§2、2配方法(第1课时)
2022年九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时直接开平方法与配方法
0,
1 3
y
2
1
5,
①
1 y 1 5, ②
3
1 y 1 5, ③
3
y 3 5 1, ④
解：不对，从开始错，应改为
1 3
y
1
5,
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
5.解下列方程：
1 x2 4x 4 5
x 22 解5, ： x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
第二章 一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程
（第1课时 直接开平方法与配方法(1)）
学习目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程. （重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点）
复习引入
导入新课
1.如果 x2=a,则x叫作a的 平方根 .
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
的实数根 x1 p ，x2 p ；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
17.2.2配方法(一)(一元二次方程的解法)
它们之间有什么关系?
(1)下列将方程x 6 x 7 0配方变形
2
正确的是
2
( C
)
B.( x 3) 16 2 D.( x 6) 16
2
A.( x 6) 2
C.( x 3) 2
2
（2）用配方法解下列方程时，配方有 错误的是（ B）
A.x 2 x 99 0化为（x 1 ） 100
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
下课了!
结束寄语
• 配方法是一种重要的数学方法 ——配方法,它可以助你到达希 望的顶点. • 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
拓展：
2 把方程x -3x+p=0配方得到
1 (x+m)2= 2 (1)求常数p,m的值； (2)求方程的解。
解一元二次方程的基本思路
二次方程
降次
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。 当k≥0时，两边同时开平方，这 样原方程就转化为两个一元一次方程。 当k<0时，原方程的解又如何？
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0 2 解： x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 练习1. 用配方法解下列 2 x 3 16 方程 x 3 4 1. y2-5y-1=0 . x1 1 x2 7 2. y2-3y= 3
2
2
用配方法解下列方程：
(5) x 3x 5 0
2
配方时, 等式两边同时加上的是一 次项系数一半的平方
数学人教版九年级上册解一元二次方程——配方法.2.1-人教版九年级数学上册一元二次方程-配方法(第1课时)
(a＋b) ² ＝
(a－b) ² = 2.根据平方根的意义，解下列方程
（1）x² =4
(2)( x+1) ² =4
（三） 尝试指导，学习新知。 提问：这样的方程你能解吗？ x² +2x＝0
【归纳】
配方法：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配 方法。配方法的依据：完全平方公式。
（一） 创设情境，设疑引新：
在实际生活中，我们常常会遇到 一些问题，需要用一元二次方程 来解决。例如：要使一块长方形 场地的长比宽多6米，并且面积为 16平方米，场地的长和宽应各是 多少米？
【解析】设该场地的宽为x米，依题意得
x(x+6)=16，但是发现所列方程无法解。
（二） 复习旧知练习：
1.平方根的定义
巩固新知、知识升华
六、布置作业 (六)布置作业。课本39页练习题1、2题
【 (五)总结】
1.解二次项系数为1的一元二次方程的基本思 路：方程化为( x+m)2=n（n≥0）的形式，。 2、用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把二次项系数化为1（方程两边同时除 以二次项系数a）；（2）移项（把常数项移 到方程的右边）； （3）配方（方程两边都加上一次项系数的一 半的平方）； （4）开平方（根据平方根意义，方程两边开 平方）； （5）求解（解一元一次方程）；
通过配方法的探究活动培养学生勇于探究的学习习惯感受数学的严谨性以及数学结论的确定性
21.2
解一元二次方程 配方法 第1课时
21.2.1
1、知识目标：理解配方法，会利用配 方法对一元二次方程进行配方 2、能力目标：总结出配方的解题步骤， 提高推理能力， 3、情感目标：通过配方法的探究活动， 培养学生勇于探究的学习习惯，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性。
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法(1)》教学设计
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法（1）》教学设计一. 教材分析《配方法（1）》是人教版数学九年级上册第21.2.2节的内容，主要讲述了配方法的基本概念和应用。
配方法是一种解决二次方程的有效方法，通过将二次方程转化为完全平方形式，从而简化计算和求解过程。
本节内容主要包括配方法的定义、配方法的步骤以及配方法在解决实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次方程的基本概念和求解方法，具备了一定的数学基础。
但学生在解决实际问题时，往往对这些方法的应用范围和条件把握不清，不能灵活运用。
因此，在教学本节内容时，需要帮助学生巩固已有的知识，并通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握配方法的特点和应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解配方法的基本概念和步骤，能够运用配方法解决简单的实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析和练习，培养学生运用配方法解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.配方法的基本概念和步骤。
2.配方法在解决实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解配方法的基本概念和步骤，使学生掌握配方法的理论知识。
2.案例分析法：通过实例分析，让学生了解配方法在解决实际问题中的应用。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对配方法的理解和应用。
4.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队合作精神和数学思维能力。
六. 教学准备1.教材和教辅：准备人教版数学九年级上册教材和相关教辅资料。
2.课件和幻灯片：制作课件和幻灯片，用于课堂讲解和展示。
3.练习题和答案：准备一些配方法的练习题，并准备相应的答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，例如：“某数加上其倒数的和为2，求这个数。
”让学生尝试解决此问题，引发学生对配方法的思考。
2.呈现（15分钟）讲解配方法的基本概念和步骤，并举例说明配方法在解决实际问题中的应用。
用配方法求解一元二次方程(第1课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程教学目标1.根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程.2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m )2＝n (n ≥0)的形式，体会转化的数学思想.教学重难点重点：利用配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程通过配方转化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式.教学过程导入新课试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x 2＝4; (2) x 2＝0; (3) x 2+1＝0.解:根据平方根的意义，得（1）x 1＝2,x 2＝-2 ;（2）x 1＝x 2＝0 ;（3）x 2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知思考：如果我们把x 2＝4，x 2＝0，x 2+1＝0变形为x 2＝p ，各方程的解会是什么情形？老师总结：一般地，对于方程x 2＝p ：（1）当p >0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个不相等的实数根x 1＝−√p ，x 2＝√p ；（2）当p ＝0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0； （3）当p <0 时，因为对任何实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2＝p 无实数根. 例1：利用直接开平方法解下列方程: （1）x 2＝25; (2) x 2-900＝0; (3)(x +2)2＝7; (4)2(1−3x)2-18＝0. 解：(1) x 2＝25 直接开平方，得x ＝±5,即x 1＝5，x 2＝-5. （2）x 2-900＝0，移项，得x 2＝900，直接开平方，得x ＝±30，即x 1＝30，x 2＝-30.（3）(x +2)2＝7，直接开平方，得x +2＝±√7，即x 1＝-2+√7，x 2＝-2-√7. （4）2(1−3x)2-18＝0，移项，得2(1−3x)2＝18，则(1−3x)2＝9，直接开平方，得1-3x ＝±3, 即1-3x ＝3或1-3x ＝ -3，解得x 1＝−23，x 2＝43. 注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x 2＝p 或（mx ＋n ）2＝ p （p ≥0）的形式的方程，可得方程的根为x ＝±√p 或mx ＋n ＝±√p .（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p 为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况.做一做：填上适当的数，使下列等式成立.（1）x 2＋12x ＋36＝(x ＋6)2＋6)2＝ x 2+12x ＋36； （2）x 2―4x ＋4＝(x ―2)2 x ―2)2＝ x 2―4x ＋4； （3）x 2＋8x ＋16＝(x ＋4)2 ＋4)2＝x 2＋8x ＋16； （4）a 2+2ab +b 2＝( a +b )2 (a +b )2＝ a 2+2ab +b 2；教学反思（5）a 2-2ab +b 2＝( a -b )2-b )2＝ a 2-2ab +b 2.问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 对于形如 x 2+ax+(a 2)2的式子如何配成完全平方式？老师总结：x 2+ax +(a 2)2＝(x +a 2)2.将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 例2：用配方法解方程：x 2＋8x ―9＝0. 分析：先把它变成（x +m )2＝n 的形式再用直接开平方法求解. 解：移项，得x 2＋8x ＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x 2＋8x +42＝9+42，即（x +4)2＝25.两边开平方，得x +4＝±5，即x +4＝5或x +4＝-5，所以x 1＝1，x 2＝−9.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x ＋m )2＝n 的形式.(3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n ≥0，就可左右两边开平方得x ＋m ＝±√n ；当n <0时，原方程无解.(4)解 —— 方程的解为x ＝－m ±√n .即用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x +n )2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解. 问题解决： 上节课梯子底部滑动问题：x 2+12x -15＝0.（让学生仿照例2，独立解决） 解：x 2+12x －15＝0，移项，得x 2+12x ＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x 2+12x +62＝15+62，即(x +6)2＝51.两边开平方，得x +6＝±√51.所以x 1＝√51―6，x 2＝―√51―6(不合实际).注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 课堂练习1.一元二次方程x 2-16＝0的根是( ) A.x ＝2 B.x ＝4 C.x 1＝2,x 2＝2 D.x 1＝4,x 2＝-42.一元二次方程x 2-6x -6＝0配方后为 ( ) A.(x -3)2＝15 B.(x -3)2＝3 C.(x +3)2＝15 D.(x +3)2＝33.用配方法解方程x 2-3x -3＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x −3)2＝3 B.(x −32)2＝3 C. (x −3)2＝34 D.(x −32)2＝2144.若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为(x −3)2＝k ，则b ，k 的值分别教学反思为（）A. 6，13B.6，4C.-6，4D.-6，135.用配方法解方程:(1)x2-2x＝4; (2)x2+4x-1＝0.参考答案1.D2.A3.D4.C5.解：(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1＝5,即(x-1)2＝5，所以x-1＝±√5,所以原方程的解是x1＝1+√5，x2＝1-√5.(2)移项，得x2+4x＝1.配方,得x2+4x+4＝1+4，即(x+2)2＝5.开方，得x+2＝±√5.所以x1＝-2+√5,x2＝-2-√5.课堂小结1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：布置作业课本习题2.3 知识技能 1 问题解决2，3板书设计2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：.教学反思。
21.2.2 公式法(第一课时[根的判别式])
![21.2.2 公式法(第一课时[根的判别式])](https://img.taocdn.com/s3/m/bbfe72e9aef8941ea66e050d.png)
系数含有 字母的方 程
2
∵ k
2
0,4k 0，即 0,
2
方程有两个实数根.
3、(2010· 荆门)如果方程 ax ＋2x＋1＝0 有两个不等的实根， 则实数 a 的取值范围是( ) A．a<1 B．a<1 且 a≠0 C．a≤1 D．a≤1 且 a≠0
2
【解析】∵方程有两个不等的实数根，∴b －4ac>0，即 2 －4a>0，
例2：按要求完成下列表格：
方程
2 y2 2 4 y 2( x 2 1) x 0 2 x 2 3x 1 0
Δ的值
0 0
有两个相等 的实数根
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
相信你肯定行！
练习1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
x
1
x
2
b 2a
即 因为a≠0,所以4a2 >0
2
b b 4ac x 2a 4a 2 式子b2 4ac的值有以下三种情况：
2
2
b 4ac (3) b 4ac 0, 这时 0 2 4a
2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
反之也成立。
1.已知关于 的方程
x
x (2k 1) x k 1 0
2 2
有两个不相等的实数根，试确定的取值。 2.求证：关于 x 的方程 k x 2kx (k 1) 0 有实数根。
2 2 2
2 2
∴a<1.又∵a≠0，∴a<1 且 a≠0.
【答案】B
谁决定了一元二次方程根的情况？
人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教学设计1
人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教学设计1一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第22章第2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了整式的加减、乘除，以及完全平方公式的基础上进行学习的。
配方法是一种解决问题的方法，通过构造完全平方公式，将问题转化为学生已经掌握的知识点，从而解决问题。
配方法在解决二次方程、二次不等式以及函数图像的平移等问题中有着广泛的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够理解和运用整式的加减、乘除以及完全平方公式。
但是，对于配方法的原理和应用，他们可能还不太清楚。
因此，在教学过程中，需要通过具体例子让学生理解配方法的原理，并通过练习让学生掌握配方法的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握配方法的原理，并能够运用配方法解决相关问题。
2.过程与方法：通过具体例子，让学生理解配方法的过程，并能够独立完成配方法的操作。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.配方法的原理理解2.配方法在解决实际问题中的应用五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，通过具体例子引导学生理解配方法，并通过练习让学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学PPT七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这类问题。
例如，解决方程x^2 -5x + 6 = 0。
2.呈现（15分钟）讲解配方法的原理，并通过PPT展示配方法的具体步骤。
配方法的步骤如下：（1）将方程写成完全平方的形式；（2）根据完全平方公式，构造出两个相同的因式；（3）将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式；（4）根据乘积等于0的性质，解出方程的解。
3.操练（15分钟）让学生独立完成配方法的操作，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）让学生解答一些相关的练习题，检验学生对配方法的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）讲解配方法在解决二次方程、二次不等式以及函数图像的平移等问题中的应用。
新人教版九年级数学上册：《配方法》教案
§2．2 配方法课时安排3课时从容说课配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.本节的重点、难点是配方法．根据课程的特点，以及学生的认知结构特点，本节内容分三课时．在教学时，首先从前面两节课的实例引入求精确解.因为我们已经能解形如(x+a)2=b(b ≥0)的方程，所以想到要求一个一元二次方程的精确解时，是否可把方程转化为已经能解的方程，这时引入了一元二次方程的解法——配方法．配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征．教学方法主要是学生自主探索、发现的方法．第三课时课题§2．2.1 配方法(一)教学目标(一)教学知识点1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．(二)能力训练要求1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法．2．体会转化的数学思想方法．3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(三)情感与价值观要求通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力．教学重点利用配方法解一元二次方程教学难点把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式．教学方法讲练结合法教具准备投影片六张：第一张：问题(记作投影片§2．2．1 A)第二张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 B)—第三张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 C)第四张：想一想(记作投影片§2．2．1 D)第五张：做一做(记作投影片§2．2．1 E)第六张：例题(记作投影片§2．2．1 F)教学过程Ⅰ．创设现实情景，引入新课[师]前面我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?[生甲]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
湘教版2019--2020年九年级数学上册第二章：2.2.1 配方法 课件(共13张PPT
＝0，
由此得 x 3 10 或x 3 10 ，
22
22
解得
x1
2
10 ，
x2
3
2
10
.
议一议 解方程： －2x2＋4x－8＝0.
总结
用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1) 移项， 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，
把常数项移到方程的右边. (2) 二次项系数化为1：方程的左、右两边同时除以二
2.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方法——配方法 解方程
填上合适的数，使下列等式成立.
x2＋12x＋___＝( x＋6 )2
x2－6x＋___＝( x －3 )2
x2＋ 8x ＋ ___＝( x＋___ )2 x2－4x ＋___＝( x－___ )2
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系? 对 于形如 x2 ＋ax 的式子如何配成完全平方式 ?
二次三项式的配方
左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一 次项系数的一半” . 例1 当x 取何值时，代数式 2x2－6x＋7 的值最小 ? 并求
出这个最小值 ． 解题秘方：求代数式的最小值，要先将代数式配成 a(x＋m)2
＋n 的形式，然后根据完全平方式的非负性求代 数式的最小值.
解： 2x2－6x＋7
课堂小结
定义
通过配成完全平方式来解一元 二次方程的方法，叫做配方法.
配方法 解题步骤
1. 移项 2. 化二次项系数为1 3. 配方法 4. 开平方 ( 降次 ) 5. 解一次方程
次项系数. (3) 配方： 把方程的左、右两边同时加上一次项系数
一半的平方，把原方程化为(x＋n)2=p的形式.
(4) 开方：如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开 平方法求解； 如果方程右边是一个负数，那么这个方 程无实数根. 即 ①当p ＞ 0 时，方程(x＋n)2=p有两个不等的实数根 x1=－n－ p ， x2=－n＋ p. ②当p=0 时，方程(x＋n)2=p有两个相等的实数根 x1=x2=－n. ③当p ＜ 0 时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2 ≥0， 所以方程 (x＋n)2=p无实数根.
2.2配方法(一)
§2.2配方法（一）知识点1：会用开方法解形如n m x =+2)()0(≥n 的方程.知识点2：会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程一、预学生疑 阅读课本53—55页回答问题（1）x 2=4 （2）(x+3)2=9解： 解：这种方法叫 开平方法填空：配成完全平方式，体会如何配方填上适当的数，使下列等式成立。
（选4个学生口答）22)6(_____12+=++x x x 22)3(____6-=+-x x x22___)(____8+=++x x x 22___)(____4-=+-x x x上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如ax x +2的式子如何配成完全平方式？二、研学析疑1．填上适当的数，使下列等式成立：（1）22)()(6 x x x +=++； （2）22)()(8 x x x -=+-；（3）22)()(18 x x x +=++； （4）22)()(2 x ax x +=++． 例1：解方程：x 2+8x-9=0.解:可以把常数项移到方程的右边，得x 2+8x ＝9两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得x 2+8x ＋42=9＋42.（x+4）2=25开平方，得 x+4=±5,即 x+4=5,或x+4=-5.所以 x 1=1, x 2=-9.举一反三：解决梯子底部滑动问题：015122=-+x x （仿照例1，独立解决）配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
三、巩固练习2．方程092=-x 的解是（ ）A ．321==x xB ．921==x xC ．3,321-==x xD ．9,921-==x x3．方程012552=-x 的解是 。
4．方程0)3(212=-x 的根是（ ） A ．3=x B ．0=x C ．321==x x D ．3,321-==x x5．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A ． 2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=6．解方程：（1）4)1(2=-x （2）091322=-x （3）012)3(42=-+x7．用配方法解一元二次方程：（1）01662=--x x （2）0142=-+x x（3）0222=--x x （4）025122=++x x四、归纳总结现在请同学们回顾本节课所学的内容，说说看你有什么收获或疑惑。
数学人教版九年级上册解一元二次方程——配方法.2.1-人教版九年级数学上册一元二次方程-配方法(第1课时)
（1）x² =4
(2)( x+1) ² =4
（三） 尝试指导，学习新知。 提问：这样的方程你能解吗？ x² +2x+1=4
这样的方程呢？ x² ＋2x－3＝0
【归纳】
配方法：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配 方法。配方法的依据：完全平方公式。
巩固新知、知识升华
六、布置作业 (六)布置作业。课本39页练习题1、2题
【 (五)总结】
1.解二次项系数为1的一元二次方程的基本思 路：方程化为( x+m)2=n（n≥0）的形式，。 2、用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把二次项系数化为1（方程两边同时除 以二次项系数a）；（2）移项（把常数项移 到方程的右边）； （3）配方（方程两边都加上一次项系数的一 半的平方）； （4）开平方（根据平方根意义，方程两边开 平方）； （5）求解（解一元一次方程）；Fra bibliotek一起探究
对于方程2x ² ＋4x ＋1=0 如何用配方法求解呢？试试看
大家谈一谈
用配方法解一元二次方程的步骤是什么？与同学交流你的想法
用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数a）；（2） 移项（把常数项移到方程的右边）； （3）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）； （4）开平方（根据平方根意义，方程两边开平方）； （5）求解（解一元一次方程）；
【 (四)合作讨论，自主探究】
1、 配方训练、将下列方程化为( x+m) ² =n（m,n为常数，n≥0）的形式。 （1）x² ＋2x＝48 （2）x² －4x＝12 (3)x² －6x＋5=0 (4)x² +x－3/4=0
22.2.2 配方法(1)第4课时教学设计
第4课时 22.2.2 配方法(1)教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P 39 练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．3(1)(2)2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？课后反思。
配方法(一)
(1) x 2 10x 25 7; (2) x 2 6x 1; (3) x( x 14) 0(4) x 2 8x 9
五、课堂小结 师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以 及在应用配方法时应注意的问题。 六、布置作业 课本 50 页习题 2.3 1 题、2 题
教学 反思
填上适当的数，使下列等式成立。 （选 4 个学生口答）
x 2 12x _____ ( x 6) 2 x 2 8x ____ ( x ___)2
2
x 2 6x ____ ( x 3) 2 x 2 4 x ____ ( x ___)2
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如
2
2
2
2
2
2
教 学 过 程
所以 x1=1,
x2=-9.
2
（2）解决梯子底部滑动问题： x 12x 15 0 （仿照例 1，学生 独立解决） 3：及时小结、整理思路 用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？（小 组合作交流） 4、应用提高 例 3：如图，在一块长和宽分别是 16 米和 12 米的长方形耕地上挖 两条宽度相等的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半， 试求水渠的宽度。 （先独立思考， 再小组合作交流） 四、练习与提高 解下列方程
2
。 （选 1 个同学口答） 。若变化后的面积为 48cm 呢？
2
（2）如果一个正方形的边长增加 3cm 后，它的面积变为 64cm ， 则原来的正方形的边长为 （小组合作交流） （3）你会解下列一元二次方程吗？（独立练习）
x2 5；
( x 2) 2 5 ；
22.2.2配方法数学教案
22.2.2配方法数学教案**标题：22.2.2 配方法****一、课程目标**1. 学生能够理解配方法的概念。
2. 学生能够掌握如何使用配方法解决实际问题。
3. 学生能够通过配方法理解和掌握完全平方公式。
**二、教学内容**1. 配方法的基本概念2. 完全平方公式的推导过程3. 配方法的应用**三、教学步骤**1. 引入新课：通过生活中的实例引出配方法的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解新课：- 配方法的基本概念：首先解释什么是配方法，然后给出一些简单的例子让学生理解。
- 完全平方公式的推导过程：通过图形的方式帮助学生理解完全平方公式的推导过程，使其更直观易懂。
- 配方法的应用：通过一系列的问题和练习，使学生掌握如何使用配方法解决实际问题。
3. 练习与讨论：组织学生进行小组讨论，解答他们在学习过程中遇到的问题。
4. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，并引导学生自我反思，提出自己的疑问和思考。
**四、教学资源**1. 教材2. 多媒体设备（如投影仪、电脑等）3. 实物模型或教具**五、教学评价**1. 课堂观察：观察学生在课堂上的表现，包括他们的参与度、理解程度等。
2. 作业反馈：通过批改学生的作业，了解他们对知识的理解和应用情况。
3. 小组讨论：通过小组讨论，了解学生的思维过程和解决问题的能力。
**六、教学策略**1. 创设情境：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2. 启发式教学：采用启发式教学法，引导学生主动思考，培养他们的创新意识。
3. 分层教学：针对不同层次的学生，提供不同的教学内容和教学方法，满足他们的学习需求。
一元二次方程(配方法)
§22.2.1配方法(1)
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax 2 bx的形式,我们把 c0 ax bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
x 3 5
x2 8
(2) x 8 x 1 0 2 移项，得 x 8 x 1
2
配方得
x 8 x 4 1 4
2 2
2
( x 4 ) 15
2
由此可得
x 4 15
x1 4
15
x2 4
15
x x x 16 想一想解方程 6 6 x 160 0的流程怎样? 移项
2
2
x 6 x 16
2
两边加上32,使左边配成
x 2 bx b 的形式
2 2
x 6 x 3 16 3
2 2
2
( x 3) 25
2
左边写成完全平方形式 降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得 : x 2, x 8
1 2
练一练1
一元一次方程的根是唯一的，而一 元二次方程的根却有两个。
用直接开平方法解:
(1) 2 x 72 0
2
(2) ( x 6) 7
2
( 3) (( x x 1) 4 ) 2 2) (
2
2( 2 x
5) 7
2
用直接开平方法解:
第2章 2.第1课时 用配方法解较简单的一元二次方程
•
7．方程(x－2)2＝9 的解是( A )
A．x1＝5，x2＝－1
B．x1＝－5，x2＝1
C．x1＝11，x2＝－7
D．x1＝－11，x2＝7
15．如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠 墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪 BC 边的长．
32－x 解：设 BC 边的长为 x 米，根据题意得 x· 2 ＝120，解得：x1＝12，x2＝ 20.∵20＞16，∴x2＝20 不合题意，舍去． 答：该矩形草坪 BC 边的长为 12 米．
解：x1＝0，x2＝－2.
6．用配方法解方程： (1)x2－3x＝3x＋7； 解：x1＝7，x2＝－1； (2)x2＋2x＋2＝8x. 解：x1＝3＋ 7，x2＝3－ 7.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/92021/9/9Thursday, September 09, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/92021/9/92021/9/99/9/2021 8:56:17 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/92021/9/92021/9/9Sep-219-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/92021/9/92021/9/9Thursday, September 09, 2021
第2课时 配方法(1)
第2课时 配方法（1）
精典范例（变式练习） 巩固提高
Page
1
精典范例
知识点1.利用平方根的意义解一元二次方程
例1．求一元二次方程x2=9的解. 解：x²=9, x=±3, 即x₁=3,x₂=﹣3.
Page
2
变式练习
1．求一元二次方程2x2﹣6=0的解.
Page
3
精典范例
.
Page
7
巩固提高
4．方程（x﹣1）2=2的根是（ C ）
A．﹣1，3 B．1，﹣3
5．如果x=﹣3是一元二次方程x2=c的一个根，那 么该方程的另一个根是（ A ） A．3 C．0 B．﹣3 D．1
Page 8
巩固提高
6．（2016深圳）给出一种运算：对于函数 规定 已知函数 .例如：若函数 ，则方程 ，则有 的解是（ B ）
， .
Page
9Байду номын сангаас
巩固提高
7．方程x2＝3的根是 8．一元二次方程 1 x2﹣3=0的两个根 3 是 x1=3，x2=-3 ．
2 2 2 9. 若 ( a b 3 ) 2 5，
.
则
a b
2
2
8 =_________.
Page
10
巩固提高
10．解方程：4x2﹣20=0．
11.解方程：(2－x)2＝8．
Page
5
精典范例
例3．解方程：（2x﹣3）2=1
解：（2x﹣3）2=1. 2x﹣3=±1. 2x﹣3=﹣1或2x﹣3=1. x1=1，x2=2.
Page
6
变式练习
3.解方程：3(x-1)2 -6=0.
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达
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
标(100分)
-4 1.方程 2=16的根是 1=___, x2=___. 方程x 的根是x 4 方程 的根是 2.若x2-2x=0,则x1=____, x2=______. 若 则 0 2 3.若(x-2)2=0,则x1=____, x2=______. 若 则 2 2 4.若 -25=0,则 4.若9x2-25=0,则x1=___, x2=______. 5/3 -5/3 5.若5x2=0, 则方程解为 x1=x2=0 则方程解为_________. 若 6.若x2+4=0，则此方程解的情况是 若 ， 无解 __________.
大庆65中学创新课堂教学模式 大庆65中学创新课堂教学模式 65
课堂教学设计模板
九年级数学（上册）第二章 一元二次方程 九年级数学（上册）
§2.2
第 1 课 时
2009-3-11
学习目标
学习目标 预 习 互 动 展 示 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
• 1、会用开平方法解形如 、 (x+m)2=n(n≥0)的方程. =n(n≥0)的方程 的方程. • 2、理解一元二次方程的解 、 配方法. 法——配方法 配方法
预
学习目标 预 习 互 动 展 示 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
习
展
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
示
• 检查学案,提出问题.
互
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
动
1.解下列方程： 解下列方程： 解下列方程 (1) x2-10x+25=7 (2) x2+6x=1 2-14x=8 (3) x 2+2x+2=8x+4 (4) x
拓
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
展
3.已知 a2+ma+9 是一个完全 已知 平方式, 平方式 则m= x , y为实数 则 xy = 为实数, 为实数 . . 4.已知 2+y2+4x-6y+13 =0, 且 已知x 已知
谈谈收获
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
• 对自己说，你有什么收获！ 对自己说，你有什么收获 收获！ • 对教师说，你有什么疑惑！ 对教师说，你有什么疑惑 疑惑！ • 对同学说，你有什么提示！ 对同学说，你有什么提示 提示！
生
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
成
用配方法解一元二次方程的一般步 骤是: 骤是 1.移项 把常数项移到方程的右边 移项:把 移到方程的右边; 移项 常数项移到方程的右边 2.配方 方程两边都加上一次项系数 配方:方程两边都加上 配方 方程两边都加上一次项系数 绝对值一半的平方 的平方; 绝对值一半的平方 3.变形 方程左分解因式 右边合并同 变形:方程左分解因式 变形 方程左分解因式,右边合并同 类; 4.开方 化为两个一元一次方程 开方:化为两个一元一次方程 开方 化为两个一元一次方程; 5.求解 解一元一次方程 求解:解一元一次方程 求解 解一元一次方程; 6.写解 写出方程的两个解 写解:写出方程的两个解 写解 写出方程的两个解.
互
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
动
2.解下列方程： 解下列方程： 解下列方程 (1) x2-3x+1=0 (2) x2-5x+6=0 2+5x-1=0 (3) x 2-3x+2=0 (4) x
想一想
解: x2 +8x −9 = 0
配方法
解方程 x2+8xห้องสมุดไป่ตู้9=0.
7.解方程①(x+1)2-144=0 ②x2+4x-5=0 解方程① 解方程
① x1=11, x2=-13 ② x1=1, x2=-3
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
拓 展 1.用配方法求证 代数式 2+4x+ 5 用配方法求证:代数式 用配方法求证 代数式x 的值不小于1. 的值不小于 2.已知 已知(x+y)(x+y+2)-8=0, 求x+y 已知 的值, 若设x+y=z, 则原方程可变 的值 若设 所以求出z的值即为 为_______, 所以求出 的值即为 x+y的值 所以 的值, 的值为______. 的值 所以x+y的值为 的值为
达
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
标(100分)
1.方程 2=16的根是 1=___, x2=___. 方程x 的根是x 方程 的根是 2.若x2-2x=0,则x1=____, x2=______. 若 则 3.若(x-2)2=0,则x1=____, x2=______. 若 则 4.若 -25=0,则 4.若9x2-25=0,则x1=___, x2=______. 5.若5x2=0, 则方程解为 则方程解为_________. 若 6.若x2+4=0，则此方程解的情况是 若 ， __________. 7.解方程 解方程 ①(x+1)2-144=0 ②x2+4x-5=0
1.移项: 1.移项:把常数项移到方程的右边; 移项
2
x +8x = 9
2
2
x +8x + 4 = 9+ 4
2
∴x1 =1 x2 = −9 ,
∴x = −4±5
(x + 4) = 25 x +4 = ±5
2
2.配方:方程两边都加上一次项系 2.配方: 配方 绝对值一半的平方 一半的平方; 数绝对值一半的平方; 3.变形:左为完全平方式,右为一常数; 变形:左为完全平方式,右为一常数; 4.开方:化为两个一元一次方程 4.开方:化为两个一元一次方程; 开方 5.求解 解一元一次方程; 求解: 5.求解:解一元一次方程; 6.写解:写出方程的两个解; 6.写解:写出方程的两个解; 写解 我们通过配成完全平方式的方法, 我们通过配成完全平方式的方法, 完全平方式的方法 得到了一元二次方程的根, 得到了一元二次方程的根,这种解一 元二次方程的方法称为配方法 元二次方程的方法称为配方法
你能从这道题 的解法归纳出一般 解题步骤吗 的解题步骤吗?
生
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 拓 展 谈谈收获
成
通过配成完全平方式的方法得 到了一元二次方程的根， 到了一元二次方程的根，这种解一 元二次方程的方法称为配方法.由配 元二次方程的方法称为配方法 由配 方法解一元二次方程的基本思路是 将方程转化为(x+m)2=n的形式 方程 的形式,方程 将方程转化为 的形式 , 另一边 的一边是一个 , 当n≥0时, 两边开平 是一个 时 方便可求出它的根. 方便可求出它的根