第五章晶体中电子能带理论1

vv
eik •Rn
(rv)
v 对属于布拉维格子的所有格矢 Rn 成立。
具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
布洛赫电子(Bloch electron) 把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子，相应的描述晶体电子行 为的这种波称为布洛赫波。
布洛赫定理的证明
v
对属于布拉(维rv格 R子vn的) 所e有ikv•格Rvn矢(rvR)n
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 (r)
是
Hˆ 的本征函数，那么 (r)
也一定是算符
) Tv
Rn
的本征函数。
(3)
证明：TˆRvn
v
(Rn ) ,
v
vv
其中 (Rn ) eikRn
设TˆRvn
对应的本征值为
v (Rn
)，则有
TˆRvn
(rv)
(rv
v Rn
)
(
v Rn
)
(rv)
f
(rv
v Rn
)
性质： ) T 2v
Rn
f
(rv)
)
Tv Rn
f
(rv
v Rn )
f
(rv
v 2Rn
)
) T lv
Rn
f
(rv)
f
(rv
v lRn
)
)) )) )
T T T T T v v Rn Rm
vv Rm Rn
vv Rn Rm
f (vr)可以是V (rv)， (rv)，Hˆ (rv)
(2)证明： [Tˆ, Hˆ ] 0
l3b3
N1 N2 N3
l1, l2 , l3 为整数
v Rn
n1av1
n2av2
n3av3
式中
b1、b2、b3为晶格三个倒格基矢，由于
ai
bj
2π ij
,
v
(Rn
)
vv
eik Rn
TˆRvn
(rv)
(rv
v Rn
)
(
v Rn
)
(rv)
(r
Rn
)
eikRn
(r)
---布洛赫定理得证。
v
k 讨论 的意义
ka 2πs 3 π 2
（s为整数 ）
单电子势能
)
此式表明，晶体中总的 简化为单体问题。
He
是NZ个单电子的哈密顿之和，即多体问题
3、周期场近似
单电子势能
单电子势能:
V (rv) ve (rv)
v Rn
1
4 0
Ze2
rv
v Rn
]
周期场近似的内容是：假定 V (rv) 具有和晶格同样的平移对称性，即：
V
(r
Rn
)
V
(r)
成立
绝热近似 单电子近似 周期场近似
Vee (rvi ,
rvj
)
Ven (rvi ,
v Rn )
v
Rn为离子实的瞬时位置，是其中的一个参量。一般情况下，离子实是围
绕其平v衡位置作小振动（晶格振动）。绝热近似忽略晶格振动的影响，
Rv 认为 Rn 即是平衡位置的 0
n
2、单电子近似(平均场近似)
) H
) He
) Te
Vee (rvi , rvj )
即平移对称算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易
Hˆ 2 2 V (r) 2m
V
(r)
V
(r
Rn
),
微分算符与坐标原点的平移无关，比如在直角坐标系中：
2 rv
2 x2
2
y 2
2
z 2
2 rv
v R
n
(x
2 n1a1)2
( y
2 n2a2 )2
(z
2 n3a3)2
Hˆ (rv
v Rn )
)
H
(rv)
h2 2m
2
V
rv
(rv)
(rv)
的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
v k
(rv)
e u ikvgrv v k
(rv)
且
uv k
rv
uv k
rv
v Rn
对
v Rn 取布拉维格子的所有格矢成立。
v Rn
n1av1
n2av2
n3av3
v(rv) eikv•rvuv(rv)
引言: 模型的建立
晶体最大的特点就是具有周期性结构，满足平移对称性。
在考虑电子和离子实之间的相互作用的前提下，给出周期 性结构中系统的哈密顿量，并考虑对哈密顿的近似处理
-------模型的建立
假定晶体体积 V L3 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实，
Z为单原子的价电子数目，晶体中有NZ个价电子。即：
,
(av3
)
i
e
2
π
l3 N3
这样
Tv Rn
的本征值取下列形式
v i 2π( n1l1 n2l2 n3l3 ) N1 N2 N3
(R ) e n
l1, l2 , l3 为整数
v
i 2π( n1l1 n2l2 n3l3 )
(Rn ) e N1 N2 N3
vv v
引入矢量：
v k
l1b1
l2b2
Ven (rvi ,
v Rn )
哈密顿中的 Vee项，使电子的运动彼此关联，难于处理。为此，用一个平均 场来代替 Vee项。(每个电子处于其他电子的平均场中)
Vee (rvi , rvj )
1 2
NZ i 1
1
ji 40
e2 rvi rvj
NZ ve (rvi )
i 1
则电子体系的哈密顿进一步简化为：
但是，对于布洛赫电子，由于布洛赫波函数：
v k
(rv) eikv•rvuv(rv) k
ih
v k
(rv)
v
hk
v k
(rv)
iheikv•rvukv
(rv)
v
所以，布洛赫波函数不再是动量算符的本征函数，hk 不
再代表布洛赫电子的动量。
v
v
一般把hk 称为晶体动量,而把k 理解为标志电子在具有平移对
即
(
v Rn
)
(av1
) n1
(av2
) n2
(av3
) n3
设晶体在a1、a2、a3方向各有N 1、N 2、N 3个原胞,
周期性边界条件：
(r) (r N1a1 )
(r) (r N 2a2 )
(r)
(r
N
3 a3
)
(
v Rn
)
(av1
) n1
(av2
) n2
(av3
) n3
v Rn
n1av1
k
Kn
(r)
a(k
Kn
h Kh )ei(k Kn
Kh
)r
h
a(k
Kl )ei(k
Kl
)r
令： K n K h Kl
l
v k
(rv)
得证
说明：
在第六章描述的自由电子情形，由于波函数：
v k
(rv)
1 eikv•rv V
ih
v k
(rv)
v
hk
v k
(rv)
对自由电子情形，动量算符有确定的本征值，代表电子的动量。
称性的周期场中不同状态的量子数。
例：一维周期场中电子的波函数 k ( x)应当满足布洛赫定
理，若晶格常量为a，电子波函数为 k ( x)
m
(i) f ( x ma )
m
f为某一确定函数，试求电子在此状态的波矢。
解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：
k ( x na) e ikna k ( x)
n2av2
n3av3
(r) (r N1a1 )
(r) (r N 2a2 )
(r)
(r
N
3 a3
)
则： TˆN1av1 (rv) (av1 ) N1 (rv) (rv N1av1) (rv)
(av1 ) N1 1
(av1
)
i
e
2
π
l1 N1
同理可得：
)
(av2 )
i2π l2
e N2
N个离子实的动能和库仑势
NZ N
1
i1 n1 4 0
Ze2
rvi
v Rn
电子和离子实之间的库仑势
式中 / 表示求和时 i j, ½ 源于考虑了两次相互作用
i, j
描写体系的薛定谔方程为：
)
H
(rv,
v R)
(rv,
v R)
（其中 rv 代表
rv1, rv2 , rv3,L
,
rvNZ
v ，R
,只要证得 即可。
)
证 明 思 路
(1)引入平移对称算符 T v Rn
(2)说明: [Tˆ , Hˆ ] 0
(3) Tˆ
v
vv
(Rn ) eikRn
v Rn
n1av1
n2av2
n3av3
)
(1)引入平移对称算符
Tv Rn
v Rn
n1av1
n2av2
n3av3
定义：
) Tv
Rn
f (rv)
(r
Rn
)
eikRn
(r)