30.1_二次函数的基本概念课件
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《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
二次函数性质ppt课件
二次函数性质ppt课 件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图象变换 • 二次函数的应用 • 习题与解答
01
二次函数的基本概 念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$ 。
详细描述
二次函数是数学中一种常见的函 数形式，其定义是基于变量的二 次方。在定义中，$a$、$b$和 $c$是常数，且$a neq 0$。
最值
总结词
当a>0时，二次函数有最小值；当a<0时，二次函数有最大 值。最值出现在对称轴上，即x=-b/2a处。
详细描述
由于抛物线的开口方向由系数a决定，当a>0时，抛物线有最 小值；当a<0时，抛物线有最大值。这些最值出现在对称轴 上，即x=-b/2a处。最值的y坐标可以通过公式c-b^2/4a计 算得出。
03
二次函数的图象变 换
平移变换
平移变换是指将二次 函数的图象沿x轴或y 轴进行移动。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿y轴平移k个单位 ，得到新的函数为 y=ax^2+bx+c-k。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿x轴平移k个单位 ，得到新的函数为 y=ax^2+(b2ak)x+c+ak^2。
翻折变换
翻折变换是指将二次函数的图 象沿某条直线进行翻折。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿x轴翻 折，得到新的函数为y=-ax^2bx-c。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿y轴翻 折，得到新的函数为y=ax^2+bx-c。
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图象变换 • 二次函数的应用 • 习题与解答
01
二次函数的基本概 念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$ 。
详细描述
二次函数是数学中一种常见的函 数形式，其定义是基于变量的二 次方。在定义中，$a$、$b$和 $c$是常数，且$a neq 0$。
最值
总结词
当a>0时，二次函数有最小值；当a<0时，二次函数有最大 值。最值出现在对称轴上，即x=-b/2a处。
详细描述
由于抛物线的开口方向由系数a决定，当a>0时，抛物线有最 小值；当a<0时，抛物线有最大值。这些最值出现在对称轴 上，即x=-b/2a处。最值的y坐标可以通过公式c-b^2/4a计 算得出。
03
二次函数的图象变 换
平移变换
平移变换是指将二次 函数的图象沿x轴或y 轴进行移动。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿y轴平移k个单位 ，得到新的函数为 y=ax^2+bx+c-k。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿x轴平移k个单位 ，得到新的函数为 y=ax^2+(b2ak)x+c+ak^2。
翻折变换
翻折变换是指将二次函数的图 象沿某条直线进行翻折。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿x轴翻 折，得到新的函数为y=-ax^2bx-c。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿y轴翻 折，得到新的函数为y=ax^2+bx-c。
二次函数-PPT课件
a2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：分段处理，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0， ＋∞)上是增函数；y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在 (－∞，0)上是增函数，因为(x2＋4x)－(4x－x2)＝ 2x2≥0，所以f(x)在R上是增函数，由题意得2－ a2>a，解得－2<a<1.故选C.
答案：C
2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数， 则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )
A．减函数
B．增函数
C．常函数 是常函数
D．可能是减函数，也可能
解析：∵f(x)为偶函数，∴a2－1＝0，即a＝±1，
当a＝1时，f(x)＝1为常函数．
当a＝－1时，f(x)＝－2x2＋1，在[0，＋∞)上为 减函数．
对称性
图象关于直线 x＝－2ba成轴对称图形
1．若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 满足 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)
等于( )
A．－2ba
B．－ba
C．c
4ac－b2 D. 4a
解析：由已知 f(x1)＝f(x2)且 f(x)的图象关于 x＝－2ba对称，∴x1 ＋x2＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝a·ba22－b·ba＋c＝c.
答案：C
2．(2010·安徽高考)设abc>0，二次函数f(x)＝ ax2＋bx＋c的图象可能是( )
解析：若 a>0，b<0，c<0，则对称轴 x＝－2ba>0， 图象与 y 轴的交点(c,0)在负半轴上．故选 D. 答案：D
冀教版九年级下册数学课件30.1二次函数 (共25张PPT)
y=6x2① d12n223n②
y2x0 24x0 2③ 0
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变 量x的 整式
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为 y=6x2①
问题:
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产
量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 9:32:56 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/262021/8/262021/8/26Aug-2126-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/262021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021
y2x0 24x0 2③ 0
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变 量x的 整式
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为 y=6x2①
问题:
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产
量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 9:32:56 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/262021/8/262021/8/26Aug-2126-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/262021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021
《二次函数》课件
3 经济模型
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数课件ppt
总结与回顾
主要知识点回顾
01 02
二次函数的定义
二次函数是一种特殊的函数形式，表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a 、b、c为常数，a≠0。它的图像为抛物线，具有开口方向、顶点、对称 轴等特征。
二次函数的性质
二次函数具有极值、单调性、最值等性质，这些性质在解决实际问题中 有着广泛的应用。
二次函数的性质
开口方向
总结词
指二次函数图像的向上或向下方 向。
详细描述
二次函数开口方向取决于二次项 系数a的正负。当a>0时，开口向 上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标
总结词
指二次函数图像的最高或最低点坐标。
详细描述
二次函数的顶点坐标通常由二次项系数a、一次项系数b及常数项c决定，一般表 达式为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
逐步深入学习
学习二次函数要由浅入深，从基础知识点开始学习，逐步深入掌握其 应用方法，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来的展望
拓展应用领域
二次函数是数学中一个非常重要的概念，其应用领域广泛，未来可以将其应用到各个领域 中，如物理学、经济学、工程学等。
深化研究
二次函数还有许多未被探索的领域和性质，未来可以通过不断深化研究来发现新的理论和 应用成果。
学习目标
01
02
03
04
理解二次函数的基本概念和形 式。
掌握二次函数的图像和性质。
学会应用二次函数解决实际问 题。
熟悉二次函数与一元二次方程 的关系。
CHAPTER 02
二次函数的基本概念
二次函数定义
形如y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数称为二次函数。 其中x为自变量，y为因变量。
主要知识点回顾
01 02
二次函数的定义
二次函数是一种特殊的函数形式，表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a 、b、c为常数，a≠0。它的图像为抛物线，具有开口方向、顶点、对称 轴等特征。
二次函数的性质
二次函数具有极值、单调性、最值等性质，这些性质在解决实际问题中 有着广泛的应用。
二次函数的性质
开口方向
总结词
指二次函数图像的向上或向下方 向。
详细描述
二次函数开口方向取决于二次项 系数a的正负。当a>0时，开口向 上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标
总结词
指二次函数图像的最高或最低点坐标。
详细描述
二次函数的顶点坐标通常由二次项系数a、一次项系数b及常数项c决定，一般表 达式为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
逐步深入学习
学习二次函数要由浅入深，从基础知识点开始学习，逐步深入掌握其 应用方法，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来的展望
拓展应用领域
二次函数是数学中一个非常重要的概念，其应用领域广泛，未来可以将其应用到各个领域 中，如物理学、经济学、工程学等。
深化研究
二次函数还有许多未被探索的领域和性质，未来可以通过不断深化研究来发现新的理论和 应用成果。
学习目标
01
02
03
04
理解二次函数的基本概念和形 式。
掌握二次函数的图像和性质。
学会应用二次函数解决实际问 题。
熟悉二次函数与一元二次方程 的关系。
CHAPTER 02
二次函数的基本概念
二次函数定义
形如y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数称为二次函数。 其中x为自变量，y为因变量。
二次函数说课ppt课件ppt课件ppt课件
详细描述
二次函数在日常生活中有着广泛的应用，如最优化问题、经济模型、物理学中的抛物线 运动等。通过这些实际应用场景，学生可以更好地理解二次函数的实际意义和重要性。
物理中的二次函数
总结词
运动轨迹、能量变化
VS
详细描述
在物理学中，二次函数经常用于描述物体 的运动轨迹，如抛物线运动。此外，在能 量守恒问题中，二次函数也经常出现，用 于描述能量随时间的变化关系。通过与物 理学的结合，学生可以更深入地理解二次 函数的物理意义。
因式分解法
要点一
总结词
通过因式分解将二次函数转化为两个一次函数的乘积，便 于分析函数的零点、单调性和值域。
要点二
详细描述
因式分解法是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 两个一次函数的乘积，如 $f(x) = (ax + b)(cx + d)$。通 过因式分解，可以方便地找到函数的零点（即 $f(x) = 0$ 的解），分析函数的单调性（根据导数符号判断）和值域 （根据函数图像和定义域判断）。
数学竞赛中的二次函数
总结词
难度高、技巧性强
详细描述
在数学竞赛中，二次函数经常作为压轴题目 出现，难度较高，技巧性强。通过解决这类 问题，学生可以提高自己的数学思维能力和 解决问题的能力，为未来的学习和竞赛打下 坚实的基础。
CHAPTER 04
二次函数的解题策略
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分 析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时 ，抛物线开口向下。系数$b$和$c$决定了抛物线的位置和顶点。通过研究二次 函数的图像，我们可以更好地理解其性质和特点。
二次函数图ppt课件
02 二次函数的图像性质
CHAPTER
开口方向
总结词：由二次项系数决定 a>0时，向上开口；a<0时，向下开口。
顶点坐标
01
总结词：由公式 y=ax^2+bx+c(a≠0)直接读
02
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐 标为y=4ac-b^2/4a。
对称轴
总结词：对称轴是直线x=-b/2a
二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与y轴平行。
二次函数的表达式由三部分组成，分 别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。这些系数可以根据实际 情况进行选择和调整。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个开口方向由系数$a$决定的抛物线。当$a > 0$时，抛物 线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，抛物线的对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$ 。
二次函数图PPT课件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像性质 • 二次函数的应用 • 二次函数与其他知识点的联系 • 练习题与答案
01 二次函数的基本概念
CHAPTER
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中$a, b, c$为常数，且$a neq 0$。
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
二次函数-PPT-课件资料
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知识点详解
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的 关系： (1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月 利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y
=-2x2+20x(0<x<10) (2)y=-2×32+20×3=42m
x
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课堂总结
1.定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数 叫做x的二次函数。 2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式，自变量x的最高次是二次，自变 量x的取值范围是全体实数。 3.二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a≠0) a是二次项系数,b是一次项系数, C是常数项
4＋2p＋q=－5,即：2p＋q=－9 (2)
解(1)、(2),得：
p=－12、q=15
则：y=x²－12x＋15
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例题详解
2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三
角形 (图中阴影部分 ) ，设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH
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第二十二章 ·二次函数
二次函数
精品模版-助您成长
温故知新
1、一元二次方程的一般形式是什么？
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2、函数定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的 值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。 3、一次函数，正比例函数的一般形式是什么？ 一次函数：y=kx+b（k,b是常数，k≠0） 正比例函数：y=kx（k是常数，k≠0）
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问题2: 多边形的对角线数 d 与 边数 n 有什么关系？ n n边形有＿＿个顶点 ,从一个顶
点出发,连接与这点不相邻的各顶点, (n－3) 可作＿＿＿条对角线 . 因此 ,n 边形的对 1 n(n － 3) 角线总数 d =＿＿＿＿＿＿ . 2 1 2 3 d= n － n 即: 此式表示了多边形 2 2
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二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c
(a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： 当b＝0，c＝0时， y＝ax2 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx
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例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1) y=3(x－1)² +1 (是) (2)y=x+ 3 (否) (否) (3)s=3－2t² (是) (4)y=(x+3)² －x² 1 __ (5)y= －x (否) (6)v= r ² (是) x² (7) y=x² +x³ +25 (否) (8)y=2² +2x (否) (9)y=mx² +nx+p (m,n,p为常数）
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例2. y=(m+3)x (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?
m2－ 7
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看谁算得快!
1 2 k 2 k 1 1.函数 y (k 2 ) x 是一次函数，求k的值。
2
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函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且
对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应, 那么就说y是x的函数, x是自变量.
函数及函数的类型:
一次函数 函 数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数
k y= x
(k≠0)
二次函数
y=ax² +bx+c
60 2 a 解: S a a(30 a ) 2 2 a 30a
S是 a 的二次函数。
a
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小结
拓展
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫 做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二 次项系数、一次项系数和常数项. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次, 自变量x的取值范围是全体实数.
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一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是 函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的整式 (2) a,b,c为常数，且 a≠0. (3)等式右边的最高次数为 2 ，可以没有一次项和 常数项，但不能没有二次项. (4) 自变量x的取值范围是 任意实数
k y= x
(k≠0)
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一起研究
横向比纵 向每排多5 快
1、设纵向 每排有n快
灰色总数 为y=? 2、白色总 数
为z=?
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问题1:
正方体六个面是全 等的正方形,设正方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的 关系式为＿＿＿＿ y=6x2 .
此式表示了正方体的表面积y与棱长x之 间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值, 即y是x的函数.
的对角线数d与 边数n之间的关系,对于n的 每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.
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某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今 后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两 年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定, y与x之间 的关系怎样表示?
问题3:
20(1+x) 件, 这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 再经过一年后的产量是 2 20(1+x)2 y=20(1+x) 件,即两年后的产量为: .
即: y=20x2+40x+20 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x 之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值, 即y是x的函数.
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观察下列函数有什么共同点: y=6x2
1 2 3 d= 2 n －2 n
y=20x2+40x+20
函数都是用自变量 的二次式表示的.
一般地,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0) 的函数,叫做二次函数. 其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的 二次项系数、一次项系数和常数项.
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九年级数学 刘荣格
2014年12月15日
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回顾函数:
在一个变化过程中,如果有两个变量x与y, 并且对于 x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数
函 数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数
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课后巩固
1、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量 就会减少10个,设售价定为X元(x＞50)时的利 润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按 所求的函数关系式计算出售定价为80元时所 得利润
２、二次函数y ax c， 当x=0时，y=-2；当 y=-2时，x=0，求y=2时，x的值。
0
2.函数 y (m 1) x 3.函数
2
m2 m
2
mx1 是二次函数， 求m的值。
m2 m
y (m m) x
2
是二次函数，ห้องสมุดไป่ตู้求m的值
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例3、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
面积S(m² )与矩形一边长a(m)之间的关系是什
么？是函数关系吗？是哪一种函数？