3韩国平考研串讲之级数
级数知识点总结归纳考研
级数知识点总结归纳考研一、级数的概念级数是指由一列数相加而成的无穷和，通常表示为∑（从n=1到∞的累加求和）。
级数可以是有限个数相加也可以是无穷个数相加，级数的和可以是有限的也可以是无限的。
二、级数的收敛性1. 收敛级数：如果级数的部分和数列{Sn}有极限，则称级数是收敛的，极限等于级数的和，即∑an=S。
2. 发散级数：如果级数的部分和数列{Sn}没有极限，或者极限为无穷大，则称级数是发散的。
三、级数的性质1. 级数的和的唯一性：级数的和是唯一的。
2. 收敛级数的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则有∑(an+bn)也收敛，且∑(an+bn)=∑an+∑bn。
3. 绝对收敛级数：如果级数∑|an|收敛，则称级数∑an是绝对收敛的。
4. 条件收敛级数：如果级数∑an是收敛的，但级数∑|an|是发散的，则称级数∑an是条件收敛的。
四、级数的判定方法1. 正项级数收敛判别法：如果级数的每一项都是非负的，且级数的部分和数列有上界，则级数收敛；如果级数的每一项都是非负的，且级数的和为无穷大，则级数发散。
2. 比较判别法：如果级数∑an收敛，且0≤bn≤a n，则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且an≥bn≥0，则级数∑bn也发散。
3. 极限判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也发散。
4. 比值判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞|an+1/an|=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an+1/an|=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
5. 根值判别法：如果级数∑an收敛，且li mn→∞|an|^(1/n)=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an|^(1/n)=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
利用级数计算定积分
Ｉ １ｎｓ ，ｚ （１ 厂 （ ） ∈ｏ］ （ ｓ ｉ 一 ｇ ｎ ，
在 ０ ］ 可 并 算ｆ（ ｄ． ［， 上 积，计 Ｉｚ ｚ １ 厂）
Ｊｏ
解 函数 的 不连续 点 为
那 么 有
ｏ ，， ｛ … ，丢 ， ，
可积 性 的证 明同例 １ 从 略． ， 因 为 ’ ） ［ ，］上可 积 ， 以变 限函数 （ 在 ０１ ｚ 所
’ …
可 积性证 明 同例 １ 从 略． ， 因为 － ｚ 厂 ）在 ［ ，］上 可 积 ， 以变 限函数 （ ０１ 所
１ （ 卜２ ） ［ ． ｎ
解 此 题本 质上 就是 证 明 函数
ｒ ０，
一
Ｆ ￡ ｆ （）ｘ （ ）一 ｒ ｚ ｄ １ 厂
√ｔ
ｚ 一 ０，
连续 点
ｏ ， ’ ， ’ ， （ 一 ２ ３’． ） …． ， ’
． ｏ 扣 ・ ｚ ，， ＿ ，
＜ ＜ 一 …， ．
因此 ， 积性 的证 明同例 １ 此处 从 略． 可 ，
现 计 算 积 分 信 ． 于 数 又可 嘉 示 南
３ ２＝ ０ ，
骞雨ｄ ｋ丽 １ ＝ — ｌ２一１， ｌ ｚ … 』 ． ＝ ０ ） （
因 此
１
ｌ Ｊ 斯 （ ｄ ｉ ｅ ｍＩ ）ｘ— 一 ∞ 一
！ｐ ｎｎ 妇 ｍ ］ ｇｓ１） 一 ｉ … ［（ｚ ｉｎ］
ｌ ｉ （ ） ｅ 一ｅ／，一 ｍ∑ 一１ 一 －＋ｒ 川（ （１ ） ） （一ｅ）ｉ∑ （ ） － １ －ｌ ￣ ｒ 一１ ｈ一 ｒａ 川ｅ
由于 有界 函数 厂 ｚ （ ）在 ［ ，］上 只 有 有 限 个 间 断 １
点 ， 以可积 ， 而 于对 任意 的 ￡ ０ ０ ￡ １ ， 所 从 ＞ （ ＜ ＜ ） 存
专题16 常数项级数的敛散性
n =1
n=1
n=1
n =1
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ ③若 l = +∞ ,则 vn 发散 ⇒ un 发散, un 收敛 ⇒ vn 收敛.
n =1
n=1
n=1
n =1
【注】使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知其敛散性的级数作为
比较的基准.最常用的是 p 级数和等比级数.
∑ 1)
∞ 1. np
n=2 ln n
∑ （D）
∞ n=1
n! nn
.
∑ 【解 1】由交错级数的莱布尼兹准则知级数 ∞ (−1)n 收敛，又
n=2 ln n 1 >1 ln n n
∑ ∑ ∑ 而级数 ∞ 1 发散，由比较法可知级数 ∞
1
∞
发散，故级数
(−1)n +1 发散，选（C）.
n=2 n
n=2 ln n
n=2 ln n
∞
∑ 2.交错级数( (−1)n−1un , un > 0 ) n =1 莱不尼兹准则: 若(1) {un}单调减;
(2)
lim
n→∞
u
n
= 0,
∞
∑ 则 (−1)n−1un 收敛. n=1
∞
{ } ∑ 【注】 un
单调减,
lim
n→∞
u
n
= 0 是级数
(−1) n−1 un
n=1
收敛的充分条件，但非必要条件.如交
∑ 4)根值法:
若 lim n n→∞
un
∞
= ρ ,则 un
n=1
⎪⎨⎧发 收散 敛 ,, ⎪⎩不一定,
ρ < 1, ρ > 1, ρ = 1,
考研第七章 无穷级数
第八章 无穷级数（数学一和数学三）引 言所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同。
历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。
例如+-++-+-+1)1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”， 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=-------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1)1(1111 则[]S =+-+-- 11111 S S =-1， 12=S ， 21=S这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识， （1）什么是无穷多项相加？如何考虑？ （2）无穷多项相加，是否一定有“和”？（3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。
因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。
8.1 常数项级数甲 内容要点一．基本概念与性质 1．基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u ，依次相加所得到的表达式+++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）() ,3,2,13211=++++==∑=n u u u u uS n nk kn称为级数的前n 项的部分和。
{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。
若()S S n n =∞→存在lim ，则称级数∑∞=1n n u 是收敛的，且其和为S ，记以S u n n =∑∞=1若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。
）2．基本性质（1）如果∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 皆收敛，b a ,为常数，则()∑∞=+1n n nbv au收敛，且等于∑∑∞=∞=+11n n n n v b u a（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
考研数学阿赞学长高数讲义
考研数学阿赞学长高数讲义考研数学阿赞学长高数讲义是考研数学备考过程中必备的学习资料之一。
在数学考试中，高数是必考科目，也是考研数学中的重要组成部分。
阿赞学长的高数讲义涵盖了高等数学的各个知识点，包括极限、导数、微分、积分、级数等内容。
下面将从几个方面来介绍阿赞学长高数讲义的特点和学习方法。
一、全面细致的知识点介绍阿赞学长高数讲义对高等数学的各个知识点进行了全面细致的介绍。
每个知识点都有详细的讲解和例题，让考生能够深入理解和掌握。
特别是对一些难度较大的知识点，如级数收敛性的判定、微分方程的解法等，阿赞学长的讲解更是深入浅出，让考生能够轻松掌握。
二、题目分类明确，难度递进阿赞学长高数讲义的题目分类非常明确，包括基础练习、提高练习、考研模拟试题等。
每个部分的题目难度都是递进的，让考生能够有针对性地进行练习。
基础练习部分主要是对知识点的巩固和应用，提高练习部分则是对知识点的深入掌握和拓展，考研模拟试题则是对考生的考试能力进行提升。
三、注重思维方法和技巧的讲解阿赞学长高数讲义不仅注重知识点的讲解，更注重思维方法和技巧的讲解。
在讲解例题的过程中，阿赞学长会详细讲解解题的思路和方法，帮助考生建立正确的解题思维。
同时，阿赞学长也会介绍一些解题技巧和方法，让考生能够更加高效地解题。
四、配有详细的答案和解析阿赞学长高数讲义配有详细的答案和解析，让考生能够及时检查自己的答案，并了解解题的过程和方法。
特别是在考研模拟试题部分，阿赞学长会给出详细的解析和思路，让考生能够更好地掌握考试技巧和方法。
五、学习方法在使用阿赞学长高数讲义进行学习时，建议考生采用以下学习方法：1.熟悉知识点：先通读一遍全书，了解知识点的分类和难度。
2.分类练习：根据个人水平选择相应难度的题目进行练习，建议先从基础练习开始，逐步提高难度。
3.反复练习：重点练习自己薄弱的知识点和难点，反复练习，直到熟练掌握。
4.模拟考试：在考研前进行多次模拟考试，熟悉考试形式和节奏，提高考试能力。
考研数学必背的内容
考研数学必背的内容考研数学要得⾼分必须拿出百分之60的精⼒背下列内容，百分之40的精⼒做题理解2009年韩国平考研数学辅导班数学⼀最⾼分150分⼭⼤察晓辉数学⼆最⾼分140分济⼤⽩延⽂数学三最⾼分149分⼭财常宁专升本（没学概率）数学最⾼分114分2011韩国平考研数学辅导班课程表（各班都可报名）收费标准（数⼀、三480元：数⼆410元。
全真录象班350元）（含报名费、资料费）团体五⼈以上每⼈优惠20元连报两班第⼆班优惠50元全程班（各班全部可以上）900元如果某部分内容不能彻底掌握可在相应班免费继续听直到彻底掌握为⽌报名地点轻⼯学院23号楼406 吴同学电话89634774 159********韩⽼师139********外校学⽣安排住宿品学兼优特困⽣优惠按报名次序安排座位上课⽅式串讲基本内容总结考题类型及其解题规律精讲典型例题上课材料为韩国平等从北京及其他辅导班材料及课外材料精选⽽成注：试听两次不满意全额退款团体报名优惠（五⼈以上优惠⼆⼗元）连报数班者（第2班起每班优惠50元）凡参加本辅导班者均可参加每周⼀次的免费辅导答疑，直到⼗⼆⽉份凡参加本辅导班者均可参加⼗⽉⼀⽇的模拟考试凡参加本辅导班者均可参加⼗⼀⽉份的系统串讲请注意——好辅导班的条件好成绩=好教材+合理的时间安排+有效辅导⼭东省唯⼀⼀个半天上课半天复习三门课⼀⼈全上课后各校辅导管理严上课⽅式新颖、独特如果某部分内容不能彻底掌握可在相应班免费继续听直到彻底掌握为⽌的辅导班参加本辅导班⼀定能考好的理由★★★⾃⼰的辅导班（真正为你着想，以你能考上为最终⽬的，家教式的辅导班。
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级数_精品文档
级数什么是级数？在数学中，级数是一种无限求和的数学表达式。
通常用字母 n 表示序号，并将各项之和表示为 S。
级数的一般形式可以写作：S = a₁ + a₂ + a₃ + …其中，a₁, a₂, a₃ 等表示级数的各个项，可以是实数、复数或者是其他数学对象。
级数的收敛与发散在讨论级数的性质时，一个重要的概念是级数的收敛与发散。
当级数的各项无穷地逼近一个确定的有限值时，我们称该级数收敛。
反之，如果各项无法逼近有限值，我们称该级数发散。
收敛级数的例子1.等比级数：如果一个级数的各项之比（通常记作 r）在区间 (-1, 1) 内，那么这个级数就是一个收敛级数。
例如：S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …这是一个等比级数，其中每一项都是前一项的一半。
根据等比级数的求和公式：S = a / (1 - r) = 1 / (1 - 1/2) = 2可以发现，这个级数的和是 2，因此它是一个收敛级数。
2.调和级数：调和级数是一个特殊的级数，形式为：S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …调和级数也是一个收敛级数。
然而，虽然级数的和是无穷的，但是它的和增长的速度非常慢。
发散级数的例子1.等差级数：等差级数是一个常见的级数，形式为：S = 1 + 2 + 3 + 4 + …这个级数每一项都比前一项大1，如果想要求这个级数的和，会发现没有确定的有限值。
因此，这个级数是一个发散级数。
2.绝对值级数：绝对值级数是将级数的每一项都取绝对值后的级数。
例如：S = 1 - 1 + 1 - 1 + …这个级数由于项的正负不断交替，所以没有确定的和。
因此，这个级数是一个发散级数。
级数的收敛测试当我们尝试确定一个级数的收敛性时，我们可以使用一些常见的收敛测试。
整数判别法如果级数的各项是整数，并且级数的各项都是非零常数的多个倍数，那么这个级数一定是发散的。
正项级数测试如果级数的各项都是非负数，那么可以使用正项级数测试判断级数的收敛性。
第九章 级数
第九章 无穷级数（数二不作要求）第一节 基本概念与内容提要一、级数的基本概念、基本性质、级数收敛的必要条件 （一）1()n nn a aR ∞=∈∑称为级数。
令1nn k k S a ==∑，称n S 为级数1n n a ∞=∑的部分和。
若lim ()n n S A A R →∞=∈称级数1nn a∞=∑收敛，否则称级数发散。
（二）1nn a∞=∑收敛的必要条件是lim 0n n a →∞=（三）若1nn a∞=∑，1nn b∞=∑均收敛，则1()nn n ab ∞=±∑也收敛（四）若1nn a∞=∑收敛，1nn b∞=∑发散，则1()nn n ab ∞=±∑也发散（五）收敛级数任意加括号后的新级数仍收敛，且其和不变。
（六）正项级数收敛的充要条件是其某一加括号后的新级数收敛 二、正项级数的审敛法 （一）1nn a∞=∑为正项级数，1nn a∞=∑收敛⇔{}n S 有界（二）比较判别法 若0n n a b ≤≤，则 （1）由1nn b∞=∑收敛⇒1nn a∞=∑收敛 （2）由1nn a∞=∑发散⇒1nn b∞=∑发散（三）比较判别法的极限形式 设0,0,limnn n n na ab b λ→∞≥>=，则（1）当0λ≤<+∞，1nn b∞=∑收敛时⇒1nn a∞=∑收敛（2）当0λ<≤+∞，1nn b∞=∑发散时⇒1nn a∞=∑发散（四）比值判别法 设10,limn n n na a a λ+→∞>=，则（1）当01λ≤<时，1nn a∞=∑收敛，（2）当1λ>时，1nn a∞=∑发散（五）根值判别法设n n a λ>=，则（1）当01λ≤<时，1nn a∞=∑收敛，（2）当1λ>时，1nn a∞=∑发散三、两个重要级数 （一）p-级数11pn n∞=∑，当1p ≤时，发散；当1p >收敛。
（二）几何级数n n q ∞=∑，当且仅当1q <时收敛，这时0n n q ∞=∑=11q- 四、任意项级数的绝对收敛、条件收敛、莱布尼兹法则 （一）1nn a∞=∑收敛时，1nn a∞=∑必收敛，这时称1nn a∞=∑为绝对收敛（二）1nn a∞=∑发散时，但1nn a∞=∑收敛，这时称1nn a∞=∑为条件收敛（三）莱布尼兹判别法 若交错级数1(1)nnn a ∞=-∑中，1n n a a +≥，且lim 0n n a →∞=，则1(1)n nn a ∞=-∑收敛。
韩语topik知识点总结
韩语topik知识点总结一、考试内容TOPIK考试主要包括听力、阅读、口语和书面部分。
1. 听力部分TOPIK考试听力部分是考察考生对韩语听力的理解和应用能力。
题型主要包括听短对话、长对话和短文，并回答相关问题。
2. 阅读部分TOPIK考试阅读部分是考察考生对韩语文章的阅读理解和语言运用能力。
题型包括单选题、多选题、填空题和阅读理解题等。
3. 口语部分TOPIK考试口语部分是考察考生对韩语口语表达能力的考试部分。
考生需要进行口语交际练习，并回答面试官提出的问题。
4. 书面部分TOPIK考试书面部分是考察考生对韩语书面表达能力的考试部分。
题型包括作文题和翻译题。
二、考试级别TOPIK考试共分为6个级别，分别是1级到6级。
其中1级是最低级别，6级是最高级别。
1. 1级：考生能听懂日常用语，并进行简单的交流。
2. 2级：考生能理解日常生活中的相关话题，能进行简单的对话。
3. 3级：考生能听懂一般的对话和文章，在日常生活中进行交流。
4. 4级：考生能听懂一般的对话和文章，并进行相关的交流。
5. 5级：考生能听懂一般的对话和文章，在复杂的情境下进行交流。
6. 6级：考生能听懂各种话题的对话和文章，在很多情境下进行交际和讨论。
考生可以根据自己的韩语水平选择适合的考试级别进行报名。
三、备考建议TOPIK考试需要考生具备良好的听力、口语、阅读和写作能力，因此日常练习非常重要。
考生可以通过听韩语歌曲、看韩剧、阅读韩语文章等方式来提高自己的韩语水平。
2. 模拟考试模拟考试是提高考试能力的一种有效方法。
考生可以定期参加模拟考试，了解自己的考试水平，并及时对不足之处进行弥补。
3. 专业复习TOPIK考试的知识点较多，因此考生需要系统地复习相关知识点，包括韩语语法、词汇、听力技巧等方面。
4. 注重综合能力TOPIK考试是一个综合能力测试，考生需要注重听力、口语、阅读和写作能力的提高，并在备考过程中保持均衡发展。
四、考试技巧1. 听力部分考生在做听力题时，可以先通读问题，了解题目的要求，再回过头去听对话或短文，这样可以更有针对性地理解内容。
无穷级数课件
1 n 0 n!
收敛.
un 和 v n
n 1 n 1
是两个正项级数，
(1)若级数 vn 收敛，则级数
n 1
u n 也收敛；
n 1
(2)若级数
u n 发散，则级数
n 1
v n 也发散.
n 1
P 级数 1（ P 0 ）的敛散性 例2 讨论 p n 1 n 1 1 ，因为 1 发散，所以由比较判别法知， 解 当 P 1时，n p n n 1 n
数 u n 收敛.下面的例9正说明了这一点： 0 ， lim n n
n 1
1
但级数 1 n 1
n
发散.
例7 证
证明调和级数 1 是发散级数. n 1
n
ห้องสมุดไป่ตู้
调和级数部分和 S n 1 如图，
n k 1
k
考察曲线
1 y , x 1, x n 1和y 0 x
A Ak 1
k 1 n n 1
1 dx ln x |1 n ln n 1 1 x
而
lim ln1 n
n
，表明A的极限不存在，所以该级
数发散.
二、正项级数及其敛散性
如果 u n ≥0（n=1,2,3…），则称级数
u n 为正项级数
n 1
1 n 1 1收敛. n 1 n 1 2 nn 1
注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
级数知识点和公式总结
级数知识点和公式总结本文将从级数的基本概念开始，逐步深入，介绍级数的收敛与发散、级数的性质、级数的常见公式和定理等知识点，为读者全面而深入地了解级数提供帮助。
一、级数的基本概念1.级数的定义首先我们来了解一下级数的基本概念。
级数是指一列数的和，它是一种由无穷个数相加或相乘得到的数学对象。
一般的级数的表示形式为：\[a_1+a_2+a_3+...+a_n+... \]其中\(a_n\)表示级数的第n个项。
级数的前n项和可以表示为\(S_n=a_1+a_2+...+a_n\)，称为部分和。
级数的和是指当级数的前n项和\(S_n\)当n趋近于无穷大时的极限值。
2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散是级数中一个非常重要的概念。
当级数的部分和\(S_n\)存在有限的极限时，称级数收敛；当级数的部分和\(S_n\)不收敛，称级数发散。
级数的收敛与发散的判定方法有很多种，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
通过这些判定方法，我们可以判断出级数的收敛性。
3.级数的性质级数有许多重要的性质，其中最基本的是加法性质和数乘性质，即如果级数收敛，则其任意两个级数之和也收敛，级数的任意项与一个常数的乘积的级数也收敛，并且等于常数与原级数的乘积。
此外，级数的收敛性也具有一定的传递性。
如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)收敛，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n) \) 收敛；如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_n \)收敛，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} (c \cdot a_n) \)也收敛，其中c为常数。
二、级数的常见公式和定理级数的研究过程中，有一些常见的公式和定理，它们在级数的计算和性质研究中起着重要的作用。
《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第9章
第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式}n u ""++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为，其中称为数项（1）的通项． ∑∞=1n nun u 数项级数（1）的前项之和，记为，称之为（1）的前项部分和，简称为部分和．n ∑==nk kn uS 1n 定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于（即S S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为．若S ∑∞==1n nuS {}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<++++++p n n n u u u "21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑收敛，则∞=1n na0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质若级数与都收敛，是常数，则收敛，且∑∞=1n nu∑∞=1n nvd c ,(∑∞=+1n n ndv cu)()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三 正项级数收敛性判别法1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列∑∞=1n nu{}n S 有界．2 比较判别法 设与是两个正项级数，若存在正整数，当时，都有，则∑∞=1n nu∑∞=1n nvN N n >n n v u ≤（1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nv∞=1n nu（2）若发散，则∑发散．∑∞=1n nu∞=1n nv3 比较原则的极限形式 设和是两个正项级数，且∑∞=1n n u ∑∞=1n n v l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，和∑具有相同的敛散性；∑∞=1n nu∞=1n nv（2）当时，若∑收敛，则收敛；0=l ∞=1n nv∑∞=1n nu（3）当时，若发散，则发散．+∞=l ∑∞=1n nv∑∞=1n nu4 设∑和是两个正项级数，且∞=1n n a ∑∞=1n n b 0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则 （1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nb∞=1n na（2）若发散，则发散．∑∞=1n na∑∞=1n nb5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设是正项级数，若及常数，有∑∞=1n nu00>∃N 0>q（1）当时，0N n >11<≤+q a a n n ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）当时，0N n >11≥+n n a a ，则发散．∑∞=1n n u 6 比式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n n u q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当时，收敛；1<q ∑∞=1n nu（2）当若时，∑发散；1>q +∞=q ∞=1n nu（3）当时失效．1=q 当比式极限不存在时，我们有 设为正项级数．∑∞=1n nu（1）若1lim1<=+∞→q u u n n n ，则级数收敛；（2）若1lim1>=+∞→q u u nn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法） 设为正项级数，且存在某正整数及正常数l ，∑∞=1n nu0N （1）若对一切，成立不等式0N n >1<≤l u nn ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >1≥n n u ，则级数∑发散．∞=1n nu8 根式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n nul u n n n =∞→lim ，则（1）当时级数收敛； 1<l （2）当时级数发散． 1>l 9 柯西积分判别法设为[上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收f )∞+,1()∑∞=1n n f ()∫∞+1dx x f敛或同时发散．10 拉贝判别法 设为正项级数，且存在某正整数及常数∑∞=1n nu0N r ，（1）若对一切，成立不等式0N n >111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n ，则级数∑收敛；∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >111≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+n n u u n ，则级数发散．∑∞=1n n u 注 拉贝判别法中（1）111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n 可转化为nru u n n −≤+11，1>r 收敛； （2）r u u n n n ≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+11可转化为nru u n n −≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式若r u u n n n n =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→11lim ，则有 （1）当1>r 时，收敛；∑∞=1n nu（2）当1<r 时，发散．∑∞=1n nu四 一般项级数1 莱布尼兹判别法 若交错级数，，满足下列两个条件：()∑∞=−−111n n n u 0>n u （1）数列{单减； }n u （2），0lim =∞→n n u 则收敛．∑∞=1n nu注 若交错级数满足莱布尼兹判别法，则其余项满足()∑∞=−−111n n n u ()x R n ()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数，若∑∞=1n nu∑∞=1n nu收敛，则称绝对收敛；若收敛，而∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu发散，则称是条件收敛的．∑∞=1n nu显然，若绝对收敛，则一定收敛，反之不真．∑∞=1n nu∑∞=1n nu绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若∑绝对收敛，其和为，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．∞=1n nuS 此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）．（2）级数的乘积 若和都绝对收敛，其和分别为∑∞=1n nu∑∞=1n nvA 和B ，则其乘积按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nvAB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法 若数列{单减收敛于零，的部分和数列有界，则级数收敛．}n a ∑∞=1n nbnn n ba ∑∞=1注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证．（2）阿贝尔判别法：若数列{单调有界，∑收敛，则级数收敛．}n a ∞=1n nbnn n ba ∑∞=1五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑，∞=1n nq1<q 收敛，1≥q 发散；（2）级数−p ∑∞=11n p n ，时收敛，1>p 1≤p 发散； （3）()∑∞=2ln 1n pn n ，时收敛，1>p 1≤p 发散．II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性． （1）∑∞=+111n nx，； 0>x （2）∑∞=1sinn nx，． R x ∈解（1）10<<x ，，0→n x 0111≠→+nx，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nn x x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n nx 收敛． （2）当时收敛，当时，发散． 0=x 0≠x 例2 已知∑收敛．∞=12n na（1）判定()∑∞=+−1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛++≤+⋅−，与∑∞=12n n a ∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）∑∞=+−1)]11ln(1[n n n ；（东北师大）（2）∑++++−)]!1!21!111([n e "；（东北师大） （3）∑∞=142sin3n n n ； （4）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1cos 1n pn π，（） 0>p （5）∑∞=1!n n n nn a （）；e a a ≠>,0（6）()∑∞=−−+11312n n n ；（7）∑∞=−>−+111)0()2(n nna aa；（8）∑∫∞=+104411n n dxx ；（9）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−21111n n n n ； （10）()()∑∞=+2ln ln 1n n nn n ；（11）∑∞=3ln n pnn（）； 0>p （12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （）；（0>p 1=p 为大连理工） （13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n "； （14）()∑∞=⎦⎤⎢⎣⎡−+111ln n p n n （）； 0>p （15）()()∑∞=⋅−11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ； （17）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2ln 1n nn n p （）； 0>p（18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x "0≥x （）； （19）()∑∞=+−⋅−+211ln1n pn n nn （）； 0>p （20）()∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=−+−211n n n n ； （22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）； （23）"+−−−+−−+−+2222222222； （24）()[]∑∞=−11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998） （26）∑∞=+−11n nn n；（中科院2002）（27）∑−nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++−=+−=+−=∑∑∑===n c n n n k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于""++++=++++−<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1"+++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1nn n n n n n n <+=++++++++<"， 由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎟⎠⎞⎜⎝⎛nnn⇒ 收敛；（4）21021~cos 12≤<⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−p n n pp ππ发散，21>p 收敛； （5）()()e a n n a n n a n n a nn n n n →⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，发散； e a >（6）()131312<→−+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=−∞=∞=−−+=−+111113131232n n n n n n n n ，收敛；或()1131312−−≤−+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2((lim )21()(lim )21()2(lim a x a a na a n a a x x x nnn nnn =−=−=−+−+→−∞→−∞→⇒收敛； 注：利用的Maclaurin 展开式估计分子的阶． x a （8）204421110nxdxdxx a n n n =≤+=<∫∫⇒ 收敛； （9）()nn n nn n n n n n −=−−=−−−111111=n n −231⇒收敛； 或⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−n o n n n n n n 11111111111⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=23231111n o n n n ⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−−=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）收敛；∑∞=⇒1n n a （10）()()()()nenn n n nn n nn nnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+，而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤<p 时，nn n p 1ln ≥（）发散； 3>n ⇒ 当时，1>p ()()21211ln 1ln −−+⋅=p p p nnn n n ，当充分大时， n ()1ln 21<−p n n ⇒ ()2111ln −+≤p p nn n ⇒收敛．或当时，1>p 0ln 1ln 1ln 121<−=⋅−⋅=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−p p p pp x x p x xpx x x x x （），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．3>x （12）()()()pn n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p ，，易知当1≥x 1=p 时，发散，时亦发散，而时收敛．()∫∞+1dx x f 10<<p 1>p （13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n "（）收敛； 3≥n ⇒（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅−−=p p p nn o n n 2211211，当绝对收敛，1>p 121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散． 注 能否利用()()p np n n n 1~11ln −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⇒()∑∞=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）．（15）()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+⋅++=⋅−+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=+++−=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当较大时，，n 2ln e n >()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛； （17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n p n nn e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−（）， ∞→n 从而可以估计，于是可讨论pn nu −~n p p nu n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n np n n pn ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=−∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim1()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim0−+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++−=→xpx x x x x p x 故，，所以当时收敛，当1lim =∞→n pn u n p n n u −~1>p 1≤p 时发散．（18）当时级数显然收敛； 0=x 当时，，故收敛；10<<x n n x u <当时，1=x nn u ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21，收敛；当时，1>x ()()()112111111−−<+<+++=n n n nn x x x x x x u "，收敛．（19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=−+n nn nn nn p p ppp， )(2~12~121ln 11ln∞→−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−n n n n n n ， 所以，211121~p p n n a +−⋅−)(∞→n ，由此易得：时收敛，0>p 0≤p 时发散． 注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−n n n n n nn，绝对收敛． （21）()()()()()111111111−+−−=−−−−=−+−=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<−−−=−−−⋅=′⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−x x x x x x xx x （） 1>x 由莱布尼兹判别法，()∑∞=−−211n nn n 收敛，而∑∞=−111n n 发散，故原级数发散． （22）当，发散，，绝对收敛，当0≤p 1>p 10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos −⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++++x xn nx x x x "，()π,0∈x ，有界．（23）法一：212sin24sin24cos22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−−=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ""，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则，于是2→n A 121222lim 222lim 222lim lim 22111<=−+−=−+−=−+−=→→−−∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−++++−12221111111n nn n n " 注意到通项中共有项，其中前项之和和后12+n n 1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<−+++<−+<+=" ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+" 因此()nn n n n 211111112222<−+++++<+" 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当时，则当时收敛，1=p 1>q 1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()∫∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得 ()∫∞+2ln ln ln q x x x dx ()∫+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>−=+∞==−+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛， 当时发散，时收敛，事实上，1<p 1>p 当时，1<p ()()()()n n n n n n n n n q pqp ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln ln 11>⋅=−（n 充分大） 当时，1>p ()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+−−+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ． （26）由 及发散知级数发散．∑−1n（27）由于{单调有界，}n arctan ∑−nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=+−−++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997） （2）∑∞=123ln n nn；（复旦大学1998） （3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=−122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004） （6）∑∞=−11sin 1(n n n α．（南京理工2004） 提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，n从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当由比式判别法知其收敛； 1>a （6）利用的Taylor 公式讨论． x sin 例4 讨论级数∑∞=11n pn的敛散性．分析：，柯西准则，发散；1=p 1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1<p ，比较判别法，发散．例5 证明 （1）若级数收敛，则∑∞=12n n a ∑∞=1n nn a 收敛；（淮北煤师院2004） （2）若，则发散，而∑收敛；（南开大学2001）0lim ≠=a na n n∑∞=1n na∞=12n na（3）若是收敛的正项级数，则当∑∞=1n n a 21>p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）． 分析：（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤22121n a n a n n ； （2）01≠→=a na na n n ，发散，而∑收敛； ∑∞=1n n a ∞=12n na （3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ； 知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设是单调递减数列，试证明： 0>n u （1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 收敛； （2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 证（1）由单调有界定理知，再由极限的柯西收敛准则知：0>≥c u n 0,0>∃>∀N ε，当，有+∈∀>Z p N n ,εc u u p n n <−+，又单调递减，所以，当时，有n u +∈∀>Z p N n ,ε<−≤−++−+−+−+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u u u u )1()1()1(1121"，由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121−=−≥−++−+−+++−+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u uu u u u u u u u u "，令得上式右端的极限为，由柯西准则知∞→p ∞+∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证 当为正项级数时，∑na1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知为发散的一般项级数，试证明∑∞=1n n a ∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n n n a a ，由阿贝尔判别法知收敛，矛盾．∑∞=1n na例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数发散．令n n na ∑∞=−1)1(nn a a a u ++⋅+=11111121"，.,2,1"=n试问级数∑是否收敛，并说明理由．∞=1n nu证 级数收敛．这是因为：由级数发散和正项数列单调减少知，且由单调有界定理知，于是∑∞=1n nun n na ∑∞=−1)1({}n a 0lim >=∞→a a n n a a n ≥nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+="， 由比较原则知收敛．∑∞=1n nu例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01"=≤>+n a a a n n n 讨论级数"""++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解 由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→"21lim ，由柯西根式判别法知，当时收敛，当时发散，当1>a 1<a 1=a 时，例10（中国矿大北研部）设，0>n a n n a a a S +++="21，级数．试证：∞=∑∞=1n na（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学） （2）∑∞=12n nnS a 收敛．（东北师大） 证 （1），，于是0>n a ↑n S pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=−=≥∑∑111． 而，故，从而当充分大时，∞=∑∞=1n n a +∞=++∞→p n p S lim p 21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=+≤∑∑∑=−=−=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学） 若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a "，…，试问是否一定收敛？为什么？∑∞=1n n a 解 不一定．如级数∑∞=11n n，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n "； 但∑∞=11n n 发散．例12（上海交大） 若 1lim 1sin 2=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数是否收敛？试证之．∑∞=1n n a 解 由于11sin2→−nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin2110−⋅−−≤=<−−nnn n n nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=−11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知收敛．∑∞=1n na例13 设且单减，试证与同时敛散．0>n a ∑∞=1n na∑∞=122n nn a 证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()()""++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a "和∑∞=1n na()()()"""++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a "知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数收敛，且（∑∞=1n nan n nb a n a e a e++=",2,1=n ）．证明 （1）∑收敛；（华东师大）∞=1n nb（2）∑∞=1n nna b 收敛．（北京理工大学2003）证 解出得：n b ()0ln lim >−=∞→n a n n a eb n，而收敛，故当n 充分大时，∑∞=1n n a nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++++=−n nn n n a a a a a a e n"!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++"32!3121~， 即 0lim=∞→nn n a b ，由级数收敛得∑∞=1n n a ∑∞=1n nn a b收敛． 例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里是方程n x x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解 解方程得：()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+∈ππππn n x n 2,12，()22111−<n x n ，，收敛． 1>n 例16 设，，11=u 22=u 21−−+=n n n u u u （）．问收敛吗？3≥n ∑∞=−11n nu解 由于03323233211211111<−=−=−=−+−−+−+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （）； 3>n 所以 321111≤=+−−+n n n n u u u u （由的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛． n u 例17 设，证明级数 0>n a ()()()∑∞=+++121111n nna a a a " 收敛． 解 由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211""()()()()()()()"""++++++++−=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++−=1111111121321"" ()()()1111121<+++−=n na a a a "即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数："+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−4131211713121151211311是收敛的．解 这是交错级数，且()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n n n n a n 12111212121211121""111121112112111221121+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=n a n n n n n n ""， ()()0ln 1211211121→++−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n c n n n a ε"． 由莱布尼兹判别法知收敛．∑∞=1n na例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑； （2）),min(nnb a ∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取，则1−==n b a n n ∑),min(nn b a 发散；若取，，则n n a )1(1−+=1)1(1+−+=n n b 0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为． n n n a b a ≥),max(思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则收敛．∑nw提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212"+==∫+−n dx x x n x n nn n 证明收敛．∑∞=−−11)1(n nn x 提示：12212111−+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设收敛，∑∞=1n na0lim =∞→n n na ．证明：．∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an 证 记级数的前n 项和为，则∑∞=−−11)(n n na an n S 12113221)()(2)(++−+++=−++−+−=n n n n n na a a a a a n a a a a S ""，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数收敛于A ．证明：级数收敛，并求其和．∑∞=1n na∑∞=+−11)(n n na an 思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数收敛，证明：级数收敛．∑∞=−−11)(n n na an ∑∞=1n na思考题7（安徽大学2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−+1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na思考题8（华东师大2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−−1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na例21（吉林大学）证明级数"+−++−++−+611119141715121311发散到正无穷．证 记.,2,1,141241341"=−−−+−=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142−=−>，而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为，故．n n n S S S 31323>>+++∞=∞→n n S lim 注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． }n S 思考题9（武汉大学1999）级数""+−−+++−+−nn 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察． n S 2例22 证明：级数收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{和正整数数任意子序列{，都有∑∞=1n na}k p }k n .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "证 必要性．设级数收敛，则由柯西收敛准则得：∑∞=1n na,0,0>∃>∀N ε当时，，都有N n >+∈∀Z p ε<++++++p n n n a a a "21，从而当时，，于是对于任意的正整数序列N k >N n k >{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a "11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "充分性．反证法．若发散，则，使得∑∞=1n na+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε021ε≥++++++p n n n a a a "，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a "，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2max ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a "，如此下去，得一正整数子序列{和正整数序列}k n {}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a "，这与已知条件矛盾．二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）()∑∞=+−−1111n np n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=−1sin)1(n nnx（内蒙古大学）； （3）)0()23()1(12>−+−∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）． 解（1）当时，不趋于0，发散； 0≤p n u 当时，原级数绝对收敛； 1>p 当时，10≤<p ()∑∞=−−1111n p n n收敛，nn 11单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 ()1111→−−+−p np n n n（∞→n ）；故原级数条件收敛．（2）当时绝对收敛，当0=x 0≠x 时，不妨设，则0>x 0>∃N ，当时，有N n >20π<<x ，且nxsin关于单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． n 又因为)(1sin)1(∞→→−n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛．（3）当时，数列0>x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 ，所以222423n n n n <−+<xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤−+−<，从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛． 思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n nn是否绝对收敛或条件收敛． 思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ．（1）证明：级数绝对收敛；∑∞=+−01)(n n n x x（2）求级数之和．∑∞=+−11)(n n n x x例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在的某邻域内有二阶连续导数，且0=x ()0lim 0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛．证 由()0lim=→xx f x 得，()00=f ()00=′f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ′′=′′+′+=，10<<θ 由连续知，，有()x f ′′0>∃M ()M x f ≤′′，从而有2121nM n f ⋅≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 故∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛． 思考题12 证明：（1）（华南理工大学2005）设是偶函数，在)(x f 0=x 的某个领域中有连续的二阶导数， 则级数.2)0(,1)0(=′′=f f ∑∞=−1)11((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数在区间)(x f )1,1(−内具有直到三阶的连续导数，且，0)0(=f .0)(lim 0=′→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛．例25 设（）单调，且级数0>n a ",2,1=n ∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++−111n nn a a n"是条件收敛还是绝对收敛．解 由于且单调，故0>n a 01→na ↑⇒n a ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅−=<+++⋅−++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n "" 由已知条件，∑∞=12n na 收敛，故原级数绝对收敛． 例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑收敛，且级数绝对收敛，则级数收敛．∞=1n nb(∑∞=−−11n n na a)∑∞=1n nn ba 证 设n nb b b S +++="21，则1−−=n n n S S b ，于是由收敛知：，∑∞=1n nb0>∃M M S n ≤，．由收敛知：",2,1=n (∑∞=−−11n n n a a )0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<−++−+−−+−111m m n n n n a a a a a a "，又收敛，对上述{}n S 0>ε，，02>∃N 2N n >∀，，有2N m >ε<−m n S S ，取{}1,max 21+=N N N ，于是，当时，N m n >,m m n n n n b a b a b a +++++"11()()()1111−++−−++−+−=m m m n n n n n n S S a S S a S S a "[]()11121−−+++−+−+−++−+−≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a M "εM 3<．由柯西收敛准则知级数∑收敛．∞=1n nn ba 另证收敛⇒∑∞=1n nb0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<∑++=pn n k kb1．记，，则∑++==in n k ki bS 1p i ,,2,1"=ε<i S ，p i ,,2,1"=．由绝对收敛得其部分和有界，即，有(∑∞=−−11n n na a)0>∃MM a aS mn n nm ≤−=′∑=−11，",2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++−+−++++++=+−++−+−≤∑113222111"p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<−++−+=−+++01010"，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数绝对收敛，则级数也绝对收敛．∑∞=1n na∑∞=+++121)(n n na a a a"证 记，则由绝对收敛知收敛，所以{有界，即，有n n a a S ++="1∑∞=1n na∑∞=1n na}n S 0>∃M .,2,1,"=≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21"，由绝对收敛知级数∑也绝对收敛．∑∞=1n na∞=+++121)(n n na a a a"思考题14（华中科技2004）设，求级数之和．)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ∑−+)(1n n nx x a提示：1−−=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑都收敛，则级数绝对收敛．∞=1n n nx a∑∞=1n n a 分析 问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{，使得级数发散，于是问题转化为：从}n x ∑n nx a∑+∞=n a 出发，构造出满足条件的数列{．联想例10中（1）的结论立明．}n x证 假设∑∞=1n n a 发散，记其前项和为，则n n S +∞=∞→n n S lim ．取210=ε，，，由0>∀N N n >∃+∞=∞→n n S lim 得 210lim<=∞→mn m S S ，从而当充分大（）时，有m n m >21<m n S S ，于是0221121ε=>−≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a "， 由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．∑∞=1n n n x a 思考题15（中国人民大学2000）若正项级数发散，则存在收敛于0的正数序列，使得级数发散．∑∞=1n na{}n b ∑∞=1n n n b a 例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为，将其分成两项 n S −++=nn n S S S ， 其中分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限−+nnS S ,−+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证 由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=−=≥111212cos 21121sin sin n n n n n n n n n n ，右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛． 由于)(sin 2122)(1∞→−∞→−=−−+=∑=−+−+−n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim −=−=−+=−∞→−−−+∞→−+∞→nnn n n n n n n n n S S S S S S S S ． 注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三 构造级数例30 试构造一级数，使它满足：∑∞=1n na（1）∑收敛； （2）∞=1n na ⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1． 解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下： "+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1，同时 +∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k nk nk k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数""+−++−+−−n n a a a a a a 2124321 （）0>n a 部分和为，可见只要构造一个级数，使得，同时使和一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：∑∑==−−=n k k nk k n a aS 121122∑∞=1n n a 0→n a ∑∞=−112k k a∑∞=12k ka()""+−−+−+−+−nn 21121514131211222． 例32（南开大学1999）已知级数收敛，问级数和是否必收敛？说明理由．∑∞=1n na∑∞=12n na∑∞=13n na解 未必收敛．如级数∑∞=−1)1(n nn收敛，但发散．令∑∞=12n na"+−−−+−−+−=∑∞=33333331331331331312212212111n n a""+−−−−+项k k k k k k k k k k k11113。
考研数学高数7级数
第七讲：级数数项级数: 数项级数的概念给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅, 则由这数列构成的表达式u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅ ⋅叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞=1n n u , 即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u ,其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和:作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义:如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项:当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅叫做级数∑∞=1n n u 的余项.重要例题：1、几何级数：n n aq ∑∞=0⎪⎩⎪⎨⎧≥∞<-=1||1||1q q q a2、调和级数：nn 11∑∞=发散 3、p-级数：1111p n p np ∞=>⎧⎨≤⎩∑收敛发散收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks . 即：如果s u n n =∑∞=1, 则ks ku n n =∑∞=1.性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ. 即：如果s u n n =∑∞=1、σ=∑∞=1n n v , 则σ±=±∑∞=s v u n n n )(1.性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数（1-1)+（1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.级数收敛的必要条件:定理： 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0=→n n u .数项级数的敛散性判别正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.正项级数的敛散性判别法： 比较判别法：设nu∑和nv∑是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n N >都有n n u v ≤，则（1）若级数nv∑收敛，则级数nu∑也收敛； （2）若级数nu∑发散，则级数nv∑也发散。
考研级数典型例题完美版讲析
常数项级数内容要点一，概念与性质(一)概念 由数列 ,,,,21n u u u 构成的式子=∑∞=1n nu++++n u u u 21称为无穷级数，简称为级数.n u 称为级数的一般项，∑==ni in us 1称为级数的部分和.如果s s n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛，s 称为该级数的和.此时记=∑∞=1n nus .否则称级数发散.（二）性质 1, 若∑∞=1n nu收敛，则.11∑∑∞=∞==n n n nu k ku2, 若∑∞=1n n u ,∑∞=1n nv收敛，则().111∑∑∑∞=∞=∞=±=±n n n n n n nv u v u3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件), 若∑∞=1n nu收敛，则.0lim =∞→n n u注意：若.0lim ≠∞→n n u 则∑∞=1n nu必发散.而若∑∞=1n nu发散,则不一定.0lim ≠∞→n n u(三) 两个常用级数 1, 等比级数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=∑∞=1,1,10q q qaaq n n2, -p 级数⎩⎨⎧≤>=∑∞=1,1,11p p n n p 二，正项级数敛散性判别法 (一) 比较判别法设∑∑ℜ=∞=11,n nn n vu 均为正项级数，且),2,1( =≤n v u n n ,则∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=1n nu收敛；∑∞=1n nu发散⇒∑∞=1n nv发散(二) 极限判别法如果)0(lim +∞≤<=∞→l l nu n n ,则∑∞=1n nu发散；如果对,1>p )0(lim +∞<≤=∞→l l u n n pn ,则∑∞=1n nu则收敛.(三) 比值判别法 设∑∞=1n nu为正项级数，若⎪⎩⎪⎨⎧⇒>⇒=⇒<==+∞→fb cu u n n n 111lim1ρ 二，交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设())0(111>-∑∞=-n n n n u u 为交错级数，如果满足：1, ),2,1(1 =≥+n u u n n 2, 0lim =∞→n n u则此交错级数收敛.三，任意项级数与绝对收敛 （一） 绝对收敛 如果∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛.（二） 条件收敛 如果∑∞=1n nu收敛，但∑∞=1n nu发散,则称∑∞=1n nu条件收敛.（三） 定理 若级数绝对收敛，则该级数必收敛.函数项级数一、 主要内容 1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列{()}n f x一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→（4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
文科考研第六章无穷级数PPT课件
n 1
n 1
n 1
n 1
解 由 0ann 1(n1,2, )，
得|(1)nan2|an 2n12
，而级数
n1
1 n2
收敛，
所 以 级 数 (1)nan 2绝 对 收 敛 .
n1
【答案】 应选(D). 25
例3 (91,3分 )设 0ann 1(n1,2, )， 则 下 列 级
数 中 肯 定 收 敛 的 是
3
收敛级数的基本性质 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
4
常数项级数审敛法
正项级数
第六章 无穷级数
1
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前言
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1、常数项级数
定义
unu1u2u3 un
n1
n
级数的部分和 snu1u2 un ui
i1
级数的收敛与发散
常 数 项 级 数 收 敛 ( 发 散 ) n l is n m 存 在 ( 不 存 在 ) .
必 收 敛 的 是 （ ） .
（A）
( A )a n( B )( 1 ) n a n( C ) a n ( D )( 1 ) n a n 2
n 1
n 1
n 1
n 1
解 【评注】
(A)、 (C)反 例 ： an21n；
0, n为奇数
考研数学中的级数问题分析
考研数学中的级数问题分析级数是考研数学中的一个重要内容，常以解答题的形式出现，主要有如下三个方面的题型：一是级数敛散性的判定问题，二是级数的求和问题，三是函数的幂级数展开与傅里叶级数展开的问题.以下是以近年考研题为例，对级数问题所作的几点分析.
一、级数敛散性的判定
二、级数的求和问题
1.数项级数求和
解：如图可知：
2.幂级数求和
幂级数求和是级数中的一个难点问题，但解题思路却比较明确，一般用间接法求解.也就是先把所给幂级数转化为已知的幂级数表示，然后利用已知的幂级数求和.如何用已知幂级数去表示所求幂级数，是解题的难点.解题时应注意对所给幂级数的项进行分析，将它的项与已知幂级数的项进行比对，常可通过提取公因式、系数分拆、求导、求积等手段寻找到它们之间的关系，进而将所给幂级数用已知幂级数表示，然后求和.
三、函数的幂级数展开与傅里叶级数展开
函数的幂级数展开与傅里叶级数展开是级数，也是考研级数中常见问题.一般的，函数的幂级数展开主要用间接法，即将所给函数化为“已知函数”后再展开，而函数的傅里叶级数展开则用直接法，即通过公式先计算傅里叶系数，然后将函数展开为傅里叶级数.
1.函数的幂级数展开
例6：将展开成x的幂级数.【2006数学（一）第17题】
2.函数的傅里叶级数展开。
韩国研究生topik要求
韩国研究生topik要求
韩国研究生申请topik考试是必须的。
topik是韩国语文能力测试的缩写，分为初级、中级和高级三个级别。
对于大多数研究生来说，他们需要通过topik3级以上的考试才能满足申请条件。
此外，topik考试的成绩是申请研究生时最重要的考虑因素之一。
高分数将有助于提高研究生申请的竞争力。
因此，研究生应该认真准备topik考试，以达到申请条件和高分数。
研究生申请topik考试前，应该了解考试的具体内容和格式。
topik考试包括听力、阅读、写作和口语四个部分。
考试时间为约三小时。
考试题目难度逐渐增加，难度最高的题目在后面。
为了准备topik考试，研究生可以参加topik考试培训班，或者自学。
培训班会提供专业的教学指导和考试技巧，但是费用相对较高。
自学可以通过购买topik考试教材和使用在线学习资源来实现。
总之，topik考试对于韩国研究生申请是至关重要的。
研究生应该认真准备考试，并尽力取得高分数，以提高研究生申请的竞争力。
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CH10级数（8~10） 一、重要概念、公式 （一）数项级数1、绝对收敛，条件收敛 注：○1 nu∑收敛，则称n u ∑绝对收敛；○2 nu ∑收敛，n u ∑发散，则称n u ∑条件收敛2、性质：（1）若n u ∑收敛，其和为,s k 为常数，则1nn ku∞=∑也收敛，且其和为 ks（2）若级数n n u V ∑∑、分别收敛于 S 和 T ，则()n n u v ±∑也收敛，且收敛于S T ± 注：○1 如一发散，一收敛，则其代数和发散；○2 如两发散，则结论不一定 （3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变 注：○1 一个级数加括号所得新级数收敛，并不能说明原级数是否收敛； ○2 但加括号发散，原级数一定发散 （5）若级数∑∞=1n n u 收敛，则0lim =n u注：若lim 0n u ≠，则n u ∑发散 3、定理及审敛法（1）正项级数n u ∑收敛 ⇔ 部分和数列 n S 有界； （2）比较审敛法：○1 设∑∑n n v u 、都是正项级数：A 、若从某项起，有 ()0,>≥≤k N n KV u n n 且nV∑收敛，则n u ∑也收敛；B 、若从某项起，有n n u KV ≤且n u ∑发散，则∑n V 也发散○2 设∑∑n n V u 、是两个正项级数，且+∞<<=∞→l l V u nnn 0,lim，则∑∑n n V u 、同敛散 注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数 （3）比值审敛法：设有正项级数1n n u ∞=∑，若1limn n nu p u +→∞=，则：○1 当01p ≤<时，级数n u ∑收敛； ○2 1p >时，级数n u ∑发散 注：含!n 或n 的乘积形式（4）根值审敛法：设有正项级数1n n u ∞=∑，若n p =，则：○1 10<≤p 时，级数∑n u 收敛； ○21>p 时，级数∑n u 发散 注：含以n 为指数的因子（5）交错级数审敛法：若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：○11+≥n n u u ； ○20lim =∞→n n u ，则该交错级数收敛，且其和1u s ≤，其余项的绝对值1+≤n n u r （6）绝对收敛定理：若n u ∑收敛，则n u ∑也收敛注：○1 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和；○2 设级数∑∑n n v u 、都绝对收敛，它们的和分别为 S 和 T ，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为 ST4、公式：（1）11pn n∞=∑：1p >时收敛，1p ≤时发散； （2）1n n a ∞=∑：1a <时收敛，1a ≥时发散；（3）11ln pn n n∞=∑：1p >时收敛，1p ≤时发散； （二）函数项级数 1、基本概念： （1）定义：()x u n ∑（2）和函数：()()x u x u S n n ++= 1（3）幂级数：()收nn n x x a 00-∑∞=敛半径，收敛区间（4）泰勒级数：如果()f x 存在各阶导数，则()()()000!n nn f x x x n ∞=-∑称为泰勒级数2、定理公式：（1）阿贝尔引理：若幂级数n n a x ∑：当0x x =时收敛，则对0x x <的x ，n na x ∑绝对收敛；当0x x =发散，则对0x x>的x ，n n a x ∑发散注：收敛点是连成一片的（2）设R 是幂级数n n a x ∑的收敛半径，且1limn n na p a +→∞=： ○1 当0p ≠时，1R p=；○2 0p =时，R =∞； ○3 p =+∞时，0R = （3）幂级数的分析运算性质：设幂级数()0n n n a x S x ∞==∑，其收敛半径为0R >，则：○1 和函数()S x 在(),R R -内连续； ○2和函数()S x 在(),R R -内可导，且()()0nn n S x a x ∞=''=∑；○3和函数()S x 在(),R R -内任何区间上可积，且()dt t a dx x S n n x n x∑⎰⎰∞==0注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性 （4）几个重要的麦克劳林展开式：+++++=!!212n x x x e nx；()()3521sin 13!5!21!n nx x x x x n +=-+-+-++ ；()242cos 112!4!2!n n x x xx n =-+-+-+ ；()() +-++-=+-n n x nx x x x 1321321ln ；()()()()++--++-++=+n x n n x x x !11!21112ααααααα；（5）泰勒定理：设()f x 在点0x 的某个邻域内具有任意阶导数，则()f x 在0x 处的泰勒级数在该邻域内收敛于()f x 的充要条件是：当∞→n 时，()f x 在点0x 的泰勒级数余项()0→x R n注：()f x 在点0x 的幂级数展开式()()()000()!n nn f x f x x x n ∞==-∑（三）付立叶级数 1、基本概念（1）三角级数：形如 ()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a（2）正交：对于()()x x Q ϕ、在[]b a ,上有定义，如果()()0=⎰dx x x Q ba ϕ，则称()()x x Q ϕ,正交 （3）付立叶系数： ○1 ()f x 是周期为π2的周期函数：则()n x d x x f a n c o s 1⎰-=πππ，()nxdx x f b n sin 1⎰-=πππ○2 ()f x 在[],l l -上以2l 为周期：()dx l x n x f l a l l n πcos 1⎰-=，()dx l xn x f l b l l n πsin 1⎰-= ○3()f x 在[],a b 上：()dx a b x n x f a b a ban --=⎰π2cos 2，()dx ab xn x f a b b b a n --=⎰π2sin 2 （4）付立叶级数：以付立叶系数n n b a 、构成的三角级数()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ → 付立叶级数 （4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）只含正弦项的级数 → 正弦级数； 只含余弦项的级数 → 余弦级数 注：奇延拓→正弦 即：奇函数→正弦偶延拓→余弦 偶函数→余弦 2、定理如()f x 在[]ππ-，上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则()x f 的付立叶级数()S x 在[],a b 上收敛， 且：○1 x 为()f x 的连续点，()()x f x s → ○2 x 为()f x 的间断点，()()()2+-+→x f x f x s○3 x 为()f x 的端点，b x a x ==,,()()()2-++→b f a f x s二、重要考点1、判定级数审敛法⑴判定0lim →∞→n n u 不等于0 发散。
⑵判断∑∞=1n n u 是否为正弦级数，是 按正项级数审敛法。
⑶收敛，绝对收敛∑n u⑷交错级数审敛法及运用性质讨论 注：n u 不具体一般用定义性质讨论。
对于正项级数∑n u 的敛散性，常用台勒展开及等价无穷小代换讨论。
2 求极限：3、求函数项级数()x u n n ∑∞=1的收敛区间、收敛域、收敛半径，其一般步骤为：（注：函数不具体一般考虑阿贝尔引理） （1） 由()()()1lim1<=+∞→x p x u x u nn n ，解出x 的取值范围（a ，b ）。
（2） 讨论在端点的敛散性。
（3） 给出结论。
若∑∞=0n nn x a 的收敛域是(]8,8-,则 ()∑∞=-03133n nn n n x a 的收敛半径是2.4、求数项级数的和，其步骤为： （1） 构造幂级数，求出其收敛域（2） 利用幂级数的分析运算性质，求出幂级数的和函数 （3） 代值计算 注：○1()∑n f x n整理逐项求导，()1-n n x n ○2()n x n f ∑整理逐项积分，∑-1n nx 5将函数()x f 展开成0x x -的幂级数的一般步骤： （1） 作代换()()()u g u x f x f ux x =+==-00；（2） 利用求导、积分、代换整理化简将()u g 展开为u 的幂级数； （3） 将0x x u -=代入即得。
6求()()i x f 0其步骤（1） 求()0x x x f -关于的幂级数展开式 （2） 由()ix x 0-的系数，()()()i x i x i f i f a 00!得=7函数的付立叶级数展开，其步骤： （1） 判定f(x)的周期性、奇偶性 （2） 计算付立叶系数n n b a a 、、0（3） 写出付立叶级数，并由狄利克雷定理写出其和函数S(x) （4） 如要求某个数项级数的和，则在s(x)中令x 取某个特殊值。
微分方程（8~12） 一、重要概念、公式1、如果1y 、2y 是二阶线性齐次方程：0)(')(''=++y x Q y x p y 的两个解，则2211y c y c y +=也是它的解，其中21c c 、是任意常数； 2、如果12y y 、是()()'''0y p x y Q x y ++=的两个线性无关的解，则2211y c y c y +=就是该方程的通解；3、如果*y 是二阶非齐次线性方程：()()x f y x Q y x p y =++')(''的一个特解，而Y 是它对应的齐次方程的通解，则*+=y Y y 是该非齐次方程的通解；4、如果*1y 是()())('''1x f y x Q y x p y =++的解，*2y 是()())('''2x f y x Q y x p y =++的解，则2121)(')(''f f y x Q y x p y y y +=+++**是的解二、重要考点1、一阶微分方程，其步骤： （1）确定类型（代换整理）（2）代公式求解注：含()()()22y x f xy f y x f x y f y x f ±⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±、、、、一般都可通过变量代换化为基本形式。