《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案

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c) 设 x(n) = δ (n) + δ (n − 1)
i)向n > 0 处递推
y3 (1) = ay3 (0) + x3 (1) = 1 y3 (2) = ay3 (1) + x3 (2) = a y3 (3) = ay3 (2) + x3 (3) = a2
┇ y3 (n) = ay3 (n − 1) + x3 (n) = a n−1 ∴ y3 (n) = a n−1 , n ≥ 1 ii)向 n < 0 处递推
解：(1 )
n
y(n) = ∑ x(m ) m = −∞
n
y1 (n ) = T [x1 (n )] = ∑ x1 (m ) m = −∞
y2 (n ) = T [x2 (n )] =
n
∑ x2 (m )
m = −∞
n
ay1(n)+ by2 (n) = ∑[ax1(m) + bx2 (n)] m = −∞
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T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7Hale Waihona Puke ②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
m=n0
m
( ) ( ) = α n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
n +1− n0
, α≠β
α −β
y(n) = α n−n0 (n + 1− n0 ) , (α = β )
(3) 当 n ≥ n0 + N − 1 时 , 全重叠
n
y(n) = ∑ x(m)h(n − m)
m = n- N +1
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n−N +1
n
n βm
n0
α
m=n−N +1
( ) ( ) = α n β −n0
β α
− n − N +1
β
α
1−
x(n
− m)sin
2π 9
+
π 7
即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴系统是移不变的
T [ax1(n) + bx2 (n)]
=
[ax1
(n)
+
bx2
(n
)]sin(
2π 9
+
π 7
)
即有 T [ax1(n)+ bx2 (n)]
= ay1(n) + by2 (n)
∴系统是线性系统
(1) T [ x(n)] = g(n)x(n) (2) (3) T [ x(n)] = x(n − n0 ) (4)
T [x(n − m)] = [x(n − m)]2 y(n − m) = [x(n − m)] 2 即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴ 系统是移不变的
11
( ) y1(n)
=
x1(n)sin
2π 9
+
π 7
( ) y2(n)
=
x2 (n)sin
2π 9
+
π 7
解：(3)
y(n)
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
∴所给系统在 y(0) = 0 条件下是线性系统。
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
数字信号处理教程 课后习题及答案
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目录
第一章 离散时间信号与系统 第二章 Z 变换 第三章 离散傅立叶变换 第四章 快速傅立叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构 第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第七章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法 第八章 数字信号处理中有限字长效应
=
x(n)sin⎜⎝⎛
2π 9
+
π 7
⎟⎠⎞
ay1(n)+ by2 (n)
=
ax1(n
)
sin(
2π 9
+
π 7
)
+
bx2
(n)
sin(
2π 9
+
π 7
)
7. 试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？
( ) T[x(n
−
m )] =
x(n
−
m)sin
2π 9
+
π 7
( ) y(n
− m)=
=
1 a
[
y
2
(0)
−
x2 (0)]
=
0
y2
(−2)
=
1 a
[
y2
(−1)
−
x2
(−1)]
=
0
┇
y2
(n)
=
1 a
[
y2
(n
+
1)
−
x2
(n
+
1)]
=
0
综上 i), ii) 可得： y2 (n) = a n−1u(n − 1)
由 (a) , (b) 结果可知，
x(n) 与 x2 (n)是移一位的关系，但 y1 (n) 与 y２(n) 不是移一位的关系，所以在 y(0) = 0 条件下，系统不是移不变系统。
y3
(−1)
=
1 a
[
y3
(0)
−
x3
(0)]
=
−a
−1
y3 (−2)
=
1 a
[ y3 (−1)
−
x3 (−1)]
=
−a −2
┇
y3 (n)
=
1 a
[y3 (n
+ 1)
−
x3 (n
+
1)]
= −an ,
n ≤ −1
综上 i), ii) 可得：
y3 (n) = a n−1u(n − 1) − a nu(−n − 1) = y1 (n) + y2 (n)
+ 1)
−
x1 (n
+ 1)]
=
−a n
综上 i) , ii) 可知： y1 (n) = −a nu(−n − 1)
(b) 设 x(n) = δ (n − 1)
i)向 n > 0 处递推 ，
按 y2 (n) = ay 2 (n − 1) + x2 (n)
y2 (1) = ay 2 (0) + x2 (1) = 1
③当 2π / ω 0 = 无理数 ，则 x ( n ) 不是周期序列。
解：(a ) x(n) = A cos( 3π n − π ) 78
2π
/ω0
= 2π
/ 3π 7
= 14 3
∴ 是周期的 , 周期为 14 。
(b)x(n) = A sin(13 πn) 3
(c)∴2xπ(是n/)周ω=0期e=j的(2n6π，− /周π1)33期=π是c=os61(6。36n − π ) +