2.2.2 对数函数及其性质(1) 课件(人教A版必修1)
2.2.2 对数函数及其性质 (1)
(3) y log2 x log2 (4 x)
2
例1：求下列函数定义域：
2 y log x （1） a
（2）y loga (4 x)
(3) y log2 x log2 (4 x)
2
二、对数函数的图像
对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
图象与性质
x y 3log 5. 2 5
2. y=log(x-1)x 4.y=lnx
例1：求下列函数定义域：
2 y log x （1） a
（2）y loga (4 x)
2 解（1）因为 x 0
（2）因为 4 x 0 所以函数的定义域为
所以函数的定义域为
{x x 0}
{x x 4}
a N
b
，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时， 由1个分裂成2个，2个分裂成4个，· · ·，1个这样的细 胞分裂x次会得到多少个细胞？
y2
x
如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次 数x呢？ 由对数式与指数式的互化可知：
当x=1时，总有loga1=0
a 1且0 x 1时， loga x 0
o
x 1
o
图象
x
(0, )
R
y
y loga （ x a>1）
a>1
y
y loga （ x 0<a<1）
(1,0)
0<a<1
(1,0)
x 1
x
定义域
值域 定点 单调性
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质课件新人教A版必修1
理论
2．对数函数的图象
由于对数函数 y log a x与指数函数y a x 互为反函数，所以 y log a x 的图象与 y a x
的图象关于直线 y x 对称. 看一般图象：
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
44
33
y=ax 22
∴函数 y loga x2的定义域是 x | x 0
（2）由 4 x 0 得 x 4
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4
（3） 由 9 x2 0 得 3 x 3
∴函数 y loga(9 x2) 的定义域是 x | 3 x 3
举例
例2 求下列函数的反函数
在R上是减函数
引例
引例: y 2 x 有无反函数?若有,则求出.
分析:视察图象知,有反函数
由 y 2x 得 x log 2 y 所以,反函数为:
4
fx3 = 2x
2
1
-4
-2
2
y log 2 x x (0,)
理论
1．对数函数的定义：
函数 y log a x (a 0且a 1) 叫做对数函数（logarithmic function）， 其中x是自变量，函数的定义域为 (0,) , 值域为 (,) .
1 y 1 x 1;
2
2 y (1) x2 3 (x 0).
2
解 （: 1）
y
1
x
1
1 x
y
1
2
2
（2）
x log1 ( y 1)
2
f 1( x) log1 ( x 1)
高中数学人教A版必修1课件：2、2、2对数函数及其性质
个元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B
的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作： f : A B
其中，如果 a A,b B ，且元素a和元素b对应，那么我们
把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：1 映射 f : A B有方向性，即它只表示从集合A
a 1
0 a 1
y
y
图
y loga x
(1,0)
像
o (1,0)
xo
x
y loga x
定义域 性值 域 质 单调性
奇偶性 过定点
(0,)
(0,)
R 在(0,)上递增
R 在(0,)上递减
非奇非偶
非奇非偶
(1,0), 即x=1时，y=0
单调性的应用
例 比较对数值大小
1. 同底的两个对数比较
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 解:(3)当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数, log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数, log a5.1＞log a5.9
⑧ y log 1 x
概念辨析
例2 下列函数是对数函数的是（D） A. y=log2(3x-2) B. y=log(x-1)x C. y=log0.3x2 D. y=lnx
2.对数函数的图像和性质
用描点法作y=log2x与y=log0.5x的图象.
x
1 4
数学：2.2.2《对数函数及其性质》课件(新人教A版必修1)
(1)定义域： R (2)值域： (0,+∞) 性 (3)过定点 (0,1) (4)单调性 质
a>1时, 在R上是增函数； 0<a<1时,在R上是减函数
(1)定义域： (0,+∞) (2)值域： R (3)过定点 (1,0) (4)单调性
a>1时,在(0,+∞)是增函数； 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
（2） y | log 2 x |
(1)
(2)
已知1 x 10, 试比较(lg x) , lg x , lg(lg x)的大小.
2 2
例3：求函数 y=log3x(1≤x≤3)的值域.
变式： (1)求函数 y=log3（x2-4x+7）的值域.
(2)已知函数y=logax(a>0,a≠1), 当x∈[3,9]时，函数的最大值比最小值大1,
(5)奇偶性： 非奇非偶
(5)奇偶性： 非奇非偶
二.新课讲授
例1 解下列关于x的不等式:
(1) log0.5 x > log0.5 (1-x) (2) log2 (x+3) - 2 <0
变式:0<a <1,0<b<1,且a
2 (3) log x < 1 3
logb (x -3)
<1,求 x
依据：(1)若a 1, log a m log a n m n 0
例1 说明函数 y log3 ( x 2) 和 y log3 x
的图象的关系.
y log3 x 向左平移2个单位 y log3 ( x 2) y log3 x 向上平移2个单位 y log3 x 2
人教版高中数学必修一课件：2.2.2 对数函数的图像及其性质(共20张PPT)
（书面作业）
•P73 2,3
19
Thank you!
要善于退，足够的退，退到不失去重 要性的地方就是解决数学问题的诀窍。
20
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
２.比较真数值的大小；
0<a<1时为减函数）
结
３.根据单调性得出结果。
14
•（3） loga5.1与 loga5.9 (a>0,且a≠1)
解: 若a>1 则函数y=log a x在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9
16
函数 yloga x,ylogb x,ylogc x,ylogd x
C 的图像如图,则 所下 示列式子中正( 确) 的
y ylogb x A .0 a b 1 c d
yloga x B .0 b a 1 d c
x
O
ylogd x C .0 d c 1 b a
2.2.2对数函数的图象与性质
y
x
o 1
1
（一）对数函数的定义 ★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量， 定义域是(0,＋∞)
想 对数函数解析式有哪些结构特征？ 一 ①底数：a>0,且 a≠1 想 ②真数: 自变量x ？ ③系数函数？（导学与评价P53） ① y log a x 2 ; ② y log 2 x 1; ③ y 2 log 8 x ; ④ yloxga(x0,且x1); ⑤ ylo5gx.
2.2.2对数函数及其性质运算(1)课件
练习1:
比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 ⑵ log0.56 ＜ log108 log0.54 ＜ ⑶ log0.10.5 ＞ log0.10.6 ⑷ log1.51.6 ＞ log1.51.4
y log 1 x
y log 1 x
2
x
3
对数函数的图象与性质：
函数 底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) a＞1
y 1
0＜a＜1
图象 定义域
o
1
x
o
x
(0,+∞)
(0,+∞)
值域 定点
值分布
R (1,0)
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
R (1,0)
⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 且1.8<2.7,所以log 0.31.8＞log 0.32.7.
小结:对于同底不同真数的对数大小比较，应利 用对数函数的单调性判断大小。
⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a＞0 , a≠1 )
解:①当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1＜log a5.9; ②当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1＞log a5.9.
例2.比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a＞0,a≠1 ).
高中数学 第二章基本初等函数(Ⅰ)对数函数及其性质 第1课时对数函数的图象及其性质课件新人教版必修(1)
归纳升华 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合， 求 与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概 念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于 0；若自变 量在底数上，应保证底数大于 0 且不等于 1.
[变式训练] 求下列函数的定义域： 1 (1)f(x)＝ ； 1－log4（x－1） (2)f(x)＝ log0.6x－1. x－1>0， 解： (1)由 得 x∈(1， 5)∪(5， ＋∞)． log4（x－1）≠1， 1 所以函数 f(x)＝ 的定义域为 1－log4（x－1）
2．对数函数的图象与性质
定义 底数 图象 定义域 值域 (0，＋∞) R y＝logax(a>0，且 a≠1) a>1 0<a<1
单调性 性 质 函数
增函数
减函数
共点性 图象过定点(1，0)，即 loga1＝0 x∈(0，1)时， x∈(0，1)时， y∈(－∞，0)； y∈(0，＋∞)；
值特征 x∈(1， ＋∞)时，x∈(1， ＋∞)时， y∈(0，＋∞).
(2)y＝f(x)的图象与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称，y ＝f(x)的图象与 y＝－f(x)的图象关于 x 轴对称．
[ 变式训练 ] ( )
函数 f(x) ＝ ln(x2 ＋ 1) 的图象大致是
解析：因为 f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)， 排除选项 C，又 f(0)＝0，排除选项 B、D，所以选项 A 正确． 答案：A
1 的取值范围是0，2.
1 答案：0，2
类型 1 求对数类函数的定义域(自主研析) [典例 1] 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(3x＋2)； (2)y＝log(1－x)6； (3)y＝ log0.5（3－4x）.
高中数学 对数函数及其性质(1)课件 新人教A版必修1
7、课 堂 小 结
1. 对数函数定义 2. 对数函数的图像和性质 3. 比较两个数的大小．
10
3
列表 描点 连线
2、探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性
质 作y=log2x图象
X 1/4 1/2 1 2 4 …
y=log2x -2 -1 0 1 2 …
y 2
1 11
42
0 1 23 4
x
-1
-2
4
列表 描点 连线
2、探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性
2.2.2对数函数及其性质（1）
1
1、定义：一般地,函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )
叫做对数函数.其中 x是自变量,定义域是（ 0 ，+∞)
练习：说出下列哪些是对数函数，并说明理由
（1）y
log 1 x
2
（2）y 2 log2 x
（3）y log3 x
（4）y log x 2 x
y log3 x
x
y log 1 x
3
y log 1 x
2
6
4、从特殊到一般，归纳对数函数的图象与性质：
函数 底数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
a＞10＜a＜1源自y y图象o
1
x
1
o
x
定义域
(0,+∞)
值域
R
定点
(1,0)
值分布
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
猜猜: 对数函数 y log 3 x和y log 1 x的图象。
思考：1、a>1
高一数学人教A版必修1课件：2.2.2 对数函数及其性质(第1课时)
∴函数 y loga x2 的定义域是x | x 0
二、例题讲解
例1、求下列函数的定义域
(3) y log(2x1)(4x 8)
2x 1>0
(3)
由题意可得
2
x
1
1
4x 8>0
解得
x> 1 2
x1
1、函数 y loga x (其中a 0, a 1)的图象恒过
定点__(_1_,0_)__
2、函数 y loga (x 2)(其中a 0, a 1)的图象恒过
定点__(_3_,0_)__ 定 3、点函_数_(_3_y,_0_)_loga (5x 2)(其中a 0, a 1)的图象恒过 4、函数5 y 3loga (5x 2)+1(其中a 0, a 1)的图象 恒过定点__( _5_,_1_)_
七y 、lo小g结a x与y log1 x 的图象关于x轴对称
y loga x
a
a＞1
0＜a＜1
y
y
y log a x
图
(a 1)
(1, 0)
象
o (1, 0)
xo
y loga x x
(0 a 1)
当 x > 1 时， y > 0
定义当域0<x <1 时，y < 0
当 x > 1 时， y < 0
定义当域0<x <1 时，y < 0
当 x > 1 时， y < 0
(0,) 当0< x<1 时， y>0
对数函数及其性质(第一课时)
(1, 3)
．
2.对数函数的单调性由底数 a 的大小决定，
当
当
a 1
时，函数是增函数；
0 a 1 时，函数是减函数．
(0, ) 上为增函数，
3.若函数 y log(2a1) x 在 则实数 a 的取值范围是
a 1
．
2.2.2节 对数函数及其性质 例题1：求下列函数的定义域
碳14含量
P
死亡年数
1 2
1 4
1 8
1 16
t
5730 2 5730 3 5730 4 5730
2.2.2节 对数函数及其性质
活动一
请同学们用描点法画出 函数 y log 2 x 与 y log 1 x 的图象
2
2.2.2节 对数函数及其性质
思考1：请同学们根据图象描述对数函数
y log2 x 与 y log 1 x 的关系；
2
思考2：请同学们思考对数函数 y log 4 x 图象 ， 并归纳出底数a>1对数函数图象的特征；
2.2.2节 对数函数及其性质
y
函数
o
1
x
y loga x (a 1)
定义域 (0 , ) 值域 R
定点 (1, 0)
当 x 1 时， y 0 当 0 x 1 时， y 0
（2） log （3）
loga 7
思考：
log7 2 与
log3 2
与 log1.5
2.2.2节 对数函数及其性质
课堂小结:
1、利用函数图象直观探究对数函数的性质；
2、运用对数函数的性质，解决一些简单的对 数问题。
第二章 2.2.2 第1课时 对数函数及其性质(一)
2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数及其性质(一)学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.知识点一 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).知识点二 对数函数的图象与性质对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：1.由y ＝log a x ，得x ＝a y ，所以x >0.( √ )2.y ＝2log 2x 是对数函数.( × )3.y ＝a x 与y ＝log a x 的单调区间相同.( × )4.由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0).( √ )题型一 对数型函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x ). 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是(－3,3). (2)由16－4x >0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2).反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变. 跟踪训练1 求下列函数的定义域. (1)y ＝x 2－4lg (x ＋3)；(2)y ＝12－x＋ln(x ＋1). 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，即－3<x <－2或x ≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞).(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，∴－1<x <2. 故所求函数的定义域为(－1,2). 题型二 对数型函数的求值问题例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 3x ，x >0，(1)求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫127的值； (2)若f (a )＝12，求a 的值.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫127＝log 3127＝－3， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫127＝f (－3)＝2－3＝18. (2)当a >0时，由f (a )＝12，得log 3a ＝12.∴a ＝123＝ 3.当a ≤0时，由f (a )＝12，得2a ＝12，∴a ＝－1，综上所述a 的值为－1或 3.反思感悟 理解运算对象，选择运算方法即对于分段函数要注意分类讨论，掌握运算法则，即指数、对数的运算法则，求得运算结果，所以本题充分体现了数学运算的核心素养. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝log 3(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 ∵f (a )＝log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝3，∴a ＝2.题型三 对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )答案 C(2)画出函数y ＝lg|x －1|的图象. 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象 解 (1)先画出函数y ＝lg x 的图象(如图).(2)再画出函数y ＝lg|x |的图象(如图).(3)最后画出函数y ＝lg|x －1|的图象(如图).延伸探究1.把本例(1)的条件“y ＝log a x ”改为“y ＝log a (－x )”，则函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 C解析 ∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0， ∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ； 当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数， y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数，故排除B ； 当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数， y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C. 2.把本例(2)改为f (x )＝|log 2(x ＋1)|＋2，试作出其图象. 解 第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图①所示.第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示.第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示.第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示.反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.1.下列函数为对数函数的是()A.y＝log a x＋1(a＞0且a≠1)B.y＝log a(2x)(a＞0且a≠1)C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2log a x(a＞0且a≠1)考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 C2.函数y＝log2(x－2)的定义域是()A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(2，＋∞)D.[4，＋∞)考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域答案 C3.函数f(x)＝3－x＋lg(x＋1)的定义域为()A.[－1,3)B.(－1,3)C.(－1,3]D.[－1,3] 答案 C4.已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )答案 B解析 由y ＝log a (－x )，知－x >0，即x <0，可排除A ，C.当a >1时，B 适合. 5.若函数f (x )＝2log a (2－x )＋3(a >0，且a ≠1)过定点P ，则点P 的坐标是__________. 考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 (1,3)1.含有对数符号“log ”的函数不一定是对数函数.判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log ”，还要符合对数函数的概念，即形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式.如：y ＝2log 2x ，y ＝log 5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数.2.研究y ＝log a f (x )的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.一、选择题 1.给出下列函数：①223log y x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 答案 A解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.2.已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A.{x |x >－1} B.{x |x <1} C.{x |－1<x <1}D.∅考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 答案 C解析 ∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}， N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}.3.函数y ＝log 2(x －1)2－x 的定义域是( )A.(1,2]B.(1,2)C.(2，＋∞)D.(－∞，2) 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，2－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，∴1<x <2.∴函数的定义域为(1,2).4.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2 B.y ＝x 2 C.2log 2xy =D.y ＝log 22x答案 D解析 因为y ＝log 22x 的定义域为R ，且根据对数恒等式知y ＝x . 5.函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(2，－1) D.(1,1) 答案 A解析 令2x －3＝1，则x ＝2.∴y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点(2,1).6.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A7.已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( ) A.－2 B.2 C.12 D.－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 B解析 代入(6,3)，3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.8.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )考点 对数函数的图象题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象 答案 D解析 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1， ∴g (x )的图象应为D. 二、填空题9.函数f (x )＝log 2x －2的定义域是________. 答案 [4，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≥4，∴x ≥4，∴函数f (x )的定义域为[4，＋∞). 10.已知0<a <1,0<b <1，若log (3)1b x a -<，则x 的取值范围是__________.考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 (3,4)解析 ∵0<a <1， ∴log (3)1b x a-<＝a 0等价于log b (x －3)>0＝log b 1.∵0<b <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3<1，解得3<x <4.11.函数12log (3)y x a =- 的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________. 答案 2解析 由12log (3)y x a =-知，3x －a >0，即x >a3.∴a 3＝23，即a ＝2. 三、解答题12.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1). 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域是(1,2)∪(2,3). (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13，且x ≠1.故f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞).13.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示，14.已知log a (3a －1)恒为正，则a 的取值范围是________. 考点 对数函数的图象 题点 对数函数的图象答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a <23或a >1 解析 由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1. 当a >1时，y ＝log a x 是增函数， ∴3a －1>1，解得a >23，∴a >1；当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<1，3a －1>0，解得13<a <23.∴13<a <23. 综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a <23或a >1. 15.已知函数f (x )＝log 21＋x1－x .(1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2；(2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值.(1)证明 左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2.右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边.(2)解 因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b＝－12， 利用(1)可知f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ，所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32.。
人教版数学必修一.2对数函数图像及其性质PPT课件
人教版数学必修一.2对数函数图像及 其性质P PT课件
2.（71页）探究：
画出对数函数 y log 3 x和y log 1 x的图象。
y
1.函数图象分布在哪些 象限？ 一、四
2
2.函数图象有哪些
1 11
特殊点? （1,0）
42
0 1 23 4
3
y log 2 x y log 3 x
x
3.函数图象的单调性 -1 与底数a的关系？ -2
注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数 的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分 情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
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例3 比较下列各组中两个值的大小:
⑴.log 67 , log 7 6 ; ⑵.log 32 , log 2 0.8 .
x
定义域
奇偶性 值域
定点
单调性 函数值 符号
(0,+∞)
非奇非偶函数
非奇非偶函数
R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0
当 x＞1 时，y＜0
当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
x…
列 表
y log 2
y log 1
x
x
… …
2
y
描
2
点
1 11
42
0 12
连
-1
线
-2
1/4 1/2 1
-2 -1 0 2 10
y=log2x
34
高中数学 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数性质的应用课件 新人教A版必修1
x∈(0,1)⇒y∈_(_－__∞_，__0_) ； x∈(0,1)⇒y∈_(_0_，__＋__∞_)；
x∈[1，＋∞)
x∈[1，＋∞)
⇒y∈__[_0，__＋__∞_)__
⇒y∈__(_－__∞_，__0_]_
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新知导学 1．对数复合函数的单调性 复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x) 与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为_增__函__数___；若f(x) 与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x减)]为函数__(_h_á_n_sh_ù_)． 对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看 成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单 调性“同增异减”的规律即可判断(pànduàn)．另外，在求复合 函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．
第二十八页，共48页。
(2)设 u＝3＋2x－x2，
则 u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0<u≤4.
又 y＝log1 u 在(0，＋∞)上是减函数，
2
∴log1 u≥log1 4＝－2，
2
2
∴y＝log1 (3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
2
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规律总结(zǒngjié)：求复合函数y ＝f[g(x)]值域的方法设y＝f(t)，t＝g(x)，先求t＝g(x)的值域再求 y＝f(x)的值域．
第二十页，共48页。
③因为 0＞log0.23＞log0.24，所以log10.23＜log10.24，即 log30.2 ＜log40.2.
④因为函数 y＝log3x 是增函数，且 π＞3，所以 log3π＞log33 ＝1.
对数函数及其性质
§2.2.2对数函数及其性质（第一课时）（人教A版.必修1）教学目标1、知识与技能理解对数函数的概念, 理解对数函数的单调性,掌握对数函数的性质.2、过程与方法培养学生数学交流能力和与人合作精神,用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学习,渗透数形结合的思想.渗透运用定义、数形结合、从特殊到一般等数学思想，通过探究、思考、反思，完善、培养学生的理性思维能力.3、情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生学习数学的兴趣.（2）用联系的观点分析、解决问题.通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性.利用对数函数的性质运算等解决日常生活中的简单问题,能培养学生学习数学的兴趣.教学重点重点是对数函数及定义域,对数函数的图象和性质.教学难点如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质教辅手段几何画板教学过程一、情景设置有一只神奇的金猪储钱罐，现在投入一枚金币，一天后将变成两枚，两天后变成四枚，三天后变成八枚，每天翻倍增长，假如储钱罐的容量为x枚，那么需要多少天才能装满储钱罐呢？我们一起来解决一下这个问题:因为2,4,8可以写成12,22,32的形式,观察到指数和天数相同,假设需要y 天可以把储钱罐装满,那么我们可以得到等式yx=2,现在是已知x 求y 的值,根据上节课所学的指数式与对数式的转化,可以得到表达式2y =lo g x,因为给定一个x 都有唯一确定的y 与之相对应,所以这个表达式是函数表达式,表达式右边是一个对数,所以把这个函数叫做对数函数,这就是我们今天要学习的内容——对数函数及其性质(标题) 二、 新知探究 处理方式 1给出对数函数的定义:一般地,我们把函数a y =lo g x(a >0,a 1≠且)叫做对数函数,其中x 是自变量. 2大家有没有注意到,我对a 有个限制条件,即a >0,a 1≠且,这是为什么呢?因为右边是一个对数,要求底数a>0,a 1≠且,那么对数还有没有其他限制条件呢?真数要大于0,所以自变量x 要求大于0,即得到函数的定义域为(0,)+∞. 3有了函数的定义,就要来研究这个函数,研究函数可以从解析式出发,也可以从图象来研究,所以我们先来画函数的图象,因为一般的对数函数图象不会画,那么就来画两个特殊的函数图象:2y=lo g x,12y=lo g x.(一二组画第一个函数图象,第三四组画第二个函数图象).大家注意取点的时候能不能取x 小于0的点呢?x 的取值要在定义域内取,并且一般取的点要取使函数值比较好计算的点.(选取学生画的几幅图象,用实物投影仪投影,及时讲解出现的问题,如只画了x1>的图象,图象没有延伸等等).如果把两个函数图象放在一张坐标纸上,大家可以看到两个函数图象有什么特征:函数2y =l o g x 和12y =lo g x的图象关于x 轴对称.其实并不是只有以2, 12为底的对数函数图象关于x 轴对称,只要底数a>0,a 1≠且,对数函数a 1ay =lo g x ,y =lo g x的图象就关于x 轴对称,归纳一句话就是底数互为倒数的两个对数函数,其图象关于x 轴对称.所以已知函数a y=lo g x的图象,就可以根据对称性得到函数12y=lo g x的图象.4回顾一下研究指数函数是从哪几方面出发的呢,函数三要素,以及函数基本性质,研究对数函数我们可以类比指数函数的方法,从定义域,值域,单调性,奇偶性,最大小值,特殊点出发.现在我们就通过函数图象来研究对数函数的这几个方面.我请一位同学来说说函数2y=lo g x的这几方面内容.从图象怎么观察呢?因为函数图象都在y 轴的右侧,与y 轴没有交点,所以定义域是(0,)+∞.函数图象是一直向上及向下无限延伸的,所以值域为R.单调性从图象上看是怎么看出来的呢?从左往右看,函数图象是逐渐上升的,所以函数在(0,)+∞是增函数,要注意到叙述一个函数是增函数或减函数的时候要注明在哪个区间.从图象上看函数图象即不关于y 轴,也不关于原点对称,所以函数是非奇非偶的.在学习指数函数的过程中知道，指数函数都过一个特殊的点，那么对数函数有没有这样的特殊点呢？事实上对数函数也有一个特殊的点（1，0）.因为什么呢?1的对数是0,对于a 0a 1>≠且都成立,实际上点(1,0)是对数函数的一个定点.还有函数12y=lo g x没有研究,我们也请一位同学来说说.定义域为(0,)+∞,值域为R,单调性是在(0,)+∞是减函数,是非奇非偶函数.5 研究了两个特殊的函数,那么一般的函数是如何的呢?在研究指数函数单调性的时候,把a 分为a1>和0a 1<<,那么对数函数是不是也是这样分的呢?大家一起来看看对数函数的图象.(几何画板演示)拖动点D,可以看到a 的值变化,函数a y=l o g x 随着a 的值变化而变化,从图象上可以看到函数的定义域为(0,)+∞,值域为R,单调性分为两类,当a 1>时,函数在(0,)+∞是增函数, 当0a 1<<时,函数在(0,)+∞是减函数,函数是非奇非偶函数,还有一个重要性质是函数过定点(1,0). 三、 即时体验 处理方式1、 引导学生独立探究或合作交流解决问题. 例1、求下列函数的定义域:（1） 2a y =lo g x; （2） a y=lo g (4-x );练习、课本73页练习1:求下列函数定义域: (1) 5y=lo g (1x )- (2) 21y=lo g x(3) 51y=lo g 1-3x(4) y=(练习的(1),(2),(3)小题叫学生到讲台解题)2、 引导学生交流探究结果，规范解题过程 例1分析:以前求定义域通常有几种情况:①函数解析式中含有分母,分母不能为0;②函数解析式含有根号,偶次根号下的式子为非负; ③0的0次幂没有意义; ④实际情况求解定义域.现在已经学习了对数函数,就多了一种情况了,若函数解析式中含有对数式,要求对数的真数大于0,底数大于0且不等于1. 例1解答:(1)要使2a lo g x 有意义,则要求2x 0>,即x≠,所以函数2a y=lo g x的定义域为{x|x 0}≠;(2)要使ay=l o g (4-x )有意义,则要求4x 0->,即x 4<,所以函数a y =lo g (4-x )的定义域为{x |x 4}<;例题小结:做求解函数定义域的题目要注意格式,并要求定义域要写成集合或者区间的形式.练习1讲评,针对学生的做法进行讲解.(4)分析:给出此题,要考虑到偶次根式的被开方数大于等于0,并且对数的真数要大于0,所以求定义域就是求3lo g x 0x 0≥⎧⎨>⎩的解集.那么3lo g x0≥该如何求解呢?如果不知道如何求,我们不妨从图象入手,首先画出函数3y=lo g x图象,从图象中可以观察到,当x 1≥时,函数值是大于等于0的,因此函数的定义域为{x |x 1}≥.如果题目换了,求的是函数y=?首先也是画出函数y=的图象，观察函数图象，当0x 1<<时，函数图象在x 轴上方，加上与x 轴的交点（1，0），得到函数的定义域为{x|0x 1}<≤.事实上,当a 1>时, 若x >1时,y>0;若0<x <1时,y 0<.当0<a <1时,若x >1时, y 0<,若0<x <1时, y >0.观察a 和x的范围,可以得到一个结论,用一句表达就是范围相同值为正,范围不同值为负. 事实上这些定义域,值域,以及性质都不用死记,画出函数图象,一切一目了然.画函数图象要抓住要点,底数的值是大于1还是在0到1之间,还有一个是抓住定点(1,0),有了这两条,函数图象大致就画出来了. 四、 归纳提升 处理方式引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果，教师帮助完善. 这节课主要上了两块内容,首先是函数的定义: 1、对数函数的定义: 一般地,我们把函数a y=lo g x(a >0,a 1≠且)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,)+∞.2、函数的图象,三要素以及性质,归纳成一张表就是:五、课后延续（一）回顾本课的学习过程，复习思考;（二）完成书面作业：课本P74习题2.2 A组：7 P82 复习题5 六、板书设计七、自我反思。
2.2.2_对数函数及其性质(2)_课件(人教A版必修1)
• (1)若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同， 则函数y＝f[g(x)]是增函数；
• (2)若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反， 则函数y＝f[g(x)]是减函数．
[解] 由 3x2－2x－1>0 得函数定义域为{x|x>1 或 x<－13}．
• 解：(1)当a>1时，原不等式等价于
a2a＋1<3a，解得a 2a＋1>0
(2)当 0<a<1 时，
原不等式等价于20a<＋a 1>3a， 3a>0
解得 0<a<1. 综上所述，a 的范围是 0<a<1 或 a>1.
• 类型二 对数型函数的单调性问题
• [例2] 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． • [分析] 本题考查复合函数单调性的判定方法．一般
若 a∈(1，＋∞)，当 x∈[0,1]时，u 是 x 的减函数， 函数 y＝logau 是 u 的增函数，那么函数 y＝loga(2－ax) 在[0,1]上是减函数，且 2－ax>0；当 x∈[0,1]时必须恒
2.2 对数函数
2．2.2 对数函数及其性质
第2课时 对数函数的性质应用
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.要借助函数图象掌握对数函数的性质，这是本节 内容的重点．
2．要会利用对数函数的性质解决相关问题，这也 是本节的一个难点内容．
3．理解指数函数和对数函数的互为反函数的关系.
研习新知
• 新知视界
解：先求函数的定义域 2－ax>0，有 ax<2. ∵a 是对数的底数，故有 a>0， ∴函数的定义域为{a|x<a}． 设 u＝2－ax，若 a∈(0,1)，当 x∈[0,1]时，u 是 x 的减函数，而 y＝logau 是 u 的减函数，那么函数 y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，不合题意；
高中数学2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质人教A版必修1
第1课时 对数函数的图象及性质[A 基础达标]1．y ＝2x与y ＝log 2x 的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．原点对称D ．y 轴对称解析：选B.函数y ＝2x与y ＝log 2x 互为反函数，故函数图象关于直线y ＝x 对称． 2．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )解析：选C.函数的定义域为(－∞，1)，且函数在定义域上单调递减，故选C.3．函数y ＝lg(x －1)＋lg(x －2)的定义域为M ，函数y ＝lg(x 2－3x ＋2)的定义域为N ，则( )A ．M NB ．N MC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选A.y ＝lg(x 2－3x ＋2)＝lg[(x －1)(x －2)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x －2<0，即x >2或x <1. 所以N ＝{x |x >2或x <1}． 又M ＝{x |x >2}．所以M N .4.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，且a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由题意可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的，结合题图知0<c <1.根据单调性易知0<a <1.5．已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝log a (x －b )的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.因为a ＞1，所以函数y ＝log a (x －b )(b ＜－1)的图象就是把函数y ＝log a x 的图象向左平移|b |个单位长度，如图．由图可知函数y ＝log a (x －b )不经过第四象限，所以选D.6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝______．解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.答案：57．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________． 解析：函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .答案：log 2x8．已知y ＝log a (3a －1)恒为正值，则a 的取值范围为________．解析：当⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<3a －1<1，即13<a <23时，y ＝log a (3a －1)恒正；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3a －1>1，即a >1时，y ＝log a (3a －1)恒正．综上，a 的取值范围为a >1或13<a <23.答案：a >1或13<a <239．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值范围． 解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示． (2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．所以所求a 的取值范围为0＜a ＜2. 10．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数y ＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断函数y ＝f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明． 解：(1)要使函数y ＝f (x )－g (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞0，3－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.所以函数y ＝f (x )－g (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜32.(2)由(1)知函数y ＝f (x )－g (x )的定义域关于原点对称，f (－x )－g (－x )＝log a (3－2x )－log a (3＋2x ) ＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )]＝－[f (x )－g (x )]．所以函数y ＝f (x )－g (x )是奇函数．[B 能力提升]11．已知a >0且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )解析：选C.因为函数y ＝a x与y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称，当0<a <1时，y ＝x ＋a 的纵截距小于1，y ＝log a x 单调递减且过点(1，0)，y ＝a x 单调递减且过点(0，1)，此时C项符合题意，A 、B 项均不符合题意．当a >1时，y ＝x ＋a 的纵截距大于1，y ＝log a x 单调递增且过点(1，0)，y ＝a x单调递减且过点(0，1)，D 项不符合题意．12．已知函数y ＝|log 12x |的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，值域为[0，1]，则m 的取值范围为________．解析：作出y ＝|log 12x |的图象(如图)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝1， 由题意结合图象知：1≤m ≤2. 答案：[1，2]13．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(4，2)， (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(4，2)，则2＝log a 4，所以a 2＝4. 因为a >0且a ≠1，所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )，由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1＋x >0得－1<x <1. 所以g (x )的定义域为(－1，1)．14．(选做题)求函数y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2. 设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－13 2.1时，y min＝。
2016高一人教A版数学必修1课件：2.2.2第1课时 对数函数的图象及性质
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• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)y ＝ log2x2 与 y ＝ logx3 都 不 是 对 数 函 数．( )
• (2) 对 数 函 数 的 图 象 一 定 在 y 轴 右 侧．( )
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• 求下列函数的定义域：
(1)y＝ lg（2－x）；
(2)y＝log3（31x－2）； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
• 【思路探究】 对于(1)首先要保证根式有
意义，对于(2)首先要保证分母不为0，对于
• 【解】 当a＞1时，a越大图象越靠近x 轴，
• ∴C2对应的a值大于C4对应的a值，
• ∴C2对应的a值为2.2，C4对应的a值为1.1.
• 当0＜a＜1时，a越小图象越靠近x轴，
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∴C1 对应的 a 值为110，C3 对应的 a 值为12. 综上所述，C1，C2，C3，C4 对应的 a 值依次为110， 2.2，12，1.1.
【解析】 因为 y＝ xln(1－x)，所以x1≥ －0x， >0，
解得 0≤x<1.
【答案】 B
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• 4．(1)函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1) 恒过定点________．
2.2.2对数函数及其性质(1).ppt
②当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数, 于是log a5.1＞log a5.9
注意:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小 的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底 数进行讨论来比较两个对数的大小.
口答：比较下列各题中两个值的大小
第21页，共23页。
比较两个对数值的大小.
㈠ 若底数为同一常数,则可由对数函数 的单调性直接进行判断.
㈡ 若底数为同一字母,则按对数函数的 单调性对底数进行分类讨论. ㈢ 若底数、真数都不相同,则常借助1、
0、－1等中间量进行比较
第22页，共23页。
作业 Ⅰ 熟记对数函数
的图象和性质
Ⅱ 习题2.2 7，8,12
(3) log35 和 log45
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1 log76＜log77＝1
∴ log67＞log76
⑵ ∵ log3π＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
∴ log3π＞log20.8
(3)有两种方法:一是利用图像;二是利用换底公式,结合对数 函数的性质进行比较.
2 y
0 -1 -2 -3
5 4
y＝log2x
3
2
1
0
-1
12 345 678
x
-2
-3
y= log 1x
2
这两个函数 的图象有什
么关系呢？
关于x轴对称
第12页，共23页。
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象
0 (1,0)
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(1)log13，log13；(2)log67，log76.
2 5
解：(1)∵在 x∈(1，＋∞)上，y＝log1x 的图象在 y
5
＝log1x 图象的上方，∴log13>log13.
2 5 2
(2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1， ∴log67>log76.
类型四 [例 4] [分析]
ห้องสมุดไป่ตู้
定义 底数
y＝logax(a>0，且 a≠1) a>1 0<a<1
图象
定义域 值域 单调性 共点性
{x|x>0} R 增函数 减函数 图象过点(1,0)，即 loga1＝0 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0]
• [分析] 观察各组数的特征，看其是否直接可以利 用对数单调性比较大小． • [解] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， π>0.9， • 所以log2π>log20.9. • (2)由于log20.3<log21＝0，log0.20.3>log0.21＝0， • 所以log20.3<log0.20.3.
• 2．对数函数的图象
图4
• 函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的 影响观察图象，注意变化规律： • (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大， 图象向右越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象向右 越靠近x轴． • (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐 标越大，对应的对数函数的底数越大．
• (2)函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置 的影响
• 观察图象，注意变化规律： • ①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大， 图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x 轴． • ②左右比较：(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐 标越大，对应的对数函数的底数越大．
• 3．在比较对数值大小时要分清底数大于1还是小于 1，不同底尽量化为同底；需要时要引入中间量0、 1，或用作差(商)法，或结合图象解决． • 4．对数函数的性质 • 要从定义域、值域、单调性、特殊点等几个方面掌 握对数函数的性质，理解记忆性质要结合图象，即 “看图说话”．
课时作业（19）
• [解析] 由y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)知，图象 应在y轴左侧，可排除A、D选项． • 当a>1时，y＝ax 应为增函数，y＝loga(－x)应为减函 数，可知B项正确． • 而对C项，由图象知y＝ax递减⇒0<a<1⇒y＝loga(－x) 应为增函数，与C图不符． • [答案] B • [点评] (1)利用函数代数性质寻找图象的几何特征， 体现了依数论形的思想方法．
a
函数值
对称性 趋势
函数 y＝logax 与 y＝log1x 的图象关于 x 轴 对称 a 值越大 a 值越小 图象越靠近 x、y 轴 图象越靠近 x、y 轴
• 思考感悟 • 函数y＝ax与y＝logax的定义域与值域有什么关系？ • 提示：y＝ax 的定义域为R，值域为(0，＋∞)，y＝ logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R，即它们的定 义域和值域互换．
• • • •
(3)因为60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1， 又log0.76<log0.71＝0， 所以60.7>0.76>log0.76. (4)底数不同，但真数相同，根据y＝logax的图象在 a>1，x>1时，a越大，图象越靠近x轴，如图3所示， 知log30.4>log20.4.
2
变式体验 4
求下列函数的值域．
4x－3 (1)y＝log2 ； x－1 1 (2)y＝log2x－( )x(x∈[2,4])． 2
4x－3 4x－3 4x－3 1 解：(1)∵ ＝4＋ ≠4，∴ >0，且 x－1 x－1 x－1 x－1 ≠4.∴y≠log24＝2.∴值域为{y|y≠2}． (2)由对数函数和指数函数的单调性知，该函数是 12 3 [2,4]上的增函数，当 x＝2 时，ymin＝log22－( ) ＝ .当 x 2 4 1 4 31 3 31 ＝4 时，ymax＝log24－( ) ＝ ，∴值域为[ ， ]． 2 16 4 16
• 思悟升华
• 1．对数函数的概念
• (1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，
如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有形 如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是． • (2)由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R， 值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过 程知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0， ＋∞)，值域为(－∞，＋∞)，它们互为反函数．
2
互 动 课 堂
典 例 导 悟 类型一 对数函数的定义域问题 [例 1] 求下列函数的定义域：
lg4－x (1)f(x)＝ ； x－3 (2)y＝ log0.14x－3.
[解]
4－x>0 (1)由 x－3≠0
得 x<4 且 x≠3，
∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
自 我 检 测 1．函数 y＝logax 的图象如图 1 所示，则实 数 a 的可能取值是( A．10 1 C. 2 ) B．e D．2
图1
解析：因为图象过点(1,0)，且在(0，＋∞)上下降， 1 故此对数函数单调递减，故 a 可能取 . 2
答案：C
2．函数 f(x)＝lg(x－1)＋ 4－x的定义域为( A．(1,4] C．[1,4] B．(1,4) D．[1,4)
)
x－1>0 解析：由 4－x≥0
得 1<x≤4，故函数的定义域
为(1,4]．
答案：A
3．函数 f(x)＝ 1－lnx的定义域是________．
解析：由1－lnx≥0得lnx≤1即0<x≤e. 答案：(0，e]
• 4．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为________． • 解析：∵x≥1，log2x≥0，故y＝2＋log2x≥2. • 答案：[2，＋∞)
x>0 得 1 x≤2
1 1 ∴0<x≤ ，∴定义域为(0， ]． 2 2
• 类型二 对数函数的图象问题 • [例2] 已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图 象可能是( )
• • • •
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①两函数的底数都是a； ②对数函数的真数为－x. 解答本题可先由函数定义域判断函数图象的位置， 再对底数a进行讨论，最后确定选项．
4x－3>0 (2)由 log0.14x－3≥0 4x－3>0 得 4x－3≤1
，
3 ∴ <x≤1， 4 3 ∴所求定义域为( ，1]． 4
• [点评] 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵 循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对 这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大 于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单 调性．
图3
log25 3 (5)利用换底公式化为同底.3log45＝3 ＝ log 5 log24 2 2 ＝log2 125，2log23＝log29<log2 125＝3log45. [点评] (1)同底数的两个对数值的大小比较， 由对 数函数的单调性比较． (2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小 比较，常用放缩法和引入中间变量法比较．
变式体验 1
求下列函数的定义域．
1 (1)f(x)＝ ；(2)f(x)＝ log1x－1. 2 1－log3x－1
x－1>0 解：(1)由 log3x－1≠1
x>1 得 x≠4
∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)．
x>0 (2)由log1x－1≥0 2
• 变式体验2 函数y＝ax与y＝－logax(a>0且a≠1)在同 一坐标系中的图象形状可能是( )
•
解析：∵y＝ax与y＝－logax的单调性相反，可排 除C、D选项，又y＝－logax中x>0，可排除B. • 答案：A
• 类型三 比较大小问题 • [例3] 比较下列各组数的大小：
(1)log2π与log20.9； (2)log20.3与log0.20.3； (3)log0.76,0.76与60.7； (4)log20.4，log30.4； (5)3log45,2log23.
对数函数的值域问题 求函数 y＝log1(3＋2x－x2)的值域．
2
本题考查复合函数值域的求法．
[解] 由 3＋2x－x2>0，得－1<x<3， ∴函数 y＝log1(3＋2x－x2)的定义域为(－1,3)．
2
设 u＝3＋2x－x2(－1<x<3)， 则 u＝－(x－1)2＋4， ∵－1<x<3，∴u∈(0,4]． ∵y＝log1u 是减函数，∴y∈[－2，＋∞)．
• (3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较， 如y1＝loga1x与y2＝loga2x的比较． • 当a1>a2>1时，当x>1时，y1<y2； • 当0<x<1时，y1>y2； • 当0<a2<a1<1时，当x>1时，y1<y2； • 当0<x<1时，y1>y2.
变式体验 3
比较下列各组数中两个值的大小：
2.2
对数函数
2．2.2
对数函数及其性质