1.1.2弧度制

复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定10角 的？角度制的单位有哪些，是多少进制 的？ 答：把圆周360等分，其中1份所对的圆 心角是1度；角度制的单位有度、分、秒 三种，规定60分等于1度，60秒等于1分， 是60进制.
新概念
为使用方便，我们经常会用到一种十进制的 度量角的单位制-----弧度制. 规定：
正实数 零 负实数 实数集R
对应角的 弧度数
正角
零角 负角 角的弧度数
三、角度制与弧度制互换:
(1)将角度化为弧度：
360 2 rad
180 n 0 180 rad n _____ 1
180 rad

rad
练习：
把下列角度化成弧度:
(1)22°30‘; (2)-210º ； （3）1200°
三、角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度：
2 360

180
180 1rad ( ) 57.30 5718'
n _____
180 n
0
练习
把下列弧度化成度：
（1）

12
;
4 ; （2） 3
3 （3） . 10
填一填：
注意：
度数
弧度 数
.
点评：本题实际上是第一节相关区域角表示方法在弧 度制下的具体应用，目的是使同学们进一步熟悉用弧度制， 并体会弧度制表示区域角的优点．
5、 用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非 负半轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合 (包括边界)．
解析：(1)图(1)中的阴影部分表示为 {α|45°＋k· 180°≤α≤90°＋k· 180°，k∈Z}，
π π ＋ kπ ≤ α ≤ ＋ kπ ， k ∈ Z α 化为弧度制为 4 2
24
例4 、 将下列各角化2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)
的形式，并指出是第几象限角？
31 19 (1)1140° ；(2)－ π；(3) π；(4)－315° . 6 6
19 π 19 π 解析：(1)1140° ＝ π＝6π＋ ， π 与 的终边相同， 3 3 3 3 19 故 π 是第一象限角； 3 31 5π 31 5π (2)－ π＝－6π＋ ，－ π 与 的终边相同，是第 6 6 6 6 二象限角； 19 7π 3π (3) π＝2π＋ ，是第三象限角；(与 π 及 比较) 6 6 2 π (4)－315° ＝－360° ＋45° ＝－2π＋ ，是第一象限角． 4
1．角度制：半径为R，圆心角为n°的 扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分 别为： nπ·R 2 nπ·R l＝ 180 弧长l＝________ ，扇形的面积S＝ 360 ________.
(1)弧长公式： l
r 1 1 2 (2)扇形面积公式: S l r r 2 2
前面我们说到，1弧度比600稍小一点，那么1弧度 到底是多少度呢？你能否解决这个问题？
3.思考：一个周角的弧度数是多少？一个平角的弧度 数是多少？一个直角的弧度呢？ 答：分别为 2 , ,

2
弧度.
4.角的弧度数的绝对值：
l r
B
Oபைடு நூலகம்
1rad
r 注： “弧度”不是弧长，它 A 是一个比值。值有正负。
式； (2)若β∈[－4π，0]，且β与－1480°角的终边相同， 求β.
74π 16π 解析： (1)－1480° ＝－ ＝－10π＋ 9 9 16π ＝2×(－5)π＋ ； 9 (2)β 与－1480° 角的终边相同， 16π ∴β＝2kπ＋α＝2kπ＋ ， 9 又∵β∈[－4π，0]， 16π 2π 16π 20π ∴β1＝－2π＋ ＝－ ，β2＝－4π＋ ＝－ . 9 9 9 9
【总一总★成竹在胸】
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度的定义.
3. “角度制”与“弧度制”的联系与区
别． 4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决 有关问题.
自测自评
1．下列说法正确的是( ) A．1弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角
3.象限角的表示
第一象限角为： (2k , 第二象限角为： (

2
2k ), k Z

2
2k , 2k ), k Z
第三象限角为： ( 2k , 第四象限角为： (

2
2k ), k Z

2
2k , 2k ), k Z
4、弧长及扇形面积公式:
l r
提问：为什么可以用弧长与其半 提问：为什么可以用弧长与其 半径的比值来度量角的大小呢？即 径的比值来度量角的大小呢？即这 B 这个比值是否与所取的圆的半径大 个比值是否与所取的圆的半径大小 小有关呢？ 有关呢？ L B`
O r R A`
n°
l A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
其中l是扇形弧长，r是圆的半径
例2:在半径为R的圆中，240º 的圆心角 所对的弧长为 扇形的圆心角等于 ，面积为2R2的 弧度。
4 4 解:(1)240º = ，根据l=αR，得 l R 3 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ，且S=2R2 2 2
4
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式: 1 1 2 1 l R 2 S 2 R 3 S 2 lR
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
0º
0

6

4

3
2 3 5
2 3 4 6
3 2
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通 常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省略。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形 式。如无特别要求，不用将π化成小数。 4、弧度与角度不能混用．
2k , k Z 2 终边落在y轴的正半轴的角的集合 ；
2k , k Z 2 ； y轴的负半轴的角的集合 k , k Z 终边落在x轴上的角的集合 ；
k , k Z 2 。 y轴上的角的集合
B
r
O
r
A
AOB 1弧度 1rad 1,
注：弧度单位可省略，角度 单位不能省略！
小练习：
1.圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、r/2的弧所对的圆心 角分别为多少？ 答：分别为2弧度、3弧度、1/2弧度. 2.思考：圆心角的弧度数取决于什么呢？是半径还是 圆弧长？
答：无关，若圆弧长为L，半径为r，则圆心角
Z 2k , k ； k , k Z。
说明：在用四则运算表示角时，单位要统 一，不能出现诸如300+2kπ,或π/2+k.3600 等错误表示法！
2 k , k Z 2.终边落在x轴的正半轴的角的集合 ；
x轴的负半轴的角的集合 2k , k Z ；

其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为 圆心角,S是扇形面积.
23
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式(０<α<2π): 1 1 2 3 S 1 l R 2 S 2 R 2 lR l 证明:(1)由公式 = 得l=αR
r
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是 l 2 n R n R l ,S 180 360 α rad n r n°转换为弧度 180 1 1 S R2 S lR 2 2
解析： ∵1 rad＝ 180° ＝57.3°＝57°18′，
π
其大小与圆的半径无关．
答案：A
2．某扇形的面积为1 cm2，周长为4 cm，那 么该扇形圆心角的弧度数为( A．2° B．2 ) D． 4
C． 4 °
4 解析：∵4＝|α|· R＋2R⇒R＝ ， 2＋|α| 1 且 1＝ |α|· R2， 2 1 4 2 ∴1＝ |α|·|α|＋2 ，解得|α|＝2，故选 B. 2 答案： B
小结
复习回顾：1度的角等于多少弧度？ 1rad的角等于多少角度？
1

180
rad
180 1rad ( ) 57.30 5718'

复习：1、把下列弧度化为角度，角度 化为弧度？
17 17 0 0 (1) 180 255 12 12 5 5 0 0 0 ( 2) 180 112.5 112 30 8 8
；
(2)图(2)中的阴影部分表示为 {α|k· 90°≤α≤45°＋k· 90°，k∈Z}，
化为弧度制为
kπ π kπ α ≤α≤ ＋ ，k∈Z 2 4 2
；
(3)图(3)中的阴影部分表示为
{α|－120°＋k· 360°≤α≤150°＋k· 360°，k∈Z}，
2π 5π － ＋ 2 k ·π ≤ ＋ 2 k ·π ， k ∈ Z 化为弧度制为 α 3 6
3. 若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多 少度？多少弧度？分针转了多少度？多少弧 度？
解析： 钟表拨慢30分钟，按逆时针方向旋转， 为正角．
360° π 时针转了30× 12×60 ＝15°，表示15°，12
弧度；
360° 分针转了30× 60 ，表示180°，π弧度．
4．(1)把－1480°角化成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形