【配套K12】[学习]北京市丰台区2018届九年级数学上学期期末考试试题新人教版

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2017-2018学年北京市丰台区初三第一学期期末数学试卷(含答案)

丰台区2017～2018学年度第一学期期末练习初三数学2018. 01考生须知1. 本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果(），那么下列比例式中正确的是 A ．B ．C ．D ．2．将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ． B ． C ．D ．3．如图，在△中，∠C = 90°， = 5， = 3，则的值为 A ．B ．C ．D ．4．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律.例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②①③④A．①B．②C．③D．④5．如图，点A为函数（x > 0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交轴于点B，连接，如果△的面积为2，那么k的值为A．1 B．2C．3 D．46．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△相似的是A B C D7．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠140°，那么∠的度数为A．70°B．110°C．140°D．70°或110°8．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…0123…y… 3 0 m 3 …有以下几个结论：①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2. 其中正确的是 A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如果α =，那么锐角α = . 10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 .11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰的高度为2，倒立的像A ＇B ＇的高度为5，点O 到的距离为4，那么点O 到A ＇B ＇的距离为 .12．如图，等边三角形的外接圆⊙O 的半径的长为2，则其内切圆半径的长为 .13．已知函数的图象经过点（2，1），且与x 轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .图1图214．在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形，改建的绿地是矩形，其中点E 在上，点G 在的延长线上，且 = 2. 如果设的长为x （单位：m ），绿地的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为；当 = m 时，绿地的面积最大.16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答以下问题：已知：⊙O 和⊙O 外一点P ．求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，（1）连接；（2）分别以点O 和点P 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；（3）作直线，交于点C ；（4）以点C 为圆心，的长为半径作圆，交⊙O 于A ，B 两点；C NPO AM B（1）连接，，可证∠ =∠ = 90°，理由是；（2）直线，是⊙O 的切线，依据是．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分） 17．计算：.18．如图，△中，∥，如果 = 2， = 3，= 4，求的长.19．已知二次函数y = x 2 - 4x + 3．（1）用配方法将y = x 2 - 4x + 3化成y = a (x - h )2 + k 的形式；（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； 54441123321213xO y（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是 .20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，为⊙O的直径，弦⊥于点E，= 1寸，= 10寸，求直径的长．请你解答这个问题.21．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为P(m，2).（1）求k的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a > b时，n的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m 的测角仪测得人民英雄纪念碑顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪测得人民英雄纪念碑顶部M 的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接并延长交于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑的高度.（参考数据：35°≈0.6，35°≈0.8，35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.24．如图，是⊙O的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交⊙O于点，连接.（1）求证：是⊙O的切线；（2）当时，求的长.25．如图，点E是矩形边上一动点（不与点B重合），过点E 作⊥交于点F，连接．已知= 4，= 2，设A，E两点间的距离为，△面积为2．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如下表：00.51 1.52 2.53 3.5…2 4.0 3.7 3.9 3.8 3.3 2.0…（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△面积最大时，的长度为．26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（，），B（，），其中，，与y轴交于点C，求的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果，直接写出点Q的坐标.27．如图，∠90°，，，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与，交于点M，N，与，的延长线交于点E，F，连接.（1）在∠旋转的过程中，当∠∠时，如图1，求证：；（2）在∠旋转的过程中，当∠≠∠时，如图2，如果∠30°，2，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明.图1 图228．对于平面直角坐标系中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的半径为r，⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”.（1）当⊙O的半径为1时，①在点P1（，），P2（0，－2），P3（，0）中，⊙O 的“离心点”是；②点P（m，n）在直线上，且点P是⊙O的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；（2）⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴、y轴分别交于点A，B. 如果线段上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围.丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案C A B BD A D D二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 30°；10. ；11. 10；12. 1；13. 或等，答案不唯一；14.（2，0）；15.（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：=，……3分=……4分=. ……5分18. 解：∵∥，∴.……2分即．∴＝6．……4分∴＝ + ＝10． ……5分其他证法相应给分.19.解：（1）.……2分（2）如图： ….3分（3） ….5分20.解：连接，∵为⊙O 的直径，弦⊥于点E ，且10，∴∠＝90°，.……2分设，则，∴.在中，∵， ∴.∴. ...4分 ∴ = 2 26（寸）. 答：直径的长26寸． (5)分21. 解：（1）一次函数的图象经过点，． ……… 1分点P 的坐标为(1，2). ……… 2分∵反比例函数的图象经过点P (1，2)，………3分（2）或 (5)分22.解：由题意得，四边形，为矩形， ∴1.5. 15. 在中，x =2y =x 2-4x +354411231213xO y∠＝90°，∠＝45°， ∴∠＝∠＝45°. ∴＝. …2分设＝＝x ，则＝15. 在中，∠＝90°，∠＝35°， ∵，∴ .∴.∴. (4)分 ∴. ∴人民英雄纪念碑.的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图.于是抛物线的表达式可以设为根据题意，得出A ，P 两点的坐标分别为A （0，2），P （1，3.6）. ……2分 ∵点P 为抛物线顶点，∴ .∵点A 在抛物线上， ∴，.…3分∴它的表达式为. ……4分当点C 的纵坐标0时，有.（舍去），.∴2.5. ∴水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m. ……5分OyxPCA14 / 1624.（1）证明：连接，∵为⊙O 的直径，点是的中点，∴∠＝90°. (1)分∵,，∴是的中位线. ∴∥. ∴∠＝∠＝90°. ……2分 ∴.∴是⊙O 的切线. ……3分其他方法相应给分.（2）解：由（1）知∥，∴△∽△. ∴.∵ = 2，∴ = 2， = 4，∵，∴，∴3. (4)分在中，∠＝90°，.∵ ，∴.即. ∴=..……5分其他方法相应给分.25.（1）；.……1分（2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分（4）0或2. ……6分 26. 解：（1）……1分解得. ……2分∴. ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得， . …… 3分∴ 2 2. ……5分其他方法相应给分. （3）点Q 的坐标为（）或（）．……7分27.解：（1）证明：∵，，，∴△≌△. …1分∴∠∠45°，可证∠∠135°. ……2分又∵∠∠，xylBCA–3–2–11234–3–2–112345OOyx4321123415 / 16∴△≌△.∴. ……3分其他方法相应给分.（2）过点C 作⊥于点G ，求得.……4分∵∠∠135°，∴∠∠45°. 又∵∠∠45°，∴∠∠.∴△∽△. ……5分 ∴，即. ……6∴. ……7分28.解：（1）①，； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则. …3分解得，. ……4分故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标的取值范围为：≤＜或＜≤. ……8分G EMN F AC。

每日一学：北京市北京市丰台区2018届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答

每日一学：北京市北京市丰台区2018届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答答案北京市北京市丰台区2018届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题~~ 第1题 ~~(2018丰台.九上期末) 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.（1）当⊙O 的半径为1时，①在点P （，），P （0，－2），P （，0）中，⊙O 的“离心点”是；②点P （m ，n ）在直线 y = − x + 3 上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2） ⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.考点：定义新运算;解一元一次不等式组;一次函数的性质;勾股定理;切线的判定与性质;~~ 第2题~~(2018丰台.九上期末) 下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.已知:⊙o 和⊙O 外一点P求作:过点P 的⊙O 的切线。

作法:如图,①连接OP;②分别以点和点P 为心,大于OP 的长为半轻作孤,两弧相交于M,N 两点③作直线MN,交OP 于点C④以点C 为圆心,CO 的长为半径作圆,交⊙O 于A,B 两点⑤作直线PA,PB 直线PA,PB 即为所求作⊙O 的切线请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；（2）直线PA ，PB 是⊙O 的切线，依据是．~~ 第3题 ~~123(2018丰台.九上期末) 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…0123…y…30m3…有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.其中正确的是（）A . ①④B . ②④C . ②③D . ③④北京市北京市丰台区2018届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答~~ 第1题 ~~答案：解析：答案：解析：~~ 第3题 ~~答案：D解析：。

2017-2018学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2017-2018学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如果3a=2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（）A. B. C. D.2.将抛物线y=x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tan A的值为（）A.B.C.D.4.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（）A. B. C. D.5.如图，点A为函数y=（x＞0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接OA，如果△AOB的面积为2，那么k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A. B. C.D.7.如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点，如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为（）A. B. C. D. 或8.2有以下几个结论：抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1；方程ax2+bx+c=0的根为0和2；当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知sinα=，那么锐角α的度数是______．10.半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为______．11.如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒立的像，如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A′B′的距离为______cm．12.如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为______．13.已知函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式______．14.在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为______．15.在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG=2BE，如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的表达式为______；当BE=______m时，绿地AEFG的面积最大．16.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O和点P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（3）作直线MN，交OP于点C；（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．请回答以下问题：连接OA，OB，可证∠OAP=∠OBP=90°，理由是______；直线PA，PB是⊙O的切线，依据是______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．18.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD=AC，点E是OB上一点，且=，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB=2时，求BH的长．四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）19.计算：2cos30°+sin45°-tan60°．20.如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD=2，DB=3，AE=4，求AC的长．21.已知二次函数y=x2-4x+3．（1）用配方法将y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是______．22.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.23.24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1于双曲线y=的一个交点为P（m，2）．（1）求k的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．25.在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E，请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考依据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）26.如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB=4cm，AD=2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是______；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为______cm．27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（，），B（，），其中，，与y轴交于点C，求BC-AC的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q，如果OP=OQ，直接写出点Q的坐标.28.如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．29.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的半径为r，⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”．（1）当⊙O的半径为1时，在点P1（，），P2（0，-2），P3（，0）中，⊙O的“离心点”是______．点P（m，n）在直线y=-x+3上，且点P为⊙O的“离心点”，求点P的横坐标m 的取值范围．（2）⊙C的圆心在y轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵3a=2b，∴a：b=2：3，b：a=3：2，即a：2=b：3，故A，B均错误，C正确，D错误．故选：C．先逆用比例的基本性质，把3a=2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得解．本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积．本题也可以将各选项中的比例式化为等积式进行判断．2.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2），∴所得抛物线的解析式为y=x2+2．故选：A．求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．3.【答案】B【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC==4，∴tanA==．故选：B．先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义．4.【答案】B【解析】解：观察图象可知，AC≈0.618AB，DE≈0.618CD，∴按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②，故选：B．关键黄金分割的比值是0.618，即可判断．本题考查黄金分割（0.618）的应用，解题的关键是记住黄金分割的比值是0.618．5.【答案】D【解析】解：根据题意可知：S△AOB=|k|=2，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=4．故选：D．根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|=2，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值．本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．6.【答案】A【解析】解：根据题意得：AB==，AC=2，BC==，∴BC：AC：AB=1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．7.【答案】D【解析】解：如图1，∠ACB=∠AOB=70°；如图2，∠ADB=∠AOB=70°，∠ADB+∠ACB=180°，∴∠ACB=110°．故选：D．根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可．本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将（-1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2-2x=x（x-2）=（x-1）2-1，由a=1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x=1，故②错误；当y=0时，x（x-2）=0，解得x=0或x=2，∴方程ax2+bx+c=0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x-2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．根据表格中的x、y的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得．本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．9.【答案】30°【解析】解：∵角α是锐角，且sinα=，∴∠α=30°．故答案为：30°．根据特殊角的锐角三角函数值求解．本题主要考查的是特殊角的三角函数值．10.【答案】π【解析】解：l===π．故答案为π．将n=60，r=2代入弧长公式l=进行计算即可．本题考查了弧长的计算．熟记弧长公式l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题的关键．注意在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．11.【答案】10【解析】解：∵AB∥A'B'，∴△ABO∽△A'B'O，∴=是相似比，∴点O到A′B′的距离=，故答案为：10由相似三角形判定可得△ABO∽△A'B'O，利用对应边成比例可得点O到A′B′的距离．考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．12.【答案】1【解析】解：过点O作OH⊥AB与点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB=60°，∵O为三角形外心，∴∠OAH=30°，∴OH=OA=1，故答案为：1过点O作OH⊥AB与点H，则OH为内切圆的半径，根据等边三角形的性质即可求出OH的长．本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13.【答案】y=或y=x2-4x+5【解析】解：∵函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，∴该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数，∴符合题意的函数的表达式可以为y=或y=x2-4x+5．故答案是：y=或y=x2-4x+5．该函数图象与x轴没有交点，可以推知该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数．利用函数是性质解答即可．考查了反比例函数，一次函数，正比例函数和二次函数的性质，根据“与x轴没有交点”推知该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数是解题的关键．14.【答案】（2，0）【解析】解：已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），如图：可设：AB的垂直平分线解析式为：y=kx+b，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：，解得：，所以AB的垂直平分线解析式是y=-x+2，设AC的垂直平分线解析式为x=m，把（2，2）代入解析式，可得：x=2，所以AC的垂直平分线解析式是x=2，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），则过A、B、C三点的圆的圆心，就是弦的垂直平分线的交点，故求得AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的交点即可．此题考查垂径定理，圆心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是解决本题的关键．15.【答案】y=-2x2+8x+64（0＜x＜8）， 2【解析】解：设BE的长为x，绿地AEFG的面积为y，由图形可得：y=-2x2+8x+64（0＜x ＜8），解析式变形为：y=-2（x-2）2+72，所以当x=2时，y有最大值，故答案为：y=-2x2+8x+64（0＜x＜8），2．设BE的长为x，绿地AEFG的面积为y，根据题意得出函数解析式进行解答即可．此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．16.【答案】直径所对圆周角是直角经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】解：①连接OA，OB，可证∠OAP=∠OBP=90°，理由是：直径所对圆周角是直角，故答案为：直径所对圆周角是直角；②直线PA，PB是⊙O的切线，依据是：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．①根据“直径所对圆周角是直角”可得；②根据“经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及圆周角定理、切线的判定．17.【答案】解：如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（1，3.6）、点A（0，2），设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3.6，将点A（0，2）代入，得：a+3.6=2，解得：a=-1.6，则抛物线的解析式为y=-1.6（x-1）2+3.6，当y=0时，有-1.6（x-1）2+3.6=0，解得：x=-0.5（舍）或x=2.5，∴BC=2.5，答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m．【解析】建立以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴的直角坐标系，根据顶点P（1，3.6）设其解析式为y=a（x-1）2+3.6，把A（0，2）代入求得a的值，据此可得其函数解析式，再求得y=0时x的值可得答案．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．18.【答案】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC=90°，∵OA=OB，CD=AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD=∠AOC=90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB=2，∴OC=OB=2，AB=4，，∴，∴BF=3，在Rt△ABF中，∠ABF=90°，根据勾股定理得，AF=5，∵S△ABF=AB•BF=AF•BH，∴AB•BF=AF•BH，∴4×3=5BH，∴BH=．【解析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．19.【答案】解：原式=2×+-，=，=．【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后按实数的运算顺序计算即可．此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．20.【答案】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=6，∴AC=AE+EC=4+6=10；【解析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．21.【答案】-1≤y≤3【解析】解：（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1；（2）这个二次函数的图象如图：（3）当0≤x≤3时，-1≤y≤3．故答案为-1≤y≤3．（1）运用配方法把一般式化为顶点式；（2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；（3）运用数形结合思想解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．22.【答案】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD=10寸，∴CE=DE=CD=5寸，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，即（x-1）2+52=x2，解得：x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸．【解析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．23.【答案】解：（1）∵直线y=x+1于双曲线y=的一个交点为P（m，2），∴把P（m，2）代入一次函数解析式得：2=m+1，即m=1，∴P的坐标为（1，2），把P坐标代入反比例解析式得：k=2；（2）根据题意得：当a＞b时，n的取值范围为n＜0或n＞2．【解析】（1）把P坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出P坐标，把P坐标代入反比例解析式求出k的值即可；（2）由题意，结合图象及反比例函数的增减性求出n的范围即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24.【答案】解：由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，在Rt△MED中，∠MED=90°，∠MDE=45°，∴ME=DE，设ME=DE=x，则EC=x+15，在Rt△MEC中，∠MEC=90°，∠MCE=35°，∵ME=EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN=ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【解析】在Rt△MED中，由∠MDE=45°知ME=DE，据此设ME=DE=x，则EC=x+15，在Rt△MEC中，由ME=EC•tan∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN=ME+EN可得答案．本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．25.【答案】0≤x ＜4 0或2【解析】解：（1）∵点E 在AB 上，∴0≤x ＜4，故答案为：0≤x ＜4；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴BC=AD=2，CD=AB=4，∠A=∠B=90°， ∴∠ADE+∠AED=90°， ∵EF ⊥DE ，∴∠AED+∠BEF=90°， ∴∠ADE=∠BEF ，∵∠A=∠B=90°， ∴△ADE ∽△BEF ， ∴，∵AE=x ，∴BE=AB-AE=4-x ， ∴，∴BF=，当x=1时，BF=，∴CF=BC-BF=2-=，y=S 矩形ABCD -S △ADE -S △BEF -S △CDF =8-×2×1-×3×-×4×=3.75≈3.8，当x=2时，BF=2，∴CF=BC-BF=0，此时，点F 和点C 重合，y=S 矩形ABCD -S △ADE -S △BEF =8-×2×2-×2×2=4.0故答案为：3.8，4.0（3）描点，连线，画出如图所示的图象，（4）由图象可知，当x=0或2时，△DEF面积最大，即：当△DEF面积最大时，AE=0或2，故答案为0，2．（1）利用点E在线段AB上，即可得出结论；（2）先判断出△ADE∽△BEF，得出，进而表示出BF=，再取x=1和x=2求出y的即可；（3）利用画函数图象的方法即可得出结论；（4）由图象可知，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法，函数图象的画法，解本题的关键是用AE表示出BF．26.【答案】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点（2，3），对称轴为直线x=1，∴ ，解得，∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；（2）如图，设直线l与对称轴交于点M，则BM=AM．∴BC-AC=BM+MC-AC=AM+MC-AC=2MC=2；（3）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点为（1，4），∵将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，∴新抛物线的顶点为（1，0），∴将原抛物线向下平移4个单位即可．设点P的坐标为（x，y），则y=-x2+2x+3，点Q的坐标为（x，y-4），则y＞y-4．∵OP=OQ，∴x2+y2=x2+（y-4）2，∴y2=（y-4）2，∵y＞y-4，∴y=-（y-4），∴y=2，∴y-4=-2，当y=2时，-x2+2x+3=2，解得x=1±，∴点Q的坐标为（1+，-2）或（1-，-2）．【解析】（1）将点（2，3）代入y=-x2+bx+c，可得-4+2b+c=3，根据对称轴为直线x=1，得出=1，把两个方程联立得到二元一次方程组，求解得出抛物线的表达式；（2）设直线l与对称轴交于点M，根据抛物线的对称性得出BM=AM．那么BC-AC=BM+MC-AC=AM+MC-AC=2MC=2；（3）先利用配方法求出原抛物线的顶点为（1，4），根据上下平移横坐标不变，纵坐标相加减得出新抛物线的顶点为（1，0）．再设点P的坐标为（x，y），则y=-x2+2x+3，点Q的坐标为（x，y-4），根据OP=OQ列出方程进而求解即可．本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，二次函数图象与几何变换，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式等知识，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．27.【答案】（1）证明：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC=45°，∴∠FAC=∠EAC=135°，∵∠FCA=∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE=AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC=2，∠B=30°，∴CG=BC=1，∵AG=AC=1，∴AC=，∵∠FAC=∠EAC=135°，∴∠ACF+∠F=45°，∵∠ACF+∠ACE=45°，∴∠F=∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴=，∴AC2=AE•AF，∴AE•AF=2．【解析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC=∠DAC=45°，推出∠FAC=∠EAC=135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出=，可得AC2=AE•AF，求出AC即可解决问题；本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】P2、P3【解析】解：（1）①∵P1（，），P2（0，-2），P3（，0），∴OP=1，OP2=2，OP3=，1∴点P1在⊙O上，不符合题意，∵过P2的切线长==，＜2，∴P2是，⊙O的“离心点”，∵过P 3的切线长==2，2=2，∴P3是⊙O的“离心点”，故故答案为P2、P3．②如图1中，设P（m，-m+3）．当过点P的切线长为2时，OP=5，∴m2+（-m+3）2=5，解得m=1或2．观察图象可知1≤m≤2．（2）①如图2中，当点C在y轴的正半轴上时，经过点B（0，1）时，A（2，0），当AC=2，点A是“离心点”，此时C（0，4），观察图象可知当⊙C的纵坐标y c满足3＜y c≤4时，线段AB上的所有的点都是“离心点”；②如图3中，当点C在y轴的负半轴上时，BC=2时，点B是“离心点”，此时C（0.1-2）．如图4中，当⊙C与直线y=-x+1相切时，设切点为N．由△CNB∽△AOB可得：=，∴=，∴OB=，∴C（0，1-），观察图象可知当⊙C的纵坐标y c满足1-2≤y c＜1-时，线段AB上的所有的点都是“离心点”；综上所述，⊙C的纵坐标y c满足3＜y c≤4或1-2≤y c＜1-时，线段AB上的所有的点都是“离心点”；（1）①根据⊙C的“离心点”的定义即可判断；②根据⊙C的“离心点”的定义，构建方程即可解决问题；（2）分两种情形①如图2中，当点C在y轴的正半轴上时，经过点B（0，1）时，C（2，0），当AC=2，点A是“离心点”，此时C（0，4），观察图象可知当⊙C的纵坐标y c满足3＜y c≤4时，线段AB上的所有的点都是“离心点”；②如图3中，当点C在y轴的负半轴上时，BC=2时，点B是“离心点”，此时C（0.1-2）．如图4中，当⊙C与直线y=-x+1相切时，设切点为N．求出点C的坐标，即可判断；本题考查一次函数、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、切线的性质、勾股定理、⊙C的“离心点”的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

北京市丰台区九级(上)数学期末试卷

丰台区 2018~2018 学年度第一学期期末练习初三数学一、选择题（此题共 36 分 ,每题 4 分）以下各题均有四个选项，此中只有一个是切合题意的 .1. 已知,则以下比率式建立的是()A． B. C. D.2 ．如图，在中，、分别是、边上的点，且，如果,那么的值为()A． B. C. D.3. 已知⊙的半径为 4 cm，假如圆心到直线l的距离为3.5 cm，那么直线l 与⊙的位置关系是（）A．订交B．相切C．相离D．不确立4. 一枚质地平均的正方体骰子，其六个面分别刻有1、 2、 3、 4、5、 6 六个数字，扔掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是 ()A．B．C． D.5. 在小正方形构成的网格图中，直角三角形的地点如下图，则的值为α（）B.C. D.6.当时，函数的图象在 ( )A．第四象限 B. 第三象限 C．第二象限 D．第一象限7.如图，⊙的半径为 5，为弦，，垂足为，假如，那么的长是（）A． 4 B. 6 C. 8 D. 108.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移获得抛物线y，其对称轴与两段抛物线所围成的暗影部分的面积是()A．2 B. 4O x9.如图（ 1 ），为矩形边上一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是.假如点、同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系的图象如图（2）所示，那么以下结论正确的选项是（）y/cm2A.A E D40B.时，C.PD. 当时，是等腰三角形二．填空题（此题共20 分 ,每题 4 分）B QC O1014t/s10.两个相像三角形的面积比是图（ 1）图（2），则它们的周长比是_______.11.在中，，假如，那么_______° .12.假如扇形的圆心角为120°，半径为 3cm，那么扇形的面积是__________________.13.一个口袋里放有三枚除颜色外都同样的棋子，此中有两枚是白色的，一枚是红色的.从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不一样的概率是_______.14. 如图，点A1、A2、 A3、，点B1、 B2、B3、，分别在射线OM 、 ON 上， A1B1∥ A2B2∥A3B3∥ A4B4∥ ．假如 A1B1=2， A1A2 =2OA1， A2A3 =3OA1， A3A 4=4OA1，．那么 A，A4M2B2=AA nB n=．（ n 为正整数）3A2A1O B1B2B3B 4 N三、解答题（此题共19分，第 15题4分，第 16题5分，第 17题 5分，第18题5分）15. 计算：.16. 已知二次函数.（1）写出它的极点坐标；（2）当取何值时，随的增大而增大；（3）求出图象与轴的交点坐标.17．如图，在⊙中，﹑为⊙上两点，是⊙的直径，已知，.⌒的长；（ 2）.求（ 1）AC18.如图，在中，，，为上一点，，，求的长.四、解答题（此题共17分，第 19题5分，第 20题6分，第 21题6分）19. 如图，﹑是⊙的切线，﹑是切点，是⊙的直径，.求的度数.20. 如图，一次函数的图象与反比率函数（为常数，且）的图象都经过点.（ 1）求点的坐标及反比率函数的解读式；（ 2）察看图象，当时，直接写出与的大小关系.21. 如图，是⊙的内接三角形，⊙的直径交于点，与点，延伸交于点.求证：A.B FO E DGC五．解答题（此题共28 分，第 22 题 6 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）22．如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100 海里的处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔的北偏东方向上的处.（参照数据：）（ 1）问处距离灯塔P 有多远？（结果精准到0.1 海里）（ 2）假定有一圆形暗礁地区，它的圆心位于射线上，距离灯塔190 海里的点O 处 .圆形暗礁地区的半径为50 海里，进入这个地区，就有触礁的危险.请判断海轮抵达处能否有触礁的危险，并说明原因.23.如图（ 1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两头点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（ 2）．求（ 1）抛物线的解读式；（ 2）两盏景观灯、之间的水平距离.?5m10m1m图 (1)图（ 1）图24.已知直线y=kx-3与x轴交于点 A （ 4 ， 0 ），与y轴交于点C，抛物线经过点 A 和点 C,动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个长度单位的速度由抛物线与 x 轴的另一个交点 B 向点 A 运动，点Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运动速度的 2 倍.（ 1）求此抛物线的解读式和直线的解读式；（ 2）假如点P 和点 Q 同时出发，运动时间为t（秒），试问当t 为什么值时，以A、P、 Q 为极点的三角形与△AOC相像；（ 3）在直线CA 上方的抛物线上能否存在一点D，使得△ ACD的面积最大 .若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因．备用图25. 已知和对于直线对称(点的对称点是点) ，点、分别是线段和线段上的点，且点在线段的垂直均分线上，联络、，交于点．（1）如图（ 1），求证：；（ 2 ）如图（2），当时，是线段上一点，联络、、，的延伸线交于点，，，尝试究线段和之间的数目关系，并证明你的结论．AMBG FD ENC图（ 1）图（2）2018~201836 ,4123456789A20 ,410.11.12.13.14. 1621915416517518 5 15.32123435 1711AC =()2D AO23B4C518.12345PA=PBPAC=902PAB= PBA30AP P=180 -2 PABACO4ABC=9000BAC=90- ACB=20O000PAB=90-20=70520.(1)1234(2)56A++11 BD F2AB =BH1= C3 ABG= ABCABGCBA41BF EGO DCH5=BG· BC62822623724 725 8 22.(1)C1B PC=PA· cos30=245°≈3P C.60°2.4A OB=OP-PB=5=62315 5y0 11 y=a(x 5) 2 520 1y=a(x 5) 2 5a=3y=(x 5) 2 5 0≤ x≤ 10 =4244=(x 5) 2 55(x 5)2=11=26 x x =5M7 241y=kx-3A 4 00 = 4k - 3k=y= x-31y= x-3 yCC(0 -3)m=22y=0x1=1 x2=4B(1 0).3AB=3 AO=4 OC=3 AC=5 AP=3-t AQ=5-2t.Q1 P1A=90° , P1Q1 OC1 AP1Q1 AOC.,t=4P2Q2A=90° ,P2AQ2 = OAC AP2Q2AOC.,t=5t P Q A AOC3D DF xEACF2 .S△ADF= DF·AE S△CDF= DF· OES△△△DF×( AE+OE) = × 4 (DE+EF)ACD= S ADF + S CDF==2×()=6S△ACD=0<x<40<2<4x=2S ACD△x=2y=DD(2, )725. (1)1FE FCFEC,4FE=FCl= 21B36GABDCBDBDAB=CB , 4= 3BF=BFE1 ABFCBF ，BAF=2 FA=FCFE=FA ， 1= BAF 215= 6 0l+ BEF=180BAF+ BEF=180BAF+ BEF+ AFE+ ABE=3600AFE+ ABE=180 03AFE+ 5+ 6=18005+6=3+45= 4EAF= ABD4A 5F2CD(2)FM= FN52 (1) EAF= ABD AFB= GFA AFGBFAAGF= BAFMBF=B AFMBF=AGFAGF= MBG+ BMG MBG=BMGBG=MG6AB=ADADB= ABD= EAFFGA=AGDAGFDGAAMG FB Q NEDCAF= AD2GF=2aAG=3aGD=a FD=DG- GF= = aCBD=ABDABD= ADBCBD= ADB.EG=2kMG=BG=3kFFQ ED AE Q7GQ= EG= QE= MQ=MG+GQ=3k+ =FQ ED . FM= FN 8。

2018-2019学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如果∠A是锐角，且sin A=，那么∠A的度数是（）A. B. C. D.2.如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC=120°，那么∠BAC的度数是（）A.B.C.D.3.将二次函数y=x2-4x+1化成y=a（x-h）2+k的形式为（）A. B. C. D.4.如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A. B. C. D. 不能确定6.如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC=160°，OA=25cm，OB=10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A. B. C. D.7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b=＜，那么函数y=2★x的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=6，那么cos B=______．10.若2m=3n，那么m：n=______．11.已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______．12.永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD=30°，在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是______米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）13.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B=60°，AC=4，那么CD的长为______．14.已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是______．15.圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为______．（参考数据：sin l5°=0.26）16.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法______（“正确”或“不正确”）理由是______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：sin60°-tan45°+2cos60°四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.函数y=mx2-2mx-3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m=______；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．19.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE=∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB=4．（1）如果反比例函数y=的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y=的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．21.如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是______m2；盲区2的面积约是______m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．22.如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．23.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE=2∠EBD；（2）如果AB=5，sin∠EBD=．求BD的长．24.小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利______元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利=单株售价-单株成本）25.如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，（当连接CD．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C=30°时，AP的长度约为______cm．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a过点A（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y=x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．27.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是______；（2）如果=，那么=______；（3）如果=时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP=MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（-2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是______；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA=，∴∠A的度数是30°，故选：D．利用特殊角的三角函数值解答即可．此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答．2.【答案】B【解析】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=120°，∴∠BAC=∠BOC=60°．故选：B．直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：y=x2-4x+1=（x2-4x+4）+1-4=（x-2）2-3．所以把二次函数y=x2-4x+1化成y=a（x-h）2+k的形式为：y=（x-2）2-3．故选：C．先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．4.【答案】A【解析】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴=，故选：A．根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5.【答案】B【解析】解：∵点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴矩形OCAD的面积S1=|k|=2，矩形OEBF的面积S2=|k|=2，∴S1=S2故选：B．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．从而证得S1=S2．本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6.【答案】D【解析】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积=-≈733（cm2），故选：D．根据扇形面积公式计算即可．=πR2是解题的关本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S扇形键．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=-＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：B．利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴8.【答案】C【解析】解：由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y=2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y=-，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．先根据规定得出函数y=2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y=2★x的解析式是解题的关键．9.【答案】【解析】解：∵∠C=90°，BC=5，AB=6，∴cosB==．故答案为：．直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键．10.【答案】3：2【解析】解：∵2m=3n，∴m：n=3：2．故答案为：3：2．逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc．11.【答案】m＞2【解析】解：∵反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m-2＞0，故答案为：m＞2．根据反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m-2＞0，解之即可得出m的取值范围．本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m-2＞0是解题的关键．12.【答案】74【解析】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD=45°，∴∠CDB=90°，∠CBD=∠DCB=45°，∴BD=CD，设BD=CD=x，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴AD=CD，∴52+x=x，∴x=≈74（m），故答案为74，首先证明BD=CD，设BD=CD=x，在Rt△ACD中，由∠A=30°，推出AD= CD，由此构建方程即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】4【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°，AC=4，∴BC=，∵AB⊥CD，∴CE=BC•sin60°=×=2，∴CD=2CE=4．故答案为：4．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠B=60°，AC=4，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD=90°是关键．14.【答案】（1，-4）【解析】解：∵抛物线过点（0，-3）和（2，-3），∴抛物线的对称轴方程为直线x==1，∵当x=1时，y=-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；故答案为：（1，-4）．根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．15.【答案】3.12【解析】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2=30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1=OA2，∴∠A1OM=15°，A1A2=2A1M．在直角△A1OM中，A1M=OA1•sin∠A1OM=0.26R，∴A1A2=2A1M=0.52R，∴L=12A1A2=6.24R，∴圆周率π≈==3.12．故答案为3.12．连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2=30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM=15°，A1A2=2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16.【答案】不正确EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦【解析】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI=IT，∴AN=NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．17.【答案】解：原式==．【解析】利用特殊角的三角函数值计算即可．此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．18.【答案】-1【解析】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），∴把x=0，y=3代入解析式得：-3m=3，解得m=-1，故答案为-1；（2）由（1）可知函数的解析式为y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；画图如下：（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x=0，y=3代入抛物线解析式，即可求出m 的值；（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应平滑的曲线作出抛物线的图象．此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．19.【答案】解：（1）∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴=，∵点E是AC的中点，设AE=x，∴AC=2AE=2x，∵AD=8，AB=10，∴=，解得：x=2，∴AE=2．【解析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE=x，根据相似三角形的性质可知=，从而列出方程解出x的值．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．20.【答案】解：（1）由题意得，A（2，2），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴k=2×2=4，∴反比例函数的表达式为：y=；（2）由图象可知：如果反比例函数y=的图象与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0＜k≤4或-4≤k＜0．【解析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．21.【答案】5 4【解析】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．∵OBCD是等腰梯形，OB=2，CD=4，∴DP=（CD-OB）=1．在直角△ODP中，∵∠D=60°，∴OP=DP•tan∠D=1×=，∴S=（OB+CD）•OP=（2+4）梯形OBCD•=3≈3×1.7≈5（m2），即盲区1的面积约是5m2；在直角△BEN中，∵∠EBN=25°，EN=2，∴BE=≈=4，∴S△BEN=BE•EN≈×4×2=4（m2），即盲区2的面积约是4m2．故答案为5，4；（2）∵AC=AD==，AH=AG==，AM=AN==，∴AC=AD＞AH=AG＞AM=AN，∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．如图所示．（1）作OP⊥CD于P．根据等腰梯形的性质求出DP=（CD-OB）=1．解直角△ODP，得出OP=DP•tan∠D=，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的2为盲区2的面积；（2）利用勾股定理求出AC=AD==，AH=AG==，AM=AN==，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．本题考查了作图-应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22.【答案】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2=2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2=135°，且A2B2=，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1=4，∠C1A1B1=135°，A1B1=2，∴==，∠C2A2B2=∠C1A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1．【解析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．本题主要考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．23.【答案】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BE，∵AB=AE，∴∠BAE=2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠BAF+∠ABE=90°，∠ABF+∠EBD=90°，∴∠EBD=∠BAF，∴∠BAE=2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF=∠EBD，∴sin∠BAF=sin∠EBD=，∵AB=5，∴BF=，∴BE=2BF=2，在Rt△ABF中，EH=BE•sin∠EBH=2，∴BH==4，∵EH∥AB，∴=，∴=，∴DH=，∴BD=BH+HD=．【解析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE=2∠BAF，再证明∠EBD=∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF=sin∠EBD=，AB=5，推出BF=，推出由EH∥AB，推出=，由此即可求出DH解决问题；本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】1【解析】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5-4=1（元），故：答案为1；（2）设直线的表达式为：y1=kx+b（k≠0），把点（3，5）、（6，3）代入上式得：，解得：，∴直线的表达式为：y1=-x+7；设：抛物线的表达式为：y2=a（x-m）2+n，∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2=a（x-6）2+1，把点（3，4）代入上式得：4=a（3-6）2+1，解得：a=-，则抛物线的表达式为：y2=-（x-6）2+1，∴y1-y2=-x+7+（x-6）2-1=-（x-5）2+，∵a=-＜0，∴x=5时，函数取得最大值，故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5-4=1（元），即可求解；（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1=-x+7；同理，抛物线的表达式为：y2=-（x-6）2+1，故：y1-y2=-x+7+（x-6）2-1=-（x-5）2+，即可求解．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25.【答案】2.9 3.3【解析】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x=2和x=4时，PA=BP′=2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC=P′C′=，∴CD=≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP=30°时，CD=2PD，即y=x，观察图象可知：与函数图象与直线y=x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．（1）根据对称性可知：当x=2和x=4时，PA=BP′=2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC=P′C′=，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y=x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3a过点A（-1，0），∴a-b+3a=0，∴b=4a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax+3a，∴抛物线的对称轴为x=-=-2；（2）∵直线y=x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，∴B（0，4），C（-2，2），∵抛物线y=ax2+bx+3a经过点A（-1，0）且对称轴x=-2，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（-3，0），①a＞0时，如图1，将x=0代入抛物线得y=3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴3a≥4，解得a≥，②a＜0时，如图2，将x=-2代入抛物线得y=-a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴-a≥2，解得a≤-2；综上所述，a≥或a≤-2．【解析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b=4a，则解析式为y=ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0；进行讨论即可求解．本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．27.【答案】60° 1【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠C=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF=∠ABD，∴∠BFE=∠ABD+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当=时，由题意可知：AD=CD，BE=CE．∵△ABC是等边三角形，BE=EC，AD=CD，∴∠BAE=∠BAC=×60°=30°，∠ABD=∠ABC=30°，∴∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，∴=1．故答案为1．（3）设AF=x，BF=y，AB=BC=AC=n．AD=CE=1，∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，∠DAF=∠ABD，设BD=AE=m，∵∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴=，∴=①，∵∠FBE=∠CBD，∠BFE=∠C=60°，∴△BFE∽△BCD，∴=，∴=②，①÷②得到：=，∴=．（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF=∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当=时，由题意可知：AD=CD，BE=CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF=x，BF=y，AB=BC=AC=n．AD=CE=1，由△ABD≌△CAE，推出BD=AE，设BD=AE=m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】D，E【解析】解：（1）根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍．即半径为1的⊙O的“等径点”在以O为圆心2为半径的圆内或圆上．如图1中，观察图象可知：在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是D，E．故答案为D，E；②如图2中，设直线EF交半径为2的⊙O于点K，连接OK，作KM⊥OF于M．∵OF=2，OE=2，∴tan∠EFO==，∴∠OFK=60°，∵OF=OK，∴△OFK是等边三角形，∴OF=OK=FK=2，∵KM⊥OF，∴FM=OM=1，KM==，∴K（-1，），∵当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，∴-2≤m≤-1．（2）如图3中，∵△EFG是直角三角形，∠FEG=90°，∠EFG=60°，∴EF=2OF=4，FG=2EF=8，∴OG=6，由题意△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，这个圆的圆心Q是线段FG的中点，Q（2，0），设这个圆的半径为r．由题意：QG≤2r∴4≤2r，∴r≥2，即这个圆的半径r的取值范围为r≥2．（1）①根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍，由此即可判定；②如图2中，设直线EF交半径为2的⊙O于点K，连接OK，作KM⊥OF于M．当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，求出点K的坐标即可解决问题；（2）因为△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，所以这个圆的圆心Q 是线段FG的中点，易知Q（2，0），设这个圆的半径为r．根据QG≤2r，构建不等式即可解决问题；本题属于圆综合题，考查了“等径点”的定义，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。

北京市丰台区初三上学期期末数学试卷含答案

2018-2018学年度第一学期期末练习丰台区学初三数考号学校姓名3分，）30一、选择题（本题共分，每小题A 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．的值是则cosB=90°1．如图，在Rt△ABC中，∠C，BC＝3，AB=4，7437．．BD．AC． CB 43342，∶DB=3∶边上，且DE∥BC，如果ADAC2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC 等于那么AE∶A5．3∶∶3D3∶2B．∶1 C．23A．O=5cm，那么⊙到直线l的距离为d，且d3．⊙O的半径为3cm，如果圆心OE D和直线l的位置关系是CB ．不确定C．相离DA．相交B．相切23?)?(x?2y）的顶点坐标是（4．抛物线），－3），．（A2，3）B．（－23）C．（2，－3 D．（－2DEFABC∽△△的面积为∶，相似比为215．如果，且△DEF的面积为4，那么△ABC16A．1B．4C．D．8ABAD的度数是，∠BCD=120°，则∠ABCD6.如图，四边形内接于⊙O O °C．8060 120 D．°．30°B．°A2?y BD 7．对于反比例函数，下列说法正确的是xC ．图象位于第二、四象限B-1），A．图象经过点（2的增大而增大随时，x Dxy< 0．当Cx 时，随的增大而减小．当> 0yx1 / 128．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为A. 5mB. 6mC. 7mD.8m9．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是AA B CD错误！未指定书签。

二、填空题（本题共22分，第11题3分，第12题3分，第13-16题，每小题4分）1∠A=∠A__________゜．是锐角，且sinA= 11．如果，那么2x y=5x2=__________．12．已知，则y13．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是.O到水面5mO14．排水管的截面为如图所示的⊙，半径为，如果圆心2 / 12=AB__________ m的距离是3m，那么水面宽．．请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解读式：．15 ）；1，1①过点（的增大而减小；y 随x②当时，0 x 时，函数值小于30．③当自变量的值为16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：所在圆的圆请利用直尺和圆规确定图中弧AB 心．A B“小亮的作法正确．”：老师说_________________________．请你回答：小亮的作图依据是6分）（本题共24分，每小题三、解答题．tan 45°＋sin 60°－17．计算：2cos30°13m-5-4x+y=mx．函数是二次函数．18的值；）求m（1 ）写出这个二次函数图象的对称轴：；（22.的形式为：h)+k将解读式化成y=a(x-ABC△. ∠ABCCD上一点，连接，且∠ACD =19．如图，在是中，DABA ABC∽△；1（）求证：△ACD，求.AC的长=10，AD2（）若=6AB DBC3 / 12k=y2x+y= 20．如图，直线B两点相交于A，与双曲线21x-1. B的纵坐标为其中点A的纵坐标为3，点的值；）求（1k x yy<，请你根据图象确定的取值范围．（2）若21分）四、解答题（本题共28分，每小题7水平距离AB21．如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB，已知距电线杆CFCDF的正切值为2，观景台的高＝14M处是观景台，即BD14M，该观景台的坡面CD的坡角∠为2M的人行道，如果以点B的仰角为A30°，D、E之间是宽为2M，在坡顶C处测得电线杆顶端时，人行道是否AB长为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB圆心，以73.3≈12≈1.41,在危险区域内？()CCBD??CDA?O⊙在直径BA的延长线上，上一点，点．为22．如图，D CDO⊙1（）求证：的切线；是2 E2BAB=6tan，）过点作的切线交，若（的延长线于点，??CDA CDO⊙3 DE的长依题意补全图形并求4 / 1223．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓x t y（秒），经多次测试），运行时间为（（M），距桌面的高度为MA球与端点的水平距离为后，得到如下部分数据：tA …0.8 0.2 0.4 0.6 0.64 0 0.16 （秒）x…2 0.4 1.6 0.5 1.5 0 1 （M）y…0.250.3780.450.3780.250.40.4（M）（1）如果y是t的函数，①如下图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点.请你根据描出的点，画出该函数的图象；t为何值时，乒乓球达到最大高度？②当x y的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？2）如果是关于（24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．(1)请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕．．．．．．．．．迹，不写作法)；(2)请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．PlA OBC 5 / 12五、解答题（本题共16分，每小题8分）2b+．，1)，-3)ax，且经过点（4x+c的顶点为（2y25．已知抛物线G：=1 G的解读式；（1）求抛物线1轴的负与x个单位后得到抛物线G，且抛物线G（2）将抛物线G先向左平移3个单位，再向下平移1221 A点的坐标；半轴相交于A点，求1上的一个点，且在对称轴右侧部分G 是（2）中抛物线（3）如果直线m的解读式为，点B3y=x+2 2 B．过点A和点（含顶点）上运动，直线n轴围成的三角形相似？若存在，求y、n、、n、x轴围成的三角形和直线mB问：是否存在点，使直线m 的坐标；若不存在，请说明理由．出点By y 5544332211O x O x 535–3–4––21–124541232––134–5––1–1–2–2–3–3–4–4–5–5–1备用图备用图26 / 12x-y) y）的变换点为P(x+y, 26．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,22，的半径′．为(1)如图1，如果⊙O 的位置关系；(-2,-1)两个点的变换点与⊙O请你判断M (2,0)，N①′.的内，求点OP横坐标的取值范围+2上，点P的变换点P在⊙②若点P在直线y=x 与⊙O上任意一点距离的=-2x+6上，求点P'如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P在直线y(2)最小值．yy5544332211OO xx5455–1–234413213––2135––4––2––1–1–22––33––4––45–5– 1图2图7 / 12丰台区2018-2018学年度第一学期期末练习初三数学参考答案分）330分，每小题一、选择题（本题共答案 C D C A D B C B A C ,13-16每小题4分）二、填空题（本题共22分，10、11每小题3分52；14. 8；15.如：；13.y11. 30； 12.= -x+2；216.不在同一条直线上的三个点确定一个圆；线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；两条直线交于一点.三、解答题（本题共24分，每小题6分）33 =17．解：原式分-----3?12??223 =-----4?分3?1233=?1-----6分2（1）由题意得：，解得. -----2分1m?21?3m?分）二次函数的对称轴为。

2018~2019学年北京丰台区初三上学期期末数学试卷

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．
10. 如果
，那么
．
11. 如果反比例函数个即可）．
，当时，随的增大而减小，那么的值可能是
（写出一
12. 永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金⻛格的八⻆九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰
园博园全貌，如图，在处测得
，在处测得
，并测得
米，那
么永定塔的高约是
米．（
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27.
如图，
于点．
是等边三⻆形，、分别是、教研边云资上源的页点，且
，连接，相交
（1）
的度数是
．
（ 2 ）如果
，那么
．
（ 3 ）如果
时，请用含的式子表示、的数量关系，并证明．
28. 对于平面直⻆坐标系中的点和⊙ ，给出如下定义：若⊙ 上存在一个点，使得
，则称点为⊙ 的“等径点”．已知点
，
，
．
（ 1 ）当⊙ 的半径为时．
1 在点、、中，⊙ 的“等径点”是
．
2 作直线，若直线上的点
是⊙ 的“等径点”，求的取值范围．
（ 2 ）过点作
交轴于点，若
各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个
圆的半径的取值范围．
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【名师精编】北京市丰台区2018届九年级上期末数学试题有答案

丰台区2017～2018学年度第一学期期末练习初三数学2018. 01一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是 A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 2．将抛物线y = 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-3．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tan A 的值为A ．35B ．34C ．45D ．434．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④CBA5．如图，点A 为函数ky x=（ > 0）图象上的一点，过点A 作轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么的值为A ．1B ．2C ．3D ．46．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是A B C D7．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为A ．70°B ．110°C ．140°D ．70°或110°8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标与纵坐标y 的对应值如下表：有以下几个结论：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-；③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，的取值范围是＜0或＞2. 其中正确的是 A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如果sin α =12，那么锐角α = .10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A＇B ＇的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ＇B ＇的距离为cm. 12．如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为 .图1ABC13．已知函数的图象经过点（2，1），且与轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 . 14．在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2）， C （4，0）的圆的圆心坐标为 .15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG = 2BE . 如果设BE 的长为（单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与的函数的表达式为；当BE绿地AEFG16请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；（2）直线P A ，PB 是⊙O 的切线，依据是．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分） 17．计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒.18．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.19．已知二次函数y = 2 - 4 + 3．（1）用配方法将y = 2 - 4 + 3化成y = a ( - h )2 + 的形式；D CBA E（2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（3）当0≤≤3时，y 的取值范围是 .20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB 的长．请你解答这个问题.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与双曲线ky x=的一个交点为P (m ，2). （1）求的值；（2）M （2，a ），N （n ，b ）是双曲线上的两点，直接写出当a > b 时，n 的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E . 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度. （参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到BC D ABNME地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD AC =，点E 是OB 上一点，且23OE EB =，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH .（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当2OB =时，求BH 的长.25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB = 4cm ，AD = 2cm ，设A ，E 两点间的距离为cm ，△DEF 面积为y cm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究．DC BAEF下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为 cm ．26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线 =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BCAC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC . （1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；（2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系Oy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.（1）当⊙O 的半径为1时，EMNFA CEMN FBADC图1图2①在点P 1（12，P 2（0，－2），P 3，0）中，⊙O 的“离心点”是；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）9. 30°；10. 2π3；11. 10；12. 1；13.2yx=或245y x x=-+等，答案不唯一；14.（2，0）；15.22864(08)y x x x=-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：2cos30sin45tan60︒+︒-︒=2+……3分……4分……5分18. 解：∵DE∥BC，∴AD AEDB EC=.……2分即243EC=．∴EC＝6．……4分∴AC＝AE + EC＝10．……5分其他证法相应给分.DCAE19.解：（1）2444+3y x x =-+-()221x =--. ……2分（2）如图： ….3分（3）13y -≤≤ ….5分20.解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =10，∴∠BEC ＝90°，152CE CD ==.……2分设OC =r ，则OA =r ，∴OE =1r -. 在Rt OCE ∆中， ∵222OE CE OC +=，∴()22125r r -+=.∴=13r . …4分∴AB = 2r = 26（寸）. 答：直径AB 的长26寸． …5分21. 解：（1）一次函数1y x =+的图象经过点(,2)P m ，1m =． ……… 1分点P 的坐标为(1，2). ……… 2分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点P (1，2)， 2k = ………3分（2）0n <或2n > …………5分22.解：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形， ∴EN=AC=1.5. AB=CD=15. 在Rt MED 中，∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°， ∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°.OE AB CDC D ABNME x +3∴ME ＝DE . …2分设ME ＝DE ＝，则EC ＝+15. 在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°， ∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠， ∴()0.715x x ≈+ .∴35x ≈ . ∴35ME ≈ . …4分 ∴36.5MN ME EN =+≈ .∴人民英雄纪念碑MN .的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图. 于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k =-+根据题意，得出A ，P 两点的坐标分别为A （0，2），P （1，3.6）. ……2分 ∵点P 为抛物线顶点， ∴1 3.6h k ==， . ∵点A 在抛物线上，∴ 3.62a +=，a =-…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x =--+. ……4分当点C 的纵坐标y =0时，有()21.61 3.6=0x --+.10.5x =-（舍去），2 2.5x =.∴BC =2.5.∴水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m. ……5分24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD.∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ……2分∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3分其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OE BF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF ==. ∵1122ABF S AB BF AF BH =⋅=⋅ ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分其他方法相应给分. 25.（1）04x ≤<；.……1分（2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分（4）0或2. ……6分26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分 ∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分其他方法相应给分.（3）点Q的坐标为（12-）或（12-）．……7分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°.又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE .∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴AC AF AE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分28.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分。

2018.1丰台区初三上学期数学期末试卷及答案

丰台区2017～2018学年度第一学期期末练习初三数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是 A ．32a b =B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 2．将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-3．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tan A 的值为A ．35B ．34C ．45D ．434．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，点A 为函数ky x=（x > 0）图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．46．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是CB②① ③ ④A B C D7．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为A．70°B．110°C．140°D．70°或110°8．已知抛物线2y ax bx c=++上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：①抛物线2y ax bx c=++的开口向下；②抛物线2y ax bx c=++的对称轴为直线1x=-；③方程20ax bx c++=的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.其中正确的是A．①④B．②④C．②③D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果sinα=12，那么锐角α= .10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为.11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为cm.12．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为 .13．已知函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .14．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为.15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的表达式为；当BE AEFG的面积最大.16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.图2图1AB'A'B OEDGFHACB请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；（2）直线P A ，PB 是⊙O 的切线，依据是．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒.18．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.19．已知二次函数y = x 2- 4x + 3．（1）用配方法将y = x 2 - 4x + 3化成y = a (x - h )2 + k（2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（3）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是 .20．在我国古代数学著作《九章算术》不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB 的长．请你解答这个问题.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与双曲线ky x=的一个交点为P (m ，2). （1）求k 的值；（2）M （2，a ），N （n ，b ）是双曲线上的两点，直接写出当a > b 时，n 的取值范围.D CBA E22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E . 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD AC =，点E 是OB 上一点，且23OE EB =，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH .（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当2OB =时，求BH 的长.25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB = 4cm ，AD = 2cm ，设A ，E 两点间的距离为x cm ，△DEF 面积为y cm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．C D ABNMED C BAEF下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x 的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC . （1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；（2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12，P 2（0，－2），P 30）中，⊙O 的“离心点”是；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.EMNFA C图2图1丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 30°；10. 2π3；11. 10；12. 1；13.2yx=或245y x x=-+等，答案不唯一；14.（2，0）；15.22864(08)y x x x=-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：45tan60︒-︒=2……3分2……4分. ……5分18. 解：∵DE∥BC，∴AD AEDB EC=.……2分即243EC=．∴EC＝6．……4分∴AC＝AE + EC＝10．……5分其他证法相应给分.19.解：（1）2444+3y x x=-+-()221x=--. ……2分（2）如图：….3分（3）13y-≤≤….5分20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD== (2)分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r-.在Rt OCE∆中，∵222OE CE OC+=，∴()22125r r-+=.∴=13r.…4分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分21. 解：（1）一次函数1y x=+的图象经过点(,2)P m，∴1m=．……… 1分∴点P的坐标为(1，2). ……… 2分∵反比例函数kyx=的图象经过点P(1，2)，∴2k=………3分（2）0n<或2n>…………5分22.解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，∴EN=AC=1.5.AB=CD=15.在Rt MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴∠EMD＝∠MDE＝45°.∴ME＝DE.…2分设ME＝DE＝x，则EC＝x+15.在Rt MEC中，∠MEC＝90°，DCAEx+3OEABC DCDABNME∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠， ∴()0.715x x ≈+ .∴35x ≈ . ∴35ME ≈ . …4分 ∴36.5MN ME EN =+≈ .∴人民英雄纪念碑MN .的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图. 于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k =-+根据题意，得出A ，P 两点的坐标分别为A （0，2），P （1，3.6）. ……2分 ∵点P 为抛物线顶点， ∴1 3.6h k ==， . ∵点A 在抛物线上， ∴ 3.62a +=， 1.6a =-.…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x =--+. ……4分当点C 的纵坐标y =0时，有()21.61 3.6=0x --+.10.5x =-（舍去），2 2.5x =.∴BC =2.5.∴水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m. ……5分24.（1）证明：连接OC∵AB 为⊙O AOC ＝90°.……1分 ∵OA OB =,CD =. ∴OC ∥BD. ∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°.……2分 ∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3分其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OEBF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF =.∵1122ABFSAB BF AF BH =⋅=⋅ ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分其他方法相应给分.25.（1）04x ≤<；.……1分（2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分（4）0或2. ……6分26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分 ∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分其他方法相应给分.（3）点Q 的坐标为（12,2-）或（12,2-）．……7分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE . ∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAFAE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分28.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分G EM N FAC。

【名师优卷】北京市丰台区2018届九年级数学上学期期末考试试题新人教版12

北京市丰台区2018届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是 A ．32a b =B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 2．将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-3．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tan A 的值为A ．35B ．34C ．45D ．434．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．① B ．②C ．③D ．④5．如图，点A 为函数ky x=（x > 0）图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．46．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是A B C D7．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A ．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值CB AABC如下表：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； ③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2. 其中正确的是 A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如果sin α =12，那么锐角α = .10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A ＇B ＇的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ＇B ＇的距离为 cm.12．如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为 .13．已知函数的图象经过点（2，1），且与x 轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .14．在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG = 2BE . 如果设BE 的长为x （单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为；当BE 绿地AEFG 的面积最大.图1图2E DGFHACBAB'A'BO16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；（2）直线PA ，PB 是⊙O 的切线，依据是．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos30sin 45tan 60︒+︒-︒.18．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.19．已知二次函数y = x 2- 4x + 3．（1）用配方法将y = x 2- 4x + 3化成y = a (x- h )2+ （2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（3）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是 .20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB 的长．请你解答这个问题.D CBAE21．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与双曲线ky x=的一个交点为P (m ，2). （1）求k 的值；（2）M （2，a ），N （n ，b ）是双曲线上的两点，直接写出当a > b 时，n 的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E . 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度. （参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD AC =，点E 是OB 上一点，且23OE EB =，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH . （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当2OB =时，求BH 的长.C D ABNME25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB = 4cm ，AD = 2cm ，设A ，E 两点间的距离为x cm ，△DEF 面积为y cm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．DC BAF下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x 的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC . （1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；（2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12，P 2（0，－2），P 30）中，⊙O 的“离心点”是； ②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.EMNFA CEMN FAC图1图2参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 30°； 10. 2π3； 11. 10； 12. 1； 13. 2y x =或245y x x =-+等，答案不唯一；14.（2，0）； 15.22864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：2cos30sin 45tan 60︒+︒-︒=2，……3分……4分……5分 18. 解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DBEC=.……2分即243EC=． ∴EC ＝6．……4分∴AC ＝AE + EC ＝10． ……5分其他证法相应给分.19.解：（1）2444+3y x x =-+-()221x =--. ……（2）如图： ….3分（3）13y -≤≤ ….5分20.解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =10，∴∠BEC ＝90°，152CE CD ==.……2分OE ABCDD CBAEx +3设OC =r ，则OA =r ，∴OE =1r -. 在Rt OCE ∆中， ∵222OE CE OC +=，∴()22125r r -+=.∴=13r . …4分 ∴AB = 2r = 26（寸）. 答：直径AB 的长26寸． …5分21. 解：（1）一次函数1y x =+的图象经过点(,2)P m ，∴1m =． ……… 1分∴点P 的坐标为(1，2). ……… 2分∵反比例函数ky x=的图象经过点P (1，2)， ∴2k = ………3分（2）0n <或2n > …………5分22.解：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形， ∴EN=AC=1.5. AB=CD=15.在Rt MED 中，∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°， ∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°. ∴ME ＝DE . …2分设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x +15. 在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°， ∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠， ∴()0.715x x ≈+ .∴35x ≈ . ∴35ME ≈ . …4分 ∴36.5MN ME EN =+≈ .∴人民英雄纪念碑MN .的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图. 于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k =-+C D ABNME会当凌绝顶、一览众山小根据题意，得出A ，P 两点的坐标分别为A （0，2），P （1，3.6）. ……2分 ∵点P 为抛物线顶点， ∴1 3.6h k ==， . ∵点A 在抛物线上， ∴ 3.62a +=， 1.6a =-…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x =--+. ……4分当点C 的纵坐标y =0时，有()21.61 3.6=0x --+.10.5x =-（舍去），2 2.5x =.∴BC =2.5.∴水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m. ……5分 24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分 ∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD. ∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ……2分 ∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OEBF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF =.∵1122ABFSAB BF AF BH =⋅=⋅ ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分其他方法相应给分.25.（1）04x ≤<；.……1分（2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分（4）0或2. ……6分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分其他方法相应给分.（3）点Q 的坐标为（12-）或（12-）．……7分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分其他方法相应给分.28.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分。

北京市丰台区2018届九年级上期末数学试题有答案AKlHKP

丰台区2017～2018学年度第一学期期末练习初三数学2018. 011234D ．④56似的是A B C D7．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果ABC②① ③ ④ y∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A ．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； 2910111213141516图1图2A B'A'BO请回答以下问题：（1）连接OA，OB，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；（2）直线P A，PB是⊙O的切线，依据是．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos30sin45tan60︒+︒-︒. Array 18．如图，△AE = 4，求19（1（2（3）当0≤20于点E，21（1）求k的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a > b时，n的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m24．如图，AB »AB D ，使C D A C=上一点，且OE 的延长线于点F （1（2）当OB25．如图，点E DF ．已知AB （1的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1（20，与y （3Q27BA ，DA交于点（1（2AE28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12，2），P 2（0，－2），P 30）中，⊙O 的“离心点”是；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 30°； 10.2π3； 11. 10； 12. 1； 13. 2y x =或245y x x =-+等，答案不唯一；14.（2，0）； 15.22864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）MED中，MED＝90°，∠EMD＝∠MDE ME＝DE (2)ME＝DE＝x，则Rt MEC中，∠MCE＝35°，=⋅tan ME EC千教网（）千万份课件，学案，试题全部免费下载初三数学第3页（共6页）初三数学第4页（共6页）24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB∵OA OB =,CD AC =，∴OC是ABD ∆∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. 其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，AF ∵1122ABFSAB BF AF BH =⋅=⋅ ∴BH =125. 其他方法相应给分.25.（1）04x ≤<；.……1分（2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分（4）0或2. ……6分26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -其他方法相应给分.（3）点Q 的坐标为（12-）或（1，∴△ABC ≌△ADC . …1分FAC =∠EAC =135°. ……2分∴AE =AF . ……3分 AC =2.……4分+∠F =45°. ACE . ……5分AF ⋅. ……6分 ……7分……2分()532=+-m . …3分……4分……6分 52-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分。

北京市丰台区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含答解析)

2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣34．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞08．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．10．若2m＝3n，那么m：n＝．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是．x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为．（参考数据：sin l5°＝0.26）16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法（“正确”或“不正确”）理由是．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是m2；盲区2的面积约是m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm0 2.2 3.2 3.4 3.33（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP ＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（﹣2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵∠A是锐角，且sin A＝，∴∠A的度数是30°，故选：D．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答．2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．4．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．从而证得S1＝S2．【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OCAD的面积S1＝|k|＝2，矩形OEBF的面积S2＝|k|＝2，∴S1＝S2故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm2【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积＝﹣≈733（cm2），故选：D．＝πR2是解题的关键．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S扇形7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【解答】解：由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点评】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键．10．若2m＝3n，那么m：n＝3：2．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．【解答】解：∵2m＝3n，∴m：n＝3：2．故答案为：3：2．【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是m＞2．【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是74米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为4．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝4，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝4，∴BC＝，∵AB⊥CD，∴CE＝BC•sin60°＝×＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD＝90°是关键．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）．x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），∴抛物线的对称轴方程为直线x＝＝1，∵当x＝1时，y＝﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 3.12．（参考数据：sin l5°＝0.26）【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2＝30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．在直角△A1OM中，A1M＝OA1•sin∠A1OM＝0.26R，∴A1A2＝2A1M＝0.52R，∴L＝12A1A2＝6.24R，∴圆周率π≈＝＝3.12．故答案为3.12．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法不正确（“正确”或“不正确”）理由是EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF 平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．【解答】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI＝IT，∴AN＝NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝﹣1；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．【分析】（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x＝0，y＝3代入抛物线解析式，即可求出m的值；（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象．【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），∴把x＝0，y＝3代入解析式得：﹣3m＝3，解得m＝﹣1，故答案为﹣1；（2）由（1）可知函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；列表如下：x﹣2﹣101234y﹣503430﹣5描点；画图如下：【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）由题意得，A（2，2），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的表达式为：y＝；（2）由图象可知：如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0＜k≤4或﹣4≤k＜0．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是5m2；盲区2的面积约是4m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．【分析】（1）作OP⊥CD于P．根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1．解直角△ODP，得出OP＝DP•tan∠D＝，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN，求＝BE•EN≈4m2，即为盲区2的面积；出BE＝≈4，那么S△BEN（2）利用勾股定理求出AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．【解答】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4，∴DP＝（CD﹣OB）＝1．在直角△ODP中，∵∠D＝60°，∴OP＝DP•tan∠D＝1×＝，＝（OB+CD）•OP＝（2+4）•＝3≈3×1.7≈5（m2），∴S梯形OBCD即盲区1的面积约是5m2；在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2，∴BE＝≈＝4，＝BE•EN≈×4×2＝4（m2），∴S△BEN即盲区2的面积约是4m2．故答案为5，4；（2）∵AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．如图所示．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2＝2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2＝135°，且A2B2＝，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2，∴＝＝，∠C2A2B2＝∠C1A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1．【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解决问题；【解答】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，∴BF＝，∴BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，∴BH＝＝4，∵EH∥AB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH+HD＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利1元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解；（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1＝﹣x+7；同理，抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，故：y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，即可求解．【解答】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），故：答案为1；（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），把点（3，5）、（6，3）代入上式得：，解得：，∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1，把点（3，4）代入上式得：4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，∴y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴x＝5时，函数取得最大值，故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm0 2.2 2.9 3.2 3.4 3.33（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3cm．【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC＝P′C′＝，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC＝P′C′＝，∴CD＝≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x，观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；。

北京市丰台区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含答解析)

2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣34．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞08．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．10．若2m＝3n，那么m：n＝．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为．（参考数据：sin l5°＝0.26）16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法（“正确”或“不正确”）理由是．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是m2；盲区2的面积约是m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（﹣2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵∠A是锐角，且sin A＝，∴∠A的度数是30°，故选：D．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答．2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．4．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．从而证得S1＝S2．【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OCAD的面积S1＝|k|＝2，矩形OEBF的面积S2＝|k|＝2，∴S1＝S2故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm2【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积＝﹣≈733（cm2），故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝πR2是解题的关键．扇形7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【解答】解：由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点评】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键．10．若2m＝3n，那么m：n＝3：2．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．【解答】解：∵2m＝3n，∴m：n＝3：2．故答案为：3：2．【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是m＞2．【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是74米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为4．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝4，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝4，∴BC＝，∵AB⊥CD，∴CE＝BC•sin60°＝×＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD＝90°是关键．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）．【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），∴抛物线的对称轴方程为直线x＝＝1，∵当x＝1时，y＝﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 3.12．（参考数据：sin l5°＝0.26）【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2＝30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．在直角△A1OM中，A1M＝OA1•sin∠A1OM＝0.26R，∴A1A2＝2A1M＝0.52R，∴L＝12A1A2＝6.24R，∴圆周率π≈＝＝3.12．故答案为3.12．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法不正确（“正确”或“不正确”）理由是EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF 平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．【解答】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI＝IT，∴AN＝NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝﹣1；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．【分析】（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x＝0，y＝3代入抛物线解析式，即可求出m的值；（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象．【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），∴把x＝0，y＝3代入解析式得：﹣3m＝3，解得m＝﹣1，故答案为﹣1；（2）由（1）可知函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；列表如下：描点；画图如下：【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）由题意得，A（2，2），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的表达式为：y＝；（2）由图象可知：如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0＜k≤4或﹣4≤k＜0．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是5m2；盲区2的面积约是4m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．【分析】（1）作OP⊥CD于P．根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1．解直角△ODP，得出OP＝DP•tan∠D＝，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN，求出BE＝≈4，那么S＝BE•EN≈4m2，即为盲区2的面积；△BEN（2）利用勾股定理求出AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．【解答】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4，∴DP＝（CD﹣OB）＝1．在直角△ODP中，∵∠D＝60°，∴OP＝DP•tan∠D＝1×＝，＝（OB+CD）•OP＝（2+4）•＝3≈3×1.7≈5（m2），∴S梯形OBCD即盲区1的面积约是5m2；在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2，∴BE＝≈＝4，＝BE•EN≈×4×2＝4（m2），∴S△BEN即盲区2的面积约是4m2．故答案为5，4；（2）∵AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．如图所示．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2＝2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2＝135°，且A2B2＝，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2，∴＝＝，∠C2A2B2＝∠C1A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1．【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解决问题；【解答】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，∴BF＝，∴BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，∴BH＝＝4，∵EH∥AB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH+HD＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利1元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解；（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1＝﹣x+7；同理，抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，故：y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，即可求解．【解答】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），故：答案为1；（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），把点（3，5）、（6，3）代入上式得：，解得：，∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1，把点（3，4）代入上式得：4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，∴y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴x＝5时，函数取得最大值，故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3cm．【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC＝P′C′＝，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC＝P′C′＝，∴CD＝≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x，观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；。

北京市丰台区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含答解析)

2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣34．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD 的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞08．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．10．若2m＝3n，那么m：n＝．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为．（参考数据：sin l5°＝0.26）16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法（“正确”或“不正确”）理由是．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是m2；盲区2的面积约是m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（﹣2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵∠A是锐角，且sin A＝，∴∠A的度数是30°，故选：D．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答．2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．4．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD 的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．从而证得S1＝S2．【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OCAD的面积S1＝|k|＝2，矩形OEBF的面积S2＝|k|＝2，∴S1＝S2故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm2【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积＝﹣≈733（cm2），故选：D．＝πR2是解题的关键．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S扇形7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【解答】解：由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点评】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y ＝2★x的解析式是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键．10．若2m＝3n，那么m：n＝3：2．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．【解答】解：∵2m＝3n，∴m：n＝3：2．故答案为：3：2．【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是m＞2．【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是74米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为4．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝4，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝4，∴BC＝，∵AB⊥CD，∴CE＝BC•sin60°＝×＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD＝90°是关键．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）．【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），∴抛物线的对称轴方程为直线x＝＝1，∵当x＝1时，y＝﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为3.12．（参考数据：sin l5°＝0.26）【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM ⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2＝30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．在直角△A1OM中，A1M＝OA1•sin∠A1OM＝0.26R，∴A1A2＝2A1M＝0.52R，∴L＝12A1A2＝6.24R，∴圆周率π≈＝＝3.12．故答案为3.12．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法不正确（“正确”或“不正确”）理由是EF，GH平分的不是弧AM，BM 所对的弦．【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．【解答】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI＝IT，∴AN＝NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝﹣1；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．【分析】（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x＝0，y＝3代入抛物线解析式，即可求出m的值；（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象．【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），∴把x＝0，y＝3代入解析式得：﹣3m＝3，解得m＝﹣1，故答案为﹣1；（2）由（1）可知函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；列表如下：描点；画图如下：【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x 的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）由题意得，A（2，2），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的表达式为：y＝；（2）由图象可知：如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0＜k≤4或﹣4≤k＜0．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是5m2；盲区2的面积约是4m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．【分析】（1）作OP⊥CD于P．根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1．解直角△ODP，得出OP＝DP•tan∠D＝，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN，求出BE＝≈4，那么S＝BE•EN≈4m2，即为盲区2的面积；△BEN（2）利用勾股定理求出AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．【解答】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4，∴DP＝（CD﹣OB）＝1．在直角△ODP中，∵∠D＝60°，∴OP＝DP•tan∠D＝1×＝，＝（OB+CD）•OP＝（2+4）•＝3≈3×1.7≈5（m2），∴S梯形OBCD即盲区1的面积约是5m2；在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2，∴BE＝≈＝4，∴S＝BE•EN≈×4×2＝4（m2），△BEN即盲区2的面积约是4m2．故答案为5，4；（2）∵AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．如图所示．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2＝2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2＝135°，且A2B2＝，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2，∴＝＝，∠C2A2B2＝∠C1A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1．【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解决问题；【解答】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，∴BF＝，∴BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，∴BH＝＝4，∵EH∥AB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH+HD＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利1元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解；（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1＝﹣x+7；同理，抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，故：y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，即可求解．【解答】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），故：答案为1；（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），把点（3，5）、（6，3）代入上式得：，解得：，∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1，把点（3，4）代入上式得：4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，∴y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴x＝5时，函数取得最大值，故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3cm．【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC＝P′C′＝，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC＝P′C′＝，∴CD＝≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x，观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0），∴a﹣b+3a＝0，∴b＝4a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax+3a，∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣2；（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，∴B（0，4），C（﹣2，2），∵抛物线y＝ax2+bx+3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝﹣2，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣3，0），。

北京市丰台区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含答解析)

2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣34．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞08．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．10．若2m＝3n，那么m：n＝．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为．（参考数据：sin l5°＝0.26）16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法（“正确”或“不正确”）理由是．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是m2；盲区2的面积约是m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（﹣2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵∠A是锐角，且sin A＝，∴∠A的度数是30°，故选：D．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答．2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．4．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．从而证得S1＝S2．【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OCAD的面积S1＝|k|＝2，矩形OEBF的面积S2＝|k|＝2，∴S1＝S2故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm2【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积＝﹣≈733（cm2），故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝πR2是解题的关键．扇形7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【解答】解：由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点评】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键．10．若2m＝3n，那么m：n＝3：2．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．【解答】解：∵2m＝3n，∴m：n＝3：2．故答案为：3：2．【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是m＞2．【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是74米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为4．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝4，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝4，∴BC＝，∵AB⊥CD，∴CE＝BC•sin60°＝×＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD＝90°是关键．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）．【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），∴抛物线的对称轴方程为直线x＝＝1，∵当x＝1时，y＝﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 3.12．（参考数据：sin l5°＝0.26）【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2＝30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．在直角△A1OM中，A1M＝OA1•sin∠A1OM＝0.26R，∴A1A2＝2A1M＝0.52R，∴L＝12A1A2＝6.24R，∴圆周率π≈＝＝3.12．故答案为3.12．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法不正确（“正确”或“不正确”）理由是EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF 平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．【解答】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI＝IT，∴AN＝NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝﹣1；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．【分析】（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x＝0，y＝3代入抛物线解析式，即可求出m的值；（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象．【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），∴把x＝0，y＝3代入解析式得：﹣3m＝3，解得m＝﹣1，故答案为﹣1；（2）由（1）可知函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；列表如下：描点；画图如下：【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）由题意得，A（2，2），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的表达式为：y＝；（2）由图象可知：如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0＜k≤4或﹣4≤k＜0．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是5m2；盲区2的面积约是4m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．【分析】（1）作OP⊥CD于P．根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1．解直角△ODP，得出OP＝DP•tan∠D＝，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN，求出BE＝≈4，那么S＝BE•EN≈4m2，即为盲区2的面积；△BEN（2）利用勾股定理求出AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．【解答】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4，∴DP＝（CD﹣OB）＝1．在直角△ODP中，∵∠D＝60°，∴OP＝DP•tan∠D＝1×＝，＝（OB+CD）•OP＝（2+4）•＝3≈3×1.7≈5（m2），∴S梯形OBCD即盲区1的面积约是5m2；在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2，∴BE＝≈＝4，＝BE•EN≈×4×2＝4（m2），∴S△BEN即盲区2的面积约是4m2．故答案为5，4；（2）∵AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．如图所示．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2＝2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2＝135°，且A2B2＝，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2，∴＝＝，∠C 2A 2B 2＝∠C 1A 1B 1，∴△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1．【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．23．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC ．过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE ＝AB ，连接BE ，交⊙O 于点F ．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE ＝2∠EBD ；（2）如果AB ＝5，sin ∠EBD ＝．求BD 的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE ＝2∠BAF ，再证明∠EBD ＝∠BAF 即可解决问题；（2）作EH ⊥BD 于H ．由sin ∠BAF ＝sin ∠EBD ＝，AB ＝5，推出BF ＝，推出BE ＝2BF ＝2，在Rt △ABF 中，EH ＝BE •sin ∠EBH ＝2，推出BH ＝＝4，由EH ∥AB ，推出＝，由此即可求出DH 解决问题；【解答】（1）证明：连接AF ．∵AB 是直径， ∴∠AFB ＝90°， ∴AF ⊥BE ，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，∴BF＝，∴BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，∴BH＝＝4，∵EH∥AB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH+HD＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利1元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解；（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1＝﹣x+7；同理，抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，故：y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，即可求解．【解答】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），故：答案为1；（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），把点（3，5）、（6，3）代入上式得：，解得：，∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1，把点（3，4）代入上式得：4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，∴y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴x＝5时，函数取得最大值，故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3cm．【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC＝P′C′＝，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC＝P′C′＝，∴CD＝≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x，观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；。

北京市丰台区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含答解析)

2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣34．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞08．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．10．若2m＝3n，那么m：n＝．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为．（参考数据：sin l5°＝0.26）16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法（“正确”或“不正确”）理由是．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是m2；盲区2的面积约是m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（﹣2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵∠A是锐角，且sin A＝，∴∠A的度数是30°，故选：D．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答．2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．4．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．从而证得S1＝S2．【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OCAD的面积S1＝|k|＝2，矩形OEBF的面积S2＝|k|＝2，∴S1＝S2故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm2【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积＝﹣≈733（cm2），故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝πR2是解题的关键．扇形7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【解答】解：由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点评】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键．10．若2m＝3n，那么m：n＝3：2．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．【解答】解：∵2m＝3n，∴m：n＝3：2．故答案为：3：2．【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是m＞2．【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是74米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为4．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝4，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝4，∴BC＝，∵AB⊥CD，∴CE＝BC•sin60°＝×＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD＝90°是关键．14．已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）．【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），∴抛物线的对称轴方程为直线x＝＝1，∵当x＝1时，y＝﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 3.12．（参考数据：sin l5°＝0.26）【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2＝30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．在直角△A1OM中，A1M＝OA1•sin∠A1OM＝0.26R，∴A1A2＝2A1M＝0.52R，∴L＝12A1A2＝6.24R，∴圆周率π≈＝＝3.12．故答案为3.12．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法不正确（“正确”或“不正确”）理由是EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF 平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．【解答】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI＝IT，∴AN＝NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．三．解答题（共12小题）17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60°【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．18．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝﹣1；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．【分析】（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x＝0，y＝3代入抛物线解析式，即可求出m的值；（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象．【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），∴把x＝0，y＝3代入解析式得：﹣3m＝3，解得m＝﹣1，故答案为﹣1；（2）由（1）可知函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；列表如下：描点；画图如下：【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．（1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）由题意得，A（2，2），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的表达式为：y＝；（2）由图象可知：如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0＜k≤4或﹣4≤k＜0．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是5m2；盲区2的面积约是4m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．【分析】（1）作OP⊥CD于P．根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1．解直角△ODP，得出OP＝DP•tan∠D＝，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN，求出BE＝≈4，那么S＝BE•EN≈4m2，即为盲区2的面积；△BEN（2）利用勾股定理求出AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．【解答】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4，∴DP＝（CD﹣OB）＝1．在直角△ODP中，∵∠D＝60°，∴OP＝DP•tan∠D＝1×＝，＝（OB+CD）•OP＝（2+4）•＝3≈3×1.7≈5（m2），∴S梯形OBCD即盲区1的面积约是5m2；在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2，∴BE＝≈＝4，＝BE•EN≈×4×2＝4（m2），∴S△BEN即盲区2的面积约是4m2．故答案为5，4；（2）∵AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．如图所示．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2＝2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2＝135°，且A2B2＝，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2，∴＝＝，∠C2A2B2＝∠C1A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1．【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解决问题；【解答】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，∴BF＝，∴BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，∴BH＝＝4，∵EH∥AB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH+HD＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利1元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解；（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1＝﹣x+7；同理，抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，故：y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，即可求解．【解答】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），故：答案为1；（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），把点（3，5）、（6，3）代入上式得：，解得：，∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1，把点（3，4）代入上式得：4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）2+1，∴y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴x＝5时，函数取得最大值，故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3cm．【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC＝P′C′＝，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC＝P′C′＝，∴CD＝≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x，观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；。

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北京市丰台区2018届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是 A ．32a b =B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 2．将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-3．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tan A 的值为A ．35 B ．34C ．45D ．434．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．① B ．②C ．③D ．④5．如图，点A 为函数ky x=（x > 0）图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．46．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是A B C D7．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A ．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：CB C①抛物线2y ax bx c=++的开口向下；②抛物线2y ax bx c=++的对称轴为直线1x=-；③方程20ax bx c++=的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.其中正确的是A．①④B．②④C．②③D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果sinα=12，那么锐角α= .10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 .11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为 cm.12．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为 .13．已知函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .14．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为 .15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的表达式为；当BE 绿地AEFG的面积最大.16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.图1图2EDGFHACBAB'A'B O请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；（2）直线PA ，PB 是⊙O 的切线，依据是．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos30sin 45tan 60︒+︒-︒.18．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.19．已知二次函数y = x 2- 4x + 3．（1）用配方法将y = x 2- 4x + 3化成y = a (x- h )2+（2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（3）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是 .20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.D CAEB21．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与双曲线ky x=的一个交点为P (m ，2). （1）求k 的值；（2）M （2，a ），N （n ，b ）是双曲线上的两点，直接写出当a > b 时，n 的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E . 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD AC =，点E 是OB 上一点，且23OE EB =，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH .（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当2OB =时，求BH 的长.C D ABNME25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB = 4cm ，AD = 2cm ，设A ，E 两点间的距离为x cm ，△DEF 面积为y cm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．DC BAF下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x 的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .（1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；（2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12，P 2（0，－2），P 30）中，⊙O 的“离心点”是； ②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.EMNFA CEMN FAC图1图2参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 30°； 10.2π3； 11. 10； 12. 1；13. 2y x =或245y x x =-+等，答案不唯一；14.（2，0）； 15.22864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：2cos30sin 45tan 60︒+︒-︒=2分……4分……5分 18. 解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DBEC=.……2分即243EC=． ∴EC ＝6．……4分∴AC ＝AE + EC ＝10． ……5分其他证法相应给分.19.解：（1）2444+3y x x =-+-()221x =--. ……（2）如图： ….3分（3）13y -≤≤ ….5分20.解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =10，∴∠BEC ＝90°，152CE CD ==.……2分设OC =r ，则OA =r ，∴OE =1r -. 在Rt OCE ∆中，OE ABCDD CBAEx +3精品K12教育教学资料 ∵222OE CE OC +=，∴()22125r r -+=.∴=13r . …4分 ∴AB = 2r = 26（寸）. 答：直径AB 的长26寸． …5分21. 解：（1）一次函数1y x =+的图象经过点(,2)P m ，∴1m =． ……… 1分∴点P 的坐标为(1，2). ……… 2分∵反比例函数ky x=的图象经过点P (1，2)， ∴2k = ………3分（2）0n <或2n > …………5分22.解：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形， ∴EN=AC=1.5. AB=CD=15.在Rt MED 中，∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°，∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°. ∴ME ＝DE . …2分设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x +15. 在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°， ∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠， ∴()0.715x x ≈+ .∴35x ≈ . ∴35ME ≈ . …4分 ∴36.5MN ME EN =+≈ .∴人民英雄纪念碑MN .的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图. 于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k =-+根据题意，得出A ，P 两点的坐标分别为A （0，2），P （1，3.6）. ……2分 ∵点P 为抛物线顶点， BC D ABNME∴1 3.6h k ==， . ∵点A 在抛物线上， ∴ 3.62a +=， 1.6a =-…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x =--+. ……4分当点C 的纵坐标y =0时，有()21.61 3.6=0x --+.10.5x =-（舍去），2 2.5x =.∴BC =2.5.∴水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m. ……5分 24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分 ∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD. ∴∠ABD ＝∠AOC＝90°. ……2分 ∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OEBF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF =.∵1122ABFSAB BF AF BH =⋅=⋅ ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分其他方法相应给分.25.（1）04x ≤<；.……1分（2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分（4）0或2. ……6分26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分 ∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分其他方法相应给分.（3）点Q 的坐标为（12-）或（12-）．……7分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分其他方法相应给分.28.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分。

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