备考2014数学高考典例真题名师精讲提能训练：第15讲 概率

第十五讲 概 率真题试做►———————————————————1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16 2．(2013·高考福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．3．(2013·高考辽宁卷)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．考情分析►———————————————————古典概型及几何概型为高考的重点内容，难度为中、低档，其中几何概型以“面积型”和“长度型”为主，古典概型常与互斥事件、对立事件相结合命题；近年来概率与统计结合命题多出现在解答题中．考点一 古典概型古典概型是每年必考内容，试题借助一定的背景材料考查，近几年也常与抽样方法、统计等内容结合出现在解答题中，试题难度中等或稍易．(2013·高考山东卷)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(2(1) 1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．【思路点拨】 (1)身高低于1.80的同学共有4人，因此所有可能的基本事件总数是指从4人中选取2人；(2)所有可能的基本事件总数是从5人中选取2人，而符合条件的基本事件需要同时满足身高在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)内．求解古典概型问题的三个步骤：(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；(2)分别计算基本事件的总个数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)利用古典概型的概率公式P (A )＝mn求出事件A 的概率．强化训练1 袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、…、6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率； (2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率．考点二 几何概型考纲对几何概型的要求不高，因此对几何概型的考查难度不大，多与平面区域、空间几何体、函数等结合命题．(2013·高考湖北卷)在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________． 【思路点拨】 根据几何概型，在线性问题中用长度之比表示概率，求m 的值．利用几何概型求概率时，要选择好角度，从分析基本事件的“等可能性”入手，将每个基本事件理解为在某个特定区域内随机地取一点，而某个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．强化训练2 (2013·成都市诊断性检测)已知集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0}表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.3π32B.3π16C.π32D.π16考点三 互斥事件、对立事件的概率互斥事件、对立事件的概率常借助古典概型来考查，以实际生产、生活为背景，命制试题，解题的关键是遇到复杂的事件时可分解为几个互斥事件的和，或利用对立事件求复杂事件的概率．有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5.同时投掷这两枚玩具一次，记m 为两个朝下的面上的数字之和．(1)求事件“m 不小于6”的概率；(2)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率相等吗？为什么？ 【思路点拨】 (1)利用列举法求解．(2)利用互斥事件、对立事件的概率公式求“m 为奇数”、“m 为偶数”的概率．求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．强化训练3有编号为1，2，3的三个白球，编号为4，5，6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率；(2)求取得的两个球颜色不相同的概率．概率与四类知识的交汇一、概率与统计中的频率分布直方图的交汇(2013·高考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．【解】(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.当X∈[130，150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.本题把频率分布直方图与函数、概率相结合，题目新颖，但难度较小，由于X 的取值不同，经销商所获利润T 不同，从而求出T 关于X 的函数为分段函数；要求利润不少于57 000元，从而可求出X 的范围，利用直方图可求得概率．二、概率与统计中茎叶图的交汇以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模(1)如果X ＝8(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x ，x 2，…，x n 的平均数)【解】 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为s 2＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)，故所求概率为P (C )＝416＝14.本题是概率与统计相交汇的常规命制试题，门槛低，入手容易．解决此类问题的关键是理解平均数与方差的概念，理解事件的含义并确定事件的所有可能结果，求出每个结果对应的概率，即可得到答案．三、概率与程序框图的交汇(2013·高考四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大．【解】 (1)变量x 是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝本题的亮点是概率、统计中融入算法框图，且以生活题材为背景，使整个题目显得新颖独特．解题的关键是把框图语言翻译成数学语言，即把数字1，2，…，24分为三类，利用古典概型求其概率．四、概率与平面向量的交汇(2013·高考江西卷)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 【解】 (1)X 的所有可能取值为－2，－1，0，1.(2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种；数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种；数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种． 故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为p 1＝715；因为去唱歌的概率为p 2＝415，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝1－415＝1115.本题是概率与平面向量的交汇，解决此类问题的关键是求数量积X 的所有可能值，利用古典概型概率求法求其概率，本题集趣味性与创新性为一体，不失为一道好题._体验真题·把脉考向_ 1．【解析】选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412＝13.2．【解析】已知0≤a ≤1，事件“3a －1<0”发生时，0<a <13，取区间长度为测度，由几何概型得其概率为P ＝13.【答案】133．【解】(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P (B )＝815._典例展示·解密高考_ 【例1】【解】(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P ＝31`0.[强化训练1]【解】(1)若编号为n 的球的重量大于其编号， 则n 2－6n ＋12>n ，即n 2－7n ＋12>0. 解得n <3，或n >4. 所以n ＝1，2，5，6.所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P ＝46＝23.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为： 1，2；1，3；1，4；1，5；1，6； 2，3；2，4；2，5；2，6； 3，4；3，5；3，6； 4，5；4，6； 5，6.共有15种可能的情形．设编号分别为m 与n (m ，n ∈{1，2，3，4，5，6}，且m ≠n )球的重量相等，则有 m 2－6m ＋12＝n 2－6n ＋12，即有(m －n )(m ＋n －6)＝0. 所以m ＝n (舍去)，或m ＋n ＝6.满足m ＋n ＝6的情形为1，5；2，4，共2种情形．故所求事件的概率为215.【例2】【解析】由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 【答案】3 [强化训练2]【解析】选A.作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0表示的平面区域，如图三角形ABO ，且有A (43，43)，B (4，－4)，所以S △ABO＝12×423×42＝163，点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的面积S 扇形＝14×π(2)2＝π2， 所以所求概率P ＝π2163＝π2×316＝3π32.【例3】【解】因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)共16种．(1)事件“m 不小于6”包含其中(1，5)，(2，5)，(3，5)，(3，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)共8个基本事件，所以P (m ≥6)＝816＝12.(2)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不相等．因为m 为奇数的概率为P (m ＝3)＋P (m ＝5)＋P (m ＝7)＝216＋216＋216＝38，m 为偶数的概率为1－38＝58.所以这两个概率值不相等．[强化训练3]【解】从六个球中取出两个球的基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共计15个基本事件．(1)记事件A 为取出的两个球是白球，则这个事件包含的基本事件的是(1，2)，(1，3)，(2，3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15.记取出的两个球是黑球为事件B ，同理可得P (B )＝15.记事件C 为取出的两个球的颜色相同，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为取出的两个球的颜色不相同，则事件C ，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.。