女儿的身高有多高？
新知探究
观察右图，并完成下表：
六边形的个数
图案
所需火柴（根）
1
6
2
6+5=11
3
6 + 5 × 2=26
4
21
6 + 5 × (4-1) ＝______
…
…
…
m(m为正整数)
…
6 + 5 × (m-1) ＝______
课本例题
例4 填空：
4.07
超过 260m3 的部分
6.07
(1) 若某个 5 人及以下的家庭一年总用水量为 a m3，其中 a 不超过
180，则该家庭一年的水费是多少?
解 (1) 由于一年总用水量为 a m3，且 a 不超过 180，因而其价
格为每立方米 2.07 元，故这样的家庭一年的水费为 2.07a 元.
(2) 若某个 5 人及以下的家庭前十个月用水量为 180 m3，后两个月用
++−
5 本，则剩余3 本，由此可知学生人数为_________.
例5 为了增强公民节水意识，某市鼓励居民合理利用水资源，对
自来水的水费实行阶梯水价，并实行“一户一表”计费. 对于 5 人
及以下的家庭，规定如下：
每户每年用水量
水价/(元/m3)
180 m3 及以下
2.07
超过 180 m3 但不超过 260m3 的部分
物不超过20 kg时，去掉重物后，弹簧能恢复原状.）
物体质量
m（kg）
0
弹簧长度l
（cm）
6 6+0.5 6+1 6+1.5