第二章圆锥曲线与方程 2.1、2.2单元检测A卷

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第2章圆锥曲线与方程单元测试(A卷基础篇)(人教A版)(原卷版)

第二章圆锥曲线与方程单元测试(A卷基础篇）（人教A版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（2018秋•杭州期末）方程mx2+（m+1）y2＝m（m+1）（m∈R）表示的曲线不可能是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．直线2．（2018秋•宜春期末）对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为3．（2019春•内江期末）方程mx2+y2＝l表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1）D．（0，2）4．（2018秋•大武口区校级期末）平面内到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹（）A．椭圆B．线段C．两条射线D．双曲线5．（2018秋•禹州市校级月考）下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是（）A．y B．lnx+lny＝0C．x D．x＝|y|6．（2018秋•莲都区校级月考）双曲线9y2﹣4x2＝1的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x7．（2018秋•娄底期末）设椭圆（m＞0，n＞0）的一个焦点为（0，﹣2），离心率为，则m ﹣n＝（）A．8﹣4B．2 4 C．48 D． 28．（2018秋•商丘期末）AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．9．（2019春•大兴区期末）已知直线y＝kx+2（k∈R）与椭圆1恒有公共点，则实数t的取值范围是（）A．（0，4] B．[4，9）C．（9，+∞）D．[4，9）∪（9，+∞）10．（2019春•安徽期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为2，其渐近线方程为y＝±x，则焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．211．（2019春•上饶期末）已知点F是抛物线x2＝4y的焦点，点P为抛物线上的任意一点，M（1，2）为平面上点，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．3 B．2 C．4 D．12．（2019•陕西三模）已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2019春•自贡期末）椭圆y2＝1的焦距长为14．（2008秋•贾汪区校级月考）直线x＝a和函数y＝x2+1的图象最多有个公共点．15．（2019春•徐汇区校级月考）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是．16．（2019•威海二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p＝．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019春•浦东新区期中）求曲线x2+y2＝1与直线y＝x+1的交点坐标．18．（12分）（2019春•浦东新区期中）已知双曲线的一个焦点为（5，0），其渐近线方程为，求此双曲线的标准方程．19．（12分）（2019春•遂宁期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求顶点在原点，准线方程为x＝4的抛物线的方程．20．（12分）（2019春•福州期中）已知椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．（1）求椭圆的方程；（2）经过点M（1，）作直线l，交椭圆于A，B两点．如果M恰好是线段AB的中点，求直线l的方程．21．（12分）（2018秋•海淀区期末）椭圆的左焦点为F，过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆交于不同两点A，B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求|AB'|的取值范围．22．（12分）（2019•东湖区校级三模）已知离心率为的椭圆过点，A，B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P在椭圆C上且不与四个顶点重合．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线P A与y轴交于N，直线PB与x轴交于M，试探究|AM|•|BN|是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程高效测评新人教版

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程高效测评新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知曲线C 的方程为x 3＋x ＋y －1＝0，则下列各点中在曲线C 上的点是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(1,1)D ．(－1,1)解析：点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )上⇔f (x 0，y 0)＝0. 答案： B2．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，故选B.答案： B3．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析：设P (x ，y )，∵k PA ＋k PB ＝－1， ∴y －0x －－＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)．答案： B4．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是( )解析：原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，需x 2＋y 2－4有意义，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分及圆x 2＋y 2＝4.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．解析：将点P 的坐标(2，－3)代入曲线方程，可得22－a ·(－3)2＝1，解得a ＝13.答案： 136．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是____________．解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1. 又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋x 02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2. 答案： y ＝4x 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解析：因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0或者x －3－1＝0，也就是2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.8．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解析： (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.∴m 的值为2或－185.9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析：方法一(直接法)：如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得 |OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2xy 1＝2y，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点).。

高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测卷含解析

选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.2－12 D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) A ．2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋m D ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( ) A ．5 6 B ．6 5 C ．10 2 D ． 5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r|等于( )A ．3B ．6C ．1D ．2第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ ___________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF u u u r＝3FB u u u r，则k ＝________.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (p,0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OA u u u r ·OB uuu r ＝________.16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_ _______. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(本小题满分12分)已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．19.( 本小题满分12分)已知两个定点A (－1,0)、B (2,0)，求使∠MBA ＝2∠MAB 的点M 的轨迹方程．20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA u u u r ·PB u u u r ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)．21.( 本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA u u u r ＝m FA u u u r ，MB u u u r ＝n FB u u u r，求m ＋n 的值．选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDDABBABACB【第5题解析】2201.02.21 3.x y b y x a c ======∴=-=时，时，故选A.【第6题解析】2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－m 2－1＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.故选B.【第7题解析】∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a ，|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m ，∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ..故选B. 【第8题解析】如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.故选A. 【第9题解析】由题意B 为抛物线的焦点．令A 的横坐标为x 0，则|AB |＝x 0＋1＝1，∴x 0＝0.故选B. 【第10题解析】由题得2,0|3,26,P p x y ∴=∴=±焦点的坐标为（），PM|=5,1526562PFM S ∆∴=⋅⋅= .故选A.【第11题解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x消去y 得，k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝[－4(k ＋2)]2－4k 2×4＝64(1＋k )>0，解得k >－1，由x 1＋x 2＝4k ＋2k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2.故选C. 【第12题解析】因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.填空题答案第13题 22或2－1 第14题 3 第15题－p 2第16题2【第14题解析】设直线l 为抛物线的准线，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，由AF →＝3FB u u u r ，∴cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴tan∠BAE ＝ 3.即k ＝ 3.故填 3.【第15题解析】直接取两个特殊点1212(2)(,2)A p B p OA OB x x y y -∴⋅=+u u u r u u u r和，222p p =-2p =-.故填－p 2.【第16题解析】设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2. 故填2. 【第17题答案】x 24－y 2＝1.【第17题解析】由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5c 2＝a 2＋b 2c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 【第19题答案】点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)．【第19题解析】设动点M 的坐标为(x ，y )．设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β， ∴tan α＝tan 2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β.① (1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y >0)； (2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时， tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y <0)；(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0. 综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)．【第20题答案】（1）x 2＝2y ；（2）证明见解析. 【第20题解析】(1)解 ∵A (0，－2)，B (0,4)， ∴PA →＝(－x ，－2－y )，PB →＝(－x,4－y )．【第21题答案】（1）抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；（2）符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【第21题解析】(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 【第22题答案】（1）x 25＋y 2＝1；（2）m ＋n ＝10.【第22题解析】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)，则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝255. 得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.FA u u u r ＝ (x 1－2，y 1)，FB u u u r＝(x 2－2，y 2)．∵MA →＝m FA u u u r ，MB →＝n FB u u u r ，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－2x 1＋x 24－2x 1＋x 2＋x 1x 2，又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k2 ＝－101＋5k2， 4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2 ＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2， ∴m ＋n ＝10.。

新人教版圆锥曲线测试卷

第二章圆锥曲线与方程单元测试一．选择题：（60分）1．方程x =所表示的曲线是（）（A ）双曲线（B ）椭圆（C ）双曲线的一部分（D ）椭圆的一部分2．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是（）（A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 3.双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 4. 抛物线y 2= 4x 上一点P 到焦点F 的距离是10, 则P 点的坐标是（）（A ）（9, 6）（B ）（6, 9）（C ）（±6, 9）（D ）（9,±6） 5. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2，则双曲线22221x y a b-=的离心率是（） A ．54 B ．2 C ． 32D ．4 6．若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 A ．2 B ．14C ．5D ．25 7、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（）.2A .2B - .1C .1D -8、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（） A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 10、设离心率为e 的双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e -<B ． 221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->11、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（）A ．332或2B ．332或2 C ．3或2 D ．3或2 12、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（）A.(B.⎡⎣C.(2,2)-D.[]2,2- 13（选做）、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．32二、填空题（20分）1．双曲线14522=-y x 的焦点到渐近线的距离等于 . 2. 椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为532，N MF 2∆的周长为20，则椭圆的离心率为 __________ 3、双曲线22221(,0)x y a b a b-=>和直线2y x =有交点，则它的离心率的取值范围是______________ 4．已知点P(6, y )在抛物线y 2=2p x (p ＞0)上，F 为抛物线焦点，若|PF |=8, 则点F 到抛物线准线的距离等于三、简答题（70分）1．(12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =223。

(完整word版)高中数学人教版选修1-1第二章圆锥曲线与方程单元测试卷(A)

第二章圆锥曲线与方程单元测试卷（A ）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4x B ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y2．已知两定点F 1(5,0)，F 2(－5,0)，曲线上的点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( )A ．x 29－y216＝1 B ．x 216－y29＝1 C ．x 225－y 236＝1D ．y 225－x 236＝13．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( )A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件4．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．(2015·福州月考)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )A ．y 216－x 29＝1B ．x 216－y 29＝1 C ．y 29－x 216＝1D ．x 29－y 216＝16．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．07．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．488．(2015·广东理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝19. (2015·吉林省实验中学一模)如图，F 1、F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1、C 2在第一象限的公共点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A ．13 B ．23 C ．23或25D ．2510.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 212＝1 B ．x 27－y 29＝1 C ．x 28－y 28＝1D ．x 212－y 24＝111．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，P 是抛物线上任一点，A (3,1)是定点，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．2B ．72 C ．3D ．1212. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝(b 2＋c )2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(55，35)B ．(25，55)C ．(25，35)D ．(0，55)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝______.14．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________.15．(2015·泗阳县模拟)两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为________.16．如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线； (2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线．18．(本题满分12分)方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．19．(本题满分12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y ＝2x＋1交于P，Q两点，|PQ|＝15，求抛物线的方程．20．(本题满分12分)(2015·天津理)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程．21．(本题满分12分)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．22．(本题满分12分)(2015·陕西文)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.第二章圆锥曲线与方程单元测试卷（A ）答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1． [答案] C[解析] ∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为：y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，将(－4,4)代入可得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2． [答案] A[解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝6<10＝|F 1F 2|，∴曲线为双曲线，且a ＝3，c ＝5，∴b ＝4，∴方程为x 29－y 216＝1.3． [答案] A[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0， ∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线．若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0， ∴m <－2或3<m <5，故选A ． 4． [答案] B [解析] 如图：∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆E 的右焦点为(2,0)，∴c ＝2， ∵c a ＝12，∴a ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝12.∵抛物线的准线为x ＝－2， ∴|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6. 5． [答案] C[解析] 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，因为双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，所以双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝5，又因为双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，所以a b ＝34，所以a ＝3，b ＝4，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.6． [答案] B[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点P 在⊙O 内部，又⊙O 在椭圆内部，∴点P 在椭圆内部， ∴过点P 的直线与椭圆有两个交点． 7．[答案] C[解析] 设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p2，由|AB |＝2p＝12，知p ＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12×12×6＝36.8． [答案] C[解析] 由于e ＝c a ＝54，由右焦点可得c ＝5，故a ＝4，从而b 2＝c 2－a 2＝9，故双曲线方程为x 216－y 29＝1，选C ．9. [答案] B[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得，|AF 1|＝|F 1F 2|＝2c ＝21＋3＝4， ∴c ＝2，|AF 1|－|AF 2|＝2，∴|AF 2|＝2，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6，∴a ＝3，∴e ＝c a ＝23. 10. [答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝b a x ，由题意知，以F 为圆心，4为半径的圆过点O ，A ， ∴|F A |＝|FO |＝r ＝4.∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝ba x 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝OB 2＋AB 2＝a 2＋b 2＝c ＝|OF |＝4， ∴△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A ． 11． [答案] B[解析] 如图，|PF |＋|P A |＝|PB |＋|P A |，显然当A 、B 、P 共线时，|PF |＋|P A |取到最小值3－(－12)＝72. 12. [答案] A[解析] 要保证椭圆与圆有4个交点，只要保证b <b2＋c <a 即可． ⎩⎪⎨⎪⎧b <b 2＋c b 2＋c <a⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b <b ＋2c b ＋2c <2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2c >b ，①2(a －c )>b .②由①得4c 2>b 2＝a 2－c 2,5c 2>a 2，c 2a 2>15，即e 2>15，故e >55.由②得4(a 2＋c 2－2ac )>b 2＝a 2－c 2，即3a 2－8ac ＋5c 2>0.两边同除以a 2，得5e 2－8e ＋3>0，即(e －1)(5e －3)>0，解得e >1(舍去)或e <35，则55<e <35.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13． [答案] 2[解析] 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系．设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2. 14． [答案] 12[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4. ∴椭圆离心率为c a ＝12. 15． [答案]415[解析] ∵两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝92，ab ＝25，a >b ，解得a ＝5，b ＝4，∴双曲线方程为x 225－y 216＝1，∴c ＝25＋16＝41， ∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝415. 16． [答案]5－12[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则有A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF ＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－bc 代入上式得b a ⎝⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －ca ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52， ∵e >0，∴e ＝5－12.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)， ∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1(20－a 2>0) 又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1. 18．[分析] 根据焦点在y 轴上的椭圆的标准方程的特点，先将方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．[解析] ∵x 2sin α－y 2cos α＝1，∴x 21sin α＋y2－1cos α＝1.又∵此方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>0－1cos α>01sin α<－1cos α，即⎩⎨⎧sin α>00<－cos α<sin α，∴2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )．故所求α的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．19．[解析] 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2－(2p－4)x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14.|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(p －22)2－4×14＝15，则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，解得p ＝－2或p ＝6. ∴y 2＝－4x ，或y 2＝12x . 20．[解析] (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )，由已知，有(kc k 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )．由|FM |＝(c ＋c )2＋(233c －0)2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.21．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2[4m 225－45(m 2－1)]＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，直线被椭圆截得的弦最长，此时所求的直线方程为y ＝x .22．[解析] (1)由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0. 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2 ＝2k ＋(2－k )(1x 1＋1x 2)＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 、AQ 斜率之和为定值2.。

人教课标版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线和方程》章末综合检测A卷

第二章《圆锥曲线和方程》章末综合检测A 卷(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点(1，4)，则焦点坐标为( )A ．(1，0) B.⎝⎛⎭⎫116，0C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0，1) 2．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．93．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)4．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－125．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1 6．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|F A |＋|FB |等于( )A ．2B ．3C ．5D ．77．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率为( )A. 5B.102C.3＋1 D ．38．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝210．设经过椭圆x 24＋y 23＝1上的任意两点的连线的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为x 0，则x 0∈( )A.⎝⎛⎭⎫－12，12B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C ．[－1，1] D ．(－1，1)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则b 的值为________．12．已知直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，则椭圆C 的方程为________．13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．14．已知点A (4，0)，M 是抛物线y 2＝6x 上的动点，当点M 到A 距离最小时，M 点坐标为________．15．已知直线kx －y ＋1＝0与双曲线x 22－y 2＝1相交于两个不同的点A 、B ，若x 轴上的点M (3，0)到A 、B 两点的距离相等，则k 的值为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过M (3，4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线的方程．17．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m ，4)到其焦点的距离为5. (1)求抛物线C 的方程；(2)若过点M 的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲线的渐近线方程．18．如图，O 为坐标原点，过点P (2，0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．(1)求x 1x 2与y 1y 2的值； (2)求证：OM ⊥ON .19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线F A 的距离为22b . (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．20．已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP上，点G 在MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0.(1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点(2，0)作斜率为k 的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得OA →·OB →≤－1？若存在，求出直线l 的斜率k 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1.解析：选C.∵抛物线过点(1，4)，∴4＝2a ，∴a ＝2，∴抛物线方程为x 2＝14y ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116.故选C. 2.解析：选B.由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.3.解析：选D.点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，又P 为直角三角形的顶点，∴点P 不能与M ，N 两点重合，故x ≠±2.4.解析：选C.∵点A (－2，3)在抛物线C 的准线上， ∴p2＝2，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34.5.解析：选D.由离心率为2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，即a ＝b ，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．又点P (1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 28＝1.故选D.6.解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F A |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7.7.解析：选C.由题知PF 1⊥PF 2，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|＝3|PF 2|，得ca＝3＋1.故选C. 8.解析：选C.如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40，30)，从而有302＝2p ·40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．其方程不同主要是因为讨论的焦点不同．9.解析：选C.由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a2＝112，b 2＝12，故选C. 10.解析：选A.设此两点分别为A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 的中点为D (x D ，y D )，则有22143+=A Ax y ，① 22143+=B Bx y ，② ①－②得y A －y B x A －x B＝－3x D 4y D ，再根据两垂直直线的斜率之积等于－1，可知AB 的中垂线的方程为y －y D ＝4y D3x D(x －x D )，令y ＝0，x ＝x 0，∴x 0＝x D4.∵x D ∈(－2，2)，得x 0∈⎝⎛⎭⎫－12，12.故选A.二、填空题11.解析：由双曲线方程为x 2－y 2b2＝1(b >0)，得渐近线y ＝±bx ，则b ＝2.答案：212.解析：根据题意，直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，∴F (1，0)，∴c ＝1.又∵椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，∴b ＝3，b 2＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝113.解析：如图，由题意知，渐近线l 1：y ＝bax 与过焦点F 的直线l 平行，或渐近线l 1从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，∴ba≥3，即c 2＝a 2＋b 2≥4a 2，∴e ≥2.答案：[2，＋∞)14.解析：设M (x 1，y 1)，则|MA |2＝(x 1－4)2＋y 21＝136y 41－13y 21＋16＝136(y 21－6)2＋15≥15，当且仅当y 21＝6，即y 1＝±6，x 1＝1时，|MA |取最小值15，此时M (1，±6)．答案：(1，±6)15.解析：联立直线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x 22－y 2＝1得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，∵直线与双曲线相交于两个不同的点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2k 2≠0，Δ＝16k 2＋16（1－2k 2）＝16（1－k 2）>0，解得－1<k <1且k ≠±22.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k1－2k 2.设P 为AB 中点，则P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，k （x 1＋x 2）2＋1，即P ⎝⎛⎭⎫2k 1－2k 2，11－2k 2.∵M (3，0)到A 、B 两点距离相等，∴MP ⊥AB ，∴k MP ·k AB ＝－1，即k ·11－2k 22k1－2k 2－3＝－1，得k ＝12或k ＝－1(舍)．∴k ＝12.答案：12三、解答题16.解：若焦点在x 轴上，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M (3，4)在双曲线上，∴9a 2－16b2＝1.又∵b ＝2a ，∴9×4－16＝4a 2，解得a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线方程为x 25－y 220＝1.若焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M (3，4)在双曲线上，∴16a 2－9b2＝1，又∵b ＝2a ，∴16×4－9＝4a 2，解得a 2＝554，b 2＝55，∴双曲线方程为4y 255－x255＝1.综上，双曲线的方程为x 25－y 220＝1或4y 255－x 255＝1.17.解：(1)由抛物线的定义知4＋p2＝5，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)把M (m ，4)代入x 2＝4y 可得m ＝±4， ∴点M 的坐标为(±4，4)．∵抛物线x 2＝4y 的焦点为(0，1)， ∴a ＝1.∴双曲线的方程为y 2－x 2b2＝1(b ＞0)．将M (±4，4)代入上式得b 2＝1615，∴b ＝±415.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±1415x ，即y ＝±154x .18.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．① 由①及y 2＝2x 消去y 可得k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2 ＝0.②点M ，N 的横坐标x 1，x 2是方程②的两个根，由根与系数的关系得x 1x 2＝4k 2k2＝4，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16，又y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(2)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2，k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－44＝－1，所以OM ⊥ON .19.解：(1)由点F (－ae ，0)，点A (0，b )，及b ＝1－e 2a ，得直线F A 的方程为x －ae ＋y1－e 2a ＝1，即1－e 2x －ey ＋ae 1－e 2＝0.因为原点O 到直线F A 的距离为 22b ＝ae 1－e 2，所以221－e 2·a ＝ae 1－e 2，解得e ＝22.(2)设椭圆C 的左焦点F ⎝⎛⎭⎫－22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋22a＝12，2·x 0－22a2＋y 02＝0，解得x 0＝3210a ，y 0＝225a .因为P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝⎛⎭⎫3210a 2＋⎝⎛⎭⎫225a 2＝4.所以a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4.故椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫65，85. 20.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，知Q 为线段PN 的中点，且GQ ⊥PN ，则GQ 为线段PN 的中垂线，故|PG →|＝|GN →|，所以|GN →|＋|GM →|＝|PM →|＝6.故点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且其长半轴长a ＝3，半焦距c ＝5，所以短半轴长b ＝2.所以点G 的轨迹C 的方程是x 29＋y 24＝1.(2)设l 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 29＋y 24＝1⇒(9k 2＋4)x 2－36k 2x ＋36(k 2－1)＝0，所以x 1＋x 2＝36k 29k 2＋4，x 1x 2＝36（k 2－1）9k 2＋4，y 1y 2＝[k (x 1－2)][k (x 2－2)]＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－20k 29k 2＋4，则x 1x 2＋y 1y 2＝36（k 2－1）9k 2＋4－20k 29k 2＋4＝16k 2－369k 2＋4.由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2≤－1，得16k 2－369k 2＋4≤－1，解得k 2≤3225，故－425≤k ≤425.故存在这样的直线l ，使得OA →·OB →≤－1，且直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－425，425.。

【整理】第二章圆锥曲线与方程单元测试卷

x2 15．已知椭圆 C：
y2 1，斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，且 AB
32 ，则直
3
2
线 l 的方程为 ___________.
16．已知抛物线 y2 4x ，过其焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点， M 为抛物线的准线与 x 轴
的交点， tan AMB 4 ，则 AB _____. 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17．（本小题满分 10 分）
已知 p : 方程 x2
y2 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， q : 双曲线 x2 y2 1 的离心率
9 m 2m
5m
e
6 ,
2
.
2
（ 1）若椭圆 x2
y2 1 的焦点和双曲线 x2 y2 1 的顶点重合，求实数 m 的值；
第二章圆锥曲线与方程单元测试卷
一、选择题：
x2 1．双曲线
y2
1的实轴长为（
）
4
A． 3
B． 4
C． 5
2．抛物线 y 2x2 的准线方程为（）
D． 1 2
A． y 1 4
3．已知椭圆 x2 10 m
B． y 1 8
C． x 1 2
D． x 1 4
y2 1 ，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，则 m 等于（） m2
A. 17 2
9
B.3
C. 5
D.
2
11．已知椭圆
x2 E : a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F ．短轴的一个端点为 M ，直线 l :3 x 4 y

最新数学：第二章《圆锥曲线与方程》测试(1)(新人教A版选修1-1)

圆锥曲线与方程单元测试A 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1.已知椭圆1162522=+y x 上嘚一点P 到椭圆一个焦点嘚距离为3，则P 到另一焦点距离为（） A. 2 B. 3 C. 5 D. 72. 若椭圆嘚对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长嘚和为18，一个焦点嘚坐标是（3，0），则椭圆嘚标准方程为（）A.116922=+y x B. 1162522=+y x C. 1251622=+y x D. 191622=+y x 3. 动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 嘚距离之差为2，则点P 嘚轨迹是（）A. 双曲线B. 双曲线嘚一支C. 两条射线D. 一条射线 4. 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于53，则椭圆嘚方程是（） A.13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.192522=+y x 5. 抛物线x y 102=嘚焦点到准线嘚距离是（）A.25 B. 5 C. 215D. 10 二．填空（每题6分）6. 抛物线x y 62=嘚准线方程为＿＿＿＿＿.7.双曲线嘚渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线嘚方程为_______________.8. 若曲线1122=++ky k x 表示椭圆，则k 嘚取值范围是 . 9.若椭圆221x my +=嘚离心率为32，则它嘚半长轴长为_______________. 三．解答题（13+14+14）10.k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？11. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上嘚抛物线与直线21y x =+交于P 、Q 两点，|PQ|=15，求抛物线嘚方程.12.椭圆嘚焦点为12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是椭圆上嘚一个点，求椭圆嘚方程.B 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1. 以椭圆1162522=+y x 嘚焦点为顶点，离心率为2嘚双曲线嘚方程（） A.1481622=-y x B. 127922=-y x C.1481622=-y x 或127922=-y x D. 以上都不对 2. 过双曲线嘚一个焦点2F 作垂直于实轴嘚直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线嘚离心率e 等于（）A.12- B. 2 C. 12+ D. 22+3. 1F 、2F 是椭圆17922=+y x 嘚两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 嘚面积为（）A. 7B.47 C. 27D. 2574. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 嘚圆心嘚抛物线嘚方程是（）A. 23x y =或23x y -=B. 23x y =C. x y 92-=或23x y =D. 23x y -=或x y 92=5. 过抛物线)0(22>=p px y 焦点嘚直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 嘚最小值为（）A.2pB. pC. p 2D. 无法确定二．填空：（每题6分）6．椭圆5522=+ky x 嘚一个焦点坐标是)2,0(，那么=k ________.7．已知双曲线嘚顶点到渐近线嘚距离为2，焦点到渐近线嘚距离为6，则该双曲线嘚离心率为．8.若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 嘚中点坐标是_______.9. 椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆嘚两个焦点1F 、2F 嘚连线互相垂直，则△21F PF 嘚面积为________________________. 三．解答题（13+14+14）10．已知点(,)P x y 在曲线2221(0)4x y b b+=>上，求22x y +嘚最大值.11. 双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点，且经过点(15,4)，求双曲线嘚方程.12. k 代表实数，讨论方程22280kx y +-=所表示嘚曲线.C 组题（共50分）1．已知抛物线22(0)y px p =>嘚焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（）Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·2．抛物线24y x =嘚焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3嘚直线与抛物线在x 轴上方嘚部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △嘚面积是________________.3. 已知定点(2,3)A -，F 是椭圆2211612x y +=嘚右焦点，在椭圆上求一点M ，使2AM MF +取得最小值时M 点嘚坐标.4．设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，嘚距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=.（1）证明：动点P 嘚轨迹C 为双曲线，并求出C 嘚方程；定λ（2）过点B 作直线交双曲线C 嘚右支于M N ，两点，试确嘚范围，使0=⋅ON OM ，其中点O 为坐标原点.d 2d 12θPBAoyx圆锥曲线与方程A 组题（共100分）一．选择题：1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 二．填空：6．32x =-7．221205x y -=± 8．0>k9． 1,2或三．解答题：10. 解：由222236y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++= 22214424(23)7248k k k ∆=-+=-当272480k ∆=->，即66,33k k ><-或时，直线和曲线有两个公共点；当272480k ∆=-=，即66,33k k ==-或时，直线和曲线有一个公共点；当272480k ∆=-<，即6633k -<<时，直线和曲线没有公共点. 11. 解：设抛物线嘚方程为22y px =，则22,21y pxy x ⎧=⎨=+⎩消去y 得 21212214(24)10,,24p x p x x x x x ---+=+== 2212121215()4AB k x x x x x x =+-=+-2215()41524p -=-⨯=，则223,4120,2,64p p p p p -=--==-或 22412y x y x ∴=-=，或12. 解：焦点为12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为2222125y x a a +=-；点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==-，所以椭圆方程为2214015y x +=.B 组题（共100分）一．选择题： 1．B 2．C 3．C4．D 5．C二．填空：6．1 7．3 8． (4, 2) 9．24 三．解答题： 10.解：法一：设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令22,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4b t = 当1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044bb <≤<≤即时， 2max 4|44b t bT T ===+ 22max 4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩法二：由22214x y b +=得2224(1)y x b =-令22T x y =+代入得22442y T y b =-+即22224()444b b T y b =--++（1）当222max 044444b b b b b x y ≤<≤==+即时（2）2max 424bb b x b y b >>==当时即时22max4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩11.解：12(0,3)(0,3)F F -由题意知双曲线焦点为，可设双曲线方程为222219y x a a-=-, 点(15,4)在曲线上，代入得22436()a a ==或舍22145y x ∴-=双曲线的方程为12.解：当0k <时，曲线22184y x k-=-为焦点在y 轴嘚双曲线；当0k =时，曲线2280y -=为两条平行于x 轴嘚直线22y y ==-或；当02k <<时，曲线22184x y k+=为焦点在x 轴嘚椭圆；当2k =时，曲线224x y +=为一个圆；当2k >时，曲线22184y x k+=为焦点在y 轴嘚椭圆.C 组题（共50分）1．C2．343．显然椭圆2211612x y +=嘚14,2,2a c e ===，记点M 到右准线嘚距离为MN 则1,22MF e MN MF MN ===，即2AM MF AM MN +=+ 当,,A M N 同时在垂直于右准线嘚一条直线上时，2AM MF +取得最小值，此时3y y M A ==，代入到2211612x y +=得23x M =± 而点M 在第一象限，(23,3)M ∴4．解：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<（常数），点P 嘚轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a λ=-嘚双曲线.方程为：2211x y λλ-=-. （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 嘚方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上.即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以512λ-=. ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 嘚方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦，由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--.于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--. 因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩. 由①②知，51223λ-<≤.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版选修21

第二章圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分) 1．抛物线y ＝4x 2的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝116D ．y ＝－116解析：选D 由抛物线方程x 2＝14y ，可知抛物线的准线方程是y ＝－116.2．(全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.3．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断：sin θ可以等于1，这时曲线表示圆；sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线；sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x解析：选C 由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝2，因为双曲线的焦点在x 轴上，(A 卷学业水平达标)故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 5．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32.6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 由题意得点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P 的轨迹是抛物线．7．(天津高考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.8．已知|AB ―→ |＝3，点A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x . 虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452，符合题意．10．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223解析：选D 将y ＝k (x ＋2)代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－4k2k2，x 1x 2＝4.抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由|FA |＝2|FB |及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2＋2x 2，代入x 1x 2＝4，整理得x 22＋x 2－2＝0，解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)．所以x 1＝4，8－4k 2k 2＝5，解得k 2＝89.又因为k ＞0，所以k ＝223.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：x 216＋y 212＝112．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.答案： 213．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4.点R 是直线l 上的一点．若RA ―→＝AP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，R (a,2a －4)，则RA ―→＝(1－a,4－2a )，AP ―→＝(x －1，y )． ∵RA ―→＝AP ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝x －1，4－2a ＝y ，消去a 得y ＝2x .答案：y ＝2x14．已知二次曲线x 24＋y 2m＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m 2.∵m ∈[－2，－1]，∴52≤e ≤62. 答案：52，62三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上， ∴6＝2p ×32，∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1.又∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上， ∴94a 2－6b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.16．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y 2＝2x ，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋2，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0.∵直线l 与抛物线相交于M ，N 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝4－16k ＞0，解得k ＜14且k ≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝4k，从而x 1x 2＝y 212·y 222＝4k 2.∵OM ⊥ON ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1符合题意，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2.17．(本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－2，0)和F 2(2，0)，长轴长为4，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两个不同的点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．解：(1)∵椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)和F 2(2，0)，长轴长为4， ∴设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则依题意有a ＝2，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 22＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋2，消去y 得3x 2＋8x ＋4＝0，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则由根与系数的关系有x 1＋x 2＝－83，x 1x 2＝43，所以由弦长公式： |AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－832－4×43＝423. 18．(本小题满分12分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m ，(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.① 上面方程的判别式Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)． ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m ≤3 2. 故所求实数m 的取值范围为[－3 2，3 2]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①得：x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m 2－189 ＝133－m 2＋18，当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.19．(本小题满分12分)设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d (万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60°，求这颗彗星与地球的最短距离．解：设彗星的轨道方程为y 2＝2px (p >0)，焦点为F (p2，0)，彗星位于点P (x 0，y 0)处，直线PF 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，消去y 得12x 2－20px ＋3p 2＝0. 得x ＝32p 或x ＝p6，故x 0＝3p 2或x 0＝p 6.由抛物线定义得|PF |＝x 0＋p 2＝2p 或|PF |＝23p .由|PF |＝d ，得p ＝d 2或p ＝32d ，由于抛物线的顶点是抛物线上距离焦点最近的点，而焦点到抛物线顶点的距离为p2，所以彗星与地球的最短距离为12d 万千米或32d 万千米(p 点在F 点的左边与右边时，所求距离取不同的值)．20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程．(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，c 2＝a 2－b 2，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假若存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，x 1·x 2＝91＋3k2.②而y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1，即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使以CD 为直径的圆过点E .。

圆锥曲线与方程单元检测(A卷) Word版含答案

第二章圆锥曲线与方程(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝14．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝16．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54 B ．(1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 D ．(2,4) 12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D. ⎛⎪⎫π，3π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中所有正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA⊥OB，求k的值．。

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末测试A 新人教B版

第二章圆锥曲线与方程测评A (基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．103．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5,0)或(－5,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，332或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－332C ．(0,3)或(0，－3)D.⎝⎛⎭⎪⎫532，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，32 5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2B. 3C. 2D.326．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y 2＝12x的准线上，则此双曲线的方程为( )A.x 25－y 26＝1B.x 27－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 24－y 23＝18．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2)9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦点为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.3410．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －2第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于__________．12．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为__________．13．椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为__________．14．已知过点(－2,0)的直线l 和抛物线C ：y 2＝8x 有且只有一个公共点，则直线l 的斜率取值集合是__________．15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)求与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程． 17．(6分)已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.18．(6分)已知椭圆方程为x 29＋y 24＝1，在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0＜a ＜3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，说明理由．19．(7分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .(1)若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆C 的右顶点，求e 的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆C 的上顶点为A ，左焦点为F ，过点A 与AF 垂直的直线交x 轴的正半轴于B 点，且过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程．参考答案1. 解析：由条件可知p2＝7，所以p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x .答案：B2. 解析：由题可知a ＝5，P 为椭圆上一点，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案：D3. 解析：当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.答案：C4. 解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，故选C. 答案：C5. 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a2＝1，即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.答案：C6. 解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，所以|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号，所以P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，即可排除A ，C ，D 项，故选B. 答案：B7. 解析：抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，ca ＝3，c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝3，b 2＝6，故所求双曲线的方程为x 23－y 26＝1.答案：C8. 解析：直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．答案：B9. 解析：由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ，又由d 1,2c ，d 2成等差数列，所以4c ＝d 1＋d 2＝2a ，所以e ＝c a ＝12.答案：A10. 解析：由y ＝14x2x 2＝4y ，焦点F (0,1)，设PF 中点Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则0020020214x x y y y x ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝＋，＝，所以x 2＝2y －1. 答案：C11. 解析：由题意知b 2＝12，解得b ＝1.答案：112. 解析：若焦点在x 轴上，则a ＝4，由e ＝32，可得c ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4，椭圆方程为x 216＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝4，由e ＝32，可得c a ＝32，所以c 2＝34a 2.又a 2－c 2＝b 2，所以14a 2＝16，a 2＝64.所以椭圆方程为x 216＋y 264＝1.答案：x 216＋y 264＝1或x 216＋y 24＝113. 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝3，所以椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝114. 解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，将其与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，①消去y ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.②(1)当k ＝0时，x ＝0，从而y ＝0，方程组①只有一组实数解，从而直线l 与抛物线只有一个公共点；(2)当k ≠0时，令判别式Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64＝0，可解得k ＝±1，此时方程②有两个相等的实数解，代入方程组①中的第二个方程，知方程组①仅有一组实数解，从而直线l 与抛物线只有一个公共点．综上知直线l 的斜率的取值集合是{－1,0,1}．答案：{－1,0,1}15．解析：如图，设双曲线一个焦点为F ，则△AOF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠FOA ＝60°.所以c ＝2a ，所以e ＝c a＝2. 答案：216. 解：把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y 24＝1，则其焦距2c ＝25，所以c ＝ 5. 又e ＝c a ＝55，所以a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝52－5＝20.故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 220＝1.17. 解：设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．因为P 1，P 2在抛物线上，所以y 21＝6x 1，y 22＝6x 2. 两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．因为y 1＋y 2＝2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3. 所以直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0，所以y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22. 所以|P 1P 2|＝1＋19×22－4×(－22)＝22303.18. 解：设存在点P (x ，y )满足题设条件，则|AP |2＝(x －a )2＋y 2.因为x 29＋y 24＝1，所以y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29.所以|AP |2＝(x －a )2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －95a 2＋4－45a 2.因为|x |≤3，又0＜a ＜3，当⎪⎪⎪⎪⎪⎪95a ≤3，即0＜a ≤53时，|AP |2的最小值为4－45a 2.依题意，得4－45a 2＝1，所以a ＝±152⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53.当95a ＞3，即53＜a ＜3时，此时x ＝3，|AP |2取最小值(3－a )2. 依题意，得(3－a )2＝1，所以a ＝2. 此时P 点的坐标是(3,0)．故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点坐标为(3,0)．19. 解：(1)如图，设直线l 与圆O 相切于E 点，椭圆C 的右顶点为D ，则由题意易知，△OED 为直角三角形，且|OE |＝b ，|OD |＝a ，∠ODE ＝π3，所以|ED |＝|OD |2－|OE |2＝c (c 为椭圆C 的半焦距)．所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.(2)由(1)知，c a ＝12，所以可设a ＝2m (m ＞0)，则c ＝m ，b ＝3m ，所以椭圆C 的方程为x 24m 2＋y 23m2＝1.所以A (0，3m )，所以|AF |＝2m .直线AF 的斜率k AF ＝3，所以∠AFB ＝60°. 在Rt△AFB 中，|FB |＝|AF |cos∠AFB＝4m ，所以B (3m,0)，设斜边FB 的中点为Q ，则Q (m,0)．因为△AFB 为直角三角形，所以过A ，B ，F 三点的圆的圆心为斜边FB 的中点Q ，且半径为2m . 因为圆Q 与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，所以|m ＋3|1＋3＝2m .因为m 是大于0的常数，所以m ＝1. 故所求的椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.。

高中数学第二章《圆锥曲线与方程》测试1 新人教A版选修1-1

圆锥曲线与方程单元测试A 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A. 2B. 3C. 5D. 72. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A.116922=+y x B. 1162522=+y x C. 1251622=+y x D. 191622=+y x 3. 动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线 4. 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于53，则椭圆的方程是（） A.13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.192522=+y x 5. 抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）A.25 B. 5 C. 215D. 10 二．填空（每题6分）6. 抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.7.双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.8. 若曲线1122=++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围是 .9.若椭圆221x my +=，则它的半长轴长为_______________. 三．解答题（13+14+14）10.k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？11. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P 、Q 两点，|PQ|=15，求抛物线的方程.12.椭圆的焦点为12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是椭圆上的一个点，求椭圆的方程.B 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1. 以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（） A.1481622=-y x B. 127922=-y x C.1481622=-y x 或127922=-y x D. 以上都不对 2. 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（）A.12- B. 2 C. 12+ D. 22+3. 1F 、2F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（） A. 7 B.47 C. 27 D. 257 4. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（）A. 23x y =或23x y -= B. 23x y =C. x y 92-=或23x y = D. 23x y -=或x y 92=5. 过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 的最小值为（）A.2pB. pC. p 2D. 无法确定二．填空：（每题6分）6．椭圆5522=+ky x 的一个焦点坐标是)2,0(，那么=k ________.7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．8.若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是_______.9. 椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为________________________. 三．解答题（13+14+14）10．已知点(,)P x y 在曲线2221(0)4x y b b+=>上，求22x y +的最大值.11. 双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程.12. k 代表实数，讨论方程22280kx y +-=所表示的曲线.C 组题（共50分）1．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（）Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· 2．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是________________.3.已知定点(A -，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使2AM MF +取得最小值时M 点的坐标.4．设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=.（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使0=⋅，其中点O 为坐标原点.圆锥曲线与方程A 组题（共100分）一．选择题： 1．D 2．B 3．D4．C5．B二．填空：6．32x =-7．221205x y -=± 8．0>k9． 1,2或三．解答题：10. 解：由222236y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++= 22214424(23)7248k k k ∆=-+=-当272480k ∆=->，即k k ><或时，直线和曲线有两个公共点；当272480k ∆=-=，即k k ==或时，直线和曲线有一个公共点；当272480k ∆=-<，即k <<时，直线和曲线没有公共点. 11. 解：设抛物线的方程为22y px =，则22,21y pxy x ⎧=⎨=+⎩消去y 得 21212214(24)10,,24p x p x x x x x ---+=+==12AB x =-===24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或12. 解：焦点为12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为2222125y x a a +=-；点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==-，所以椭圆方程为2214015y x +=.B 组题（共100分）一．选择题： 1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 二．填空：6． 1 7．3 8． (4, 2) 9．24 三．解答题： 10.解：法一：设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令22,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4b t = 当1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044bb <≤<≤即时， 2max4|44b t b T T ===+ 22ma x 4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩法二：由22214x y b +=得2224(1)y x b =-令22T x y =+代入得22442y T y b =-+即22224()444b b T y b =--++（1）当222m a x044444b b b b b x y≤<≤==+即时（2）2max 424bb b x b y b >>==当时即时22max4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩11.解：12(0,3)(0,3)F F -由题意知双曲线焦点为，可设双曲线方程为222219y x a a-=-,点在曲线上，代入得22436()a a ==或舍22145y x ∴-=双曲线的方程为12.解：当0k <时，曲线22184y x k-=-为焦点在y 轴的双曲线；当0k =时，曲线2280y -=为两条平行于x 轴的直线22y y ==-或；当02k <<时，曲线22184x y k+=为焦点在x 轴的椭圆；当2k =时，曲线224x y +=为一个圆；当2k >时，曲线22184y x k+=为焦点在y 轴的椭圆. C 组题（共50分）1．C2．343．显然椭圆2211612x y +=的14,2,2a c e ===，记点M 到右准线的距离为MN 则1,22MFe MN MF MN ===，即2AM MF AM MN +=+ 当,,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时，2AM MF +取得最小值，此时y y M A ==2211612x y +=得x M =±而点M在第一象限，M ∴4．解：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线.方程为：2211x y λλ-=-. （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上.即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ=. ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦，由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--. 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--.因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩. 由①②知，1223λ<≤.。

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36

y2
9
1 上的弦被点 (4,2) 平分，则这条弦所在的直线方程
是 15．过椭圆
．
x2
5

y2
4
1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆
、B 两点， O 为坐标原点，则 OAB 的面积交于 A 为．
x2 y2 16．如图， F1、F2 分别为椭圆 2 2 1 的左、右焦点，点 P a b
2．已知动圆 P 过定点 A(3, 0) ，并且在定圆 B : ( x 3) 2 y2 64 的内部与定圆相切，
3．已知 ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆
x2
3
y2 1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭
）
圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是（ A．2 B．6 C．4 3 D．12
3 4 3 2 2 2
3 4
那么点 M 的纵坐标是（
）A．
B．
C．
D．
10．在椭圆
x2
40

y2
20
1 上有点 P , F1、F2 是椭圆的左、右焦点， F1 PF2 为直角三角
）A．4 个 B．2 个 C．6 个 D．8 个
形，则这样的点 P 有（
11．如图所示， P 为椭圆
第二章
一、选择题
2.1、2.2 单元检测题 A 卷(理科)
）
1．下列各组方程中表示相同曲线的是（
y 1 x C． | y || x |, x y
A． y x, 则动圆的圆心 P 的轨迹是（ A．线段 B．直线
B． y x, y x2 D． | y || x |, x2 y2 ） C．圆 D．椭圆
21.已知命题 p：不等式（m-2）x2+4(m-2)x+1>0 在 R 上恒成立；
x2 y2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆．若“ p 且 q"为真，命题 q：方程 + m 4-m
求 m 的取值范围．
4
x2 y2 8．如图所示，已知 F 是椭圆 2 2 1(a b 0) 的左焦点，P a b
是椭圆上的一点， PF x 轴，OP / / AB （ O 为原点），则该椭圆的离心率是（） A．
2 2
B．
2 4
C．
1 2
D．
3 2
1
9．椭圆
x2
12

y2
3
1 的一个焦点为 F ，点 P 在椭圆上，且线段 PF 的中点 M 在 y 轴上1、F2 在 x 轴上， A
是椭圆上一点，且 PF1 x 轴， PF2 // AB .求此椭圆的离心率.
3
1 20．在面积为 1 的 PMN 中， tan M , tan N 2 .建立适当的坐标系，求出以 2
M、N 为焦点且过点 P 的椭圆方程.
y2 1 长轴在 y 轴上.若焦距为 4，则 m 等于（ 4．已知椭圆 10 m m 2
A．4 B．5 C．7 D．8 ）
x2
）
5．已知椭圆方程为 A．2 8 m2 6．曲线
x2
8

y2 1 ，焦点在 x 轴上，则其焦距等于（ m2
C．2 m2 8
B． 2 2 2 | m |
x2
25

y2
9
1 上的一点， F 是椭圆的左
）
1 焦点，且 OQ (OP OF ),| OQ | 4 ，则点 P 到 F 的距离为（ 2 5 A．6 B．4 C．2 D． 2
12．已知 F1、F2 为椭圆
x2 y2 1(a b 0) 的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦 AB ，若 a 2 b2
3 ，则椭圆的方程为（ 2
AF1 B 的周长为 16，椭圆的离心率 e
）
A．
x2
4

y2
3
1
B．
x2
16

y2
3
1
C．
x2
16

y2
12
1
D．
x2
16

y2
4
1
13．椭圆为
x2
16

y2
9
1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则它到另一焦点的距离
． 14 ．如果椭圆
x2
D． 2 | m | 2 2 ）
y2 x2 y2 1(m 6) 与曲线 1(5 n 9) 的（ 10 m 6 m 5n 9n

B．离心率相等） C．8 D．9 C．焦点相同
x2
A．焦距相等所围图形的面积等于（ A． B．4
D．长轴长相等
7．已知两定点 A(2, 0), B(1.0) ，如果动点 P 满足条件 | PA| 2 | PB | ，则点 P 的轨迹
在椭圆上， POF2 的面积为 3 的正三角形，则 b 2 的值为
2
．
17．已知 F1、F2 是椭圆求 F1 PF2 的面积.
x2
100

y2
64
1 的两个焦点，P 是椭圆上任一点，且 F1 PF2

3
，
18．过椭圆线的方程．
x2
16

y2
4
1 内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直