选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数

y
o
x
练习 求出确定下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x2-2x+4
x (2)f(x)=e -x 3 (3)f(x)=3x-x
(4)f(x)= x3-x2-x
练习
2.讨论二次函数 f ( x) = ax 2
bx c(a 0) 的单调区间.
解:
f ( x) = ax bx c(a 0) f ( x) = 2ax b.
1.在讨论函数的单调性或求单调区间时,首先要确定函数的定义域。
如果恒有 f ' ( x) = 0 ,则 f ( x) 是常数。
例1、已知导函数 f ( x ) 的下列信息： 当1<x<4时, f ( x) > 0 当x>4,或x<1时, f ( x) < 0 当x=4,或x=1时, f ( x) = 0 试画出函数f(x)图象的大致形状。 当 1 < x < 4时, f ( x) > 0, 可知f x ) 在此区间内为增函数; 当x > 4, 或x < 1时, f ( x) < 0, 可知f x ) 在此区间内为减函数;
o
x
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较 f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较 简单.
导数的几何意义:曲线在某点处切线的斜率。
观察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
y
y
o
a
b
x
o
a
b
x
若 f(x) 在D上是增函数或减函数, D 称为单调区间
1.直线的倾斜角 直线l与x轴相交,我们取x轴为基准,x轴正向与直线 l向上的方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角。 2.直线的倾斜角范围 a[0o,180o) 规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°
0o< a < 90o
函数 h(t ) = 4.9t 2 6.5t 10的图象, 图(2)表示高台跳水运
动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) = 4.9t 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到
h
v
(1)
O t O a b
[点评] 本题是含参数单调性问题 ,是 高考的重点和热点 , 体现了数学上 的数形结合与转化思想．
1 已知函数（ f x） = 2ax 2 ，x (0,1],若（ f x）在 x x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
2 解：由已知得 f '(x ) = 2a 3 x 因为函数在（0,1]上单调递增
函数.
由 f ( x) < 0, 解得 0 <
练习 确定下面函数的单调区间: f(x)=x/2+sinx;
解:函数的定义域是R,
f ( x ) =
f(x)的递增区间是: ( 2kp 2p ,2kp 2p )(k Z ); 3 3 2p 4p 递减区间是: ( 2kp ,2kp )(k Z ). 3 3
解：f′(x)＝x2－ax＋a－1.
∵f(x)在(1,4)内单调递减, ∴f′(x)≤0在(1,4)上恒成立, 即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立, ∴ a≥x＋1,因为2<x＋1<5, ∴当a≥5时,f′(x)≤0在(1,4)上恒成立, 又∵ f(x)在(6,＋∞)上单调递增, ∴ f′(x)≥0在(6,＋∞)上恒成立,所以a≤x＋1, ∵ x＋1>7, ∴ a≤7时,f′(x)≥0在(6,＋∞)上恒成立． 由题意知5≤a≤7.
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p) 解：f ( x) =cosx-1<0 函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减。
y
o
f ( x) = sin x x
x
例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间：
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
f ( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 解： 1 17 1 17 或x < 当 f ( x) >0,即x > 时, 2 2 函数单调递增； 1 17 1 17 <x< 当 f ( x) <0,即 时, 2 2 函数单调递减；
1 2p 2p 令 cos x > 0 ,解得 2kp < x < 2kp (k Z ). 2 3 3 1 2p 4p cos x < 0 令2 ,解得 2kp < x < 2kp (k Z ).
3 3
1 cos x . 2
练习 确定下面函数的单调区间： f(x)=x/2-ln(1+x)+1 解:函数的定义域是(-1,+∞),
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
1 1 x 1 f ( x ) = = . 2 1 x 2(1 x ) x 1 >0 f ( x) > 0 x 1 > 0 f ( x ) > 0 2(1 x ) , 由 x 即 2(1 x) , 解得x>1. 1> 0 x 1 > 0 > 1 x x > 1
a> - 1 2 当a = 1时，f '(x) = 2 3 x 对x （0， 1）也有f '(x)〉 0
2 f '(x)>0,即a > - 3 在x （0， 1]上恒成立 x 1 而g(x) = 3 在（0， 1]上单调递增， x g(x)max = g(1)=-1
a = -1时，（ f x）在(0, 1)上是增函数 所以a的范围是[-1，+）
2
(1) a > 0 b 由 f ( x) > 0, 得 x > , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( ,); 相应地, 函数的递减区间是 (, ) 2a 2a (2) a < 0 b 由 f ( x) > 0, 得 x < , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( , ) ; 相应地, 函数的递减区间是 ( ,) 2a 2a
(2)
a
t b
最高点,离水面的高度h
随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地,v(t ) = h(t ) > 0.
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t ) = h(t ) < 0.
观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.
例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间：
(2) f(x)=x2-2x-3 ; 解： f ( x) =2x-2=2(x-1) 当 f ( x) >0,即x>1时,函数单调递增； 当 f ( x) <0,即x<1时,函数单调递减；
y
f ( x) = x 2 2x 3
o
1
x
例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间：
k >0
a =90o
k不存在
90o< a < 180o k<0
a =0o
k=0
k = tan a ,0 a < 180
0
0
判断函数单调性有哪些方法？
定义法
图象法
y = x3 3 x ?
比如：判断函数 y = x 的单调性。 如图：
2
y
y= x
2
函数在(, 0) 上为____ 减 函数, 在(0, ) 上为____ 增 函数。
在x∈(-∞,0)内图象 是单调下降的.
y = 2 x < 0
在x∈( 0,+∞)内图象 是单调上升的.
图象是单调上升的. y = 1 > 0
y = 2 x > 0
在x∈(-∞,0)内图象是 单调下降的. 在x∈( 0,+∞)内图象 是单调下降的.
1 y = 2 < 0 x
y = 1 <0 2 x
当x = 4, 或x = 1时, f ( x)=0，两点为“临界点”。
y
y = f ( x)
o
1
4
x
例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间：
(1) f(x)=x3+3x ; 解： f ( x) =3x2+3=3(x2+1)>0
y
函数f(x)=x3+3x
在x∈R上单调递增。
o
x
f ( x) = x3 3x
图象是单调上升的. 2 y = 3x > 0(当x 0时)
新课讲解：
y
1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？ 2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线
1 x
的倾斜角为 斜率有什么特征？
(锐角/钝角)?它的
o
3.由导数的几何意义,你可以得到什么结 论？ 4.在x＝1的右边时,同时回答上述问题。
；
的解集为f(x)的单调增区间； (4)不等式组 x A
f ( x ) < 0
的解集为f(x)的单调减区间；
例3、如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容 器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。