《21.2.1 第2课时 配方法》优质课件(两套)

程，叫做配方法.
配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次， 转化为一元一次方程求解．
例1 解下列方程：
1 x2 8x 1 0；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 ,
即 ( x－4)2=15 由此可得 x 4 １5,
. 2
化为1这两个步骤 能不能交换一下呢?
3 3x2 6x 4 0.
解：移项，得 3x2 6x 4,
二次项系数化为1，得
配方，得 即
x2 2x 4 , 3
x2 2x 12 4 12, 3
x 12 1.
3
为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
由代数式的性质可知
a 32 0, b 42 0, c 5 0,
a 3，b 4，c 5, a2 b2 32 42 52 c2 ,
所以，△ABC为直角三角形.
练一练
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则
m的值为（ C ）
A. 1
B.1
C.1或2
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
学习目标
1.了解配方的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. (重点） 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. （难点）
导入新课
复习引入
1.用直接开平方法解下列方程: (1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2.
x1 4 15, x2 4 15.
2 2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
22
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
即
x
3 4
2
1 16
,
移项和二次项系数
由此可得 x 3 1 ,
44
1
x1
1, x2
(x+ 1 )2 0, 2
(x+ 1)2 3 ＜0, 24
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当
x=
1 2
时，－x2－x－1有最大值
3 4
.
Байду номын сангаас
3.若 x2 4x y2 6 y z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得 x 22 y 32 z 2 0
由代数式的性质可知
(x 3)2 21. 4 16
x1 3 4 21 ,
x2
3
4
21 ；
解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1 的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+
1 4
)+
1 4
－1
= (x+ 1)2 3 , 24
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 6a b2 8b c 5 25 0, 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得 a 32 b 42 c 5 0,
上式都不成立，所以原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
2
由代数式的性质可知
a b2 0, a c2 0, b c2 0,
a b c,
所以，△ABC为等边三角形.
课堂小结
定义
通过配成完全平方形式解 一元二次方程的方法.
配 方
步骤
法
一移常数项； 二配方[配上 （二次项系数）2 ]；
2
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
x1＝1,x2＝－3
(2)2x2＝50 x＝±5
回顾与归纳
一般地，对于方程 X2=P,
(1)当P>0时，根据平方根的意义，此方程有两
个不相等的实数根，即:x1 p, x2 p;
(2) 当P=0时，此方程有两个相等的实数根，
即x:1 x2 0
（3）当P<0时，因为对任意实数X，都有x2 ≥0, 所以此方程无实数根，即:
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他 数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方， 方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方法归纳
方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是 在二次项系数为1的前提下进行的.
要点归纳
配方法的定义 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方
当堂练习
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
解：x2+2x+2=0， 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
此方程无解；
x1=6,x2=-2；
（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.
解：x2 3 x 3 0， 24
D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3
解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4
归纳总结 类别
配方法的应用 解题策略
1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）
解下列方程
(1)9x2 5 3
(2)3x 12 6 0
3 x2 4x 4 5
解下列方程：
(1)9x2 5 3
解：移项 9x2 8,
得 x2 8 , 9
注意：二次 根式必须化 成最简二次 根式。
xx
28 2 33
,
方程的两根为:
x1
22 3
x2
22 3
.
(2)3x 12 6 0
x1
1 2
5
, x2
1 2
5
1.填一填:
(1)方程 x2 0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5.
(2)方程 2x2 18的根是 x1＝3,x2＝-3 . (3)方程 (2x 1)2 9 的根是 x1＝2,x2＝－. 1
2. 选择适当的方法解下列方程：
(1)x2-81＝0
x＝±9 (3)(x＋1)2=4
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰 好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能 算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2=1500
由此可得
x2=25
怎样解这个 方程？
根据平方根的意义，得：
x 22 0, y 32 0, z 2 0
x 2, y 3, z 2.
xyz 2 32 62 36.
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同 样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要 使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽为xm, 根据题意得
怎样解方程2x 12 5及
方程x2 6x 9 2?
(2)x2 6x 9 2 a2 2 a b b2 (a b)2 解（: x 3)2 2 x2 2 x 3 32 (x 3)2
x3 2 x 3 2或x 3 2
x1 2 3,或x2 2 3
应用
求代数式的最值或证明
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
1.求出下列各数的平方根。
1 25 20.04 30 47 5 9 16
(1)a2 2ab b2 a b2 (2)a2 2ab b2 a b2
3.填空
1 x2 2x 1 ( x 1 )2 2 x2 4x 4 ( x 2)2 3 4x2 20x 25 ( 2x 5 )2 49x2 6x 1 ( 3x 1 )2
解： x 12 2,
x 1 2,
x 1 2, x 1 2,
方程两根为
x1 1 2 x2 1 2.
3 x2 4x 4 5
a2 2 a b b2 (a b)2 x2 2 x 2 22 (x 2)2
解：原方程可化为：
x 22 5,
x 2 5, x 2 5,或x 2 5,
方程的两根为 x1 2 5 x2 2 5.
交流讨论
以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，
可归纳为怎样的步骤？
一元二次方程
x2 p p 0 mx n2 p p 0
开平方法 降次
一元一次方程
x p, mx n p
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0.
把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 配方的方法
探究交流
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( a+b )2； (2) a2-2ab+b2=( a-b )2.
想一想：
p
p
x2+px+( 2 )2=(x+ 2 )2
二 用配方法解方程
合作探究
怎样解方程: x2+6x+4=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解： x2+6x+4=0
移项
x2+6x=-4
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
二次项系数为1的完全 平方式： 常数项等于一次项系数 一半的平方.
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+ 32 = ( x- 3 )2
（3）x2+8x+42 = ( x+ 4 )2
（4）x2-
4 3
x+
(
2 3
)
2
=
(
x-
2 3
)2
你发现了什么规律？
归纳总结
配方的方法
二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，
从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,
即a=0，b=2.
例4.读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为(x-3) x2=10(x-3)+x x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x1=6, x2=5 ∴这个两位数为36或25， ∵周瑜30岁还攻打过东吴， ∴周瑜去世的年龄为36岁.
x1=5，x2=－5
可以验证，5和－5是方程 的两根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm．
对照上面解方程的过程，你认为方程 2x 12 5
应该怎样解呢?
方程两边开平方得
2x 1 5 ：
即 2x 1 5,2x 1 5
通过降次，把一元二次 方程转化成两个一元一 次方程
分别解这两个一元一次方程得
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一
式中的配方 次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方 构成非负数 和的形式
①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
x1 n p, x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两 个根为
x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
二 配方法的应用
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
（35-x)(26-x)=850， 整理得
x2-61x+60=0. 解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 b2 c2 ab ac bc 0, 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
1 a b2 a c2b c2 0,