广东省惠州市第一中学20152016学年高二下学期期中考试文数试题(附解析)

广东省惠州市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位,集合A={1,2,zi},B={1,3},A ∪B={1,2,3,4},则复数z 等于（ ） A ．-4i B ．4i C ．-2i D ．2i 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知4zi =，所以44z i i==-，故选A. 考点：集合运算与复数运算. 2．以下四个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于1；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③【答案】D 【解析】考点：随机抽样与相关性检验等基本概念.3.“复数z ＝3－a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：()()333aiz ai i a i i-==-⋅-=--，若z 对应的点在第三象限内，则0,0a a -<∴>，所以充分性成立；但当0a ≥，复数z 对应的点可能在虚轴上，所以必要性不成立，故选A.考点：复数的基本运算与充要条件的判断. 4.下列命题中，真命题是（ ） A ．0x R ∃∈，使得00x e ≤B ．1sin 2(π,)sin x x k k Z x+≥≠∈ C ．2,2xx R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】考点：指数函数的性质、基本不等式与充要条件的判断.5.已知322＝ 32＋ 2，833＝ 83＋ 3，1544＝ 154＋ 4，…，依此规律，若a ba b 8＝ ＋ 8，则a ，b 的值分别是（ ） A ．65，8 B ．63，8 C ．61，7D ．48，7【答案】B 【解析】试题分析：观察给出的个式子中左边根号下分数的分子和整数部分相同，分母是正数部分的平方减去1，据此规律容易发现当整数部分为8时，28,8163b a ==-=，故选B. 考点：归纳推理.6.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是（ ） A ．k ≤6? B ．k ≤7? C ．k ≤8?D ．k ≤9?【答案】B 【解析】试题分析：运行程序可知10,10;9,90;8,S 720;7k S k S k k =======此时应当输出S 720=，也就是8不满足判断框的内容，但7满足，所以应选B.考点：程序框图中的循环结构.7．设三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：若四面体S ­ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S ­ABC 的体积为V ，则r ＝（ ） A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【答案】C 【解析】考点：类比推理.8.已知抛物线28y x =与双曲线2221x y a-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5MF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．530x y ±=B ．350x y ±=C ．450x y ±=D ．540x y ±= 【答案】A 【解析】考点：抛物线的定义与双曲线的简单几何性质.9.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如 下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝－4x ＋a ^.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概 率为（ ） A.16B ．13 C.12D ．23【答案】B 【解析】试题分析：样本中心点坐标为13,802⎛⎫⎪⎝⎭，所以13ˆ8041062a=+⨯=，所以回归直线方程为4106y x ∧=-+，经验证可知有2个点位于回归直线左下方，其概率为2163=，故选B. 考点：回归直线方程. 10.已知xbax x f +=2)(（0>a ，0>b ），曲线)(x f y =在点))1( , 1(f 处的切线经过点)21 , 23(， 则ba 11+有（ ） A ．最小值9 B ．最大值9 C ．最小值4 D ．最大值4 【答案】A 【解析】考点：导数的几何意义与基本不等式.【方法点晴】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程与基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题.本题首先利用导数的几何意义求出切线斜率，写出直线的点斜式方程，把点)21 , 23(代入得到,a b 的关系，通过把ba 11+变形为()1111445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭，根据基本不等式求出其值域得其最值情况. 11.已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定 （ ）A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都可能 【答案】A 【解析】 试题分析：()()()()33,f x x x f x x x f x =+∴-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数，()2310f x x '=+>，所以()f x 为增函数，由0,0,0a b b c c a +>+>+>可得,,a b b c c a>->->-，所以()()()()()()()()(),,f a f b f b f b f c f c f c f a f a >-=->-=->-=-，根据不等式的性质可得()()()()()()f a f b f c f a f b f c ++>-++⎡⎤⎣⎦所以()()()20f a f b f c ++>⎡⎤⎣⎦，故选A.考点：函数单调性与奇偶性.【方法点晴】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用，属于基础题.本题解答的关键是根据函数解析式求出函数的单调性和奇偶性，把0,0,0a b b c c a +>+>+>变形为,,a b b c c a >->->-，根据函数的单调性和奇偶性比较出它们的大小，并最后根据不等式的性质——“同向不等式相加”得到()()()f a f b f c ++的符号.12.设函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对于任意的x R ∈，()2f x '>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．()1,-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞ 【答案】B 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用，考查了函数的思想及学生分析问题、解决问题的能力.本题解答的关键是根据题目条件()2f x '>联想构造函数()()24g x f x x =-+，并利用()2f x '>判断出其单调性，由(1)2f -=求并求得其零点，得到()0g x >的解集，即得原不等式的解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 【答案】6- 【解析】试题分析：根据复数的运算法则可得()()()()()()31263231212125a i i a a ia i i i i +-++-+==++-，若其为纯虚数，则60,6a a +=∴=-. 考点：复数的概念与四则运算.14.执行下面的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．【答案】4 【解析】 试题分析：运行程序可得1,S 00.8;n p ==<=11,2,S ;22S n p ===<1143,3,S ;2444S n p =+===<3177,4,S 0.8,4888S n p =+===<=否，输出的4n =.考点：程序框图中的循环结构.15.阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1时，你能得到的结论为______________．【方法点晴】本题主要考查了类比推理、一元二次不等式的恒成立问题，考查考生的推理能力及利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的类比源构造函数()()()()()2222121221n n f x x a x a x a nx a a a x =-+-++-=-++++，并转化为一元二次不等式()0f x ≥在R 上的恒成立问题.16.已知F 1，F 2分别是椭圆22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为________．【解析】试题分析：因为12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，椭圆上的一点M 满足12MF MF ⊥，MA MO =,过M 作MN x ⊥轴，交x 轴于点N ，不妨设M 在第一象限，则N 是OA 的中点，点M的横坐标为2a，纵坐标为，所以()()12121,0,,0,22MF F F c F c S c -=⨯=，1222a a MF MF c c ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223044a c b =-+=，整理可得2247a c =，2247c a ∴=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，28a =，前6项的和666S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设122,...(1)n n n nb T b b b n a ==++++，求n T ．【答案】（1）24n a n =+；（2）1122n n T =-+. 【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由28a =得2d =，根据等差数列的通项公式即可求得通项公式n a ；（2）由（1）得()()112n b n n =++，裂项可得1112n b n n =-++，逐项相消即可求得n T .考点：等差数列的通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填下面2 2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（Ⅱ）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?参考数据：【答案】（I ）列联表见解析，没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（II ）35. 【解析】(Ⅱ)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人记为M, ………………6分则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）, （a,d ）, （a, M ）, （b,c ）, （b,d ）,（b, M ）, （c, d ）, （c, M ）,（d, M ）.…………8分设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A ，………………9分则事件A 所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）, （a,d ）, （b,c ）, （b,d ）, （c, d ）,∴()63.105P A ==………………11分 所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时,恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为35.………………12分 考点：相关性检验与古典概型中某事件的概率.19．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ，1BC =，12CC =，1BC =（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当32AB =时，求三棱柱111ABC A B C -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1BC ⊥平面ABC ，1BC ∴即为三棱柱111ABC A B C -的高，所以三棱柱111ABC A B C -的体积11131222V AB BC BC =⨯⨯⨯=⨯⨯= …………………………………………………………………………（12分） 考点：空间中的垂直关系及三棱柱的体积公式.20．（本小题满分12分） 设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222a b x y a b +=+，若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E 上任意一点P 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点. O 为坐标原点，若OA OB ⊥,证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围.【答案】（I ）椭圆C 的方程为2212x y +=，“相关圆”E 的方程为2223x y +=；（II ）m ≥或m ≤【解析】（Ⅱ）设1122(,),B(x ,y )A x y 联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=考点：椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆、圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中的定值为题，属于中档题.求椭圆和圆的方程，只要根据条件建立基本量,,a b c之间的关系，问题即可得解；定值问题也是直线与圆锥曲线位置关系的综合应用中的常见题型，解答的基本策略是把要证为定值量用参数表示，根据韦达定理、判别式及其它一些已知条件建立交点坐标与参数间的关系进行消元、运算，即可证得结论.21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=()f xx的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[12，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）当0a ≤时，函数()h x 在()0,+∞上单调递增，当0a >时，函数()f x 在()上单调递减，在),+∞上单调递增；（2）[)1,+∞. 【解析】（2）g （x ）=x 3﹣x 2﹣3，g′（x ）=3x （x ﹣23），由上表可知，g （x ）在x=2处取得最大值，即g （x ）max =g （2）=1所以当x ∈[12，2]时，f （x ）=a x+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x ﹣x 2lnx 恒成立， 记u （x ）=x ﹣x 2lnx ，所以a≥u （x ）max ，u′（x ）=1﹣x ﹣2xlnx ，可知u′（1）=0，当x ∈（12，1）时，1﹣x ＞0，2xlnx ＜0，则u′（x ）＞0，∴u （x ）在x ∈（12，2）上单调递增；请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．（Ⅰ）求证：PM 2=PA•PC ；（Ⅱ）若⊙O 的半径为OM ，求MN 的长．【答案】（I ）证明见解析；（II ）2.【解析】试题分析：（I ）由圆的切线性质可得90ONP ∠=,及2PN PA PC =⋅根据等边对等角可得OBN ONB ∠=∠,及对顶角相等可得PMN MNP ∠=∠,所以PN PM =,从而证得2PM PA PC =⋅；（II ）根据相交弦的性质可得CM MA BM MN ⋅=⋅,结合已知条件即可求得MN 的长.试题解析：（Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°，考点：圆的切线、割线的性质及三角形中的边角关系.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C 的极坐标方程为)4πρθ=-．以极点为坐 标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值．【答案】（1）()()22112x y -+-=；（2. 【解析】试题分析：（1）利用两角差的余弦公式把)4πρθ=-展开，并两边同乘以ρ，根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==即可把2C 的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）把1C的参数方程212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式求得2C 的圆心到直线1C 距离的最大值，加上半径即得2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值．试题解析：（1）π)2(cos sin )4ρθθθ=-=+，即()22cos sin ρρθρθ=+， 可得22220x y x y +--=，故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=．（2）1C的直角坐标方程为20x +=，由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离d ∴动点M 到曲线1C的距离的最大值为． 考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程与普通方程的互化及直线与圆的位置关系.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数2()log (12)f x x x m =++--．（Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．【答案】（I ）(,3)(4,)-∞-+∞；（II ）(,1]-∞-. 【解析】（Ⅱ）若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--恒成立. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-, 所以m 的取值范围是(,1]-∞-.考点：绝对值不等式的解法与性质.。