人教版九年级数学上册 二次函数单元培优测试卷
人教版(2024)数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试(含答案)
第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。
人教版九年级数学上册第二十二章 《二次函数》培优训练题(含答案)
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）23．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（）A．±2 B．±4 C．±D．±9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（）A．③④B．②④C．②③D．①④二．填空题 10．若抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为 ． 11．若抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x 的一元二次方程a （x +h ﹣2）2+k ＝0的解为 ．12．抛物线经过原点O ，还经过A （2，m ），B （4，m ），若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为 ． 13．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m /h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱最高点O ．14．如图，抛物线解析式为y ＝x 2，点A 1的坐标为（1，1），连接OA 1；过A 1作A 1B 1⊥OA 1，分别交y 轴、抛物线于点P 1、B 1；过B 1作B 1A 2⊥A 1B 1分别交y 轴、抛物线于点P 2、A 2；过A 2作A 2B 2⊥B 1A 2，分别交y 轴、抛物线于点P 3、B 2…；则点P n 的坐标是 ．三．解答题16．已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点P ．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）若点P 关于坐标系原点O 的对称点仍然在抛物线上，求此时m 的值；（3）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．17．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？18．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2﹣4mx +n （m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且S △ABC ：S △BCE ＝3：4．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上，①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．19．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为ts．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为．参考答案一．选择题1．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；D符合题意；故选：D．2．解：∵抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），∴所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2．故选：D．3．解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x＝2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．4．解：∵y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2﹣4a+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，∴x1+x2＝4，∴当x取x1+x2时，y＝a（4﹣2）2﹣4a+4＝4，故选：C．5．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．6．解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D．7．解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．8．解：设y＝0，则＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，解得：m＝4或m＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴OA＝1，OB＝4，设x＝0，则y＝﹣4m，∴OC＝|﹣4m|，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OC2＝OA•OB，即16m2＝4，解得：m＝±，故选：C．9．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝2，即a﹣b+c＝2，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），即x＝﹣1时，y有最大值2，∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：A．二．填空题（共5小题）10．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线在x轴截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+9，代入（5，0）得，9a+9＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+9．11．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．12．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），∴对称轴是：x＝3，AB＝2，∵△AOB的面积为4，∴AB•|m|＝4，m＝±4，当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．13．解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），由题意：，解得，∴y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，故t＝＝4（h），答：再过4小时水位达到桥拱最高点O．故答案为：4．14．解：∵点A1的坐标为（1，1），∴直线OA1的解析式为y＝x，∵A1B1⊥OA1，∴OP1＝2，∴P1（0，2），设A1P1的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，解求得B1（﹣2，4），∵A2B1∥OA1，设B1P2的解析式为y＝x+b2，∴﹣2+b2＝4，∴b2＝6，∴P2（0，6），解求得A2（3，9）设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3，∴﹣3+b3＝9，∴b3＝12，∴P3（0，12），…∴P n（0，n2+n），故答案为（0，n2+n）．三．解答题（共6小题）15．证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．在Rt△FCG中，CF＝6，∴，．∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝＝216．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），∵对称点仍然在抛物线上，∴m+3＝m+2m﹣3，解得m＝3；（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．17．解：（1）由题意可得：y＝100+×10＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元；∴应降价80﹣70＝10（元）．∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，解得：x1＝65，x2＝75，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．18．解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F，∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0），∴对称轴为直线x＝2，∴AF＝BF，点F（2，0），即OF＝2，∵S△ABC ：S△BCE＝3：4，∴S△ABC ＝3S△ABE，∴3××AB×OE＝AB×CF，∴CF＝3OE，∵CF⊥AB，OE⊥AB，∴CF∥OE，∴，∴AF＝3OA，∵OF＝OA+AF＝2，∴OA＝，AF＝，∴点A坐标为（，0），∵AB＝2AF＝3，∴OB＝，∴点B坐标为（，0）；（2）①∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）过点A（，0），∴0＝m﹣2m+n，∴n＝m，∴y＝mx2﹣4mx+n＝m（x﹣2）2﹣m，∴点C（2，﹣m），如图2，过点C作CF⊥OB于F，CH⊥y轴于H，又∵∠FOH＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴CF＝OH＝m，∵将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，∴OC＝O'C，OB＝O'A＝，又∵CH⊥OO'，∴OO'＝2OH＝m，∵OA2+O'O2＝O'A2，∴+m2＝，∴m＝，∴点C坐标为（2，﹣），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：∴直线CE的解析式为y＝﹣x+；②∵m＝，∴y＝x2﹣x+．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．20．解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6，∴m＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）连线得，（3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：（答案不唯一）（4）∵直线y＝kx+b经过（，），∴，∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，∴x2﹣3x﹣4+kx+b＝0和方程x2+3x﹣4+kx+b＝0各有两个不相等的实数根，即方程x2﹣（3﹣）x﹣4+b＝和0x2+（3+）x﹣4+b＝0各有两个不相等的实数根，∴，解得b≠，且b＞或b＜，∴b的取值范围为b＞或b＜．故答案为：b＞或b＜．。
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷-附含答案
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．若二次函数图象的顶点坐标为2,1，且过点()0,3，则该二次函数的解析式为（ ） A ．()21122x y --= B ．()221y x =+- C ．()221y x =-- D ．()221y x =---2．平面直角坐标系中，抛物线y ＝12（x ＋2）（x ﹣5）经变换后得抛物线y ＝12（x ＋5）（x ﹣2），则这个变换可以是（ ）A ．向左平移7个单位B ．向右平移7个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位 3．已知二次函数()2213y x =--，则下列说法正确的是( ) A ．y 有最小值0，有最大值－3 B ．y 有最小值－3，无最大值 C ．y 有最小值－1，有最大值－3 D ．y 有最小值－3，有最大值0 4．二次函数()2y x k h =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1和3，则()22y x k h =+++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为（ ）A ．-3和1B ．1和5C ．-3和5D ．3和5 5．若二次函数2y a x bx c =++的图象经过不同的六点()1,A n -、()5,1B n -和()6,1C n +、()14,D y 和()22,E y 、()32,F y 则1y 、2y 和3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y << 6．已知二次函数()24119y x =--上的两点()()1122,,,P x y Q x y 满足123x x =+，则下列结论中正确的是（ ） A ．若112x <-，则121y y >>- B ．若1112x -<<，则210y y >> C ．若112x <-，则120y y >> D ．若1112x -<<，则210y y >> 7．已知抛物线()2<0y ax bx c a =++的对称轴为=1x -，与x 轴的一个交点为()2,0．若关于x 的一元二次方程()20ax bx c p p ++=>有整数根，则P 的值有多少个？（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，直线y=x 与抛物线y=x 2﹣x ﹣3交于A 、B 两点，点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作直线PQ⊥x轴，交直线y=x 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，则线段PQ 的长度随m 的增大而减小时m 的取值范围是（ ）﹣1或1＜m ＜3 9．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为20m ，水池中心O 处立着一个圆柱形实心石柱OM ，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心4m 处到达最大高度为6m ，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M 处101110．如图，在ABC 中90,3cm,6cm B AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．二、填空题11．抛物线22(1)3y x =---与y 轴交点的纵坐标为12．已知实数x 、y 满足x 2﹣2x +4y =5，则x +2y 的最大值为 ．13．今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝等进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是 元时，王大伯获得利润最大．14．已知抛物线224y mx mx c =-+ 与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B x 两点，则B 点的横坐标2x ＝ ．15．已知抛物线的函数关系式：()22212y x a x a a =+-+-（其中x 是自变量）．（1）若点()1,3P 在此抛物线上，则a 的值为 ．（2）设此抛物线与x 轴交于点()1,0A x 和()2,0B x ，若122x x <<，且抛物线的顶点在直线34x =的右侧，则a 的取值范围为 ．16．设二次函数2y ax bx c =++（,a b c ,是常数，0a ≠），如表列出了x ，y 的部分对应值． x … 5- 3- 1 2 3 …y … 2.79- m 2.79- 0n … 则不等式20ax bx c ++<的解集是 ．17．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为1x =，图象过点A ，且930a b c ++=，以下结论：⊥420a b c -+<；⊥关于x 的不等式220ax ax c -+->的解集为：13x -<<；⊥3c a >-；⊥()21(1)0m a m b -+-≥（m 为任意实数）；⊥若点()1,B m y ，()22,C m y -在此函数图象上，则12y y =．其中错误的结论是 ．三、解答题设该超市在第x 天销售这种商品获得的利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？21．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0和()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2++=有两个实数根，m的取值范围为__________．ax bx c m(3)不等式23++>-的解集为__________；ax bx c x22．一次足球训练中，小明从球门正前方12m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为8m时，球达到最高点，此时球离地面4m．已知球门高OB为2.58m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.56m处？参考答案：1．C2．C3．B4．A5．D6．B。
人教版九年级数学上册 第二十四章 《二次函数》培优检测试试题(含答案)
《二次函数》培优检测试题一．选择题1．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣3）2﹣4，则b的值分别为（）A．0 B．5 C．6 D．﹣62．已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝（x+1）2+k上，则a，b，c 的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c3．对于函数y＝（x+2）2﹣9，下列结论错误的是（）A．图象顶点是（﹣2，﹣9）B．图象开口向上C．图象关于直线x＝﹣2对称D．函数最大值为﹣94．已知二次函数y＝（a+2）x2+2ax+a﹣1的图象与x轴有交点，且关于x的分式方程+1＝的解为整数，则所有满足条件的整数a之和为（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．35．如图是二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤4 B．x≤0 C．x≥1D．0≤x≤46．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论正确的是（）A．a＞0，函数值y有最大值B．该函数的图象关于直线x＝1对称C．当y＝﹣2时，自变量x的值等于0D．当x＝﹣3和x＝1时函数值y都等于07．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四8．如果二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程＝2有正数解，则符合条件的整数a的值有多少个（）A．3个B．4个C．5个D．6个9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，它与x轴x＝2正半轴相交于点A，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b﹣c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点P为线段BC上的动点，以AC，AP为邻边构造▱APEC，连结BE．若△ACP的面积与△BEP的面积之比为1：2时，ED⊥BD，则a 的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣211．抛物线y ＝3x 2﹣6x +a 与坐标轴只有一个公共点，则a 取值范围为 ．12．已知抛物线y ＝a （x +）2+k （a ＞0），点A （﹣4，y 1）、B （﹣2，y 2）、C （2，y 3）是图象上的三个点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 （用“＜”连接）．13．已知抛物线y ＝x 2+（1﹣2a ）x +a 2（a ≠0）与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1≠x 2），若抛物线与y 轴交于点C ，且OA +OB ＝OC ﹣2，则a 的值为 ．14．若二次函数y ＝x 2﹣2x +k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k ＝0的解一个为x 1＝3，则方程x 2﹣2x +k ＝0另一个解x 2＝ ．15．已知函数y ＝，且使y ＝k 成立的x 值恰好有2个，则k 的取值范是 ． 16．开口向下的抛物线y ＝a （x +1）（x ﹣3）与x 轴交于A 、B 两点，当抛物线与x 轴围成的封闭区域（不包含边界）内，仅有4个整数点（整数点就是横、纵坐标均为整数的点）时，a 的取值范围是 ．17．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（16，0），（0，3），连结AB ，P 是线段AO 上一动点（不与点A 、O 重合）．过A 、P 两点的抛物线和过P 、O 两点的抛物线的开口均向下，它们的顶点E 、F 均在线段AB 上．设这两个二次函数的最大值的差为S ，则S ＝ ．18．一个二次函数的图象经过（﹣1，﹣1），（0，0），（1，9）三点（1）求这个二次函数的解析式；（2）若另外三点（x 1，21），（x 2，21），（x 1+x 2，n ）也在该二次函数图象上，求n 的值．19．已知抛物线y ＝mx 2和直线y ＝﹣x +b 都经过点M （﹣2，4），点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y ＝﹣x +b 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．（1）求m 、b 的值；（2）当△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin ∠BOP 的值．20．某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y （元）与一次性批发量x （件）（x 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y 与x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？21．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为B（1，0）和C，与y轴的交点坐标为（0，﹣1.5）且此抛物线过点A（3，6）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标．23．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，交y 轴于点D，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，M点是直线AB上一个动点，N是线段AD上一点，若∠MNC＝90°，请指出点M横坐标的变化范围，并说明理由；（3）如图2，经过点（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．参考答案一．选择题1．解：∵y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+9﹣4＝x2﹣6x+5，又∵y＝x2+bx+5，∴b＝﹣6．故选：D．2．解：∵y＝（x+1）2+k，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵抛物线开口向上，而点C（3，c）到对称轴的距离最远，B（﹣1，b）是顶点，∴b＜a＜c．故选：C．3．解：∵函数y＝（x+2）2﹣9＝x2+4x﹣5，∴该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣9），故选项A正确；a＝1＞0，该函数图象开口向上，故选项B正确；该函数图象关于直线x＝﹣2对称，故选项C正确；当x＝﹣2时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D错误；故选：D．4．解：根据题意得a+2≠0且△＝4a2﹣4×（a+2）（a﹣1）≥0，解得a≤2且a≠﹣2，去分母得ax+x+1＝7，解得x＝且x≠﹣1，因为分式方程的解为整数，所以a+1＝±1，±2，±3，±6，且a≠﹣7，解得a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，所以满足条件的a的值为﹣4，﹣3，0，2，1．所以所有满足条件的整数a之和为﹣4+（﹣3）+0+2+1＝﹣4．故选：A．5．解：当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3，解得，x1＝0，x2＝4，∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，∴y≥1成立的x的取值范围是0≤x≤4，故选：D．6．解：由图象可知：A、抛物线开口向上，该函数y有最小值，此选项错误；B、∵抛物线与x轴交于（1，0），（﹣3，0），∴对称轴为直线x＝＝﹣1，∴该函数的图象关于直线x＝﹣1对称，此选项错误；C、根据二次函数的对称性，当y＝﹣2时，自变量x的值等于0和﹣2，此选项错误；D、∵抛物线与x轴交于（1，0），（﹣3，0），∴当x＝﹣3和x＝1时函数值y都等于0，此选项正确．故选：D．7．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∵△＝b2﹣4k（﹣k）＝b2+4k2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，∵k、b异号，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第一象限．故选：A．8．解：∵＝2∴1+1﹣az＝2（2﹣z）∴（2﹣a）z＝2∴z＝关于z的分式方程有正数解∴＞0∴2﹣a＞0∴a＜2但该分式方程当z＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．∵二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小∴其对称轴x＝﹣≥﹣2∴a≥﹣4∴﹣4≤a＜2，且a≠1符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个故选：C．9．解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x＝3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，∵c＜0，即﹣c＞0∴9a+3b＞0，∴9a+3b﹣c＞0，故②正确；由图象可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，整理可得ac﹣b+1＝0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，即方程有一个根为x＝﹣c，由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个：①②③④4个．故选：D ．10．解：在y ＝a （x +1）（x ﹣3）中，令x ＝0，得x ＝﹣1或3 ∴A （﹣1，0），B （3，0）令x ＝0，得y ＝﹣3a∴C （0，﹣3a ），∵y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x ﹣1）2﹣4a∴D （1，﹣4a ），∵四边形APEC 是平行四边形∴AP ∥CE ，AP ＝CE ，S △ACP ＝S △EPC∵△ACP 的面积与△BEP 的面积之比为1：2∴＝∴＝∴P （1，﹣2a ）∴E （2，﹣5a ），如图，连接BD ，则∠BDE ＝90°∴BD 2+DE 2＝BE 2∴（3﹣1）2+（4a ）2+（1﹣2）2+（﹣4a +5a ）2＝（3﹣2）2+（5a ）2，解得：a ＝±，∵a ＜0∴a ＝﹣． 故选：B ．二．填空题11．解：∵y ＝3x 2﹣6x +a ＝3（x ﹣1）2﹣3+a ，∴抛物线的开口向上，顶点为（1，a ﹣3），∵抛物线y ＝3x 2﹣6x +a 与坐标轴只有一个公共点，∴顶点在第一象限，∴a ﹣3＞0，即a ＞3，故答案为a ＞3．12．解：∵抛物线y ＝a （x +）2+k （a ＞0），苏一该函数开口向上，对称轴是直线x ＝﹣，当x ＞﹣时，y 随x 的增大而增大，当x ＜﹣时，y 随x 的增大而减小，∵|﹣4﹣（﹣）|＝3.5，|﹣2﹣（﹣）|＝1.5，|2﹣（﹣）|＝2.5，点A （﹣4，y 1）、B （﹣2，y 2）、C （2，y 3）是图象上的三个点，∴y 2＜y 3＜y 1，故答案为：y 2＜y 3＜y 1．13．解：由直线与x 轴有两个交点，∴△＞0，∴a ＜，由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝2a ﹣1，x 1x 2＝a 2，∵x 1•x 2＝a 2＞0，∴x 1与x 2同号，∴OA +OB ＝|x 1+x 2|＝|2a ﹣1|，∵C （0，a 2），∴OA +OB ＝OC ﹣2即为|2a ﹣1|＝a 2﹣2，当a ≥时，2a ﹣1＝a 2﹣2，∴a ＝1+，当a ＜且a ≠0时，1﹣2a ＝a 2﹣2，∴a ＝﹣3，综上所述：a的值为﹣3；故答案﹣3；＝3，14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x＝﹣1．2故答案为﹣1．15．解：y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），y＝﹣（x﹣7）2+1的顶点坐标为（7，1），解方程﹣（x﹣1）2+1＝﹣（x﹣1）2+1得x＝4，则抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y ＝﹣（x﹣7）2+1相交于点（4，﹣8），如图，直线y＝﹣8与函数图象有三个交点，当k＜﹣8时，直线y＝k与函数图象有2个交点，当k＝1时，直线y＝k与函数图象有2个交点，所以使y＝k成立的x值恰好有2个时，k＝1或k＜﹣8．故答案为k＝1或k＜﹣8．16．解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．则，解得：﹣≤a ＜﹣，故答案为：﹣≤a ＜﹣．17．解：∵点A 、B 的坐标分别为（16，0），（0，3），∴设直线AB 解析式为y ＝kx +∴0＝16k +∴k ＝﹣∴y ＝﹣x +设P 点坐标为（m ，0），则AP ＝16﹣m∴E 点横坐标为，F 点横坐标为：m +＝+8∴这两个二次函数的最大值的差S ＝﹣×+﹣[﹣×（+8）+]＝﹣×++×+﹣＝故答案为：．三．解答题 18．解：（1）设二次函数的关系式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，∴，解得，所以这个函数关系式是：y ＝4x 2+5x ；（2）∵二次函数为y ＝4x 2+5x ，∴对称轴为直线x ＝﹣＝﹣，∵三点（x 1，21），（x 2，21），（x 1+x 2，n ）也在该二次函数图象上，∴＝﹣，∴x 1+x 2＝﹣，∴n ＝4×（﹣）2+5×（﹣）＝0．19．解：（1）将M （﹣2，4）代入y ＝mx 2，得：4＝4m ，∴m ＝1；将M （﹣2，4）代入y ＝﹣x +b ，得：4＝2+b ，∴b ＝2．（2）由（1）得：抛物线的解析式为y ＝x 2，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +2． 当y ＝0时，﹣x +2＝0，解得：x ＝2，∴点A 的坐标为（2，0），OA ＝2．设点P 的坐标为（x ，x 2），则PA 2＝（2﹣x ）2+（0﹣x 2）2＝x 4+x 2﹣4x +4，PM 2＝（﹣2﹣x ）2+（4﹣x 2）2＝x 4﹣7x 2+4x +20．∵△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形，∴PA 2＝PM 2，即x 4+x 2﹣4x +4＝x 4﹣7x 2+4x +20，整理，得：x 2﹣x ﹣2＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝2，∴点P 的坐标为（﹣1，1）或（2，4）．（3）过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为点N ，如图所示．当点P 的坐标为（﹣1，1）时，PN ＝1，PO ＝＝，∴sin ∠BOP ＝＝；当点P的坐标为（2，4）时，PN＝2，PO＝＝2，∴sin∠BOP＝＝．∴满足（2）的条件时，sin∠BOP的值的值为或．20．解：（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣x+50；当x＞60且x为整数时，y＝20；（2）设所获利润w（元），当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，∴w＝（40﹣16）×20＝480元，∴当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣x+50，∴w＝（y﹣16）x＝（﹣x+50﹣16）x，∴w＝﹣x2+34x，∴w＝﹣（x﹣34）2+578，∵﹣＜0，∴当x＝34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．21．解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：y＝﹣mx+，∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y＝，解得：x＝2﹣，故点F（2﹣，0），S△PCF＝×PC×DF＝（|2﹣m|）（|2﹣﹣2|）＝5，解得：m＝5或﹣3，故点P（2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）确定的点F的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②当CP＝PF时，同理可得：m＝，③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）22．解：（1）根据题意得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣；（2）y＝x2+x﹣＝（x2+2x+1﹣1）﹣＝（x+1）2﹣2，∴P点坐标为（﹣1，﹣2）；当y＝0时， x2+x﹣＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则C点坐标为（﹣3，0），设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（3，6），C（﹣3，0）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，∴Q点坐标为（﹣1，2）．23．解：（1）把y＝0代入y＝x+4得：0＝x+4，解得：x＝﹣4，∴A（﹣4，0）．把点A的坐标代入y＝x2+mx﹣4得：m＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x﹣4；（2）﹣≤x M．理由如下：由y＝x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）得到：A（﹣4，0），C（1，0）．当x N时，由图象可知当点N与点D（0，﹣4）重合时，x M有最大值，此时过点M作MG⊥x轴，DG⊥y轴，如图1，∵∠MNC＝∠GDO＝90°，∴∠MNG＝∠ONC，∵∠MGN＝∠CON＝90°，∴△MGN∽△CON．设M（x，x+4），∴＝，即＝．解得x＝﹣，即（x M）min＝﹣．当x N＜时，如图2，过点C作CH⊥AD于点D，由已知得：∠OAB＝∠OAD＝45°，∴∠BAH＝90°，AH＝CH＝＝．设NH＝x，AM＝y，∵∠MAN＝∠NHC＝∠MNC＝90°，∴△MAN∽△NHC，∴，∴，∴＝，∴，对应此时（x M）max＝﹣4+＝﹣．∴．（3）如图3，设直线CQ的解析式为y＝ax﹣a，CP的解析式为y＝bx﹣b，∴，解得：x＝﹣1或x＝4﹣a，∴x Q＝4﹣a，同理：x P＝4﹣b，设直线PQ的解析式为y＝kx+b，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1，∴，∴x2+（3﹣k）x﹣4k﹣5＝0，∴x Q+x P＝a﹣4+4﹣b＝3﹣k，∴x Q•x P＝（a﹣4）（4﹣b）＝﹣4k﹣5，解得：ab＝﹣1，又∵OE＝﹣b，OF＝a，∴OE•OF＝﹣ab＝1．。
人教版数学九年级上册第22章《二次函数》单元培优练习题卷(含解析)
《二次函数》单元培优练习卷一．选择题1．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，0）D．（0，2）2．关于抛物线y＝﹣x2﹣x+2，则下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．与坐标轴有3个交点D．若抛物线经过A（﹣1，y1），B（1，y2），则y1＜y23．对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+ac在直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+26．已知点（x1，y1）（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，如果x1＜x2＜2，则y1，y2，k的大小关系是（）A．y1＜y2＜k B．y2＜y1＜k C．k＜y1＜y2D．k＜y2＜y17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣1 0 2 4y﹣1 2 2 ﹣6下列结论错误的是（）A．该函数有最大值B．该函数图象的对称轴为直线x＝1C．当x＞2时，函数值y随x增大而减小D．方程ax2+bx+c＝0有一个根大于38．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：（1）abc＜0；（2）b2＞4ac；（3）3a+2c＝0；（4）5a+3b+2c＜0．其中正确的有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝﹣（x﹣6）2+4．则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是（）A．y＝（x+6）2+4 B．y＝﹣（x+6）2+4C．y＝（x+6）2﹣4 D．y＝﹣（x+6）2﹣410．平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＜0；②c+2a＞0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≤am2+bm（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题11．已知二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1）和（m，n），则n的值为．12．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．13．直线y＝ax+m和直线y＝bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB＝AC，∠BAC＝90°，则m＝．15．如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是．16．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件，当销售单价为元时，每天获取的利润最大．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为（4，0），点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且BE＝AB，连接CE，取CE的中点F，则BF的长为．三．解答题19．已知直线y＝kx+2k+4与抛物线y＝x2（1）求证：直线与抛物线有两个不同的交点；（2）设直线与抛物线分别交于A，B两点．①当k＝﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB＝90°？若存在，求点D到直线AB的最大距离；若不存在，请你说明理由．20．商场里某产品每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已知每只进价为10元，每只利润＝销售单价﹣进价）销售单价x（元）21 23 25 …月销售额y（只）29 27 25 …（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）这产品每月的总利润为w元，求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a元（a＜10），但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了144元，求a的值．21．已知抛物线y＝ax2+bx+c上有两点M（m+1，a）、N（m，b）．（1）当a＝﹣1，m＝1时，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）用含a、m的代数式表示b和c；（3）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，m，求a的取值范围．22．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y＝x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y＝x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？23．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．24．如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，顶点为点D的抛物线y＝﹣x2+2x+1经过点B，点C．（1）写出抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）将矩形OABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到矩形OA′B′C′，①当点B′恰好落在BA的延长线上时，如图2，求点B′的坐标；②在旋转过程中，直线B'C'与直线OA'分别与抛物线的对称轴相交于点M，点N．若MN＝DM，求点M的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，记y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n（m≠0，n≠0）的图象为图形G，已知图形G与y轴交于点A，当x＝m时，函数y＝a（x﹣m）2+n有最小（或最大）值n，点B的坐标为（m，n），点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，且对角线AC，BD的交点与原点O重合，则称四边形ABCD 为图形G的伴随四边形，直线AB为图形G的伴随直线．（1）如图1，若函数y＝（x﹣2）2+1的图象记为图形G，求图形G的伴随直线的表达式；（2）如图2，若图形G的伴随直线的表达式是y＝x﹣3，且伴随四边形的面积为12，求y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n（m＞0，n＜0）的表达式；（3）如图3，若图形G的伴随直线是y＝﹣2x+4，且伴随四边形ABCD是矩形，求点B的坐标．参考答案一．选择题1．解：令x ＝0，则y ＝1，∴抛物线与y 轴的交点为（0，1）， 故选：B ．2．解：分别令x ＝±1，得，，∴y 1＞y 2故选：D ．3．解：当y ＝0，ax 2﹣（2a ﹣1）x +a ﹣1， 解得x 1＝1，x 2＝，则二次函数y ＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a ﹣1的图象与x 轴的交点坐标为（1，0）、（，0），所以①、④正确；当a ＜0时，抛物线的对称轴x ＝＝1﹣＞1，则函数在x ＞1时，y 先随x 增大而增大，然后减小， 所以②错误； 该抛物线对称轴为x ＝，顶点的纵坐标为y ＝＝，则y ＝（1﹣）﹣，即无论a 取何值，抛物线的顶点始终在直线y ＝x ﹣上，所以③正确． 故选：C ．4．解：由二次函数的图象可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵一次函数y ＝bx +ac ， ∴b ＜0， ac ＜0，∴一次函数y ＝bx +ac 的图象经过第二、三、四象限， 故选：D ．5．解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∵把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），∴抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．故选：D．6．解：由抛物线的解析式可知：抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，k），开口向上，∴当x＜2时，y随着x的增大而增小，∴x1＜x2＜2，∴y1＞y2＞k，故选：D．7．解：依题意，已知点（﹣1，﹣1），（0，2）（2，2）在y＝ax2+bx+c上，则有，解得故，二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+2选项A，∵a＜0，∴该函数有最大值，选项正确选项B，对称轴x＝＝＝1，选项正确选项C，∵a＜0，函数先增大后减小，对称轴x＝1，∴当x＞2时，函数值y随x增大而减小．选项正确选项D，﹣x2+2x+2＝0可解得方程两根x1，2＝1±，两根均不大于3，选项错误故选：D．8．解：（1）由图象可知：a＞0，c＜0，由对称轴可知：＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故（1）正确；（2）抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故（2）正确；（3）由于对称轴可知：＝﹣1，∴b＝2a，由于抛物线过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴3a+c＝0，故（3）错误；（4）由于b＝2a，c＝﹣3a5a+3b+2c＝5a+6a﹣6a＝5a＞0，故（4）错误；故选：B．9．解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，解得：a＝﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．故选：B．10．解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝＜0，∴b＞0，∴ab c＜0，故①正确；②由对称轴可知：＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②错误；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm≥a﹣b，故④正确；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：C．二．填空题（共8小题）11．解：∵二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1），∴m2﹣2m+t2＝﹣1，∴（m﹣1）2+t2＝0，∴m＝1，t＝0，∴二次函数为y＝x2+2x，∵m＝1，∴点（m，n）为（1，n），∵二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（m，n），∴n＝1+2＝3，故答案为3．12．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．13．解：如图可知，当x＝2时，2a+m＝2b+n，得2a﹣2b＝n﹣m；当x＝3时，y1＝3a+m①，当x＝6时，y2＝6b+n②，且y1＝y2；②﹣①得n﹣m＝3a﹣6b，∴2a﹣2b＝3a﹣6b，∴a＝4b．由二次函数的性质可知，其对称轴为直线x ＝﹣＝﹣．故答案为：直线x ＝﹣．14．解：如图，作AD ⊥BC 于D ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝CD ＝BD ，∴BC ＝2AD ，∵抛物线y ＝﹣1的顶点为A ， ∴A （3，﹣1），∵点P （0，m ），∴AD ＝1+m ，∴BC ＝2+2m ，设B （x 1，m ），C （x 2，m ），∴x 2﹣x 1＝2+2m ，解﹣1＝m 整理得：x 2﹣6x +5﹣4m ＝0， ∴x 1+x 2＝6，x 1•x 2＝5﹣4m ，∴（x 2﹣x 1）2+4x 1x 2＝36，∴（2+2m ）2+4（5﹣4m ）＝36，解得m ＝3和m ＝﹣1（舍去），故答案为3．15．解一（函数思想）：设AE ＝x ，PE ＝y ，则PF ＝8﹣x ，BF ＝6﹣y ，∵∠AEP ＝∠EPF ＝∠PFB ＝90°，∴PE ∥BF ，∴△PEA ∽△BFP ，∴＝，∴4y＝3x，在Rt△FEP中，FE2＝FP2+EP2，∴FE2＝y2+（8﹣x）2，∴FE2＝（x）2+x2﹣16x+64＝x2﹣16x+64＝（x﹣）2+，∵0＜x＜8，∴当x＝时，FE有最小，当x＝0时，EF有最大值8，∴≤EF＜8．故答案为≤EF＜8．解二（几何思想）：延长BF、AE相交于点G，连接GP，∵∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，∴四边形GFPE是矩形，∴FE＝GP，∵GF＝PE，GE＝BF，∴BG＝BF+PE，AG＝AE+FP，∵AE+PF＝8，EP+FB＝6，∴BG＝6，AG＝8，∴AB＝10，当GP⊥AB时，GP最小，最小值为；当EF与GA重合时，EF最大，最大值为8，∵点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，∴≤EF＜8．故答案为故答案为≤EF＜8．16．解：设当销售单价为x 元时，每天获取的利润为y 元，则y ＝（x ﹣30）[100+10（60﹣x ）]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，∴当x ＝50时，y 有最大值，且为4000，故答案为：50．17．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0）， 所以抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即x ＝1或﹣3时，函数值y ＝0，所以关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的解为x 1＝﹣3，x 2＝1．故答案为x 1＝﹣3，x 2＝1．18．解：∵点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，D （0，4），B （4，0）， ∴，∵A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称，∴，连AC ，BE ＝AB ，CE 的中点是F ，∴． 故答案为：．三．解答题（共7小题）19．解：（1）由整理得：x2﹣2kx﹣（4k+8）＝0，∴△＝4k2+4（4k+8）＝4（k+2）2+16＞0，∴直线与抛物线有两个不同的交点；（2）当k＝﹣时，直线AB的解析式为y＝﹣x+3令﹣x+3＝x2，即x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2∴点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2 过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（m， m2），则Q（m，﹣m+3）∴PQ＝﹣m+3﹣m2∵S△ABP＝（x B﹣x A）×PQ＝5，即：（2+3）×（﹣m+3﹣m2）＝5整理得：m2+m﹣2＝0，解得m1＝﹣2，m2＝1∴点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）（3）设A（x1， x12），B（x2， x22），D（t， t2）联立消去y得：x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4k﹣8过点D作EF∥x轴，分别过点A、B作y轴的平行线，交EF于点E、F，则DE＝t﹣x1，AE＝x12﹣t2，DF＝x2﹣t，BF＝x22﹣t2由∠ADB＝90°，可得△ADE∽△DBF ∴＝，即AE•BF＝DE•DF∴（x12﹣t2）（x22﹣t2）＝（t﹣x1）（x2﹣t）∴t2+（x1+x2）t+x1x2+4＝0∴t2+2kt﹣4k﹣4＝0，即2k（t﹣2）+t2﹣4＝0当t﹣2＝0，即t＝2时，上式对任意实数k均成立即点D的坐标与k无关，∴D（2，2）连接CD，∵C（﹣2，4），∴CD＝2过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DH≤CD，当CD⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大距离为2．20．解：（1）设y＝kx+b（k≠0），根据题意代入点（21，29），（25，25），解得，∴y ＝﹣x +50．（2）依题意得，w ＝（x ﹣10）（﹣x +50）＝﹣x 2+60x ﹣500＝﹣（x ﹣30）2+400， ∵a ＝﹣1＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值400，即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元．（3）最新利润可表示为﹣x 2+60x ﹣500﹣a （﹣x +50）＝﹣x 2+（60+a ）x ﹣500﹣50a ， ∴此时最大利润为＝400﹣144，解得a 1＝8，a 2＝72，∵当a ＝72时，销量为负数舍去．∴a ＝8．21．解：（1）∵a ＝﹣1，m ＝1，∴M （2，﹣1）、N （1，b ）由题意，得，解，得， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+x +1；（2）∵点M （m +1，a ）、N （m ，b ）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上，①﹣②得，2am +b ＝﹣b ，∴b ＝﹣am ，把b ＝﹣am 代入②，得c ＝﹣am ；（3）把b ＝﹣am ，c ＝﹣am 代入b 2﹣4ac ＝a 得a 2m 2+4a 2m ＝a ，∵a ＜0，∴am 2+4am ＝1，∴，把b ＝﹣am ，c ＝﹣am 代入b +c ≥2a 得﹣2am ≥2a ，∴m ≥﹣1，∴，∵m2+4m＝（m+2）2﹣4，当m＞﹣2时，m2+4m随m的增大而增大∴，∴，即．22．解：（1）∵AB＝10、∠OAB＝30°，∴OB＝AB＝5、OA＝AB cos∠OAB＝10×＝5，则A（5，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+5；（2）水柱离坡面的距离d＝﹣x2+x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣5x）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC＝2、∠OAB＝30°，∴CD＝1、AD＝，则OD＝4，当x＝4时，y＝﹣×（4）2+×4+5＝5＞1+3.5，所以水柱能越过树．23．解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），∵四边形OABC是梯形，∴直线x＝m在y轴左侧，∵BC与OA不平行，∴OC∥AB，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．24．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2∴抛物线对称轴为直线x＝1∵四边形OABC是矩形∴CB∥OA，即CB∥x轴∴点C、B关于对称轴对称∵x＝0时，y＝1，即C（0，1）∴点B坐标为（2，1）（2）①如图1，连接OB、OB'∵矩形OABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到矩形OA′B′C′∴OB＝OB'∵四边形OABC是矩形∴∠OAB＝90°，即OA⊥BB'∴AB'＝AB＝1∴点B'坐标为（2，﹣1）②i）当0＜α＜90°时，如图2，设抛物线对称轴交x轴于点E，过点D作DF⊥B'C'于点F，交OA'于点G∴OE＝1，∠DFM＝90°∵四边形OA'B'C'是矩形∴OA'∥B'C'，∠A'OC'＝∠OC'B'＝90°∴∠C'OG＝∠OC'F＝∠C'FG＝90°∴四边形OC'FG是矩形∴FG＝OC'＝OC＝1∵FM∥GN，DM＝MN∴∠DMF＝∠ONE，＝1∴DF＝FG＝1在△DMF与△ONE中∴△DMF≌△ONE（AAS）∴DM＝ON设M（1，m）∵抛物线顶点D（1，2）∴MN＝DM＝2﹣m∴y N＝y M﹣MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2∴ON＝＝2﹣m解得：m1＝，m2＝1（此时点M在BC上即旋转角度α＝0°，舍去）∴M（1，）ii）当90°＜α＜180°时，如图3，MN＝DM则点D、N重合设抛物线对称轴交x轴于点E，过点D作DF⊥B'C'于点F，同理可证：△DMF≌△ONE，DM＝ON设M（1，m），则DM＝2﹣m∵N（1，2），ON＝∴2﹣m＝∴m＝2﹣∴M（1，2﹣）综上所述，点M坐标为（1，）或（1，2﹣）．25．解：（1）针对函数y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，此函数有最小值1，∴B（2，1），当x＝0时，y＝22+1＝5，∴A（0，5），设所求伴随直线的表达式为y＝kx+b（k≠0）则解，得所以函数y＝（x﹣2）2+1的伴随直线的表达式是y＝﹣2x+5；（2）如图2，作BE⊥AC于点E，由题意知，OC＝OA，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵A（0，﹣3），C（0，3）∴AC＝6∵平行四边形ABCD的面积为12，＝6∴S△ABC即，∴BE＝2；∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y＝x﹣3上，∴B（2，﹣1）又图形G经过点A（0，﹣3），∴，∴；（3）如图3，作BF⊥x轴于点E，由已知得：A（0，4），C（0，﹣4），∵B（m，n）在直线y＝﹣2x+4上，∴n＝﹣2m+4，即点B的坐标为（m，﹣2m+4），∵矩形ABCD，∴OC＝OB＝4，∴OC2＝OB2，在Rt△OEB中，42＝m2+（﹣2m+4）2，∴5m2﹣16m＝0，＝0（不合题意，舍去），，∴m1∴，∴点B的坐标为．。
人教版九年级数学上册《二次函数》培优测试题
人教版九年级数学上册《二次函数》培优测试题一．选择题1.已知函数y=是二次函数，则m的值为（）A. ﹣3B. ±3C. 3D. ±2.二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（）A. （1，0）B. （2，0）C. （﹣1，0）或（﹣2，0）D. （﹣1，0）或（1，0）3.已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A. y3最小，y1最大B. y3最小，y4最大C. y1最小，y4最大D. 无法确定4.已知二次函数y=（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A. ﹣3＜x＜1B. x＜﹣1或x＞3C. ﹣1＜x＜3D. x＜﹣3或x＞15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b+c，N=a－b+c，P=4a+b，则（）A. M>0，N>0，P>0B. M>0，N<0，P>0C. M<0，N>0，P>0D. M<0，N>0，P<06.下列关于二次函数y=﹣2（x﹣2）2+1图象的叙述，其中错误的是（）A. 开口向下B. 对称轴是直线x=2C. 此函数有最小值是1D. 当x＞2时，函数y随x增大而减小7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程=ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3：②a﹣b+c=0；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当y 随x的增大而增大时，一定有x＜O．其中结论正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与D 点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A. 球不会过网B. 球会过球网但不会出界C. 球会过球网并会出界D. 无法确定9.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.若二次函数y=（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有两个交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 511.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.12.已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P 是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（）A. ①②③B. 仅有①②C. 仅有①③D. 仅有②③二．填空题13.将二次函数y=x2+3x﹣化为y=a（x﹣h）2+k的形式，其结果是_____．14.二次函数y=x2﹣3x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____．15.如图，点D，C的坐标分别为（﹣1，4）和（﹣5，4），抛物线的顶点在线段CD上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点B的横坐标最大值为3，则点A的横坐标最小值为_____．16.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行_____m才能停下来．17.已知抛物线y=x2，以D（﹣2，1）为直角顶点作该抛物线的内接Rt△ADB（即A．D．B 均在抛物线上）．直线AB必经过一定点，则该定点坐标为_____．18.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）三．解答题19.如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+6的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点C．（1）求AC的长；（2）求顶点的坐标．20.五家尧草莓是我旗的特色农产品，深受人们的喜欢．某超市对进货价为10元/千克的某种草莓的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为多少时，该品种草莓每天销售利润为150元？（3）应怎样确定销售价，使该品种草莓的每天销售利润最大？最大利润是多少？21.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．=8，并（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时．满足S△PAB求出此时P点的坐标．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使△PAC的面积最大，请直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．24.如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A、B两点（B点在A 点的右侧），与轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．25.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD=3，若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值；（3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标．。
人教版九年级上册22章：二次函数 单元培优测试(有答案)
人教版九年级上册23章：二次函数单元培优测试一、单选题（40分）1．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =-先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ）A ．()2334y x =-+-B ．()2334y x =--C ．()2334y x =++D ．()2334y x =--+2．下列函数的图象，不经过原点的是（ ）A ．32x y =B ．y ＝2x 2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．3y x= 3．将二次函数y =(x ﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( ) A ．y =(x +2)2﹣2B ．y =(x ﹣4)2+2C ．y =(x ﹣1)2﹣1 D ．y =(x ﹣1)2+54．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2 或x ＜－3B ．－3＜x ＜2C ．x ＞2或x ＜－4D ．－4＜x ＜25．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米6．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++与一次函数y ax c =+的大致图象可能（ ） A ．B ．C ． D ．2x… 0 1 2 4 … y … m k m n … 8．如图，四边形ABCD 是菱形，2,60AB ABC =∠=︒，点P 从D 点出发，沿DA AB BC →→运动，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，设点P 运动的路程为x ，DPQ ∆的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间的函数关系的是( )．A ．B ．C ．D ．9．将函数22(04)y x x m x =-++≤≤在x 轴下方的图像沿x 轴向上翻折，在x 轴上方的图像保持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则m 的值为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．410．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y 2<y 1，其中正确的是（ ）A ．①④⑤B ．①③④⑤C ．①③⑤D ．①②③二、填空题（24分）11．二次函数223y x x =--+的图像的顶点坐标是_________．12．二次函数y ＝3x 2－6x －3图象的对称轴是_________.13．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （米）与时间t （秒），满足关系：h=20t-5t 2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，∠AOC ＝60°，点D 为AB 边上的一点，经过O ，A ，D 三点的抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连结AE 交BC 于点F ，当DF ⊥AB 时，CE 的长为__．15．如图抛物线223y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE DF +的最小值为_____．16．若函数图象上存在点(),Q m n ，满足1n m =+，则称点Q 为函数图象上的奇异点．如：直线23y x =-上存在唯一的奇异点()4,5Q ．若y 关于x 的二次函数211(1)22y x a h x b h =+-+++的图象上存在唯一的奇异点，且当32a -≤≤时，b 的最小值为2-，则h 的值为__________．三、解答题（86分）（8分）17．已知二次函数23y x bx =+- （b 是常数）的图象经过点()1,0A -，求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值．（8分）18．已知抛物线21y ax bx =++经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．（1）求a ，b 的值；（4分）（2）若(5，1y )，(m ，2y )是抛物线上不同的两点，且2112y y =-，求m 的值．（4分）（10分）19．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx +c ＝0的两个根；（3分）（2）写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集；（3分）（3）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分）（8分）20．如图,已知直线y=-2x+3与抛物线y=x 2相交于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)求点A 和B 的坐标；（4分）(2)连结OA,OB,求△OAB 的面积.（4分）（10分）21．“普洱茶”是云南有名的特产，某网店专门销售某种品牌的普洱茶，成本为30元/盒，每天销售y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；（4分）(2)如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于240盒，该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出500元给扶贫基金会，当销售单价为多少元时，每天获取的净利润最大，最大净利润是多少？(注:净利润=总利润-捐款)（6分）（14分）22．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元检测卷含答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元检测卷含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如果将抛物线y=x2+2向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么所得新抛物线的顶点坐标是（）A．(−1，−2)B．(1，−2)C．(−1，2)D．（1，2）2．已知二次函数y=a（x+3）2﹣h（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（3，1）D．（3，﹣1）3．关于二次函数y=2x2+4x-3，下列说法正确是（）A．图象与y轴的交点坐标为(0，3)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为-54．已知二次函数y=(x−ℎ)2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或 -5 B．-1或5 C．1或 -3 D．1或35．若二次函数y=a2x2−bx−c的图象，过不同的六点A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)、D(√2,y1)、E(2,y2)、F(4,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y2<y3<y1D．y2<y1<y36．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：x …0 3 4 …y … 2 -1 2 …则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（）A．0或4 B．1或3 C．-1或1 D．无实根7．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+ √2B．1﹣√2C．√2﹣1 D．1﹣√2或1+ √28．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①abc＞0；②9a+c＞3b；③4a+b=0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．请写出一个开口向下，对称轴为直线x=1，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的解析式．10．若（2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是直线。
人教版数学九年级上册第22章《二次函数》培优检测题(解析版)
•选择题1.2.3.4.5. 《二次函数》培优检测题二次函数y= x2- 2x的顶点坐标是（A.( 1,1)B. (1,- 1) 已知抛物线y = x2-( 2m- 1) x+2n i 大，则抛物线的顶点在（A.第一象限把函数y=的图象（A.B.C.D.C. (- 1,- 1)D. (- 1, 1) 的顶点为A,当-3 v x v 2时，y随x的增大而增B.第二象限C.第三象限D.第四象限向左平移向左平移向右平移向右平移：>2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数1个单位,1个单位,1个单位,1个单位,再向下平移再向上平移再向上平移再向下平移已知两点A (- 6, yj, B (2, y2)是该抛物线的顶点，若y o> y1> y2, A. x o v- 6 B. x o v- 2个单位个单位个单位个单位y「(x- 1) 2+1均在抛物线y= ax2+bx+c (a* 0)上，点C (X o, y°) 则X o的取值范围是（C.- 6 v x o v- 2D.- 2 v x o v 2y= x2- 2x - 3的图象与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,则下列说如图，二次函数B./ OC R 45°C. 当x > 3时,D. 当x > 0时, y随x的增大而减小图象上两点(x i, y i), (X2, y2)满足x i<X2< 1,则y i>y2；④当1<x< 3 时，x + (b- 1)x+c< 0.其中正确的有（）个.D. 1&二次函数y= ax2+bx+c （a* 0）,经过点（1.0 ）,对称轴I如图所示，若M= a+b- c, N=)个.D. 39. 已知二次函数y= ax2+bx+c （a*0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）10. 如图是二次函数 y = ax 2+bx +c 的部分图象，图象过点 A (- 3, 0),对称轴为直线x =-1, 给出四个结论：① b 2> 4ac ：②3a +c = 0③2a +b = 0④若点B(-§, y i ), C (-丄，y ?)2 2为函数图象上的两点，贝Uy i v y 2，其中正确结论是()二.填空题11. _______________________________________ 抛物线y = . (x +3) 2+4的对称轴是 . 12. ________________________________________________________________________ 二次函数y = x 2- 2mx"1在x < 1时y 随x 增大」而减小，则 m 的取值范围是 _________________ . 13.点P (2, 17)为二次函数y = ax 2+4ax +5图象上一点，其对称轴为 I ，则点P 关于I 的对称点的坐标为 _________ . 14. 若点A 「- 3，n )、B(mn )在二次函数y = a(x +2)2+h 的图象上，则m 的值为 _______ .15•利用计算机中“几何画板”软件面出的函数 y = x 2(x - 3)和y = x - 3的图象如图所示.根 据图象可知方程x 2 (x - 3) = x - 3的解的个数为3个，若m n 分别为方程x 2 (x - 3)A. abc v 0B. b 2- 4ac v 0C. a - b +c v 0D. 2a +b = 0C.①③D.②④16. 若二次函数y = ax1 2-bx+5(a^ 5)的图象与x轴交于(1,0)，则b- a+2014的值是 __________ .17. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件•则商场按___________ 元销售时可获得最大利润.18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-( x- h) 2+2 ( h表示常数，且h> 0)的顶点为M函数图象与x轴负半轴交于点A,将此抛物线绕坐标原点O旋转180°得到的抛物线顶点为N,函数图象与x轴正半轴交于点B.则四边形MANE的面积表示为(用含h的代数式表示)三.解答题19. 设二次函数y= m£+nx-( m- n) (m n是常数，m^0).1 请求出m的值；2 某同学根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该二次函数图象的一部分，请观察图象直接写出当y>0时，x的取值范围；(1 )判断该二次函数图象与x轴交点•:的个数，并说明理由；(2)若该二次函数图象经过点A(2, 3), B( 1, 4),求该二次函数图象与x轴的交点坐标.2(3)求出这个二次函数的解析式(也称为函数关系式)21 •某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y (件)与售价x(元)的相关信息如下:售价x (元) 60708090销售量y (件) 280260240220(1) _________________________________________________________ 试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是___________________________________ (填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”)，求这个函数关系式；(2) _______________ 当售价为______________________________________ 元时，当月的销售利润最大，最大利润是 ____ 元；(3) 若获利不得高于进价的80%那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？22. 如图，已知二次函数y = ax2+bx-4的图象M经过A (- 1, 0) , C( 2,- 6)两点，顶点为P.(1 )求该二次函数的解析式和顶点P的坐标(2)设图象M的对称轴为I，点D( m n) (- 1v R K 2)是图象M上一动点，当△ ACD的面积•「为时，点D关于I的对称点为E,能否在图象M和I上分别找到点P, Q使口得以点D E、P、Q为顶点的是四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，23. 如图，抛物线y=- x2+bx+c过等腰Rt△ OAB勺A, B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A (0, 3).(1 )求b, c的值.(2) P是AB上方抛物线上的一点，作PQLAB交“0B于点Q,连结AP,是否存在点P,使四边形APQOI平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2324. 如图①，抛物线y=- x2< x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交£于点C,连接BC(1)过点A且平行于BC的直线交于y轴于点D,求AD的解析式；(2)如图②，P是直线BC上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴I上有一动点M 在x轴上有一动点N,连接PM MN当厶PAD勺面积最大时，求PMMN^BN的最小值；5(3)如图③，Q为直线AD与抛物线的另一个交点，E为抛物线上一动点，F为抛物线的对称轴I上的一动点，是否存在E、F两点，使得以A、Q E、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.團①團②團③参考答案一•选择题2 21 解：••• y= X - 2x=( x- 1) - 1,•••二次函数y= X2+4X的顶点坐标是：(1, - 1),故选：B.2. 解：T y= x2-( 2m- 1) x+2n i- 1•••对称轴为x=-厶」丄=二^-，且抛物线开口向上，2 2•••当x>上」-时，y随x的增大而增大，2•••当-3 v x v 2时，y随x的增大而增大，•••亘一w- 3，解得me -',2 2•2nrl v o 站二b? = 4) -(2inT ) ' =( )2-> o'' - ” ，•抛物线的顶点在第二象限，故选：B.3. 解：抛物线y =- *2的顶点坐标是(0, 0),抛物线线y =-寺(x- 1) 2+1的顶点坐标是(1, 1),所以将顶点(0, 0)向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点(1, 1),即将函数y=- ,：x2“的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y =- ,： (x -1) 2+1的图象.故选：C.4. 解：•••点C( X。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试卷(附答案)
12.若实数A、B满足A+B2=2，则A2+5B2的最小值为_____．
13.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点Q，使得C D平分∠A CQ，请求出点Q 坐标；
（3）在直线C D的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交C D于点G，以NG为直径画圆在直线C D上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？
（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段C D上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
（满分120分，考试用时120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共9小题）
1.对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A.图象的开口向下B.函数的最大值为1
C.图象的对称轴为直线x=﹣2D.当x＜2时y随x的增大而减小
2.抛物线y=﹣3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A.8Cm2B.9Cm2C.16Cm2D.18Cm2
6.在抛物线y＝Ax2－2Ax－3A上有A(－0.5，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）
人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷含答案
人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷含答案一、选择题（共8题；共24分）1.二次函数y=x2-2x+3顶点坐标是（）A. （-1，-2）B. （1，2）C. （-1，2）D. （0，2）2.已知抛物线y=(x−4)2-3与y轴交点的坐标是（）A. （0，3）B. （0，-3）C. （0，）D. （0，-）3.二次函数y= 的图象（）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位4.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（）A. y=2(x-1)2-3B. y=2(x-1)2+3C. y=2(x+1)2-3D. y=2(x+1)2+35.已知二次函数的图象如下图所示，则四个代数式，，，中，值为正数的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④7.已知一次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；第 1 页共43 页②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（）A. b2＞4acB. ax2+bx+c≥-6C. 若点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则m＞nD. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1二、填空题（共10题；共30分）9.若抛物线的开口向上，则的取值范围是________．10.抛物线的顶点坐标是________．11.若A（，），B（，），C（1，）为二次函数y= +4x﹣5的图象上的三点，则、、的大小关系是________．12.抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：________．13.把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣m）2+k的形式是________．14.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．15.将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为________16.二次函数y=x2+（2m+1）x+（m2﹣1）有最小值﹣2，则m=________．17.若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________．18.抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件：（1）4a﹣b=0；（2）a﹣b+c＞0；（3）与x轴有两个第 2 页共43 页交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③ac= b2；④ ＜a＜．则其中正确结论的序号是________．三、解答题（共9题；共66分）19.如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．20.已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．21.直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图像指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．（1）求点B、点D的坐标，（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．第 3 页共43 页23.某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？24.已知，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线第 4 页共43 页的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴FG=2 DQ，求点F的坐标．的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若26.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．27.已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得△A1PM第 5 页共43 页（1）画出△A1PM（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．第 6 页共43 页参考答案一、单选题1.B2.C3.C4.C5.A6.D7.C8.C二、填空题9.a＞2 10.（0，-1）11.＜＜12.y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）13.y=﹣2（x﹣1）2+5 14.直线x=2 15.16.17.1 18.①三、解答题19.解：设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）20.解：（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．21.解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a= ，∴抛物线m的解析式为y= （x﹣3）（x﹣8），即y= x2﹣x+6；函数图像如下：第7 页共43 页当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．22.解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵与x轴交于点A（3，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3∴B点坐标为（﹣1，0），D点坐标为（0，3）；（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），∴AD==3，CD==，AC==2，∴AD2+CD2=（3）2+（）2=20=（2）2=AC2，∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，∴S△ACD =AD•CD=×3×=3．23.解：（1）当30＜x≤40时，设此段的函数解析式为：y=kx+b，解得，k=﹣3，b=156∴当30＜x≤40时，函数的解析式为：y=﹣3x+156；当40＜x≤80时，设此段函数的解析式为：y=mx+n，解得，m=，n=56，∴当40＜x≤80时，函数的解析式为：y=；第8 页共43 页当80＜x≤83时，y=16；由上可得，y与x之间的函数关系式是：y=；（2）当30＜x≤40时，w=（x﹣28）y=（x﹣28）（﹣3x+156）=﹣3x2+240x﹣4368=﹣3（x﹣40）2+432∴当x=40时取得最大值，最大值为w=432元；当40＜x≤80时，w=（x﹣28）y=（x﹣28）（）==，∴当x=70时，取得最大值，最大值为w=882元；当80＜x≤83时，w=（x﹣28）×16∴当x=83时，取得最大值，最大值为w=880元；由上可得，当x=70时，每日点的销售利润最大，最大为882元，即要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元．24.（1）由A（-3，0）和B（2，0），得：即= ax²+bx+4∴∴∴.（2）易得C（0,4），则BC= .第9 页共43 页由可对称轴为x= ,则可设点G的坐标为，∵点D是BC的中点∴点D的坐标为，由旋转可得，DG=DB∴……………∴………∴点G的坐标为或（3）①当BE为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与AC 的交点或对称轴对BC的交点，F为点D关于x轴的对称点，设，∵C，A，∴，∴，∴，∴当时，，∴D，第10 页共43 页∴F；易得∴当时，y=5，∴D，∴F；②当BE为菱形的边时，有DF∥BEI)当点D在直线BC上时设D，则点F∵四边形BDFE是菱形∴FD=DB根据勾股定理得，整理得：=0，解得：，∴F或II）当点D在直线AC上时设D，则点F∵四边形BFDE是菱形，∴FD=FB ，第11 页共43 页第 12 页 共 43 页根据勾股定理得，整理得：，解得：(舍去)，∴F，综上所述，点F 的坐标分别为：，，，，.25.（1）解：当y=0时，﹣x 2﹣2x+3=0，解得x 1=1，x 2=﹣3，则A （﹣3，0），B （1，0）；当x=0时，y=﹣x 2﹣2x+3=3，则C （0，3）； （2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣1， 设M （x ，0），则点P （x ，﹣x 2﹣2x+3），（﹣3＜x ＜﹣1）， ∵点P 与点Q 关于直线=﹣1对称， ∴点Q （﹣2﹣x ，﹣x 2﹣2x+3）， ∴PQ=﹣2﹣x ﹣x=﹣2﹣2x ，∴矩形PMNQ 的周长=2（﹣2﹣2x ﹣x 2﹣2x+3）=﹣2x 2﹣8x+2=﹣2（x+2）2+10， 当x=﹣2时，矩形PMNQ 的周长最大，此时M （﹣2，0）， 设直线AC 的解析式为y=kx+b ， 把A （﹣3，0），C （0，3）代入得，解得，∴直线AC 的解析式为y=3x+3， 当x=﹣2时，y=x+3=1， ∴E （﹣2，1），∴△AEM 的面积= ×（﹣2+3）×1= ；（3）解：当x=﹣2时，Q （0，3），即点C 与点Q 重合，当x=﹣1时，y=﹣x 2﹣2x+3=4，则D （﹣1，4）， ∴DQ== ， ∴FG=2DQ=2×=4，设F（t，﹣t2﹣2t+3），则G（t，t+3），∴GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t，∴t2+3t=4，解得t1=﹣4，t2=1，∴F点坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．26.解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），则据题意得：，解得：，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣x2+ x+1，∵y=﹣（x﹣4）2+ ，∴飞行的最高高度为米27.（1）解：如图所示：△A1PM，即为所求；（2）解：过点M作MD⊥AB于点D，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，∴MD=2，设AN=x，则BN=4﹣x，故四边形NMCP的面积为：y= ×4×4﹣x×2﹣x×（4﹣x）= x2﹣3x+8第13 页共43 页= （x﹣3）2+ ，故y的最小值为：第14 页共43 页人教新版九年级上册数学第22章二次函数单元训练试题含答案一．选择题（共15小题）1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝2x+1 B．y＝2x（x+1）C．y ＝D．y＝（x﹣2）2﹣x22．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝﹣2（x﹣2）2+4C．y＝2（x+2）2﹣4 D．y＝2（x﹣2）2﹣44．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A ．B ．第15 页共43 页C ．D ．5．已知点（﹣2，y1），（﹣5.4，y2），（1.5，y3）在抛物线y＝2x2﹣8x+m2的图象上，则y1，y2，y3大小关系是（）A．y2＞y1＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y2＞y3D．y3＞y2＞y16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．将二次函数y ＝x2+x﹣1化为y＝a（x+h）2+k的形式是（）A．y ＝B．y ＝（x﹣2）2﹣2C．y ＝（x+2）2﹣2 D．y ＝（x﹣2）2+29．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx第16 页共43 页﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤410．如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边AB＝x米，面积为S平方米，则下面关系式正确的是（）A．S＝x（40﹣x）B．S＝x（40﹣2x）C．S＝x（10﹣x）D．S＝10（2x﹣20）11．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．2 B．2或C．2或或D．2或或12．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点的横坐标是a，且3＜a＜4，则关于x的方程﹣x2+2x+m＝0的解在什么范围内（）A．0＜x1＜1，3＜x2＜4 B．﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4C．﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4 D．﹣4＜x1＜﹣3，3＜x2＜413．若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（）A ．有最大值．B ．有最大值﹣．C ．有最小值．D ．有最小值﹣．14．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤415．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）第17 页共43 页A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5二．填空题（共5小题）16．函数y＝ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为．17．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．18．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）19．已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝．20．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h＝10t﹣5t2，则小球运动到的最大高度为米．三．解答题（共5小题）21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？22．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．（1）写出y与x的函数关系式；（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）23．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．第18 页共43 页第 19 页 共 43 页（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？24．已知，抛物线y ＝﹣x2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，点O 是原点，点A 的坐标为（4，0），以OA 为一边，在第一象限作等边△OAB ． （1）求点B 的坐标；（2）求经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式； （3）直线y ＝x 与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C ，求点C 的坐标；（4）在（3）中，直线OC 上方的抛物线上，是否存在一点D ，使得△OCD 的面积最大？如果存在，求出点D 的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由．第20 页共43 页参考答案一．选择题（共15小题）1．解：A、y＝2x+1是一次函数，故A错误；B、y＝2x（x+1）是二次函数，故B正确；C、y ＝不是二次函数，故C错误；D、y＝（x﹣2）2﹣x2是一次函数，故D错误；故选：B．2．解：A 、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误；B 、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y＝ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；C 、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确；第21 页共43 页D 、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误；故选：C．3．解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），∴设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，把（0，﹣4）代入得a＝﹣2，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．故选：B．4．解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD＝∠A，∴∠AOD＝∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝t，∴S△OCD ＝×OD×CD＝t2（0≤t≤3），即S ＝t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；故选：D．5．解：对称轴为x ＝﹣＝2，因为﹣5.4＜﹣2＜1.5＜2，所以y2＞y1＞y3．第22 页共43 页6．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x ＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．7．解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；③∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，第23 页共43 页∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣2和x＝0时的函数值相等，即x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选：C．8．解：y ＝x2+x﹣1＝（x+2）2﹣2．故选：C．9．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y ＝t的交点的横坐标，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．10．解：∵AB＝x米，∴BC＝40﹣2x米，∴S＝x（40﹣2x）．故选：B．第24 页共43 页11．解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m ＝﹣（舍），当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m ＝﹣；当m＞1，x＝1时，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述：m 的值为﹣或2，故选：B．12．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，且与x轴的一个交点的横坐标是a满足3＜a＜4，∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在﹣2和﹣1之间，∴关于x的方程﹣x2+2x+m＝0的解的范围是﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4，故选：C．13．解：∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0且a＜0，∴﹣1＜a＜0，∴二次函数y＝ax2﹣ax 有最大值﹣，故选：B．14．解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当22﹣4（k﹣3）≥0，k≤4即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．综上k的取值范围是k≤4．故选：D．15．解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，第25 页共43 页x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．二．填空题（共5小题）16．解：当a＝0时，函数为：y＝3x+1，图象为直线，与x 轴有且只有一个交点（﹣，0）；当a≠0时，函数为：y＝ax2﹣ax+3x+1，图象为抛物线，△＝（3﹣a）2﹣4•a•1＝a2﹣10a+9；当△＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，此时a＝1或9；若a＝1，抛物线为y＝x2+2x+1，图象与x轴有且只有一个交点（﹣1，0）；若a＝9，抛物线为y＝9x2﹣6x+1，图象与x 轴有且只有一个交点（，0）．故当a＝0，交点坐标（﹣，0）；当a＝1，交点坐标（﹣1，0）；当a＝9，交点坐标（，0）．17．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．故应填：y＝x2+6x．18．解：由二次函数y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x ＝2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y2．故答案为：＜．19．解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0），∴a﹣1+c＝0，∴a+c＝1，故答案为1．20．解：∵h＝10t﹣5t2＝﹣5（t﹣1）2+5，又∵﹣5＜0，∴t＝1时，h有最大值，最大值为5，第26 页共43 页故答案为5．三．解答题（共5小题）21．解：依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．22．解：（1）设每个降价x（元），每天销售y（个），y与x的函数关系式为：y＝300+20x；故答案为：y＝300+20x；（2）由题意可得，W与x的函数关系式为：W＝（300+20x）（60﹣40﹣x）＝﹣20x2+100x+6000．23．解：（1）设y＝kx+b，将x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，得，解得，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560；（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，整理，得x2﹣10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6．∵3.5≤x≤5.5，∴x＝4．答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；第27 页共43 页（3）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝﹣80x2+800x﹣1760＝﹣80（x﹣5）2+240，∵3.5≤x≤5.5，∴当x＝5时，w有最大值为240．故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．24．解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，如图1所示．当y＝0时，有﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0）．∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y＝kx+d中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）．（3）设点M的坐标为（1，m），则CM＝，AC＝＝，AM＝．分三种情况考虑：①当∠AMC＝90°时，有AC2＝AM2+CM2，即10＝1+（m﹣3）2+4+m2，解得：m1＝1，m2＝2，第28 页共43 页∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）；②当∠ACM＝90°时，有AM2＝AC2+CM2，即4+m2＝10+1+（m﹣3）2，解得：m ＝，∴点M的坐标为（1，）；③当∠CAM＝90°时，有CM2＝AM2+AC2，即1+（m﹣3）2＝4+m2+10，解得：m ＝﹣，∴点M的坐标为（1，﹣）．综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，﹣）．25．解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，∵△OAB是等边三角形，∴OE＝2，BE＝2，∴点B的坐标为（2，2）；（2）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2）是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，第29 页共43 页当x＝0时，y＝0，∴0＝a（0﹣2）2+2，∴a ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x﹣2）2+2，即：y ＝﹣x2+2x；（3）设点C的横坐标为x ，则纵坐标为x，即点C的坐标为（x ，x ）代入抛物线的解析式得：x ＝﹣x2+2x，解得：x＝0或x＝3，∵点C在第一象限，∴x＝3，∴点C的坐标为（3，）；（4）存在．设点D的坐标为（x ，﹣x2+2x），△OCD的面积为S，如图2，过点D作DF⊥x轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（x ，x），作CM⊥DF于点M，则OF+CM＝3，DG ＝﹣x2+2x ﹣x ＝﹣x2+x，∴S＝S△OCD＝S△DGO+S△DGC ＝DG•OF +DG•CM ＝DG•（OF+CM ）＝DG×3＝（﹣x2+x）×3，∴S ＝﹣x2+x ＝﹣（x ﹣）2+，∴△OCD 的最大面积为，此时点D 的坐标为（，）．第30 页共43 页第31 页共43 页人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习题含答案一、选择题1.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3sB．第4.3sC．第5.2sD．第4.6s2.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞-3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是-2D．抛物线的对称轴是x =-3.已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为x m，圆柱的侧面积为y m2，则y与x的函数关系式为（）A．y=-2πx2+18πxB．y=2πx2-18πxC．y=-2πx2+36πxD．y=2πx2-36πx4.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A．60m2B．63m2第32 页共43 页C．64m2D．66m25.已知抛物线y=ax2+bx+c过（1，-1）、（2，-4）和（0，4）三点，那么a、b、c的值分别是（）A．a=-1，b=-6，c=4B．a=1，b=-6，c=-4C．a=-1，b=-6，c=-4D．a=1，b=-6，c=46.二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）C．抛物线的对称轴是直线x=1D．抛物线与x轴有两个交点7.抛物线y=-2x2的对称轴是（）A．直线x =B．直线x =-C．直线x=0D．直线y=08.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（）A．（-4，-3）B．（-3，-3）第33 页共43 页C．（-3，-4）D．（-4，-4）二、填空题9.在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1=a1（x+h1）2+k1与y2=a2（x+h2）2+k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y=（x+1）2-1与y=（x-1）2+3互为梦函数，写出二次函数y=2（x+3）2+2的其中一个梦函数_____________________．10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k__________时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.已知函数y=（m-2）x2-3x+1，当________时，该函数是二次函数；当_______时，该函数是一次函数．12.抛物线y=2x2-4x-6与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．有下列说法：①抛物线的对称轴是x=1；②A、B两点之间的距离是4；③△ABC的面积是24；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中，说法正确的是_________________．（只需填写序号）13.如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________________．14.观察下表：第34 页共43 页则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时一个近似根是______，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是_______．15.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点和点（-2，0），则2a-3b______0．（＞、＜或=）16.如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=_____________．三、解答题17.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式；（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？第35 页共43 页18.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？19.已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），当a，b，c满足什么条件时，（1）它是二次函数？（2）它是一次函数？（3）它是正比例函数？20.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y=-x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．21.已知二次函数y=-x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．第36 页共43 页第二十二章《二次函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．∵4.6s最接近4.5s，∴当4.6s时，炮弹的高度最高．2.【答案】D【解析】将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、-=-，当x≥-时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=(x +)2-，二次函数的最小值是-，C不正确；D、-=-，抛物线的对称轴是x =-，D正确．3.【答案】C【解析】根据题意，矩形的一条边长为x m，则另一边长为（36-2x）÷2=18-x（m），则圆柱体的侧面积y=2πx（18-x）=-2πx2+36πx．4.【答案】C【解析】设BC=x m，则AB=（16-x）m，矩形ABCD面积为y m2，根据题意得y=（16-x）x=-x2+16x=-（x-8）2+64，当x=8m时，y max=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．5.【答案】D【解析】根据题意，得，第37 页共43 页解得．6.【答案】D【解析】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．7.【答案】C【解析】对称轴为y轴，即直线x=0．8.【答案】A【解析】令y=0，可得x=3或x=-1，∴A点坐标为（-1，0）；D点坐标为（3，0）；令x=0，则y=-3，∴C点坐标为（0，-3），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AD=BC=4，∴B点的坐标为（-4，-3）．9.【答案】y=2（x-3）2+2（答案为不唯一）．【解析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，可|a1|=a2，h1与h2互为相反数,二次函数y=2（x+3）2+2的一个梦函数是y=2（x-3）2+2.10.【答案】＜2【解析】由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，因此当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.【答案】m≠2；m=2【解析】y=（m-2）x2-3x+1，当m≠2时，该函数是二次函数；当m=2时，该函数是一次函数．12.【答案】①②④【解析】①抛物线y=2x2-4x-6的对称轴是直线x =-=1，故①正确；②2x2-4x-6=0，解得x=-1或3，所以AB=4；故②正确；③∵AB=4，C（0，-6），∴S△ABC =×4×6=12，故③错误；④∵抛物线y=2x2-4x-6的开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大；∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确，所以正确的第38 页共43 页是①②④．13.【答案】（1+，2）或（1-，2）【解析】∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=-x2+2x+3中，令y=2，可得-x2+2x+3=2，解得x =1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1-，2）.14.【答案】2.7；-0.7【解析】∵x=2.7时，y=-0.11；x=2.8时，y=0.24，∴方程的一个根在2.7和2.8之间，又∵x=2.7时的y值比x=2.8更接近0，∴方程的一个近似根为2.7；∵此函数的对称轴为x=1，设函数的另一根为x ，则=1，解得x=-0.7．15.【答案】＞【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线经过原点和点（-2，0），∴对称轴是x=-1，又对称轴x =-，∴-=-1，b=2a．∴2a-3b=2a-6a=-4a＞0．16.【答案】4【解析】根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4．17.【答案】解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），∴2=a（0-6）2+2.6，解得a =−，故y与x的关系式为y =-（x-6）2+2.6；（2）当x=9时，y =−（x-6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；第39 页共43 页当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，解得x1=6+2＞18，x2=6-2（舍去），故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时二次函数解析式为y =−（x-6）2+，此时球若不出边界h ≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时球要过网h ≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h ≥．【解析】（1）利用h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出即可；（2）利用当x=9时，y =-（x-6）2+2.6=2.45，当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，分别得出即可；（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），第40 页共43 页抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．18.【答案】解：（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得，∴抛物线的解析式为y =-t2+5t +，∴当t =时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y =-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【解析】（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5），（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为y =-t2+5t +，当t =时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y =-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．19.【答案】解：（1）当a≠0时，y=ax2+bx+c是二次函数；（2）当a=0，b≠0，c≠0时，y=ax2+bx+c是一次函数；（3）当a=0，b≠0，c=0时，y=ax2+bx+c是正比例函数．【解析】（1）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案；（2）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项不等于零是一次函数，可得答案；（3）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项等于零是正比例函数，可得答案．20.【答案】解：∵将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到y=mx2+n-6，∴m=-1，n-6=3，∴n=9，∴原抛物线y=-x2+9，∴顶点P（0，9），令y=0，第41 页共43 页。
人教版九(上)数学第二十二章二次函数培优测试卷(附答案)
人教版九（上）数学第二十二章二次函数培优测试卷（附答案）一．选择题1．下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣x2+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝2．抛物线y＝4（x+3）2+12的顶点坐标是（）A．（4，12）B．（3，12）C．（﹣3，12）D．（﹣3，﹣12）3．关于抛物线y1＝（2+x）2与y2＝（2﹣x）2的说法，不正确的是（）A．y1与y2的顶点关于y轴对称B．y1与y2的图象关于y轴对称C．y1向右平移4个单位可得到y2的图象D．y1绕原点旋转180°可得到y2的图象4．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣4，0），（6，0），则抛物线的对称轴是（）A．1 B．直线x＝1 C．2 D．直线x＝25．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析y ＝x2﹣2x+1，则b与c分别等于（）A．2，﹣2 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，187．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）第 1 页共57 页A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒8．若函数y＝（a﹣3）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的和为（）A．7 B．10 C．12 D．159．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③9a+c＞3b；④5a+2c＞0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．知：如图抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则这条抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2xB．y＝﹣x2xC．y ＝﹣x2xD．y＝﹣x2﹣x第 2 页共57 页E．故函数的表达式为：y＝﹣x2x二．填空题（共6小题）11．抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为．12．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过s，火箭到达它的最高点．13．已知点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是．14．若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝．15．开口向下的抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，当抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界）内，仅有4个整数点（整数点就是横、纵坐标均为整数的点）时，a的取值范围是．16．将二次函数y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是．三．解答题17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值第 3 页共57 页18．若抛物线上y＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），1P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？19．已知二次函数y＝x2﹣2ax+4a+2．（1）若该函数与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该函数与x轴的另一交点坐标；（2）不论a取何实数，该函数总经过一个定点，①求出这个定点坐标；②证明这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．第 4 页共57 页20．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．21．血橙以果肉酷似鲜血的颜色而得名，果实一般在1月下旬成熟，由于果农在生产实践中积累了丰富的经验，采取了留树保鲜技术措施，将鲜果供应期拉长到了5月初．重庆市万州区孙家村晚熟柑橘以血橙为主，主要销售市场是成都、重庆市区、万州城区，据以往经验，孙家村上半年1﹣5月血橙的售价y（元/千克）与月份x之间满足一次函数关系y＝x+2.5（1≤x≤5，且x是整数）．其销售量P（千克）与月份x之间的函数关系如图．第 5 页共57 页（1）请你求出月销售量P（千克）与月份x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（2）血橙在上半年1﹣5月的哪个月出售，可使销售金额W（元）最大？最大金额是多少（3）由于气候适宜以及留树保鲜技术的提高，预计该产区今年5月将收获60000千克的血橙，由于人力、物力等各方面成本的增加，孙家村决定，将5月的销售价格提高a%，当以提高后的价格销售50000千克血橙后，由于保存技术的限制，剩下的血橙制成一种新型研发出的果肉饼进行销售，每千克的血橙可生产0.8千克果肉饼，果肉饼的售价格在血橙提高后的价格的基础上将再提高a%，最后该产区将这批果肉饼全部售完后，血橙和果肉饼的销售总金额达到了480000元．求a的值．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0），分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）求点D的坐标．（2）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．①求该抛物线的解析式；第 6 页共57 页②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．23．如图1．已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A（2，）直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①如图2，点P是抛物线L上的一个动点，过点P作PM⊥l于点M，试判断PM与PF 之间的数量关系，并说明理由；②将抛物线L和点F都向右平移2个单位后，得到抛物线L1和点F1，Q是抛物线L1上的一动点，且点Q在L1的对称轴的右侧，过点Q作QN⊥l于点N，连接QA．求|QA﹣QN|的最大值，并直接写出此时点Q的坐标．第7 页共57 页第 8 页 共 57 页参考答案一．选择题1．解：A 、是二次函数，故本选项符合题意；B 、当a ＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；C 、不是二次函数，故本选项不符合题意；D 、不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．2．解：∵抛物线y ＝4（x +3）2+12，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，12），故选：C ．3．解：∵抛物线y 1＝（2+x ）2＝（x +2）2，∴抛物线y 1的开口向上，顶点为（﹣2，0），对称轴为直线x ＝﹣2； 抛物线y 2＝（2﹣x ）2＝（x ﹣2）2，∴抛物线y 2的开口向上，顶点为（2，0），对称轴为直线x ＝2；∴y 1与y 2的顶点关于y 轴对称，∴它们的对称轴相同，y 1与y 2的图象关于y 轴对称，y 1向右平移4个单位可得到y 2的图象，∵y 1绕原点旋转180°得到的抛物线为y ＝﹣（x +2）2，与y 2开口方向不同， ∴关于抛物线y 1＝（2+x ）2与y 2＝（2﹣x ）2的说法，不正确的是D ， 故选：D ．4．解：∵抛物线与x 轴的交点为（﹣4，0），（6，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x＝＝1，即x ＝1．故选：B ．5．解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，排除B 、C ；当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D ；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选：A．6．解：∵得到函数解析y＝x2﹣2x+1∴y＝（x﹣1）2∴将新二次函数y＝（x﹣1）2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6又∵y＝x2+bx+c∴b＝﹣6，c＝6故选：C．7．解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，又∵﹣5＜0，∴抛物线开口向下，有最高点，此时，t＝﹣＝2．故选：B．8．解：当a﹣3≠0且△＝4a2﹣4×（a﹣3）（a﹣）≥0，解得a＞且a≠3，当a﹣3＝0，函数为一次函数，它与x轴有一个交点，所以a＞，解两个不等式得，因为不等式组无解，所以a≤5，所以a的范围为＜a≤5，所以满足条件的a的值为0，1，2，3，4，5所以所有满足条件的整数a之和为0+1+2+3+4+5＝15．故选：D．9．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，第9 页共57 页∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣4a，∴4a+b＝0，所以②正确；∵x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，所以③错误；把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，而b＝﹣4a，∴c＝﹣5a，∴5a+2c＝5a﹣10a＝﹣5a＞0，所以④正确．故选：B．10．解：如下图所示，OA＝，∠ABD＝60°，则OB ＝＝1，过点B（﹣1，0），∵四边形ABDE平行四边形，则∠AED＝∠ABD＝60°，OH＝OA＝，同理可得：HE＝1＝AH，过点E（2，），第10 页共57 页将点B、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2x故选：B．二．填空题11．解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1，故答案为：x＜1．12．解：函数的对称轴为：t＝﹣＝﹣＝16，即经过16s，火箭到达它的最高点，故答案为16．13．解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，∴该函数开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，﹣1＜x＜2，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，当x＝﹣1时，y取得最大值，此时y＝（﹣1﹣1）2+2＝6，∴﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y≤6，故答案为：2≤y≤6．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝﹣1．故答案为﹣1．15．解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．第11 页共57 页当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．则，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．16．解：将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+1．故答案为：y＝2x2+1．三．解答题17．解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴解得：m＞﹣且m≠0．∵m＞且m≠0，m取其内的最小整数，∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∵1＞0，∴当x≤时，y随x的增大而减小．第12 页共57 页第 13 页 共 57 页又∵n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是﹣5≤y ≤1﹣n ， ∴n 2﹣3n ﹣3＝1﹣n ，1﹣3﹣3＝﹣5， 解得：n ＝1﹣．18．解：（1）k ＝4时，由交点式得y ＝a （x +1）（x ﹣4），（0，4）代入得a ＝﹣1， ∴y ＝﹣3x 2+3x +4， 则B （4，0），连OP ，设P （m ，﹣m 2+3m +4），S △BCP ＝S △OPB +S △OPB ﹣S △OBC＝＝﹣2（m ﹣2）2+8m ＝2时，最大值为8，∴P 的横坐标为2时有最大值．（2）a ＝1时，c ＝4，设y ＝x 2+bx +4，A （﹣1，0）代入得b ＝5， ∴y ＝x 2+5x +4．令y ＝0求得B （﹣4，0）， 则直线BC 方程为y ＝x +4，过P 作PH 平行于y 轴交直线BC 于H ， 设P （n ，n 2+5n +4）、H （n ，n +4），＝＝﹣2（n +2）2+8n ＝﹣2面积最大值为8，此时P 的横坐标为﹣2．（3）由（1）知，当面积最大时，P 的横坐标等于B 的横坐标的一半，由（2）知，面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半，故：可以推断，当面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半．19．解：（1）（﹣1，0）代入得0＝1+2a+4a+2，∴，∴y＝x2+x，∴另一交点为（0，0）．（2）①整理得y＝a（4﹣2x）+x2+2，令x＝2代入y＝6，故定点为（2，6），②∵y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2+（﹣a2+4a+2），顶点为（a，﹣a2+4a+2），而﹣a2+4a+2＝﹣（a﹣2）2+6，当a＝2时，纵坐标有最大值6，此时x＝2，y＝6，顶点（2，6），故定点（2，6）是所有顶点中纵坐标最大的点．20．解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a＝﹣，故函数的表达式为：y＝﹣（x﹣8）2+8，（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD＝2m，第14 页共57 页第 15 页 共 57 页则点A （8﹣m ，y ），则AB ＝y＝﹣（x ﹣8）2+8＝8﹣m 2， 设：w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB＝﹣m 2+2m +16，∵﹣＜0，故w 有最大值， 当m ＝4时，w 的最大值为20，故AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是20．21．解：（1）设P ＝kx +b ，将（1，70000），（5，50000）代入得：，解得∴P ＝﹣5000x +75000．（2）∵上半年1﹣5月血橙的售价y （元/千克）与月份x 之间满足一次函数关系y＝x +2.5（1≤x ≤5，且x 是整数）∴W ＝Py＝（﹣5000x +75000）（x +2.5） ＝﹣2500x 2+25000x +187500 ∴当x＝﹣＝5时，销售金额W （元）最大，最大金额是250000元．（3）设a %＝t ，5月份的销售价格y＝×5+2.5＝5由题意得：5（1+t ）×50000+（60000﹣50000）×0.8×5（1+t ）（1+）＝480000∴25（1+t ）+4（1+t ）（1+t ）＝48 ∴化简得：6t 2+35t ﹣19＝0 ∴（2t ﹣1）（3t +19）＝0 ∴t ＝50%或t＝﹣（舍）故a ＝50．22．解：（1）过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图1，∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DBF＝∠BAO，又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，在△AOB和△BFD中，，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，∴D的坐标是（3，1），（2）①根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，解得：b ＝，∴抛物线的解析式为y＝．②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，∴C （，1），∵C、D两点的纵坐标都为1，∴CD∥x轴，∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO与∠BCD互余，要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，设P的坐标为（x，），（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，第16 页共57 页则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得：x1＝0（舍去），，∴，∴点P的坐标为（）．（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3，则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得：x1＝0（舍去），，∴，∴P点坐标为（），综上所述，在抛物线上是否存在点P（）或，使得∠POB与∠BCD互余．第17 页共57 页（3）如图4，∵D（3，1），E（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，∴y＝ax2﹣4ax+3a+1．分两种情况：①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴3a+1＜0，解得a＜﹣；②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个．根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，∴，第18 页共57 页设Q（2a，﹣a）在直线OQ上，设直线OQ的解析式为y＝kx，∴k＝﹣，则直线OQ的解析式为y＝﹣x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，∴方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣x有两个不相等的实数根，∴，整理得：，解得：或（舍去），综上所示，a的取值范围为a＜﹣或．23．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2；（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切；第19 页共57 页（3）①设点P（m， m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，则AF′＝＝；将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），故点Q（6，4）；故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．第20 页共57 页人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习题含答案一、选择题1.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3sB．第4.3sC．第5.2sD．第4.6s2.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞-3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是-2D．抛物线的对称轴是x =-3.已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为x m，圆柱的侧面积为y m2，则y与x的函数关系式为（）A．y=-2πx2+18πxB．y=2πx2-18πxC．y=-2πx2+36πxD．y=2πx2-36πx4.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A．60m2B．63m2第21 页共57 页C．64m2D．66m25.已知抛物线y=ax2+bx+c过（1，-1）、（2，-4）和（0，4）三点，那么a、b、c的值分别是（）A．a=-1，b=-6，c=4B．a=1，b=-6，c=-4C．a=-1，b=-6，c=-4D．a=1，b=-6，c=46.二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）C．抛物线的对称轴是直线x=1D．抛物线与x轴有两个交点7.抛物线y=-2x2的对称轴是（）A．直线x =B．直线x =-C．直线x=0D．直线y=08.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（）A．（-4，-3）B．（-3，-3）第22 页共57 页C．（-3，-4）D．（-4，-4）二、填空题9.在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1=a1（x+h1）2+k1与y2=a2（x+h2）2+k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y=（x+1）2-1与y=（x-1）2+3互为梦函数，写出二次函数y=2（x+3）2+2的其中一个梦函数_____________________．10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k__________时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.已知函数y=（m-2）x2-3x+1，当________时，该函数是二次函数；当_______时，该函数是一次函数．12.抛物线y=2x2-4x-6与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．有下列说法：①抛物线的对称轴是x=1；②A、B两点之间的距离是4；③△ABC的面积是24；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中，说法正确的是_________________．（只需填写序号）13.如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________________．14.观察下表：第23 页共57 页则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时一个近似根是______，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是_______．15.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点和点（-2，0），则2a-3b______0．（＞、＜或=）16.如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=_____________．三、解答题17.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式；（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？第24 页共57 页18.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？19.已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），当a，b，c满足什么条件时，（1）它是二次函数？（2）它是一次函数？（3）它是正比例函数？20.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y=-x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．21.已知二次函数y=-x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．第25 页共57 页第二十二章《二次函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．∵4.6s最接近4.5s，∴当4.6s时，炮弹的高度最高．2.【答案】D【解析】将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、-=-，当x≥-时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=(x +)2-，二次函数的最小值是-，C不正确；D、-=-，抛物线的对称轴是x =-，D正确．3.【答案】C【解析】根据题意，矩形的一条边长为x m，则另一边长为（36-2x）÷2=18-x（m），则圆柱体的侧面积y=2πx（18-x）=-2πx2+36πx．4.【答案】C【解析】设BC=x m，则AB=（16-x）m，矩形ABCD面积为y m2，根据题意得y=（16-x）x=-x2+16x=-（x-8）2+64，当x=8m时，y max=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．5.【答案】D【解析】根据题意，得，第26 页共57 页解得．6.【答案】D【解析】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．7.【答案】C【解析】对称轴为y轴，即直线x=0．8.【答案】A【解析】令y=0，可得x=3或x=-1，∴A点坐标为（-1，0）；D点坐标为（3，0）；令x=0，则y=-3，∴C点坐标为（0，-3），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AD=BC=4，∴B点的坐标为（-4，-3）．9.【答案】y=2（x-3）2+2（答案为不唯一）．【解析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，可|a1|=a2，h1与h2互为相反数,二次函数y=2（x+3）2+2的一个梦函数是y=2（x-3）2+2.10.【答案】＜2【解析】由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，因此当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.【答案】m≠2；m=2【解析】y=（m-2）x2-3x+1，当m≠2时，该函数是二次函数；当m=2时，该函数是一次函数．12.【答案】①②④【解析】①抛物线y=2x2-4x-6的对称轴是直线x =-=1，故①正确；②2x2-4x-6=0，解得x=-1或3，所以AB=4；故②正确；③∵AB=4，C（0，-6），∴S△ABC =×4×6=12，故③错误；④∵抛物线y=2x2-4x-6的开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大；∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确，所以正确的第27 页共57 页是①②④．13.【答案】（1+，2）或（1-，2）【解析】∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=-x2+2x+3中，令y=2，可得-x2+2x+3=2，解得x =1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1-，2）.14.【答案】2.7；-0.7【解析】∵x=2.7时，y=-0.11；x=2.8时，y=0.24，∴方程的一个根在2.7和2.8之间，又∵x=2.7时的y值比x=2.8更接近0，∴方程的一个近似根为2.7；∵此函数的对称轴为x=1，设函数的另一根为x ，则=1，解得x=-0.7．15.【答案】＞【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线经过原点和点（-2，0），∴对称轴是x=-1，又对称轴x =-，∴-=-1，b=2a．∴2a-3b=2a-6a=-4a＞0．16.【答案】4【解析】根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4．17.【答案】解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），∴2=a（0-6）2+2.6，解得a =−，故y与x的关系式为y =-（x-6）2+2.6；（2）当x=9时，y =−（x-6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；第28 页共57 页当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，解得x1=6+2＞18，x2=6-2（舍去），故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时二次函数解析式为y =−（x-6）2+，此时球若不出边界h ≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时球要过网h ≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h ≥．【解析】（1）利用h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出即可；（2）利用当x=9时，y =-（x-6）2+2.6=2.45，当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，分别得出即可；（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），第29 页共57 页抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．18.【答案】解：（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得，∴抛物线的解析式为y =-t2+5t +，∴当t =时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y =-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【解析】（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5），（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为y =-t2+5t +，当t =时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y =-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．19.【答案】解：（1）当a≠0时，y=ax2+bx+c是二次函数；（2）当a=0，b≠0，c≠0时，y=ax2+bx+c是一次函数；（3）当a=0，b≠0，c=0时，y=ax2+bx+c是正比例函数．【解析】（1）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案；（2）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项不等于零是一次函数，可得答案；（3）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项等于零是正比例函数，可得答案．20.【答案】解：∵将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到y=mx2+n-6，∴m=-1，n-6=3，∴n=9，∴原抛物线y=-x2+9，∴顶点P（0，9），令y=0，第30 页共57 页则0=-x2+9，解得x=±3，∴A（-3，0），B（3，0），∴AB=6，∴S△PAB =AB•OP =×6×9=27．【解析】根据平移的性质得出y=mx2+n-6，根据题意求得m=-1，n=9，从而求得原抛物线的解析式，得出顶点坐标和与x轴的交点坐标，进而根据三角形面积求得即可．21.【答案】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0，∴m＞-1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=-9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=-x+3，∵抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，∴把x=1代入y=-x+3得y=2，∴P（1，2）．【解析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞-1；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=-x+3，把对称轴方程x=1，代入直线y=-x+3即可得到结果．第31 页共57 页人教版九年级数上册第22章：二次函数单元提优测试（附答案）一．选择题1．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2+bx+4＝0的根是（）A．x1＝x2＝200 B．x1＝0，x2＝400C．x1＝100，x2＝300 D．x1＝100，x2＝5003．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到4．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直1于y轴的直线l（x轴除外）与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（）第32 页共57 页A．0≤t＜2或10＜t≤12 B．0≤t≤2或10≤t≤12C．0≤t＜2或6＜t≤8 D．0≤t≤2或6≤t≤85．二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴的交点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y37．一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（）A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m8．二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，当x＝t时，y＞0，则x＝t+2时函数值（）A．c＜y＜0 B．y＜c C．y＞0 D．y＜09．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐第33 页共57 页标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之个间，以下结论：①abc＞0 ②b2﹣4ac＝0，③2a﹣b＝0，④a+b+c ＜0；⑤c﹣a＝3，其中正时的有（）个A．2 B．3 C．4 D．511．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜D．﹣2≤a＜012．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b第34 页共57 页。
【3套】人教版九年级数学上册《二次函数》单元测试(Word版有答案)
第 1 页 共 35 页人教版九年级数学上册《二次函数》单元测试（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分) 1.下列函数中，是二次函数的是( )A ．y ＝－2x 27 B ．y ＝1x 2 C ．y ＝2x 2－(2x ＋1)(x －1) D ．y ＝x 2－3x2．抛物线y ＝x 2＋1的图像大致是( )A B C D 3．抛物线y ＝(x －1)2＋2与y 轴的交点坐标为( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(1，2)D ．(0，3) 4．下列二次函数中，图像以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1 B ．y ＝(x ＋2)2＋1 C ．y ＝(x －2)2－3 D ．y ＝(x ＋2)2－3 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x ，y 的部分对应值如下表：则该二次函数图像的对称轴为( )A ．y 轴B ．直线x ＝52C ．直线x ＝2D ．直线x ＝326．二次函数y ＝x 2－x －2的图像如图所示，则函数值y ＜0时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．x ＞2C ．－1＜x ＜2D ．x ＜－1或x ＞27．将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是( )A ．y ＝(x ＋2)2＋1 B ．y ＝(x －2)2＋1 C ．y ＝(x ＋2)2－1 D ．y ＝(x －2)2－1 8．已知抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的一个交点为(m ，0)，则代数式m 2－m ＋2 020的值为( )第 2 页 共 35 页A ．2 018B ．2 019C ．2 020D ．2 021 9．下列四个函数图像中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是( )A B C D10．已知函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A(1，m)，B(3，m)．若点M(－2，y 1)，N(－1，y 2)，K(8，y 3)也在二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像上，则下列结论正确的是( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 2 11．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，对称轴是直线x ＝1，则下列四个结论错误的是( )A ．c ＞0B ．2a ＋b ＝0C ．b ＞0D ．a －b ＋c ＞13．在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图像的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y ＝5x 2－3x ＋4与y ＝4x 2－x ＋3的图像交点个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个14．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接第 3 页 共 35 页AC ，BC ，则tan ∠CAB 的值为( )A. 12B.55C.255D ．2 15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1 cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( )A ．20 cmB ．18 cmC ．25 cm D ．3 2 cm16．在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(2，－1)，若抛物线y ＝2(x －3)2＋k 与线段AB 有交点，且与y 轴相交于点C ，则下列四种说法，其中正确的是( )①当k ＝0时，抛物线y ＝2(x －3)2＋k 与x 轴有唯一公共点； ②当x ＞4时，y 随x 的增大而增大； ③点C 的纵坐标的最大值为2；④抛物线与x 轴的两交点的距离的最大值为 6.A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分)17．已知抛物线y ＝x 2＋x ＋p(p ≠0)与x 轴有且只有一个交点，则p ＝ ． 18．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过(1，2)和(－1，－6)两点，则a ＋c ＝ 19．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线y ＝ax 2(a ＜0)的图像上，则B 点的坐标为( )，a 的值为 ．三、解答题(本大题有7个小题，共66分)20．(本小题满分8分)已知二次函数y ＝－(x －2)2＋94.(1)写出这个函数的顶点坐标，与x 轴的交点坐标．第 4 页 共 35 页(2)在给定的坐标系中画出这个函数的图像.21．(本小题满分9分)已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)．(1)求抛物线的表达式．(2)设点D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积．22．(本小题满分9分)从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)之间的关系为h ＝18t －4t 2.(1)当t ＝2时，求小球距离地面的高度． (2)求出小球落地的时间．23．(本小题满分9分)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－2x ＋c(c 为常数)的对称轴如图所示，且抛物线过点C(0，c)．(1)当c ＝－3时，(x 1，y 1)在抛物线y ＝x 2－2x ＋c 上，求y 1的最小值．(2)若抛物线与x 轴有两个交点，自左向右分别为点A ，B ，且OA ＝12OB ，求抛物线的表达式．24．(本小题满分10分)某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？25．(本小题满分10分)如图，已知抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P(m，n)为第一象限内抛物线上的一点，点D的坐标为(0，6)．(1)OB＝4，抛物线的顶点坐标为( )．(2)当n＝4时，求点P关于直线BC的对称点P′的坐标．(3)是否存在直线PD，使直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．26．(本小题满分11分)某种植基地种植一种蔬菜，它的成本是每千克2元，售价是每千克3元，年销量为10(万千克)．基地准备拿出一定的资金作绿色开发，若每年绿色开发投入的资金为x(万元)，该种蔬菜的年销量将是原年销量的n倍，x与n的关系如下表：(1)猜想n与x之间的函数类型是函数，求出该函数的表达式并验证．(2)求年利润W1(万元)与绿色开发投入的资金x(万元)之间的函数关系式(注：年利润W1＝销售总额－成本费－绿色开发投入的资金)；当绿色开发投入的资金不低于3万元，又不超过5万元时，求此时年利润W1(万元)的最大值．第 5 页共35 页第 6 页 共 35 页(3)若提高种植人员的奖金，发现又增加一部分年销量，经调查发现：再次增加的年销量y(万千克)与每年提高种植人员的奖金z(万元)之间满足y ＝－z 2＋4z ，若基地将投入5万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使总年利润达到17万元且绿色开发投入大于奖金投入？(2≈1.44) 答案一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分)二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分) 17．p ＝14．18．a ＋c ＝－2. 19．(2，－2)，－3三、解答题(本大题有7个小题，共66分)20．解：(1)顶点坐标为(2，94)，与x 轴的交点坐标为(12，0 )，(72，0 )．(2)图像如图所示． 21．解：(1)把点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得第 7 页 共 35 页⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.(2)把x ＝－2代入y ＝x 2－2x －3，得y ＝5.∴D(－2，5)． ∵A(3，0)，∴OA ＝3.∴S △AOD ＝12×3×5＝152.22．解：(1)当t ＝2时，h ＝18×2－4×22＝20. ∴当t ＝2时，小球距离地面的高度为20米．(2)令h ＝0，则18t －4t 2＝0，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝4.5. ∴小球落地的时间是4.5秒． 23．解：(1)当c ＝－3时，y ＝x 2－2x －3. ∵抛物线开口向上，有最小值．∴y 1的最小值为4ac －b 24a ＝4×1×（－3）－（－2）24＝－4.(2)①当点A ，B 都在原点的右侧时，设A(m ，0)， ∵OA ＝12OB ，∴B(2m ，0)．∵二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的对称轴为直线x ＝1，由二次函数的对称性，得1－m ＝2m －1.解得m ＝23.∴A(23，0)．∵点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋c 上，∴0＝49－43＋c ，解得c ＝89.此时抛物线的表达式为y ＝x 2－2x ＋89.②当点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧时，设A(－n ，0)，∵OA ＝12OB ，且点A ，B 在原点的两侧，∴B(2n ，0)．由抛物线的对称性，得n ＋1＝2n －1.解得n ＝2.∴A(－2，0)． ∵点A 在抛物线上y ＝x 2－2x ＋c 上， ∴0＝4＋4＋c ，解得c ＝－8.第 8 页 共 35 页此时抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －8.综上，抛物线的表达式为y ＝x 2－2x ＋89或y ＝x 2－2x －8.24．解：(1)根据题意，得y ＝60＋10x. 由36－x ≥24，得x ≤12. ∴1≤x ≤12，且x 为整数．(2)设所获利润为W ，则W ＝(36－x －24)(10x ＋60)＝－10x 2＋60x ＋720＝－10(x －3)2＋810.∴当x ＝3时，W 取最大值，最大值为810. 而36－3＝33.答：超市定价每箱牛奶33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元． 25．(1)OB ＝4，抛物线的顶点坐标为(32，254)．解：(2)连接CP.当n ＝4时，－m 2＋3m ＋4＝4，解得m 1＝3，m 2＝0(舍去)．∴P 点的坐标为(3，4)． ∵OC ＝4，∴ CP ∥x 轴，CP ＝3.∵OB ＝OC ＝4，∴∠OCB ＝45°.∴∠BCP ＝45°. ∴点P ′在y 轴上．∴CP ′＝CP ＝3.∴P ′(0，1)． (3)存在．∵点D 的坐标为(0，6)，当y ＝6时，－x 2＋3x ＋4＝6.解得x 1＝1，x 2＝2. ∵直线PD 所对应的一次函数随x 的增大而增大， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限．∴1＜m ＜2.第 9 页 共 35 页26．(1)猜想n 与x 之间的函数类型是二次函数， 解：(1)设n 与x 的函数关系为n ＝ax 2＋bx ＋c. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.5，4a ＋2b ＋c ＝1.8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.1，b ＝0.6，c ＝1.∴n 与x 的函数表达式为n ＝－0.1x 2＋0.6x ＋1.由表可知，当x ＝3时，代入表达式，得n ＝－0.1×9＋0.6×3＋1＝1.9. ∴猜想正确．(2)由题意，得W 1＝(3－2)×10n －x ＝－x 2＋5x ＋10， 即W 1＝－(x －52)2＋654.∵由于投入的资金不低于3万元，又不超过5万元，所以3≤x ≤5，而a ＝－1＜0，抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧，W 1随x 的增大而减小， ∴当x ＝3时，W 1最大为16万元．(3)设用于绿色开发的资金为a 万元，则用于提高奖金的资金为(5－a)万元， 将a 代入(2)中的W 1＝－x 2＋5x ＋10，故W 1＝－a 2＋5a ＋10.将(5－a)代入y ＝－z 2＋4z ，故y ＝－(5－a)2＋4(5－a)＝－a 2＋6a －5， 由于单位利润为1，所以由增加奖金而增加的利润是－a 2＋6a －5.所以总年利润W ′1＝(－a 2＋5a ＋10)＋(－a 2＋6a －5)－(5－a)＝－2a 2＋12a ， 因为要使总年利润达到17万，所以－2a 2＋12a ＝17， 整理，得2a 2－12a ＋17＝0，解得a ＝6＋22≈3.7或a ＝6－22≈2.3，而绿色开发投入要大于奖金投入，所以a ＝3.7，5－a ＝1.3.所以用于绿色开发的资金为3.7万元，提高种植人员的奖金为1.3万元.人教新版九年级上学期第22章《二次函数》单元测试卷（含答案）一．选择题1．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2 2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2时，y＞0C．a+b+c＜0D．当x＜，y随x的增大而减小3．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）4．在平面直角坐标系中，抛物线y2与直线y1均过原点，直线经过抛物线的顶点（2，4），则下列说法：①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值不存在；④若y2＝2，则x＝2﹣或x＝1．其中正确的有（）第10 页共35 页A．1个B．2个C．3个D．4个5．通过配方法将二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，此二次函数可变形为（）A．y＝a（x +）2+B．y＝a（x ﹣）2+C．y＝a（x+）2+D．y＝a（x ﹣）2+6．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c ＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④7．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（）A．B．第11 页共35 页C．D．8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0；⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜﹣1＜x2，且x1+x2＞﹣2，则y1＜y2其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣310．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）第12 页共35 页A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x＝0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的11．已知点E（2，1）在二次函数y＝x2﹣8x+m（m为常数）的图象上，则点E关于图象对称轴的对称点坐标是（）A．（4，1）B．（5，1）C．（6，1）D．（7，1）12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 13．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．14．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或315．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝3（x+1）2+3第13 页共35 页二．填空题16．抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的对称轴是．17．二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为．18．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m ＝．19．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．20．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2．则飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为米．21．抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是．22．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝d x2．则a、b、c、d的大小关系为．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是．第14 页共35 页三．解答题24．（1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的大致图象．（2）根据方程的根与函数图象之间的关系．将方程x2﹣2x﹣1＝0的根在图上近似的表示出来；（描点）（3）观察图象，直接写出方程x2﹣2x﹣1＝0的根．（精确到0.1）25．已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣c的部分图象如图．（1）求b、c的值；（2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值．第15 页共35 页26．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y＝﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．27．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是第16 页共35 页多少元？28．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．第17 页共35 页第 18 页 共 35 页参考答案一．选择题1．解：∵函数y ＝（2﹣a ）x 2﹣x 是二次函数， ∴2﹣a ≠0，即a ≠2， 故选：B ．2．解：A 、由图象可知函数有最小值，故正确；B 、由抛物线可知当﹣1＜x ＜2时，y ＜0，故错误；C 、当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0，故正确；D 、由图象可知在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，故正确．故选：B ．3．解：∵y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3＝﹣（x 2+4x +4﹣4+3）＝﹣（x +2）2+1 ∴顶点坐标为（﹣2，1）； 故选：B ．4．解：设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2+4， ∵抛物线与直线均过原点， ∴a （0﹣2）2+4＝0， ∴a ＝﹣1，∴y ＝﹣（x ﹣2）2+4，∴由图象得当0＜x ＜2时，y 2＞y 1，故①正确；y 2随x 的增大而增大的取值范围是x ＜2，故②正确；∵抛物线的顶点（2，4），使得y 2大于4的x 值不存在，故③正确； 把y ＝2代入y ＝﹣（x ﹣2）2+4，得 若y 2＝2，则x ＝2﹣或x ＝2+，故④不正确．其中正确的有3个，故选：C．5．解：y＝ax2+bx+c＝a（x2+x）+c＝a（x2+x+）+c﹣a•＝a（x+）2+故选：A．6．解：∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，所以①正确；∵x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，所以②错误；∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，而a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∴a﹣2b+c＝﹣3b，∵b＞0，∴﹣3b＜0，所以④错误．故选：C．7．解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．第19 页共35 页故选：B．8．解：①观察图象知最高点为（﹣1，4），故最大值为4正确；②当x＝2时，y＜0，故4a+2b+c＜0正确；③∵抛物线对称轴为x＝﹣1，故一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2正确；④使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥0，故错误；⑤∵x1＜﹣1＜x2，且x1+x2＞﹣2，∴P（x1，y1）距离对称近，∴y1＞y2，故错误；故正确的有①②③3个，故选：C．9．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．当x＝n时y取最大值，即5n＝﹣（n﹣1）2+5，解得：n＝﹣4或n＝1（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x＝m时y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．当x＝1时y取最大值，即5n＝﹣（1﹣1）2+5，解得：n＝1，或x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，5m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝1，第20 页共35 页∴m＝1，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n＝﹣4+1＝﹣3．故选：D．10．解：当x＝﹣2时，y＝0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x＝0和x＝1时，y＝6，∴对称轴为x ＝，故C错误；当x ＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选：C．11．解：由二次函数y＝x2﹣8x+m可知对称轴为x＝﹣＝﹣＝4，∵点E（2，1）与点（6，1）关于图象对称轴对称，∴点E关于图象对称轴的对称点坐标是（6，1），故选：C．12．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+1，∴对称轴是x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．第21 页共35 页13．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣2．当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；②当m＜0≤x≤1≤n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣2．当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，解得：n＝，或x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝，∴m＝，第22 页共35 页∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n＝﹣2+＝．故选：D．14．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．15．解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，设二次函数y＝a（x﹣1）2+3，把（0，0）代入得0＝a+3解得a＝﹣3．故二次函数的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+3．故选：A．二．填空题（共8小题）16．解：令y＝0，则：x＝﹣1或x＝3，即：函数与x轴交点是（3，0），（﹣1，0），故：对称轴是x＝3﹣（3+1）＝1答案是x＝1．第23 页共35 页17．解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a的值为﹣1．故答案为：﹣1．18．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与Y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．19．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．故应填：y＝x2+6x．20．解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，则当t＝20时，s取得最大值，此时s＝600，第24 页共35 页故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m．故答案为：600．21．解：∵当x＝﹣4时，y＝（﹣4）2+8×（﹣4）﹣4＝﹣20，∴抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是（﹣4，﹣20）．22．解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．23．解：由图象可知x＝2时，y＜0；x＝3时，y＞0；由于直线x＝1是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：x＝0时，y＜0；x＝﹣1时，y＞0；所以另一个根x2的取值范围为﹣1＜x2＜0．故答案为：﹣1＜x2＜0．三．解答题（共5小题）24．解：（1）如下图，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．（2）正确作出点M，N；（3）写出方程的根为﹣0.4，2.4．第25 页共35 页25．解：（1）把（1，0），0，3）代入y＝﹣x2+bx﹣c得解得b＝﹣2，c＝﹣3；（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，所以抛物线的对称轴是x＝﹣1，最大值为4．26．解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c＝﹣x2﹣2x+5，当x＝﹣1时，﹣x2﹣2x+5＝6，即n＝6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．27．解：（1）设y＝kx+b，将x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，得，解得，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560；（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，整理，得x2﹣10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6．∵3.5≤x≤5.5，∴x＝4．答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝﹣80x2+800x﹣1760第26 页共35 页第 27 页 共 35 页＝﹣80（x ﹣5）2+240， ∵3.5≤x ≤5.5，∴当x ＝5时，w 有最大值为240．故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 28．解：（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，抛物线过是A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y ＝ax 2+bx ﹣3， 把B 点坐标代入上式得：9＝25a +5b ﹣3…②， 联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x 2﹣x ﹣3，当x ＝2时，y＝﹣，即顶点D 的坐标为（2，﹣）；（2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB ＝13， ①当AB ＝AC 时，设点C 坐标（m ，0）， 则：（m ）2+（﹣3）2＝132，解得：m ＝±4，即点C 坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB ＝BC 时，设点C 坐标（m ，0）， 则：（5﹣m ）2+92＝132，解得：m ＝5， 即：点C 坐标为（5，0）或（5﹣2，0），③当AC ＝BC 时，设点C 坐标（m ，0）， 则：点C 为AB 的垂直平分线于x 轴的交点， 则点C坐标为（，0），故：存在， 点C 的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；（3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，故函数的表达式为：y＝x﹣3，设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△PAB＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为：，答：△PAB的面积最大值为．第28 页共35 页第 29 页 共 35 页人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(5)一．选择题（30分）1．已知二次函数2y x bx c =++的图象上有38-（，）和58--（，）两点，则此抛物线的对称轴是（ ）A ．直线4x =B ．直线3x =C ．1x =-D ．x =-2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则abc ，24b ac -， 2a b +，a b c ++这四个式子中，值为正数的有（A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．以知二次函数()20y ax c a =+≠，当x 取1212x x x x ≠，（）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）A ．a c +B ．a c -C ．c -D ．c 4．函数2y ax bx c =-+，的图象经过10-（，）则a b cb c c a a b+++++ 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．12 D ．12- 5．把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( ) A ．(－5，1) B ．(1，－5) C ．(－1，1) D ．(－1，3) 6．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是直线( )A ．ab x -= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝37．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜48．二次函数y ＝a(x ＋k)2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )A ．y ＝xB ．x 轴C ．y ＝－xD ．y 轴9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＝2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 10．下列命题中，正确的是( ) ①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ＜0；②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根； ③若b 2－4ac ＞0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公 共点的个数是2或3；④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根．A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④第 30 页 共 35 页二．填空题11．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______．12．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____________．13．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______．14．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC＝3，则b ＝______．15．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______． 16．二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为___________． 17．抛物线22y x x m =--+，若其顶点在x 轴上，则m=___________．18．顶点为25-（-，）且过点114（，-）的抛物线的解析式为 ___________． 三．解答题 19．把二次函数43212+-=x x y 配方成y ＝a(x+m)2＋k 的形式，并求出它的图象的顶点坐标．对称轴方程，y ＜0时x 的取值范围，并画出图象．20．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴．y 轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?第 31 页 共 35 页21．已知二次函数223y ax ax =-+的图象与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为3y kx =+，又45CBO ∠=︒（1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式 （2）求A B C △的面积22．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A (m ，0)，B (n ，0)，且4=+n m ，⋅=31n m (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y 轴的交点为C ，过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ，求△ACP 的面积．23．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)，且经过直线y ＝x －3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点M 在第四象限内的抛物线上， 且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标．页24．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式； (3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?25．（12分）如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点60A （，）和04B （，）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点()E x y ，是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？第 33 页 共 35 页《二次函数》单元测试题（答案）一．选择题1．C 2．B 3． D 4．A 5．C 6．D 7．A ． 8．C 9．B ． 10．C 二．填空题11．高，(0，15) 12．y ＝－x －2 13．y ＝x 2＋4x ＋3 14．b ＝－4．15．c ＝5或16 16．⋅+--=21212x x y 17．1-； 18．2(2)5y x =-+-；三．解答题 19．221)3(21--=x y 顶点坐标)21,3(-，对称轴方程x ＝3，当y ＜0时，2＜x ＜4，20．,325212+-=x x y 当25=x 时，⋅-=81最小值y21．(1)抛物线的解析式为：223y x x =-++；直线DC 的解析式为：3y x =+;(2)6ABC S ∆=. 22．(1)由31,4==+n m n m 得m ＝1，n ＝3．∴y ＝－x 2＋4x －3；(2)S △ACP ＝6． 23．(1)解析式是y ＝x 2－2x －3． (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．(3) ).2131,2131(+-+∴M 24．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．(2) ,84314)6(3122-+-=+--=∴t t t Q 由题知t ＝3，4，5，6，7． (3) )8431(4322-+--+=-=∴t t t Q M W 12310312+-=t t 311)5(312+-=t 其中t ＝3，4，5，6，7． ∴当t ＝5时，311=最小值W 元第 34 页 共 35 页∴该公司在一月份内最少获利11000030000311=⨯元． 25．(1)2214433y x x =-+；顶点725()26-，; (2)242824(16)s x x x =-+-<<;(3)能成为菱形当34E -（，）时。
人教版九年级上册数学 第二十二章 二次函数 培优考试测试卷(附答案)
二次函数培优测试卷一．选择题1．对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，4）B．开口向上，顶点坐标（5，4）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4）2．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在二次函数y＝mx2（m＞0）图象上，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a3．二次函数y＝2x2﹣8x+9的图象可由y＝2x2的图象怎样平移得到（）A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位4．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四5．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3 6．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．1 C．D．﹣或7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满＝x，则y与x的函数关系式为（）足BD＝DE，设BD＝y，S△ABCA．y＝x2+B．y＝x2+C．y＝x2+2 D．y＝x2+28．对于题目“二次函数y＝（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m＝﹣2，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确9．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x…﹣1 2 3 …y…0 0 4 …则可求得（4a﹣2b+c）的值是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣410．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点（0，﹣2），且直线l∥x轴．若直线l与二次函数y＝3x2+a的图象交于A，B两点，与二次函数y＝﹣2x2+b的图象交于C，D两点，其中a，b为整数．若AB＝2，CD＝4．则b﹣a的值为（）A．9 B．11 C．16 D．2411．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，它与x轴x＝2正半轴相交于点A，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b﹣c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．若函数y＝（m﹣）是二次函数，则m＝．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0）．当y＞0时，x的取值范围是．15．某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为．16．已知二次函数y＝﹣3x2+（m﹣1）x+1，当x＞时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．17．抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴两个交点间的距离为2，将抛物线y＝a（x+1）2+k向上平移n个单位，平移后的抛物线经过点（m，n）．则m的值是．18．如图，直线l ：y ＝，经过点M （0，），一组抛物线的顶B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），B 3（3，y 3）…B n （n ， y n ）（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），A 3（x 3，0）．，A n +1（x n +1，0）（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是 ．三．解答题19．已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2+4的图象经过点（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．20．在坐标系内画出y ＝﹣2 x 2+4x ﹣1的图象（要求列表）；并完成下列填空：此抛物线中，当x 时，y 随x 增大而减小；当x ＝ 时，y 有最 值为 ；对称轴为 ；顶点坐标为 ．21．已知，抛物线y ＝x 2+（m ﹣1）x +（m ﹣2）（m 为常数）（1）求证，无论m 为何值，抛物线与x 轴总有公式点；（2）若当0＜x ＜3时，抛物线与x 轴有公共点，求m 的取值范围；（3）若当0≤x ≤3时，抛物线有最小值为﹣2，求m 的值．22．“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每价臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x 元时，一天的营业额为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a 元/份的范围是6≤a ≤9，且a 为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？23．新定义：如果函数G 的图象与直线l 相交于点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），那么我们把|x 1﹣x 2|和|y 1﹣y 2|中较大的数值叫做函数G 在直线l 上的“截距”．（1）求双曲线G ：y ＝与直线l ：y ＝﹣2x +6上的“截距”；（2）若抛物线y ＝2x 2+（2﹣b ）x 与直线y ＝﹣x +b 相交于点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），若“截距”为，且x 1＜x 2＜0，求b 的值；（3）设m ，n 为正整数，且m ≠2，抛物线y ＝x 2+（3﹣mt ）x ﹣3mt 在x 轴上的“截距”为d 1，抛物线y ＝﹣x 2+（2t ﹣n ）x +2nt 在x 轴上的“截距”为d 2．如果d 1≥d 2对一切实数t 恒成立，求m ，n 的值．24．平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线y ＝x 2﹣x +c 交x 轴于A ，B 两点（如图），顶点是C ，对称轴交x 轴于点D ，OB ＝2OA ，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，E 是第三象限抛物线上一点，连接ED 并延长交抛物线于点F ，连接EC ，FC ，求证：∠ECF ＝90°；（3）如图3，在（2）问条件下，M ，N 分别是线段OA ，CD 延长线上一点，连接MN ，CM ，过点C 作CQ ⊥MN 于Q ，CQ 交DM 于点P ，延长FE 交MC 于R ，若∠NMD ＝2∠DMC ，DN +BO ＝MP ，MR ：RC ＝7：3，求点F 坐标．参考答案一．选择题1．解：∵抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，∴抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣5，4）．故选：C．2．解：∵二次函数y＝mx2（m＞0）∴抛物线的对称轴为y轴，∵A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，而抛物线开口向上，∴b＜a＜c；故选：B．3．解：∵y＝2x2﹣8x+9，＝2（x2﹣4x+4）+1，＝2（x﹣2）2+1，∴y＝2x2﹣8x+9的顶点坐标为（2，1），又∵y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∴y＝2x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y＝2x2﹣8x+9．故选：A．4．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∵△＝b2﹣4k（﹣k）＝b2+4k2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，∵k、b异号，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第一象限．故选：A．5．解：由图象可知，﹣1≤x≤3时，y≥1．故选：A．6．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，∴3a2+3a﹣6＝0，∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．故选：B．7．解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，∵BD＝DE＝y，∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，∵x＝6AH÷2＝3AH，∴y2＝（5﹣y）2+，∴y＝x2+，故选：A．8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜2m﹣3时，即m＞3，y的最小值是当x＝2m﹣3时的函数值，此时（2m﹣3﹣m）2+m＝1，因为方程无解，故m值不存在；②当2m﹣3≤m≤2m时，即0≤m≤3时，二次函数有最小值1，此时，m＝1，③当m＞2m时，即m＜0，y的最小值是当x＝2m时的函数值，此时，（2m﹣m）2+m＝1，解得m＝±2，∵m＜0，∴m＝﹣2所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．9．解：将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c，得到，∴，∴（4a﹣2b+c）＝4；故选：C．10．解：∵直线l经过点（0，﹣2），且直线l∥x轴，AB＝2，CD＝4．∴A（1，﹣2），C（2，﹣2），分别代入y＝3x2+a，y＝﹣2x2+b可得a＝﹣5，b＝6，∴b﹣a＝11，故选：B．11．解：由图象可得，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，故选：C．12．解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x＝3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，∵c＜0，即﹣c＞0∴9a+3b＞0，∴9a+3b﹣c＞0，故②正确；由图象可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，整理可得ac﹣b+1＝0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，即方程有一个根为x＝﹣c，由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个：①②③④4个．故选：D．二．填空题（共6小题）13．解：∵函数y＝（m﹣）是二次函数，∴m2＝2，且m﹣≠0，解得：m＝﹣．故答案为：﹣．14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0），抛物线的开口向上，∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．故答案为x＜﹣1或x＞2．15．解：∵二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），∴此二次函数的图象的对称轴为直线x＝＝2，故答案为：直线x＝2．16．解：∵函数的对称轴为x＝﹣＝，又∵二次函数开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵当x＞时，y随x的增大而减小，∴≤．解得m≥﹣2，故答案为：m≥﹣2．17．解：抛物线y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为x＝1，∵抛物线与x轴两个交点间的距离为2，∴抛物线与x轴的两个交点分别为（0，0），（2，0），∴a+k＝0，∴抛物线y＝a（x+1）2+k的解析式可化为y＝a（x+1）2﹣a，将抛物y＝a（x+1）2﹣a向上平移n个单位，得到解析式为y＝a（x+1）2﹣a+n向上平移n个单位，∵抛物线经过点（m，n），∴（m+1）2＝1，∴m＝﹣2或m＝0；故答案为0或﹣2．18．解：将（0，）代入直线l：y＝得：b＝∴y＝∵当x＝1时，y＝＜1∴B1（1，）∵当x＝2时，y＝＜1∴B2（2，）当x＝3时，y＝＞1∴美丽抛物线的顶点只有B1，B2若B1为顶点，则d＝1﹣＝；若B2为顶点，则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝故答案为：或．三．解答题（共6小题）19．解：（1）把（﹣1，0）代入二次函数解析式得：4a+4＝0，即a＝﹣1，则函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1．20．解：列表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y…﹣17 ﹣7 ﹣1 1 ﹣1 ﹣7 ﹣17 …描点，连线如图：根据图象，此抛物线中，当x＞1时，y随x增大而减小；当x＝1时，y有最大值为1；对称轴为直线x＝1；顶点坐标为（1，1），故答案为＞1，1，大，1，直线x＝1，（1，1）．21．（1）证明：△＝（m﹣1）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论m为何值，抛物线与x轴总有公共点．（2）解方程x2+（m﹣1）x+（m﹣2）＝0得x1＝﹣1，x2＝2﹣m，∵当0＜x＜3时，抛物线与x轴有公共点，∴0＜2﹣m＜3，∴﹣1＜m＜2；（3）解：y＝（x﹣）2+抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，当≤0时，即m≥1，x＝0时，函数的最小值为﹣2，把（0，﹣2）代入y＝x2+（m﹣1）x+（m﹣2）得m﹣2＝﹣2，解得m＝0，不合题意舍去；当0≤≤3时，即﹣5≤m≤1，x＝时，函数的最小值为﹣2，即＝﹣2，解得m＝2±2，此时m的值为2﹣2；当≥3时，即m≤﹣5，x＝3时，函数的最小值为﹣2，把（3，﹣2）代入y＝x2+（m ﹣1）x+（m﹣2）得9+3m﹣3+m﹣2＝﹣2，解得m＝﹣，不合题意舍去；综上所述，m的值为2﹣2．22．解：（1）由题意得：y＝（500﹣×20）（6+x）＝（x+6）（500﹣40x）；（2）6≤a≤9，即0≤x≤3，y＝（x+6）（500﹣40x）＝﹣40（x+6）（x﹣12.5），函数的对称轴为：x＝6.5，∵﹣40＜0，函数有最大值，当x＜6.5时，函数随x的增大而增大，而0≤x≤3，故x＝3时，y最大，此时，y最大值为：3420，即每份9元时，营业额最大，最大营业额是3420元．23．解：（1）根据题意可得解得：或∴|x1﹣x2|＝1，|y1﹣y2|＝2，∴双曲线G：y＝与直线l：y＝﹣2x+6上的“截距”＝2，（2）∵直线y＝﹣x+b与x轴成45°角，∴|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|∵2x2+（2﹣b）x＝﹣x+b∴2x2+（3﹣b）x﹣b＝0∴△＝（3﹣b）2+8b＝b2+2b+9＝（b+1）2+8＞0∴|x1﹣x2|＝＝解得：b1＝﹣5，b2＝3，∵x1＜x2＜0，∴x1•x2＝﹣＞0∴b＜0∴b＝﹣5（3）令y＝0，则x2+（3﹣mt）x﹣3mt＝0，∴x1＝﹣3，x2＝mt，∴d1＝|mt+3|由﹣x2+（2t﹣n）x+2nt＝0，∴x1＝﹣n，x2＝2t，∴d2＝|2t+n|，∵d1≥d2对一切实数t恒成立，∴|mt+3|≥|2t+n|，∴（mt+3）2≥（2t+n）2∴（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+9﹣n2≥0①∴当m2﹣4＞0，且△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0时，①式对于一切实数t恒成立，∴∴且m，n为正整数，∴或24．解：（1）∵抛物线对称轴为：直线x＝1，∴D（1，0），由抛物线对称性知：DA＝DB，设DA＝DB＝m，则：A（1﹣m，0），B（1+m，0），∵OB＝2OA∴1+m＝2（m﹣1），解得：m＝3∴A（﹣2，0），B（4，0），将A（﹣2，0）代入y＝x2﹣x+c，得0＝×（﹣2）2×（﹣2）+c，解得：c＝∴抛物线的解析式为：y＝x；（2）如图2，∵y＝x＝；∴顶点C（1，﹣3），设点E（n， n2﹣n﹣），F（m， m2﹣n﹣），过点E作EH⊥CD于G，过F作FG⊥CD于G，则G（1， m2﹣n﹣），H（1， n2﹣n﹣），∴EH＝1﹣n，FG＝m﹣1，DG＝m2﹣n﹣，DH＝﹣（n2﹣n﹣），∵EH⊥CD，FG⊥CD∴∠DHE＝∠DGF＝90°∵∠EDH＝∠FDG∴△DEH∽△DFG∴＝，即＝，∴＝∵EH≠FG∴m+n﹣2≠0∴（m﹣1）（1﹣n）＝﹣9∵tan∠GFC＝＝＝（m﹣1），tan∠ECH＝＝＝﹣∴＝＝＝1∴tan∠GFC＝tan∠ECH∴∠GFC＝∠E CH∵∠GFC+∠FCG＝90°∴∠ECH+∠FCG＝90°即∠ECF＝90°．（3）如图3，以DM为边在x轴上方作正方形DMKT，延长CQ交KT于S，过S作SG⊥DM 于G，连接MT，作∠SCT平分线交MT于I，过点I作IJ⊥CT于J，设DM＝t，则DT＝TK＝t，∵正方形DMKT，∴∠DTM＝∠KTM＝∠DMT＝45°∴四边形TLIJ是正方形，∴IJ＝TJ＝TL∵CI平分∠SCT∴∠JCI＝∠SCT∵CQ⊥MN∴∠SCT+∠MND＝∠NMD+∠MND＝90°∴∠NMD＝∠SCT∵∠NMD＝2∠DMC，∴∠DMC＝∠SCT∴∠JCI＝∠DMC∴∠JCI+∠DTM＝∠DMC+∠DMT即∠CIM＝∠CMI∴CM＝CI∵∠MDC＝∠CJI＝90°∴△MDC≌△CJI（AAS）∴IJ＝CD＝3∴JT＝TL＝3在△MDN和△SGP中∴△MDN≌△SGP（AAS）∴DN＝PG∵DN+BO＝MP，MG+PG＝MP∴MG＝BO＝4∴KS＝4∴SL＝t﹣7，易证：SZ＝SL＝t﹣7，CZ＝CJ＝t，CS＝2t﹣7 在Rt△CST中，∵ST2+CT2＝CS2∴（t﹣4）2+（t+3）2＝（2t﹣7）2，解得：t1＝12，t2＝1（不符合题意，舍去）∴M（﹣11，0），过点R作RW⊥DM于W，则△MRW∽△MCD ∵MR：RC＝7：3，∴＝，∴＝＝＝，∴MW＝，RW＝∴R（﹣，﹣）设直线DR解析式为y＝kx+b，则解得：∴直线DR解析式为y＝x﹣解方程组，得，；∴E（﹣，），F（5，）．。
第22章二次函数单元培优卷 人教版数学九年级上册
23．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
(1)设AB＝x(m)(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；
(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P点为直线BC上方抛物线上的一个动点，存不存在点P，使得S△PBC＝ S△OBC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求这个二次函数的解析式（2）求 的值
20．某商店销售一种商品，每件的进价为2．00元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是10．00元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。请你分析，销售单价多少时，可以获利最大．
21．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y＝﹣x﹣1与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．
17．如图，已知直线y＝－ x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y＝－ x2＋2x＋5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－ x＋3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是．
三．解答题
18．已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣2
人教版数学九年级 上册 第二十二章 《二次函数》 培优单元测试卷(含解析答案)
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》培优单元测试卷（含解析答案）一．选择题1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．42．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣33．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2a （a ≠0）的图象经过点A （1，n ），B （3，n ），且当x ＝1时，y ＞0．若M （﹣2，y 1）、N （﹣1，y 2）、P （7，y 3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 26．若二次函数y ＝|a |x 2+bx +c 的图象经过A （m ，n ）、B （0，y 1）、C （3﹣m ，n ）、D （，y 2）、E （2，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 17．已知二次函数y ＝a x 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x ＝2；③当0＜x ＜4时，y ＞0；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1＜x 2，其中正确的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO 等于（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m9．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0），关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．该图象的顶点坐标为（1，﹣4a ）B ．该图象与x 轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C ．若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4， 5）D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大10．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b﹣2c＞0；③关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；④若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在平面直角坐标系网格中，点Q，R，S，T都在格点上，过点P（1，2）的抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）可能还经过（）A．点Q B．点R C．点S D．点T12．二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列论正确的是（）A．5a+c＝0B ．4a ﹣2b +c ＞0C ．2a +b ＝0D ．若A （﹣0.5，y 1），B （4，y 2）在该函数图象上，则y 1＞y 2 二．填空题13．将抛物线y ＝（x ﹣3）2﹣2向左平移 个单位后经过点A （2，2）．14．当0≤x ≤3时，直线y ＝a 与抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣3有交点，则a 的取值范围是 ．15．在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y ＝x ﹣a +1和y ＝x 2﹣2ax 的图象相交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是 ．16．已知t 1、t 2是关于t 的二次函数s ＝﹣3t 2+6t +f 的图象与x 轴两交点的横坐标，且，那么y 与x 间的函数关系式为17．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②2a ﹣b ＝0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1），其中说法正确的有 ．18．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为y ＝﹣，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB 的长为 m ．三．解答题19．已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象上，当x 1＝1、x 2＝3时，y 1＝y 2．（1）若P （a ，b 1），Q （3，b 2）是函数图象上的两点，b 1＞b 2，则实数a 的取值范围是A ．a ＜1B ．a ＞3C ．a ＜1或a ＞3D .1＜a ＜3（2）若抛物线与x 轴只有一个公共点，求二次函数的表达式． （3）若对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，则n 的范围是 ．20．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？21．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3（a ≠0）中x ，y 满足下表：（1）请求出m的值；（2）某同学根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该二次函数图象的一部分，请观察图象直接写出当y＞0时，x的取值范围；（3）求出这个二次函数的解析式（也称为函数关系式）．22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A（0，3）．（1）求b，c的值．（2）P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连接AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．商场里某产品每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已知每只进价为10元，每只利润＝销售单价﹣进价）（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）这产品每月的总利润为w元，求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a元（a＜10），但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了144元，求a的值．24．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y＝x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y＝x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？25．如图，二次函数＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．与y 轴相交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点AM，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，其中A（m，0），B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m，n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段A D上的一动点（不与A，D重合），分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标．参考答案一．选择题1．解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选： B．2．解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选：B．3．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．4．解：①观察图象可知，开口方上a＞0，对称轴在右侧b＜0，与y轴交于负半轴c＜0，∴abc＞0，故正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故错误；③当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，故正确④设C（0，c），则OC＝|c|，∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，∴ac+b+1＝0，故正确；故正确的结论有①③④三个，故选：B．5．解：∵当x＝1时，y＞0．∴n ＞0，又∵经过点A （1，n ），B （3，n ）， ∴x ＝2是函数的对称轴，令x ＝0时，函数与y 轴交点（0，﹣2a ）， 当a ＞0时，﹣2a ＜0，不符合题意； ∴a ＜0，∴M （﹣2，y 1）、N （﹣1，y 2）、P （7，y 3）到对称轴的距离从远即近为P ，M ，N ， ∴y 2＞y 1＞y 3， 故选：C ．6．解：∵经过A （m ，n ）、C （3﹣m ，n ），∴二次函数的对称轴x ＝，∵B （0，y 1）、D （，y 2）、E （2，y 3）与对称轴的距离B 最远，D 最近，∵|a |＞0， ∴y 1＞y 3＞y 2； 故选：D ．7．解：设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣4），把（﹣1，5）代入得5＝a ×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a ＝1， ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x ，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以②正确； ∵抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， ∴当0＜x ＜4时，y ＜0，所以③错误；抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 2＜x 1＜2或2＜x 1＜x 2，所以⑤错误． 故选：B ．8．解：根据题意B 的横坐标为10，把x ＝10代入y ＝﹣x 2，得y ＝﹣4，∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4）， 即水面与桥拱顶的高度DO 等于4m ．故选：B．9．解：y＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1）令y＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（﹣1，0），故B成立；∴抛物线的对称轴为：x＝1，令x＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，∴顶点坐标为（1，﹣4a），故A成立；由于点（﹣2，5）与（4，5）关于直线x＝1对称，∴若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D．10．解：有图可知a＞0，c＜0，对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0；①abc＜0，正确；②y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴3a+c＝0，即c＝﹣3a，∴y＝ax2+2ax﹣3a，a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0，②正确；③ax2+（b﹣m）x+c＝m，可化为ax2+（2a﹣m）x﹣3a＝m，∴ax2+（2a﹣m）x﹣3a﹣m＝0，△＝（2a﹣m）2+4a（3a+m）＝16a2+m2＞0，∴关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；③正确；④P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，∴x＝﹣1是对称轴，∴与P点y值相等的点为（3，y1），∵y1＞y2，∴﹣5＜m＜3；④正确；故选：D．11．解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点（1，2），∴a+2a+c＝2，即3a+c＝2，若抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点Q（2，3），则4a+4a+c＝5a+（3a+c）＝3，得a ＝0.2与a＜0矛盾，故选项A不符合题意，若抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点R（﹣1，0），则a﹣2a+c＝﹣4a+（3a+c）＝0，得a＝0.5与a＜0矛盾，故选项B不符合题意，若抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点S（﹣2，1），则4a﹣4a+c＝﹣3a+（3a+c）＝1，得a＝1与a＜0矛盾，故选项C不符合题意，若抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点T（﹣4，﹣1），则16a﹣8a+c＝5a+（3a+c）＝﹣1，得a＝﹣0.6，故选项D符合题意，故选：D．12．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣1，0），代入得：∴a﹣b+c＝0，①∵对称轴是x＝2，即＝2，∴﹣b＝4a，②代入①得：a+4a+c＝0，即5a+c＝0故选：A．二．填空题（共6小题）13．解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点A（2，2），∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2，则2＝（2﹣3+a）2﹣2，解得：a＝3或a＝﹣1（不合题意舍去），故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．故答案为：3．14．解：法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0解得a≥﹣3，∵0≤x≤3，对称轴x＝1∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1∴a≤1法二：由题意可知，∵抛物线的顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1∵y＝a，则直线y与x轴平行，∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，∴﹣3≤a≤1故答案为：﹣3≤a≤115．解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，令y＝x﹣a+1＜0，∴x＜1﹣a，令y＝x2﹣2ax＜0，∴2a＜x＜0；当a＞0时，x＜1﹣a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞0，则a＞1；当a＜0时，x＜1﹣a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；∴a＞1或a＜﹣1；故答案为a＞1或a＜﹣1；16．解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．17．解：∵由图象可知，当y＝0时，图象与x轴有两个交点，∴ax2+bx+c＝0时，b2﹣4ac＞0．∴4ac﹣b2＜0．（故①正确）；∵二次函数的对称轴：x＝﹣，∴b＝2a．∴2a﹣b＝0．（故②正确）；∵由图象可知，x＝0时和x＝﹣2时函数值相等，都大于零，∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0．∴4a+c＞2b．（故③错误）；∵由图象可知x＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．（故④正确）故答案为：①②④．18．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x+2）2+3（0≤x≤3）；令x＝0，则y＝＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：y＝﹣（x+2）2+3（0≤x≤3）；2.25．三．解答题（共8小题）19．解：（1）∵当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．∴函数的对称轴x＝2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，∴a＜1；综上所述，a＜1或a＞3；故答案为C．（2）∵对称轴x＝2，∴m＝﹣4，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴m2﹣4n＝0，∴n＝4，∴y＝x2﹣4x+4；（3）y＝x2﹣4x+n，∵开口向上，∴当x＝2时，函数有最小值n﹣4，∴2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，∴n≥5．20．解：（1）设y＝kx+b，将（40，300）、（55，150）代入，得：，解得：，则y＝﹣10x+700；（2）设每天获取的利润为W，则W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，又∵﹣10x+700≥240，∴x≤46，∵x＜50时，W随x的增大而增大，∴当x＝46时，W取得最大值，最大值为﹣10×16+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．21．解：（1）由图中表格可知，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象关于直线x＝﹣1对称，且（2，m）与（﹣4，5）关于直线x＝﹣1对称，∴m＝5．（2）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是：x＜﹣3或x＞1．（3）把（﹣2，﹣3），（1，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）中，得．解得．则该二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3．22．解：（1）∵A（0，3），等腰Rt△OAB，∴AB＝3＝OA，∴B（3，3），将点A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，∴，（2）存在，∵B（3，3），∴OB的解析式为y＝x，∵y＝﹣x2+3x+3，设P（m，﹣m2+3m+3），Q（m，m），∵PQ⊥AB，OA⊥AB，∴OA∥PQ，若四边形APQO是平行四边形，∴PQ ＝﹣m 2+3m +3﹣m ＝3，解得m ＝0（舍去），m ＝2，当m ＝2时，y ＝﹣4+6+3＝5，∴p （2，5），即当P （2，5）时，四边形APQO 是平行四边形．23．解：（1）设y ＝kx +b （k ≠0），根据题意代入点（21，29），（25，25），∴解得，∴y ＝﹣x +50．（2）依题意得，w ＝（x ﹣10）（﹣x +50）＝﹣x 2+60x ﹣500＝﹣（x ﹣30）2+400， ∵a ＝﹣1＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值400，即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元．（3）最新利润可表示为﹣x 2+60x ﹣500﹣a （﹣x +50）＝﹣x 2+（60+a ）x ﹣500﹣50a ，∴此时最大利润为＝400﹣144， 解得a 1＝8，a 2＝72，∵当a ＝72时，销量为负数舍去．∴a ＝8．24．解：（1）∵AB ＝10、∠OAB ＝30°，∴OB ＝AB ＝5、OA ＝AB cos ∠OAB ＝10×＝5，则A （5，0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：，解得：，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +5；（2）水柱离坡面的距离d＝﹣x2+x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣5x）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC＝2、∠OAB＝30°，∴CD＝1、AD＝，则OD＝4，当x＝4时，y＝﹣×（4）2+×4+5＝5＞1+3.5，所以水柱能越过树．25．解：（1）由题意得：，解得，∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）当x＝0时，y＝3，则C为（0，﹣3），易得直线BC的函数解析式为：y＝x﹣3，设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），则M的坐标为（t，t﹣3），∴PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝t2+3t＝（t﹣）2+，∵﹣1＜0且0＜t＜3，∴当t＝时，PM取得最大值，最大值为，此时P的坐标为（，﹣）．26．解：（1）把点A（m，0）、点B（4，n）代入y＝x﹣1中，得m＝1，n＝3．∴A（1，0），B（4，3）∵y＝﹣x2﹣bx+c过点A、点B，所以解得，∴y＝﹣x2+6x﹣5．（2）如图2，∵△APM和△DPN为等腰直角三角形，∴∠APM＝∠DPN＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△MPN为直角三角形．令﹣x2+6x﹣5＝0，解得x＝1或5，∴D（5，0），AD＝4．设AP＝m，则DP＝4﹣m，∴PM＝m，PN＝（4﹣m），＝×PM×PN＝m×（4﹣m）∴S＝﹣（m﹣2）2+1．∴当m＝2，即AP＝2时，△MPN的面积最大，此时OP＝3，∴P（3，0）．。
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 单元培优卷
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 单元培优卷一.选择题1．抛物线21y x =+的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．y 轴D ．直线2x =-2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A.y=3x －1B.y=ax 2＋bx ＋cC.s=2t 2－2t ＋1D.y=x 2＋1x 3．把抛物线22y x =向右平移1个单位，所得抛物线的函数解析式为( )A ．221y x =+B ．22(1)y x =+C ．221y x =-D ．22(1)y x =- 4．直线y ＝x+2m 经过第一、三、四象限，则抛物线y ＝x 2+2x+1﹣m 与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个5．抛物线共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴都是轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点6．已知a>1，点A(a －1，y 1)，B(a ，y 2)，C(a ＋1，y 3)都在二次函数y ＝－2x 2的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 37．下列关于函数y =36x 2的叙述中，错误的是( )A. 图象的对称轴是y 轴B. 图象的顶点是原点C. 当x >0时，y 随x 的增大而增大D. y 有最大值8．在半径为4的圆中，挖去一个边长为的正方形，剩下部分面积为，则关于y 与x 之间函数关系式为（ ）A 、B 、C 、D 、9．下列说法中错误的是 ( )A ．二次函数y ＝3(x －1)2中，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y ＝－6(x －1)2中，当x ＝1时，y 有最大值0C ．a 越大，二次函数y ＝a(x －h)2的图象开口越小D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝a(x －1)2(a≠0)的顶点一定在x 轴上10．把二次函数y ＝－12x 2－3x －12的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的表达式是 ( )A. y ＝－12(x －1)2＋7B. y ＝－12(x ＋7)2＋7C. y ＝－12(x ＋3)2＋4D. y ＝－12(x －1)2＋1 11．已知抛物线()2y a x h k =-+与x 轴有两个交点()1,0A -，()3,0B ，抛物线()2y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是（ ）A ．5B ．1-C ．5或1D ．5-或1-12．函数y ＝kx 2﹣kx+m （k ，m 都是常数且k≠0）的图象如上图，如果x ＝a 时，y ＜0，那么x ＝a ﹣1时，函数值（ ）y xcm 2ycm 24y x π=-216y x π=-216y x =-24y x π=-A ．y ＝mB ．y ＜0C ．y ＞mD ．0＜y ＜m13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P→D→Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）A. B ． C ． D ．二.填空题14．当x ＝0时，函数y ＝2x 2+1的值为 ．15．函数y ＝6x 2有最____(选填“大”或“小”)值，这个值为____．16．若函数y =ax 2+2x −1的图象与x 轴有公共点，则实数a 的取值范围________．17．将抛物线y=x 2向 平移 个单位长度得到抛物线y=(x+5)2;将抛物线y=x 2向 平移 个单位长度得到抛物线y=(x-5)2.18．设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-(x+1)2+3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为______________________．19．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限.有下列结论：①a<0；②a ＋b ＋c>0；③－2b a>0；④abc>0.其中正确的结论是 .(填序号)20．如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙(墙足够长),其余各面用木材围成栅栏,计划用木材围成总长24 m 的栅栏.设羊圈的面积为S(m 2),垂直于墙的一边长为x(m),则S 关于x 的函数关系式为 (写出自变量的取值范围).三.解答题21．已知函数()()221y m m x mx m =-+++是二次函数，求m 的取值范围.22．如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax 2上．求a 的值及点B 的坐标.23．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x 取何值，函数值y 总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y 能等于1？24．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？25．已知抛物线y＝a（x+2）2过点（1，﹣3）．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）指出抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？26．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？27．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：(1))；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．28．如图是某公园一喷水池(示意图),在水池中央有一垂直于地面的喷水柱,喷水时,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下.若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=-(x-1)2+2.25.(1)求喷出的水流离地面的最大高度;(2)求喷嘴离地面的高度;(3)若把喷水池改成圆形,则水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流不落在水池外?(2)。
二次函数单元测试(培优压轴卷)九年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.22第22章二次函数单元测试（培优压轴卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋•浑源县月考）二次函数y＝x2+8x+9的对称轴为直线（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x=−14D．x=142．（2023秋•龙江县月考）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（0，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＞y2C．y1＞y2＞y3D．y2＞y1＞y33．（2022秋•峰峰矿区期末）把抛物线y＝3（x+1）2﹣2先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线y＝3x2，则n的值是（）A．1B．2C．3D．44．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（）A．﹣1＜x＜3B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣1或x＞3D．x＜﹣3或x＞1 5．（2023•赣州三模）如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（）A．y=845x2−163x B．y＝30x2﹣40xC．y=−845x2+163x D．y＝﹣40x2+30x6．（2023•蕉岭县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（）A．4B．4√2C．5D．5√27．（2022秋•恩施市期末）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．（2022秋•金华期末）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列结论：①abc＞0；②2c＞3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个实数根，则这四个实数根的和为4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2022秋•江都区期末）已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＞32B．m≥32C．m＜32D．m≤3210．（2023•叙州区校级模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A ．﹣2B ．14C ．﹣2或2D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023秋•椒江区月考）2022年C 919大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离g （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数解析式是g =54t −32t 2，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒．12．（2023秋•开平市校级月考）如果y =(m −2)x m 2−m 是关于x 的二次函数，则m ＝ ．13．（2023秋•姑苏区校级月考）抛物线y ＝ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表，则抛物线与x 轴的交点坐标为 ．x…… ﹣2 ﹣1 0 1 …… y …… 0 4 6 6 ……14．（2022秋•青县校级期末）二次函数y ＝x 2﹣2x +1在﹣5≤x ≤3范围内的最大值为 ．15．（2023秋•蔡甸区校级月考）关于抛物线y ＝﹣x 2+4，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是（0，4）；②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；③当﹣2＜x ＜3时，﹣5＜y ＜0；④若（m ，p ）（n ，p ）是该抛物线上两个不同的点，则m +n ＝0．其中正确的说法有 ．（填序号）16．（2023•德惠市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣1经过点（2，7）．若关于x 的一元二次方程ax 2﹣4ax ﹣1﹣t ＝0（t 为实数）在12＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023•海淀区校级开学）抛物线y ＝a （x +h ）2的对称轴是直线x ＝﹣2，且过点（1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？18．（2023春•海淀区校级期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表所示：x… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …（1）这个二次函数的解析式是 ；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x ＜0时，y 的取值范围为 ．19．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，试解答下列问题：（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式．（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？20．（2023•东台市校级二模）某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x 天生产的电子产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系式：y ={20x(0≤x ≤10)10x +200(10＜x ≤30)． （1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；（2）设第x 天每件电子产品的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？21．（2023秋•汤阴县月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y 轴相交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC 于点D，设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示线段PD的长；②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．22．（2023秋•息县月考）抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于点（m，3）．（1）求m和n的值；（2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数y＝2x2+n中，y随x的增大而减小；（4）函数y＝2x2+n与y＝2x﹣1的图象是否还有其他交点？若有，请求出该交点；若没有，请说明理由．23．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y ＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24）。
人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数 培优测试卷(含答案)
人教版九上数学第二十二章二次函数培优测试卷考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣22.已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A. x1＜﹣1＜2＜x2B. ﹣1＜x1＜2＜x2C. ﹣1＜x1＜x2＜2D. x1＜﹣1＜x2＜23.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（）A. B. C. D.（第3题）（第10题）4.把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. M=N-1或M=N+1B. M=N-1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N-16.已知点A(t，y1)，B(t+2，y2)在抛物线y= 的图象上，且-2<t<2，则线段AB长的最大值、最小值分别是( )A. ，2B. ，C. ，2D. ，7.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（O，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0.则下列结论：①若点（）是函数图象上一点，则y＞0；②若点是函数图象上一点，则y＞0；③（a+c）2＜b2.其中正确的是（）A. ①B. ①②C. ①③D. ②③8.已知抛物线与y轴交于点A，与直线（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论错误的是（）A. 存在实数k，使得为等腰三角形B. 存在实数k，使得的内角中有两角分别为30°和60°C. 任意实数k，使得都为直角三角形D. 存在实数k，使得为等边三角形9.四位同学在研究函数y1＝ax2＋ax－2a (a是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y1＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x02－16)，则符合条件的点P有且只有2个；丙发现若直线y2＝kx＋b与函数y1交于x轴上同一点，则b＝－k；丁发现若直线y3＝m (m≠0)与抛物线有两个交点(x1，y1)(x2，y2)，则x1＋x2＋1＝0.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.二次函数的图象如图，下列四个结论：；；关于x的一元二次方程11.如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0）和B(b,0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=3；③抛物线上有两点P(x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDGF周长的最小值为．其中，判断正确的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②③④12.已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A. B. C. D.（第11题）（第12题）（第14题）（第15题）二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．14.为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是________m2.15.已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为________．16.如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连结，则的最小值为________．17.已知关于的方程 ( 为实数)两非负实数根，则的最小值是________.18.二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有________（请将结论正确的序号全部填上）19.（8分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.20.（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PB的值最小时的点P的坐标．21.（8分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？22.（10分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x （m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W 的最小值．23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．24.（10分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求b、c的值；（2）求∠DAO的度数和线段AD的长；（3）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．25.（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．（参考答案）一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1. D2. A3. C4. C5. C6. C7. C8. D9. C 10. D 11. B 12. D二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.2214. 30015. 316.17. -1518. ①③三、解答题（本大题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.19.解：（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).（2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.20. （1）解：由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，得，解得．则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0）；（2）根据图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0；（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），∴对称轴是直线x＝1．当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．21. （1）解：设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得，x1＝10，x2＝20∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．22. （1）解：将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y2=k2x+b，得：，解得：（2）解：当0≤x＜600时，W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元（3）解：由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值。
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人教版九年级数学上册 二次函数单元培优测试卷一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42aa-＝2． （2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A(4，0)，∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M((2，﹣2)，M′(2，2)把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝12，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣12(x﹣2)2+2＝﹣12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，12m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣12(m+2)2+2(m+2)]，∵PQ∥OD，∴12m2﹣2m＝﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)或12m2﹣2m＝﹣12(m+2)2+2(m+2)，解得m ＝3±3或1±3，∴P (3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)， 当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣32)， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)或(1，﹣32)． 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题2．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412【解析】 【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d为()4542d BP sin t =⋅︒=-，则12PBESBE d =⨯⨯)()12442t t t =⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；（3）先求出4542AM AB sin =⋅︒=⨯=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得4NH ===；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ，(),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可． 【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形， ∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-；∵二次函数()()42f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时，∴()()()22422max f t f ==⨯⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得454AM AB sin =⋅︒== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴4,NH ===设()2,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+---∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --=解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得552m -=<（舍）或m =③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得52m =或52m +=（舍）综上所述，54,2m m +==，52m =符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为5412-或4或5412+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键3．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >-【解析】 【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫--⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++ ∴0y 的最大值118=综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△ 解得：m=0（舍去）或29m =-由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．4．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当32MNAN=时，求点M的坐标；（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）根据题意直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，-2）、（4，0），即可求解；（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN＝32时，则NHON＝32，即4343mmm---＝32，进行分析即可求解；（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）设点M（m，12m2﹣32m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN＝32时，则NHON＝32，即：4343mmm---＝32，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝∠OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H＝BO OAHB HA'=，即：2444x x=++，解得：x＝83，则点H（﹣83，0），．则直线AH的表达式为：y＝﹣34x﹣2③，联立①③并解得：x ＝32，故点P （32，﹣258）； ③当∠PAB ＝∠OBA 时， 当点P 在AB 上方时，则AH ＝BH ，设OH ＝a ，则AH ＝BH ＝4﹣a ，AO ＝2， 故（4﹣a ）2＝a 2+4，解得：a ＝32， 故点H （32，0）， 则直线AH 的表达式为：y ＝43x ﹣2④， 联立①④并解得：x ＝0或173（舍去0）， 故点P （173，509）； 当点P 在AB 下方时， 同理可得：点P （3，﹣2）； 综上，点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．5．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525Q ⎝⎭，44525Q ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-， 故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下： 作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-， 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=， 解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²， 故221()()42+=m m ，解得124545,==-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．6．如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，双曲线y =6x(x ＞0)经过点D ，连接MD ，BD ． （1）求抛物线的表达式；（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣215．【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO 和△CDP 都是直角三角形， tan ∠CDP =32t -，tan ∠PBO =3t，令y =tan ∠BPD =3233123t t t t -+--， ∴yt 2+t ﹣3yt +6y ﹣9=0， △=﹣15y 2+30y +1=0时，y =15415-+舍)或y 15415+，∴t =32﹣12×1y，∴t =9﹣15 ∴P (0，9﹣15． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．7．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值.（3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】 【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩，∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2 当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2-②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-， 当x=2时，有最大值，最大值y=72． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 与y 轴交点纵坐标为1， ∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x 2+4x+n 经过点（0，1）， ∴n=1．如图4所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-<【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴4233b a -<<-，∴二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】 【分析】（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，即可求解； （2）APC ∆的面积PHAPHCSSS，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解； （4）求出直线AP 的表达式为：2(1)(6)3y m x ，则直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，解得1434b c， 故抛物线的抛物线为：2214433y x x =-+； （2）对于2214433y x x =-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460b kb，解得423b k， ∴直线AC 的表达式为：243y x =-+①， 设点2214(,4)33P x x x ，则点2(,4)3H x x ，APC ∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCSSSPH OA x x x x x，当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方， 此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=， 即2214433yx x x ，解得：32x =或4， 故点P 的坐标为3(2，3)2或(4,4)-； （4）设点2214(,4)33P m m m ，为点(6,0)A ，设直线AP 的表达式为：y kx t =+，由点A ，P 的坐标可得260214433kt kmt m m ，解之得：2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为：2(1)(6)3ym x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，故直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②， 联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．10．如图，已知二次函数22(0)yax ax c a 的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ．(1) 求一次函数解析式； (2)求顶点P 的坐标；(3)平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标；(4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值． 【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3 (2)顶点P 的坐标为（1，4） (3) M 点的坐标为：15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-） （445【解析】 【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求； （2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值． 【详解】(1)∵A （-1，0）,∴OA=1 ∵OB=3OA ，∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++ ∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4） (3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+ ∵直线3y x b =+过P （1，4） ∴b=1∴平移后的直线为31y x =+ ∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠= 设M （x,3x+1）① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M -23-） (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N 当-x 2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3， ∴A （-1，0）， P 点坐标为（1，4）， 则可得PD 解析式为：y=2x+2， 令x=0，可得y=2， ∴D （0，2），∵D 与D′关于直线x=1对称， ∴D′（2，2）． 根据ND′⊥PD ， 设ND′解析式为y=kx+b ， 则k=-12，即y=-12x+b ， 将D′（2，2）代入，得2=-12×2+b ，解得b=3， 可得函数解析式为y=-12x+3， 将两函数解析式组成方程组得：13222y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得2 5 14 5xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N（214,)55，由两点间的距离公式：d=222144522555⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴所求最小值为455【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．。