高三文科数学模拟试卷(一)
(完整word版)2018-2019高三第一次模拟试题文科数学
高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合 题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕 分，共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如 厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线 产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查， 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题： (13) 20 三、 解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学(文科)试题
南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（文科）命题人： 审题人：说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49.在区间[−3,3]上随机取一个数a ，则关于x 的方程x 2=−a −3x 至少有一个正根的概率为( ) A. 18 B. 16 C. 13 D. 1210. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. B. 12 C.D. 11. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( )A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________.14. 若,x y 满足约束条件34x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则2z x y =−的取值范围为___________．15. 将函数()π4cos 2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53；③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2； ④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =32n 2−12n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列b n =[lga n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，求{b n }的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大值．19. 某加工工厂加工产品A ，现根据市场调研收集到需加工量X （单位：千件）与加工单价Y （单位：元/件）的四根据表中数据，得到Y 关于X 的线性回归方程为20.6Y bX =+，其中11.4m b −=． （1）若某公司产品A 需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；（2）通过计算线性相关系数，判断Y 与X 是否高度线性相关．参考公式：()()ni ix x y y r −−=∑ ，0.9r >时，两个相关变量之间高度线性相关．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 设函数()()22f x alnx x a x =+−+，其中.a R ∈ (Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >−.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a c b k ++=，求()b a c +的最大值.。
陕西省渭南市2023届高三下学期文科数学一模试题含解析
渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}220B x x x =-≤，则A B ⋂=（）A.{}1,2-B.{}1,2C.{}1,4D.{}1,4-2.设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（） A.2i B.2C.2i - D.2-3.已知命题3:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（） A.命题p q ∧是真命题B.命题p q ∧⌝是真命题C.命题p q ⌝∧是真命题D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 4.已知1x >，则41y x x =+-取得最小值时x 的值为（） A.3B.2C.4D.55.若实数,x y 满足约束条件2240x y x y y +>⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.126.已知函数()3sin2cos2,f x x x x R =-∈，则正确的是（） A.()22f x -B.()f x 在区间()0,π上有1个零点C.()f x 的最小正周期为2πD.23x π=为()f x 图象的一条对称轴 7.《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为15mm 的圆，中间有边长为5mm 的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（）A.916B.14C.419π- D.49π8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径3R =，小圆半径2r =，点P 在大圆上，过点P 作小圆的切线，切点分别是,E F ，则PE PF ⋅=（）A.49B.59C.4D.5 9.已知函数()f x 满足：①定义域为R ，②()1f x +为偶函数，③()2f x +为奇函数，④对任意的[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，则7211,,333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是（） A.7211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.1172333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A.69 B.66 C.579 D.30611.已知以圆22:(1)4C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（）A.1B.2C.1-D.812.已知直线(,0)y ax b a R b =+∈>是曲线()xf x e =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +等于（）A.2e +B.3C.1e +D.2二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区E 区外来务工人员数 50004000350030002500留在当地的人数占比80% 90% 80% 80% 84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的经验回归方程为0.8135ˆˆyx a =+.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元.（参考数据：取0.81353629.29⨯=）14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为__________.15.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A 处测得15CAD ∠=，从A 处沿山坡直线往上前进85m 到达B 处，在山坡B 处测得30,45CBD BCD ∠∠==，则宝塔CD 的高约为__________m .(2 1.41≈，6 2.45≈，结果取整数）16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过A ，B ，C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T . 18.（12分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）： 记样本均值为x ，样本标准差为s . （1）求,x s ；（2）将质量在区间(),x s x s -+内的零件定为一等品. （i ）估计这台机器生产的零件的一等品率；（ii ）从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P . 19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1C F ∥平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离.20.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点F ､E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()ln af x x x a R x=--∈有两个极值点()1212,x x x x <. （1）求实数a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （2）证明：()2ln2f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标xOy 中，曲线C 的参数方程为223131t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，t ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AOB △的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式123x x t +-+-≥有解. （1）求实数t 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，已知a ，b ，c 为正数，且23abc M =，求()22a b c ++的最小值.渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）参考答案一､选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCACADBCAAD二､填空题（每小题5分，共20分）13.818.614.3y x =15.4416.61-3π-2分，第二空3分） 三､解答题17.解：（1）∵13a =∴131S =∴()31221n S n n n=+-⨯=+ ∴22n S n n =+当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=- 又13a =适合上式，因此41n a n =- （2）()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭11111114377114143129n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 18.（1）()1110.59.99.410.710.09.610.810.19.79.3100101010x =+++++++++=⨯= 22222221(10.510)(9.910)(9.410)(10.710)(10.010)(9.610)10s ⎡=-+-+-+-+-+-⎣ 22221(10.810)(10.110)(9.710)(9.310) 2.50.2510⎤+-+-+-+-=⨯=⎦，所以0.5s =. （2）①()(),9.5,10.5x s x s -+=，质量在区间()9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为51102= ②从5件一等品中，抽取2件，有：()()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，()()()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.710种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率710P =. 19.（1）证明：1CC ⊥平面,ABC AB ⊂平面1,ABC CC AB ∴⊥，又1111,AB C F CC C F C ⊥⋂=，且11,CC C F ⊂平面11BCC B ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11,BCC B AB BC ∴⊥.（2）过F 做FM AC ∥交AB 于M ，连接EM ，11,EC AC FM EC ∴∥∥1C F ∥平面1,ABE C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面,ABE EM = 1,C F EM ∴∥∴四边形1EMFC 是平行四边形，11,2FM EC AC FM ∴==∴是ABC 的中位线. 221111,3,2CF BC CC C F CF ∴===-= 232,2 3.EBCEB EC BC S ∴===∴== 设A 到平面EBC 的距离为d ，则13333A BEC dV d -==， 1123223323A BEC E ABC V V --==⨯⨯⨯=又2d ∴=，即A 到平面EBC 的距离为2.20.解：（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，64MF ME AE EF +==>= 所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长24a =的椭圆 因为24c =，26a =，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22195x y +=（2）解：由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，联立两个方程得221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=， ()22100160590m m ∆=++>得m ∈R ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）， ()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+- 1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t⋅=⋅=⋅--+-+- ()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得上式()()222405991t m t -=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=， 又∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-， ∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-，此时3t =21.（1）解：()f x 的定义域为()()220,,,0x x af x x x∞-+='+>， 令()2g x x x a =-+，其对称轴为12x =， 由题意知12,x x 是方程()0g x =的两个不相等的实根，则()Δ14000a g a =->⎧⎨=>⎩，所以104a <<，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. 当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 上为减函数； 当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x ∞+上为增函数.. （2）证明：由（1）知22221,1,2x a x x ⎛⎫∈=-+⎪⎝⎭， ()222222222ln 21ln x x f x x x x x x -+=--=--，令()121ln 12h x x x x ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭，则()12120x h x x x -=-=>'，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()11ln ln222h x h ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭，从而()2ln2f x >.22.（1）由223123tx t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩得x t y =，代入2231y t =+ 整理得22230x y +-=，即(2233x y +-=，故曲线C 的普通方程为(()22330x y y +-=≠.（2）直线l 的普通方程为330x -+=，此时直线过圆心(3，AB 即为直径3O 到直线的距离32d =，13333222OAB S =⨯=△23.（1）因为()()12123x x x x +--+--=≤，当且仅当2x ≥等号成立 所以12x x +--的最大值为3.因为不等式()3f x t -≥有解，所以33t -≤，解得06t ≤≤， 所以实数t 的最大值6M =. （2）由（1）知，123abc =因为()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时，等号成立），()()22322233422322343412336ab c ab ab c ab ab c abc +=++⋅⋅==⨯=≥，当且仅当22ab c =，即6a b ==23c =时，等号成立，所以()22a b c ++的最小值为36.。
高三文科数学模拟题一
高三数学模拟试题（一）一、选择题（5×10=50分）1. 设集合{}2|230A x x x =--<，{}|14B x x =≤≤,则AB =（ ）A ．{}|13x x ≤<B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|34x x <≤D ． {}|34x x ≤≤ 2．若命题:|1|4p x +≤，命题2:56q x x <-，则p q ⌝⌝是的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知向量(1,),(1,),a n b n a b b ==--若2与垂直，则||a =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．44．过点)2,1(与圆221x y +=相切的直线方程是（ ） A ．1x =B ．3450x y -+=C ．34501x y x -+==或D ．54301x y x -+==或5．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2 00≤>x x ，则))41((f f = ( )A ．9B ．19C ．9-D ．91-6．ABC ∆中,三边之比4:3:2::=c b a ，则最大角的余弦值等于（ ） A ．41 B ．87 C ．21- D ．41-7．已知焦点在x 轴上的椭圆22219x y a +=的离心率是12e =，则a 的值为（ ） A ．23 B ．3 C ．32 D ．12 8．若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是( ) A ．)2,2(- B ．]2,2(- C ．),2()2,(+∞--∞ D ．)2,(-∞9．函数236()(04)1x x f x x x ++=≤≤+的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．6 D ．510． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于( )A ．13 B ．1 C ．32D ．2二、填空题（5×5=25分）11．若点(),9a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π= 12．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是13．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+,1,1,1x y x y x 则y x z 2-=的最小值是_______14．已知数列{}n a 为等差数列，且28143,a a a ++=则()2313log a a +=_______ 15．若扇形的面积和弧长都是10，则这个扇形中心角的弧度数是____三、解答题（75分）16．（本题满分13分）已知集合{}|||2A x x a =-<，26|12x B x x +⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭. （1）求集合A 和集合B（2）若A B R =，求a 的取值范围17．（本小题满分13分）等比数列{}n a 中，已知142,16a a == （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S18．（本小题满分12分）已知向量a =(sin ,cos())x x π-，b =(2cos ,2cos )x x ，函数()1f x =⋅a b+.（1）求π()4f -的值；（2）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.19．（本小题满分13分）如图所示，已知三棱锥BPC A -中，,,AP PC AC BC M ⊥⊥为AB 中点D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形。
2022-2023学年陕西省榆林市高三第一次模拟考试数学(文科)试题(word版)
绝密★启用前榆林市2022～2023年度第一次模拟考试数学试题(文科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝－i(1＋2i)在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2．已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋1)}，B ＝{x |2x －1＞－5}，则( R A )∩B ＝( )(A)(－1，＋∞)(B)(－2，－1)(C)(－2，－1](D)(－2，＋∞)3．若m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )(A)若m ∥α，α∥β，则m ∥β (B)若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β (C)若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α (D)若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β4．已知tan(α＋π4)＝9，则tan α＝( )(A)45(B)－45(C)34(D)－345．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图像在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b ＝( )(A)－2(B)－1(C)0(D)16．为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数(满分100分)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为( )(A)70(B)2003(C)1903(D)607．如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的一部分，P 为抛物线C 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若∠OFP ＝120°，且|OP |＝212，则p ＝( )(A)1(B)2(C)3(D)48．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋(b ＋λa )sin B ＝c sin C ，则λ的取值范围为( )(A)(－2，2)(B)(0，2)(C)[－2，2](D)[0，2]9．在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，∠BAD ＝60°，CE →＝2ED →，BC →＝2BF →，则AE →•EF →＝( )(A)4(B)329(C)289(D)310．已知四面体ABCD 外接球的球心O 与正三角形ABC 外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为23，则该四面体外接球的体积为( )(A)8π(B)32π3(C)16π(D)64π311．已知ω＞0，函数f (x )＝3sin(ωx ＋π3)＋3cos(ωx ＋π3)在(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为( )(A)(2312，3512](B)[2312，3512)(C)(3512，4712](D)[3512，4712)12．已知a 2＋ln a ＝9b 4＋2ln b ＋1，则下列结论一定成立的是( )(A)a ＜b 2＋1(B)a ＜2b 2＋1(C)a ＞3b(D)a ＜3b 2第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若x ，y 满足约束条件错误!，则z ＝2x ＋y 的最小值为▲．14．自然对数的底数e ，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e 的近似值约为2.7182818…．若从欧拉数的前4位数字2，7，1，8中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为▲．15．已知函数f (x )是定义在(－2，2)上的增函数，且f (x )的图象关于点(0，－2)对称，则关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋2)＋4＞0的解集为▲．16．已知双曲线C ：x 22－y 22＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝my ＋2(m ＞0)与双曲线C 相交于A ，B 两点，点P (6，0)，以PF 为直径的圆与l 相交于F ，M 两点，若M 为线段AB 的中点，则 |MF |＝▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表．已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为45．(1)完成上面的2×2列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．P (χ2≥k 0)0.10 0.05 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.82818．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，S n+1＋S n ＝(n ＋1)a n+1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．19．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，PA ⊥PD ，且PA ＝PD ＝2，AB ＝2CD ＝2．(1)证明：AD ⊥PB ．(2)求点A 到平面PBC 的距离．20．(12分)已知P (1，0)是椭圆C ：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的一个顶点，圆E ：(x －2)2＋(y －2)2＝4经过C 的一个顶点．(1)求C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与C 相交于M 、N 两点(异于点P )，记直线PM 与直线PN 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1＋k 2＝k 1k 2，求k 的值． 21．(12分)已知函数f (x )＝(x －12x 2)ln x ＋(12k ＋14)x 2－(k ＋1)x ，k ∈R ．(1)若k ＞0，求f (x )的单调区间；(2)若k ∈Z ，且当x ＞1时，f'(x )＜ln x ＋1，求k 的最大值．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，已知点P (1，0)，曲线C 的参数方程为错误!(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ＋π4)－2＝0．(1)求C 的普通方程与l 的直角坐标方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |． 23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x ＋a －2|＋|x ＋3|． (1)当a ＝0时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数f (x )＞2，求a 的取值范围．绝密★启用前榆林市2022～2023年度第一次模拟考试文科数学试题逐题解析第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝－i(1＋2i)在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D2．已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋1)}，B ＝{x |2x －1＞－5}，则( R A )∩B ＝( )(A)(－1，＋∞)(B)(－2，－1)(C)(－2，－1](D)(－2，＋∞)【答案】C3．若m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )(A)若m ∥α，α∥β，则m ∥β (B)若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β (C)若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α (D)若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β【答案】D4．已知tan(α＋π4)＝9，则tan α＝( )(A)45(B)－45(C)34(D)－34【答案】A5．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图像在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b ＝( )(A)－2(B)－1(C)0(D)1【答案】B6．为了解市民的生活幸福指数 ,某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数(满分100分)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为( )(A)70(B)2003(C)1903(D)60【答案】C7．如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线C ：x 2＝－2py (p ＞0)的一部分，P 为抛物线C 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若∠OFP ＝120°，且|OP |＝212，则p ＝( )(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】A8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋(b ＋λa )sin B ＝c sin C ，则λ的取值范围为( )(A)(－2，2)(B)(0，2)(C)[－2，2](D)[0，2]【答案】A9．在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，∠BAD ＝60°，CE →＝2ED →，BC →＝2BF →，则AE →•EF →＝( )(A)4(B)329(C)289(D)3【答案】B10．已知四面体ABCD 外接球的球心O 与正三角形ABC 外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为23，则该四面体外接球的体积为( )(A)8π(B)32π3(C)16π(D)64π3【答案】B11．已知ω＞0，函数f (x )＝3sin(ωx ＋π3)＋3cos(ωx ＋π3)在(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为( )(A)(2312，3512](B)[2312，3512)(C)(3512，4712](D)[3512，4712)【答案】C12．已知a 2＋ln a ＝9b 4＋2ln b ＋1，则下列结论一定成立的是( )(A)a ＜b 2＋1(B)a ＜2b 2＋1(C)a ＞3b(D)a ＜3b 2【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若x ，y 满足约束条件错误!，则z ＝2x ＋y 的最小值为▲． 【答案】－1114．自然对数的底数e ，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e 的近似值约为2.7182818…．若从欧拉数的前4位数字2，7，1，8中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为▲． 【答案】5615．已知函数f (x )是定义在(－2，2)上的增函数，且f (x )的图象关于点(0，－2)对称，则关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋2)＋4＞0的解集为▲． 【答案】(－1，0)16．已知双曲线C ：x 22－y 22＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝my ＋2(m ＞0)与双曲线C 相交于A ，B 两点，点P (6，0)，以PF 为直径的圆与l 相交于F ，M 两点，若M 为线段AB 的中点，则 |MF |＝▲． 【答案】2(一)必考题：共60分． 17．(12分)第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表．已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为45．(1)完成上面的2×2列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．【解析】(1)2×2列联表如下：(2)χ2＝50(26×6－14×4)230×20×40×10＝2512＜2.706，故没有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关． 18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，S n+1＋S n ＝(n ＋1)a n+1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【解析】(1)因为S n+1＋S n ＝(n ＋1)a n+1，所以S n+2＋S n+1＝(n ＋2)a n+2，两式相减可得：(n ＋2)a n+1＝(n ＋1)a n+2，即：a n+2n ＋2＝a n+1n ＋1，n ∈N ＋，又因为a 1＝3，S 2＋S 1＝2a 2，解得：a 2＝6，故a n n ＝a 22＝3，即：a n ＝3n ，n ≥2，n ＝1时，a 1＝3也成立，故a n ＝3n ； (2)b n ＝1a n a n+1＝19n (n ＋1)＝19(1n －1n ＋1)，故T n ＝19(1－1n ＋1)＝n9(n ＋1)．19．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，PA ⊥PD ，且PA ＝PD ＝2，AB ＝2CD ＝2．(1)证明：AD ⊥PB ．(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】(1)取AD 的中点O ，连结OP 、OB ，因为∠DAB ＝60°，PA ⊥PD ，且PA ＝PD ＝2，AB ＝2，所以AD ⊥PO ，AD ⊥BO ，而PO ∩BO ＝O ，PO 、BO ⊂平面POB ，故AD ⊥平面POB ，AD ⊥PB ；(2)BC ＝3，PB ＝PC ＝2，S △PBC ＝134，设A 到平面PBC 的距离为h ，V A －PBC ＝13×S △PBC ×h ＝V P －ABC ＝13×S △ABC ×PO ，h ＝S △ABC ×PO S△PBC＝41313．20．(12分)已知P (1，0)是椭圆C ：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的一个顶点，圆E ：(x －2)2＋(y －2)2＝4经过C 的一个顶点．(1)求C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与C 相交于M 、N 两点(异于点P )，记直线PM 与直线PN 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1＋k 2＝k 1k 2，求k 的值．【解析】(1)由题意：椭圆C 的两个顶点为(1，0)，(0，2)，故C 的方程为x 2＋y 24＝1； (2)解法1：联立错误!可得：(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－错误!，x 1x 2＝－3k 2＋4，因为k 1＋k 2＝k 1k 2，所以1k 1＋1k 2＝x 1－1y 1＋x 2－1y 2＝x 1－1kx 1＋1＋x 2－1kx 2＋1＝1，即：(k 2－2k )x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋3＝－3(k 2－2k )k 2＋4－2k (2k －1)k 2＋4＋3＝0，解得：k ＝3或k ＝－1(舍去)．解法2：以P 为坐标原点建立新的坐标系，在新坐标系下椭圆C的方程为：(x ＋1)2＋y 24＝1，即：4x 2＋8x ＋y 2＝0，直线l 的方程为y －kx ＝k ＋1(k ≠－1)，则4(k ＋1)x 2＋8x (y －kx )＋4(k ＋1)y 2＝0，即：4(k ＋1)y 2＋8xy ＋4(1－k )x 2＝0，所以4(k ＋1)(y x )2＋8(y x)＋4(1－k )＝0，因为k 1＋k 2＝k 1k 2，所以4(1－k )＝－8，解得：k ＝3．21．(12分)已知函数f (x )＝(x －12x 2)ln x ＋(12k ＋14)x 2－(k ＋1)x ，k ∈R ． (1)若k ＞0，求f (x )的单调区间；(2)若k ∈Z ，且当x ＞1时，f'(x )＜ln x ＋1，求k 的最大值．【解析】(1)因为f'(x )＝(1－x )(ln x －k )．当0＜x ＜1或x ＞e k 时，f'(x )＜0，当1＜x ＜e k 时，f'(x )＞0，故f (x )的增区间为(1，e k )，减区间为(0，1)和(e k ，＋∞)；(2)f'(x )＝(1－x )(ln x －k )＜ln x ＋1，即：k (x －1)＜x ln x ＋1，因为x ＞1，所以k ＜x ln x ＋1x －1，令φ(x )＝x ln x ＋1x －1，φ'(x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2，令r (x )＝－ln x ＋x －2，r'(x )＝x －1x ＞0，所以r (x )在(1，＋∞)上单调递增，因为r (3)＜0，r (4)＞0，故存在唯一的x 0∈(3，4)使得r (x 0)＝－ln x 0＋x 0－2＝0，∴φ(x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∴φ(x )≥φ(x 0)＝x 0ln x 0＋1x 0－1＝x 0(x 0－2)＋1x 0－1＝x 0－1∈(2，3)，而若k ∈Z ，k ＜x 0－1，故k 的最大值为2．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，已知点P (1，0)，曲线C 的参数方程为错误!(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ＋π4)－2＝0．(1)求C 的普通方程与l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |．【解析】(1)因为曲线C 的参数方程为错误!(φ为参数)，所以C 的普通方程为：x 2＋(y －2)2＝4，即：x 2＋y 2－4y ＝0；而直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ＋π4)－2＝0，即：2ρsin θ＋2ρcos θ－2＝0，所以l 的直角坐标方程为：x ＋y －1＝0；(2)直线l 过点P (1，0)，设直线l 的参数方程为错误!(t 为参数)，代入x 2＋y 2－4y ＝0可得：t 2－3t ＋1＝0，所以t 1＋t 2＝3＞0，t 1t 2＝1＞0，故|P A |＋|PB |＝3．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x ＋a －2|＋|x ＋3|．(1)当a ＝0时，求不等式f (x )≥9的解集；(2)若函数f (x )＞2，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )≥9，即：|x －2|＋|x ＋3|≥9．当x≥2时，x－2＋x＋3≥9，解得：x≥4；当－3＜x＜2时，2－x＋x＋3≥9，不成立；当x≤－3时，2－x－x－3≥9，解得：x≤－5；故不等式的解集为(－∞，－5]∪[4，＋∞)；(2)|x＋a－2|＋|x＋3|≥|x＋a－2－(x＋3)|＝|a－5|，x＝－3时，等号成立，而f(x)＞2，所以|a －5|＞2，解得：a＞7或a＜－3，故a的取值范围为(－∞，－3)∪(7，＋∞)．。
河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷(中)文科数学(一)试题(含答案解析)
河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）文科数学（一）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}3,2,1,0,1,2,3,4U =---，集合{}3,1,0,3,4A =--，{}0,1,2,3B =，则()UA B ⋂=ð（）A ．{}0,3B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}3,1,0,1,2,3--2．已知复数z 满足i 2i z z +=-,则z =（）A ．13i22+B ．13i 22-+C ．13i 22-D ．13i22--3．已知平面向量,a b满足1a = ，a 与b 的夹角为120°，若a b -= ，则b = （）A ．1B ．2C ．3D ．44．2023年春节到来之前：某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x （单位；元）与销售量y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：价格x 89.5m 10.512销售量y16n865经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为ˆ 3.544yx =-+，且20m n +=，则m =（）A ．12B ．11C ．10D ．95．已知2:2p x x -≤，:12q x -<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型011e rtMy M y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭进行估计．其中y 为第t 年底新能源汽车的保有量，r 为年增长率，M 为饱和量，0y 为初始值（单位：万辆）．若该省2021年底的新能源汽车拥有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2031年底该省新能源汽车的保有量为（精确到1万辆）（参考数据：ln 0.8870.12≈-，ln 0.30 1.2≈-）（）A ．62万B ．63万C ．64万D ．65万7．已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1319,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎛⎤ ⎝⎦8．在如图所示的程序框图中，若输入的a ，b ，c 分别为0.34，0.414-⎛⎫⎪⎝⎭，0.4log 0.5，执行该程序框图，输出的结果用原来数据表示为（）A ．b ，a ，cB ．a ，b ，cC ．c ，b ，aD ．c ，a ，b9．在ABC 和111A B C △中，若1cos sin A A =，1cos sin B B =，1cos sin C C =则（）A ．ABC 与111ABC △均是锐角三角形B ．ABC 与111A B C △均是钝角三角形C ．ABC 是钝角三角形，111A B C △是锐角三角形D ．ABC 是锐角三角形，111A B C △是钝角三角形10．已知抛物线2:8C y x =，P 为C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，当PB PA最小时，点P到坐标原点的距离为（）A．B．C．D ．811．在如图所示的圆台中，四边形ABCD 为其轴截面，24AB CD ==，P 为底面圆周上一点，异面直线AD 与OP (O 为底面圆心）所成的角为π3，则2CP 的大小为（）A．7-B．7-7+C．19-D．19-19+12．已知ππ,,66x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若327sin 320x x a +-=且34sin cos 0y y y a ++=，则()cos 32x y +=（）A ．12-B ．0C ．12D ．1二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件2221x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________．14．已知函数()()2223e xf x ax x x =+-+，无论a 取何值，曲线()y f x =均存在一条固定的切线，则该切线方程为________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴为12A A ，对12A A 上任意一点P ，在12A A 上都存在点Q，使得2PQ =，则C 的离心率的取值范围为________．16．如图,在三棱锥-P ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,6AB =,4BC =,AB BC ⊥,PAB 为等边三角形,则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为________．三、解答题17．某市为了解新高三学生的数学学习情况，以便为即将展开的一轮复习提供准确的数据，在开学初该市教体局组织高三学生进行了一次摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取200名，根据统计结果，将他们的数学成绩（满分150分）分为[)70,80，[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[)140150,共8组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)若A 表示事件“从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于110分”，估计事件A 发生的概率；(2)利用所给数据估计本次数学考试的平均分及方差（各组数据以其中点数据代表）．参考数据：()21998.56x x -=，()22466.56x x -=，()23134.56x x -=，()24 2.56x x -=，()2570.56x x -=，()26338.56x x -=，()27806.56x x -=，()281474.56x x -=，其中()i i 1,2,,8x = 为第i 组的中点值．18．如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，四边形CDEF 为平行四边形，平面CDEF ⊥平面ABCD ，2BC AD =．(1)证明：DF 平面ABE ；(2)若1AD =，2CD ED ==，π3FCD ∠=，求三棱锥B ADE -的体积．19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，tan tan 2tan tan tan B C BC A+=．(1)证明：22cos a bc A =；(2)求bc的取值范围．20．已知()()e ln R xf x a x a =-∈．(1)若()f x 在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围，(2)证明：当21e a ≥时，()0f x >．21．已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x ya b a bΓ+=>>的左、右焦点，122F F =，1B ，2B 分别为Γ的上、下顶点，P 为Γ上在第一象限内的一点，直线1PB ，2PB 的斜率之积为89-．(1)求Γ的方程；(2)设Γ的右顶点为A ，过A 的直线1l 与Γ交于另外一点B ，与1l 垂直的直线2l 与1l 交于点M ，与y 轴交于点N ，若22BF NF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠（O 为坐标原点），求直线1l 的斜率的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P横坐标的取值范围．23．已知()3f x x a x =-+-()R a ∈．(1)若1a =，解不等式()9f x ≥；(2)当()0a t t =>时，()f x 的最小值为3，若正数m ，n 满足m n t +=，6≤．参考答案：1．B【分析】先求出U A ð，再求()U A B ð即可.【详解】由已知{}2,1,2U A =-ð，又{}0,1,2,3B =，(){}1,2U A B ∴= ð.故选：B.2．A【分析】将z 当作未知数解出来,再化简即可.【详解】由i 2i z z +=-得()()()()()2i 1i 2i 13i1i 2i 1i 1i 1i 2z z ++++-=+⇒===--+故选:A.3．B【分析】按照平面向量的模的性质及数量积运算法则计算即可.【详解】因为a b -=所以217b b ++= ，即260b b +-=，解得2b = .故选：B.4．C【分析】由表中数据计算x 、y ，根据线性回归直线方程过点(x y 代入化简求解即可．【详解】由表中数据，计算1(89.510.512)855m x m =⨯++++=+，1(16864)755ny n =⨯++++=+，因为线性回归直线方程ˆ 3.544yx =-+过点()x y ，即7 3.584455n m ⎛⎫+=-⨯++ ⎪⎝⎭，即3.5955m n +=，所以3.545m n +=，又因为20m n +=，所以10,10m n ==．故选∶C ﹒5．D【分析】分别求出命题,p q ，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】2:2p x x -≤，即()()220,120x x x x --≤+-≤解得12x -≤≤，:1213q x x -<⇒-<<，所以p 推不出q ，q 推不出p ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.故选：D.6．C【分析】把已知数据代入阻滞型模型011e rtMy M y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，求出对应的值即可．【详解】根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2021年的为初始值，则2031年底该省新能源汽车的保有量为 1.20.1210130013001300164e 11e20y --⨯==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，因为ln 0.30 1.2≈-，所以 1.20e 0.3-≈，所以 1.21300130064164e 1640.30y -=≈≈++⨯故选：C 7．C【分析】由题意求出π3x ω+的范围，然后根据正弦函数的性质及题意建立不等关系，求得参数的取值范围即可.【详解】因为0ω>，()0,πx ∈，所以ππππ333x ωω<+<+，因为函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，所以5ππ7ππ232ω<+≤，解得131966ω<≤，所以ω的取值范围为1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选：C.8．A【分析】该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，通过比较输入数据的大小，即可求解．【详解】解︰由程序框图可知，该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，0.40.40.30144414-⎛⎫=>>= ⎪⎝⎭，0.40.40.4log 1log 0.5log 0.4<<，即0.40log 0.51<<，所以b a c >>，则输出的结果用原来数据表示为b ，a ，c .故选∶A ．9．D【分析】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断ABC 是锐角三角形，然后再由1sin 0A >，判断111A B C △的形状即可得到结果.【详解】在ABC 和111A B C △中，因为111sin cos 0,sin cos 0,sin cos 0A A B B C C >===>>，所以,,A B C 均为锐角，即ABC 为锐角三角形.另一方面1πsin cos sin 02A A A ⎛⎫= ⎝=->⎪⎭，可得1π2A A +=或1ππ2A A -+=即12πA A -=，所以1A 为锐角或者钝角，同理可得11,B C 为锐角或者钝角，但是111,,A B C 中必然有一个为钝角，否则不成立，所以111A B C △为钝角三角形.故选:D 10．A【分析】设()00,P x y ，由抛物线的定义可得0||||2PB PD x ==+，||PA =02,t x =+化简PBPA 可得当114t =时，||||PB PA 取得最小值，求出P 的坐标，即可求解【详解】因为抛物线2:8C y x =，则焦点为()2,0，准线为2x =-，又()2,0A -，()2,0B ，则点()2,0B 为抛物线的焦点，过P 作准线的垂线，垂足为D ，设()00,P x y ，则2008y x =，故00x ≥，由抛物线的定义可得0||||2PB PD x ==+，||PA =，又00x ≥，则设02,t x =+故02,2t x t ≥=-，则||||PB PA ==2)t =≥，当114t =时，||||PB PA2=，则4t =，02x =，将02x =代入抛物线可得2016y =，所以OP =故选：A 11．B【分析】建立如图所示坐标系,根据异面直线AD 与OP (O 为底面圆心）所成的角为π3,求得27CP =±【详解】以O 为原点，OB为y 轴，过点O 作x 轴OB ⊥，圆台的轴为z 轴，建立如图所示坐标系：作,DE AB DE ⊥交AB 于点E ,11122AE AB CD =-=,Rt ADE △中，DE =则(()((0,,0,2,0,,D A C AD --= ()2cos ,2sin ,0,02πP θθθ≤<,()2cos ,2sin ,0,OP θθ= 由于异面直线AD 与OP (O 为底面圆心）所成的角为π3,π1cos 32OP AD OP AD ⋅==⋅,sin 2θ∴=±(2cos ,2sin 1,,CP θθ=-2224cos 4sin 4sin 1274sin 72CP θθθθ=+-++=-=±故选:B.12．D【分析】设()3sin f x x x =+，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是奇函数，且为增函数，再由条件得到32x y =-，最后求出()cos 32x y +即可.【详解】设()3sin f x x x =+，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为()()3sin f x x x f x -=--=-，所以()f x 是奇函数.因为3y x =、sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上都为增函数，所以()3sin f x x x =+在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数.因为327sin 320x x a +-=，所以()32f x a =，因为34sin cos 0y y y a ++=，所以()22f y a =-.因为ππ,,66x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ3,2,22x y ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以()()32f x f y =-，所以32x y =-，所以()cos 32cos01x y +==.故选：D.13．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合直线的截距，利用数形结合进行求解即可．【详解】由题意得：画出可行域（如图阴影部分），由21x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当直线3z x y =+过点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值，故max 335122z =⨯+=.故答案为：514．30x y -+=【分析】由题意得2()2(1)e x f x ax x '=++，()01f '=，()03f =，此时这两个值均与a 无关，可得切点为()0,3即可得出答案．【详解】()()2223e x f x ax x x =+-+，则2()2(1)e x f x ax x '=++，()01f '=，()03f =，此时这两个值均与a 无关，∴无论a 取何值，曲线()y f x =均存在一条固定的切线，此时切点为()0,3，切线斜率为1，故切线方程为3y x -=，即30x y -+=.故答案为∶30x y -+=15．1,5e ⎛∈ ⎝⎦【分析】根据题意得到,a b 的关系式，然后由双曲线离心率的公式以及范围即可得到结果.【详解】因为对12A A 上任意一点P ，在12A A 上都存在点Q ，使得PQ =，所以112AA ≥，所以a ≥，即b a ≤所以1c e a <==即e ⎛∈ ⎝⎦.故答案为:1,5e ⎛⎤∈ ⎝⎦16．64π【分析】先找到两个面的外心,通过外心作垂线交点即为球心.【详解】因为平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,,AB BC BC ⊥⊂平面ABC ,所以BC ⊥平面PAB ;如图,因为AB BC ⊥,所以三角形ABC 的外心即为AC 中点N ,过三角形PAB 的外心M 作平面PAB 的垂线,过三角形ABC 的外心N 作平面ABC 的垂线,则两垂线必相交于球心O ,连接OB ,则外接球半径R OB =.在Rt OMB 中,122OM BC ==,3BM AB ==,所以222241216R OB OM MB ==+=+=,所以表面积24π64πS R ==.故答案为:64π.17．(1)0.38；(2)106.6，205.44．【分析】（1）由频率和为1，计算出m ，进而根据频率分布直方图可得事件A 发生的概率；（2）分别根据平均数和方差的计算公式代入求解即可．【详解】（1）()0.0040.0080.0160.0340.0080.0040.002101m +++++++⨯= 0.024m ∴=从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于110分的概率为()()0.0240.0080.0040.002100.38P A =+++⨯=.（2）本次数学考试的平均分为()750.004850.008950.0161050.0341150.0241250.0081350.0041450.00210⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯()0.3000.680 1.520 3.570 2.760 1.0000.5400.29010106.6=+++++++⨯=本次数学考试的方差为(998.560.004466.560.008134.560.016 2.560.03470.560.024338.560.008806.560.0041474.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+()3.99424 3.73248 2.152960.08704 1.69344 2.70848 3.22624 2.9491210=+++++++⨯205.44=.18．(1)证明见解析【分析】（1）连接CE 交DF 于点H ，取BE 的中点G ，连接,AG GH ，根据条件证明四边形ADHG 为平行四边形，然后得到//DH AG 即可；（2）取CD 的中点为O ，连接OF ，依次证明OF ⊥平面ABCD 、//EF 平面ABCD ，然后可求出点E 到平面ABCD 的距离，然后根据B ADE E ABD V V --=算出答案即可.【详解】（1）证明：连接CE 交DF 于点H ，取BE 的中点G ，连接,AG GH ，因为四边形CDEF 为平行四边形，所以H 为CE 的中点，所以1//,=2GH BC GH BC ，因为AD BC ∥，2BC AD =，所以//,=GH AD GH AD ，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以//DH AG ，即//DF AG ，因为AG ⊂平面ABE ，DF ⊄平面ABE ，所以DF 平面ABE ，（2）取CD 的中点为O ，连接OF ，因为2CD ED ==，π3FCD ∠=，所以CDF 为等边三角形，所以OF =OF CD ⊥，因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，OF ⊂平面CDEF ，所以OF ⊥平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离为OF =因为//EF CD ，EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，所以点E 到平面ABCD 的距离为OF =因为ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AD CD ⊥，1AD =，2CD =，所以112ABD S AD CD =⋅⋅= ，所以1133B ADE E ABD V V --==⨯=.19．(1)证明见解析；(2)(22+【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换结合正弦定理的边角互化，代入计算，化简即可得到结果；（2）由题意可得4cos b c A c b +=，令,0b t t c =>换元，即可得到1t t+的范围，然后求解不等式即可得到t 的范围，从而得到结果.【详解】（1）因为tan tan 2tan tan tan B C B C A +=，即tan 2tan 1tan tan B B C A +=，所以sin 2sin cos cos 1sin sin cos cos BB B B CA C A+=，即sin cos cos sin 2sin cos sin cos sin cos B C B C B A C B A B +=，所以sin 2sin cos sin sin A B A C A=，即2sin 2sin sin cos A B C A =，再由正弦定理可得，22cos a bc A=（2）由（1）可知，22cos a bc A =，即2cos 02a A bc =>，且()0,πA ∈，故π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由22222cos 2cos a bc A a b c bc A ⎧=⎨=+-⎩可得224cos b c bc A +=，即4cos b c A c b +=.令,0b t t c =>，则14cos t A t +=，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()4cos 0,4A ∈，则()10,4t t +∈，即104t t<+<，所以2014t t <+<，0t >，且210t +>恒成立，即2410t t -+<，解得22t <<所以(22b c ∈-+.20．(1)1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析.【分析】（1）分离参数，转化为1e x a x ≥在[)1,+∞上恒成立，求出函数()()1,1e xg x x x =≥的最大值即可得到结果；（2）根据题意转化为()()221e ln e 1e 1e x x x f x a x x x -=->⋅--=-+，然后求得()()2e 1,0x h x x x -=-+>的最小值即可证明.【详解】（1）由()e ln x f x a x =-，可得()1e xf x a x'=-，因为()f x 在[)1,+∞上单调递增，则()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即1e xa x ≥在[)1,+∞上恒成立，令()()1,1e x g x x x =≥，则()()()2211e e 0e e x x x x x g x x x x +'=-+=-<在[)1,+∞上恒成立，即()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()max 11eg x g ==，由1e x a x ≥在[)1,+∞上恒成立，可得()max 1ea g x ≥=，所以实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）因为函数()e 1x x x φ=--，()e 1x x φ'=-，令()0x φ'=，则0x =，即0x >时，()0x φ'>，则()x φ单调递增；即0x <时，()0x φ'<，则()x φ单调递减；所以()()0110x φφ≥=-=，即e 1x x ≥+（当且仅当0x =取等号），因为函数()ln 1x x x ϕ=-+，()0x >，则()11x xϕ'=-，令()0x ϕ'=，则1x =，当01x <<时，()0x ϕ'>，则函数()x ϕ单调递增；当1x >时，()0x ϕ'<，则函数()x ϕ单调递减；所以()()10110x ϕϕ≤=-+=，即ln 1≤-x x （当且仅当1x =取等号），因为21ea ≥，且e 1x x ≥+（当且仅当0x =取等号），ln 1≤-x x （当且仅当1x =取等号），所以()()221e ln e 1e 1e x x x f x a x x x -=->⋅--=-+（两个等号不同时成立这里反为大于号），令()()2e 1,0x h x x x -=-+>，即证()0h x ≥，因额为()2e 1x h x -'=-，令()0h x '=，可得20e e 1x -==，所以2x =，当02x <<时，()0h x '<，则函数()h x 单调递减；当2x >时，()0h x '>，则函数()h x 单调递增；所以()()22min 2e 210h x h -==-+=，所以()()20h x h ≥=，即当21ea ≥时，()0f x >．21．(1)22198x y +=(2),⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭【分析】（1）()()0000,0,0P x y x y >>，由直线1PB ，2PB 的斜率之积为89-可得2220089y x b =-+，再结合2200221x y a b+=，可得,a b 的关系，从而可求得,a b ，即可得解；（2）设直线1l 的方程为()()113,,y k x B x y =-，联立方程利用韦达定理可得1x ，正在根据22BF NF ⊥，可求得N y ，从而可求得M 的坐标，再在MAO △中，由MOA MAO ∠≤∠，得MA MO ≤，从而可得出答案.【详解】（1）因为122F F =，所以22c =，即1c =，又()()120,,0,B b B b -，P 为Γ上在第一象限内的一点，设()()0000,0,0P x y x y >>，则2200221x y a b+=，即22222200b x a y a b +=，1222000200089PB PB y b y b y b k k x x x -+-⋅===-，所以2220089y x b =-+，代入22222200b x a y a b +=，得22222220089b x a x b a b ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，化简得22220089b x a y =，所以2289=b a ，又22222819c a b a a =-=-=，所以229,8a b ==，所以Γ的方程为22198x y +=；（2）由（1）可得()()23,0,1,0A F ，设直线1l 的方程为()()113,,y k x B x y =-，联立()221983x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得()2222985481720k x k x k +-+-=，()()()222254498817223040k k k ∆=--+-=>，则21254398k x k +=+，所以2212254272439898k k x k k -=-=++，由()21,0F ，设()0,N N y ，则()21,N F N y =- ，又()11248398k y k x k =-=+，则22222724481,9898k k BF k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭ ，因为22BF NF ⊥，所以22222272448109898N k k BF F N y k k -⋅=-+⋅=++ ，所以()()()2222183298916244898N k k k y kk k -+-+==-+，所以直线21916:24k MN y x k k-+=-+，联立()21916243k y x k k y k x ⎧-+=-+⎪⎨⎪=-⎩，得()226316241M k x k -=+，在MAO △中，因为MOA MAO ∠≤∠，所以MA MO ≤，所以()22223M M M M x y x y -+≤+，解得32M x ≥，即()22631632241k k -≥+，解得k ≤或k ≥，所以直线1l的斜率的取值范围为,99⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法，（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．22．(1)222x y +=y --(2)⎣⎦【分析】（1）把曲线C 的方程两边平方相加可求曲线C 的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l 的直角坐标方程;（2）设(P x -，由题意可得||2||OP OA ≤，计算可求点P 横坐标的取值范围.【详解】（1）由曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），可得222222cos 2sin cos sin cos 2sin cos sin 2x y αααααααα+=-++++=由πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得ππcos cos sin sin 66ρθρθ-=12x y -=0y --,∴曲线C 的普通方程为222x y +=,直线l 0y --（2）设(P x -,连接,OA OB ，易得,OA AP OB BP ⊥⊥，若π3APB ∠≥,则6πAPO ∠≥，1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||1||2OA OP ≥，||2||OP OA ∴≤=,两边平方得241240x x -+≤,解得3322x -+≤≤,∴点P 横坐标的取值范围为3322⎡⎢⎣⎦23．(1)513(,[,)22-∞-+∞ (2)证明见解析答案第15页，共15页【分析】（1）对x 的取值进行分类，分段求解不等式，再求并集即可；（2）根据绝对值三角不等式求出t ，再利用柯西不等式证明即可求得结果.【详解】（1）当1a =时，不等式为139x x -+-≥，当1x ≤时，139x x -+-≥可以化为()139x x -+-≥，解得52x ≤-；当13x <<时，139x x -+-≥可以化为()139x x -+-≥，得29≥，不等式不成立；当3x ≥时，139x x -+-≥可以化为()139x x -+-≥，解得132x ≥；综上,可得不等式()9f x ≥的解集为513(,[,)22-∞-+∞ .（2）当()0a t t =>时，()()()333f x x t x x t x t =--≥---=-+，当()()30x t x --≤时等号成立，由33t -=可得0=t （舍）或6t =，故6m n +=,由柯西不等式可得()(222362m n ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，即得6≤=4,2m n ==时取等号．。
福州高级中学高三数学(文科)模拟试卷
高三数学(文科)模拟试卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差为s =其中x 为样本平均数第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，=+ii1 A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2121-- 2．已知全集U=R ，集合A={|01x x x <-}，B={x|o<x<3），那么（U C A ）∩B 等于A ．{x|l ≤x ≤3}B ．{x|l ≤z<3}C ．{x|l<x<3}D ．{x|l<x<3}3．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如下左图的茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙,则下列结论正确的是A.X 甲<X 乙；乙比甲成绩稳定B.X 甲>X 乙；甲比乙成绩稳定C.X 甲>X 乙；乙比甲成绩稳定D.X 甲<X 乙；甲比乙成绩稳定4是直线4(1)90x a y -++=与直线2(1)60a x ay --+=垂直的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知0>>b a ，则3,3,4a b a的大小关系是A ．334aba>> B ．343baa<< C ． 334b a a << D ． 343a a b <<6．已知x 、y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩, 则24z x y =+的最小值为A. －15B. －20C. －25D. －30 7．已知33)6cos(-=-πx ，则=-+)3cos(cos πx x A.332-B. 332±C. 1-D.1±8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =9图所示，则()x f 的解析式是ABC D 10．以点(2,-1)为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程是A.22(2)(1)3x y -++= B.22(2)(1)3x y ++-=C.22(2)(1)9x y -++=D.22(2)(1)9x y -++=11．若点M 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足53AMAB AC =+，则ABM ∆与ABC ∆的面积比为A ．15B ．25C ．35D ．4512．已知数列{}n a 满足ABCD第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．双曲线3322=-y x 的渐近线方程是 ★ ★★ ． 14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值是8，则从集合{}3,2,1,0中所有满足条件的S 0值为★★★ ．15．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三考前模拟考试文科数学试题
陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三考前模拟考试文科数学试题一、单选题1．已知集合{}17A x x =-<<，{}09B x x =<<，则A B ⋃=（ ） A ．()1,0- B ．()1,9-C ．()0,7D ．()0,92．若复数z =z =（ ） ABC ．5D ．103．已知直线0Ax By C ++=与直线23y x =-垂直，则（ ） A ．20A B =-≠ B ．20A B =≠ C ．20B A =-≠D ．20B A =≠4．若0,a b ≥∈R，则化简2log 322+ ） A ．3a b ++ B ．3a b ++ C ．2a b ++D ．2a b ++5．若从小到大排列的样本数据3，5，7，8，9，x 的平均数与极差相等，则x =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．136．若x ，y 满足约束条件0,30,20,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+得取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)3,+∞C ．[]0,5D ．[)5,+∞7．已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为20π的球面上，该圆柱的体积为（ ） A ．8πB ．6πC ．5πD ．4π8．已知函数()()cos 2210f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则()f x 的图象的一个对称中心为（ ）A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭9．小李到长途客运站准备乘坐客车去某地，有甲、乙两个公司的客车可以选择，已知甲公司的下一趟客车将在15分钟内的某个时刻发车，乙公司的下一趟客车将在20分钟内的某个时刻发车，则他等车时间不超过8分钟的概率为（ ）A ．35B ．1625C ．1825 D ．4510．若函数()33f x x x a =-+在区间()0,2内有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()2,+∞C ．()0,1D ．()1,+∞11．如图所示，在六面体ABEDC 中，22CB CD CA ===，AB DE BE AD ===BD AE ==CE =（ ）A ．1B ．3 C．D ．412．已知双曲线22:1169x y C -=的左､右顶点分别为12,,A A P 是C 右支上一点，直线12,PA PA 与直线2x =的交点分别为,M N ，记12,PA A PMN V V 的外接圆半径分别为12,R R ，则12R R 的最大值为（ ）ABCD二、填空题13．已知椭圆C ：()222104x y a a +=>的焦距为C 的离心率为.14．已知向量(),a m m =r，m ∈R ，()0,2b =r ，则a b +r r 的最小值为.15．已知函数()31log sin 21ax x f x x -=⋅+的图象关于y 轴对称但不关于坐标原点对称，则实数=a .16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =()3cos B c b A =-，则ABC V 面积的最大值为.三、解答题17．某高科技公司组织大型招聘会，全部应聘人员的笔试成绩统计如图所示：(1)求m 的值，并估计全部应聘人员笔试成绩的中位数；(2)该公司2020—2024年每年招聘的新员工人数逐年增加，且这五年招聘的新员工总人数为500，若用这五年的数据求出每年招聘的新员工人数y 关于年份代码x （x ＝年份－2019）的线性回归方程为$2y bx =-，请根据此回归模型预测该公司2026年招聘的新员工人数是否会超过250.18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知315S =，535S =. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19．已知四棱锥S ABCD -如图所示，其中四边形ABCD 为梯形，SAB △为等边三角形，且AD ⊥平面SAB ，BC ⊥平面SAB ，M 为棱SC 的中点，22SB BC AD ===.(1)求证：//DM 平面SAB ； (2)求点M 到平面SAD 的距离.20．已知1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为抛物线C ：()220y px p =>上的一点，直线x my n =+交C 于A ，B 两点，且直线PA ，PB 的斜率之积为2. (1)求C 的准线方程；(2)求34m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值.21．已知函数()2e 2xx f x a =++.(1)若4a =-，求()f x 的极值；(2)若0a >，不相等的实数,m n 满足()()228f m f n m n +=++，求证：0m n +<.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)求l 的极坐标方程以及C 的参数方程；(2)已知直线m 的倾斜角为锐角α，m 与l 交于点M ，m 与C 交于O ，N 两点，若3OM ON ⋅=，求α.23．已知函数()263f x x x =-++. (1)求不等式()10f x >的解集；(2)记()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 为正数且1a b c ++=，。
高三数学文科模拟考试 (含答案)
高三数学文科模拟考试 (含答案)高三模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生作答时，请将答案涂在答题卡上，不要在试题卷和草稿纸上作答。
考试结束后，请将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：请使用2B铅笔在答题卡上涂黑所选答案对应的标号。
第Ⅰ卷共12小题。
1.设集合A={x∈Z|x+1<4}，集合B={2,3,4}，则A∩B的值为A.{2,4}。
B.{2,3}。
C.{3}。
D.空集2.已知x>y，且x+y=2，则下列不等式成立的是A.x1.D.y<-113.已知向量a=(x-1,2)，b=(x,1)，且a∥b，则x的值为A.-1.B.0.C.1.D.24.若___(π/2-θ)=2，则tan2θ的值为A.-3.B.3.C.-3/3.D.3/35.某单位规定，每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。
某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。
A.13.B.14.C.15.D.166.已知命题p：“存在实数x使得e^x=1”，命题q：“对于任意实数a和b，如果a-1=b-2，则a-b=-1”，下列命题为真的是A.p。
B.非q。
C.p或q。
D.p且q7.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当-1≤x≤1时，f(x)=|x|。
若函数y=f(x)的图象与函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为A.(4,5)。
B.(4,6)。
C.{5}。
D.{6}8.已知函数f(x)=sin(θx)+3cos(θx)（θ>0），函数y=f(x)的最高点与相邻最低点的距离是17.若将y=f(x)的图象向右平移1个单位得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是A.x=1.B.x=2.C.x=5.D.x=6删除了格式错误的部分，对每段话进行了简单的改写，使其更流畅易懂。
安徽省芜湖市南陵中学2022届高三上学期第一次模拟数学试卷(文科)Word版含解析
2021-2022学年安徽省芜湖市南陵中学高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）一、选择题．每小题5分，共60分．1．设i为虚数单位，则复数z=i（1﹣i）对应的点位于( )A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限2．平面对量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=( )A ．B ．C ．D．23．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．4．已知命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．则下列结论正确的是( )A．p∧q为真B．（¬p）∨q为真C．p∧（¬q）为真 D．¬p为真5．已知实数x，y 满足，则x﹣3y的最小值为( )A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．16．一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是( )A．2 B ．C．4 D．27．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是( ) A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β8．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P （，），则a的值为( ) A．﹣1 B ．C．2 D．39．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（﹣x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[0，2022]内根的个数为( )A．1006 B．1007 C．2021 D．202210．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率为( )A ．B ．C ．D ．11．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i值为( )A．2 B．3 C．4 D．512．已知函数f（x）=x 3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得微小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是( )A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3]D．[1，3]二、填空题．每小题5分，共20分．13．已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则a，b 的值分别为__________．14．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是__________．15．某班有同学55人，现将全部同学按1，2，3，…，55随机编号．若接受系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a，28，b，50号同学在样本中，则a+b=__________．16．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是__________．三、解答题．（共70分）17．济南天下第一泉风景区为了做好宣扬工作，预备在A和B两所高校分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A高校志愿者的身高的平均数为176cm ，B高校志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）假如用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，，求c的长．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A ⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D．20．已知等差数列{a n}满足，a1+a2+a3=9，a2+a8=18．数列{b n}的前n和为S n，且满足S n=2b n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n和T n．21．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．22．已知函数f（x）=ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[，e]上的单调区间和最值；（3）若存在实数m∈[﹣2，2]，函数g（x）=x3﹣（2m+n）x在（1，e）上为单调减函数，求实数n的取值范围．2021-2022学年安徽省芜湖市南陵中学高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）一、选择题．每小题5分，共60分．1．设i为虚数单位，则复数z=i（1﹣i）对应的点位于( )A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数对应点的坐标得答案．【解答】解：由z=i（1﹣i）=1+i，得复数z=i（1﹣i）对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．平面对量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=( )A ．B ．C ．D．2【考点】平面对量数量积的运算．【专题】平面对量及应用．【分析】依据已知条件可求出，，又，从而能求出=．【解答】解：由得；所以依据已知条件可得：=．故选A．【点评】考查依据向量坐标求向量长度，数量积的计算公式，以及求向量长度的方法：．3．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】数形结合．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关学问，属于基础题．4．已知命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．则下列结论正确的是( )A．p∧q为真B．（¬p）∨q为真C．p∧（¬q）为真 D．¬p为真【考点】命题的真假推断与应用．【专题】简易规律．【分析】推断两个命题的真假，推断推出结果即可．【解答】解：命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，明显是真命题；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．例如y=，函数是奇函数，但是不经过原点，所以是假命题，¬q是真命题，所以p∧（¬q）为真是正确的．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的推断与应用，考查命题的否定，基本学问的考查．5．已知实数x，y 满足，则x﹣3y的最小值为( )A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1【考点】简洁线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：设z=x﹣3y，则得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，2）．将A（2，2）代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×2=2﹣6=﹣4．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．6．一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是( )A．2 B ．C．4 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意可知左视图与主视图外形完全一样是正三角形，可得结论．【解答】解：由题意可知左视图与主视图外形完全一样是正三角形，由于主（正）视图是边长为2的正三角形，所以几何体的左（侧）视图的面积S==故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是依据所给的三视图推断出几何体的几何特征．7．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是( )A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的推断，是基础题，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．8．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P （，），则a的值为( ) A．﹣1 B ．C．2 D．3【考点】基本不等式．【专题】不等式．【分析】先依据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．【解答】解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，∴点P （，），∴=，∴α=．故选：B【点评】本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．9．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（﹣x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[0，2022]内根的个数为( )A．1006 B．1007 C．2021 D．2022【考点】根的存在性及根的个数推断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意可推出f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；从而得到f（x）=0在区间[0，2022]内根的个数．【解答】解：∵f（x）=f（﹣x+2），∴f（x）的图象关于x=1对称，又∵方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，∴方程f（x）=0在[1，2]内有且只有一个根，故方程f（x）=0在[0，2]上有且只有两个根，；又∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x）是周期为2的函数，故f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；故f（x）=0在区间[0，2022]内根的个数为2021，故选C．【点评】本题考查了函数的性质的推断与应用，属于中档题．10．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率为( )A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简洁性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先依据条件求出点A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p ，得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A （，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e====．故选B．【点评】本题主要考查双曲线的性质及其方程依据抛物线的方程和性质．留意运用双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间的关系是解题的关键．11．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当，S=时不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=2，i=1，S=1满足条件S≤2，i=2，S=满足条件S≤2，i=3，S=满足条件S≤2，i=4，S=＞2不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确推断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．12．已知函数f（x）=x 3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得微小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是( )A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3]D．[1，3]【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，微小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解答】解：∵f（x）=x 3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得微小值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有一个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，=1+2×，令m=，其几何意义为区域中任意一点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选B．【点评】本题考查同学利用导数争辩函数极值的力量，以及会进行简洁的线性规划的力量，解题时要认真审题，认真解答．二、填空题．每小题5分，共20分．13．已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则a，b 的值分别为﹣1和3．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由于（1，3）是直线与曲线的交点，所以把（1，3）代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a 的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值．【解答】解：把（1，3）代入直线y=kx+1中，得到k=2，求导得：y′=3x2+a，所以y′|x=1=3+a=2，解得a=﹣1，把（1，3）及a=﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b=3，则b的值为3．故答案为：﹣1和3．【点评】此题考查同学会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．14．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简洁性质．【专题】计算题．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，依据依据双曲线性质可知x﹣y的值，再依据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而依据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）依据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．【点评】本题主要考查了双曲线的简洁性质．要机敏运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．15．某班有同学55人，现将全部同学按1，2，3，…，55随机编号．若接受系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a，28，b，50号同学在样本中，则a+b=56．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：∵样本容量为5，∴样本间隔为55÷5=11，∵编号为6，a，28，b，50号同学在样本中，∴a=17，b=39，∴a+b=56，故答案为：56．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，依据条件求出样本间隔即可，比较基础．16．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是②③．【考点】幂函数的性质．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，推断出②③正确．【解答】解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又由于，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，简洁得出直线OP的斜率大于直线OQ 的斜率，故＞，所以③正确．答案②③【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值打算．三、解答题．（共70分）17．济南天下第一泉风景区为了做好宣扬工作，预备在A和B两所高校分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A高校志愿者的身高的平均数为176cm，B高校志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）假如用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（I）依据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）依据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．【解答】解：（I ）由茎叶图得：，解得，x=5，y=7 （II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，假如从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的全部可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为大事A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种∴因此，假如用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数及中位数，考查分层抽样方法及古典概型的概率计算，要留意求至少有1人是“高精灵”的选法可用分类法，解答本题的关键是读懂茎叶图18．在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，，求c的长．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）把题设等式代入关于cosA的余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）先利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，然后利用正弦定理求得b．【解答】解：（Ⅰ）b2+c2﹣a2=bc ，∵0＜A＜π∴（Ⅱ）在△ABC 中，，，∴由正弦定理知：，∴═．∴b=【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了同学对这两个定理的娴熟把握．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）先依据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再依据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）先依据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，依据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，由AB=6可知，，∴．又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，∴．…（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD．又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1．又BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1．…（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，又OD⊂平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．…【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算．在证明线面平行时，一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行．20．已知等差数列{a n}满足，a1+a2+a3=9，a2+a8=18．数列{b n}的前n和为S n，且满足S n=2b n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差中项的性质及已知条件“a1+a2+a3=9、a2+a8=18”可得公差，进而可得数列{a n}的通项；利用“b n+1=S n+1﹣S n”及“b1=2b1﹣2”，可得公比和首项，进而可得数列{b n}的通项；（Ⅱ）利用=，写出T n 、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=9，∴3a2=9，即a2=3，∵a2+a8=18，∴2a5=18，即a5=9，∴3d=a5﹣a2=9﹣3=6，即d=2，∴a1=a2﹣d=3﹣2=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；∵S n=2b n﹣2，∴b n+1=S n+1﹣S n=2b n+1﹣2b n，即b n+1=2b n，又b1=2b1﹣2，∴b1=2，∴数列{b n}是以首项和公比均为2的等比数列，∴b n=2•2n﹣1=2n；∴数列{a n}和{b n}的通项公式分别为：a n=2n﹣1、b n=2n；（Ⅱ）由（I ）知=，∴T n =++…+，∴T n =++…++，两式相减，得T n =+++…+﹣=+﹣=﹣，∴T n=3﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，留意解题方法的积累，属于中档题．21．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB 的高，然后用基本不等式求最值．【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l 的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0．令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得．则由弦长公式得|AB|=•=•．又点P到直线l 的距离，∴，当且仅当m2=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．【点评】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值．考查分析问题解决问题到哪里．22．已知函数f（x）=ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[，e]上的单调区间和最值；（3）若存在实数m∈[﹣2，2]，函数g（x）=x3﹣（2m+n）x在（1，e）上为单调减函数，求实数n的取值范围．【考点】利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）由题意利用导数的几何意义可得，解得a，b即可．（2）利用导数的运算法则可得f′（x）．令f′（x）=0，解得x．分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0，列出表格即可得出其单调区间及其最值．（3）求出g′（x），由题意可知g（x）在（1，e）上为单调减函数，可得：g′（x）≤0恒成立，即2m+n≥2x2lnx．于是．可得n≥﹣2m+2e2．由存在实数m∈[﹣2，2]，使得上式成立，可得n≥（﹣2m+2e2）min，即可得出n的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+2bxlnx+bx，（x＞0）．∵f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2，∴，解得，∴f（x）=2x2lnx．（2）由（1）可知：f′（x）=4xlnx+2x=2x（2lnx+1），令f′（x）=0，解得．xf′（x）﹣0 +f（x）单调递减微小值单调递增由表格可知：f（x）在[，e]上的单调递增区间为，单调递减区间为．最小值为=﹣，又=，f（e）=2e2，故最大值为2e2．（3），由题意可知g（x）在（1，e）上为单调减函数，∴g′（x）≤0恒成立，即2x2lnx﹣（2m+n）≤0，∴2m+n≥2x2lnx．∴．∴n≥﹣2m+2e2．∵存在实数m∈[﹣2，2]，使得上式成立，∴n≥（﹣2m+2e2）min=﹣4+2e2，∴n的取值范围是[﹣4+2e2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数争辩函数的单调性极值与最值、切线方程、恒成立问题的等价转化等基础学问与基本技能，属于难题．。
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。
2023届河南省开封市高三第一次模拟考试文科数学试题【含答案】
开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=a A. B. C. D. 2-23-34. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB+5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D.π36. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 27. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 7891010. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D. 有最小值311. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 14 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB ===4CE=（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x （2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤⎥⎝⎦21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF1C所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C 点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】由题知，，{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-由交集的定义得，，A B = {}0,1,2故选：C.2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C. ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+【答案】D 【解析】【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【详解】，的否定是，.x ∀∈R e 1xx ≥+x ∃∈R e 1xx <+故选：D3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=aA. B. C. D. 2-23-3【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，根据纯虚数的概念可得出关于实数的等式与4i43i a +-a 不等式，即可得解.【详解】为纯虚数，则，解得()()()()4i 43i 4i 412316i 43i 43i 43i 2525a a a a +++-+==+--+41203160a a -=⎧⎨+≠⎩.3a =故选：D.4. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB +【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求得.【详解】在中，.ABC BC AC AB=-因为，所以.13BD BC =()1133B AC ABD BC ==- 所以.()112333AD AB BD AB A A C AB C AB=++-==+故选：A5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D. π3【答案】B 【解析】【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，l h 1r =则由得，所以，2π1πl ⨯=2l=h ==所以．2211ππ133V r h ==⨯=故选：B ．6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 2【答案】B 【解析】【分析】由平均数相等求出，再求方差.m 【详解】由可得，80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==，即甲同学成绩的方差为8m =()22221211225+++=故选：B7. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A 2B. 3C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【详解】作出可行域如图：由可得：，2z x y =+122z y x =-+平移直线经过点时，有最大值，12y x=-A z 由解得，3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩(1,2)A ．max 145z =+=故选：C 8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案.()f x 2x x-<【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，()f x R ()()f x f x -=又在上单调递减，所以在上单调递增，()f x [)0,∞+(),0∞-若，则，解得.()()2f x f x <-2x x-<1x >故选：D.9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 78910【答案】B 【解析】【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.n a n S {}n a p q a a +【详解】当时，；1n =21111a S ===当时，.2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-也满足，故对任意的，，11a =21n a n =-N n *∈21n a n =-因此，.()222528p q a a p q +=+-=⨯-=故选：B.10. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D.有最小值3【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程求得，，2a =1b =c =，设，所以，利用对应函数单124MF MF +=1MF t=()21244MF MF t t t t⋅=-=-+调性即可求解．【详解】由椭圆可得，，，所以，，2214x y +=24a =21b =23c =2a =1b =c =因为点在上，所以，M C 1224MF MF a +==设，，即，则1MF t=[],t a c a c ∈-+22t ⎡∈⎣24MF t =-所以，()21244MF MF t t t t⋅=-=-+由对应函数单调性可知，2124MF MF t t⋅=-+当时，有最大值，最大值为2t =2124MF MF t t ⋅=-+4即时，最大值为，122MF MF ==12MF MF ⋅4当时，有最小值，最小值为2t =2124MF MF t t⋅=-+((22421-+=即，时，最小值为，12MF =22MF =+12MF MF ⋅1综上所述：最小值为，最大值为12MF MF ⋅14故选：A ．11. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，1D D ⊥ABCD ABCD 1(0,0,2)DD =，因为，所以，而平面，(0,1,0)MN =10D D MN ⋅= 1D D MN ⊥ MN ⊄ABCD 因此∥平面，故①对；MN ABCD 设平面的法向量为，，，1A ND (,,)m x y z = (1,1,1)DN =1(2,0,2)DA = 所以有，1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 同理可求出平面的法向量，1D MB (1,0,1)n =因为，所以，因此平面平面，故②正确；110m n ⋅=-= m n ⊥1A ND ⊥1D MB 因为，，(0,1,0)MN =11(2,2,0)B D =-- 所以，111111cos ,MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⋅因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；(0,90]MN 11B D 45︒设直线与平面所成的角为，1D B 1A ND θ因为，平面的法向量为，1(2,2,2)D B =- 1A ND (1,0,1)m =-所以，111sin cos ,D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，1D B 1A ND 45︒一共有个结论正确，3故选：C12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.0x a 【详解】题意得若函数为不动点函数，则满足()e x f x a x=-，即，即()0000e xf x a x x -==00e 2x a x =02e x x a =设，()2e xx g x =()()22e 2e 22e e x xxx x xg x --'==令，解得()0g x '=1x =当时，，所以在上为增函数(),1x ∈-∞()0g x '>()g x (),1-∞当时，，所以在上为减函数()1,x ∈+∞()0g x '<()g x ()1,+∞所以()max 2(1)eg x g ==当时，(),0x ∞∈-()0g x <当时，()0,x ∞∈+()0g x >所以的图象为：()g x要想成立，则与有交点，所以，002e x x a =y a =()g x ()max2e a g x ≤=对应区间为2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 【答案】5【解析】【分析】计算出向量、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AB AC的值.AB AC ⋅【详解】由题意可得，，因此，.()1,2AB =()1,3AC =-1235AB AC ⋅=-+⨯=故答案为：.514. 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，再代入计算可得.【详解】∵函数，()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭即，()2sin()6f x x π=-∴.5π5πππ()2sin()2sin 121264f =-==.15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm．【答案】【解析】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面x y 直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系，由题意底直径为,a b 6cm ，所以双曲线过点，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，()3,m 9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【详解】由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，x y 设双曲线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>由已知可得，，且，ce a ==222c a b =+所以，所以双曲线方程为，224a b =222214x y a a -=底直径为6cm ，所以双曲线过点，()3,m 下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：，()222222914819414m a a m a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以喉部（最细处）的直径为故答案为：16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =【答案】110【解析】【分析】对为奇数、为偶数两种情况讨论，求出数列前项中奇数项和偶数项n n {}n a 20的和，相加可得出的值.20S【详解】当为奇数时，，所以，数列的奇数项成以为首项，公差为n 22n n a a +-={}n a 1的等差数列，2所以，；132010921011002a a a ⨯⨯+++=⨯+= 当为偶数时，，n 22n n a a ++=所以，.()()()2420246818202510a a a a a a a a a +++=++++++=⨯= 因此，.2010010110S =+=故答案为：.110三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 【答案】（1）分别为件、件、件322（2）（i ）答案见解析；（ii ）1621【解析】【分析】（1）利用分层抽样可计算得出所抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数7量；（2）（i ）利用列举法可列举出所有的基本事件；（ii ）列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值.M ()P M【小问1详解】解：由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为，3:2:2由于采用分层抽样的方法从中抽取件商品，7因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取件、件、3737⨯=2727⨯=件.2727⨯=【小问2详解】解：（i ）从抽取的件商品中随机抽取件商品的所有可能结果为：、、、72AB AC AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE 、、、、；DF DG EF EG FG （ii ）不妨设抽取的件商品中，来自甲地区的是、、，来自乙地区的是、，7A B C D E 来自丙地区的是、，F G 则从抽取的件商品中随机抽取的件商品来自相同地区的所有可能结果为：、72AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG DF DG 、，共种，EF EG 16所有的基本事件共种，故.21()1621P M =18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 【答案】（1）3cos 4B =（2）52c =【解析】【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得cos2B C+角A ，B 的关系，解出的值；cos B （2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.cos B c 【小问1详解】因为，A B C π++=所以，222B C Aπ+=-得，cossin 22B C A+=因为，cossin 2B Ca b A +=由正弦定理，可得，sin sinsin sin 2AA B A ⋅=⋅又，所以，sin 0A ≠sinsin 2AB =又因为A ，B 均为三角形内角，所以，即，2AB =2A B =又因为，即，23a b =2sin 3sin A B =即，4sin cos 3sin B B B =又，得；sin 0B ≠3cos 4B =【小问2详解】若，则，3a =2b =由（1）知，3cos 4B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即，29502c c -+=()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭所以或，2c =52当时，，则，即为等腰直角三角形，2c =b c =22A B C ==ABC 又因为，此时不满足题意，所以．a ≠52c =19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB===4CE =（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）2【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即CF D DM DN //MND ABC 得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ，设，由勾股定理即可12AF EF EB AB a ====求出，进而可求解三棱锥N －ABC 的体积.a 【小问1详解】取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴，，DM AC ∥DN EF ∥又∵平面ABC ，平面ABC ，∴平面ABC .DM ⊄AC ⊂DM ∥又，∴，同理可得， 平面ABC .EF AB ∥DN AB ∥DN ∥∵平面MND ，平面MND ，，DM⊂DN ⊂DM DN D = ∴平面平面ABC .MND ∥∵平面MND ，∴平面ABC .MN ⊂//MN 【小问2详解】取AB 的中点O ，连接OC ，OE .由已知得OA EF 且OA =EF ，∴OAFE 是平行四边形，∴OE AF 且OE =AF ∥∥∵△ABC 是正三角形，∴OC ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面平面ABEF ＝AB ，∴OC ⊥平面ABEF ，ABC ⋂又平面ABEF ，∴OC ⊥OE .OE ⊂设，，12AF EF EB AB a ====OC =在Rt △COE 中，由，解得，即.222OC OE CE +=2a =122AF EF EB AB ====由题意∠FAB ＝60°，M 到AB 的距离即为M 到平面ABC的距离sin 60h AM =︒=又平面ABC ，∴.//MN 11142332N ABC M ABC ABC V V S h --==⋅⋅=⨯⨯⨯=△20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x（2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】（1）(],2-∞-（2）2ln 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知可得：即可求解.()2cos 0f x x a '=-≥（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.【小问1详解】由已知可得：恒成立，()2cos 0f x x a '=-≥即恒成立，又的最小值为-2，所以，2cos a x ≤2cos y x =2a ≤-则有.(],2a ∈-∞-【小问2详解】当时，，1a =()()ln 2sin ln g x f x x x x x=-=--()0,x ∈+∞所以，()12cos 1g x x x '=--令，在上单调递减，()()h x g x '=()212sin h x x x '=-+0,2π⎛⎤⎥⎝⎦又因为，，26106h ππ⎛⎫⎛⎫'=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12sin112sin 106h π'=-+<-+=所以存在使得，即，从而0,16x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '=02012sin x x =0cos x =则有x()00,x 0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭()h x '正负()g x '递增递减则有最大值为：()g x '，()00000011112cos 11110g x x x x x x '=--=--<-=-<所以，()0g x '<则在上单调递减，所以最小值为.()g x 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦2ln 222g πππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH交于点O ，以EF 1C 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =【答案】（1）2214x y +=（2）k =k =【解析】【分析】（1）由，，即可得到椭圆的长半轴长和短半轴长，进而可求解.2ND =1DM =（2）分类讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时不满足题意，故设，l :l y kx m =+联立方程，表达出即可求解.S =【小问1详解】由题意可得，，2ND =1DM =所以椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，所以椭圆的方程为：.1C 1C 2214x y +=【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，依题意，，带入方程可得，:1lx =±1C AB=此时，所以直线l 的斜率一定存在，设，S =≠:l y kx m =+l 与圆，即，2C 1=221m k =+联立可得，221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=由得，()()222264161410k m k m ∆=-+->0k ≠，，122814kmx x k -+=+()21224114mx x k -=+2AB x =-===，由得，即，解得S =AB ==4251120k k -+=k =k =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M 【答案】（1）2x y =（2）221x y =-【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程为（为参数），消去参数求解；C 222x pty pt =⎧⎨=⎩t t （2）设的斜率为，方程为，则的方程为：，分别与抛物线方OA k y kx =OB 1=-y xk 程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1详解】解：因为曲线的参数方程为（为参数），C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t 消去参数可得：，将点代入可得，t 22x py =()2,412p =所以曲线的普通方程为：；C 2x y =【小问2详解】由已知得：，的斜率存在且不为0，OA OB设的斜率为，方程为，则的方程为：，OA k y kx =OB 1=-y x k 联立方程可得：，2,,y kx x y =⎧⎨=⎩()2,A k k 同理可得：，211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭设，所以(),M x y 2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以，22214222x k y k =+-=-所以即为点轨迹的普通方程．221x y =-M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；()f x （2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用()21f x x b >-+233a b x x +>-+不等式，即可证明.【小问1详解】当时，，1a =()121f x x x =++-当，，；1x ≤-()31f x x =-+()min ()14f x f =-=当，，；11x -<<()3f x x =-+()()2,4f x ∈当，，；1x ≥()31f x x =-()min ()12f x f ==∴当时，的最小值为2．1a =()f x 【小问2详解】，，当时，0a >0b >12x ≤≤可化为，2211x a x x b ++->-+233a b x x +>-+令，，，∴()233h x x x =-+[]1,2x ∈()()()max 121h x h h ===1a b +>∴，22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时取得等号；a b =又当时，，1a b +>2()122a b a b ++++2>故.2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
2022年高考文科数学模拟测试试题、参考答案及评分细则
2022年高考文科数学模拟测试试题注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共7页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、准考证号分别填写在答题卡及答题纸上。
3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上。
4．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={}0,1,2，N={}2,x x a a M =∈，则集合M N =（ ）A 、{}0B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,22．函数44y sin x cos x =+的最小正周期是（ ） A ．2π B.4π C. 2π D. 4π3．若A 、B 、C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p =(sinA ，cosA)，q =(sinB ，−cosB)，则p 与q 的夹角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都不对4．已知抛物线2x y =，则它的准线方程为（ ）A ．14x =B ．14x =-C ．14y =D ．14y =-5． 在等差数列{}n a 中，公差d=1,417a a 8+=,则24620a a a a ++++的值为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．556．若P 为双曲线221916x y -=右支上一点，P 到右准线的距离为65，则点P 到双曲线左焦点的距离为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．87．记函数xy 12-=+的反函数为y=g(x),则g(5)等于（ ）A ．2B ．-2C ．-4D ．48．某校高一、高二年级各有300人，高三年级有400人，现采用分层抽样抽取容量为50人的样本，那么高三年级应出人数为（ ）A ．16B ．40C ．20D ．259．a 2b 0=≠，且关于x 的方程2x a x a b 0++⋅=有实根，则a 与b 夹角的取值范围是（ ）A 、0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若实数x,y 满足x 2y 2x y 2≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x+2y 的最小值和最大值分别为（ ）A ．2，6B ．2，5C ．3，6D ．3，511．在正三棱柱111ABC A B C -中,若2AB =,11AA =,则点A 到平面1A BC 的距离为（ ）12、非零向量b OB a OA ==,，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB OB +为（ ）A、)(2a b a ⋅ B、)(a b a ⋅ C、a b a )(2⋅ D、a b a )(⋅第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题(4×4′=16分)：13．1212sin cos ππ-= ；14．已知n 为等差数列−4，−2，0，…，中的第8项，则二项式2(nx 展开式中的常数项是 ；15．若一个圆的圆心在抛物线24y x =的焦点上，且此圆与直线10x y ++=相切，则这个圆的方程是 ；16．已知m 、n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩其中的正确命题序号是：三．解答题（满分74分）：17（本题12分）．已知(53cos ,cos )a x x =，(sin ,2cos )b x x =，记函数2()f x a b b =•+(1)求函数()f x 的最小正周期及最值； (2)当64x ππ≤≤时，求函数()f x 的值域.18（本题12分）．甲、乙两人同时参加一次面试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过。
高三文科数学第一次质量检测模拟试卷及答案
河南省焦作市届高三第一次质量检测数学(文)命题:武陟一中:张六军沁阳一中:尚思红焦作一中:刘晓静市教研室:焦金安审校:焦作市外国语中学:卫月亲注意:1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共10页(其中试题卷4页,答题卷6页),共150分,考试时间120分钟;2、请在答题卷上书写解答,在试题卷上解答的无效.参考公式:如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式P(A+B)＝P(A)+P(B) S＝4πR2如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率V＝43πR3是P,那么n次独立重复试验中恰好其中R表示球半径发生k次的概率P n(k)＝C k n P k(1－P)n－k(k＝0,1,2……,n)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合=,,则= （ ）A ． B. C ． D .2. 若函数，则是（ ）A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的奇函数C ．最小正周期为的偶函数D ．最小正周期为的偶函数3. 已知p ：2x-2x+1 <1, q ：x(x-3)<0，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件已知对任意实数给出下列关 4. 已知两条直线m 、n,两个平面α、β,给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α则n ⊥α ②α∥β,m α,n β则m ∥n ③m∥n,m∥α则n ∥α ④α∥β,m ∥n,m ⊥α则n ⊥β 其中正确命是（ ） A.①③ B.②④C.①④D.②③5.已知是等差数列，，，则该数列前8项和等于（ ）A ．64B ．80C ．110D ．1206. 下列函数图中，正确的是A },1|{2Z x x y x ∈-=},12|{A x x y yB ∈-==B A }1{}1,1{-)1,1(-}3,1,0,1{-21()sin ()2f x x x =-∈R ()f x π2π2ππ⊂⊂{}n a 124a a +=7828a a +=8S y=x+a y=x+a1 1 11 1 o o ooxxxy =log a x y=x+ay=x yy y=x+a y=x ay=ay y (B )(C )(D )7.线上以点为切点的切线方程是（ ）A. B. C. D. 8. 过点A （0,3），被圆（x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线方程是（ ）A ．y ＝- 13x+3B ．x ＝0或y ＝- 13x+3C ．x ＝0或y ＝ 13x －3 D ．x ＝09.如图，已知，用表示，则（ ）A ．B ．C ．D ． 10. 如图,A 、B 、C 分别是椭圆x 2a 2 +y2b2 ＝ 1(a ＞b ＞0)的顶点与焦点,若∠ABC＝ 90°,则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知正方体的棱长为1，球O 与正方体体的各都相切，则球O 的表面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知全集,集合A 、B 都是U 的子集，当时，我们把这样的（A ，B ）称为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”一共有（ ）A ．８对B ．２０对C ．２７对D ．３６对第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.13． 已知，则. 14．当x ＞2时，使不等式x+ 1x －2≥a 恒成立的实数a 的取值范围是 .15．15.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0y ＞02x+y ＜4,则y+2x+2 的取值范围是 .21y x x =--(1,1)--2y x =--y x =21y x =+23y x =--,,3AB a AC b BD DC ===,a b AD AD =34a b +1344a b +1144a b +3144a b +51-31-53π2π3π4π}6,,3,2,1{••••••••U =}3,2,1{••••B A =⋂2 (0)()2sin (0)x x f x x x π⎧≤=⎨-<≤⎩=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)3(πf f ABCD16．若∣y－2x∣＝ x 2,其中－1＜x ＜0,则实数y 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知、、三点的坐标分别为、、，若， 求的值.18．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(游览的景点数可以为0.) (Ⅰ)求ξ＝ 3时的概率; (Ⅱ)求ξ取其它值时的概率.19．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。
河南省实验中学2023届高三文科数学全真模拟一试题
河南省实验中学2023届高三文科数学全真模拟一试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)证明：AC BD ^．(2)若BD与平面ABC所成的角为6p，20．如图，已知椭圆2214x y +=的左、右的动点，过原点O 平行于AC 的直线与与椭圆交于点P ，Q ，点P ，C ，M 在（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.21．(1)1a e =-，0b =(2)0a =【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()()11f g =且()()11f g ¢¢=，即可得到方程组，解得即可；（2）依题意可得()()e e 10b a b a a -+--³对b "ÎR 恒成立，令()()()e e 1b a H b b a a =-+--，求出函数的导函数，由()0H a =可得()0H a ¢=，从而求出a 的值，再验证即可.【详解】（1）解：因为()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，所以.()e 21x f x x ¢=+-，()2g x x a ¢=-，因为()()11f g =且()()11f g ¢¢=，即e 212a +-=-且22e 1111a b +-=-´-，解得1a e =-，0b =.（2）解：因为()()()()f b f a g b g a -³-对b "ÎR 恒成立，.()()()22222e e b a b b a a b ab b a a b \+--+-³-----对b "ÎR 恒成立，即()()e e 10b a b a a -+--³对b "ÎR 恒成立，。
四川省绵阳2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题含解析
绵阳南山高2021级高三（上）一诊模拟考试文科数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，本试卷收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合2{|20}P x x x =-<，{N |1}Q x x =∈≥，则P Q = （）A.{1,2}B.{1}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，再根据交集的定义可求得结果.【详解】220x x -<，02x ∴<<，{}02A x x ∴=<<，又{}N 1B x x =∈≥，{}1A B ∴⋂=.故选：B.2.已知向量()()1,,,2a m b m == ，若4a b =，则实数m 等于（）A. B.0C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的计算规则求解.【详解】由题意：41234,3a b m m m m =⨯+⨯==∴= ；故选：D.3.下列函数中，既是奇函数，又在[0,1]上单调递减的是（）A.sin y x =-B.3y x =C.1y x x=+D.||e x y =【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.【详解】由sin y x =-定义域为R 且sin()sin x x --=，易知sin y x =-为奇函数，又π[0,1][0,]2⊆，故sin y x =-在[0,1]上递减，A 符合.由3y x =在[0,1]上递增，B 不符合；由1y x x=+定义域为{|0}x x ≠，显然区间[0,1]不满足定义域，C 不符合；由||e x y =定义域为R 且||||e e x x -=，即||e x y =为偶函数，D 不符合；故选：A4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.60【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.5.“0a b <<”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.【详解】由0a b <<，则11a b>成立，充分性成立；由11a b>，若1,1a b ==-，显然0a b <<不成立，必要性不成立；所以“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A6.已知β是第三象限角，则点()cos ,sin 2Q ββ位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为β是第三象限角，故sin 0,cos 0ββ<<，则sin 22sin cos 0βββ=>，故()cos ,sin 2Q ββ在第二象限，故选：B7.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A8.已知命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >；q ：若0a >，则1(1)(1a a++4≥，则下列命题为真命题的是（）A.p q ∧B.p q∧⌝ C.p q⌝∧ D.p q⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据条件分别判断命题p ，命题q 的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.【详解】命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，由正弦定理得a b >，所以A B >，为真命题，当0a >，对于()111122a a a a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =时等号成立，所以命题q ：若0a >，则1(1)(1)a a++4≥，为真命题，所以p q ∧为真命题，p q ∧⌝假命题，p q ⌝∧假命题，p q ⌝∧⌝假命题，故选：A.9.函数y＝2x x e(其中e 为自然对数的底数)的大致图像是()A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.【详解】方法一：排除法：当0x =时，0y =，排除C ，当0x ≠时，0y >恒成立，排除A 、D ，故选B.方法二：222(2)'x x x xx e x e x x y e e⋅-⋅-==，由'0y > ，可得02x <<，令'0y <，可得0x <或2x >，所以函数在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，所以只有B 符合条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.10.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.0.82B.1.15C.3.87D.5.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.【详解】根据题意可得1530507.5C C λλ⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，所以31lg lg 104λ=，可得1lg2lg 220.3014 1.153lg 310.4771lg 10λ--⨯==≈=--⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．12.设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（）A.12e- B.211e-C.212e -D.212e +【答案】C 【解析】【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -'=+，所以过切点的切线方程为()()()0000e 1e x xy x x x ----=+-，即()()0001e e 1x xy x x --=+-+，所以()001e e 1xx a b x --⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，所以0002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----'=-+-=-，所以当(),2x ∈-∞时()0g x '<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时()0g x '>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】45##0.8【解析】【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.【详解】由π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得ππ4cos cossin sin sin 665ααα+-=，14cos sin 225αα-=，所以2π2π4sincos cos 335αα+=，所以2π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故答案为：4514.等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，则710a a +=___________．【答案】108【解析】【分析】根据等比数列的性质可得23614a a q a a +=+，求得2q ，继而根据471036()a a q a a +=+求得答案.【详解】由题意等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则236141234a a q a a +===+，故471036()912108a a q a a +=+=⨯=，故答案为：10815.如图，在ABC 中，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ()m R ∈，则m 的值为___________．【答案】14【解析】【分析】12AP mAC AB =+改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数m 的方程，解之即可.【详解】因为12AP mAC AB =+ ，2AD DB =即，32AB AD= 所以1324AP mAC AB mAC AD =+=+ ,又,,C P D 三点共线，所以314m +=，解得14m =.故答案为：14.16.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x -=成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，有下列命题：①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ；②函数()y f x =图象关于直线5x =-对称；③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点；④函数()y f x =在[5,3]--上为减函数．则以上结论正确的是___________．【答案】①②【解析】【分析】由题意分析()f x 的对称性、单调性、周期性，对结论逐一判断.【详解】根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；由(2)()f x f x -=得()()(11)(11)f x f x --=+-，即(1)(1)f x f x -=+所以1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()()f x f x f x -==--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]12,0,1x x ∈，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[]0,1上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1,1]-上单调递增；据此分析选项：对于①，(2)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，()()()()12320195040(1)(2)(3)0f f f f f f f ++++=⨯+++= ，故①正确；对于②，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x =是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，故②正确；对于③，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6，故③错误；对于④，()f x 在区间[1,1]-上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5,3]--上为增函数，故④错误；故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设{}n a 是公差不为0的等差数列，38a =，1311,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式：（2）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）31n a n =-（2）364n nS n =+【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列方程可求出1,a d ，从而可求出通项公式，（2）由（1）得13113132n n n b a a n n +==--+，再利用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =⋅又因为38a =，所以()()288288d d =-+，所以230d d -=．因为0d ≠，所以3d =，所以11268a d a +=+=，得12a =，故()23131n a n n =+-=-．【小问2详解】因为()()1331131323132n n n b a a n n n n +===--+-+，所以11111125573132n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ -+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11323264n n n =-=++．18.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到()g x 的图象，求函数()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．【答案】（1）π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据函数图象求出A =πT =，进而得出ω.根据“五点法”，即可求出ϕ的值；（2）先求出π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据已知得出22333x πππ-≤-≤.结合正弦函数的单调性，解ππ2π2233x ≤-≤，即可得出答案.【小问1详解】由图易知A =，5π262π3πT =-=，所以πT =，2π2π2πT ω===．易知π44T =，故函数()f x 的图象经过点π12M ⎛ ⎝，π212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．又π2ϕ<，∴π3ϕ=．∴π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意，易知πππ()22333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为02x π≤≤时，所以22333x πππ-≤-≤.解ππ2π2233x ≤-≤可得，5ππ122x ≤≤，此时π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故函数()y g x =的单调递减区间为5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2B C a A B c ++=．（1）求A ；（2）已知3c =，1b =，边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S = ，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）334AD =【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【小问1详解】∵sin()sin2B C a A B c ++=，即sin sin()sin sin 2B C A A B C ++=由正弦定理，有sin sin sin cos 2A A C C =又sin 0C ≠，即有sin cos 2A A =，2sin cos cos 222A A A =，π(0,22A ∈ ，cos 02A ≠，所以1sin 22A =，π26A =，故π3A =．【小问2详解】设BDA α∠=，πADC α∠=-，由（1）知π3A =，在△ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可知21912312BC =+-⨯⨯⨯，∴BC =又3ABD ADC S S = ，可知34BD DC ==，在△ABD 中，2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD α=+-⋅，在△ACD 中，271cos()16AD πα=+-⋅-，即271cos 162AD AD α=+-⋅，联立解得334AD =.20.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对[]x 1,2∈-，不等式()2c f x <恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）1,22a b =-=-，单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1c <-或2>c【分析】（1）求出函数导数，由题可得203(1)0f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪='⎩'即可求出,a b ；（2）求出()f x 在[1,2]x ∈-的最大值即可建立关系求解.【详解】（1）32()f x x ax bx c =+++ ，∴()232f x x ax b '=++，()f x 在23x =-与1x =时都取得极值，21240393(1)320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=''⎩∴，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2()32(32)(1)f x x x x x '∴=--=+-，令()0f x '>可解得23x <-或x 1>；令()0f x '<可解得213x -<<，()f x ∴的单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[]321()2,1,22f x x x x c x =--+∈-，由（1）可得当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c =+，所以()()max 22f x f c ==+，要使2()f x c <对[1,2]x ∈-恒成立，则22c c >+，解得1c <-或2>c .21.已知函数()1ln f x x a x x=-+，R a ∈．（1）若()f x 在区间()3,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，转化为1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立，构造函数()1h x x x=+，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=，121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >，则()()12212222ln 21f x f x x a x x x x --=-+--，所以只需证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x =-+，利用求出其出其最大值小于零即可.【小问1详解】∵()222111a x ax f x x x x-+'=--+=-，又()f x 在区间()3,+∞上单调递减，∴221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，即210x ax -+≥在()3,+∞上恒成立，∴1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立；设()1h x x x =+，则()211h x x '=-，当3x >时，()0h x '>，∴()h x 单调递增，∴()()1033h x h >=，∴103a ≤，即实数a 的取值范围是10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=．∴121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >．∴()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=--=-+----，则要证()()12122f x f x a x x -<--，即证2222ln 1x a a x x -<-，即证22212ln x x x <-，也即证22212ln 0x x x -+<成立．设函数()12ln g x x x x =-+，则()()22211210x g x x x x-'=--+=-<，∴()g x 在()0,∞+单调递减，又()10g =．∴当()1,x ∈+∞时，()0g x <，∴22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x=-+，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ =，此时31(,)22P .【解析】【详解】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,22.试题解析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()212f x x x =--+.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()23f x t t ≥-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[)4,6,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦;（2）3535,22⎛⎛⎫-+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】【详解】试题分析：（1）将()f x 的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）()23f x t t ≥-在[]0,1上无解相当于()2max 3f x t t <-，从而得到关于的一元二次不等式，解得t 的范围.试题解析：（1）由题意得()13,21{31,223,2x x f x x x x x -≥=---≤≤-<-.则原不等式转化为1{233x x ≥-≥或12{2313x x -≤<--≥或2{33x x <--≥.∴原不等式的解集为][4,6,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题得()2max 3f x t t <-，由（1）知，()f x 在[]0,1上的最大值为1-，即()2max 13f x t t =-<-，。
江西省吉安市第三中学2023届高三第一次模拟文科数学试题
一、单选题1. 已知函数在区间的值域为，则（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82. 双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（）A．B．C ．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数D ．若点P 在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则3.已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知集合、满足，，若，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，，若，不等式恒成立，则正数t 的取值范围是（ ）A．B．C．D．6.平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（ ）A．B．C．D．7. 若,则的值为A．B．C．D．8. 已知抛物线E :的准线交y 轴于点M ，过点M 作直线l 交E 于A ，B两点，且，则直线l 的斜率是（ ）A．B．C．D．9.已知，随机变量，的分布列如表所示.123123江西省吉安市第三中学2023届高三第一次模拟文科数学试题二、多选题三、填空题Pc b a 命题：，命题：，则A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假10.设，，，则（ ）A．B．C．D．11. 已知定义在R上的函数在上有且仅有个零点，其图像关于点和直线对称，则下列结论正确的有（ ）A．B．C ．是的一个增区间D．12.如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（）A．B ．直线PC 与直线异面C ．存在点P 使得PC与所成的角为60°D ．存在点P 使得PC 与底面ABCD 所成的角为60°13.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）A ．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点B．若为上的动点，则的最小值为5C ．直线与抛物线相交所得弦长为8D ．抛物线与圆交于两点，则14.双曲线，圆，双曲线与圆有且仅有一个公共点，则取值可以是（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.715. 已知三棱锥的各棱长均为1，且其四个顶点都在球O 的球面上．若过球心О的一个截面如图所示，则该截面中三角形（阴影部分）的面积为______．16. 如图是一容量为的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为_______四、填空题五、解答题六、解答题17.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的范围是______.18. 若二项式的展开式的各项系数之和为64，则___________，含项的系数为___________.19. 球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ，B ，C 是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧组成的图形称为球面．已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点．若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面的面积为__________；若，则球面的面积为__________．20. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.21. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.22. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，2），则P （μ-≤X ≤μ+≈0.6827，P （μ-2≤X ≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．23. 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个七、解答题八、解答题九、解答题班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.附：（其中）24. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.25. 某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏检率时，求临界值和错检率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．26. 已知函数.(1)若曲线的一条切线方程为，求的值；(2)若函数在区间上为增函数，求的取值范围；(3)若，无零点，求的取值范围．。
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高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2016届高三文科数学模拟试卷(一）第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =≤，集合B Z =，则AB =( )A.{}0B.{}11A x x =-≤≤C.{}1,0,1-D.∅ 1.解:集合{}{}111A x x x x =≤=-≤≤，所以{}1,0,1A B =-，选C.2.设i 是虚数单位，复数111iz i-=++在复平面上所表示的点为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.解:复数121111i z i i i-=+==-++.所对应的点为(1,1)-,在第四象限,选D. 3.已知向量(,2)a m =-，(4,2)b m =-，条件p ://a b ，条件q :2m =，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.解:因为2//2802a b m m ⇔-+=⇔=±，所以p 是q 的必要不充分条件，选B. 4.函数1()cos23sin cos 2f x x x x =+的一个对称中心是( ) A.(,0)3π B.(,0)6π C.(,0)6π-D.(,0)12π-4.解:函数113()cos23sin cos cos2sin 2sin(2)2226f x x x x x x x π=+=+=+的对称中心的横坐标满足2,6x k k Z ππ+=∈,即,212k x k Z ππ=-∈,所以(,0)12π-是它的一个对称中心，选D. 5.定义运算“*”为：(0)2(0)a b ab a a b a +<⎧*=⎨≥⎩,若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是第8题图( )5.解:21(1)(1)()(1)2(1)x x x x f x x x x ++<-⎧=+*=⎨≥-⎩,选D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A.3(2)2π+ B.3(4)3π+ C.3(2)6π+ D.3(2)3π+ 6.解:由三视图可知该几何体是组合体，上方是底面圆半径为1、高为3的半个圆锥，下 方是底面圆半径为1、高为2的圆柱，且圆柱的上底面与半圆锥的底面重合，所以该几何体的体积是11332(2)326πππ⨯⨯+=+，选C.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A.6 B.8 C.10 D.157.解:该程序框图运行3次，各次S 的值依次是3,6,10，所以输出的结果是10，选C. 8.如图所示，为了测量某湖泊两侧,A B 间的距离，李宁同学首先选定了与,A B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）： ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定,A B 间距离的所有方案的个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.08.解:根据图形可知，,a b 可以测得，角,,A B C 也可以测得，利用测量的数据，求解,A B 两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的,A B 两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定,A B 两点间的距离，选A.9.已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为32，则a =( )A.14 B.12C.1D.2 9.解:如图,平移直线2y x =-经过直线1x =与(3)y a x =-的交点(1,2)A a -时,目标函数2z x y =+取得最小值,则321(2)2a ⨯+-=,解得14a =,选A.10.已知点(,)n n A n a (n N +∈)都在函数()log a f x x =(0a >且1a ≠)的图象上，则210a a +与62a 的大小关系为( )A.21062a a a +>B.21062a a a +<C.21062a a a +=D.210a a +与62a 的大小与a 有关 10.解:由条件知log n a a n =，所以210log 2log 10log 20a a a a a +=+=,622log 6log 36a a a ==,所以210a a +与62a 的大小与a 有关,选D.11.若函数32()236f x x mx x =-+在(2,)+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.(,2)-∞ B.(,2]-∞ C.5(,)2-∞ D.5(,]2-∞11.解:因为2()666f x x mx '=-+,令26660x mx -+≥，则1m x x ≤+，又因为1y x x=+ 在(2,)+∞上为增函数，故当(2,)x ∈+∞时，152x x +>，故52m ≤，选D. 12.点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和圆 22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为( )A.8B.9C.10D.712.解:易知两圆圆心分别为双曲线的左、右焦点12(5,0),(5,0)F F -，点P 是双曲线右支上一点，由双曲线定义可得1226PF PF a -==，当1,,P M F 且2,,P N F 共线时, PM PN -有最大值,1122()()6219PM PN PF r PF r -≤+--=++=,即PM PN -的最大值为9，选B.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.高三某学习小组对两个相关变量收集到6组数据如表：x 10 20 30 40 50 60 y 3928m n4341由最小二乘法得到回归直线方程0.8211.3y x =+，发现表中有两个数据模糊不清，则这两个数据的和是________. 13.解:由表中数据可得102030405060356x +++++==，代入线性回归方程得0.823511.340y =⨯+=，39284341406m n +++++=⨯,89m n +=.14.直三棱柱111ABC A B C -的顶点在同一个球面上，13,4,26AB AC AA ===，90BAC ∠=，则球的表面积为________.14.解:取11,BC B C 的中点分别是1,D D ，则由三棱柱的性质可得其外接球的球心O 在1DD 的 中点，设外接球的半径为R ，则22222549()(6)24R AD DO =+=+=，故此球的表面积 为2449S R ππ==.15.设抛物线24x y =的焦点为F ,经过点(1,4)P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点,且点P 恰为AB 的中点,则AF BF += .15.解:设1122(,),(,)A x y B x y ,由题意知122x x +=,且2211224,4x y x y ==,两式相减整理得212121142y y x x x x -+==-,所以直线AB 的方程为14(1)2y x -=-,即270x y -+=,将27x y =-代入24x y =整理得2432490y y -+=,所以128y y +=,又由抛物线定义得12210AF BF y y +=++=.16观察下列等式：23(11)21,(21)(22)213,(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯, ……,照此规律，第n 个等式可为________________________．16.解:观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从1n +到n n +，等式右端是积式， 第一项是2n，后面是等差数列{}21n -的前n 项的乘积，故第n 个等式为(1)(2)()213(21)n n n n n n +⋅+⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知等差数列{}n a 中，12a =-，公差3d =；数列{}n b 中，n S 为其前n 项和，满足212n n n S +=(n N +∈).(1)记11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ； (2)求证:数列{}n b 是等比数列；17.解:(1)因为12a =-,3d =,所以1(1)23(1)35n a a n d n n =+-⨯=-+-=-, 则111111()(35)(32)33532n n n c a a n n n n +===-----, 所以11111111[(1)(1)()]()324353232322(32)n nT n n n n =--+-++-=--=-----; (2)因为212n nn S +=,所以112n n S =-,1111(2)2n n S n --=-≥, 则111111111111()(2)2222222n n n n n n n n b S S n -----=-=-=-⨯=⨯≥,当1n =,11111122b S ==-=,满足上述通项公式，所以数列{}n b 是以112b =为首项, 12q =为公比的等比数列.18.(本小题满分12分)解放军某部在实兵演练对抗比赛中，红、蓝两个小组均派6人参加实弹射击，其所得成绩的茎叶图如图所示.(1)根据射击数据，计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差，并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定；(2)若从蓝军6名士兵中随机抽取两人，求所抽取的两人的成绩之差不超过2的概率． 解:(1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙，则 x －甲＝16(107＋111＋111＋113＋114＋122)＝113，x －乙＝16(108＋109＋110＋112＋115＋124)＝113，S 2甲＝16[(107－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(113－113)2＋(114－113)2＋(122－113)2] ＝21.S 2乙＝16[(108－113)2＋(109－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(124－113)2] ＝883. 因为x －甲＝x －乙，S 2甲<S 2乙，所以红军的射击成绩相对比较稳定．(2)从蓝军6名士兵中随机抽取两人，共有15种不同的取法，其成绩情况如下：(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)．设A 表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过2”，则A 的基本事件有4种：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)， 故所求概率为P (A )＝415.19.(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ， 且P A ＝2，E 是侧棱P A 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)如果E 是P A 的中点，求证PC ∥平面BDE ； (3)是否不论点E 在侧棱P A 的任何位置， 都有BD ⊥CE ？证明你的结论． 19.解:(1)∵P A ⊥平面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×12×2＝23.即四棱锥P －ABCD 的体积为23.(2)连接AC 交BD 于O ，连接OE .∵四边形ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点． 又∵E 是P A 的中点，∴PC ∥OE .∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴PC ∥平面BDE . (3)不论点E 在何位置，都有BD ⊥CE .证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC . ∵P A ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥P A . 又∵AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC . ∵不论点E 在何位置，都有CE ⊂平面P AC . ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥CE .20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点(1,0)且与直线x ＝－1相切， 设该动圆圆心的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知点A (5,0)，倾斜角为π4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且与曲线E 交于M 、N 两点，求△AMN 面积的最大值，及此时直线l 的方程． 20.解:(1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y 2＝4x .(2)由题意，可设l 的方程为y ＝x －m ，其中0＜m ＜5由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －my 2＝4x，消去y ，得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＝0 ①当0＜m ＜5时，方程①的判别式Δ＝(2m ＋4)2－4m 2＝16(1＋m )＞0成立． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝4＋2m ，x 1·x 2＝m 2， ∴|MN |＝2|x 1－x 2|＝ 42＋2m 又因为点A 到直线l 的距离为d ＝5－m2∴S △AMN ＝2(5－m )1＋m ＝2m 3－9m 2＋15m ＋25. 令f (m )＝m 3－9m 2＋15m ＋25，(0<m <5)， f ′(m )＝3m 2－18m ＋15＝3(m －1)(m －5)，(0<m <5) 所以函数f (m )在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减． 当m ＝1时，f (m )有最大值32，故当直线l 的方程为y ＝x －1时，△AMN 的最大面积为8 2. 21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．21解:(1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax.由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时f ′(x )＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )；单调递增区间是(－a ，＋∞)． (3)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立，即－2x 2＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x －x 2在[1,2]上恒成立．令h (x )＝1x －x 2，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x )<0，∴h (x )在[1,2]上为减函数．h (x )min ＝h (2)＝－72，∴a ≤－72，故a 的取值范围为(－∞，－72]．22.(本小题满分10分)已知切线AB 与圆切于点B ，圆内有一点C 满足 AB ＝AC ，∠CAB 的 平分线AE 交圆于D , E ，延长EC 交圆于F ，延长DC 交圆于G ，连接FG . (1)证明：AC ∥FG ；(2)求证：EC ＝EG .22．证明:(1)∵AB 切圆于B ，∴AB 2＝AD ·AE ， 又∵AB ＝AC ，∴AC 2＝AD ·AE ， 即AC AE ＝ADAC，又∠CAD ＝∠EAC ， ∴△ACD ∽△AEC ，∴∠ACD ＝∠AEC ，又∵∠AEC ＝∠DGF ，∴∠ACD ＝∠DGF ，∴AC ∥FG .(2)连接BD ，BE ，EG .由AB ＝AC ，∠BAD ＝∠DAC 及AD ＝AD ， 知△ABD ≌△ACD ，同理有△ABE ≌△ACE ，∴∠BDE ＝∠CDE ，BE ＝CE . ∴BE ＝EG ，∴EC ＝EG .23.(本小题满分10分)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C以M 为圆心，4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 与圆C 的位置关系．23.解:(1)直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos π3·t ，y ＝－5＋sin π3·t(t 为参数)，则⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．M 点的直角坐标为(0，4)，圆C 方程x 2＋(y －4)2＝16且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得圆C 极坐标方程ρ＝8sin θ. (2)直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心M 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32＞4.∴直线l 与圆C 相离．24.(本小题满分10分)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋1|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥4－x ；(2)设a ，b ∈{y |y ＝f (x )}，试比较2(a ＋b )与ab ＋4的大小． 24.解:(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1 （x ＜－1），3 （－1≤x ≤2），2x －1 （x ＞2）.由f (x )≥4－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x ＋1≥4－x或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，3≥4－x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，2x －1≥4－x ，∴x ≤－3或1≤x ≤2或x ＞2. 所以不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (2)由(1)已知f (x )≥3，所以a ≥3，b ≥3，由于2(a ＋b )－(ab ＋4)＝2a －ab ＋2b －4＝a (2－b )＋2(b －2)＝(a －2)(2－b )，由于a ≥3，b ≥3， 所以a －2＞0，2－b ＜0.所以(a －2)(2－b )＜0，所以2(a ＋b )＜ab ＋4.。