福建省福州市中考数学攻略(2)

福建省福州市中考数学攻略（2）新人教版数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。

它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。

分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为WHDI四个方面：
W即为什么要进行分类。

一般地说，当我们研究的问题是下列五种的情形时可以考虑使用分类的思想方法来解决问题：（1）涉及到分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、平方根、有理式、三角形的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法；（2）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则，如有理数的大小比较法则、一元二次方程根的判别式、直线与圆的位置关系、函数的性质等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法；（3）问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；（4）几何问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论；（5）由数学运算引起的分类讨论。

H即如何进行分类。

首先，明确分类讨论思想的三个原则：（1）不遗漏原则；（2）不重复原则；（3）同标准原则。

其次，查找引起分类讨论的主要原因，即上述五个主要原因的哪一种。

第三，掌握分类讨论思想的常用方法。

分类方法一般为分区间讨论法，即把参数的变化范围（或几何图形中动态的变化范围）划分成若干个以参数特征为分界点（或几何图形中的端点）的小区间分别进行讨论，根据题设条件或数学概念、定理、公式的限制条件确定参数(如零点，几何图形中的顶点)。

D即正确进行逐类逐级分类讨论。

I即归纳小结，总结出结论。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面五方面探讨分类方法的应用：（1）代数中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（2）几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（3）含有的参变量的不同取值的分类应用；（4）几何问题中几何图形的不确定的分类应用；（5）由数学运算引起的分类应用。

一、代数中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用： 例1. x 是2的相反数，︱y ︱=3，则x －y 的值是【 】
A ．5-
B ．1
C ．1-或5
D ．1或5-
例2.若y kx 4=-的函数值y 随着x 的增大而增大，则k 的值可能是下列的【 】.
A .4-
B .21-
C .0
D .3
二、几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用： 例3.现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是【 】A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例4. 一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【 】
A ．13
B ．17
C ．22
D ．17或22
例5.如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有 个。

例6.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝12，BD ＝16，
E 为AD 的中点，点P 在x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角
形的P 点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P 点的坐
标 ．
例7. Rt △ABC 中，∠A =900，BC =4,有一个内角为600，点P 是直线AB 上不同于A 、B 的一点，且∠ACP =300，则PB 的长为 ．
三、含有的参变量的不同取值的分类应用：
例8.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （3，0），⊙P 是以点P 为圆心，2为半径的圆。

若一次函数y=kx+b 的图象过点A （－1，0）且与⊙P 相切，则k +b 的值为 。

四、几何问题中几何图形的不确定的分类应用：
例9.在平面直角坐标系xOy 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A （0，
4），点B 是x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为
m ．当m =3时，点B 的横坐标的所有可能值是 ；当点B 的横坐标为4n
（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示．）
例10.如图，A1)，B(1．将△AOB绕点O旋转l500得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为
例11.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
例12.如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点
E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为
例13.如图，矩形OABC 中，A （6，0）、C （0，2）、D （0，3），射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴正半轴上动点，满足∠PQO =60°．
（1）①点B 的坐标是 ；②∠CAO = 度；③当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标为 ；（直接写出答案）
（2）设OA 的中心为N ，PQ 与线段AC 相交于点M ，是否存在点P ，使△AMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的横坐标为m ；若不存在，请说明理由．
（3）设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 的重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．
例14.如图，抛物线21
3
y=x x 922--与x 轴交于A 、
B 两点，与y 轴交于点
C ，连接BC 、AC ． （1）求AB 和OC 的长；
（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．
例15、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O 为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存
在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？。