最新 2020年福建省中考数学试卷(A)及答案
2020年福建省中考数学试卷含答案
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）（2020•福建）-15的相反数是（）A ．5B ．15C ．-15D ．﹣52．（4分）（2020•福建）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（4分）（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形A B C 中，D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，则△DEF 的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．144．（4分）（2020•福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2020•福建）如图，A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，则C D 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．36．（4分）（2020•福建）如图，数轴上两点M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，则m ﹣n 的结果可能是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．37．（4分）（2020•福建）下列运算正确的是（）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．（a +b ）2＝a 2+b2C ．（﹣3a b 2）2＝﹣6a 2b4D ．a •a ﹣1＝1（a ≠0）8．（4分）（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3（x ﹣1）=6210x B ．6210x -1=3C ．3x ﹣1=6210x D ．6210x=39．（4分）（2020•福建）如图，四边形A B C D内接于⊙O，A B＝C D，A为̂B D中点，∠B D C＝60°，则∠A D B等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝a x2﹣2a x上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）|﹣8|＝．12．（4分）（2020•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）（2020•福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠A B C＝度．16．（4分）（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形A B C D 可以是平行四边形；②四边形A B C D 可以是菱形；③四边形A B C D 不可能是矩形；④四边形A B C D 不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）解不等式组：{2x ≤6-x ，①3x +1＞2(x -1)．②18．（8分）（2020•福建）如图，点E ，F 分别在菱形A B C D 的边B C ，C D 上，且B E ＝D F ．求证：∠B A E ＝∠D A F ．19．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1-1x +2）÷x 2-1x +2，其中x =2+1．20．（8分）（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）（2020•福建）如图，A B 与⊙O 相切于点B ，A O 交⊙O 于点C ，A O 的延长线交⊙O 于点D ，E 是̂B C D上不与B ，D 重合的点，s i n A =12．（1）求∠B E D 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在A B 的延长线上，且B F ＝33，求证：D F 与⊙O 相切．22．（10分）（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）（2020•福建）如图，C为线段A B外一点．（1）求作四边形A B C D，使得C D∥A B，且C D＝2A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C D中，A C，B D相交于点P，A B，C D的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）（2020•福建）如图，△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在B C的延长线上，A D，E C相交于点P．（1）求∠B D E的度数；（2）F是E C延长线上的点，且∠C D F＝∠D A C．①判断D F和P F的数量关系，并证明；②求证：E PP F=P CC F．25．（14分）（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，B C＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段B C上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线A E于点F，求△A B E与△C E F面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）（2020•福建）-15的相反数是（）A ．5B ．15C ．-15D ．﹣5【解答】解：-15的相反数是15，故选：B ．2．（4分）（2020•福建）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B ．3．（4分）（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形A B C 中，D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，则△DEF 的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：∵D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，∴D E =12A C ，D F =12B C ，E F =12A B ，∴D F B C =E F A B =D E A C =12，∴△D E F ∽△A B C ，∴S △D E F S △A B C=（D E A C ）2＝（12）2=14，∵等边三角形A B C 的面积为1，∴△D E F 的面积是14，故选：D ．4．（4分）（2020•福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D ．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C ．5．（4分）（2020•福建）如图，A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，则C D 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．3【解答】解：∵A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，∴C D ＝5．故选：B ．6．（4分）（2020•福建）如图，数轴上两点M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，则m ﹣n 的结果可能是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【解答】解：∵M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，∴﹣2＜n ＜﹣1＜0＜m ＜1，∴m ﹣n 的结果可能是2．故选：C ．7．（4分）（2020•福建）下列运算正确的是（）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．（a +b ）2＝a 2+b2C ．（﹣3a b 2）2＝﹣6a 2b4D ．a •a ﹣1＝1（a ≠0）【解答】解：A 、原式＝2a 2，故本选项不符合题意；B 、原式＝a 2+2a b +b 2，故本选项不符合题意；C 、原式＝9a 2b 4，故本选项不符合题意；D 、原式＝a ⋅1a=1，故本选项符合题意；故选：D ．8．（4分）（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3（x ﹣1）=6210x B ．6210x -1=3C ．3x ﹣1=6210xD ．6210x=3【解答】解：依题意，得：3（x ﹣1）=6210x．故选：A ．9．（4分）（2020•福建）如图，四边形A B C D 内接于⊙O ，A B ＝C D ，A 为̂B D 中点，∠B DC ＝60°，则∠AD B 等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】解：∵A 为̂B D 中点，∴̂A B ═̂A D ，∵A B ＝C D ，∴̂A B=̂C D ，∴̂A B=̂A D=̂C D ，∵圆周角∠B D C ＝60°，∴∠B D C 对的̂B C的度数是2×60°＝120°，∴̂A B的度数是13×（360°﹣120°）＝80°，∴̂A B对的圆周角∠A D B的度数是12×80°=40°，故选：A．10．（4分）（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝a x2﹣2a x上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2【解答】解：∵抛物线y＝a x2﹣2a x＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）|﹣8|＝8．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．（4分）（2020•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为1 3．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为1 3，故答案为：1 3．13．（4分）（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为4π．（结果保留π）【解答】解：S 扇形=90⋅π⋅42360=4π，故答案为4π．14．（4分）（2020•福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为﹣10907米．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．（4分）（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠A B C ＝30度．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：(6-2)⋅180°6=120°，所以∠A B C ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．（4分）（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k x图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形A B C D可以是平行四边形；②四边形A B C D可以是菱形；③四边形A B C D不可能是矩形；④四边形A B C D不可能是正方形．其中正确的是①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形A B C D．由对称性可知，O A＝O C，O B＝O D，∴四边形A B C D是平行四边形，当O A＝O C＝O B＝O D时，四边形A B C D是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线A C与直线B D不可能垂直，∴四边形A B C D不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）解不等式组：{2x≤6-x，①3x+1＞2(x-1)．②【解答】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．（8分）（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形A B C D的边B C，C D上，且B E＝D F．求证：∠B A E＝∠D A F．【解答】证明：四边形A B C D 是菱形，∴∠B ＝∠D ，A B ＝A D ，在△A B E 和△A D F 中，{A B =A D ∠B =∠D B E =D F，∴△A B E ≌△A D F （S A S ），∴∠B A E ＝∠D A F ．19．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1-1x +2）÷x 2-1x +2，其中x =2+1．【解答】解：原式=x +2-1x +2•x +2(x +1)(x -1)=1x -1，当x =2+1时，原式=12+1-1=22．20．（8分）（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【解答】解：（1）设销售甲种特产x 吨，则销售乙种特产（100﹣x ）吨，10x +（100﹣x ）×1＝235，解得，x ＝15，∴100﹣x ＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w 万元，销售甲种特产a 吨，w ＝（10.5﹣10）a +（1.2﹣1）×（100﹣a ）＝0.3a +20，∵0≤a ≤20，∴当a ＝20时，w 取得最大值，此时w ＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．（8分）（2020•福建）如图，A B 与⊙O 相切于点B ，A O 交⊙O 于点C ，A O 的延长线交⊙O 于点D ，E 是̂B C D 上不与B ，D 重合的点，s i n A =12．（1）求∠B E D 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在A B 的延长线上，且B F ＝33，求证：D F 与⊙O 相切．【解答】解：（1）连接O B ，如图1，∵A B 与⊙O 相切于点B ，∴∠A B O ＝90°，∵s i n A =12，∴∠A ＝30°，∴∠B O D ＝∠A B O +∠A ＝120°，∴∠B E D =12∠B O D ＝60°；（2）连接O F，O B，如图2，∵A B是切线，∴∠O B F＝90°，∵B F＝33，O B＝3，∴t a n∠B O F=B FO B=3，∴∠B O F＝60°，∵∠B O D＝120°，∴∠B O F＝∠D O F＝60°，在△B O F和△D O F中，{O B=O D∠B O F=∠D O FO F=O F，∴△B O F≌△D O F（S A S），∴∠O B F＝∠O D F＝90°，∴D F与⊙O相切．22．（10分）（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×650=120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：150×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．（10分）（2020•福建）如图，C为线段A B外一点．（1）求作四边形A B C D，使得C D∥A B，且C D＝2A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C D中，A C，B D相交于点P，A B，C D的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．【解答】解：（1）如图，四边形A B C D即为所求；（2）如图，∵C D∥A B，∴∠A B P＝∠C D P，∠B A P＝∠D C P，∴△A B P∽△C D P，∴A BC D=A PP C，∵A B，C D的中点分别为M，N，∴A B＝2A M，C D＝2C N，∴A MC N=A PP C，连接M P，N P，∵∠B A P＝∠D C P，∴△A P M∽△C P N，∴∠A P M＝∠C P N，∵点P在A C上，∴∠A P M+∠C P M＝180°，∴∠C P N+∠C P M＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）（2020•福建）如图，△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在B C的延长线上，A D，E C相交于点P．（1）求∠B D E的度数；（2）F是E C延长线上的点，且∠C D F＝∠D A C．①判断D F和P F的数量关系，并证明；②求证：E PP F=P CC F．【解答】解：（1）∵△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴A B＝A D，∠B A D＝90°，△A B C≌△A D E，在R t△A B D中，∠B＝∠A D B＝45°，∴∠A D E＝∠B＝45°，∴∠B D E＝∠A D B+∠A D E＝90°．（2）①D F＝P F．证明：由旋转的性质可知，A C＝A E，∠C A E＝90°，在R t△A C E中，∠A C E＝∠A E C＝45°，∵∠C D F＝∠C A D，∠A C E＝∠A D B＝45°，∴∠A D B+∠C D F＝∠A C E+∠C A D，即∠F P D＝∠F D P，∴D F＝P F．②证明：过点P作P H∥E D交D F于点H，∴∠H P F＝∠D E P，E PP F=D HH F，∵∠D P F＝∠A D E+∠D E P＝45°+∠D E P，∠D P F＝∠A C E+∠D A C＝45°+∠D A C，∴∠D E P＝∠D A C，又∵∠C D F＝∠D A C，∴∠D E P＝∠C D F，∴∠H P F＝∠C D F，又∵F D＝F P，∠F＝∠F，∴△H P F≌△C D F（A S A），∴H F＝C F，∴D H＝P C，又∵E PP F=D HH F，∴E PP F=P CC F．25．（14分）（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，B C＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段B C上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线A E于点F，求△A B E与△C E F面积之和的最小值．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵B C＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10）与直线l 1：y ＝﹣2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P （x P ，y P ），∴{y P =-2x P +ny P =-2x P +10解得：n ＝10，∵n ＝10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2∥l 1；（3）如图，、∵直线l 3：y ＝﹣2x +q 过点C ，∴0＝﹣2×1+q ，∴q ＝2，∴直线l 3，解析式为L ：y ＝﹣2x +2，∴l 3∥l 1，∴C F ∥A B ，∴∠E C F ＝∠A B E ，∠C F E ＝∠B A E ，∴△C E F ∽△B E A ，∴S △C E F S △A B E=（C E B E ）2，设B E ＝t （0＜t ＜4），则C E ＝4﹣t ，∴S △A B E =12×t ×10＝5t ，∴S △C E F ＝（C E B E ）2×S △A B E ＝（4-t t ）2×5t =5(4-t )2t，∴S △A B E +S △C E F ＝5t +5(4-t )2t =10t +80t-40＝10（t -22t ）2+402-40，∴当t ＝22时，S △A B E +S △C E F的最小值为402-40．。
2020年福建省中考数学试卷(权威解析)
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．−15的相反数是（ ） A ．5B ．15C ．−15D ．﹣52．如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14第3题 第5题 第6题4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，BD ＝5，则CD 等于（ ）A．10B．5C．4D．36．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．37．下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210x B．6210x−1=3C．3x﹣1=6210x D．6210x=39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD̂中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．|﹣8|＝．12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．设A，B，C，D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：{2x≤6−x，①3x+1＞2(x−1)．②18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE ＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1−1x+2）÷x2−1x+2，其中x=√2+1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO 的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ̂上不与B ，D 重合的点，sinA =12． （1）求∠BED 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF ＝3√3，求证：DF 与⊙O 相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得CD ∥AB ，且CD ＝2AB ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：M ，P ，N 三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ． （1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ． ①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：EP PF=PC CF．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．−15的相反数是（ ） A ．5B ．15C ．−15D ．﹣5【解答】解：−15的相反数是15，故选：B ．2．如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆． 故选：B ．3．如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点， ∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ， ∴DF BC=EF AB=DE AC=12，∴△DEF ∽△ABC ， ∴S △DEF S △ABC=（DE AC）2＝（12）2=14，∵等边三角形ABC 的面积为1， ∴△DEF 的面积是14，故选：D ．4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； B ．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形； C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形； D ．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：C ．5．如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，BD ＝5，则CD 等于（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．6．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．3【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．7．下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a⋅1a=1，故本选项符合题意；故选：D．8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210x B．6210x−1=3C．3x﹣1=6210x D．6210x=3【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）=6210 x．故选：A．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD̂中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】解：∵A 为BD ̂中点，∴AB ̂═AD ̂，∵AB ＝CD ，∴AB ̂=CD ̂，∴AB ̂=AD ̂=CD ̂，∵圆周角∠BDC ＝60°，∴∠BDC 对的BC ̂的度数是2×60°＝120°，∴AB ̂的度数是13×（360°﹣120°）＝80°，∴AB ̂对的圆周角∠ADB 的度数是12×80°=40°，故选：A ．10．已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线y ＝ax 2﹣2ax 上的点，下列命题正确的是（）A ．若|x 1﹣1|＞|x 2﹣1|，则y 1＞y 2B ．若|x 1﹣1|＞|x 2﹣1|，则y 1＜y 2C ．若|x 1﹣1|＝|x 2﹣1|，则y 1＝y 2D ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2【解答】解：∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax ＝a （x ﹣1）2﹣a ，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝1，当a ＞0时，若|x 1﹣1|＞|x 2﹣1|，则y 1＞y 2，故选项B 错误；当a ＜0时，若|x 1﹣1|＞|x 2﹣1|，则y 1＜y 2，故选项A 错误；若|x 1﹣1|＝|x 2﹣1|，则y 1＝y 2，故选项C 正确；若y 1＝y 2，则|x 1﹣1|＝|x 2﹣1|，故选项D 错误；故选：C ．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．|﹣8|＝ 8 ．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为 13 ．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为13， 故答案为：13． 13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为 4π ．（结果保留π）【解答】解：S 扇形=90⋅π⋅42360=4π， 故答案为4π．14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为 ﹣10907 米．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC ＝ 30 度．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6=120°，所以∠ABC ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30． 16．设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k x图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图，过点O 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A ，C ，B ，D ，得到四边形ABCD ．由对称性可知，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，当OA ＝OC ＝OB ＝OD 时，四边形ABCD 是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC 与直线BD 不可能垂直，∴四边形ABCD 不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：{2x ≤6−x ，①3x +1＞2(x −1)．②【解答】解：解不等式①，得：x ≤2，解不等式②，得：x ＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x ≤2．18．（8分）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE ＝DF ．求证：∠BAE＝∠DAF ．【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，在△ABE 和△ADF 中，{AB =AD ∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴∠BAE ＝∠DAF ．19．（8分）先化简，再求值：（1−1x+2）÷x 2−1x+2，其中x =√2+1． 【解答】解：原式=x+2−1x+2•x+2(x+1)(x−1)=1x−1，当x =√2+1时，原式=1√2+1−1=√22． 20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【解答】解：（1）设销售甲种特产x 吨，则销售乙种特产（100﹣x ）吨，10x +（100﹣x ）×1＝235，解得，x ＝15，∴100﹣x ＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w 万元，销售甲种特产a 吨，w ＝（10.5﹣10）a +（1.2﹣1）×（100﹣a ）＝0.3a +20，∵0≤a ≤20，∴当a ＝20时，w 取得最大值，此时w ＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．（8分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO 的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ̂上不与B ，D 重合的点，sinA =12． （1）求∠BED 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF ＝3√3，求证：DF 与⊙O 相切．【解答】解：（1）连接OB ，如图1，∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO ＝90°，∵sinA =12，∴∠A ＝30°，∴∠BOD ＝∠ABO +∠A ＝120°，∴∠BED =12∠BOD ＝60°；（2）连接OF ，OB ，如图2，∵AB 是切线，∴∠OBF ＝90°，∵BF ＝3√3，OB ＝3，∴tan ∠BOF =BF OB =√3， ∴∠BOF ＝60°，∵∠BOD ＝120°，∴∠BOF ＝∠DOF ＝60°，在△BOF 和△DOF 中，{OB =OD ∠BOF =∠DOF OF =OF，∴△BOF ≌△DOF （SAS ），∴∠OBF ＝∠ODF ＝90°，∴DF 与⊙O 相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×650=120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：150×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得CD ∥AB ，且CD ＝2AB ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：M ，P ，N 三点在同一条直线上．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD 即为所求；（2）如图，∵CD ∥AB ，∴∠ABP ＝∠CDP ，∠BAP ＝∠DCP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD =AP PC ，∵AB ，CD 的中点分别为M ，N ，∴AB ＝2AM ，CD ＝2CN ，∴AM CN =AP PC ，连接MP ，NP ，∵∠BAP ＝∠DCP ，∴△APM ∽△CPN ，∴∠APM ＝∠CPN ，∵点P 在AC 上，∴∠APM +∠CPM ＝180°，∴∠CPN +∠CPM ＝180°，∴M ，P ，N 三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．（1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明；②求证：EP PF =PC CF ．【解答】解：（1）∵△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，△ABC ≌△ADE ，在Rt △ABD 中，∠B ＝∠ADB ＝45°，∴∠ADE ＝∠B ＝45°，∴∠BDE ＝∠ADB +∠ADE ＝90°．（2）①DF ＝PF ．证明：由旋转的性质可知，AC ＝AE ，∠CAE ＝90°，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝∠AEC ＝45°，∵∠CDF ＝∠CAD ，∠ACE ＝∠ADB ＝45°，∴∠ADB +∠CDF ＝∠ACE +∠CAD ，即∠FPD ＝∠FDP ，∴DF ＝PF ．②证明：过点P 作PH ∥ED 交DF 于点H ，∴∠HPF ＝∠DEP ，EP PF =DH HF ，∵∠DPF ＝∠ADE +∠DEP ＝45°+∠DEP ，∠DPF ＝∠ACE +∠DAC ＝45°+∠DAC ，∴∠DEP ＝∠DAC ，又∵∠CDF ＝∠DAC ，∴∠DEP ＝∠CDF ，∴∠HPF ＝∠CDF ，又∵FD ＝FP ，∠F ＝∠F ，∴△HPF ≌△CDF （ASA ），∴HF ＝CF ，∴DH ＝PC ，又∵EP PF =DH HF ， ∴EP PF =PC CF ．25．（14分）已知直线l 1：y ＝﹣2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过A ，B 两点，交x 轴于另一点C ，BC ＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），当x 1＞x 2≥5时，总有y 1＞y 2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l 2：y ＝mx +n （n ≠10），求证：当m ＝﹣2时，l 2∥l 1；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y ＝﹣2x +q 过点C 且交直线AE 于点F ，求△ABE 与△CEF 面积之和的最小值．【解答】解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，∴点A （0，10），点B （5，0），∵BC ＝4，∴点C （9，0）或点C （1，0），∵点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），当x 1＞x 2≥5时，总有y 1＞y 2．∴当x ≥5时，y 随x 的增大而增大，当抛物线过点C （9，0）时，则当5＜x ＜7时，y 随x 的增大而减少，不合题意舍去， 当抛物线过点C （1，0）时，则当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，符合题意， ∴设抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），过点A （0，10），∴10＝5a ，∴a ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝2（x ﹣1）（x ﹣5）＝2x 2﹣12x +10；（2）当m ＝﹣2时，直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10），∴直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10）与直线l 1：y ＝﹣2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P （x P ，y P ），∴{y P=−2x P+n y P =−2x P +10 解得：n ＝10，∵n ＝10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2∥l 1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴S△CEFS△ABE =（CEBE）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE=12×t×10＝5t，∴S△CEF＝（CEBE ）2×S△ABE＝（4−tt）2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF＝5t+5(4−t)2t=10t+80t−40＝10（√t√2√t）2+40√2−40，∴当t＝2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．。
2020年福建省中考数学试卷(附答案解析)
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）－的相反数是（）A．5B．C．－D．－52．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．36．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m－n的结果可能是（）A．－1B．1C．2D．37．（4分）下列运算正确的是（）A．3a2－a2＝3B．（a＋b）2＝a2＋b2C．（－3ab2）2＝－6a2b4D．a•a－1＝1（a≠0）8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x－1）＝B．＝3C．3x－1＝D．＝39．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2－2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1－1|＞|x2－1|，则y1＞y2B．若|x1－1|＞|x2－1|，则y1＜y2C．若|x1－1|＝|x2－1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）|－8|＝．12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为＋100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1－）÷，其中x＝＋1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．25．（14分）已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx＋n（n≠10），求证：当m＝－2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝－2x＋q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．【试题答案】一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．B【解答】解：－的相反数是，2．B【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．3．D【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，4．C【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．5．B【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．6．C【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴－2＜n＜－1＜0＜m＜1，∴m－n的结果可能是2．7．D【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2＋2ab＋b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；8．A【解答】解：依题意，得：3（x－1）＝．9．A【解答】解：∵A为中点，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圆周角∠BDC＝60°，∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，∴的度数是（360°－120°）＝80°，∴对的圆周角∠ADB的度数是。
2020福建福州中考数学试题及答案(含答案)
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）﹣的相反数是（）A．5B．C．﹣D．﹣52．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．36．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．37．（4分）下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝39．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）|﹣8|＝．12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．解：﹣的相反数是，故选：B．2．解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B．3．解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，故选：D．4．解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．5．解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．6．解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．7．解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；故选：D．8．解：依题意，得：3（x﹣1）＝．故选：A．9．解：∵A为中点，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圆周角∠BDC＝60°，∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，∴对的圆周角∠ADB的度数是，故选：A．10．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为，故答案为：．13．解：S扇形＝＝4π，故答案为4π．14．解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．19．解：原式＝•＝，当时，原式＝＝．20．解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x+（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w元，销售甲种特产a吨，w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．解：（1）连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sin A＝，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°；（2）连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝3，OB＝3，∴，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．22．解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×＝120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；（2）如图，∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB＝2AM，CD＝2CN，∴＝，连接MP，NP，∵∠BAP＝∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM＝∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM＝180°，∴∠CPN+∠CPM＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，∴∠HPF＝∠DEP，，∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵，∴．25．解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵BC＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（x P，y P），∴解得：n＝10，∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴＝（）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE＝×t×10＝5t，∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．。
福建省2020年中考数学试题(解析版)
那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量
为 x 株，则符合题意的方程是（ ）
A. 3(x 1) 6210 x
【答案】A
B.
6210 3 x 1
C. 3x 1 6210 x
D. 6210 3 x
【解析】
【分析】
根据“这批椽的价钱为 6210 文”、“每件椽的运费为 3 文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减乘除及完全平方公式、负整数指数幂等运算公式，熟练掌握公式及运算法则
是解决此类题的关键．
8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，
无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文．如果每件椽的运费是 3 文，
故选 D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合.
2020年福建省中考数学试卷含答案
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）（2020•福建）-15的相反数是（）A ．5B ．15C ．-15D ．﹣52．（4分）（2020•福建）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（4分）（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形A B C 中，D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，则△DEF 的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．144．（4分）（2020•福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2020•福建）如图，A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，则C D 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．36．（4分）（2020•福建）如图，数轴上两点M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，则m ﹣n 的结果可能是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．37．（4分）（2020•福建）下列运算正确的是（）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．（a +b ）2＝a 2+b2C ．（﹣3a b 2）2＝﹣6a 2b4D ．a •a ﹣1＝1（a ≠0）8．（4分）（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3（x ﹣1）=6210x B ．6210x -1=3C ．3x ﹣1=6210x D ．6210x=39．（4分）（2020•福建）如图，四边形A B C D内接于⊙O，A B＝C D，A为̂B D中点，∠B D C＝60°，则∠A D B等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝a x2﹣2a x上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）|﹣8|＝．12．（4分）（2020•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）（2020•福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠A B C＝度．16．（4分）（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形A B C D 可以是平行四边形；②四边形A B C D 可以是菱形；③四边形A B C D 不可能是矩形；④四边形A B C D 不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）解不等式组：{2x ≤6-x ，①3x +1＞2(x -1)．②18．（8分）（2020•福建）如图，点E ，F 分别在菱形A B C D 的边B C ，C D 上，且B E ＝D F ．求证：∠B A E ＝∠D A F ．19．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1-1x +2）÷x 2-1x +2，其中x =2+1．20．（8分）（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）（2020•福建）如图，A B 与⊙O 相切于点B ，A O 交⊙O 于点C ，A O 的延长线交⊙O 于点D ，E 是̂B C D上不与B ，D 重合的点，s i n A =12．（1）求∠B E D 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在A B 的延长线上，且B F ＝33，求证：D F 与⊙O 相切．22．（10分）（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）（2020•福建）如图，C为线段A B外一点．（1）求作四边形A B C D，使得C D∥A B，且C D＝2A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C D中，A C，B D相交于点P，A B，C D的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）（2020•福建）如图，△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在B C的延长线上，A D，E C相交于点P．（1）求∠B D E的度数；（2）F是E C延长线上的点，且∠C D F＝∠D A C．①判断D F和P F的数量关系，并证明；②求证：E PP F=P CC F．25．（14分）（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，B C＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段B C上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线A E于点F，求△A B E与△C E F面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）（2020•福建）-15的相反数是（）A ．5B ．15C ．-15D ．﹣5【解答】解：-15的相反数是15，故选：B ．2．（4分）（2020•福建）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B ．3．（4分）（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形A B C 中，D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，则△DEF 的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：∵D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，∴D E =12A C ，D F =12B C ，E F =12A B ，∴D F B C =E F A B =D E A C =12，∴△D E F ∽△A B C ，∴S △D E F S △A B C=（D E A C ）2＝（12）2=14，∵等边三角形A B C 的面积为1，∴△D E F 的面积是14，故选：D ．4．（4分）（2020•福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D ．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C ．5．（4分）（2020•福建）如图，A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，则C D 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．3【解答】解：∵A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，∴C D ＝5．故选：B ．6．（4分）（2020•福建）如图，数轴上两点M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，则m ﹣n 的结果可能是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【解答】解：∵M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，∴﹣2＜n ＜﹣1＜0＜m ＜1，∴m ﹣n 的结果可能是2．故选：C ．7．（4分）（2020•福建）下列运算正确的是（）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．（a +b ）2＝a 2+b2C ．（﹣3a b 2）2＝﹣6a 2b4D ．a •a ﹣1＝1（a ≠0）【解答】解：A 、原式＝2a 2，故本选项不符合题意；B 、原式＝a 2+2a b +b 2，故本选项不符合题意；C 、原式＝9a 2b 4，故本选项不符合题意；D 、原式＝a ⋅1a=1，故本选项符合题意；故选：D ．8．（4分）（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3（x ﹣1）=6210x B ．6210x -1=3C ．3x ﹣1=6210xD ．6210x=3【解答】解：依题意，得：3（x ﹣1）=6210x．故选：A ．9．（4分）（2020•福建）如图，四边形A B C D 内接于⊙O ，A B ＝C D ，A 为̂B D 中点，∠B DC ＝60°，则∠AD B 等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】解：∵A 为̂B D 中点，∴̂A B ═̂A D ，∵A B ＝C D ，∴̂A B=̂C D ，∴̂A B=̂A D=̂C D ，∵圆周角∠B D C ＝60°，∴∠B D C 对的̂B C的度数是2×60°＝120°，∴̂A B的度数是13×（360°﹣120°）＝80°，∴̂A B对的圆周角∠A D B的度数是12×80°=40°，故选：A．10．（4分）（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝a x2﹣2a x上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2【解答】解：∵抛物线y＝a x2﹣2a x＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）|﹣8|＝8．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．（4分）（2020•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为1 3．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为1 3，故答案为：1 3．13．（4分）（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为4π．（结果保留π）【解答】解：S 扇形=90⋅π⋅42360=4π，故答案为4π．14．（4分）（2020•福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为﹣10907米．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．（4分）（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠A B C ＝30度．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：(6-2)⋅180°6=120°，所以∠A B C ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．（4分）（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k x图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形A B C D可以是平行四边形；②四边形A B C D可以是菱形；③四边形A B C D不可能是矩形；④四边形A B C D不可能是正方形．其中正确的是①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形A B C D．由对称性可知，O A＝O C，O B＝O D，∴四边形A B C D是平行四边形，当O A＝O C＝O B＝O D时，四边形A B C D是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线A C与直线B D不可能垂直，∴四边形A B C D不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）解不等式组：{2x≤6-x，①3x+1＞2(x-1)．②【解答】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．（8分）（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形A B C D的边B C，C D上，且B E＝D F．求证：∠B A E＝∠D A F．【解答】证明：四边形A B C D 是菱形，∴∠B ＝∠D ，A B ＝A D ，在△A B E 和△A D F 中，{A B =A D ∠B =∠D B E =D F，∴△A B E ≌△A D F （S A S ），∴∠B A E ＝∠D A F ．19．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1-1x +2）÷x 2-1x +2，其中x =2+1．【解答】解：原式=x +2-1x +2•x +2(x +1)(x -1)=1x -1，当x =2+1时，原式=12+1-1=22．20．（8分）（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【解答】解：（1）设销售甲种特产x 吨，则销售乙种特产（100﹣x ）吨，10x +（100﹣x ）×1＝235，解得，x ＝15，∴100﹣x ＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w 万元，销售甲种特产a 吨，w ＝（10.5﹣10）a +（1.2﹣1）×（100﹣a ）＝0.3a +20，∵0≤a ≤20，∴当a ＝20时，w 取得最大值，此时w ＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．（8分）（2020•福建）如图，A B 与⊙O 相切于点B ，A O 交⊙O 于点C ，A O 的延长线交⊙O 于点D ，E 是̂B C D 上不与B ，D 重合的点，s i n A =12．（1）求∠B E D 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在A B 的延长线上，且B F ＝33，求证：D F 与⊙O 相切．【解答】解：（1）连接O B ，如图1，∵A B 与⊙O 相切于点B ，∴∠A B O ＝90°，∵s i n A =12，∴∠A ＝30°，∴∠B O D ＝∠A B O +∠A ＝120°，∴∠B E D =12∠B O D ＝60°；（2）连接O F，O B，如图2，∵A B是切线，∴∠O B F＝90°，∵B F＝33，O B＝3，∴t a n∠B O F=B FO B=3，∴∠B O F＝60°，∵∠B O D＝120°，∴∠B O F＝∠D O F＝60°，在△B O F和△D O F中，{O B=O D∠B O F=∠D O FO F=O F，∴△B O F≌△D O F（S A S），∴∠O B F＝∠O D F＝90°，∴D F与⊙O相切．22．（10分）（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×650=120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：150×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．（10分）（2020•福建）如图，C为线段A B外一点．（1）求作四边形A B C D，使得C D∥A B，且C D＝2A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C D中，A C，B D相交于点P，A B，C D的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．【解答】解：（1）如图，四边形A B C D即为所求；（2）如图，∵C D∥A B，∴∠A B P＝∠C D P，∠B A P＝∠D C P，∴△A B P∽△C D P，∴A BC D=A PP C，∵A B，C D的中点分别为M，N，∴A B＝2A M，C D＝2C N，∴A MC N=A PP C，连接M P，N P，∵∠B A P＝∠D C P，∴△A P M∽△C P N，∴∠A P M＝∠C P N，∵点P在A C上，∴∠A P M+∠C P M＝180°，∴∠C P N+∠C P M＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）（2020•福建）如图，△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在B C的延长线上，A D，E C相交于点P．（1）求∠B D E的度数；（2）F是E C延长线上的点，且∠C D F＝∠D A C．①判断D F和P F的数量关系，并证明；②求证：E PP F=P CC F．【解答】解：（1）∵△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴A B＝A D，∠B A D＝90°，△A B C≌△A D E，在R t△A B D中，∠B＝∠A D B＝45°，∴∠A D E＝∠B＝45°，∴∠B D E＝∠A D B+∠A D E＝90°．（2）①D F＝P F．证明：由旋转的性质可知，A C＝A E，∠C A E＝90°，在R t△A C E中，∠A C E＝∠A E C＝45°，∵∠C D F＝∠C A D，∠A C E＝∠A D B＝45°，∴∠A D B+∠C D F＝∠A C E+∠C A D，即∠F P D＝∠F D P，∴D F＝P F．②证明：过点P作P H∥E D交D F于点H，∴∠H P F＝∠D E P，E PP F=D HH F，∵∠D P F＝∠A D E+∠D E P＝45°+∠D E P，∠D P F＝∠A C E+∠D A C＝45°+∠D A C，∴∠D E P＝∠D A C，又∵∠C D F＝∠D A C，∴∠D E P＝∠C D F，∴∠H P F＝∠C D F，又∵F D＝F P，∠F＝∠F，∴△H P F≌△C D F（A S A），∴H F＝C F，∴D H＝P C，又∵E PP F=D HH F，∴E PP F=P CC F．25．（14分）（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，B C＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段B C上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线A E于点F，求△A B E与△C E F面积之和的最小值．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵B C＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10）与直线l 1：y ＝﹣2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P （x P ，y P ），∴{y P =-2x P +ny P =-2x P +10解得：n ＝10，∵n ＝10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2∥l 1；（3）如图，、∵直线l 3：y ＝﹣2x +q 过点C ，∴0＝﹣2×1+q ，∴q ＝2，∴直线l 3，解析式为L ：y ＝﹣2x +2，∴l 3∥l 1，∴C F ∥A B ，∴∠E C F ＝∠A B E ，∠C F E ＝∠B A E ，∴△C E F ∽△B E A ，∴S △C E F S △A B E=（C E B E ）2，设B E ＝t （0＜t ＜4），则C E ＝4﹣t ，∴S △A B E =12×t ×10＝5t ，∴S △C E F ＝（C E B E ）2×S △A B E ＝（4-t t ）2×5t =5(4-t )2t，∴S △A B E +S △C E F ＝5t +5(4-t )2t =10t +80t-40＝10（t -22t ）2+402-40，∴当t ＝22时，S △A B E +S △C E F的最小值为402-40．。
2020年福建省中考数学试卷和答案解析
2020年福建省中考数学试卷和答案解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）﹣的相反数是（）A．5B．C．﹣D．﹣5解析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．参考答案：解：﹣的相反数是，故选：B．点拨：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．解析：根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．参考答案：解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B．点拨：本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．解析：根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．参考答案：解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，故选：D．点拨：本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．参考答案：解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．点拨：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．3解析：根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．参考答案：解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．点拨：考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．6．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．3解析：根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，m﹣n的结果可能是2．参考答案：解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．点拨：本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．7．（4分）下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）解析：根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．参考答案：解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；故选：D．点拨：本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝3解析：根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．参考答案：解：依题意，得：3（x﹣1）＝．故选：A．点拨：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°解析：求出＝＝，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的的度数，求出的度数，再求出答案即可．参考答案：解：∵A为中点，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圆周角∠BDC＝60°，∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，∴对的圆周角∠ADB的度数是，故选：A．点拨：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出＝＝是解此题的关键．10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2解析：根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．参考答案：解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．点拨：本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）|﹣8|＝8．解析：负数的绝对值是其相反数．参考答案：解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．点拨：本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．解析：直接利用概率公式求解可得．参考答案：解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为，故答案为：．点拨：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为4π．（结果保留π）解析：利用扇形的面积公式计算即可．参考答案：解：S扇形＝＝4π，故答案为4π．点拨：本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝＝lr（r是扇形的半径，l是扇形的弧长）．14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为﹣10907米．解析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答．参考答案：解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．点拨：本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝30度．解析：由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．参考答案：解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．点拨：本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是①④．（写出所有正确结论的序号）解析：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．参考答案：解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，点拨：本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．参考答案：解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．点拨：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．解析：根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．参考答案：证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．点拨：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．解析：先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式＝，再把x的值代入计算即可．参考答案：解：原式＝•＝，当时，原式＝＝．点拨：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．解析：（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；（2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．参考答案：解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x+（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．点拨：本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO 的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．解析：（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．参考答案：解：（1）连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sinA＝，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°；（2）连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝3，OB＝3，∴，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．点拨：本题主要考查了圆的切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键是证明三角形全等．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．解析：（1）用2000乘以样本中家庭人均纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可；（2）利用加权平均数进行计算即可；（3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可．参考答案：解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×＝120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．点拨：本题考查了折线统计图、用样本估计总体、条形统计图、加权平均数，考查运算能力、推理能力、考查统计思想．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD 的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．解析：（1）利用尺规作图作CD∥AB，且CD＝2AB，即可作出四边形ABCD；（2）在（1）的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．参考答案：解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；（2）如图，∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB＝2AM，CD＝2CN，∴＝，连接MP，NP，∵∠BAP＝∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM＝∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM＝180°，∴∠CPN+∠CPM＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．点拨：本题考查了作图﹣复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．解析：（1）由旋转的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度数；（2）①由旋转的性质得出AC＝AE，∠CAE＝90°，证得∠FPD＝∠FDP，由等腰三角形的判定得出结论；②过点P作PH∥ED交DF于点H，得出∠HPF＝∠DEP，，证明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性质得出HF＝CF，则可得出结论．参考答案：解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，∴∠HPF＝∠DEP，，∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵，∴．点拨：本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．解析：（1）先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）利用反证法可得结论；（3）通过证明△CEF∽△BEA，可得＝（）2，BE＝t（0＜t ＜4），则CE＝4﹣t，可求S△ABE＝×t×10＝5t，S△CEF＝，利用二次函数的性质可求解．参考答案：解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵BC＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（x P，y P），∴解得：n＝10，∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴＝（）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE＝×t×10＝5t，∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．点拨：本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．。
2020年福建省中考数学试卷(含详细解析)
D选项与 符号相同，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查相反数的定义，解题关键是熟知相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．
2．B
【解析】
【分析】
根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】
由几何体可知，该几何体的三视图依次为．
主视图为：
左视图为：
俯视图为：
22．为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．
A． B． C． D．
9．如图，四边形 内接于 ， ， 为 中点， ，则 等于（）
A． B． C． D．
10．已知 ， 是抛物线 上的点，下列命题正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
评卷人
得分
二、填空题
11．计算： __________.
12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________．
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
2020年福建省中考数学试卷(含解析)
2020年福建省中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．﹣的相反数是（）A．5 B．C．﹣D．﹣52．如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1 B．C．D．4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．36．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．|﹣8|＝．12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D 重合的点，sinA＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x 轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF 面积之和的最小值．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：﹣的相反数是，故选：B．2．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B．3．【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，故选：D．4．【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．5．【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．6．【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．7．【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；故选：D．8．【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．故选：A．9．【解答】解：∵A为中点，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圆周角∠BDC＝60°，∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，∴对的圆周角∠ADB的度数是，故选：A．10．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题11．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为，故答案为：．13．【解答】解：S扇形＝＝4π，故答案为4π．14．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题17．【解答】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．【解答】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．19．【解答】解：原式＝•＝，当时，原式＝＝．20．【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x+（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．【解答】解：（1）连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sinA＝，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°；（2）连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝3，OB＝3，∴，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．22．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×＝120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；（2）如图，∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB＝2AM，CD＝2CN，∴＝，连接MP，NP，∵∠BAP＝∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM＝∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM＝180°，∴∠CPN+∠CPM＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，∴∠HPF＝∠DEP，，∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵，∴．25．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵BC＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（x P，y P），∴解得：n＝10，∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴＝（）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE＝×t×10＝5t，∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．。
2020年福建省中考数学试卷（有详细解析）
2020年福建省中考数学试卷（有详细解析）2020年福建省中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共40.0分）1.?15的相反数是()A. 5B. 15C. ?15D. ?52.如图所⽰的六⾓螺母，其俯视图是()A.B.C.D.3.如图，⾯积为1的等边三⾓形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的⾯积是()A. 1B. 12C. 13D. 144.下列给出的等边三⾓形、平⾏四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的是()A. B.C. D.5.如图，AD是等腰三⾓形ABC的顶⾓平分线，BD=5，则CD等于()A. 10B. 5C. 4D. 36.如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m?n的结果可能是()A. ?1B. 1C. 2D. 37.下列运算正确的是()A. 3a2?a2=3B. (a+b)2=a2+b2C. (?3ab2)2=?6a2b4D. a?a?1=1(a≠0)8.我国古代著作《四元⽟鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯⼆百⼀⼗钱，倩⼈去买⼏株椽．每株脚钱三⽂⾜，⽆钱准与⼀株椽．”其⼤意为：现请⼈代买⼀批椽，这批椽的价钱为6210⽂．如果每株椽的运费是3⽂，那么少拿⼀株椽后，剩下的椽的运费恰好等于⼀株椽的价钱，试问6210⽂能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的⽅程是()A. 3(x?1)=6210x B. 6210x?1=3C. 3x?1=6210x D. 6210x=39.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD?中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°10.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2?2ax上的点，下列命题正确的是()A. 若|x1?1|>|x2?1|，则y1>y2B. 若|x1?1|>|x2?1|，则y1C. 若|x1?1|=|x2?1|，则y1=y2D. 若y1=y2，则x1=x2⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共24.0分）11.|?8|=______．12.若从甲、⼄、丙3位“爱⼼辅学”志愿者中随机选1位为学⽣在线辅导功课，则甲被选到的概率为______．13.⼀个扇形的圆⼼⾓是90°，半径为4，则这个扇形的⾯积为______.(结果保留π)14. 2020年6⽉9⽇，我国全海深⾃主遥控潜⽔器“海⽃⼀号”在马⾥亚纳海沟刷新了我国潜⽔器下潜深度的纪录，最⼤下潜深度达10907⽶．假设以马⾥亚纳海沟所在海域的海平⾯为基准，记为0⽶，⾼于马⾥亚纳海沟所在海域的海平⾯100⽶的某地的⾼度记为+100⽶，根据题意，“海⽃⼀号”下潜⾄最⼤深度10907⽶处，该处的⾼度可记为______⽶．15. 如图所⽰的六边形花环是⽤六个全等的直⾓三⾓形拼成的，则∠ABC =______度． 16. 设A ，B ，C ，D 是反⽐例函数y =kx 图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平⾏四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正⽅形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号) 三、计算题（本⼤题共1⼩题，共8.0分） 17. 先化简，再求值：(1?1x+2)÷x 2?1x+2，其中x =√2+1．四、解答题（本⼤题共8⼩题，共78.0分） 18. 解不等式组：{2x ≤6?x,?①3x +1>2(x ?1).?②19. 如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE =DF.求证：∠BAE =∠DAF ．20.某公司经营甲、⼄两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；⼄特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每⽉这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．(1)若该公司某⽉销售甲、⼄两种特产的总成本为235万元，问这个⽉该公司分别销售甲、⼄两种特产各多少吨？(2)求该公司⼀个⽉销售这两种特产所能获得的最⼤总利润．上21.如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD．不与B，D重合的点，sinA=12(1)求∠BED的⼤⼩；(2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF=3√3，求证：DF与⊙O相切．22.为贯彻落实党中央关于全⾯建成⼩康社会的战略部署，某贫困地区的⼴⼤党员⼲部深⼊农村积极开展“精准扶贫”⼯作．经过多年的精⼼帮扶，截⾄2019年底，按照农民⼈均年纯收⼊3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭⼈均年纯收⼊，得到如图1所⽰的条形图．(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭⼈均年纯收⼊低于2000元(不含2000元)的户数；(2)估计2019年该地区尚未脱贫的家庭⼈均年纯收⼊的平均值；(3)2020年初，由于新冠疫情，农民收⼊受到严重影响，上半年当地农民家庭⼈均⽉纯收⼊的最低值变化情况如图2的折线图所⽰．为确保当地农民在2020年全⾯脱贫，当地政府积极筹集资⾦，引进某科研机构的扶贫专项项⽬．据预测，随着该项⽬的实施，当地农民⾃2020年6⽉开始，以后每⽉家庭⼈均⽉纯收⼊都将⽐上⼀个⽉增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民⼈均年纯收⼊4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全⾯脱贫．23.如图，C为线段AB外⼀点．(1)求作四边形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同⼀条直线上．24.如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针⽅向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：EPPF =PCCF．25.已知直线l1：y=?2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，⼆次函数的图象过A，B两点，交x轴于另⼀点C，BC=4，且对于该⼆次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求⼆次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=?2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=?2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF⾯积之和的最⼩值．答案和解析1. B解：?15的相反数是15，2. B解：从上⾯看，是⼀个正六边形，六边形的中间是⼀个圆． 3. D解：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DFBC =EFAB =DEAC =12，∴△DEF∽△ABC ，∴S △DEF S △ABC=(DEAC )2=(12)2=14，∵等边三⾓形ABC 的⾯积为1，∴△DEF 的⾯积是14，4. C解：A.等边三⾓形是轴对称图形，不是中⼼对称图形； B .平⾏四边形不是轴对称图形，是中⼼对称图形； C .圆既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形； D .扇形是轴对称图形，不是中⼼对称图形． 5. B解：∵AD 是等腰三⾓形ABC 的顶⾓平分线，BD =5，∴CD =5． 6. C解：∵M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，∴?27.D解：A、原式=2a2，故本选项不符合题意；B、原式=a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式=9a2b4，故本选项不符合题意；=1，故本选项符合题意；D、原式=a?1a8.A．解：依题意，得：3(x?1)=6210x9.A解：∵A为BD?中点，∴AB?═AD?，∵AB=CD，∴AB?=CD?，∴AB?=AD?=CD?，∵圆周⾓∠BDC=60°，∴∠BDC对的BC?的度数是2×60°=120°，×(360°?120°)=80°，∴AB?的度数是13×80°=40°，∴AB?对的圆周⾓∠ADB的度数是1210.C解：∵抛物线y=ax2?2ax=a(x?1)2?a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1?1|>|x2?1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1?1|>|x2?1|，则y1若y1=y2，则|x1?1|=|x2?1|，故选项D错误；11.8解：∵?8<0，∴|?8|=?(?8)=8．12.13解：∵从甲、⼄、丙3位“爱⼼辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为13，13.4π解：S扇形=90?π?42360=4π，故答案为4π．14.?10907解：∵规定以马⾥亚纳海沟所在海域的海平⾯0⽶，⾼于海平⾯的⾼度记为正数，∴低于海平⾯的⾼度记为负数，∵“海⽃⼀号”下潜⾄最⼤深度10907⽶处，∴该处的⾼度可记为?10907⽶．15.30解：正六边形的每个内⾓的度数为：(6?2)?180°6=120°，所以∠ABC=120°?90°=30°，16.①④解：如图，过点O任意作两条直线分别交反⽐例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平⾏四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反⽐例函数的图象在⼀，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正⽅形，故选项①④正确，17.解：原式=x+2?1x+2?x+2 (x+1)(x?1)=1x?1，当x=√2+1时，原式=√2+1?1=√22．18.解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x>?3，则不等式组的解集为?3∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，{AB=AD ∠B=∠D BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF．20.解：(1)设销售甲种特产x吨，则销售⼄种特产(100?x)吨，10x+(100?x)×1=235，解得，x=15，∴100?x=85，答：这个⽉该公司销售甲、⼄两种特产分别为15吨，85吨；(2)设利润为w元，销售甲种特产a吨，w=(10.5?10)a+(1.2?1)×(100?a)=0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a=20时，w取得最⼤值，此时w=26，答：该公司⼀个⽉销售这两种特产所能获得的最⼤总利润是26万元．21.解：(1)连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵sinA=12，∴∠A=30°，∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°，∴∠BED=12∠BOD=60°；(2)连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF=90°，∵BF=3√3，OB=3，∴tan∠BOF=BFOB=√3，∴∠BOF=60°，∵∠BOD=120°，∴∠BOF=∠DOF=60°，在△BOF和△DOF中，{OB=OD∠BOF=∠DOF OF=OF，∴△BOF≌△DOF(SAS)，∴∠OBF=∠ODF=90°，∴DF与⊙O相切．22.解：(1)根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭⼈均年纯收⼊低于2000元(不含2000元)的户数为：1000×650=120；(2)根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭⼈均年纯收⼊的平均值为：150×(1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5)=2.4(千元)；(3)根据题意，得，2020年该地区农民家庭⼈均⽉纯收⼊的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭⼈均年纯收⼊不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470 >960+1130+1300+1470>4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全⾯脱贫．23.解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；(2)如图，∵CD//AB，∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴ABCD =APPC，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB=2AM，CD=2CN，∴AMCN =APPC，连接MP，NP，∵∠BAP=∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM=∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM=180°，∴∠CPN+∠CPM=180°，∴M，P，N三点在同⼀条直线上．24.解：(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针⽅向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，⼜∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，⼜∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，⼜∵EPPF =DHHF，∴EPPF =PCCF．25. 解：(1)∵直线l 1：y =?2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC =4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，当x 1>x 2≥5时，总有y 1>y 2．∴当x ≥5时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，当抛物线过点C(9,0)时，则当53时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，符合题意，∴设抛物线解析式为：y =a(x ?1)(x ?5)，过点A(0,10)，∴10=5a ，∴a =2，∴抛物线解析式为：y =2(x ?1)(x ?5)=2x 2?12x +10； (2)当m =?2时，直线l 2：y =?2x +n(n ≠10)，∴直线l 2：y =?2x +n(n ≠10)与直线l 1：y =?2x +10不重合，假设l 1与l 2不平⾏，则l 1与l 2必相交，设交点为P(x P ,y P )，∴{y P =?2x P +n y P =?2x P +10解得：n =10，∵n =10与已知n ≠10⽭盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2//l 1； (3)如图，、∵直线l 3：y =?2x +q 过点C ，∴0=?2×1+q ，∴q =2，∴直线l 3，解析式为L ：y =?2x +2，∴l 3//l 1，∴CF//AB ，∴∠ECF =∠ABE ，∠CFE =∠BAE ，∴△CEF∽△BEA，∴S△CEFS△ABE =(CEBE)2，设BE=t(02×t×10=5t，∴S△CEF=(CEBE )2×S△ABE=(4?tt)2×5t=5(4?t)2t，∴S△ABE+S△CEF=5t+5(4?t)2t =10t+80t40=10(√t√2t)2+40√2?40，∴当t=2√2时，S△ABE+S△CEF的最⼩值为40√2?40．。
2020年福建省中考数学试卷含答案
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）（2020•福建）-15的相反数是（）A ．5B ．15C ．-15D ．﹣52．（4分）（2020•福建）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（4分）（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形A B C 中，D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，则△DEF 的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．144．（4分）（2020•福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2020•福建）如图，A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，则C D 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．36．（4分）（2020•福建）如图，数轴上两点M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，则m ﹣n 的结果可能是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．37．（4分）（2020•福建）下列运算正确的是（）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．（a +b ）2＝a 2+b2C ．（﹣3a b 2）2＝﹣6a 2b4D ．a •a ﹣1＝1（a ≠0）8．（4分）（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3（x ﹣1）=6210x B ．6210x -1=3C ．3x ﹣1=6210x D ．6210x=39．（4分）（2020•福建）如图，四边形A B C D内接于⊙O，A B＝C D，A为̂B D中点，∠B D C＝60°，则∠A D B等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝a x2﹣2a x上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）|﹣8|＝．12．（4分）（2020•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）（2020•福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠A B C＝度．16．（4分）（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形A B C D 可以是平行四边形；②四边形A B C D 可以是菱形；③四边形A B C D 不可能是矩形；④四边形A B C D 不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）解不等式组：{2x ≤6-x ，①3x +1＞2(x -1)．②18．（8分）（2020•福建）如图，点E ，F 分别在菱形A B C D 的边B C ，C D 上，且B E ＝D F ．求证：∠B A E ＝∠D A F ．19．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1-1x +2）÷x 2-1x +2，其中x =2+1．20．（8分）（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）（2020•福建）如图，A B 与⊙O 相切于点B ，A O 交⊙O 于点C ，A O 的延长线交⊙O 于点D ，E 是̂B C D上不与B ，D 重合的点，s i n A =12．（1）求∠B E D 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在A B 的延长线上，且B F ＝33，求证：D F 与⊙O 相切．22．（10分）（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）（2020•福建）如图，C为线段A B外一点．（1）求作四边形A B C D，使得C D∥A B，且C D＝2A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C D中，A C，B D相交于点P，A B，C D的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）（2020•福建）如图，△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在B C的延长线上，A D，E C相交于点P．（1）求∠B D E的度数；（2）F是E C延长线上的点，且∠C D F＝∠D A C．①判断D F和P F的数量关系，并证明；②求证：E PP F=P CC F．25．（14分）（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，B C＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段B C上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线A E于点F，求△A B E与△C E F面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）（2020•福建）-15的相反数是（）A ．5B ．15C ．-15D ．﹣5【解答】解：-15的相反数是15，故选：B ．2．（4分）（2020•福建）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B ．3．（4分）（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形A B C 中，D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，则△DEF 的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：∵D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，∴D E =12A C ，D F =12B C ，E F =12A B ，∴D F B C =E F A B =D E A C =12，∴△D E F ∽△A B C ，∴S △D E F S △A B C=（D E A C ）2＝（12）2=14，∵等边三角形A B C 的面积为1，∴△D E F 的面积是14，故选：D ．4．（4分）（2020•福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D ．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C ．5．（4分）（2020•福建）如图，A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，则C D 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．3【解答】解：∵A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，∴C D ＝5．故选：B ．6．（4分）（2020•福建）如图，数轴上两点M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，则m ﹣n 的结果可能是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【解答】解：∵M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，∴﹣2＜n ＜﹣1＜0＜m ＜1，∴m ﹣n 的结果可能是2．故选：C ．7．（4分）（2020•福建）下列运算正确的是（）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．（a +b ）2＝a 2+b2C ．（﹣3a b 2）2＝﹣6a 2b4D ．a •a ﹣1＝1（a ≠0）【解答】解：A 、原式＝2a 2，故本选项不符合题意；B 、原式＝a 2+2a b +b 2，故本选项不符合题意；C 、原式＝9a 2b 4，故本选项不符合题意；D 、原式＝a ⋅1a=1，故本选项符合题意；故选：D ．8．（4分）（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3（x ﹣1）=6210x B ．6210x -1=3C ．3x ﹣1=6210xD ．6210x=3【解答】解：依题意，得：3（x ﹣1）=6210x．故选：A ．9．（4分）（2020•福建）如图，四边形A B C D 内接于⊙O ，A B ＝C D ，A 为̂B D 中点，∠B DC ＝60°，则∠AD B 等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】解：∵A 为̂B D 中点，∴̂A B ═̂A D ，∵A B ＝C D ，∴̂A B=̂C D ，∴̂A B=̂A D=̂C D ，∵圆周角∠B D C ＝60°，∴∠B D C 对的̂B C的度数是2×60°＝120°，∴̂A B的度数是13×（360°﹣120°）＝80°，∴̂A B对的圆周角∠A D B的度数是12×80°=40°，故选：A．10．（4分）（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝a x2﹣2a x上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2【解答】解：∵抛物线y＝a x2﹣2a x＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）|﹣8|＝8．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．（4分）（2020•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为1 3．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为1 3，故答案为：1 3．13．（4分）（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为4π．（结果保留π）【解答】解：S 扇形=90⋅π⋅42360=4π，故答案为4π．14．（4分）（2020•福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为﹣10907米．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．（4分）（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠A B C ＝30度．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：(6-2)⋅180°6=120°，所以∠A B C ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．（4分）（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k x图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形A B C D可以是平行四边形；②四边形A B C D可以是菱形；③四边形A B C D不可能是矩形；④四边形A B C D不可能是正方形．其中正确的是①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形A B C D．由对称性可知，O A＝O C，O B＝O D，∴四边形A B C D是平行四边形，当O A＝O C＝O B＝O D时，四边形A B C D是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线A C与直线B D不可能垂直，∴四边形A B C D不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）解不等式组：{2x≤6-x，①3x+1＞2(x-1)．②【解答】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．（8分）（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形A B C D的边B C，C D上，且B E＝D F．求证：∠B A E＝∠D A F．【解答】证明：四边形A B C D 是菱形，∴∠B ＝∠D ，A B ＝A D ，在△A B E 和△A D F 中，{A B =A D ∠B =∠D B E =D F，∴△A B E ≌△A D F （S A S ），∴∠B A E ＝∠D A F ．19．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1-1x +2）÷x 2-1x +2，其中x =2+1．【解答】解：原式=x +2-1x +2•x +2(x +1)(x -1)=1x -1，当x =2+1时，原式=12+1-1=22．20．（8分）（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【解答】解：（1）设销售甲种特产x 吨，则销售乙种特产（100﹣x ）吨，10x +（100﹣x ）×1＝235，解得，x ＝15，∴100﹣x ＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w 万元，销售甲种特产a 吨，w ＝（10.5﹣10）a +（1.2﹣1）×（100﹣a ）＝0.3a +20，∵0≤a ≤20，∴当a ＝20时，w 取得最大值，此时w ＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．（8分）（2020•福建）如图，A B 与⊙O 相切于点B ，A O 交⊙O 于点C ，A O 的延长线交⊙O 于点D ，E 是̂B C D 上不与B ，D 重合的点，s i n A =12．（1）求∠B E D 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在A B 的延长线上，且B F ＝33，求证：D F 与⊙O 相切．【解答】解：（1）连接O B ，如图1，∵A B 与⊙O 相切于点B ，∴∠A B O ＝90°，∵s i n A =12，∴∠A ＝30°，∴∠B O D ＝∠A B O +∠A ＝120°，∴∠B E D =12∠B O D ＝60°；（2）连接O F，O B，如图2，∵A B是切线，∴∠O B F＝90°，∵B F＝33，O B＝3，∴t a n∠B O F=B FO B=3，∴∠B O F＝60°，∵∠B O D＝120°，∴∠B O F＝∠D O F＝60°，在△B O F和△D O F中，{O B=O D∠B O F=∠D O FO F=O F，∴△B O F≌△D O F（S A S），∴∠O B F＝∠O D F＝90°，∴D F与⊙O相切．22．（10分）（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×650=120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：150×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．（10分）（2020•福建）如图，C为线段A B外一点．（1）求作四边形A B C D，使得C D∥A B，且C D＝2A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C D中，A C，B D相交于点P，A B，C D的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．【解答】解：（1）如图，四边形A B C D即为所求；（2）如图，∵C D∥A B，∴∠A B P＝∠C D P，∠B A P＝∠D C P，∴△A B P∽△C D P，∴A BC D=A PP C，∵A B，C D的中点分别为M，N，∴A B＝2A M，C D＝2C N，∴A MC N=A PP C，连接M P，N P，∵∠B A P＝∠D C P，∴△A P M∽△C P N，∴∠A P M＝∠C P N，∵点P在A C上，∴∠A P M+∠C P M＝180°，∴∠C P N+∠C P M＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）（2020•福建）如图，△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在B C的延长线上，A D，E C相交于点P．（1）求∠B D E的度数；（2）F是E C延长线上的点，且∠C D F＝∠D A C．①判断D F和P F的数量关系，并证明；②求证：E PP F=P CC F．【解答】解：（1）∵△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴A B＝A D，∠B A D＝90°，△A B C≌△A D E，在R t△A B D中，∠B＝∠A D B＝45°，∴∠A D E＝∠B＝45°，∴∠B D E＝∠A D B+∠A D E＝90°．（2）①D F＝P F．证明：由旋转的性质可知，A C＝A E，∠C A E＝90°，在R t△A C E中，∠A C E＝∠A E C＝45°，∵∠C D F＝∠C A D，∠A C E＝∠A D B＝45°，∴∠A D B+∠C D F＝∠A C E+∠C A D，即∠F P D＝∠F D P，∴D F＝P F．②证明：过点P作P H∥E D交D F于点H，∴∠H P F＝∠D E P，E PP F=D HH F，∵∠D P F＝∠A D E+∠D E P＝45°+∠D E P，∠D P F＝∠A C E+∠D A C＝45°+∠D A C，∴∠D E P＝∠D A C，又∵∠C D F＝∠D A C，∴∠D E P＝∠C D F，∴∠H P F＝∠C D F，又∵F D＝F P，∠F＝∠F，∴△H P F≌△C D F（A S A），∴H F＝C F，∴D H＝P C，又∵E PP F=D HH F，∴E PP F=P CC F．25．（14分）（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，B C＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段B C上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线A E于点F，求△A B E与△C E F面积之和的最小值．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵B C＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10）与直线l 1：y ＝﹣2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P （x P ，y P ），∴{y P =-2x P +ny P =-2x P +10解得：n ＝10，∵n ＝10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2∥l 1；（3）如图，、∵直线l 3：y ＝﹣2x +q 过点C ，∴0＝﹣2×1+q ，∴q ＝2，∴直线l 3，解析式为L ：y ＝﹣2x +2，∴l 3∥l 1，∴C F ∥A B ，∴∠E C F ＝∠A B E ，∠C F E ＝∠B A E ，∴△C E F ∽△B E A ，∴S △C E F S △A B E=（C E B E ）2，设B E ＝t （0＜t ＜4），则C E ＝4﹣t ，∴S △A B E =12×t ×10＝5t ，∴S △C E F ＝（C E B E ）2×S △A B E ＝（4-t t ）2×5t =5(4-t )2t，∴S △A B E +S △C E F ＝5t +5(4-t )2t =10t +80t-40＝10（t -22t ）2+402-40，∴当t ＝22时，S △A B E +S △C E F的最小值为402-40．。
2020年福建省中考数学试卷含答案
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）（2020•福建）-15的相反数是（）A ．5B ．15C ．-15D ．﹣52．（4分）（2020•福建）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（4分）（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形A B C 中，D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，则△DEF 的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．144．（4分）（2020•福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2020•福建）如图，A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，则C D 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．36．（4分）（2020•福建）如图，数轴上两点M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，则m ﹣n 的结果可能是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．37．（4分）（2020•福建）下列运算正确的是（）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．（a +b ）2＝a 2+b2C ．（﹣3a b 2）2＝﹣6a 2b4D ．a •a ﹣1＝1（a ≠0）8．（4分）（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3（x ﹣1）=6210x B ．6210x -1=3C ．3x ﹣1=6210x D ．6210x=39．（4分）（2020•福建）如图，四边形A B C D内接于⊙O，A B＝C D，A为̂B D中点，∠B D C＝60°，则∠A D B等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝a x2﹣2a x上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）|﹣8|＝．12．（4分）（2020•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）（2020•福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠A B C＝度．16．（4分）（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形A B C D 可以是平行四边形；②四边形A B C D 可以是菱形；③四边形A B C D 不可能是矩形；④四边形A B C D 不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）解不等式组：{2x ≤6-x ，①3x +1＞2(x -1)．②18．（8分）（2020•福建）如图，点E ，F 分别在菱形A B C D 的边B C ，C D 上，且B E ＝D F ．求证：∠B A E ＝∠D A F ．19．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1-1x +2）÷x 2-1x +2，其中x =2+1．20．（8分）（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）（2020•福建）如图，A B 与⊙O 相切于点B ，A O 交⊙O 于点C ，A O 的延长线交⊙O 于点D ，E 是̂B C D上不与B ，D 重合的点，s i n A =12．（1）求∠B E D 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在A B 的延长线上，且B F ＝33，求证：D F 与⊙O 相切．22．（10分）（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）（2020•福建）如图，C为线段A B外一点．（1）求作四边形A B C D，使得C D∥A B，且C D＝2A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C D中，A C，B D相交于点P，A B，C D的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）（2020•福建）如图，△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在B C的延长线上，A D，E C相交于点P．（1）求∠B D E的度数；（2）F是E C延长线上的点，且∠C D F＝∠D A C．①判断D F和P F的数量关系，并证明；②求证：E PP F=P CC F．25．（14分）（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，B C＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段B C上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线A E于点F，求△A B E与△C E F面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）（2020•福建）-15的相反数是（）A ．5B ．15C ．-15D ．﹣5【解答】解：-15的相反数是15，故选：B ．2．（4分）（2020•福建）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B ．3．（4分）（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形A B C 中，D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，则△DEF 的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：∵D ，E ，F 分别是A B ，B C ，C A 的中点，∴D E =12A C ，D F =12B C ，E F =12A B ，∴D F B C =E F A B =D E A C =12，∴△D E F ∽△A B C ，∴S △D E F S △A B C=（D E A C ）2＝（12）2=14，∵等边三角形A B C 的面积为1，∴△D E F 的面积是14，故选：D ．4．（4分）（2020•福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D ．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C ．5．（4分）（2020•福建）如图，A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，则C D 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．3【解答】解：∵A D 是等腰三角形A B C 的顶角平分线，B D ＝5，∴C D ＝5．故选：B ．6．（4分）（2020•福建）如图，数轴上两点M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，则m ﹣n 的结果可能是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【解答】解：∵M ，N 所对应的实数分别为m ，n ，∴﹣2＜n ＜﹣1＜0＜m ＜1，∴m ﹣n 的结果可能是2．故选：C ．7．（4分）（2020•福建）下列运算正确的是（）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．（a +b ）2＝a 2+b2C ．（﹣3a b 2）2＝﹣6a 2b4D ．a •a ﹣1＝1（a ≠0）【解答】解：A 、原式＝2a 2，故本选项不符合题意；B 、原式＝a 2+2a b +b 2，故本选项不符合题意；C 、原式＝9a 2b 4，故本选项不符合题意；D 、原式＝a ⋅1a=1，故本选项符合题意；故选：D ．8．（4分）（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3（x ﹣1）=6210x B ．6210x -1=3C ．3x ﹣1=6210xD ．6210x=3【解答】解：依题意，得：3（x ﹣1）=6210x．故选：A ．9．（4分）（2020•福建）如图，四边形A B C D 内接于⊙O ，A B ＝C D ，A 为̂B D 中点，∠B DC ＝60°，则∠AD B 等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】解：∵A 为̂B D 中点，∴̂A B ═̂A D ，∵A B ＝C D ，∴̂A B=̂C D ，∴̂A B=̂A D=̂C D ，∵圆周角∠B D C ＝60°，∴∠B D C 对的̂B C的度数是2×60°＝120°，∴̂A B的度数是13×（360°﹣120°）＝80°，∴̂A B对的圆周角∠A D B的度数是12×80°=40°，故选：A．10．（4分）（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝a x2﹣2a x上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2【解答】解：∵抛物线y＝a x2﹣2a x＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）|﹣8|＝8．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．（4分）（2020•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为1 3．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为1 3，故答案为：1 3．13．（4分）（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为4π．（结果保留π）【解答】解：S 扇形=90⋅π⋅42360=4π，故答案为4π．14．（4分）（2020•福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为﹣10907米．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．（4分）（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠A B C ＝30度．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：(6-2)⋅180°6=120°，所以∠A B C ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．（4分）（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k x图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形A B C D可以是平行四边形；②四边形A B C D可以是菱形；③四边形A B C D不可能是矩形；④四边形A B C D不可能是正方形．其中正确的是①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形A B C D．由对称性可知，O A＝O C，O B＝O D，∴四边形A B C D是平行四边形，当O A＝O C＝O B＝O D时，四边形A B C D是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线A C与直线B D不可能垂直，∴四边形A B C D不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）解不等式组：{2x≤6-x，①3x+1＞2(x-1)．②【解答】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．（8分）（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形A B C D的边B C，C D上，且B E＝D F．求证：∠B A E＝∠D A F．【解答】证明：四边形A B C D 是菱形，∴∠B ＝∠D ，A B ＝A D ，在△A B E 和△A D F 中，{A B =A D ∠B =∠D B E =D F，∴△A B E ≌△A D F （S A S ），∴∠B A E ＝∠D A F ．19．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1-1x +2）÷x 2-1x +2，其中x =2+1．【解答】解：原式=x +2-1x +2•x +2(x +1)(x -1)=1x -1，当x =2+1时，原式=12+1-1=22．20．（8分）（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【解答】解：（1）设销售甲种特产x 吨，则销售乙种特产（100﹣x ）吨，10x +（100﹣x ）×1＝235，解得，x ＝15，∴100﹣x ＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w 万元，销售甲种特产a 吨，w ＝（10.5﹣10）a +（1.2﹣1）×（100﹣a ）＝0.3a +20，∵0≤a ≤20，∴当a ＝20时，w 取得最大值，此时w ＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．（8分）（2020•福建）如图，A B 与⊙O 相切于点B ，A O 交⊙O 于点C ，A O 的延长线交⊙O 于点D ，E 是̂B C D 上不与B ，D 重合的点，s i n A =12．（1）求∠B E D 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在A B 的延长线上，且B F ＝33，求证：D F 与⊙O 相切．【解答】解：（1）连接O B ，如图1，∵A B 与⊙O 相切于点B ，∴∠A B O ＝90°，∵s i n A =12，∴∠A ＝30°，∴∠B O D ＝∠A B O +∠A ＝120°，∴∠B E D =12∠B O D ＝60°；（2）连接O F，O B，如图2，∵A B是切线，∴∠O B F＝90°，∵B F＝33，O B＝3，∴t a n∠B O F=B FO B=3，∴∠B O F＝60°，∵∠B O D＝120°，∴∠B O F＝∠D O F＝60°，在△B O F和△D O F中，{O B=O D∠B O F=∠D O FO F=O F，∴△B O F≌△D O F（S A S），∴∠O B F＝∠O D F＝90°，∴D F与⊙O相切．22．（10分）（2020•福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×650=120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：150×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．（10分）（2020•福建）如图，C为线段A B外一点．（1）求作四边形A B C D，使得C D∥A B，且C D＝2A B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C D中，A C，B D相交于点P，A B，C D的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．【解答】解：（1）如图，四边形A B C D即为所求；（2）如图，∵C D∥A B，∴∠A B P＝∠C D P，∠B A P＝∠D C P，∴△A B P∽△C D P，∴A BC D=A PP C，∵A B，C D的中点分别为M，N，∴A B＝2A M，C D＝2C N，∴A MC N=A PP C，连接M P，N P，∵∠B A P＝∠D C P，∴△A P M∽△C P N，∴∠A P M＝∠C P N，∵点P在A C上，∴∠A P M+∠C P M＝180°，∴∠C P N+∠C P M＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）（2020•福建）如图，△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在B C的延长线上，A D，E C相交于点P．（1）求∠B D E的度数；（2）F是E C延长线上的点，且∠C D F＝∠D A C．①判断D F和P F的数量关系，并证明；②求证：E PP F=P CC F．【解答】解：（1）∵△A D E由△A B C绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴A B＝A D，∠B A D＝90°，△A B C≌△A D E，在R t△A B D中，∠B＝∠A D B＝45°，∴∠A D E＝∠B＝45°，∴∠B D E＝∠A D B+∠A D E＝90°．（2）①D F＝P F．证明：由旋转的性质可知，A C＝A E，∠C A E＝90°，在R t△A C E中，∠A C E＝∠A E C＝45°，∵∠C D F＝∠C A D，∠A C E＝∠A D B＝45°，∴∠A D B+∠C D F＝∠A C E+∠C A D，即∠F P D＝∠F D P，∴D F＝P F．②证明：过点P作P H∥E D交D F于点H，∴∠H P F＝∠D E P，E PP F=D HH F，∵∠D P F＝∠A D E+∠D E P＝45°+∠D E P，∠D P F＝∠A C E+∠D A C＝45°+∠D A C，∴∠D E P＝∠D A C，又∵∠C D F＝∠D A C，∴∠D E P＝∠C D F，∴∠H P F＝∠C D F，又∵F D＝F P，∠F＝∠F，∴△H P F≌△C D F（A S A），∴H F＝C F，∴D H＝P C，又∵E PP F=D HH F，∴E PP F=P CC F．25．（14分）（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，B C＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段B C上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线A E于点F，求△A B E与△C E F面积之和的最小值．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵B C＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10）与直线l 1：y ＝﹣2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P （x P ，y P ），∴{y P =-2x P +ny P =-2x P +10解得：n ＝10，∵n ＝10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2∥l 1；（3）如图，、∵直线l 3：y ＝﹣2x +q 过点C ，∴0＝﹣2×1+q ，∴q ＝2，∴直线l 3，解析式为L ：y ＝﹣2x +2，∴l 3∥l 1，∴C F ∥A B ，∴∠E C F ＝∠A B E ，∠C F E ＝∠B A E ，∴△C E F ∽△B E A ，∴S △C E F S △A B E=（C E B E ）2，设B E ＝t （0＜t ＜4），则C E ＝4﹣t ，∴S △A B E =12×t ×10＝5t ，∴S △C E F ＝（C E B E ）2×S △A B E ＝（4-t t ）2×5t =5(4-t )2t，∴S △A B E +S △C E F ＝5t +5(4-t )2t =10t +80t-40＝10（t -22t ）2+402-40，∴当t ＝22时，S △A B E +S △C E F的最小值为402-40．。
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2018年福建省中考数学试卷（A ）及答案一、选择题(40分)1． 在实数3-、π、0、–2中,最小的是( ) ．(A) 3- (B) –2 (C) 0 (D)π 2．一个几何体的三视图如右所示,则这个几何体可能是 ( ) ．(A)圆柱 (B)三棱柱 (C)长方体 (D)四棱锥 3．下列各组数中,能作为三角形三条边长的是( ) ． (A) 1、1、2 (B) 1、2、4 (C) 2、3、4 (D) 2、3、54．一个n 边形的内角和360°,则n 等于( ) ． (A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 5．在等边△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为点D ,点E 在AD 边上, 若∠EBC =45°,则∠ACE =( ) ．(A)15° (B)30° (C) 45° (D)60° 6．投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是 ( ) ． (A) 两枚骰子向上一面的点数之和大于1 (B) 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 (C) 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 (D) 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 7．已知m =34+,则以下对m 的估算正确的是 ( ) ．(A) 2<m <3 (B)3 <m < 4 (C) 4<m <5 (D)5 <m <6 8．古代 “绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托,折回索却量竿,却比竿子短一托．” 其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿,绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺．设绳索长x 尺,竿长y 尺,则符合题意的方程组是( ) ． (A) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5215y x y x (B)⎪⎩⎪⎨⎧+=-=5215y x y x (C) ⎩⎨⎧-=+=525y x y x (D) ⎩⎨⎧+=-=525y x y x 9．如图,AB 是⊙O ,的直径,BC 与⊙O 相切于点B ,AC 交⊙O 于点D , 若∠ACB =50°,则∠BOD = ( ) ． (A) 40° (B) 50° (C) 60° (D) 80°,10．已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根,则下面选项正确的是( ) ． (A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C) 1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根 (D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根 二、填空题(24分)11．计算：1220-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=___0___． 12．某8种食品所含的热量值分别为：120、134、120、119、126、120、118、124,则这组数据的众数为__120____． 13．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =6,D 为AB 的中点,则CD = __3_____．(2题)俯视图(5题)A(19题)ABCDO(13题)A14． 不等式组⎩⎨⎧>-+>+02313x x x 的解集为__x >2_____．15．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置,其中一个三 角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,另外三角板的 锐角顶点B 、C 、D 在同一直线上,若AB =2,则CD =___3–1____． 16．如图,直线y =x +m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点,作BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,交BC 点C ,则S △ABC 的最小值是___6_____． 三,解答题(共86分)17．(8分)解方程组: ⎩⎨⎧=+=+1041y x y x18．(8分)如图,□ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,EF 过点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ．求证：OE =OF ,19．(8分)化简求值：m m m m 11122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+,其中13+=m20．(8分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①如图,∠A'=∠A .请用尺规作出△A' B' C'．使得：△A' B' C'.∽△ABC .(保留痕迹,不写作法)②根据图形,画出一组对应边上的中线,根据图形写出已知,求证,并证明．21．(8分) 已知Rt △ABC 中,∠B =90°,AC =8,AB =10．将AD 是由AB 绕点A 逆时针旋转90°得到的,再将△EAA' B'ABC 沿射线CB 平移得到△EFG ,使射线FE 经过点D ,连接BD 、BG ． （1）求∠BDF 的度数； （2）求CG 的长．解：构辅助线如图所示： （1）∠BDF =45°（2）AD=AB=10,证△ABC ∽△AED , CG=AE=AD AC AB ⨯=10810⨯=22522．(10分)甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资金+揽件提成” ．其中基本工次为70元/日,每揽收一件抽成2元；乙公司无基本工资,仅揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40,每件提成4元；若当日揽件数超过40,超过部分每件多提成2元．下图是四月份两家公司人均揽件数条形统计图：（1）现从四月份的30天中随机抽取1于,求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不 含40）的概率；（2）根据以上信息,以四月份的屡依据,并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的 揽件数,解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员,如果仅从工资收入的角度考虑,请利用所学的统计知识帮他选择,并说明了理由．23．(10分)如图,在足够大的空地上有一段长为a 米旧墙MN ．某人利用一边靠旧墙和另三边用总长100米的木栏围成一个矩形菜园ABCD ,其中AD ≤MN ．（1）若a =20,所围成的矩形菜园ABCD 的面积为450平方米时,求所利用旧墙AD 长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．24．(12分)如图1,四边形ABCD 内接于⊙O ,AC 为直径,DE ⊥AB 交AB 于点E ,交⊙O 于点F ．(1)延长DC 、FB 相交于点P ,求证：PB =PC ；(2) 如图2,过点B 作BG ⊥AD 于点G ,交DE 于H ．若AB =3,DH =1, ∠OHD =80°,求∠EDB 的度数．解：（1）易证：DF ∥BC,从而CD=BF 和1==BF CDPB PC∴PB=PC ； （2）连接OD,设∠EDB=x ,则∠EBD=90°–x ,易证：四边形BCDH 为□, AC=2 ∴BC=DH=1,∠CAB= 30° ∴∠ADB=∠ACB=60° OD=OA=r =1=OH ∴∠ODH=180°–2∠OHD=180°–2×80°=20° ∴∠OAD=∠ODA=∠ADB –（∠ODH+ x ）=60°–（20°+ x ）=40°–x 又∵∠AOD=2∠ABD=120° ∴180°–2（40°–x ）=120°,解之得：x =20°25．(14分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (0,2) ． (1)若图象过点(2-,0),求a 与b 满足的关系式；(2) 抛物线上任意两点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)都满足x 1< x 2<0时,0))((2121>--y y x x ；0<x 1< x 2时,0))((2121<--y y x x ．以原点O 为圆心,OA 为半径作⊙O 交抛物线于另两点B 、C ,且△ABC 中有一个内角为60°． ①求抛物线解析式；②P 与点O 关于点A 对称,且O 、M 、N 三点共线,求证：P A 平分∠MPN ．解：(1)由抛物线过A(0,2) 得：c=2 又图象过(2-,0),∴0= a (2-)2+b (2-)+2∴a =b 22–1 (2)依题知抛物线：y =ax 2+2,AB=AC,AD ⊥BC ．(图1)(图2)①又△ABC 中有一个内角为60°,∴△ABC 是正△． 连接OC,则OC=OA=2, ∴C(3,–1) 从而有y =–x 2+2,②设直线MN ：y =kx ,则kx =–x 2+2, x 2+ kx –2=0x 1 + x 2 = –k ,x 1 x 2 =–2, x 2 = –k –x 1∵O 、M 、N 三点共线,故不妨令M 左,N 右 作ME ⊥y 轴于E,NF ⊥y 轴于F,则P(0,4) tan ∠1=PE ME =114y x --=114kx x --=22114x x kx x ⋅--=221214x x kx x x -=221x k + tan ∠2=PF NF =224y x -=224kx x -=11224x x kx x ⋅-=211214x kx x x x -=k x +221 ∴∠1=∠2即：PA 平分∠MPN ．10．已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根,则下面选项正确的是( ) ． (A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C) 1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根 (D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根 第10题解析：由△=(2b )2–4(a +1)2=0得：b =±(a +1),且a +1≠0,所以：b ≠0 ①当b =–(a +1)时,x =1是方程x 2+bx +a =0的根②a +1≠0,a 可以取0,故x =0是方程x 2+bx +a =0的根 ③当b=a +1时,x =–1是方程x 2+bx +a =0的根但b =–(a +1)和b=a +1不能同时成立,即x =1和x =–1为方程根不能同时成立,故选(D) 16．如图,直线y =x +m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点,作BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,交BC 点C ,则S △ABC 的最小值是________．解析：x3=x +m , x 2+mx –3=0由y =x +m 知：AC=BC=x A –x B =∆=122+m∴ S △ABC =221BC =6)12(2122≥+m。