2015年摇篮杯数学试卷(3)

2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2015年4月 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知全集Z U =，},3|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==，则B A C U ⋂)(是（▲） A.},16|{Z n n x x ∈±== B.},26|{Z n n x x ∈±= C.},36|{Z n n x x ∈-= D.},13|{Z n n x ∈±=2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（▲） A.6 B.26 C.10 D.123. 函数242x x y -=的值域是（▲）A.]4,0[B.]4,4[-C.]2,2[-D.]2,0[ 4．设,11)(+-=x x x f 记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2015x f （▲） A ．x B.x1-C.11+-x xD.x x -+115．化简=-+)4tan()4(sin 42cos 2απαπα（▲）A.αcosB.αsinC.1D.216.已知与均为单位向量，其夹角为θ.若1||>-，则θ的取值范围为（▲） A.30πθ<≤ B.23πθπ≤< C.πθπ≤<3D.πθπ<<37．设)0,21(-∈x ，以下三个数παπαπα)1cos(),sin(cos ),cos(sin 321+===x x x 的大小关系是（▲）A.123ααα<<B.231ααα<<C.213ααα<<D.132ααα<<8．若对任意的实数n m ,，有)1(log )1(log 232333n n m m n m -++-+≥+成立，则有（▲）A. 0≤+n mB. 0≥+n mC.0≤-n mD.0≥-n m9．方程)4sin(log 412x x π=的实根个数是（▲） A.62 B.63 C.64 D.65 10．设方程0133=--x x 的三个实根是1x 、2x 、3x )(321x x x <<.则代数式)())((132323x x x x x x --+-的值为（▲）A. 2-B.1-C.1D.0 二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数xxy 2log 2-=的定义域为 ▲ .12.若)(log log )(log log 3993x x =，则=x ▲ . 13. 不等式06||52||23<+--x x x 的解集是 ▲ .14.已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在区间),0[+∞上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在区间]1,21[上恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .15. 定义区间],[21x x 的长度为)(1212x x x x >-，已知函数)0,(1)()(22≠∈-+=a R a xa x a a x f 的定义域与值域都是)](,[m n n m >，则区间],[n m 取最大长度值为 ▲ .16.若ABC ∆的重心为G ，4,3,2===BC AC AB ，动点P 满足GC z GB y GA x GP ++=（1,,0≤≤z y x ），则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 ▲ .17.已知函数||3)(2a x x x f -+=，若4])([2≤+b x f 对任意]1,1[-∈x 恒成立，则b a +3的取值集合 ▲ .三、解答题：本大题共3小题，共51分．18. （本题满分15分）已知函数)0(3cos 32cos sin 2)(2>+-=ωωωωx x x x f 的最小正周期为.π（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.若)(x g y =在)0](,0[>b b 上至少有20个零点，求b 的最小值.19. （本题满分18分）已知O 为坐标原点，)4,3(),,0(),0,(===a a . （I ）当]0,4[-∈a 时，求||++的取值范围；（II ）若),(y x OP =，记|}||,||,max{|PC PB PA M =，当a 取遍一切实数时，求M 的最小值.20. （本题满分18分）已知函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，),,()(2R f e d f ex dx x g ∈++=.（I ）当1=a 时，对任意实数x 均有|132||)(|2+-≤x x x f ，求函数)(x f 的解析式；（II ）若|)(|)(x g x f ≥对任意实数x 成立，求证：|4|422e df b ac -≥-.2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2015年4月 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知全集Z U =，},3|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==，则B A C U ⋂)(是（ C ）A.},16|{Z n n x x ∈±==B.},26|{Z n n x x ∈±=C.},36|{Z n n x x ∈-=D.},13|{Z n n x ∈±=解析：},36,16|{Z n n x n x x A C U ∈-=±==，},36,6|{Z x n x n x x B ∈-===， 则B A C U ⋂)(=},36|{Z n n x x ∈-=，故答案选C .2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（ A ） A.6 B.26 C.10 D.12解析：设扇形的半径为,r 弧长为l .由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4221r l lr ，解得⎩⎨⎧==41l r ，所以扇形的周长为62=+r l ，故答案选A .3.函数242x x y -=的值域是（ B ）A.]4,0[B.]4,4[-C.]2,2[-D.]2,0[解析： 函数242x x y -=是在]2,2[-上的奇函数，∴只需考虑当]2,0[∈x 时函数的取值范围，当]2,0[∈x 时，]4,0[4)2(2422242∈+--=-=x x x y ，所以函数242x x y -=的值域为]4,4[-，答案选.B 4．设,11)(+-=x x x f 记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2015x f （ D ） A ．x B.x1-C.11+-x xD.x x -+11解析：x x x x x x x f x f 1111111)11()(2-=++--+-=+-=，111111)1()(3-+-=+---=-=x x x x x f x f ， x x x x x x x f x f =+-+---+-=-+-=111111)11()(4，)(11)(15x f x x x f =+-=，依次类推可知：).()(4x f x f n n =+ 所以11)()(32015-+-==x x x f x f ，故答案选.D 5． 化简=-+)4tan()4(sin 42cos 2απαπα（ D ）A.αcosB.αsinC.1D.21解析：先考虑分母：αααπαπαπtan 1tan 12)22cos(14)4tan()4(sin 42+-⋅+-=-+ αααααααα2cos 2)sin (cos 2sin cos sin cos )2sin 1(222=-=+-⋅+=，所以原式等于.216.已知与均为单位向量，其夹角为θ.若1||>-，则θ的取值范围为（ C ）A.30πθ<≤ B.23πθπ≤< C.πθπ≤<3D.πθπ<<3解析： 1||>-b a ，两边平方可得：1222>+⋅-，因为a 与b 均为单位向量，则21cos <θ，又因为],0[πθ∈，则πθπ≤<3，答案选C . 7．设)0,21(-∈x ，以下三个数παπαπα)1cos(),sin(cos ),cos(sin 321+===x x x 的大小关系是（ A ）A.123ααα<<B.231ααα<<C.213ααα<<D.132ααα<<解析：法一：取特殊值41-=x ，则22cos 1=α，22sin 2=α，223-=α， 4220π<<，则123ααα<<，答案选A . 法二：当)0,21(-∈x 时，0,0,0321<>>ααα，)sin 2sin(1x ππα+=，此时x ππsin 2+与x πcos 都属于区间)2,0(π，易知x x πππcos sin 2>+，则21αα>.8．若对任意的实数n m ,，有)1(log )1(log 232333n n m m n m -++-+≥+成立，则有（ B ）A. 0≤+n mB. 0≥+n mC.0≤-n mD.0≥-n m解析：因为)1(log )1(log )1(log )1(log 2323232333n n m m n n m m n m ++-++-=-++-+≥+，则)1(log )1(log 233233n n n m m m ++--≥+++，构造函数)1(log )(233x x x x f +++=是单调递增函数，则n m -≥，所以0≥+n m ，答案选.B9．方程)4sin(log 412x x π=的实根个数是（ B ）A.62B.63C.64D.65解析：考虑函数x y 2log =和函数)4sin (4x y π=的图像可知有63个交点，所以方程)4sin(log 412x x π=的实根个数是63个.10．设方程0133=--x x 的三个实根是1x 、2x 、3x )(321x x x <<.则代数式)())((132323x x x x x x --+-的值为（D ）A. 2-B.1-C.1D.0解析：利用三倍角公式得到方程：0133=--x x 的三个根是140cos 2、100cos 2、20cos 2，再化为三角求值，答案为0.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数xxy 2log 2-=的定义域为___________.解析：,0log 0022⎪⎩⎪⎨⎧≠>≥-x x x 则函数的定义域为}120|{≠≤<x x x 且. 12. 若)(log log )(log log 3993x x =，则=x .解析：设t x =9log ，则t x 2log 3=，所以)2(log 21)2(log log 393t t t ==， t t 22=， 所以2=t ，故81=x .13.不等式06||52||23<+--x x x 的解集是_________.解析：观察可知1=x 是方程06||52||23=+--x x x 的一个根，则0)2|)(|3|)(|1|(|6||52||23<+--=+--x x x x x x ，所以3||1<<x ，所以原不等式的解集为)3,1()1,3(⋃--.14.已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在区间),0[+∞上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在区间]1,21[上恒成立，则实数a 的取值范围是__________.解析： )(x f 是偶函数，则|)2(||)1(|-≤+x f ax f ，又)(x f 在区间),0[+∞上是增函数， 则|2||1|-≤+x ax ，由数形集合可知只需：⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+1|1|23|121|a a ，解得02≤≤-a .15. 定义区间],[21x x 的长度为)(1212x x x x >-，已知函数)0,(1)()(22≠∈-+=a R a xa x a a x f 的定义域与值域都是)](,[m n n m >，则区间],[n m 的最大长度值为 ▲ .解析：由题意知：函数xa x a a x f 221)()(-+=的定义域为}0|{≠x x ，],[n m 是函数)(x f 的定义域的子集，所以)0,(],[-∞⊆n m 或),0(],[+∞⊆n m ，而xa a a x f 211)(-+=在区间],[n m 上单调递增，则,)()(⎩⎨⎧==n n f mm f 即n m ,时方程x x f =)(的两个根，即n m ,是方程01)(222=++-x a a x a 的同号的相异实根，0>∆，解得：1>a 或.3-<a而34)311(32+--=-a m n ，当3=a 时，m n -的最大值为332. 16.若ABC ∆的重心为G ，4,3,2===BC AC AB ，动点P 满足GC z GB y GA x GP ++=（1,,0≤≤z y x ），则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于___________.解析：极端值方法：令0=x ，则GC z GB y GP +=，则点P 位于平行四边形C GBG 1内（如图所示），同理可得另外两种情况，则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积S 是ABC ∆的面积的两倍，令x BD =，则x CD -=4，由勾股定理：2222CD AC BD AB -=-可求得：.811=x则8153=AD ,所以.2153815342122=⋅⋅⋅==ABC S S17. 已知函数||3)(2a x x x f -+=，若4])([2≤+b x f 对任意]1,1[-∈x 恒成立，则b a +3的取值集合 ▲ .}2{-三、解答题：本大题共3小题，共51分．18. （本题满分15分）已知函数)0(3cos 32cos sin 2)(2>+-=ωωωωx x x x f 的最小正周期为.π（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.若)(x g y =在)0](,0[>b b 上至少有20个零点，求b 的最小值. 解：（Ⅰ）322cos 1322sin 3cos 32cos sin 2)(2++⋅-=+-=xx x x x x f ωωωωω)32sin(22cos 32sin πωωω-=-=x x x …………3分函数)(x f 的最小正周期为π，则πωπ==22T ，则1=ω， …………5分 所以)32sin(2)(π-=x x f ，令223222πππππ+≤-≤-k x k ， …………6分解得12512ππππ+≤≤-k x k ， 则函数)(x f 的单调递增区间为.],125,12[Z k k k ∈+-ππππ …………8分 （Ⅱ）由题意：12sin 2)(+=x x g ，令0)(=x g ， 得ππ127+=k x 或.,1211Z k k x ∈+=ππ …………11分所以在每个周期上恰好有两个零点，若)(x g y =在],0[b 上至少有20个零点，即b 应该大于等于第20个零点的横坐标， …………13分 则.1211912119min πππ=+=b …………15分 19. （本题满分18分）已知O 为坐标原点，)4,3(),,0(),0,(===a a . （I ）当]0,4[-∈a 时，求||OC OB OA ++的取值范围；（II ）若),(y x OP =，记|}||,||,max{|PC PB PA M =，当a 取遍一切实数时，求M 的最小值.解：（Ⅰ）由题意：)4,3(++=++a a ， …………1分 则25142)4()3(||222++=+++=++a a a a OC OB OA …………3分令25142)(2++=a a a f ，对称轴]0,4[27-∈-=a …………4分 则21)27()(min =-=f a f ， …………6分 由对称轴易知：)4()0(->f f ，所以25)(max =a f ， …………8分 故]5,22[25142)4()3(||222∈++=+++=++a a a a OC OB OA .…………10分 （II ）对于某个固定的a ，M 的最大值显然可以趋向∞+，实际上就是当P 为ABC ∆的外心时，此时||||||==取最小值，因为当P 不是外心时，|||,||,|至少有一个会变大，这样M 就变大， …………12分外心坐标为)14225,14225(22----a a a a P ， …………14分 要使||||||==最小，需要a a a =--142252，解得627-=a ， …………17分 故M 的最小值为.627- …………18分 20. （本题满分18分）已知函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，),,()(2R f e d f ex dx x g ∈++=.（I ）当1=a 时，对任意实数x 均有|132||)(|2+-≤x x x f ，求函数)(x f 的解析式； （II ）若|)(|)(x g x f ≥对任意实数x 成立，求证：|4|422e df b ac -≥-.解：（Ⅰ）设方程01322=+-x x 的两个实根分别为1和21 则由条件可知：0|)21(|,0|)1(|≤≤f f ，从而0)21()1(==f f ， 由韦达定理知：21,23=-=c b ， 故函数)(x f 的解析式为：.2123)(2+-=x x x f …………6分 （II ）若0=a ，则0=d ，此时式子转化为c bx f ex +≤+||，即c bx f ex c bx +≤+≤--对任意R x ∈恒成立，易知0==e b ，故要证明的不等式显然成立. …………8分 当0≠a 时，0||22≥++≥++f ex dx c bx ax 恒成立，因此04,02≤->ac b a .进一步，我们不妨设0>d ，则f ex dx f ex dx c bx ax ++≥++≥++222||，可以知道0>≥d a . 记f ex dx x g ++=2)(，下面分两种情况：（ⅰ）若042>-df e ，则由|)(|2x g c bx ax ≥++可以得到：c bx ax f ex dx c bx ax ++≤++≤---222对任意R x ∈恒成立即：0)()(2≥+++++f c x e b x d a 及0)()(2≥-+-+-f c x e b x d a 对任意R x ∈同时恒成立.所以0))((4)(2≤++-+f c d a e b 及0))((4)(2≤----f c d a e b 同时成立，两个式子相加可以得到：04422≤--+df ac e b ，则|4|44222e df df e b ac -=-≥-，即要证明的不等式成立. …………14分 （ⅱ）若042≤-df e ，则0)(≥x g ，且de df xg 44)(2min -=. 在已知条件中取a b x 2-=，则可以得到：de df a bg a b ac 44)2(4422-≥-≥-， 由0>≥d a 可以知道：|4|44222e df e df b ac -=-≥-. …………18分。