2.2-2.3等差与等比数列求和习题(苏教版必修5)
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课
D典例透析 S随堂演练
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题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即
1
=
2
1
+1,则
设 Tn= +
2
3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2
1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.
2
+
2 +1
1
,②
−
+…+
2
2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比
【高中】高中数学第2章数列2322等比数列的性质学案苏教版必修5
【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知． 探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)． 由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列． 【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52， 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列． 【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb， 即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x， 即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列． 【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学 列求和同步练习 文 苏教版必修5
高二数学苏教版<文>数列求和同步练习（答题时间：20分钟）1、求和S n ＝n n n n 212232252321132-+-++++-Λ 2、求和（1）23,2,3,,,n a a a na L L（2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+L L 3、已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S 。
4、求数列Λ1614,813,412,211的前n 项和。
【试题答案】1、解：由原式乘以公比21得: 21S n ＝1322122322321+-+-+++n n n n Λ 原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,∴S n －21S n ＝21+112212212121+---+++n n n Λ 即 S n ＝32232++-n n 2、解：（1）2323n n S a a a na =++++L ， 当1a =时，123n S =+++…(1)2n n n ++=， 当1a ≠时，2323n S a a a =+++…n na + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++， 两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++…11(1)1n n n n a a a na na a++-+-=--， ∴212(1)(1)n n n na n a a S a ++-++=- （2）∵1111()(2)22n n n n =-++， ∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+L 1111(1)2212n n =+--++ 3、解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项， ∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-， 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n 项 ∴2(165)4(14)(32)4(21)221423n n n n n n n S +----=+=+- 所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n n n n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 4、分析：数列的通项公式为n n n a 21+=，而数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 21,分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法。
数列知识点总结及例题讲解
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。
是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
必修5 第二章 第五节 数列的求和(学生版)
教学辅导教案1. 等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；2. 设n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和.3. 已知等比数列{}n a 满足32152,027a a a a a ==-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若，求证：是等差数列.3log 33+=n n a b {}n b4. 已知数列{}n a 的通项公式22n a n =+*()n ∈N （1）求25,a a ；（2）若25,a a 恰好是等比数列{}n b 的第2项和第3项，求数列{}n b 的通项公式．5. 已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；1. 已知正项等比数列{}n a 满足1a ，22a ，36a +成等差数列，且24159a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31log ()n n n b a a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2. 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且38b =，416b =，11a b =，84a b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3. 设数列{}满的前n 项和为Sn ，且，·（1）求数列{}满的通项公式；（2）设，求数列｛｝的前n 项和．4. 已知数列满足，则数列的前项和___________．5. 已知数列{}n a 满足11a =，且对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，则121001111a a a ++⋅⋅⋅+=【题型一： 通项分析法】 【例1】 已知数列的各项依次为，，，求它的前项和【例1】 已知数列{}n a :12,1233+,123444++,…, 123910101010+++L ,…,若11n n n b a a +=⋅，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．1n n + B ．41n n + C. 31n n + D ．51n n + 【变式训练1】 已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为（ ）A ．100101 B ．99101C ．99100D ．1011001. （题型1）设n S 是数列的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2. （题型2）已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则2017a =__________． 3. （题型3）在等差数列中，已知，，求通项公式及前项和4. （题型4）所以数列的前项和已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=．7. （题型6）已知数列{}n a 为等差数列，其中238a a +=，523a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和为n S ，求最小的正整数n ，使得20162017n S >成立．【查漏补缺】1. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则5S 等于（ ）A ．1B ．65 C ．61 D ．301 2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立．（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}()2nnS n +⋅的前n 项和n T ．4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3a =24，11S =0. （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）设nS b nn =，求数列}{n b 前n 项和n T 的最大值.1. 已知数列{}n a 满足1362,4a a a ==, n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,则数列(){}1nn a -的前10项的和10S = A. 220B. 110C. 99D. 552. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和11a =,20172015120172015S S -=,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2017项和为 A.20171009 B. 20172018 C. 12017 D. 120183. 已知函数()()2cos f n n n π=,且()()1n a f n f n =++,则12100a a a ++⋯+=（ ）A.100- B. 0 C. 100 D. 102004. 数列满足12sin 122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则数列的前100项和为A. 5050B. 5100C. 9800D. 9850 5. 观察如下规律：1111111111111111111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,333555557777777999999999L ,该组数据的前2025项和为__________． 6. 已知数列的前n 项和为n S ,且2n n S a n =-．（1）证明：数列{}1n a +是等比数列,求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+,求数列{}n b 的前n 项和n T ．7. 已知数列｛a n ｝的首项a 1=23,a n +1=21n n a a + (n *N ∈).（1）证明：数列｛1na -1｝是等比数列； （2）求数列｛nna ｝的前n 项和S n .8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且252,15a S ==,数列{}n b 满足：()1111,22n n n b b b n N n+++==∈,记数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和为n S ； （2）求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和为n T ；9. 设各项均为正数的等比数列{}n a 中,133510,40.a a a a +=+=2log n nb a =（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若111,nn n nb c c c a +==+,求证： 3n c <；第1，2天作业1. （2015年高考新课标I 卷）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则A ．B ．C ．D ．2. （2015年高考新课标Ⅱ卷）设是等差数列的前项和,若,则 A ．B ．C ．D ．3. （2014年高考福建卷）等差数列的前项和为，若，则 A ．8B ．10C ．12D ．114. （2016年高考北京卷）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则_______.5. （2016年高考江苏卷）已知{}是等差数列，是其前项和.若，{}n a n S {}n a n 844S S =10a =1721921012n S {}n a n 1353a a a ++=5S =57911{}n a n n S 132,12a S ==6a ={}n a n S 16a =350a a +=6=S n a n S n 2123a a +=-。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.2 等比数列的通项公式》
等比数列的通项公式公主岭市第一中学校毕洪波教材分析本节课是苏教版必修5第二章第二课时的内容，此前，学生已经学习了等比数列的定义，已掌握等差数列及通项公式，同时也学习了等差数列通项公式与函数的关系，这为研究等比数列的通项公式做了充分的准备。
本节通过类比的方法介绍了等比数列的通项公式，使学生理解等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决实际问题，同时，本节内容将为后续研究等比数列的前n项和奠定的基础，起到承前启后的作用。
教学目标1．知识与技能：理解等比数列的通项公式，能利用等比数列的通项公式解决简单的实际问题；2．过程与方法：培养类比的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题的能力；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
教学重点等比数列的通项公式，通项公式的实际应用。
教学难点等比数列通项公式与指数型函数的关系。
学法与教学用具启发学生联系之前所学内容，运用类比的思想理解掌握相关内容。
以学生探究为主，老师点拨为辅。
学生讨论，交流心得，分享成果。
同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。
直尺、投影仪（多媒体教室）教学过程一、复习回顾1等差数列定义；2等比数列定义；3等差数列通项公式：通项公式的推导方法：累加法，不完全归纳法；通项公式的特点：是一个关于n的“一次函数”形式。
（设计意图：从已经研究过的问题出发创设情境，巩固上节课所学知识，引出本节所要研究的问题，为研究等比数列的通项公式做准备。
） 二、讲授新课1、问题情景问题1观察等比数列{n a }：1，2，4，8，16，……，如何写出它的第10项10a 呢？问题2设{n a }是一个首项为1a ，公比为q 的等比数列，你能写出它的第n 项n a 吗？师：我们知道对于等差数列给定首项和公差的时候就可以求出这个数列的任意指定项和通项公式，类比等差数列对于给定的等比数列，当我们知道他的首项和公比的时候，能不能来求这个数列的指定项和通项公式呢？请看多媒体展示。
高中数学 数列专题复习1-数列求和问题 苏教版必修5
log3
x 1 ，求
log2 3
x x x 3 x n
的前n项和.
数学应用
例 2 求数列 a,2a2,3a3,4a4…, , n a n, …(a为常数)的前n项和.
数学应用
例3 求数列
1
1
1
1
1 3 ，2 4 ，3 5 ，…，n ( n 2 )
的前n项和S.
学.科.网
数学应用
5. 分组求和法：需要熟悉一些常用基本式的特点与规律， 将同类性质的数列归于一组，便于运用常见数列的求和公式．
建构教学
题型1. 公式法求和 题型2. 倒序相加法求和 此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和 相等这一特点来进行倒序相加的． 题型3. 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，
这种方法主要用于求数列 an 的bn前n项和，其中 a分n,别bn
是等差数列和等比数列. 题型4. 裂项相消法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法
例4
求数列1 1 ， 3 1 ， 5 1 ，…，（2n-1）＋ 248
1 2n
,…的前
n
项和.
课堂小结
数列求和的常用方法
•公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式；
2.倒序相加法：如果一个数列 a,与n 首末两端等“距离”的两
项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可 用倒序相加法.
问题情境
对于下列数列如何求和？
①已知 f ( x) 满足 x1, x2 Ｒ，当 x1 x2 1时，f(x1)f(x2)12, 若 S n f( 0 ) f( 1 n ) f(n 2 ) f(n n 1 ) f( 1 )n ,N ,求 S n
高中数学 等比数列的求和(1)课件 苏教必修5
4、在 等 比 数 列 a n 中 ， 公 比 q 2 ,
l o g 2 a 1 l o g 2 a 2 l o g 2 a 1 0 2 5 , 求 S 1 0 .
已知数列{
a
n
}为等比数列，且a1
1,an1
1 3Sn
求{ a n } 通项公式；
得 x S x 2 x 2 n 1 x n 1 n x n .② ① － ②得1 x S 1 x x 2 x n 1 n x n . 当x1时，1xS1xn nxn
1x
当 x 1nxnx . n n 1 n .
2
•
三、例题讲解
例 、 在 等 比 数 列 a n 中 ， 求 满 足 下 列 条 件 的 量 :
(1)a1a32,求 sn
(2)q2,n5,a11 2.求 an和 sn
2 、 求 等 比 数 列 1 ,x ,x 2 ,x 3 , 前 n 项 和 S n .
3 、 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 1 a n 6 6 ,a 2 a n 1 1 2 8 ,
① － ②得 Sn qSn a1a1qna1(1qn)
即 (1q)Sna1(1qn)
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q 1)
当 q = 1 时，等比数列的前n 项和s n 等于多少？
当q = 1 时，此等比数列为常数列：
a 1 ，a 1 ，a 1 ，… ，a 1 .（共n个）
此时 S n = a 1 a 1 a 1 a 1 n a 1
１，２，２２，２３，…，２６３
即 S 1 2 2 2 2 3 2 6，3 ①
2S 2 2 2 2 3 2 6 3 2 6②4
高中数学 第2章 数列 2.3.2.1 等比数列的概念及通项公式学案 苏教版必修5-苏教版高中必修5
第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。
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苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理 第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。
苏教版数学必修五2.5等比数列的前n项和(习题+解析)
高中等比数列的前 n 项和数学（答题时间： 40 分钟）**1.各项均为正数的等比数列 { a } 的前 n 项和为 S ，若 S ＝ 2，S＝ 14，则 S＝ ________。
n n n3n4n**2.设 { a } 是公差不为0 的等差数列， a ＝ 2，且 a， a ， a6成等比数列，则 { a } 的前 nn113n 项和 S n等于 ________。
*3.n n na1 (3n1)41设数列 { a } 的前 n 项和为 S ， S ＝2（ n≥1），且 a ＝54，则 a ＝ ________。
**4.n n52n－52n（ n≥3），则当 n≥3时，已知等比数列 { a } 知足 a ＞ 0，n＝ 1， 2，，且 a·a＝ 2log 2a1＋ log 2a2＋ log 2a3＋＋ log 2a2n－1＝ ________。
**5.n n S6＝ 3，则S9＝ ________。
设等比数列 { a } 的前 n 项和为S ，若S6S3*6.已知等比数列 { a } 中 a ＝ 1，则前 3 项的和 S 的取值范围是 ________。
n23*7.（临沂高二检测）已知等比数列{ a n} 前 n 项之和为 S n，若 S4＝－ 20，S8＝－ 1 640，求a1和 q。
**8.（扬州检测）已知{ a } 是公差不为零的等差数列， a ＝－ 10，且 a ，a ， a 成等比数n1245列。
（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）若 a＞ 0，求数列 { aa n＋ 12} 的前 n 项和 S n。
***9. （泗阳检测）已知等差数列{ a n} 的公差 d＜ 0， a1＝ 3，前 n 项和为 S n， { b n} 为等比数列， b1＝ 1，且 b2S2＝ 64， b3S3＝ 960。
（1）求 a n与 b n；（2）求 S n的最大值。
1.30 分析：∵ S3n≠3S n，∴ q≠1，a 1 (q n 1)①q 2,1由已知条件得1)a 1 (q3n②q14,1② ÷① 整理得 （ q n ＋3）（q n－2）＝0，则 q n ＝ 2（ q n＝－ 3 舍去），∴a 1＝ 2，S 4n ＝a 1q 1q 1（ q 4n －1）＝ 30.1 272.n ＋n44分析：设数列 { a n } 的公差为 d （ d ≠0），则有（ 2＋ 2d ）2＝ 2（ 2＋5d ），即 4d 2－ 2d ＝0.又 d ≠0，1 n(n 1)1 1 27 n 。
苏教版高中数学必修五新课标高考一轮复习同步训练数列求和
课时作业(三十) [第30讲 数列求和][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．数列11×3，12×4，13×5，…，1n (n ＋2)，…的前n 项和S n ＝________.2．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________.3．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1，且n ∈N *)在直线y ＝2x －1上，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n n 2，则该数列的前20项之和为________． 能力提升 5．[2011·肇庆二模] 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝________.6．[2011·浙江名校联盟二模] 正项等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 4＝8，S 4－S 1＝38，则公比等于________．7．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋n －1，则其前8项和S 8等于________．8．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n (n ＋1)的前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距是________．9．[2011·苏州模拟] 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为________．10．[2011·泰州二模] 数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.11．[2011·南通三模] 已知5×5数字方阵：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13 a 14 a 15a 21a 22a 23a 24a 25a 31 a 32 a 33 a 34 a 35a 41a 42a 43a 44a 45a 51a 52a 53a 54a 55中， a ij ＝⎩⎨⎧1(j 是i 的整数倍)，－1(j 不是i 的整数倍).则∑j ＝25a 3j ＋∑i ＝24a i 4＝________.12．数列{a n }的前n 项和是S n ，若数列{a n }的各项按如下规则排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，…，若存在整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝________. 13．(8分)[2012·温州十校联考] 等比数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝16. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若等差数列{b n }，b 1＝a 5，b 8＝a 2，求数列{b n }前n 项和S n ，并求S n 的最大值．14．(8分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .15．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项；(2)求{nS n }的前n 项和T n .16．(12分)已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1前n 项和为T n ，问T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？课时作业(三十)【基础热身】1.34－12n ＋2－12n ＋4 [解析] ∵1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴ S n ＝121－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝121＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12n ＋2－12n ＋4.2.n 24＋7n4 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，则根据题意得(2＋2d )2＝2·(2＋5d )，解得d＝12或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n (n －1)2×12＝n 24＋7n 4. 3．1 033 [解析] ∵a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1)，∴{a n －1}为等比数列，则a n ＝2n －1＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝10＋(20＋21＋…＋29) ＝10＋1－2101－2＝1 033.4．210 [解析] S n ＝－1＋22－32＋42－…＋182－192＋202＝22－1＋42－32＋…＋202－192＝3＋7＋11＋…＋39＝10(3＋39)2＝210. 【能力提升】5．84 [解析] 由题设知，数列的各项都为正数，猜测该数列为3,6,12,24,48，…，满足题目条件，所以a 3＋a 4＋a 5＝84.6.23 [解析] 设首项为a 1，公比为q ，则a 4＋a 3＋a 2＝38，因为a 4＝8，所以a 3＋a 2＝30，即a 1q 3＝8，a 1q (1＋q )＝30，解得a 1＝27，q ＝23.7．538 [解析] S n ＝2(1－28)1－2＋8(1＋8)2－8＝538.8．－9 [解析] S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1，所以n ＝9，所以直线在y 轴上的截距为－n ＝－9.9．200 [解析] 依题意利用枚举法由a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)，可得a 2＝5×2－133×2－7＝3，a 3＝5×3－133×3－7＝1，a 4＝5×1－133×1－7＝2，即有a 1＝2，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝2，进而a 5＝3，a 6＝1，所以{a n }是以3为周期的周期数列，S 100＝(a 1＋a 2＋a 3)×33＋2＝200.10.152[解析] 设等比数列的公比为q ，由a n ＋a n ＋1＝6a n －1知，当n ＝2时a 2＋a 3＝6a 1，再由数列{a n }为正项等比数列，a 2＝1，得1＋q ＝6q ，q 2＋q －6＝0，q ＝－3或q ＝2.∵q >0，∴q ＝2，∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152.11．－1 [解析] 由条件可知a 32＝－1，a 33＝1，a 34＝－1，a 35＝－1，a 24＝1，a 34＝－1，a 44＝1，从而原式＝－1.12.57 [解析] 分母相同的作为一组，可求得S 15＝12＋⎝⎛⎭⎫13＋23＋…＋⎝⎛⎭⎫16＋26＋…＋56＝152，S 21＝12＋⎝⎛⎭⎫13＋23＋…＋⎝⎛⎭⎫17＋27＋…＋67＝212>10，S 20＝13514<10，所以a k ＝a 20＝57.13．[解答] (1)由a 2＝2，a 5＝16，得q ＝2，解得a 1＝1， 从而a n ＝2n －1.(2)由已知得b 1＝16，b 8＝2，又b 8＝b 1＋(8－1)d ，解得d ＝－2，所以S n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝16n ＋n (n －1)2(－2) ＝－n 2＋17n ，由于S n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1722＋2894，n ∈N *，所以S n 的最大值为S 8＝S 9＝72.14．[解答] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1，a 2n －1＝4n (n ＋1)，故b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝141－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).15．[解答] (1)由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10， 即210(a 21＋a 22＋…＋a 30)＝a 11＋a 12＋…＋a 20， 可得210·q 10(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝a 11＋a 12＋…＋a 20.因为a n >0，所以210q 10＝1，解得q ＝12，因而a n ＝a 1q n －1＝12n ，n ＝1,2，….(2)因为{a n }是首项a 1＝12、公比q ＝12的等比数列，故S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋222＋…＋n2n ，T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1. 两式相减，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＋n2n ＋1＝n (n ＋1)4－12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＋n 2n ＋1，即T n ＝n (n ＋1)2＋12n －1＋n2n －2.16．[解答] (1)∵f ()1＝a ＝13，∴f ()x ＝⎝⎛⎭⎫13x ，a 1＝f ()1－c ＝13－c ，a 2＝[]f ()2－c －[]f ()1－c ＝－29，a 3＝[]f ()3－c －[]f ()2－c ＝－227.又数列{}a n 成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，所以c ＝1；又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *；∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1()n ≥2，又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1；数列{}S n 构成一个首项为1，公差为1的等差数列， ∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－()n －12＝2n －1； 上式对n ＝1也成立， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1， 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009得n >1 0009，满足T n >1 0002 009的最小正整数为112.。
高中数学必修五第二章数列
设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个 常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】 两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通 知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全 市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程 的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形 面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列 表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程： 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】
高中数学必修5目录
高中数学必修5目录第一章三角函数1.1 弧度制和角度制 1.2 三角函数的定义 1.3 三角函数的基本性质 1.4 三角函数的图像与性质 1.5 三角函数的应用第二章数列与数学归纳法2.1 数列的概念和表示方法 2.2 等差数列 2.3 等比数列 2.4 通项公式与求和公式2.5 数列的应用与推广第三章空间解析几何3.1 空间直角坐标系 3.2 点、线、面方程 3.3 空间几何问题的解法 3.4 空间几何问题的应用第四章二次函数4.1 二次函数的定义 4.2 二次函数的图像与性质 4.3 二次函数的最值与应用 4.4 二次函数与一次函数的关系第五章指数函数与对数函数5.1 指数函数的定义与性质 5.2 对数函数的定义与性质 5.3 指数函数与对数函数的图像与性质 5.4 指数方程与对数方程的解法与应用第六章三角恒等变换6.1 三角恒等变换的基本公式 6.2 三角恒等变换的证明方法 6.3 三角函数方程的解法与应用第七章三角函数图像与性质7.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质 7.2 正切函数、余切函数和割函数的图像与性质 7.3 诱导公式和和差化积公式 7.4 三角函数的应用第八章排列、组合和概率8.1 排列与组合的基本概念 8.2 排列与组合的计数原理 8.3 排列与组合的运算法则 8.4 概率的基本概念与计算第九章统计与数据分析9.1 调查与统计的基本概念 9.2 统计数据的整理与处理 9.3 统计指标的计算与应用 9.4 数据分析与解决问题第十章平面向量10.1 平面向量的概念与表示 10.2 平面向量的运算 10.3 平面向量与几何计算10.4 平面向量的线性相关与线性独立第十一章空间向量11.1 空间向量的概念与表示 11.2 空间向量的运算 11.3 点与向量的关系 11.4 空间向量的线性相关与线性独立以上是高中数学必修5的目录，包括了各个章节的名称和主要内容概述。
通过学习这本教材，学生将掌握三角函数、数列与数学归纳法、空间解析几何、二次函数、指数函数与对数函数、三角恒等变换、排列、组合和概率、统计与数据分析、平面向量和空间向量等内容，为进一步深入学习数学打下坚实的基础。
2-2-2-3等差与等比数列求和习题(苏教版必修5)
差与等比数列求和习题1.设{a n }是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1,2,3,…)，则n a =________. 2.数列{a n }中，a 1 =1，当n ≥2时，n 2= a 1 a 2 a n 恒成立，则=n a .3.数列{a n }中,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) ,则=n a .4.已知数列{a n }的前n 项和S n =1－5+9－13+…+(－1)n +1(4n －3)，则S 15+S 22－S 31= .5.已知数列{a n }中，11++=n n a n ，则S n = . 6.=++++++++)1(2113211211n . 7.设函数f (x )满足2f (n +1)=2f (n )+n ，f (1)=2则f (20)= .8.已知等比数列的前n 项和为S n ，若S 3 :S 2=3:2，则公比q = .9.在等差数列{a n }中，若S 4=21,a n －3+a n －2+a n －1+a n =67, S n =286,则n = .10.已知数列{a n }，（1）若11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，则=n a ；（2）若11=a ，n n a n n a 11+=+，则=n a ； （3）若11=a ，)2(121≥+=-n a a n n ，则=n a ；（4）若前n 项和S n =3n 2+n +1，则=n a ；（5）若211=a ，n n a n S 2=，则=n a ； 11.设a 1=2,a 2=4，b n =a n +1－a n ，b n +1=2b n +2，（1）求证：数列{b n +2}是公比为2的等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式.12．已知数列{a n }的前n 项为S n ，且满足21),2(0211=≥=⋅+-a n S S a n n n （1）求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列； （2）求n a .13.设数列{a n }满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （1）求数列{a n }的通项； （2）设a n b n =n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．14.正数数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ，求：（1）数列{a n }的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：2B n <115.数列{a n }中，a 1=8,a 4=2,，满足a n +2－2a n +1+a n =0,n=1,2, …（1）数列{a n }的通项公式；（2）设n n n n b b b S N n a n b ++=∈-=21*),()12(1，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有32m S n >总成立，若存在求出m ，若不存在说明理由.参考答案1、n 12、⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2,11,12n n n n a n 3、3n +3 4、－76 5、11-+n 6、2+n n 7、97 8、1或21- 9、26 10（1）n 2 （2）n 1 （3）2n －1 （4）⎩⎨⎧≥-=2,2615n n n ， （5）)1(1+n n11、证明：222)22(221=+++=+++n n n n b b b b ，又421=+b ∴数列{b n +2}是公比为2的等比数列。
高中数学 等差、等比数列的综合应用同步练习 文 苏教版必修5
高中数学 等差、等比数列的综合应用同步练习 文 苏教版必修51. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为 （ ）A. 15B. 17C. 19D. 212. 已知数列{a n }的通项公式a n =3n －2，在数列{a n }中取a k1，a k2，a k3，…，a kn ，… 成等比数列，若k 1=2，k 2=6，则k 4的值 （ ）A. 86B. 54C. 160D. 2563. 数列}{n a 中，a l = l ，a 2 = 2+3 ，a 3 = 4+5+6 ，a 4 = 7+8+9+10 ，则a 10的值是 （ ）A. 750B. 610C. 510D. 5054. {}n a 是等差数列，S 10>0，S 11<0，则使n a <0的最小的n 值是 （ ）A. 5B. 6C. 7D. 85. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 （ ）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项6. 数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅。
则数列的第100项为（ ） A.10012 B. 5012 C. 1100 D. 1507. 在等差数列{n a }中，4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。
8. 求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和。
9. 设)(,)2()(x f x x a x x f =+=有唯一解，,,2,1,)(,10021)(10 ===-n x x f x f n n （1）问数列}1{nx 是否是等差数列？（2）求2003x 的值。
【试题答案】1. B2. A3. D4. B5. A6. D7. 解法1：∵4a ＝1a ＋3d ，∴ －15＝1a ＋9，1a ＝－24，∴ n S ＝－24n ＋2)1(3-n n ＝23[（n －651）2－36512]，∴ 当|n －651|最小时，n S 最小，即当n ＝8或n ＝9时，8S ＝9S ＝－108最小 解法2：由已知解得1a ＝－24，d ＝3，n a ＝－24＋3（n －1），由n a ≤0得n ≤9且9a ＝0，∴当n ＝8或n ＝9时，8S ＝9S ＝－108最小8. 解：由1007<n 得 72147100=<n∴正整数n 共有14个即M 中共有14个元素 即：7，14，21，…，98 是为首项71=a 9814=a 的集合 ∴ 7352)987(14=+⨯=n S答：略9. （1）由210)2(-==⇒+=a x x x a xx 或，所以由题知21021==-a a 211122)(,22)(1111=-⇒+==∴+=----n n n n n n x x x x x f x x xx f 又因为10021,10021)(101===x x f x 所以 所以数列}1{n x 是首项为1002，公差等于21的等差数列（2）由（1）知20031,200321)12003(11200312003=∴=⋅-+=x x x。
高中数学 等差、等比数列的简单综合同步练习 文 苏教版必修5
高二数学苏教版（文）等差、等比数列的简单综合同步练习（答题时间：25分钟）1、等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54？2、某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？3、已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，求证S 7，S 14－S 7，S 21－S 14成等比数列。
（注意：是证明不是问答形式）4、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列。
5、在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积。
【试题答案】1、解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项和为n S则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n 解之得：3,921-==n n （舍去） ∴等差数列－10，－6，－2，2…前9项的和是542、分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和.解：设每年的产量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5，q ＝1+10%＝1.1，S n ＝30 ∴1.11)1.11(5--n ＝30， 整理可得：1.1n ＝1.6两边取对数，得n lg1.1＝lg1.6，即：n ＝1.1lg 6.1lg ≈5 答：约5年内可以使总产量达到30万吨.3、证：（1）①当q ＝1时，7S ＝71a ，14S ＝141a ，14S －7S ＝141a －71a ＝71a ，21S －14S ＝211a －14a 1＝71a∴7S ，14S －7S ，21S －14S 为以71a 为首项，1为公比的等比数列.②当q ≠1时，7S ＝()()()qq a S q q a S q q a --=--=--11,11,11211211411471 ()()q q a q q a S S -----=-111171141714()qq q a --=11771 ()()q q a q q a S S -----=-11111412111421()q q q a --=11771 ()()22714212714)1(1q q q a S S --=-∴()()q q q a q q a S S S --⋅--=-⋅1111)(71417114217()2271421)1(1q q q a --=∴()2714S S -＝)(14217S S S -⋅ ∴7S ，14S －7S ，21S －14S 成等比数列.［这一过程也可如下证明：14S －7S ＝)(14321a a a a +++－)(7321a a a a +++＝141098a a a a +++＝)(73217a a a a q +++＝77S q 0≠同理，21S －14S ＝21171615a a a a +++＝ 714S q 0≠∴7S ，14S －7S ，21S －14S 为等比数列.4、分析：由题意可得S 3+S 6＝2S 9，要证a 2，a 8，a 5成等差数列，只要证a 2+a 5＝2a 8即可。
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差与等比数列求和习题
1.设{a n }是首项为1的正项数列，且()0
11221=+-+++n n n n a a na a n (n =1,2,3,…)，则n a =________. 2.数列{a n }中，a 1 =1，当n ≥2时，n 2= a 1 a 2 a n 恒成立，则=n a .
3.数列{a n }中,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) ,则=n a .
4.已知数列{a n }的前n 项和S n =1－5+9－13+…+(－1)n +1(4n －3)，则S 15+S 22－S 31= .
5.已知数列{a n }中，11++=
n n a n ，则S n = . 6.=++++++++)
1(2113211211n . 7.设函数f (x )满足2f (n +1)=2f (n )+n ，f (1)=2则f (20)= .
8.已知等比数列的前n 项和为S n ，若S 3 :S 2=3:2，则公比q = .
9.在等差数列{a n }中，若S 4=21,a n －3+a n －2+a n －1+a n =67, S n =286,则n = .
10.已知数列{a n }，
（1）若11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，则=n a ；
（2）若11=a ，n n a n n a 1
1+=+，则=n a ； （3）若11=a ，)2(121≥+=-n a a n n ，则=n a ；
（4）若前n 项和S n =3n 2+n +1，则=n a ；
（5）若2
11=a ，n n a n S 2=，则=n a ； 11.设a 1=2,a 2=4，b n =a n +1－a n ，b n +1=2b n +2，
（1）求证：数列{b n +2}是公比为2的等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式.
12．已知数列{a n }的前n 项为S n ，且满足2
1),2(0211=
≥=⋅+-a n S S a n n n （1）求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列； （2）求n a .
13.设数列{a n }满足211233333
n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （1）求数列{a n }的通项； （2）设a n b n =n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
14.正数数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ，求：
（1）数列{a n }的通项公式； （2）设11+=
n n n a a b ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：2B n <1
15.数列{a n }中，a 1=8,a 4=2,，满足a n +2－2a n +1+a n =0,n=1,2, …
（1）数列{a n }的通项公式；
（2）设n n n n b b b S N n a n b ++=∈-=21*),()
12(1，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有32
m S n >
总成立，若存在求出m ，若不存在说明理由.
参考答案
1、n 1
2、⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-==2,11,12n n n n a n 3、3n +3 4、－76 5、11-+n 6、2+n n 7、97 8、1或2
1- 9、26 10（1）n 2 （2）
n 1 （3）2n －1 （4）⎩⎨⎧≥-=2,2615n n n ， （5）)1(1+n n 11、证明：22
2)22(221=+++=+++n n n n b b b b ，又421=+b ∴数列{b n +2}是公比为2的等比数列。
解：222242111-=∴=⋅=+++-n n n n n b b ，
由累加法知 n a n n 221-=+
12、解：（1）2≥n 时，由题知，S n －S n －1=－2 S n S n －1即2111=--n n S S 又211=S 故⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是以2为首项，2为公差的等差数列。
∴
n S n 21= （2）2≥n 时，a n =S n －S n －1=）
（n n -121 13、解：（1）由题知2≥n 时，211233333n n n a a a a -++++=…且31331221-=+++--n a a a n n
两式相减知3131=-n n a ， 故n n a 3
1=。
验证1=n 也符合。
故数列{a n }的通项n n a 31=。
（2）由题知n n n b 3⋅=
由错位相减n n n S 33232⋅+⋅+=
13233233+⋅++⋅+=n n n S
知13)4
12(43+-+=n n n S 14、解：（1）由题知1111==--S S S n n 又故2n S n =
1221-=∴-=≥-n a S S a n n n n n ，
时， 又1=n ，符合上式。
故12-=n a n
（2）)1
21121(21+--=
n n b n 211)1211(21<≥+-=∴n n B n n B 故，又 15、解：（1）由题知{a n }是首项为8，公差为-2的等差数列， n a n 210-=∴
（2）)111(21+-=
n n b n ，)1
11(21+-=∴n S n 要使得任意的n 均有32m S n >总成立，min )32(n S m <即可。
)16,8[32∈n S ，7=∴m 即可。