级数知识点总结
级数知识点总结归纳考研
级数知识点总结归纳考研一、级数的概念级数是指由一列数相加而成的无穷和，通常表示为∑（从n=1到∞的累加求和）。
级数可以是有限个数相加也可以是无穷个数相加，级数的和可以是有限的也可以是无限的。
二、级数的收敛性1. 收敛级数：如果级数的部分和数列{Sn}有极限，则称级数是收敛的，极限等于级数的和，即∑an=S。
2. 发散级数：如果级数的部分和数列{Sn}没有极限，或者极限为无穷大，则称级数是发散的。
三、级数的性质1. 级数的和的唯一性：级数的和是唯一的。
2. 收敛级数的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则有∑(an+bn)也收敛，且∑(an+bn)=∑an+∑bn。
3. 绝对收敛级数：如果级数∑|an|收敛，则称级数∑an是绝对收敛的。
4. 条件收敛级数：如果级数∑an是收敛的，但级数∑|an|是发散的，则称级数∑an是条件收敛的。
四、级数的判定方法1. 正项级数收敛判别法：如果级数的每一项都是非负的，且级数的部分和数列有上界，则级数收敛；如果级数的每一项都是非负的，且级数的和为无穷大，则级数发散。
2. 比较判别法：如果级数∑an收敛，且0≤bn≤a n，则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且an≥bn≥0，则级数∑bn也发散。
3. 极限判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也发散。
4. 比值判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞|an+1/an|=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an+1/an|=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
5. 根值判别法：如果级数∑an收敛，且li mn→∞|an|^(1/n)=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an|^(1/n)=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
级数知识点笔记总结
级数知识点笔记总结一、级数的基本概念1.1、级数的定义级数是指一列数相加而得到的一个和，级数一般表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1，a2，a3，...，an表示级数的每一项，n表示级数的项数。
1.2、级数的部分和级数的部分和是指级数的前n项和，通常表示为Sn。
即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an1.3、收敛和发散如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于一个有限的数S，则称级数收敛，记作：S = lim(n→∞)Sn如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于无穷大或者无穷小，则称级数发散。
1.4、级数的收敛性级数的收敛性是指级数是否收敛的性质。
根据级数的收敛性可将级数分为收敛级数和发散级数。
二、级数的性质2.1、级数的加法性如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有：∑(an+bn) = ∑an + ∑bn2.2、级数的倍数性如果级数∑an收敛，则它的任意倍数级数∑kan(k为常数)也收敛，并且有：∑kan = k∑an2.3、级数的比较性如果级数∑an和∑bn满足0 ≤ an ≤ bn，当且仅当级数∑bn收敛时，级数∑an也收敛；当且仅当级数∑an发散时，级数∑bn也发散。
三、级数的收敛与发散3.1、比较判别法如果级数∑an的绝对值与级数∑bn的绝对值相比有相对简单的结构时，可对级数的收敛与发散作出判断：当∑|an| ≤ ∑bn时，若级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛。
当∑an ≥ ∑|bn|时，若级数∑bn发散，则级数∑an也发散。
3.2、比值判别法若级数∑an的前n+1项与前n项的比值有极限存在，则有：若lim(n→∞)|an+1/an| < 1，则级数∑an收敛；若lim(n→∞)|an+1/an| > 1，则级数∑an发散；若lim(n→∞)|an+1/an| = 1，则比值判别法无法确定级数的收敛性。
级数公式总结知识点
级数公式总结知识点一、级数的概念首先，我们来看一下级数的概念。
级数是由一系列数相加得到的无穷和，通常表示为：\[S = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots \]其中\(a_1, a_2, a_3, \cdots \)分别表示级数的各个项，\(S\)表示级数的和。
级数的和可能是有限的，也可能是无限的。
如果级数的和是有限的，则称该级数收敛；如果级数的和是无限的，则称该级数发散。
在级数中，我们通常会遇到几种特殊的级数形式，它们对于级数的求解和应用有重要的意义。
下面我们将对这些级数形式进行总结。
二、级数公式的类型1. 等差级数等差级数是最简单的级数形式之一，它的一般形式为：\[S = a + (a + d) + (a + 2d) + \cdots + (a + (n-1)d) + \cdots \]其中\(a\)为等差级数的首项，\(d\)为等差级数的公差。
等差级数的和可以通过以下公式来计算：\[S = \frac{n(a + T)}{2}\]其中\(n\)表示等差级数的项数，\(T\)表示等差级数的末项。
2. 等比级数等比级数是另一个常见的级数形式，它的一般形式为：\[S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots \]其中\(a\)为等比级数的首项，\(r\)为等比级数的公比。
等比级数的和可以通过以下公式来计算：\[S = \frac{a}{1-r}\]3. 调和级数调和级数是一个特殊的级数形式，它的一般形式为：\[S = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots \]调和级数的和并没有一个简单的表达式，但是调和级数是一个发散级数，即它的和是无穷的。
以上是几种常见的级数形式，它们在数学分析和应用中都有着重要的作用。
级数的认识知识点总结
级数的认识知识点总结一、级数的定义1.1 级数的概念级数是指由一组数相加而成的和，通常用符号∑来表示。
如果给定一个数列{an}，则和S=∑an可以表示为级数的概念。
级数是数学分析中一个非常重要的概念，它允许我们将无穷多个数相加而得到一个和。
1.2 级数的部分和级数的部分和是指级数的前n项和，通常用Sn表示。
级数的部分和可以帮助我们判断级数的收敛性。
1.3 收敛级数和发散级数如果级数的部分和序列{Sn}有一个有限的极限，则称该级数为收敛级数；如果级数的部分和序列{Sn}没有有限的极限，则称该级数为发散级数。
二、级数的收敛性2.1 收敛级数的定义级数∑an收敛的充分必要条件是，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，当n>N时，使得|Sn-S|<ε成立。
其中，S表示级数的和。
2.2 收敛级数的性质（1）收敛级数的和的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和∑(an+bn)也收敛，并且有∑(an+bn)=∑an+∑bn。
（2）收敛级数的定理：如果级数∑an收敛，则其任一子级数也收敛。
2.3 级数的收敛判定级数的收敛性通常通过不同的方法进行判断，常用的方法有：（1）比较判别法：用一个已知级数的性质来推导出所求级数的性质；（2）比值判别法：通过级数的比值来判断级数的收敛性；（3）根值判别法：通过级数的根值来判断级数的收敛性；（4）绝对收敛级数和条件收敛级数。
2.4 发散级数的性质对于发散级数，常见的性质有：（1）级数部分和的性质：如果级数发散，则它的任一子级数也发散。
（2）级数的极限值为正无穷或负无穷。
三、级数的应用级数在数学分析、微积分等领域有着广泛的应用，其常见的应用包括：3.1 泰勒级数泰勒级数是一种数学分析中的级数，它描述了一个函数在某一点附近的性质。
泰勒级数可以帮助我们近似计算复杂函数的值，求解微分方程等问题。
3.2 幂级数幂级数是一种特殊的级数，其中每一项都是x的非负整数次幂。
级数知识点总结竞赛
级数知识点总结竞赛1. 级数的概念级数是一种特殊的数列，它由无穷个项的和组成。
级数的一般形式如下所示：\[ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots \]其中\(a_1, a_2, a_3, \cdots\)为级数的各项。
级数的前n项和为\(S_n\)，表示为：\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \]级数之和为级数的全体项之和，当级数的和存在并有限时，称级数收敛；当级数的和不存在或为无穷大时，称级数发散。
2. 级数的性质级数具有一些重要的性质，包括线性性质、级数和的比较性质、级数的绝对收敛性等。
(1) 线性性质：级数之和和级数之差仍然是级数，级数的和等于各项和的和。
(2) 级数和的比较性质：如果级数a和级数b满足某种关系，则它们的和也满足相同的关系。
(3) 级数的绝对收敛性：如果级数的各项的绝对值组成的级数收敛，那么级数原来的级数也收敛。
3. 级数收敛性的判定方法级数收敛性的判定方法有很多种，主要包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法和审敛变换等。
接下来我们分别介绍这些方法。
(1) 比较判别法：比较判别法是通过比较级数的每一项与已知级数的每一项大小关系来判断级数的收敛性。
如果级数的每一项小于已知级数的对应项，并且已知级数收敛，则原级数也收敛。
如果级数的每一项大于已知级数的对应项，并且已知级数发散，则原级数也发散。
(2) 比值判别法：比值判别法是通过求级数的各项之比的极限来判定级数的收敛性。
具体判定条件为：如果级数\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的极限存在并小于1，则级数收敛；如果\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的极限存在且大于1或无穷大，则级数发散。
(3) 根值判别法：根值判别法是通过求级数的各项绝对值的n次方根的极限来判定级数的收敛性。
具体判定条件为：如果级数\((a_n)^\frac{1}{n}\)的极限存在并小于1，则级数收敛；如果\((a_n)^\frac{1}{n}\)的极限存在且大于1或无穷大，则级数发散。
高数大一下知识点总结级数
高数大一下知识点总结级数高数是大学数学中的一门重要课程，对于大一学生来说，学好高数才能够为接下来的学习打下坚实的基础。
下面我将对高数大一下的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、级数的概念与性质在高数中，级数是一个非常重要的概念。
级数由一列数相加而得，可以用于近似计算以及描述实际问题。
级数的概念为我们后续学习提供了很多方便。
1.级数的定义级数是指把同一个数列的各个项按照顺序相加得到的和。
级数由无穷个项相加而成，表示为∑(an)。
2.级数的收敛和发散级数的收敛与发散是级数的一个重要性质。
级数是收敛的，当且仅当其部分和数列有极限。
级数是发散的，当其部分和数列趋向于无穷大或无穷小。
3.级数的收敛性判别法在判断一个级数是否收敛时，我们可以使用不同的收敛性判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些判别法可以帮助我们快速判断级数的收敛性。
二、常见的级数及其性质在高数中，有很多常见的级数，我们需要了解它们的性质以及求和的方法。
1.等差数列求和等差数列的求和在高中已经学过了，这里只是简单地进行回顾。
等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = (n/2)(a + an)。
2.等比数列求和等比数列的求和也是高中知识。
等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = a(1-q^n)/(1-q)。
需要注意的是，当|q|<1时，等比数列的和存在有限值。
3.幂级数幂级数是一种特殊的级数，对于形如∑(an*x^n)的级数，我们称之为幂级数。
在实际问题中，幂级数在分析函数的性质和展开函数等方面有着广泛应用。
三、级数的运算在高数中，我们常常需要进行级数的运算，如级数的加减、乘除以及级数与函数的运算等。
1.级数的加减级数的加减比较简单，只需要将级数的对应项相加或相减即可。
若级数∑(an)收敛，则其加减之和∑(an±bn)也收敛。
数分级数知识点总结
数分级数知识点总结一、定积分的概念1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个区间上的函数进行积分运算得到的结果。
定积分可以用来求函数在给定区间上的面积、弧长、体积等物理量。
2. 定积分的符号表示定积分通常表示为∫abf(x)dx，其中a和b是积分区间的端点，f(x)是被积函数。
3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线下面积，即被积函数在积分区间上的图形与x轴之间的面积。
二、不定积分的概念1. 不定积分的概念不定积分是定积分的逆运算，它是求一个函数的不定积分，即求函数的原函数。
不定积分的结果通常用∫f(x)dx+C表示，其中C是常数项。
2. 不定积分的基本性质不定积分的基本性质包括线性性、定积分的换元法、定积分的分部积分法等。
3. 不定积分的计算方法不定积分的计算方法包括分部积分法、换元法、反常积分、有理函数的积分等。
三、级数的概念1. 级数的概念级数是将一个序列中的元素相加得到的无穷和，级数通常表示为a1+a2+...+an+...。
级数中的每一项称为级数的通项。
2. 级数的收敛性级数有可能收敛，也有可能发散。
对于收敛的级数，其和可以用一个有限的数值表示；对于发散的级数，其和无法用有限的数值表示。
3. 级数的性质级数具有很多重要的性质，包括级数的线性性、级数的收敛性质、级数的发散性质等。
四、数列极限与级数收敛的关系1. 数列极限的概念数列的极限是数列中元素的值随着项数n趋于无穷时的极限值。
数列的极限常用lim(n→∞)an表示。
2. Cauchy收敛准则Cauchy收敛准则是描述收敛数列的一个极限判别准则，它表明一个数列收敛的充分必要条件是数列中的任意两项之差可以任意小。
3. 级数收敛的充分条件数列的极限与级数的收敛有着密切的联系，级数的收敛与级数的通项构成的数列的极限有着直接的关系。
常见的判别级数收敛的方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
五、级数收敛的判别法1. 比较判别法比较判别法是判别级数收敛的一种有效方法，它将待判定的级数与已知的级数相比较，从而判断待判定级数的收敛性。
级数知识点总结归纳
级数知识点总结归纳引言级数是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对级数的基本概念、性质和常见的级数测试进行总结和归纳。
通过深入的探讨，希望能够帮助读者全面理解级数的知识。
一级标题1：级数的定义与基本性质二级标题1.1：级数的定义1.级数是由一列数相加得到的无穷和，形如a1+a2+a3+...+a n+...的表达式。
二级标题1.2：级数的收敛与发散1.如果级数的部分和数列S n极限存在，则称此级数收敛，数列{S n}的极限值称为级数的和；2.如果级数的部分和数列S n极限不存在或为无穷大，则称此级数发散。
二级标题1.3：级数的性质1.收敛级数的部分和数列是有界的；2.收敛级数的和不受有限或任意个项的去除影响；3.可以对级数的各个项重新排序；4.级数的收敛性与发散性不受固定个数项的改变影响；5.如果级数∑a n收敛，则lim n→∞a n=0。
一级标题2：级数的测试二级标题2.1：正项级数及比较测试三级标题2.1.1：正项级数1.如果级数所有的项都是非负的，称之为正项级数。
三级标题2.1.2：比较测试1.比较测试：如果级数0≤a n≤b n，其中∑b n收敛，则∑a n也收敛；2.极限形式的比较测试：如果级数0≤a n和0≤b n，且lim n→∞a nb n=L，其中0<L<∞，则级数∑b n和∑a n要么同时收敛，要么同时发散。
二级标题2.2：正项级数的求和公式三级标题2.2.1：调和级数1.调和级数：级数1+12+13+...+1n+...；2.调和级数发散。
三级标题2.2.2：p级数1.p级数：级数1+12p +13p+...+1n p+...；2.当p≤1时，p级数发散；3.当p>1时，p级数收敛。
二级标题2.3：比值测试与根值测试三级标题2.3.1：比值测试1.比值测试：如果lim n→∞|a n+1a n|=L，其中0≤L<1，则级数∑a n收敛；2.如果lim n→∞|a n+1a n|=L，其中L>1或为无穷大，则级数∑a n发散。
级数的定义知识点总结
级数的定义知识点总结一、级数的概念级数是由一系列数相加所得到的和，可以写成如下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …其中，a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …是级数的各项，S是级数的和。
级数中的单个数a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …称为级数的项。
二、级数的表示方法级数可以表示为求和形式，也可以表示为极限形式。
根据级数的和可以是有限的也可以是无限的，级数可以分为有限级数和无限级数。
1. 有限级数当级数的和是有限的，即级数的各项之和是一个有限数时，这种级数称为有限级数。
例如，1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，这是一个有限级数。
2. 无限级数当级数的和是无限的，即级数的各项之和是一个无穷大时，这种级数称为无限级数。
例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2，这是一个无限级数。
级数的表示方法可以用级数求和符号Σ表示，也可以用极限符号lim表示。
有限级数的表示形式为S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ，无限级数的表示形式为S = ∑(aₙ)，其中n从1到∞。
三、级数的性质级数具有多种性质，包括收敛性、发散性、级数和的性质以及级数可以进行加减乘除等运算。
1. 收敛性和发散性级数的和可能是有限的，也可能是无限的。
当级数的和是一个有限数时，称该级数收敛；当级数的和是一个无穷大时，称该级数发散。
2. 级数和的性质级数和有许多性质，包括级数和的唯一性、级数和的性质等。
3. 级数之间的运算级数可以进行加法、减法、乘法、除法等运算。
例如，两个级数的和、差、积、商都是级数。
四、级数的收敛性级数的收敛性是级数理论中的重要概念，收敛级数与发散级数在数学上有很大的意义。
1. 收敛级数当级数的各项之和是一个有限数时，称该级数收敛。
在数学上，收敛级数具有很多重要的性质，如级数收敛的条件、收敛级数的性质等。
2. 发散级数当级数的各项之和是一个无穷大时，称该级数发散。
级数知识点公式总结
级数知识点公式总结一、级数的定义1.1 级数的概念级数是指将一系列数相加得出的结果，通常用符号表示为S = a1 + a2 + a3 + ... = ∑an其中ai（i=1,2,3,...）为级数的每一项，∑为级数的求和符号。
1.2 级数的收敛与发散级数的和可能有限也可能无限。
如果级数的和有限，即级数收敛；如果级数的和无限，即级数发散。
收敛和发散是级数的重要性质，在后续的讨论中将会详细介绍。
1.3 级数的部分和级数的部分和是指级数中前n项的和，通常用Sn表示。
级数的部分和是级数收敛与发散的重要依据，在计算级数的和时，通常需要用到级数的部分和。
1.4 级数的常见形式在实际应用中，级数通常有一些常见的形式，如等比级数、调和级数、幂级数等。
不同形式的级数有着不同的性质和求和方法，需要根据具体情况进行分析和求解。
二、级数的常见性质2.1 级数的加法性质级数具有加法性质，即级数的和等于其各项部分和的和。
假设级数∑an收敛，则有S = a1 + a2 + a3 + ... = ∑an对于级数的部分和Sn也有Sn = a1 + a2 + ... + an则有级数的和S等于部分和Sn的极限：S = lim(n→∞)Sn2.2 级数的乘法性质级数也具有乘法性质，即级数的和与乘以一个常数之后的和是相等的。
假设级数∑an收敛，则有kS = k(a1 + a2 + a3 + ...) = k∑an其中k为一个常数。
2.3 级数的收敛性质级数的收敛性质时级数理论中的重要内容，对于级数是否收敛有着一些判断的方法。
其中比较常见的是级数收敛的判别法，例如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
这些判别法在判断级数的收敛性时具有一定的实用性，需要掌握和运用。
2.4 级数的发散性质级数的发散性质同样是级数理论中的重要内容，对于级数是否发散也有着一些判断的方法。
通常可以通过级数的通项公式、部分和的性质等来判断级数的发散性。
2.5 级数的收敛域级数在其收敛域内可以具有比较好的性质和应用，而在其发散域外则有着不同的性质和应用。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和在大学数学中，级数是一个重要的概念，涉及到级数的收敛性和求和运算。
理解和掌握级数的收敛性以及求和的方法对于数学学科的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍级数的概念，讨论级数的收敛性判定方法，并介绍几种常见的求和方法。
一、级数的概念级数是由一列数的和构成的数列，通常以∑表示。
级数的一般形式可以表示为：∑(n=1 to ∞) an = a1 + a2 + a3 + ...其中，an表示级数的通项，n表示求和的下标，∑表示求和符号。
根据不同的通项an，级数可以分为不同的类型。
二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数收敛性判定法正项级数是指级数的通项an都是非负数，即an ≥ 0。
对于正项级数，我们可以使用以下方法进行收敛性判定：(1) 比较判别法：将待确定的级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较。
(2) 比值判别法：计算级数的通项an+1与an的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
(3) 根值判别法：计算级数的通项an的n次方根与1的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
2. 任意项级数的收敛性判定法对于任意项级数，我们需要使用更加复杂的方法进行收敛性判定：(1) 莱布尼兹判别法：用于交错级数的判定，即级数的通项an交替出现正负号。
(2) 绝对收敛和条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；反之，如果一个级数收敛但它的绝对值级数发散，则称此级数为条件收敛。
三、级数的求和方法1. 部分和求和对于级数∑(n=1 to ∞) an，我们可以通过计算部分和Sn = a1 + a2 + ... + an来求得级数的近似值。
2. 等比级数求和等比级数是指级数的通项满足an+1 = r * an，其中r为常数。
对于等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n，可以通过以下公式求和：S = a / (1 - r)其中，S为级数的和。
3. 幂级数求和幂级数是指级数的通项可以表示为an = cr^n，其中c为常数，r为变量。
级数考点知识点总结
级数考点知识点总结一、级数概念1.1 级数的定义级数是指将一个数列的项相加而得到的无穷和。
数列的项被称为级数的一般项，常用表示级数的符号有∑或者S。
级数中的项可以是有限项或者无限项。
1.2 级数的收敛性级数的收敛性是指级数的和是否存在。
如果级数的和存在，则称该级数是收敛的；如果级数的和不存在，则称该级数是发散的。
二、级数的相关概念2.1 部分和与序列对于级数的部分和就是将级数的前n项相加得到的和，用Sn表示。
部分和序列是指求级数的各项和得到的一个数列。
2.2 余项级数的余项是指级数的和与级数的前n项和的差，用Rn表示。
余项可以帮助我们判断级数的收敛性。
三、级数的收敛定理3.1 正项级数收敛定理对于正项级数Σan来讲，若存在数列{bn}，满足（1）an≤bn；（2）级数Σbn收敛；则级数Σan也收敛。
3.2 比较判别法对于级数Σan与Σbn来讲，若存在常数C>0和n0>0，使得n>n0时有|an|≤C|bn|；则有（1）若Σbn收敛，则Σan收敛；（2）若Σan发散，则Σbn发散；3.3 极限判别法对于级数Σan来讲，若存在常数C>0和n0>0，使得n>n0时有lim(n→∞)an/bn=C；其中Σbn是收敛的正项级数；则有（1）若C<∞，则Σan与Σbn同敛散；（2）若C=0且Σbn收敛，则Σan收敛；（3）若C=∞且Σbn发散，则Σan发散。
四、级数的收敛性4.1 正项级数的收敛性若级数的每一项都是非负数，则称该级数是正项级数。
正项级数的收敛性判断常用限制概念和比较判别法。
4.2 绝对收敛级数的收敛性对于级数Σan来讲，若级数Σ|an|是收敛的，则称级数Σan是绝对收敛的。
绝对收敛级数是收敛的。
4.3 条件收敛级数的收敛性对于级数Σan来讲，若级数Σan是收敛的，但级数Σ|an|是发散的，则称级数Σan是条件收敛的。
条件收敛级数是收敛的。
五、级数求和5.1 级数求和的方法常见的级数求和方法有：（1）几何级数求和；（2）等差级数求和；（3）调和级数求和；（4）幂级数求和。
级数知识点总结
级数知识点总结数学中的级数是指“项数无限”的无穷级数，是数学分析中的一个重要概念。
级数在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值计算中，大量的数值方法都具有涉及级数的计算步骤。
因此，在掌握级数相关的知识点是数学学习的重要一步。
一、级数的定义级数是指数列的和数列，也就是无穷个数相加所得到的结果。
一般地，设a_1, a_2, a_3, ...是一个数列，称∑a_n为无穷级数，其中∑表示求和。
当级数的通项数列收敛时称之为收敛级数，反之称为发散级数。
二、收敛判别法1.正项级数收敛定理：若数列an≥0,an≥0,且ΣanΣan收敛，则ΣanΣan绝对收敛。
2.比值判别法：对于正项级数∑an∑an，如果存在极限limn→∞(an+1)/an>1limn→∞(an+1)/an>1，那么级数发散；如果存在极限limn→∞(an+1)/an<1limn→∞(an+1)/an<1，那么级数绝对收敛；如果存在极限limn→∞(an+1)/an=1limn→∞(an+1)/an=1，那么该方法不适用。
3.根值判别法：对于正项级数∑an∑an，若存在极限limn→∞n√an>1limn→∞n√an>1，那么级数发散；若存在极限limn→∞n√an<1limn→∞n√an<1，那么级数绝对收敛；如果存在极限limn→∞n√an=1limn→∞n√an=1，那么该方法不适用。
4.积分判别法：若f(x)是R中非负连续函数，且单调递减，则当an=f(n)f(n)时，正项级数∑an∑an与积分∫1+∞f(x)dx的敛散性相同。
三、级数的性质1.收敛级数的性质：（1）级数后面的项任何一个加数的变动都不能影响其收敛状态。
（2）收敛级数的和唯一。
（3）若把有限项移位后，收敛级数的和仍不变。
2.发散级数的性质：（1）级数后面的项任何一个加数的变动都不能影响其发散状态。
（2）级数的任何一个有限部分的和都是有限的。
(完整版)级数知识点总结,推荐文档
un ，un
0 ）lim
n
Sn
S
前 n 项和存在极限则收敛；
un 收敛 S n 有界；
n 1
n 1
比较审敛法：且u n v n
(n 1,2,3,)，若 vn 收敛，则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
比较法的极限形式：lim un l
n 1
n 1
nБайду номын сангаас1
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数： (1)n un ，un 0 满足：un 1 un
(n
1,2,3,)，且lim n
un
0 ，则级数 (1)nun 收敛。
n 1
n 1
条件收敛：
un 收敛，而
un
发散；绝对收敛：
un
收敛。
un 绝对收敛，则
un 收敛。
若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级
数去括号后未必收敛.
u lim 0
必要条件：级数 un 收敛 n n
.（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）
n 1
3)
审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
2、 和函数s(x )的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域(R , R )内可导，且可逐项求导; 和函数s(x )在收敛域I 上可积分，且可逐项
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积分.( R 不变,收敛域可能变化).
3、
泰勒级数：f(x )
f
(n
)(x
0
) (x
n0 n !
x 0 )n
级数总结知识点
级数总结知识点一、级数的基本概念级数是由一列数按照一定的次序相加或相乘而得到的结果。
在级数中，每一个数都称为级数的项，而级数中的项的次序可以从1开始，也可以从0开始。
一般来说，级数以Σ表示，其一般形式为：Σ a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中，a_n表示级数的第n项。
级数的收敛与发散与其部分和的性质有很大的关系。
当一列数的部分和在n趋向于无穷时，其极限存在且有限，则称该级数收敛。
如果其部分和的极限不存在或者为无穷大，则称该级数发散。
二、级数的收敛性1. 收敛级数的定义级数Σ a_n在部分和S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n当n趋向于无穷时存在极限S，而S是一个有限的数时，则称级数Σ a_n是收敛的，并称S为级数的和。
即：Σ a_n = S2. 收敛级数的性质（1）收敛级数的部分和是有界的对于收敛级数Σ a_n而言，其部分和S_n是有界的。
这是因为在级数收敛的情况下，S_n是收敛数列，故其绝对值必小于某个常数M。
（2）收敛级数的项趋于零对于收敛级数Σ a_n而言，当n趋向于无穷时，级数的每一项a_n都趋于零。
（3）收敛级数的和不受项的次序变换影响对于收敛级数Σ a_n而言，其和不会因为项的次序变换而改变。
3. 收敛级数的判别法（1）比较判别法设级数Σ a_n和Σ b_n是两个级数，若对于所有的n都有a_n <= b_n，则有以下结论：若Σ b_n收敛，则Σ a_n也收敛。
若Σ a_n发散，则Σ b_n也发散。
（2）比值判别法设级数Σ a_n和Σ b_n是两个级数，如果存在常数0<r<1和N >0，对于所有的n > N都有|a_(n+1)/a_n| < r，则有以下结论：若Σ a_n收敛，则Σ a_n绝对收敛。
若Σ a_n绝对收敛，则Σ a_n收敛。
（3）根值判别法设级数Σ a_n是一个级数，如果存在常数0<r<1和N >0，对于所有的n > N都有|a_n|^1/n < r，则有以下结论：若Σ a_n收敛，则Σ a_n绝对收敛。
高等数学下册级数部分的知识点
=0
∈ −∞, +∞
−1
2+1
，
2+1 !
−1
2
，
2 !
∞
（5）cos =
=0
∞
（6）ln 1 + =
=0
−1
∈ −∞, +∞
∈ −∞, +∞
+1
，
+1
∈ −1,1
发散，则
n=1
=1 发散
2、比例判别法
+1
→∞
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
=
3、根值判别法
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim =
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
∞
1
=1
1
2
1
3
1
4
1
= 1 + + + + ⋯ + ⋯是发散的
所以收敛的级数一定趋于零，但是趋于零的级数不一定收敛0时，级数发散
→∞
例4、判断下列级数的收敛性，若收敛求其和
∞
1
（1）
=1 2
+
1
3
∞
2 +2
（2）
=1 2 −+3
，
=
，则
=1
=1
=1 ± 收敛，其和s ±
注意：收敛级数的和差仍收敛，发散级数的和差不一定发散，收敛级数与发散
级数知识点和公式总结
级数知识点和公式总结本文将从级数的基本概念开始，逐步深入，介绍级数的收敛与发散、级数的性质、级数的常见公式和定理等知识点，为读者全面而深入地了解级数提供帮助。
一、级数的基本概念1.级数的定义首先我们来了解一下级数的基本概念。
级数是指一列数的和，它是一种由无穷个数相加或相乘得到的数学对象。
一般的级数的表示形式为：\[a_1+a_2+a_3+...+a_n+... \]其中\(a_n\)表示级数的第n个项。
级数的前n项和可以表示为\(S_n=a_1+a_2+...+a_n\)，称为部分和。
级数的和是指当级数的前n项和\(S_n\)当n趋近于无穷大时的极限值。
2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散是级数中一个非常重要的概念。
当级数的部分和\(S_n\)存在有限的极限时，称级数收敛；当级数的部分和\(S_n\)不收敛，称级数发散。
级数的收敛与发散的判定方法有很多种，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
通过这些判定方法，我们可以判断出级数的收敛性。
3.级数的性质级数有许多重要的性质，其中最基本的是加法性质和数乘性质，即如果级数收敛，则其任意两个级数之和也收敛，级数的任意项与一个常数的乘积的级数也收敛，并且等于常数与原级数的乘积。
此外，级数的收敛性也具有一定的传递性。
如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)收敛，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n) \) 收敛；如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_n \)收敛，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} (c \cdot a_n) \)也收敛，其中c为常数。
二、级数的常见公式和定理级数的研究过程中，有一些常见的公式和定理，它们在级数的计算和性质研究中起着重要的作用。
级数知识点总结论文
级数知识点总结论文一、级数的定义与性质1.级数的定义级数是指一列数的和，通常用无穷和的符号表示。
设{an}是一个数列，那么级数的符号表示为S = a1 + a2 + a3 + a4 + ...其中S称为级数的和。
当级数存在有限的和S时，级数收敛；当级数和无限大或无穷时，级数发散。
2.级数的性质级数有许多重要的性质，例如级数的定理、级数的加法性、级数的乘法性等。
其中级数的定理是指如果级数收敛，则级数的各个部分也收敛；级数的加法性是指如果级数收敛，则级数的和等于级数各项的和；级数的乘法性是指如果级数收敛，则级数的各项与数相乘后的级数也收敛。
二、级数的收敛性与发散性1.级数的收敛性级数的收敛性是指级数的和存在并且为有限值的性质。
一个级数收敛的充要条件是其部分和数列{Sn}收敛于某一极限L。
对于收敛级数而言，级数的和与极限L相等。
2.级数的发散性级数的发散性是指级数的和为无穷大的性质。
一个级数发散的充要条件是其部分和数列{Sn}发散到无穷大。
对于发散级数而言，级数的和不存在，或者说级数的和为无穷大。
3.级数的绝对收敛性与条件收敛性级数的绝对收敛性是指级数的各项绝对值的级数收敛的性质。
一个级数绝对收敛的充要条件是其绝对值级数收敛。
级数的条件收敛性是指级数本身收敛但其绝对值级数发散的性质。
三、级数的应用级数在数学中有着广泛的应用，特别是在微积分、实分析和复分析等领域中。
级数在微积分中的应用主要体现在级数求和、级数求导、级数求积分等方面。
级数在实分析和复分析中的应用主要体现在函数类的证明与研究、数学推理与论证等方面。
1.级数收敛性与函数收敛性的关系级数的收敛性与函数收敛性有着密切的关系。
通常情况下，如果一个级数收敛，则对应的函数收敛，反之亦然。
利用级数的收敛性可以推导出函数的收敛性，这对于证明函数性质、解析函数的性质等方面是非常有帮助的。
2.级数在数学分析中的应用在数学分析中，级数的收敛性、数列的性质、级数和函数的关系等都是重要的研究对象。
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第十二章 无穷级数
一、 常数项级数 1、 常数项级数：
1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑
∞
=n n n u u u u u 3211
部分和：n n
k k
n
u u u u u
S ++++==
∑= 3211
正项级数：∑∞
=1
n n u ，0≥n u
级数收敛：若S
S n n =∞
→lim 存在，则称级数
∑∞
=1
n
n u 收敛，否则称级数
∑∞
=1
n
n u 发散 2)
性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛
两个收敛级数的和差仍收敛
，级数
∑∞=1
n n a ，
∑∞
=1
n
n b 收敛，则
∑∞
=±1
)(n
n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性级数
∑∞
=1
n
n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：
收敛级数去括号后未必收敛.
必要条件：级数
∑∞
=1
n
n u 收敛⇒0lim =∞
→n n u .（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
∑∞
=1
n
n u ，0≥n u ）S
S n n =∞
→lim 前n 项和存在极限则收敛；
∑∞
=1
n n
u
收敛⇔
{}n
S 有界；
比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞
=1
n n v 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛；若∑∞
=1
n n u 发散，则∑∞
=1
n n v 发散.
比较法的极限形式：
)0( l lim
+∞<≤=∞→l v u n
n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞
n
u 发散. 比值法： l u u n
n n =+∞→1
lim
，当：1<l 时，级数∑=1
n n u 收敛；1>l 时，级数∑=1
n n u 发散；1=l 时，级数∑=1
n n u 可能收敛也可能发散.
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：
∑∞
=-1
)1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞
→n
n u ，则级数∑∞
=-1
)1(n n n u 收敛。
条件收敛：
∑
∞
=1
n n u 收敛，而
∑
∞
=1
n n u 发散；绝对收敛：
∑
∞
=1
n n u 收敛。
∑∞
=1
n n u 绝对收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛。
其他级数：等比级数：
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<∑∞
=1 发散，1 收敛， 0q q aq n n
； 调和级数：⎩⎨⎧≤>∑
∞=1p 发散，1 收敛， 11p n n p 二、 函数项级数（幂级数：
∑∞
=0
n
n n x a ） 1、ρ=+∞→n
n n a a 1
lim
，则收敛半径1,0;,0;0,.R R R ρρρρ=≠=+∞===+∞（缺项级数用比值审敛法求收敛半径）
2、
和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项
积分.( R 不变,收敛域可能变化).
泰勒级数：n n n x x n x f x f )(!)
()(000)(-=
∑∞
=
⇔0)(!
)1()
(lim )(lim 10)
1(=-+=++∞
→∞
→n n n n n x x n f
x R ξ3、。